A N D A N Á Á L LII SSEE M A L A TTR R IICCI A I A L L D L DEE ESSTTR R U UTTU UR R A SS Prof.a Nara Villanova Menon Acadêmico Ed Pinheiro Lima
i
SUMÁRIO 11.11.21.322.12.22.333.13.244.14.24.2.1 4.2.2 4.35677.17.27.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.37.3.1 7.3.2 7.3.3 7.4-
I NTRODUÇÃO.................................................................................... ......................................... ..................................................................... .......................... 1 Histórico da análise estrutural .......................................... ................................................................................ ...................................... 1 A Análise Estrutural e a Computação ..................................................................... ....................................... .............................. 1 Programas e usuários...................................... usuários ................................................................................. ........................................................ ............. 2 TIPOS DE ESTRUTURAS ................................................................................. ...................................... .......................................................... ............... 3 Estruturas com ligações contínuas.................................. contínuas........................................................................ ......................................... ... 3 Estruturas lineares ou estruturas reticuladas ........................................... ........................................................... ................ 3 Características das Estruturas Reticuladas .......................................... .............................................................. .................... 4 A NÁLISE MATRICIAL ..................................... ...................................... 5 MATRICIAL DE ESTRUTURAS ........................................................................... Processos Clássicos ........................................................................ .................................. ............................................................... ......................... 5 Análise matricial de Estruturas Estruturas ........................................... ............................................................................... .................................... 5 DESCRIÇÃO DA TÉCNICA M ATRICIAL ............................................................................ ..................................... ....................................... 5 Discretização da Estrutura ................................................................................... ........................................ ............................................... 5 Sistemas de Coordenadas............................................... Coordenadas.... .................................................................................... ......................................... 5 Coordenadas Globais - referentes à estrutura.............................. estrutura........... ...................................... ............................. .......... 5 Coordenadas locais - referentes às barras.......................................... barras..................... ......................................... ....................... ... 6 Relação entre coordenada local e coordenada global ............................................... .................................. ............. 7 GRAU DE L IBERDADE ........................................ ........................................................... ................ 8 IBERDADE ................................................................................... PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS ................................................................... ...................................... ............................. 8 MÉTODO DA RIGIDEZ OU DOS DESLOCAMENTOS ........................................ .................... 9 DESLOCAMENTOS ............................................................ Bases do Método ............................................................................. ..................................... ............................................................... ....................... 9 Dedução da Matriz de Rigidez ................................................................................ ....................................... ......................................... 9 Sistemas com duas coordenadas ...................................... ................... ....................................... ........................................ ...................... 9 Sistemas com três coordenadas.............................. coordenadas........... ....................................... ........................................ ............................. ......... 10 Matriz de Rigidez Global (Utilização do Princípio da Superposição dos Efeitos) ........................ .................... .... 12 Propriedades da Matriz de Rigidez................................... Rigidez............... ....................................... ....................................... .................... 12 Sistemas com elementos perpendiculares..................... perpendiculares ......................................... ......................................... ....................... 13 Relação entre coordenada global e local ................................................................ .................................. .............................. 14 Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas coordenadas locais ....................................... ................... .................... 15 Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas coordenadas globais ..................................... ..................... ................ 15 Utilização da matriz de rotação.................................... rotação................. ....................................... ........................................ ....................... ... 16 Sentidos e orientação dos ângulos para as barras. .................................................. .................................... .............. 17
7.57.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4
Sistematização para resolução de estruturas............................................ estruturas. .......................................................... ............... 18 Equação Equação da rigidez rigidez ................. ......................... ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ................. .............. ..... 20 Cálculo dos deslocamentos........................... deslocamentos....... ......................................... ......................................... ..................................... ................. 20 Cálculo das reações ....................................... ................... ........................................ ....................................... ...................................... ................... 20 Cálculo dos Esforços Internos ......................................... ..................... ......................................... ....................................... .................. 21
Análise Matricial de Estruturas
11.1-
I NTRODUÇÃO Histórico da análise estrutural
D ATA 1850-1875 1920
1932 1947
1963
1965
1
E VENTOS Surge o cálculo de pórticos, graças à Maxwell, Castigliano e Mohr. Nos Estados Unidos (Maney) e na Dinamarca (Ostenfeld) surgiram as primeiras análises de estruturas (treliças e pórticos ) tomando como incógnitas os deslocamentos dos nós. Hardy Cross introduz o processo da distribuição dos momentos. Durante 25 anos foi o método mais eficiente de cálculo Livesley tenta utilizar o computador no Cálculo Estrutural . O primeiro computador Mark I surgiu em 1944 fabricado pela IBM em conjunto com a Marinha Norte-Americana e a Universidade de Harvard. Em 1947 com a descoberta do transistor foi possível diminuir o tamanho dos computadores (120 m3) e aumentar a potência e a velocidade. Nesta época surgiram dentre outros o UNIVAC e o IBM 650. Surge o primeiro programa para calcular estruturas lineares (vigas, pórticos treliças e grelhas ): Programa STRESS. Paralelamente são descobertos os circuitos integrados, tornando os computadores mais rápidos como o IBM 360 Entre 1964 e 1974 surgem as linguagens de alto nível (FORTRAN) e em 1965 é publicado o primeiro artigo apresentando a formulação do Método dos Elementos de Contorno. Tabela 1-1 histórico da análise matricial
1.2- A Análise Estrutural e a Computação Com o surgimento dos computadores eletrônicos houve uma revolução no cálculo estrutural. As técnicas de calcular estruturas que até então procuravam reduzir ao mínimo o trabalho numérico, passaram a ser organizadas sem haver a preocupação de simplificações ou reduções de número de operações. Passou a existir a preocupação de organizar a seqüência de operações para entrar com dados em um computador e obter respostas. Para isso deve-se organizar uma seqüência de cálculos com notação própria.
O problema da Análise Estrutural envolve quatro tipos de grandezas : 1. as ações mecânicas aplicadas (ativas ou reativas) 2. as ações mecânicas internas (esforços secionais ou tensões localizadas em elementos de área orientados) 3. os deslocamentos dos pontos da estrutura (podendo ser lineares ou angulares) 4. as deformações (deslocamentos relativos nas extremidades de porções elementares interiores)
Em geral, o objetivo é determinar os esforços e deslocamentos. Para atingir esta meta, o método clássico parte de elementos infinitesimais da estrutura, tão pequenos que seja possível exprimir matematicamente
Análise Matricial de Estruturas
2
com simplicidade as suas relações solicitação – deformação. Por integração, chega-se ao comportamento da estrutura. O método dos elementos finitos ( do qual o Cálculo Matricial das Estruturas poderia ser considerado como um primeiro capítulo, aplicável ás estruturas de barras ) resolve o problema com outra seqüência. É uma técnica de análise numérica que consiste em aproximar o comportamento da estrutura real contínua, com infinitos graus de liberdade, por um modelo estrutural discreto, com um número finito de graus de liberdade. Este modelo estrutural é obtido subdividindo-se a estrutura real em várias regiões chamadas elementos finitos. Estes elementos finitos são unidos entre si através de um número finito de pontos, chamados pontos nodais. Este método permite simular o comportamento da estrutura mais próximo da realidade do que utilizandose as simplificações tradicionais. Além disso, por ser fácil efetuar modificações no modelo estrutural, podese proceder à sua otimização A utilização do método dos elementos finitos na análise estrutural requer um volume computacional bastante grande. À medida em que os recursos computacionais se tornaram mais poderosos, econômicos e de fácil utilização, esse método vem se tornando cada vez mais popular como ferramenta de trabalho do engenheiro de estruturas.
1.3-
Programas e usuários
O universo de programas nacionais e importados para cálculo estrutural disponível no mercado se divide em duas categorias fundamentais: os de análise estrutural com elementos finitos ou não e os de concepção e dimensionamento para concreto e estruturas metálicas. Entre os softwares de elementos finitos se destacam os importados como o STRAP (israelense), o ROBO BAT (francês), o MICRO FE (alemão), que pressupõem regime elástico. A área de estruturas também se utiliza de programas mais gerais de elementos finitos como o SAP2000, ANSYS, NASTRAN,SAFE e o COSMOS/M (norte americanos). Em geral, os programas de elementos finitos supõem o comportamento do concreto no regime elástico isto é, a estrutura sofre uma deformação em razão de uma carga aplicada, e quando ela é retirada o deslocamento volta ao zero. Para cargas baixas, pode-se considerar que o concreto trabalha no regime elástico. Mas em alguns casos uma parte das deformações não volta a zero, ou seja, comportam-se de acordo com o regime plástico. Além disso, em algumas situações é preciso considerar as deformações lentas ao longo do tempo. A rigor, o comportamento real do concreto é viscoelastoplástico e envolve esses três tipos de deformações. Os elementos finitos são utilizados para estruturas especiais como cascas, blocos, placas dentre outras. Entre os programas utilizados no Brasil que incluem concepção, análise estrutural com ou sem elementos finitos e dimensionamento, estão o CYPECAD 3D (espanhol) , o SISTRUT, o CAD/TQS, o MIX , o PROSYSTEM, o EBERICK dentre outros.
Análise Matricial de Estruturas
2TIPOS DE ESTRUTURAS 2.1- Estruturas com ligações contínuas São estruturas que possuem duas ou três dimensões e seus elementos podem ser triangulares, quadrados e outras formas simples. Essas estruturas são analisadas pelo método dos Elementos Finitos. São exemplos destes tipos de estruturas as cascas, as placas, os blocos, etc.
2.2- Estruturas lineares ou estruturas reticuladas São estruturas que possuem uma dimensão (comprimento) muito maior que a seção transversal e seus elementos geralmente são barras inteiras, partes de barras ou associações. Essas estruturas são analisadas pela análise matricial de estruturas. São exemplos deste tipo de estrutura vigas, pórticos e treliças. Figura 2.2 estruturas reticuladas – pórtico e treliça plana
Figura 2.1 divisão de uma estrutura contínua em elementos finitos
3
Análise Matricial de Estruturas
2.3-
4
Características das Estruturas Reticuladas Tipos de Estruturas Viga
esforços internos
• Estrutura reta que possui um ou
Treliça plana
esforços internos
• Estrutura com barras e todos os
mais pontos de apoio. • Sempre existe um plano de simetria • As forças estão aplicadas no plano que contém o eixo de simetria da seção transversal da viga. • Não aceita cargas inclinadas
Figura 2.2 estruturas reticuladas ou
nós rotulados. • Todas as forças aplicadas atuam no plano da estrutura. lineares • Todas as forças são aplicadas nos nós
Treliça espacial
esforços internos
• Idem à treliça plana, só que as bar-
Pórtico plano
esforços internos
• Estrutura composta de barras
Pórtico espacial
esforços internos
• Estrutura com barras, forças e
ras possuem direções quaisquer no espaço. • As forças atuam em direções quaisquer.
situadas em um plano que contém o seu eixo de simetria. • Todos os nós são rígidos. Todas as forças externas atuam no plano do pórtico. • Todos os momentos aplicados atuam na direção normal ao eixo da barra.
momentos em qualquer direção. Vy
N
T Vz
Grelha
esforços internos
• Estrutura com todas as barras em
um plano. • Todas as forças aplicadas são normais ao plano da grelha • Os momentos aplicados estão no plano desta
Tabela 2.3 – características principais de cada estrutura reticulada
Análise Matricial de Estruturas
5
3 A NÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS 3.1- Processos Clássicos Com o objetivo de determinar os esforços e os deslocamentos, os processos clássicos analisam o equilíbrio de elementos infinitesimais e, através de integrações, chega-se ao comportamento da estrutura.
Figura 3.1 - elemento infinitesimal utilizado para analisar estruturas
3.2- Análise matricial de Estruturas A Análise Matricial de Estruturas resolve o problema com outra seqüência. O comportamento da estrutura real contínua é substituído por um modelo estrutural discreto onde a estrutura real é subdividida em vários elementos finitos denominados barras. A formulação dos métodos dos esforços e dos deslocamentos ou a associação de ambos, utilizando técnicas matriciais é denominada Análise Matricial de Estruturas. 4DESCRIÇÃO DA TÉCNICA M ATRICIAL 4.1- Discretização da Estrutura Primeiramente a estrutura deve estar contida em um sistema de eixos cartesianos e em seguida são definidos os nós e as barras ( elementos ). y
y
x
1
8
2
9
3
3
4
5
6
7
4
1
5
2
6
x
Figura 4.1 - discretização de uma estrutura reticulada
4.2-
Sistemas de Coordenadas
Para ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças e momentos) e os deslocamentos (lineares ou angulares) existentes nos nós de uma estrutura integrada nas extremidades de um elemento, fixam-se dois sistemas de coordenadas.
4.2.1 Coordenadas Globais - referentes à estrutura Representam deslocamentos nodais, cargas aplicadas nos nós e reações nos apoios
Figura 4.2.1- coordenadas globais
Análise Matricial de Estruturas
6
vetor das forças externas
vetor dos deslocamentos
F 1 F [ F ] = 2 M F n
δ 1 δ [δ ] = 2 M δ n
F n – força aplicada ou reativa na direção da co- ordenada n
δ n -
deslocamento na direção da coordena- da n
Tabela 4.2.1 - representação dos vetores de forças e deslocamentos
4.2.2 Coordenadas locais referentes às barras Representam cargas aplicadas nas barras, esforços nas extremidades das mesmas e deformações .
Figura 4.2.2- coordenadas locais
vetor das forças internas
Vetor das deformações
E 1 E 2 = [ E ] M E n
δ b1 δ b 2 = [δ ] b M δ bn
En – esforço interno na direção da coordenada n
δ n -
deformação na direção da coordenada n
Tabela 4.2.2- representação dos vetores dos esforços internos e das deformações
Análise Matricial de Estruturas
7
Ao analisar uma estrutura por técnicas matriciais precisa-se: ♦ definir os elementos, nós ♦ definir as coordenadas globais nos nós ♦ definir as coordenadas locais nas extremidades das barras
4.3-
Relação entre coordenada local e coordenada global
Para se estabelecer uma relação entre coordenadas serão utilizados conceitos da Geometria Analítica. Transformação de coordenadas locais em globais
x = x cosθ + y sen θ y = y cos θ − x sen θ
para o nó i
para o nó j
x i = xi cosθ + yi sen θ
x j = x j cos θ + y j sen θ
yi = yi cos θ − xi sen θ
y j = y j cosθ − x j sen θ Tabela 4.3 - transformação de coordenadas
Escrevendo as equações acima sob forma matricial obtém-se uma relação entre coordenadas locais e globais: x i cos θ sen θ 0 0 x i y 0 0 y i = - sen θ cos θ . i x j 0 0 cos θ sen θ x j 0 - sen θ cos θ y j y j 0
Equação 4.3
A matriz escrita acima é denominada matriz de Rotação [R]. Por ser uma matriz ortogonal, apresenta a propriedade de ter a sua inversa igual a sua transposta.
Análise Matricial de Estruturas
8
5GRAU DE L IBERDADE Os deslocamentos nodais dependem de vinculação e variam de acordo com o tipo da estrutura . Chama-se gl (grau de liberdade) o número de deslocamentos nodais não conhecidos que uma estrutura possui. Tipos de Apoios Engastado
não tem rotação nem translação
Fixo
tem rotação mas não tem translação
Móvel
só não tem uma translação
Elástico
quando não é totalmente rígido
Tabela 5.(a) – tipos de apoios para estruturas planas
Os deslocamentos nodais e os esforços internos correspondentes a cada tipo de estrutura linear serão descritos abaixo, para que seja possível a adequação da técnica matricial . Tipo de Estrutura Viga Treliça plana Treliça espacial
Esforços Internos V, M N N
Deslocamentos v, θ z u,v u,v,w
Pórtico plano
V,M,N
u,v, θ z
Grelha plana
V,M,T
v, θ x, θ y
Pórtico espacial
Vx,Vy,Mx,My,N,T
u,v,w, θ x, θ y, θz
Equação de Equilíbrio para cada nó ΣFy=0 ΣMz=0 ΣFx=0 ΣFy=0 ΣFx=0 ΣFz=0 ΣFy=0 ΣFx=0 ΣMy=0 ΣFy=0 ΣFz=0 ΣMy=0 ΣMx=0 ΣFx=0 ΣMy=0 ΣMx=0 ΣFz=0 ΣFy=0 ΣMz=0
Observações Despreza-se N
Despreza-se N
Tabela 5.(b) - esforços internos e deslocamentos em estruturas reticuladas
6PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS Para a dedução do Método dos Deslocamentos ou Método da Rigidez, será feito um breve aceno a uma ferramenta fundamental que é o Princípio da Superposição dos Efeitos . O Princípio da Superposição do Efeitos só é válido quando as estruturas mantiverem relações lineares entre cargas e deformações (Lei de Hooke) e quando as deformações sejam pequenas de tal forma que pode-se dizer que a configuração final da estrutura seja confundida com a configuração inicial. Exemplifica-se abaixo a aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos para a determinação do deslocamento na extremidade do balanço, provocado por duas cargas concentradas.
δ2
δ 21
Figura 6. – exemplo de utilização do Princípio de Superposição dos Efeitos
δ 22
Análise Matricial de Estruturas
9
δ2.1 – deslocamento em devido à P1 δ2.2 – deslocamento em devido à P2
Através do Princípio da Superposição dos Efeitos pode-se dizer que : δ2 = δ2.1P1 + δ2.2P2
7-
MÉTODO DA RIGIDEZ OU DOS DESLOCAMENTOS
7.1- Bases do Método Denomina-se “coeficiente de rigidez” a ação mecânica associada à configuração deformada δ=1. Para simplificar a dedução teórica, as barras serão substituídas por “molas”, pois este é o mais simples dos sistemas elásticos. 7.2- Dedução da Matriz de Rigidez 7.2.1 Sistemas com duas coordenadas Considere-se uma mola presa nas duas extremidades com coeficiente de rigidez K
figura 7.2.1.(a) – sistema com duas coordenadas
caso a) Ao aplicar-se um deslocamento u1 ao sistema surgirão as forças F1 e F2. Portanto u1 = u1 u2 = 0 F1 = K.u1 F2 = -K.u1=-F1
caso b) Ao aplicar-se um deslocamento u2 tem-se: Portanto u1 = 0 u2 = u2 F2 =K.u2
F1 = -F2 = -K.u2
caso c) Aplicando-se simultaneamente os deslocamentos u1 e u2 tem-se:
Análise Matricial de Estruturas
10
Portanto u1=u1 u2=u2 F1=K.u1 – K.u2 F2 = - K.u1 + K.u2
Figura 7.2.1.(b) – Dedução da matriz de rigidez
Escrevendo as equações sob forma matricial chega-se a: F 1 K − K u1 = F 2 − K K u 2
Equação 7.2.1.(a)
Esta equação é denominada Equação de Rigidez, que relaciona forças com o deslocamentos.
{ F } = [S ]{δ }
Equação 7.2.1.(b)
onde: { F } é o vetor das forças [S ] é a matriz de rigidez {δ } é o vetor de deslocamentos
7.2.2 Sistemas com três coordenadas Considere-se um sistema constituído por duas molas presas nas extremidades com coeficientes de rigidez diferentes:
Figura 7.2.2.(a) – sistemas com três coordenadas
Caso a) ao aplicar-se um deslocamento u1 no nó surgem as forças F1 e F2 u1 = u1 u2 = 0 u3 = 0
F1 = K 1.u1 F2 = -F1 = -F1.u1 F3 = 0
Análise Matricial de Estruturas
11
Caso b) ao aplicar-se um deslocamento u2 no nó surgem as forças F1, F2 e F3
u1 = 0 u2 = u2 u3 = 0
F1 = -K 1.u2 F2 = K 1.u2 + K 2.u2 F3 = -K 2.u2
Caso c) ao aplicar-se um deslocamento u3 no nó surgirão as forças F2 e F3
u1 = 0 u2 = 0 u3 = u3
F1 = 0 F2 = -K 2.u3 F3 = K 2.u3
Caso d) a o aplicar-se simultaneamente os deslocamentos u1, u2 e u3 tem-se:
u1 = u1 u2 = u2 u3 = u3
F1 = K 1.u1 – K 1.u2 +0 F2 = -K 1.u1 + (K 1 +K 2).u2 – K 2.u3 F3 = 0 – K 2.u2 + K 2.u3 Figura 7.2.2.(b) – dedução da Matriz de Rigidez
Análise Matricial de Estruturas
12
Escrevendo as três últimas equações sob forma matricial tem-se: − K 1 F 1 K 1 F 2 = − K 1 K 1 + K 2 F 0 − K 2 3
0 u1
− K 2 u 2 K 2 u3
Portanto chega-se a equação da rigidez { F } = [S ]{δ } , já vista anteriormente. Sendo que [S] agora é a matriz de rigidez do sistema.
7.2.3 Matriz de Rigidez Global (Utilização do Princípio da Superposição dos Efeitos) Seja o sistema elástico utilizado no item anterior
Figura 7.2.3 – conjunto de duas molas
Monta-se uma matriz de rigidez para cada mola, numerando-se as linhas e colunas de acordo com as suas coordenadas correspondentes. 1
K 1 − K 1
[Sb]1 =
2
2
− K 1 1 K 1 2
K 2 − K 2
[Sb]2 =
3
− K 2 2 K 2 3
A partir das matrizes de rigidez para as duas molas, utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos obtém-se a matriz de rigidez da estrutura ou matriz de rigidez global. 1
2
− K 1 K 1 [S ] global = − K 1 K 1 + K 2 0 − K 2
7.2.4
3 0 1
− K 2 2 K 2 3
Propriedades da Matriz de Rigidez • Simetria, devido ao teorema de Maxwell. A soma dos elementos de qualquer linha ou coluna é zero (quando se tratar de forças), condição • de equilíbrio. É uma matriz não singular, isto é, o determinante é diferente de zero. • • Dependendo da numeração dos nós pode apresentar-se como uma matriz em banda. A diagonal principal é predominante e positiva. •
Análise Matricial de Estruturas
13
7.2.5 Sistemas com elementos perpendiculares Considere-se o sistema constituído de duas molas perpendiculares entre si que agora apresentam deslocamentos e forças em direções diferentes
Figura 7.2.5- conjunto de molas perpendiculares
Adota-se para a mola as seguintes coordenadas
para este sistema de coordenadas a matriz de rigidez será: 1
2
K 1 0 [Sb]1 = − K 1 0
3
4
− K 1 0 1 0 0 0 2 0 K 1 0 3 0 0 0 4 0
Para a mola adota-se as seguintes coordenadas
Consequentemente a matriz de rigidez será: 3
4
0 0 0 K 2 [Sb]2 = 0 0 0 − K 2
5 0
6 0 3
− K 2 4 0 0 5 0 K 2 6 0
Utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos monta-se a matriz de rigidez global.
Análise Matricial de Estruturas
7.3-
14
1
2
3
4
5
6
K 1 0 − K [Sg ] = 1 0 0 0
0
− K 1
0
0
0 1
0
0
0
0
0
K 1
0
0
0
0
K 2
0
0
0
0
0
0
0
− K 2
0
2 0 3 − K 2 4 0 5 K 2 6 0
Relação entre coordenada global e local
No item 4.3 através de transformação linear chegou-se a seguinte equação: F xi cosθ senθ 0 0 X i F 0 0 Y i yi − senθ cosθ = F 0 0 cos sen θ θ X j xj F yj 0 0 − sen θ cosθ Y j
Para as forças a equação será: { Fl } = [ R ]{Fg }
Equação 7.3.(a)
Equação 7.3(b)
onde { Fl } são as forças em coordenadas locais, { Fg } são as forças em coordenadas globais e [ R ] é a matriz de rotação. Esta matriz é uma matriz ortogonal, portanto a sua inversa é igual a sua transposta. Para os deslocamentos pode-se escrever: 0 0 ug i u l i cos θ sen θ v l 0 0 vg i i − sen θ cos θ = u l ug 0 0 cos sen θ θ j j v l j 0 0 − sen θ cos θ vg j {δ l } = [ R ]{δ g }
Equação 7.3.(c)
A equação da rigidez em coordenadas locais pode ser escrita como:
{ Fl } = [Sbl ]{δ l }
Equação 7.3.(d)
Substituindo 7.3.(b) e 7.3.(c) em 7.3.(d), tem-se: δg} [R]{Fg}=[Sbl][R]{ -1 multiplicando-se ambos os termos por [R ]
[R]-1[R]{Fg}=[R]-1[Sbl][R]{ δg} simplificando δg} {Fg}=[R]-1[Sbl][R]{ como [R] é uma matriz ortogonal, pode-se escrever a equação com a seguinte forma: δg} {Fg}=[R]T [Sbl][R]{
Análise Matricial de Estruturas
15
onde [ R ]T [Sbl ][ R ] é a matriz de rigidez para uma barra em coordenadas globais.
7.3.1
Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas locais 1 0 [Sbl ] = k − 1 0
− 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
Equação 7.3.1
Figura 7.3.1- Coordenadas Locais
7.3.2
Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas globais [ Sbg ] = [ R ]T [Sbl ][ R ]
Figura 7.3.2 – Coordenadas Globais
cos θ sen θ [ Sbg ] = k 0 0
− sen θ
0
cosθ
0
0
cos θ
0
− sen θ
cos 2 θ cos θ sen θ [ Sbg ] = k − cos 2 θ − cos θ sen θ
1 0 0 − sen θ −1 cos θ 0
0 −1 0 cos θ
sen θ
0
0
0
cos θ
0
0
1
0
cos θ
0
0
0
− sen θ
0
cosθ sen θ
− cos 2 θ
sen 2 θ
− cosθ senθ
− cosθ senθ − sen 2 θ
cos 2 θ cosθ senθ
− sen θ 0 0 0 0 0
− cosθ senθ 2 − sen θ senθ cosθ sen 2 θ
= sen θ cos θ
0
Equações 7.3.2
0
Análise Matricial de Estruturas
16
7.3.3 Utilização da matriz de rotação Considerando o sistema apresentado na figura 7.2.5
Figura 7.3.3 – Conjunto de Molas Perpendiculares
Utilizando-se a matriz para uma mola em coordenadas globais deduzida no item 7.3.2 tem-se: cos 2 θ cos θ sen θ [ Sbg ] = k − cos 2 θ − cos θ sen θ
cosθ sen θ
− cos 2 θ
sen 2 θ
− cosθ senθ
− cosθ sen θ − sen 2 θ
cos 2 θ cosθ senθ
− cosθ senθ − sen 2 θ senθ cosθ sen 2 θ
Para a mola , θ = 0º. Portanto 1
2
1 0 [ Sbg ]1 = k1 −1 0
3
4
−1 0 1 0 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 4 0
Equação 7.3.3 (a)
Para a mola , θ = 90º. Portanto 3
[ Sbg ]2
4
0 0 0 1 = k 2 0 0 0 −1
5
6 0
0 3
−1 4 0 0 5 0 1 6 0
Utilizando-se o Princípio da Superposição dos Efeitos, tem-se:
Equação 7.3.3 (b)
Análise Matricial de Estruturas
17
1
2
3
4
5
k 1 0 − k [S ] global = 1 0 0 0
0
− k 1
0
0
0
0
0
0
0
k 1
0
0
0
0
k 2
0
0
0
0
0
0
0
− k 2
0
6 0 1
2 0 3 − k 2 4 0 5 k 2 6 0
Equação 7.3.3 (c)
7.4Sentidos e orientação dos ângulos para as barras. Convém observar que para os cossenos diretores serão consideradas positivas as orientações dos ângulos no sentido anti-horário conforme o posicionamento do nó inicial i e do final j para a barra. caso a sen θ > 0
cos θ > 0
caso b sen θ > 0
cos θ < 0
caso c sen θ < 0
cos θ < 0
caso d sen θ < 0
cos θ > 0
Figura 7.4 – Sentidos e Orientações para as barras
Análise Matricial de Estruturas
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7.5- Sistematização para resolução de estruturas Através do exemplo à seguir será mostrada a aplicação da técnica matricial para a resolução de estruturas. Considere-se o sistema de molas para o qual pretende-se determinar os deslocamentos nodais, as reações de apoio e os esforços internos.
Figura 7.5 (a)- sistema de molas
Inicialmente serão atribuídas aos sistemas as coordenadas indicadas abaixo.
Figura 7.5 (b) – Sistema de Coordenadas
Em seguida será elaborado um quadro que irá conter dados sobre as molas. Mola K kgf/cm
Nó inicial Nó final
1 2 3
1 1 1
20 10 10
2 3 4
0º 135º 210º
cx
cy
cx 2
cy 2
cxcy
1 -0,707 -0,87
0 0,707 -0,5
1 0,5 0,75
0 0,5 0,25
0 -0,5 0,44
Tabela 7.5 – Dados do Exemplo
Utilizando-se a matriz [Sbg] monta-se a seguir, a matriz de rigidez para cada mola em coordenadas globais. 1 20 0 [Sbg ]1 = − 20 0
2
3
4
− 20 0 1 0 0 0 2 0 20 0 3 0 0 0 4 0
Equação 7.5 (a)
Análise Matricial de Estruturas
1
2
5
19
6
5 −5 −5 5 1 − 5 5 5 −5 2 [Sbg ]2 = − 5 5 5 − 5 5 5 −5 −5 5 6
1
2
7
Equação 7.5 (b)
8
4.4 − 7.5 − 4.4 1 7.5 4.4 2.5 − 4.4 − 2.5 2 [Sbg ]3 = − 7.5 − 4.4 7.5 4 .4 7 2.5 8 − 4.4 − 2.5 4.4
Equação 7.5 (c)
A partir das matrizes de rigidez de cada mola monta-se a matriz de rigidez global obedecendo a numeração das coordenadas globais. 1
32,5 −0,6 −20 0 [ S ] global = −5 5 −7,5 −4,4
2
3 4
5 6
7
8
−0,6 −20 0 −5 5 −7,5 −4,41 7,5 0 0 5 −5 −4,4 2,5 2 0 20 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 4 5 0 0 5 −5 0 0 5 0 6 −5 0 0 −5 5 0 −4,4 0 0 0 0 7,5 4,4 7 −2,5 0 0 0 0 4,4 2,5 8
Equação 7.5 (d)
A matriz de rigidez [S ] parcionada, como indicado, será dividida em quatro submatrizes: [S ] [S 01 ] [S ] = 00 Equação 7.5 (e) [S 10 ] [S 11 ] onde [S 00 ] é a submatriz correspondente às rigidezes nas direções das coordenadas cujos deslocamentos es-
tão livres.
[S 10 ] e [S 01 ] são as submatrizes correspondentes às rigidezes nas direções das restrições dos apoios, derivadas dos valores unitários dos deslocamentos correspondentes aos graus de liberdade. [S 11 ] é a submatriz correspondente às rigidezes nas direções das coordenadas cujos deslocamentos são bloqueados. As submatrizes [S 01 ] e [S 11 ] conforme mostradas serão multiplicadas por zero (deslocamentos bloqueados) portanto não precisarão ser montadas.
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7.5.1 Equação da rigidez Substituindo os dados na equação da rigidez resulta em: F X 1 32,5 − 0,6 F − 0,6 7,5 Y 1 RH 2 − 20 0 0 RV 2 0 = 5 RH 3 − 5 RV 3 5 −5 RH 4 − 7,5 − 4,4 RV − 4,4 − 2,5 4
u1 v 1 0 0 0 0 0 0
Equação 7.5.1.
7.5.2 Cálculo dos deslocamentos Separando a submatriz e o vetor que estão relacionados com os deslocamentos livres tem-se: 75 32,5 −0,6 u1 = 150 − −0,6 7,5 v1
Invertendo-se a matriz de rigidez obtêm-se os deslocamentos da estrutura. −1
u1 32,5 −0, 6 75 = v1 −0, 6 7, 5 −150 u1 1,94 = (cm) v − 19 , 84 1
Portanto, para a obtenção dos deslocamentos, pode-se escrever a equação:
{ F } = [S 00 ]{ D}
Equação 7.5.2
7.5.3 Cálculo das reações Obtidos os deslocamentos retorna-se à equação da rigidez e obtêm-se as reações incógnitas. 0 RH 2 − 20 RV 0 0 2 RH 3 − 5 5 1,94 = RV 5 5 19 , 84 − − 3 RH 4 − 7,5 − 4,4 RV 4 − 4,4 − 2,5
Equação 7.5.3
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RH 2 − 38,8 RV 0 2 RH 3 − 108,9 = RV 3 108,9 RH 4 72,75 RV 4 41,06
Para a obtenção das reações de apoio, pode-se escrever a equação { RA} = [S 10 ]{ D}
7.5.4
Cálculo dos Esforços Internos Os esforços internos, como são relativos às barras, deverão ser determinados obedecendo as coordenadas locais.
{ E i } = [Sbl ]{ Db} Como os deslocamentos estão nas direções das coordenadas globais, estes serão rotacionados devendo estar na direção dos eixos das barras. Portanto a equação será escrita como:
{ E i } = [Sbl ][ R ]{ Db} E1 k 0 −k E 0 0 0 2 = E3 −k 0 k E 4 0 0 0
0 cx
cy
0 −cy
cx
0 0
0
0 0
0
0
Equação 7.5.4
0 ui
cx cy u j − cy cx v j 0
0 vi
Para a mola tem-se: E 1 20 E 0 2 = E 3 − 20 E 4 0
− 20 0 1 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0
38,8 1 0 0 − 19,84 0 = ( kgf ) 0 1 0 0 − 38,8 0 0 1 0 0 0
0
0 1,94
Para a mola tem-se: E 1 10 E 0 2 = E 3 −10 E 4 0
0 0 1, 94 −153, 98 −10 0 −0, 707 0, 707 −19,84 0 0 0 0 −0, 707 −0, 707 0 0 = (kgf ) 0 10 0 0 0 −0, 707 0, 707 0 153,98 0 0 0 0 0 −0, 707 −0, 707 0 0 0
Para a mola tem-se: E 1 10 E 0 2 = E 3 − 10 E 4 0
0 0 1,94 82,32 − 10 0 − 0,87 − 0,5 0,5 − 19,84 0 0 0 0 0 0 − 0,87 = ( kgf ) 0 10 0 0 0 − 0,87 − 0,5 0 − 82,32 0 0 0 0 0 0,5 − 0,87 0 0 0
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Os resultados acima obedecem o sistema de coordenadas locais adotado. Atribuindo-se aos resultados os seus reais sentidos pode-se dizer que: a mola está sendo comprimida. a mola está sendo tracionada a mola esta sendo comprimida
