ETAP ® 12.0 A n ális is d e Con fiab ili d ad de Sistem S istem as de Distribu ció ción n
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Diego Moitre, M. Sc. Ingeniero Mecánico Electricista Matricula Profesional Nº 10.333 - CIEC Senior Member, PES – IEEE RAIEN ARGENTINA S.A. Congreso 2171 – 6º Piso Código Postal: C1428 BVE Ciudad Autónoma de Buenos Aires, ARGENTINA Fijo: (54) 11 4701-9316 Móvil: (54) 358-156000104
[email protected] [email protected]
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Diego Moitre, M. Sc. Ingeniero Mecánico Electricista Matricula Profesional Nº 10.333 - CIEC Senior Member, PES – IEEE RAIEN ARGENTINA S.A. Congreso 2171 – 6º Piso Código Postal: C1428 BVE Ciudad Autónoma de Buenos Aires, ARGENTINA Fijo: (54) 11 4701-9316 Móvil: (54) 358-156000104
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Análisis de Confiabilidad de Sistemas de Distribución Confiabilidad en Ingeniería. Introducción al Análisis de Confiabilidad de SEP. Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad. Confiabilidad de componentes Confiabilidad de sistemas Análisiss de Confiabilidad Confiabilidad de Sistemas de Distribuci Distribución ón Análisi Sistemas de distribución radiales con capacidad de maniobra perfecta. Sistemas de distribución en anillo con capacidad de maniobra perfecta. Índices de Confiabilidad en puntos de carga. Índices de Confiabilidad del sistema de distribución. Evaluación del valor de la Confiabilidad Ejemplos de aplicación utilizando ETAP ®12.0
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Bibliografía
Billinton, R. Allan, R. Reliability Evaluation o f Engin eering System : . Plenum Press. 1994. Conc epts and Techniq ues. Secon d Edition
Billinton, R. Allan, R. Reliability Evaluation o f Pow er Systems. Second Edition . Plenum Press. 1996.
Chowdhury, A. Koval, D. Power Distribu tion Sys tem Reliability: Practical M et h o d s a n d A p p l i c a t i o n s . IEEE Press. Wiley. 2.009.
Li, W. Risk Assess ment of Electric Pow er Systems : Mod els, Method s and Applications . IEEE Press, Wiley. 2005
Endrenyi, J. Reliability Modeling in Electric Power Systems , Wiley, 1978.
IEEE Std 1366TM – 2003: IEEE Guide Electric Power Distribution Reliability Indices.
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Bibliografía
IEEE Std 493TM – 2007: Recommended Practice for the Design of Reliable Industrial and Commercial Power Systems. ( IEEE Gold Book )
ETAP ® 12.0 User Guide
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Confiabilidad en Ingeniería “Confiabilidad es la probabilidad de que un dispositivo o sistema realice su f u n c i ó n a d e c u a d a m e n t e, d u r a n t e u n p e r i o d o p r e f ij a d o , b a jo c o n d i c i o n e s d e operación especificadas”
En esta definición pueden separase cuatro partes básicas: probabilidad comportamiento tiempo
condiciones
adecuado
de operación
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Confiabilidad en Ingeniería La definición anterior de confiabilidad implica un tipo particular de comportamiento, donde un dispositivo es exitoso si no ha fallado durante el tiempo estipulado de servicio. La posibilidad de repararlo después de una falla y continuar el servicio después de la reparación no ha sido considerada. De hecho, un conjunto importante de dispositivos y sistemas es sometido a reparación cuando se produce una falla y retornado al servicio. Es claro que la confiabilidad de los mismos necesita ser expresada por una medida (o medidas) diferentes de la anterior. Un índice de confiabilidad en tales casos es la disponibilidad, definida como sigue:
“La dispo nib ilidad de un dispo sitivo reparable es la pro po rción del tiempo , en el largo p lazo, en el q ue esta en, o disp on ible para, servicio” En las aplicaciones en Sistemas Eléctricos de Potencia, el tipo reparable es dominante. Curso de Capacitación
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Confiabilidad en Ingeniería Índ ices d e Con fiab ilid ad
Índices
Área de aplicación
Probabilidades
Confiabilidad Disponibilidad
Frecuencias
Numero promedio de fallas por unidad de tiempo
Duraciones Medias
Tiempo medio a la primera falla Tiempo medio entre fallas Duración media de falla Numero esperado de días en el año en el que ocurre fallas en el sistema
Valores Esperados
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Introducción al Análisis Análisis de Confiabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia La Confiabilidad es un tema importante en la planificación de la expansión y en la operación de un Sistema Eléctrico de Potencia, e históricamente ha sido cuantificada usando índices y criterios determinísticos. Sin embargo, este enfoque puede ser, y en muchos casos ha sido, reemplazado por métodos probabilísticos que permiten incluir los factores estocásticos que afectan la confiabilidad del Sistema Eléctrico de Potencia. Es una práctica común, dividir a los Sistema Eléctrico de Potencia, desde un punto de vista funcional, en tres subsistemas principales: Generación Transmisión Distribución
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Introducción al Análisis Análisis de Confiabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia Niveles
jerárquicos para evaluación de confiabilidad de SEP
GENERACION
NIVEL JERARQUICO 1
concierne solo a equipamiento de generación
NIVEL JERARQUICO 2
incluye el equipamiento de generación y transmisión
TRANSMISION
NIVEL JERARQUICO 3 ESTACIONES TRANSFORMADORAS
NIVEL JERARQUICO 4 Distribución
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considera separadamente, separadamente, las salidas de servicio originadas en las ET en conjunción con las del equipamiento del nivel jerárquico 2 incluye todos los niveles anteriores para cuantificar la confiabilidad desde el punto de vista de la demanda 10
Introducción al Análisis Análisis de Confiabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia Existen dos razones que justifican este enfoque. El
número de componentes involucrados y sus numerosas y complejas interrelaciones requieren de modelos analíticos cuyas soluciones exigen un importante esfuerzo computacional. Aun
cuando esta evaluación completa fuere posible, los resultados serian de tal magnitud que una interpretación significativa de los mismos sería sumamente difícil, sino imposible.
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11
Introducción al Análisis de Confiabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia
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Introducción al Análisis de Confiabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia Los estudios de confiabilidad de cada nivel jerárquico, se realizan en el marco de: Evaluación
de la confiabilidad en el largo plazo para la planificación de la expansión del sistema Evaluación
de la confiabilidad en el corto plazo para la programación de la operación del sistema Evaluación
de la confiabilidad en el corto plazo para la operación en tiempo real
del sistema
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Introducción al Análisis de Confiabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia Sistemas No Reparables
Componentes independientes
Distribuciónes de falla exponenciales
Markov
Distribuciónes de falla generales
Redes
Sistemas Reparables
Componentes dependientes
Distribuciónes de falla exponenciales
Markov
Componentes independientes
Componentes dependientes
Distribuciónes de falla generales
EC/DC
Distribuciónes de falla, reparación, etc., exponenciales
Markov
Redes
Markov
Distribuciónes de falla, reparación, etc., generales
Markov + DE
Simulación de Monte Carlo
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Introducción al Análisis de Confiabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia Métodos
de evaluación de confiabilidad de SEP
Método de redes (solución analítica) Método de espacio de estado ( solución analítica) Método de árbol de fallas ( solución analítica) Método de Monte Carlo ( simulación estocástica)
La elección del método dependerá de distintos factores como por ejemplo:
Estructura y tamaño del sistema Independencia de componentes Reparabilidad Distribuciónes de los tiempos de reparación y falla Modo de falla de componentes
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Introducción al Análisis de Confiabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia Etapas principales de un estudio de confiabilidad:
Definir el sistema: componentes a ser incluidos conjuntamente con los datos de falla de los mismos. Definir los criterios de falla del sistema Enunciar las hipótesis usadas para construir el modelo Desarrollar el modelo del sistema Realizar el análisis de los efectos de falla y calcular los índices de confiabilidad del sistema Analizar y evaluar los resultados
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Confiabilidad
de componentes
Un sistema consiste en un conjunto de componentes, interconectados de alguna forma predeterminada. La confiabilidad de un sistema depende de la confiabilidad de sus componentes y de la configuración del sistema.
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Confiabilidad
de componentes
Los componentes pueden clasificarse en dos tipos o grupos: Los
primeros son aquellos que son observados solo hasta que fallan, debido a que no pueden ser reparados, o bien su reparación es antieconómica, o aun porque solo es de interés su vida útil hasta la primera falla. Estos componentes se denominan no reparables (o no reparados) y su falla se denomina catastrófica. Al
segundo grupo pertenecen los componentes que son reparados después que fallan, por lo que su vida útil es una sucesión de periodos de operación y periodos de reparación. Estos componentes se denominan reparables . Curso de Capacitación
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Confiabilidad
de componentes
t
FT t Pr T t f T d
FT: distribución acumulada de la vida T del componente
o
f T t
dFT t
f T: distribución (ley de falla) de la vida T del componente
dt
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Función
de confiabilidad
R t Pr T t 1 Pr T t 1 FT t
f T d
t
R 0 1 R 0 Curso de Capacitación
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20
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Función
h t lim
de riesgo
Pr t T t t T t
t
t 0
h t lim
Pr t T t t T t
t
t 0
1
lim
R t
dt
Curso de Capacitación
t 0
Pr t T t t
Pr T t t 0 1 dFT ( t )
lim
t
1 Pr t T t t T t Pr T t
t
1
lim
R t t 0
FT ( t t ) FT ( t )
t
f T ( t ) R ( t ) Confiabilidad de Sistemas de
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad dR t dt dR t
dFT t dt
f T (t )
h ( t )R ( t ) 0
dt R (0) 1
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t R ( t ) exp h d 0
22
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Relaciones entre funciones En términos de
FT(t)
FT(t)=
f T(t)
-------
R(t)
h(t)
f d
1 R t
t 1 exp h d 0
--------
dR t
t
T
o
dFT t
f T(t)=
dt
R(t)=
1 FT t
f T
dt
--------
d
t
h(t)=
1
dFT ( t )
1 FT t
dt
Curso de Capacitación
f T
f T
t
d
t
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d dt
lnR ( t )
t h ( t ) exp h d 0
t exp h d 0
--------23
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Tiempos
exponencialmente distribuidos
Distribución exponencial
exp(t ); 0 t f T t 0; t 0 λ: tasa (o razón) de falla [tiempo -1]
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Tiempos
exponencialmente distribuidos
ET
1
valor medio [tiempo]
Var T
1
2
Var T
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1
varianza [tiempo2]
desviación estándar [tiempo]
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Tiempos
exponencialmente distribuidos
Distribución acumulada t
FT t Pr T t
f d; T
t
Distribución acumulada exponencial
FT t 1 exp t ; Curso de Capacitación
t
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Tiempos
exponencialmente distribuidos
R ( t ) e t FT ( t ) 1 e f T ( t ) e
Curso de Capacitación
t
h ( t ) f T ( t ) e
t
t Este resu ltado perm ite afirmar que los componentes “sin memoria” (esto es, con razón d e falla con stante) y s ólo ellos se caracterizan por u na ley de falla expo nenc ial
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad
Función de riesgo bañera
h(t)
f T(t)
T Periodo inicial
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Periodo útil
Periodo de desgaste
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Estimación
de Máxima Verosimilitud
Sea T exponencialmente distribuido con parámetro λ. La función de verosimilitud de una muestra aleatoria de tamaño N es:
N N L exp Ti exp Ti i 1 i1 N
donde T1,…,TN son los valores observados de la muestra aleatoria.
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Estimación
de Máxima Verosimilitud
Nuestro problema consiste en maximizar la función de verosimilitud:
Max
L
s.a
0
Para ello:
lnL N ln
N
T
i
i 1
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Estimación
d d
de Máxima Verosimilitud
lnL 0
N
N
T 0 i
i 1
ˆ
N N
T
1 T
i
i 1
donde:
T
1
N
N
Ti
es la media muestral
i 1
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Propiedades
del estimador
Distribución Erlang
N N N 1 u exp( Nu ); 0 u f T u N 1! 0; u 0 1
ET
Var T
Valor medio [tiempo] 1 N2 1
Var T
N
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varianza [tiempo2] Error estándar [tiempo] Confiabilidad de Sistemas de
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Confiabilidad
de sistemas
Un sistema consiste en un conjunto de componentes, interconectados de alguna forma predeterminada. La confiabilidad de un sistema depende de la confiabilidad de sus componentes y de la configuración del sistema. En estudios de confiabilidad de sistemas, el objetivo es estimar índices de confiabilidad para el sistema a partir de los datos de falla de componentes y del diseño del sistema. Estos índices del sistema pueden variar dependiendo de la aplicación particular, pero en esencia son probabilidades, frecuencias o duraciones medias de algún evento crítico. Distintos enfoques han sido desarrollados para deducir índices de confiabilidad del sistema a partir de la información de la confiabilidad de componentes, y en muchas aplicaciones puede encontrarse uno de ellos como el más adecuado. Curso de Capacitación
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Para seleccionar el mejor enfoque, deben considerarse varios factores, siendo los más importantes los siguientes: Estructura
y tamaño del sistema Independencia de los componentes Reparabilidad Distribuciónes del tiempo de falla y del tiempo de reparación Modo de falla de los componentes Efectos de las rutinas de operación Efectos del medio ambiente
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Método
de redes
La confiabilidad de muchos sistemas puede ser evaluada con la ayuda de diagramas lógicos (también llamada confiabilidad de diagramas de bloque). En oposición a los diagramas físicos, los cuales simplemente describen las conexiones físicas reales entre componentes, los diagramas lógicos son organizados para indicar cuales combinaciones de componentes conducen a la falla del sistema completo. Lo s diag ramas lógic os están, p or lo tanto , basado s en un análisis de lo s efectos d e la falla de com po nentes.
Los bloques en estos diagramas representan componentes en operación, y la falla de un componente se indica por la eliminación del bloque correspondiente. Si una cantidad suficiente de bloques son eliminados en un diagrama de modo de interrumpir la conexión entre la entrada y la salida, el sistema ha fallado. Curso de Capacitación
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Ejemplo : una red conformada por cuatro líneas de transmisión en paralelo entre
dos subestaciones transformadoras.
1
2
3
4
Diagrama físico Si la sobrecarga de la red no puede ocurrir (por ejemplo, la capacidad de cada una de las líneas es, al menos, igual a la carga de la red), el sistema fallara solo si todas las líneas fallan: consecuentemente, el diagrama lógico es igual al diagrama físico.
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Si al menos tres de las cuatro líneas deben estar en servicio para evitar la sobrecarga de la red, el diagrama lógico será el siguiente (una de las varias representaciones posibles):
1
2
2
4
3
3
4
1
4
Diagrama lógico
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Si, finalmente, las líneas no tienen margen en su capacidad para transportar más que su parte de la carga, el sistema fallará si falla cualquiera de las líneas, y el diagrama lógico será el de la Figura siguiente.
1
2
3
4
Diagrama lógico
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Definiciones: Consideramos un sistema con las propiedades siguientes: Cada
componente del sistema admite sólo dos estados: operación o falla. El sistema admite sólo dos estados: operación o falla. El sistema está en operación si todos los componentes están en operación El sistema ha fallado si todos los componentes han fallado. La falla de un componente en un sistema que ya ha fallado no puede restaurar la operación del sistema, y la reparación de un componente en un sistema en operación no puede causar la falla del sistema. Los sistemas que satisfacen las dos primeras propiedades se denominan estructuras. Si además satisfacen las tres restantes propiedades, la estructura es monótona (algunas veces también denominada coherente).
Los sistemas con estructuras monótonas son los únicos que pueden ser representados por diagramas lógicos Curso de Capacitación
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Realización
del estado de un componente
Estado
Operación
Falla
t TO
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TR
TO
TR
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TO
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Tiempos
con Distribuciónes genéricas
MTTF
dFO d d 0
Tiempo medio de operación (MTTF: Mean Time To Failure)
dFR MTTR d d 0
MTBF MTTF MTTR
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Tiempo medio de reparación (MTTR: Mean Time To Repair) Tiempo medio entre fallas (MTBF: Mean Time Between Failure)
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Índices
A
con Distribuciónes genéricas
MTTF
Índice de Disponibilidad (A: Availability)
MTBF
U 1 A
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MTTR MTBF
Índice de Indisponibilidad (U: Unavailability)
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Tiempos
exponencialmente distribuidos
FO t 1 exp( t ); MTTF FR t 1 exp( t ); MTTR
FOR
1
1
λ: tasa (o razón) de falla [tiempo -1]
μ: tasa (o razón) de reparación [tiempo -1]
especialmente en estudios de fallas de unidades generadoras tasa de salida de servicio forzada (FOR: Forced Outage Rated)
1
FOR
MTTR MTTR MTTF U 1 1 MTTR MTTF MTBF MTTF MTTR
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Estructuras
serie, paralelo y serie-paralelo
Denotemos por x i el evento que el componente i está operando, y por x i el evento que el componente i está fallado. Similarmente, sea s el evento que el sistema está operando y s el evento que el sistema está fallado. Si el evento s (o el evento s ) puede deducirse del evento x i (o del evento x i ) por medio de operaciones entre eventos, la estructura se denomina serie-paralelo . Las estructuras monótonas que no son serie-paralelo, pueden analizarse utilizando técnicas de cortes y enlaces mínimos. Conexión serie
Conexión paralelo 1
1
2 2
Diagramas lógicos Curso de Capacitación
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Estructuras
serie, paralelo y serie-paralelo Los componentes están en serie (en sentido lógico) si la falla de cualesquiera de ellos origina la falla del sistema Así, para los componentes 1 y 2 en serie de la figura:
s x1 x 2
s x1 x 2
La primera involucra la intersección de los eventos x 1 y x2, indicando que ambos componentes deben operar simultáneamente para que el sistema esté en operación. La segunda expresión, involucra la unión de los eventos, indicando que debe fallar el primer componente o que debe fallar el segundo componente o que deben fallar ambos simultáneamente para que el sistema falle. Los componentes están en paralelo (en sentido lógico) si todos ellos debe fallar simultáneamente para que el sistema falle, o equivalentemente, el sistema está operando si al menos uno de los componentes está operando. Así, para los componentes 1 y 2 en paralelo de la figura:
s x1 x 2 Curso de Capacitación
s x1 x 2
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Enlaces
y cortes
Un enlace V es un conjunto de componentes cuyas condiciones de operación garantiza la operación del sistema. El correspondiente conjunto de bloques en el diagrama lógico provee una conexión entre la entrada y la salida del diagrama.
Un corte K es un conjunto de componentes cuyas condiciones de falla conducen a la falla del sistema. La eliminación del correspondiente conjunto de bloques en el diagrama lógico interrumpe la continuidad entre la entrada y la salida del diagrama.
Un en lac e m ín im o T es un enlace tal que el conjunto restante después de eliminar cualquiera de sus componentes no es un enlace.
Un c o rt e m ín im o C es un corte tal que el conjunto restante después de eliminar cualquiera de sus componentes no es un corte.
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Ejemplo : Consideremos el sistema “puente” de la Figura siguiente 1
4
3
3
2
Enlaces Cortes
5
{1,4}; {2,5}; {1,3,5}; {2,3,4}; {1,2,4}; {1,3,4}; {1,5,4}; {1,2,5}; {2,3,5}; {2,4,5}; {1,2,3,5}; {1,2,4,5}; {1,2,3,4}; {1,3,4,5}; {2,3,4,5}; {1,2,3,4,5} {1,2}; {4,5}; {1,3,5}; {2,3,4}; {1,2,3}; {1,2,4}; {1,2,5}; {1,4,5}; {2,4,5}; {3,4,5}; {1,2,3,5}; {1,2,4,5}; {1,2,3,4}; {1,3,4,5}; {2,3,4,5}; {1,2,3,4,5}
Enlaces mínimos
{1,4}; {2,5}; {1,3,5}; {2,3,4}
Cortes mínimos
{1,2}; {4,5}; {1,3,5}; {2,3,4}
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Para ilustrar la diferencia entre conjuntos mínimos y aquellos que no lo son, por ejemplo el conjunto {1,3,4,5} es un corte, pero no es un corte mínimo, porque después de eliminar el componente 4, el conjunto restante, {1,3,5} aún es un corte. Este ultimo es un corte mínimo, puesto que el conjunto resultante de cualquier reducción posterior: {1,3}; {1,5}; {3,5} no es un corte ☺
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Enlaces
y cortes
Denotemos por v i el evento de que todos los componentes de Vi están en operación, y por k i el evento de que todos los componentes de Ki están fallados. De las definiciones anteriores, se sigue que:
N
s vi ;
s k i
i 1
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M
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i 1
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Puede p ro bars e qu e el event o d e qu e el sistem a estáen o peración p ued e exp resars e en té rm in os d e los enlac es m ín im os so lam ent e y qu e el evento de q ue el sis tem a estáen f alla puede expr esarse en té rm in o s d e lo s co rt es m ín im o s so lam en te. Proposición : Sea el evento
t i que todos los componentes de T i
están en operación, y c i el evento que todos los componentes de C i están en falla. Entonces n
s ti; i 1 Curso de Capacitación
m
s ci i 1
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Ejemplo : Consideremos nuevamente el ejemplo anterior. Usando la primera de las
ecuaciones y los enlaces mínimos de la tabla, obtenemos
s x 1 x 4 x 2 x 5 x 1 x 3 x 5 x 2 x 3 x 4 El diagrama lógico se muestra en la figura siguiente: 1
4
2
5
1
3
5
2
3
4
Diagrama de enlaces mínimos Curso de Capacitación
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Alternativamente, usando la segunda ecuación y los cortes mínimos de la tabla, obtenemos
s x 1 x 2 x 4 x 5 x 1 x 3 x 5 x 2 x 3 x 4 El diagrama lógico se muestra en la figura siguiente
1
2
1
2
3
3
5
4
4
5
Diagrama de cortes mínimos Curso de Capacitación
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Una medida de la confiabilidad del sistema serie-paralelo es la probabilidad P W de que el sistema este operando:
PW
Pr s
Alternativamente, la probabilidad PF de que el sistema falle, puede ser usada como una medida de confiabilidad del sistema; obviamente:
PF Curso de Capacitación
Pr s 1 Pr s Confiabilidad de Sistemas de
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Si la estructura serie tiene n componentes independientes, entonces:
n PW Pr x i i 1
n
Pr x i
i 1
Si, en lugar de PW, se elige la probabilidad PF de que el sistema falle como medida de confiabilidad del sistema, ésta puede expresarse en términos de las probabilidades de falla de los componentes p i donde: p Pr x i
i
Para un sistema de dos componentes independientes en serie, obtenemos: PF
Pr s Pr x1 x 2 Pr x 1 Pr x 2 Pr x 1 Pr x 2 p1 p 2 p1p 2
la cual puede ser fácilmente extendida a sistemas serie con mas de dos componentes. Para un sistema con n componentes, si todos los p i son pequeños y n no es grande (de hecho, si np i << 1, para todo i), la formula anterior se reduce a: PF
n
p
i
i 1
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Para obtener una medida de confiabilidad para un sistema de n componentes en paralelo, es mas simple expresar P F en términos de las probabilidades de falla de los componentes p i:
n PF Pr s Pr x i i 1 y si los componentes son independientes:
PF
Pr s
n
p
i
i 1
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad El concepto de enlaces y cortes mínimos mostró como cualquier estructura monótona compleja puede convertirse en estructuras serie-paralelo equivalentes, ya sea usando enlaces mínimos, o bien cortes mínimos. Usando estas formulaciones, la confiabilidad de una estructura puede describirse por los índices siguientes:
n PW Pr s Pr t i ; i 1 donde
m PF Pr s Pr c i i 1
ti
es el evento que todos los componentes del i-esimo enlace mínimo están en operación, y
ci
es el evento que todos los componentes del i-esimo corte mínimo están en falla.
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Ejemplo : Consideremos nuevamente el sistema puente. Sea P F el índice a
determinar. Los cortes mínimos han sido listados en la tabla y la expresión lógica que describe a la estructura ha sido calculada, luego:
PF
Pr x1 x 2 x 4 x 5 x1 x 3 x 5 x 2 x 3 x 4
Ahora, desarrollamos esta expresión: PF
PF
Pr x 1 x 2 x 4 x 5 Pr x 1 x 3 x 5 x 2 x 3 x 4 Pr x 1 x 2 x 4 x 5 x 1 x 3 x 5 x 2 x 3 x 4
Pr x1 x 2 Pr x 4 x 5 Pr x1 x 2 x 4 x 5 Pr x1 x 3 x 5 Pr x 2 x 3 x 4 Pr x 1 x 3 x 5 x 2 x 3 x 4 Pr x1 x 2 x 4 x 5 x1 x 3 x 5 x1 x 2 x 4 x 5 x 2 x 3 x 4 Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
57
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad PF
Pr x 1 x 2 Pr x 4 x 5 Pr x 1 x 3 x 5 Pr x 2 x 3 x 4 Pr x 1 x 2 x 4 x 5 Pr x 1 x 3 x 5 x 2 x 3 x 4 Pr x 1 x 2 x 4 x 5 x 1 x 3 x 5 Pr x 1 x 2 x 4 x 5 x 2 x 3 x 4 Pr x 1 x 2 x 4 x 5 x 1 x 3 x 5 x 1 x 2 x 4 x 5 x 2 x 3 x 4
PF
Pr x 1 x 2 Pr x 4 x 5 Pr x1 x 3 x 5 Pr x 2 x 3 x 4 2 Pr x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Pr x 1 x 2 x 4 x 5 Pr x 1 x 2 x 3 x 5 Pr x 1 x 3 x 4 x 5 Pr x 1 x 2 x 3 x 4 Pr x 2 x 3 x 4 x 5
Si, por ejemplo, todos los componentes son idénticos e independientes, con probabilidad de falla p, entonces: PF Curso de Capacitación
2 p 2 2 p 3 2 p 5 5p 4
Confiabilidad de Sistemas de
58
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad En muchos casos pueden lograrse buenas aproximaciones para P W y PF, lo que evita mucho del trabajo involucrado en las evaluaciones de:
n PW Pr s Pr t i ; i 1
m PF Pr s Pr c i i 1
La aproximación más simple está basada en la desigualdad:
Pr A B Pr A Pr B Aplicándola, obtenemos:
PW
n
Pr t i
i 1
Puede probarse que es una buena aproximación si la confiabilidad de todos los componentes es alta Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
59
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad PF
m
Pr c i
i 1
Puede probarse que es una buena aproximación si la confiabilidad de todos los componentes es baja. El uso eficiente de las técnicas de enlaces y cortes mínimos requiere de una rápida identificación de los respectivos conjuntos, para lo cual se utilizan algoritmos muy eficientes: Jensen,
P.; Bellmore, M. “An algorithm to determine the reliability of a complex system” IEEE Transactions on Reliability , Vol. 18, November 1969. pp. 169 –174. Allan,
R.; Billinton, R. and DeOlivera, M. “An efficient algorithm for deducing the minimal cuts and reliability indices of a general networks configuration” IEEE Transactions on Reliability , Vol. 25, October 1976. pp. 226 –233. Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
60
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Método
de espacio de estado
En la evaluación de la confiabilidad de un sistema por el método de espacio de estado, el sistema es descrito por sus estados y por las posibles transiciones entre ellos. Un estado del sistema representa una condición particular donde cada componente esta en un estado operativo del sistema: operación, falla, mantenimiento, o en alguna otra condición de relevancia. Si el estado de cualquiera de los componentes cambia (u ocurre un cambio en un factor relevante del medio ambiente), el sistema pasa a otro estado. Todos los posibles estados del sistema conforman el espacio de estado. Para ilustrar el espacio de estado y todas las posibles transiciones entre estado, se recurre a un diagrama de espacio de estado.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
61
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Por ejemplo, la figura siguiente ilustra el espacio de estado de un sistema con dos componentes A y B, independientes.
A falla B operación
A operación
A falla
B operación
B falla
A operación B falla
Espacio de estado Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
62
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad La principal ventaja del enfoque de espacio de estado es que en la mayor parte de los casos puede aplicarse un modelo de cadena de Markov para describir el proceso del sistema “viajando” a través de sus estados. La condición para ello es que las probabilidades de transición de un estado a otro cualquiera no dependan de los estados que previamente haya ocupado el sistema en el proceso. Este proceso se describe diciendo que el estado futuro del sistema es independiente del estado pasado, conocido el estado presente. También se dice que el proceso “carece de memoria” . Suponiendo que esta condición se cumple, la transición entre estados se describe en función de sus intensidades de transición entre estados :
Pr Xt t j X( t ) i q ij t lim ; i j t 0 t q i t lim
t 0
Curso de Capacitación
1 Pr Xt t i X( t ) i
t Confiabilidad de Sistemas de
63
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad donde X(t) es la variable aleatoria que representa el estado del sistema en el instante t, y similarmente para X(t+t). En muchas aplicaciones, las intensidades de transición entre estados no dependen del tiempo. En ese caso, se denotan por λij y se denominan tasa de trans ición . Además, para t→0:
Pr Xt t j X( t ) i ij t La tasa de transición λij puede interpretarse como el número esperado de transiciones del estado i al estado j, por unidad de tiempo pasado en el estado i. La principal aplicación del enfoque de espacio de estado es la evaluación de la confiabilidad de sistemas reparables, esto es, de sistemas donde todos los componentes son reparables, o, al menos, reemplazables. La confiabilidad de sistemas reparables es usualmente descripta en términos de distintos índices, siendo algunos de los más típicos, probabilidades, frecuencias y duraciones medias. Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
64
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Probabilidades
de transición entre dos estados
Pr Xt t O X( t ) R p RO (t ) t Pr Xt t R X( t ) O p OR ( t ) t Pr Xt t O X( t ) O p OO (t ) 1 t Pr Xt t R X( t ) R p RR (t ) 1 t
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
65
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Transiciones
entre dos estados
λ t
R 1-λ t
1-μ t
O μ t
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66
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad En muchas aplicaciones, se utiliza el modelo de tasa de transición constante. El cálculo de las probabilidades de estado para una cadena de Markov homogénea con un número finito de estados, conocidas las probabilidades en el instante inicial, se reduce a resolver el problema de Cauchy:
d
pt pt A
dt pt 0 p 0
Curso de Capacitación
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67
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Si solo interesan las probabilidades de estado en el largo plazo p*, estas pueden calcularse resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas lineales
lim
d
t
pt 0 p A *
dt n
p *i
1
i 1
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
68
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad La frecuencia de encuentro c on el estado i, f i , se define como el numero esperado de estadías en (o, arribos a, o, partid as d esde) el estad o i po r un idad d e t i em p o , c a lc u l a d a s s o b r e u n l ar g o p e r io d o .
La duración media de la estadía en el estado i, también debe ser calculada sobre un largo periodo. Con el objeto de relacionar frecuencia, probabilidad y duración media de un determinado estado del sistema, la historia del mismo se considerara compuesta por dos periodos alternantes, las estadías en el estado i y las estadías fuera del estado i.
Estado i
Todos los otros estados
Espacio de estado Curso de Capacitación
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69
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Denotemos la duración media en el estado i por Ti y la duración media de la estadía fuera del estado i por T’i. El tiempo medio del ciclo es entonces Tci = Ti + T’i. De la definición de frecuencia de encuentro con el estado i se sigue que, en el largo plazo, f i es la inversa del tiempo medio del ciclo; es decir:
f i Ahora, de:
1 Tci
MO 2 p O t MTBF A; 1 2 p R t 1 M R A; 1 2 MTBF
si
t
si
t
y la definición de disponibilidad A, obtenemos: Esta es una ecuación fundamental que suministra la relación entre los tres parámetros de estado.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
Ti f i
Ti Tci
p i f i
p i Ti 70
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Ahora, vincularemos la frecuencia f i, la duración media Ti y las tasas de transición entre estados. Para ello, introduciremos el concepto de frecuencia de transferencia del estado i al estado j, que denotaremos por f ij. Esta frecuencia se define como el número esperado de transferencias directas del estado i al estado j, por unidad de tiempo:
f ij
lim
Pr Xt t j X( t ) i
t Pr Xt t jX( t ) i Pr X( t ) i lim t 0 t f ij ij p i t 0
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
71
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Ahora, de las definiciones de f i, y de f ij se deduce que:
f i
f
ij
f i
pi
ij
j i
j i
Ti
1
ij
j i
Con estas ecuaciones pueden calcularse todos los índices de estado a partir de las tasas de transición que definen un sistema dado.
Curso de Capacitación
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72
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Ejemplo : Sistema con dos componentes A y B independientes
El diagrama de estado con las correspondientes tasas de transición se muestra en la figura siguiente. De acuerdo a las convenciones establecidas, la tasa de falla (inversa del tiempo medio para fallar) se denota por λ y la tasa de reparación (inversa del tiempo medio de reparación) por μ, con los subíndices referidos al componente correspondiente. λ a
Estado 1: A falla B operación
b
λ b
a Estado 0: A operación B operación
Estado 3: A falla B falla
b
λ b
Estado 2: A operación B falla
λ a a
Espacio de estado Curso de Capacitación
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73
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Calculamos a continuación las probabilidades de estado de largo plazo. La matriz de intensidad de transición para este caso es de la forma:
de \ a 0 A 1 2 3
0
1
2
3 0
a b a b 0 a a b b b b a a 0 b a a b 0
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
74
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad El sistema de ecuaciones algebraicas lineales es de la forma:
a b p 0 a p1 b p 2 0 p p p 0 a 0 b a 1 b 3 b p 0 a b p 2 a p 3 0 b p1 a p 2 a b p 3 0 conjuntamente con: 3
p
i
1
i 0
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75
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad produce las soluciones:
a b p 0 ; a a b b b a p 2 ; a a b b
a b p1 a a b b a b p 3 a a b b
Ahora, las duraciones medias de las estadías en cada estado se calculan por:
T0
1
a b
Curso de Capacitación
; T1
1
b a
; T2
1
a b
Confiabilidad de Sistemas de
; T3
1
b a 76
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad
Y las frecuencias de encuentro con cada estado se calculan por :
f 0 f 2
a b a b ; a a b b b a a b ; a a b b
a b b a f 1 a a b b a b a b f 3 a a b b
☺ Curso de Capacitación
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77
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Análisis
de los efectos de falla
Como hemos enunciado previamente, los estudios de confiabilidad de sistemas tienen por objetivo calcular índices de falla del sistema a partir de los datos de confiabilidad de componentes. Para sistemas reparables, los índices más importantes son la probabilidad, frecuencia y duración media de fallas del sistema. Los métodos discutidos en las secciones previas ayudan a realizar el primer paso de las evaluaciones: ellos proveen la probabilidad, frecuencia y medidas de duraciones para cada estado que el sistema puede asumir. Sin embargo, falta aún un vínculo esencial en el proceso: con el objeto de determinar índices de falla del sistema, primero los estados del sistema deben clasificarse, por algún criterio adecuado, en las categorías de exitosos y fallados. La pru eba de los estados del sistema con tra estos criterios p ara determinar aqu ellos estad os qu e representan fallas d e sistem a, se deno m ina análisis de los efectos de falla, y es la parte mas im po rtante (y u sualm ente la mas larga) de la evaluación d e con fiabilidad del sis tema.
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78
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Análisis
de los efectos de falla
El análisis de los efectos de falla se basa en algún criterio predeterminado por el cual un sistema puede ser declarado exitoso o fallado. Este criterio define los eventos o condiciones que no pueden ser tolerados en un sistema exitoso. (Por ejemplo, una perdida de continuidad entre suministro y carga en un SEP puede ciertamente ser incluido como un criterio de falla del sistema) El criterio también podría incluir especificaciones de tolerancia para índices de comportamiento del sistema; si estas tolerancias se violan, el sistema se considera fallado. Puesto que estos criterios son seleccio nados con antelación, no form an parte del análisis, deben ser co nsid erado s u na entrada en u n estudio de co nfiabilidad de sistemas.
Curso de Capacitación
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79
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Análisis
de los efectos de falla
En la mayoría de los estudios se asume que todos los estados del sistema pueden clasificarse únicamente en dos categorías: exitosos o fallados. En el caso general, esto no es necesariamente cierto, y algunos estados pueden representar solo fallas parciales. Podría ser necesario determinar índices separados para los estados total y parcialmente fallados. En otros casos, la clasificación de los estados puede solo ser realizada si los estados del sistema son diferenciados no solo según las fallas de componentes sino también según las condiciones medio ambientales predominantes, tales como aquellas determinadas por el clima o la carga del sistema.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
80
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Análisis
de los efectos de falla
Los efectos de las fallas de componentes sobre el sistema dependen en gran medida de la configuración del sistema. Aparte de evaluar la influencia del medio ambiente, el análisis de los efectos de fallas consiste principalmente de un análisis del sistema y hace uso de las herramientas analíticas empleadas en las distintas aplicaciones (por ejemplo, flujo de potencia en un SEP). En co ns ecuen cia, no existe u na receta pred etermin ada para el an álisis de los efectos de fallas y en cada estud io d ebe selecc ionarse el e n f o q u e m a s ad e c u a d o .
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
81
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad E j e m p l o : Componentes independientes en serie λ a Estado 1:
A falla B operación
b
λ b
a Estado 0: A operación B operación
Estado 3: A falla B falla
b
λ b
Estado 2: A operación B falla
λ a a
El criterio de falla del sistema a ser usado en el análisis de los efectos de fallas es provisto por el hecho de que en un sistema serie (en sentido lógico) la falla de cualquiera de sus componentes produce la falla del sistema. Sobre la base de este criterio, la clasificación de los estados puede realizarse “por inspección”, obteniéndose: Estados exitosos: 0 Estados fallados: 1,2,3 Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
82
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad La división entre estados exitosos y fallados en el espacio de estado se indica en la figura siguiente λ a
Éxito
Estado 1: A falla B operación
b
λ b
a Estado 0: A operación B operación
Estado 3: A falla B falla
Falla
b
λ b
Estado 2: A operación B falla
λ a a
Partición del espacio de estado
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
83
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Introduciendo las notaciones PE para la probabilidad de éxito del sistema, y P F para la probabilidad de falla del sistema, estos índices están dados por:
PE
p 0 ; PF p1 p 2 p 3
Sustituyendo p0 por el valor calculado en el Ejemplo 1, y recordando que la disponibilidad de un componente i es:
i Ai i i
Obtenemos:
a b PE AaAb a a b b
La probabilidad de falla del sistema es
PF Curso de Capacitación
1 A a A b
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84
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad La frecuencia de falla del sistema, f F, es la misma que la frecuencia de éxito del sistema, la cual, a su vez, es igual a la frecuencia del estado 0, f 0. Por lo tanto, usando:
f i
pi ij j i
Obtenemos:
f F
f 0 p 0 a b
Ahora, la duración media del sistema en falla TF es:
TF
Curso de Capacitación
PF f F
1 A a A b p 0 a
b
Confiabilidad de Sistemas de
85
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Si n componentes están en serie, los resultados anteriores pueden generalizarse:
PF
1
n
A
i
i 1
n n f F A i i i 1 i 1
TF
PF f F
1
1
n
A i 1
n
n
A i
i 1
Curso de Capacitación
i
i
i 1
Confiabilidad de Sistemas de
86
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Si la disponibilidad de todos los componentes es suficientemente elevada como para que se cumpla que:
i 1
i 1 i
n
1
p 0
Entonces:
n
y de aquí resulta:
f F
i
i 1
De estas aproximaciones obtenemos: n
n 1 TF n i i 1
1
A
i
1
i 1
donde:
n i 1 1 1 n i i i1
i 1
TRi
1
i
Curso de Capacitación
1 i
1 n
i 1
i 1 i 1 i n
T i
Ri
i 1
n
i
i 1
es el tiempo medio de reparación del i-esimo componente.
Confiabilidad de Sistemas de
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Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad La ecuación: n
T i
TF
Ri
i 1
n
i
i 1
es a menudo utilizada como una aproximación para la duración media en falla de sistemas de alta confiabilidad ☺
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
88
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad E j e m p l o : Componentes independientes en paralelo λ a Estado 1:
A falla B operación
b
λ b
a Estado 0: A operación B operación
Estado 3: A falla B falla
b
λ b
Estado 2: A operación B falla
λ a a
El criterio de falla del sistema a ser usado en el análisis de los efectos de fallas es provisto por el hecho de que en un sistema paralelo (en sentido lógico) el sistema falla si y solo si ambos componentes fallan. Sobre la base de este criterio, la clasificación de los estados resulta: Estados exitosos: 0,1,2 Estados fallados: 3 Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
89
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad La división entre estados exitosos y fallados en el espacio de estado se indica en la figura siguiente λ a
Estado 1: A falla B operación
b
Falla
λ b
a Estado 0: A operación B operación
b
Estado 3: A falla B falla
Éxi to
Estado 2: A operación λ b B falla
λ a a
Partición del espacio de estado
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
90
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad A partir de esta información y de las probabilidades de estado calculadas en el ejemplo anterior, se calculan los siguientes índices de falla:
PF p 3
A a A b ; f F f 3 p 3 a b ; TF
PF f F
1
a b
Si n componentes independientes están en paralelo, son validas las siguientes expresiones generales: n
PF
A
i
i 1
n n f F A i i i 1 i 1
TF
PF f F
1 n
i
i 1
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
91
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Es fácil probar que si los componentes tienen elevada confiabilidad, la ecuación para f F se aproxima por: n
n
f F
n
i
i 1
i 1
T
Ri
i 1
TRi
Para dos componentes, se reduce a:
f F
Curso de Capacitación
a b TRa TRb
Confiabilidad de Sistemas de
☺
92
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Combinación
de estados
En muchas aplicaciones, el modelo de espacio de estado para el calculo de las probabilidades de estado de largo plazo, puede simplificarse si ciertos estados se combinan para formar un único estado. Si se utiliza esta técnica, la información relativa a las transiciones entre los estados combinados desaparecerá de la solución; y, por lo tanto, estas combinaciones se justifican solamente si dicha información no es importante en las aplicaciones. A través de la combinación de grupos de estados, se genera un nuevo proceso con nuevos estados (los estados combinados) y nuevas transiciones (desde y hacia los estados combinados). En la mayoría de los casos, el nuevo proceso no es Markov, puesto que las duraciones de las estadías en los estados combinados no están, en general, exponencialmente distribuidas.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
93
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Para obtener las soluciones de corto y largo plazo vía el enfoque descrito en las secciones anteriores, debe garantizarse que el nuevo proceso es Markoviano con tasas de transición constantes. Con este objetivo, ciertas condiciones de concentrabilidad (o de fusionabilidad) deben cumplirse. La condición para el caso general puede resumirse como sigue (*): u n g r u p o d e estados pu ede conc entrarse (o fus ionarse) si la tasa de transic ión a cualqu ier o t r o e s t a d o o g r u p o d e e s t ad o s c o n c e n t r ad o s , es l a m i s m a p a r a c ad a e s t ad o d e n t r o d e l g r u p o .
(*)
Singh, C. and Billinton, R. “Frequency and duration concepts in system reliability evaluation” IEEE Transactions on Reliability , Vol. 24, No 1, April 1975. pp. 31 –36.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
94
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad A continuación, calcularemos las probabilidades y frecuencias de estados combinados. Consideremos el diagrama de la figura siguiente, en el cual un cierto número de estados j se combinan en un único estado J.
λ ij j
λ ji i
J
λ iJ
λ Ji
i
J
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
95
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad La probabilidad de ocurrencia del estado J se obtiene sumando todas las probabilidades p j, esto es:
p J
p
j
jJ
Las probabilidades pj pueden sumarse ya que los eventos de que ocurra una transición a cualquiera de los estados j son mutuamente excluyentes. La frecuencia de J, f J, es el total de las frecuencias con que se deja el estado j para ir al estado i fuera de J, y por lo tanto:
f J
p j ji p j ji jJ jJ iJ
f ji
iJ jJ
Curso de Capacitación
iJ
Confiabilidad de Sistemas de
96
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Para una solución directa del modelo de espacio de estado obtenido después de combinar los estados j, se requiere conocer las tasas de transición λiJ y λJi. Estas tasas son calculadas sobre la base de que la frecuencia de transferencia desde el estado i al estado combinado J debe ser la misma que desde el estado i a todos los estados j previa a su combinación, y similarmente, para la transición de J a i. Usando el concepto de frecuencia de transferencia del estado i al estado j, estos requerimientos pueden expresarse, respectivamente, como:
p i iJ
p i
; ij
p J Ji
jJ
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
p j
ji
jJ
97
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad En consecuencia:
iJ
jJ
p p j
ij ; Ji
ji
jJ
j
jJ
Si las condiciones de concentrabilidad se cumplen, esto es, las λ ji son las mismas
para todo j, la última ecuación se simplifica a:
Ji ji j J
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
98
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Como una generalización de lo anterior, pueden deducirse las tasas de transición entre dos estados combinados I y J, cada uno de los cuales esta conformado por varios estados de los originales no comunes.
i
j
λ JI λ IJ J I
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
99
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Como una generalización de lo anterior, pueden deducirse las tasas de transición entre dos estados combinados I y J, cada uno de los cuales esta conformado por varios estados de los originales no comunes.
p p i
i
IJ
j
iI
jJ
ij
j
;
JI
i
iI
λ JI
jJ
ji
iI
j
jJ
Si las condiciones de concentrabilidad se cumplen, estas ecuaciones se reducen a:
λ IJ J I
IJ
jJ
Curso de Capacitación
p p
Confiabilidad de Sistemas de
ij
i I; JI
ji
j J
iI
100
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Método
de enumeración de estados
Es ahora posible bosquejar un procedimiento general para hallar las soluciones de régimen permanente del modelo de espacio de estado de cualquier sis tema. Se suponen conocidos los estados del sistema bajo investigación, conjuntamente con todas las tasas de transición entre ellos. La tarea es determinar, a partir de estos datos de entrada, las probabilidades de estado de largo plazo, la frecuencia, y la duración media del sistema en falla. El procedimiento general consiste de los pasos siguientes: a)Definir los criterios de falla del sistema. b)Sobre la base de los anteriores criterios, realizar un análisis de los efectos de fallas para cada estado del sistema y clasificarlos en las categorías de operación o falla. Como resultado de ello, el espacio de estado Ω se partic iona en dos subconjuntos de estados: operación O y falla F, de manera que O F. Debido
a la enumeración de todos los estados que debe hacerse para el análisis de los efectos de fallas, el procedimiento general a menudo se denomina método de enumeración de estados. Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
101
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad c) Resolver el modelo de espacio de estado para las probabilidades de largo plazo pi, i F . Combinar todos los estados en el subconjunto O, y todos los estados en el subconjunto F. La probabilidad de falla del sistema P F es la probabilidad del estado combinado F.
PF
p
i
iF
d) La frecuencia de falla del sistema f F es la frecuencia del estado combinado F:
f F p i ij iF jO
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
102
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Si los efectos medio ambientales (clima, demanda, etc.) no se consideran, es razonable suponer que cada transición desde un estado de F a un estado de O involucra reparación. En consecuencia, la ecuación de la frecuencia de falla del sistema se reescribe:
f F p i ij iF jO
e) La duración media del sistema en falla, TF, es igual a la duración media de las estadías en el estado combinado F: TF
Curso de Capacitación
PF f F
p
i
iF
p i ij iF jO
Confiabilidad de Sistemas de
103
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Debe observarse que, además de la duración del sistema en falla, existen otras duraciones en el proceso operación – falla que pueden ser de interés. Por ejemplo: los
tiempos entre dos fallas consecutivas del sistema (tiempo del ciclo), el tiempo a la primera falla del sistema (a partir del momento en que el sistema entra a un estado de operación) el tiempo a la falla del sistema (a partir de un momento elegido aleatoriamente cuando el sistema esta en operación) Si bien el método de enumeración de estados es general, podría no ser práctico si el numero de estados a evaluar es grande; u n s i s t e m a c o n n c o m p o n e n t es n estados . ind ependientes genera 2
Para disminuir el esfuerzo computacional se emplean distintos enfoques, dos de los cuales son: Truncamiento
del espacio de estado Estados de corte mínimo Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
104
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Truncamiento
del espacio de estado
Por truncamiento del espacio de estado se entiende la omisión de los estados con probabilidades despreciables entre aquellos que deben ser evaluados en el método de enumeración de estados. En su forma más simple, el truncamiento es llevado a cabo a partir de la suposición de que las probabilidades de los estados que representan un alto número de fallas simultáneas son despreciables en comparación con las probabilidades de los estados que representan un bajo número de fal las simultáneas. Por ejemplo, podría ocurrir que una vez que las probabilidades de fallas simples y dobles han sido evaluadas, no sea necesario considerar las que corresponden a fallas simultáneas mayores.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
105
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad
En muchas aplicaciones esto es efectivamente así, y no es necesario avanzar en la investigación más allá de, digamos, los estados de falla doble. En consecuencia el número de estados a ser evaluados se reduce fuertemente, y es posible cuantificar una gran variedad de sistemas con la asistencia de herramientas computacionales específicas. Desafortunadamente, sin embargo, no es posible afirmar que la relación anterior entre las probabilidades de estado es siempre valida, y por lo tanto, debe actuarse con precaución, especialmente en grandes sistemas, al decidir que estados pueden ser eliminados.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
106
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Estados
de corte mínimo Otro método para disminuir el esfuerzo computacional es restringir los estados a evaluar a los denominados estados de corte mínimo. Definiremos estos estados con ayuda de la figura siguiente, que representa el espacio de estado Ω de un sistema. Falla Operación
i g h
Ω
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Confiabilidad de Sistemas de
107
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Cada estado en Ω excepto el estado normal representa la falla de uno o más componentes. El número máximo de transiciones de reparación fuera de un estado es igual al número de fallas en el estado. Desde un estado en el dominio Falla (el cual consiste de todos los estados de falla del sistema), algunos eventos de reparación pueden transferir el sistema a un estado en el dominio Operación y otros a un estado del dominio Falla. En general, un estado i en el dominio Falla será el origen de ambos tipos de transiciones de reparación. Desde algunos estados h, toda transición de reparación lo es hacia otros estados del dominio Falla y desde otros estados en el dominio Falla, denotados por g, cada transición de reparación lo es hacia estados del dominio Operación. Estos últimos son los denominados estados de corte mínimo. Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
108
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad El concepto de estados de corte mínimo esta estrechamente relacionado al concepto de cortes mínimos. Un corte, es un conjunto de componentes cuyas fallas combinadas representan una falla del sistema, y un corte mínimo, es un corte donde la reparación de uno cualquiera de los componentes involucrados restituye el sistema a la condición de operación. Igualmente, aquí, la reparación de uno cualquiera de los componentes fallados en un estado de corte mínimo, restaurará el sistema a la condición de operación.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
109
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Básicamente, los estados de corte mínimo pueden emplearse para dos propósitos: a) Bajo ciertas condiciones, es posible obtener aproximaciones simples para las probabilidades y las frecuencias de falla del sistema, basadas solo en los estados de corte mínimo en lugar de todos los estados de falla del sistema. b) Puede lograrse una reducción significativa en el análisis de los efecto s de falla reconociendo que, una vez que los estados de corte mínimo son conoc idos, cualquier otro estado donde los componentes fallados incluyen uno de los conjuntos fallados en un estado de corte mínimo, también debe ser un estado de falla del sistema.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
110
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Los cálculos utilizando aproximaciones en términos de los estados de corte mínimo son muy simples si todos los componentes del sistema son independientes.
p I
C I
Tr C
1 Tr f I C I Tr C I
I
Observemos que p I es la contribución a la probabilidad de falla total del sistema y f I es la contribución a la frecuencia de falla total del sistema; por lo tanto:
PF
p ; I
I
f F
f
I
I
La esencia de las aproximaciones en términos de los estados de corte mínimo se muestra en estas ecuaciones: en lugar de calcular P F y f F a partir de las probabilidades y frecuencias de todos los estados de falla del sistema, como requieren las ecuaciones exactas, se calculan a partir de los datos involucrados en los estados de corte mínimo solamente. Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
111
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad En la Tabla siguiente se resumen las formulas anteriores para fallas simples, dobles y triples. Puesto que en la evaluación de sistemas de elevada confiabilidad, donde se aplican las aproximaciones en términos de los estados de corte mínimo, el espacio de estado es usualmente truncado a partir de estos niveles, no es necesario extender la tabla más allá de los estados de falla triple.
pI Falla simple
Falla doble
Falla triple Curso de Capacitación
f I
1 Tr 1 1 2 Tr 1Tr 2 1 2 3 Tr 1Tr 2 Tr 3
1 1 2 Tr 1 Tr 2 1 2 3 Tr 1Tr 2 Tr 1Tr 3 Tr 2 Tr 3
Confiabilidad de Sistemas de
112
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Fallas
permanentes y fallas transitorias
Las técnicas y ecuaciones anteriores consideran a todas las fallas agrupadas conjuntamente a través de una tasa (o razón) de falla única. Esto puede justificarse por la simplificación que trae aparejada en el calculo, pero no contempla los diferentes efectos que distintos tipos de falla pueden producir en los SEP. Dos tipos diferentes de fallas que pueden ocurrir son aquellas que producen daño sobre el componente y consecuentemente deben ser reparado y aquellas fallas que no dañan el componente. λ A: Tasa de fallas activas
Causa la operación de los dispositivos de protección vinculados al componente fallado λP: Tasa de fallas pasivas No causa la operación de los dispositivos de protección vinculados al componente fallado Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
113
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad
Un ejemplo de este ultimo tipo de fallas es un cortocircuito producido por la caída de una rama de árbol que pone en contacto una fase y tierra transitoriamente, lo cual origina la actuación de un reconectador, evitando el daño del componente. El servicio es restaurado automáticamente en los recierres del reconectador. El tiempo de reposición del servicio es relativamente breve. El efecto sobre el consumidor de este tipo de falla s es por lo tanto significativamente diferente del correspondiente al caso en que los com po nentes deben ser reparados y resu lta con veniente diferenciarlos en la evaluación de c on fiabilidad.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
114
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Cuando un componente falla, la protección del sistema aislará cada componente dentro de la zona de protección del dispositivo fallado tan pronto como sea posible, manteniendo el mínimo número de componentes fuera de servicio, los que serán restaurados a la operación a través de las maniobras apropiadas. Así, mientras un componente se encuentra en un estado de falla, el sistema se mueve a través de dos estados, el anterior a las maniobras de conexión/desconexión y el posterior a las maniobras de conexión/desconexión.
Modelo de tres estados N: estado de operación
λ
N
S
R μR
μS
S: estado entre la falla y las maniobras de conexión y/o desconexión
R: estado de reparación Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
115
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Modos de falla Los interruptores de potencia (así como otros dispositivos empleados en maniobras de conexión/desconexión) difieren de la mayoría de los componentes en que pueden desarrollar distintos modos de falla que deben ser considerados en las evaluaciones de confiabilidad. Tres modos de falla de los interruptores de potencia son particularmente importantes: cortocircuito
monofásico (a tierra) falla al ser convocado a operar operaciones falsas A modo de complicación adicional, el modo de falla al ser convocado a operar es una falla de tipo “oculta” la cual se manifiesta solo si surge la necesidad de operar.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
116
Conceptos y Métodos de la Teoría de Confiabilidad Modelo de tres estados combinados λ a
μR
N
Tasa de fallas activas
R λ p
μS
S
Tasa de fallas pasivas Tiempo medio de maniobras de conexión/desconexión TS=1/μS Tiempo medio de reparación es T R=1/μR. Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
117
Análisis de Confiabilidad de Sistemas de Distribución Las redes de distribución son la parte del sistema de potencia que entrega la energía eléctrica desde las estaciones transformadoras a los consumidores.
Estas
redes operan a distintos niveles de tensión (comúnmente por debajo de 100 KV) y desde el punto de vista de los consumidores, la confiabilidad de estos sistemas es, al menos, tan importante como la confiabilidad del sistema generación-transmisión en alta tensión. La
mayor parte de las interrupciones del servicio experimentadas por un consumidor individual se originan en fallas del sistema de distribución. En
comparación con las redes de transmisión en alta tensión, los sistemas de distribución generalmente tienen un esquema de disposición más simple. Mayormente la disposición es radial, y los componentes involucrados en el suministro a un consumidor están conectados en serie Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
118
Sistemas de Distribución radiales con capacidad de maniobra perfecta Los
índices de confiabilidad en un punto de carga dado dependen de la trayectoria de suministro entre el punto y la barra principal . Los
componentes en esta trayectoria pueden considerarse en serie (en sentido lógico), aquellos que estén en paralelo se representan por su equivalente serie
BS
Curso de Capacitación
PC
Confiabilidad de Sistemas de
119
Índices de Confiabilidad Frecuencia
de falla en un punto de carga f F [fallas/año]
f F
n
i
i 1
donde: λi: tasa de falla del componente i [fallas/año]
n: numero de componentes en serie entre la barra principal de suministro y el punto de carga
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
120
Índices de Confiabilidad Duración
media de falla en un punto de carga T F [horas] n
T i
TF
Ri
i 1
n
i
i 1
donde: λi: tasa de falla del componente i [fallas/año]
TRi: tiempo medio de reparación del componente i [horas] n: numero de componentes en serie entre la barra principal de suministro y el punto de carga Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
121
Índices de Confiabilidad Duración
de falla anual en un punto de carga U F [horas/año]
n
UF
TF f F i TRi i 1
donde: λi: tasa de falla del componente i [fallas/año]
TRi: tiempo medio de reparación del componente i [horas] n: numero de componentes en serie entre la barra principal de suministro y el punto de carga
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
122
Índices de Confiabilidad Los anteriores índices de confiabilidad: frecuencia duración tiempo
de falla
de falla
de falla anual
NO SON DETERMINISTICOS, sino que son valores esperados de las Distribuciónes de probabilidad subyacentes y por lo tanto REPRESENTAN VALORES PROMEDIO EN EL LARGO PLAZO. Si bien desde el punto de vista del consumidor, la confiabilidad de los puntos de carga es de fundamental interés, también pueden calcularse índices de confiabilidad del sistema de distribución en su conjunto. La mayoría de estos índices son promedios ponderados de los índices de confiabilidad de los puntos de carga sobre el sistema completo.
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
123
Índices de Confiabilidad de frecuencia de fallas promedio del sistema SAIFI (System Average Interruption Frecuency Index) [fallas/año] Índice
C f SAIFI C mn
Fmn
mn
mn
mn
donde: f Fmn: frecuencia de falla del punto de carga de la rama mn [fallas/año] Cmn : número de consumidores abastecidos desde la rama mn
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
124
Índices de Confiabilidad de duración de falla promedio por consumidor CAIDI (Customer Average Interruption Duration Index) [horas] Índice
C f T CAIDI C f mn
Fmn
Fmn
mn
mn Fmn
mn
donde: f Fmn: frecuencia de falla del punto de carga de la rama mn [fallas/año] TFmn: duración media de falla del punto de carga de la rama mn [horas] Cmn : número de consumidores abastecidos desde la rama mn Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
125
Índices de Confiabilidad de duración de falla promedio del sistema SAIDI (System Average Interruption Duration Index) [horas/año] Índice
C f SAIDI C
mn Fmn TFmn
mn
mn
mn
donde: f Fmn: frecuencia de falla del punto de carga de la rama mn [fallas/año] TFmn: duración media de falla del punto de carga de la rama mn [horas] Cmn : número de consumidores abastecidos desde la rama mn Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
126
Índices de Confiabilidad de disponibilidad de servicio promedio ASAI (Average Service Availability Index) [pu] Índice
ASAI
C mn
mn
8760 C mn f Fmn TFmn
C
mn
mn
8760
mn
donde: f Fmn: frecuencia de falla del punto de carga de la rama mn [fallas/año] TFmn: duración media de falla del punto de carga de la rama mn [horas] Cmn : número de consumidores abastecidos desde la rama mn 8760 [horas/año] Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
127
Índices de Confiabilidad de indisponibilidad de servicio promedio ASUI (Average Service Unavailability Index) [pu] Índice
C ASUI 1 ASAI C
f
mn Fmn
TFmn
mn
mn
8760
mn
donde: f Fmn: frecuencia de falla del punto de carga de la rama mn [fallas/año] TFmn: duración media de falla del punto de carga de la rama mn [horas] Cmn : número de consumidores abastecidos desde la rama mn 8760 [horas/año] Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
128
Índices de Confiabilidad Uno de los parámetros importantes requeridos en la evaluación de índices de confiabilidad orientados a la energía y demanda es la demanda promedio Da en cada punto de carga:
Da
D Max FC arg a
E Total T
donde: DMax: Demanda Máxima FCarga: Factor de Carga ETotal: Energía total demandada en el periodo de estudio T: Periodo de estudio
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
129
Índices de Confiabilidad La energía total demandada en el periodo de estudio se obtiene de la curva de duración horaria de carga, y el periodo de estudio normalmente es un año.
D [MW]
Demanda horaria
ETotal
T [horas]
Curva de duración horaria de carga Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
130
Índices de Confiabilidad esperado de energía no suministrada EENS (Expected Energy Not Supplied index) en un punto de carga Valor
EENS D a f F TF
MWh
año
donde: f F: frecuencia de falla del punto de carga [fallas/año] TF: duración media de falla del punto de carga [horas] Da : demanda promedio en el punto de carga [MW] Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
131
Índices de Confiabilidad esperado de energía no suministrada EENS (Expected Energy Not Supplied index) en el sistema Valor
EENS
D amn f Fmn TFmn
MWh
mn
año
donde: f Fmn: frecuencia de falla del punto de carga de la rama mn [fallas/año] TFmn: duración media de falla del punto de carga de la rama mn [horas] Damn : demanda promedio en el punto de carga de la rama mn [MW] Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
132
Índices de Confiabilidad de la energía no suministrada promedio AENS (Average Energy Not Supplied index) por consumidor Índice
D f AENS C amn
Fmn
mn
mn
TFmn
M Wh año consumidor
mn
donde: f Fmn: frecuencia de falla del punto de carga de la rama mn [fallas/año] TFmn: duración media de falla del punto de carga de la rama mn [horas] Damn : demanda promedio en el punto de carga de la rama mn [MW] Cmn : número de consumidores abastecidos desde la rama mn Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
133
Ejemplo BS
11
PC2
PC1 21
43
22
42
31
PC4
34
33
44 41
51
32 PC5
PC3
45
PC6 52
PC7 53
Curso de Capacitación
46
Consideremos el sistema de distribución ilustrado en la figura. Este consiste en una línea de subtransmision que alimenta dos transformadores en una estación de distribución, y varios alimentadores trifásicos que abastecen alimentadores monofásicos laterales, los cuales, a su vez, alimentan los transformadores de distribución en siete puntos de carga: PC1 a PC7. La numeración en el diagrama de las ramas del sistema indica las zonas: la zona 1 contiene la línea de subtransmision, la zona 2 los transformadores en la zona de distribución, y así sucesivamente. Todas las ramas en el sistema contienen un único componente, excepto la 42, 43, 44, 45, 51, 52 y 53, cada una de las cuales consiste de un alimentador lateral y un transformador de distribución en serie.
Confiabilidad de Sistemas de
134
Ejemplo PC1
PC2
PC3
PC4
PC5
PC6
PC7
C42=12
C43=20
C51=7
C44=12
C45=8
C52=19
C53=16
Numero de línea
11
31
33
34
41
42
Longitud [Km.]
5
2,5
1
1,2
1,5
1,5
Numero de línea
43
44
45
46
51
52
Longitud [Km.]
1,2
1,4
0,8
1,8
0,8
2,3
Numero de línea
53
Longitud [Km.]
1,8
Punto de Carga Numero de consumidores
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
135
Ejemplo Componente
Subtransmision
Ramas
11
Razón de falla [fallas/año]
Tiempo medio de reparación [h]
0,06/Km.
0,5
0,001
4,0
Estación de Distribución
21, 22
Alimentador principal
31, 32, 33, 34, 41, 46
0,2/Km.
1,5
Alimentador lateral
42, 43, 44, 45 51, 52, 53
0,15/Km.
2,5
Transformadores
42, 43, 44, 45 51, 52, 53
0,05
3,0
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
136
Ejemplo Punto de Carga
Localización mn
Ramas
FFmn [fallas/año]
TFmn [h]
1
42
11,21,31,42
1,076
1,502
2
43
11,21,31,43
1,031
1,459
3
51
11,21,31,41,51
1,271
1,419
4
44
11,21,32,44
0,961
1,487
5
45
11,21,32,45
0,871
1,382
6
52
11,22,39,46,52
1,056
1,616
7
53
11,22,39,46,53
0,981
1,548
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
137
Ejemplo Por ejemplo, para el punto de carga 1 calculamos: f F 42
0,06 5 0,001 0,2 2,5 0,15 1,5 0,05 1,076 fallas año
TF 42
0,06 5 0,5 0,001 4 0,2 2,5 1,5 0,15 1,5 2,5 0,05 3 0,06 5 0,001 0,2 2,5 0,15 1,5 0,05
1,502 h
La rama 39 es el paralelo de la rama 33 y 34, en consecuencia:
f F39
0,2 1 0,2 1,2
TF39
1,5 1,5 1,5 1,5
Curso de Capacitación
1,5 1,5
0,000016 fallas año 8760
0,75 h Confiabilidad de Sistemas de
138
Ejemplo Ahora calculamos los índices de confiabilidad del sistema de distribución: SAIFI
12 1,076 20 1,031 7 1,271 12 0,961 8 0,871 19 1,056 16 0,981 12 20 7 12 8 19 16
SAIFI 1,029
CAIDI
fallas año
12 1,076 1,502 20 1,031 1,459 7 1,271 1,419 12 0,961 1,487 12 1,076 20 1,031 7 1,271 12 0,961 8 0,871 19 1,056 16 0,981 8 0,871 1,382 19 1,056 1,616 16 0,981 1,548
12 1,076 20 1,031 7 1,271 12 0,961 8 0,871 19 1,056 16 0,981 CAIDI 1,506 [h ]
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
139
Ejemplo SAIDI
12 1,502 20 1,459 7 1,419 12 1,487 8 1,382 19 1,616 16 1,548 12 20 7 12 8 19 16
SAIDI 1,505 [ h ]
12 1,076 1,502 20 1,031 1,459 7 1,271 1,419 12 20 7 12 8 19 16 8760 ASAI 1 12 0 , 961 1 , 487 8 0 , 871 1 , 382 19 1 , 056 1 , 616 16 0 , 981 1 , 548 12 20 7 12 8 19 16 8760 ASAI 0,9998231
ASAI 99,98%
ASUI 1 ASAI 1,7682 104 Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
140
Ejemplo Supongamos que la demanda promedio D a [MWh/año] en cada punto de carga es la dada por la Tabla siguiente: Punto de Carga
PC1
PC2
PC3
PC4
PC5
PC6
PC7
Da [MWh/año]
61,5
120
45
75
50
13,7
98
Calculamos el valor esperado de energía no suministrada EENS en cada punto de carga: Punto de Carga
PC1
PC2
PC3
PC4
PC5
PC6
PC7
EENS [MWh/año]
0,01135
0,02060
0,00926
0,01223
0,00687
0,00267
0,01698
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
141
Ejemplo El valor esperado de energía no suministrada en el sistema resulta:
EENS=0,07996 [MWh/año] ~ 80 [KWh/año] el índice promedio de la energía no suministrada por consumidor:
AENS=8,5 10-4 [MWh/año] por consumidor o sea
AENS=0,85 [KWh/año] por consumidor ☺
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
142
Sistemas de Distribución en anillo con capacidad de maniobra perfecta 1 BS
2
20
3 4
19 18
5
PC8
PC1 6
17 16
7
PC7
PC2 8
15 14
9
PC6
PC3 10
13 PC5
12
11 NO
Curso de Capacitación
PC4
Un apartamiento del concepto de red radial es exhibido por el sistema de distribución de la Figura siguiente. Mientras que en condiciones normales la llave NO (normalmente abierta) opera abierta y, por lo tanto, el sistema opera como una red radial, en condiciones de falla de una sección de alimentador, dicha sección es aislada por las llaves de ambos extremos y la llave NO opera cerrada; así, el suministro de energía eléctrica es provisto como en un sistema mallado a los usuarios alejados de la falla, los que eventualmente, en un sistema radial podrían ser dejados sin servicio.
Confiabilidad de Sistemas de
143
Ejemplo Consideremos tres alternativas del sistema de distribución: a) El sistema de distribución de la figura anterior b) El sistema de distribución sin la llave NO y con el resto de las llaves permanentemente cerradas. c) El sistema de distribución sin la llave NO solamente. La comparación de estas tres configuraciones nos permitirá apreciar los efectos del esquema mallado y de las llaves que dividen los alimentadores en secciones. El número de consumidores por punto de carga se presenta en la Tabla siguiente PC1
PC2
PC3
PC4
PC5
PC6
PC7
PC8
C1=8
C2=21
C3=12
C4=28
C5=18
C6=10
C7=14
C8=11
Punto de Carga Numero de consumidores
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
144
Ejemplo En la Tabla siguiente se muestra la longitud, en Km., de cada alimentador. 1
3
4
5
6
7
Longitud [Km.]
5
0,5
0,8
1,5
1,8
0,8
Numero de línea
8
9
10
11
12
13
Longitud [Km.]
1,2
0,5
2,6
2
1,8
1,6
Numero de línea
14
15
16
17
18
19
Longitud [Km.]
1,2
1,5
0,8
2,1
1,3
1,8
Numero de línea
20
Longitud [Km.]
0,7
Numero de línea
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
145
Ejemplo Los datos de falla y reparación de los distintos componentes se listan en la Tabla siguiente: Tiempo medio de reparación [h]
Componente
Razón de falla [fallas/año]
Subtransmision
0,06/Km
0,5
Estación de Distribución
0,001
4,0
Alimentador principal
0,2/Km
1,5
Alimentador lateral
0,15/Km
2,5
Transformadores
0,05
3,0
El tiempo medio de maniobra de las llaves de los alimentadores y la llave NO es TS=0,5 h. Se supone que los interruptores son perfectos. Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
146
Ejemplo Caso a: El cálculo de las frecuencias de falla de los puntos de carga del sistema de distribución de la figura es exactamente el mismo que para un sistema radial (la llave NO esta abierta durante la operación normal). Estas frecuencias están dadas por la ecuación:
f F
n
i
i 1
Por ejemplo, la frecuencia de falla del punto de carga PC7 resulta:
f F7
1 2 20 18 16 14 12 17
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
147
Ejemplo La duración media en falla de los distintos puntos de carga esta dada por la ecuación (con una modificación) n
T i
TF
Ri
i 1
n
i
i 1
Esta es que, para aquellos componentes cuyas fallas contribuyen a la frecuencia de falla del punto de carga en cuestión pero que pueden ser aislados del punto de carga por la apertura de llaves, el tiempo medio de reparación T Ri debe ser reemplazado por el tiempo medio de maniobra TSi. En el caso del punto de carga PC7 obtenemos:
TF7
1 f F7
1T1 2 T2 16 T16 17 T17 12 14 20 18 TS
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
148
Ejemplo Caso b: El sistema de distribución es radial por lo que puede aplicarse el enfoque de zonas y ramas. Se definen cuatro zonas: Zona
1
2
3
4
Componentes
1
2
3,5,7,9,11,12,14,16,18,20
4,6,8,10,13,15,17,19
Los índices de confiabilidad de todos los puntos de carga correspondientes a los distintos casos se presentan en la Tabla próxima. Obsérvese que las frecuencias de falla son las mismas que en el caso a), sin embargo, la falta de posibilidades de maniobra incrementa las duraciones medias en falla con relación al caso a).
Curso de Capacitación
Confiabilidad de Sistemas de
149
Ejemplo Caso c: El sistema de distribución es un sistema radial el cual mantiene algunas posibilidades de maniobra. Se definen ocho zonas: Zona
1
2
3
4
5
6
7
8
Componentes Zona Componentes
El cálculo de las frecuencias de falla de los puntos de carga del sistema de distribución es exactamente el mismo que para un sistema radial (la llave NO esta abierta durante la operación normal). La duración media de las interrupciones en los distintos puntos de carga deben ser calculadas considerando cuidadosamente cuales fallas pueden ser aisladas y cuales no del punto de carga en cuestión. Curso de Capacitación
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Ejemplo Por ejemplo, considerando el punto de carga PC7, la duración media T F7 se obtiene como:
TF7
1 f F7
1T1 2 T2 16 T16 17 T17 18 T18 20 T20 12 14 TS
puesto que cuando fallan los sectores de los alimentadores 14 o 12, los sectores fallados pueden aislarse del PC7 maniobrando las llaves adecuadas, lo cual no ocurre si fallan los sectores sec tores de los alimentadores 16,17,18 o 20.
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Ejemplo Caso a)
Caso b)
Caso c)
Punto de Carga
f Fi [fallas/año]
TFi [h]
f Fi [fallas/año]
TFi [h]
f Fi [fallas/año]
TFi [h]
PC1
1,513
0,937
1,513
1,433
1,513
1,002
PC2
1,681
0,993
1,681
1,528
1,681
1,231
PC3
1,591
0,870
1,591
1,473
1,591
1,222
PC4
1,801
1,227
1,801
1,593
1,801
1,593
PC5
1,751
1,053
1,751
1,510
1,751
1,510
PC6
1,736
0,971
1,736
1,501
1,736
1,294
PC7
1,826
1,003
1,826
1,551
1,826
1,222
PC8
1,781
1,021
1,781
1,527
1,781
1,100
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Ejemplos de aplicación utilizando ETAP®12
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Análisis de Confiabilidad
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Cálculos de Confiabilidad
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Evaluación del valor de la Confiabilidad La función básica de un sistema de potencia es satisfacer la demanda de energía eléctrica tan económicamente como sea posible, con una razonable garantía de continuidad y calidad. Estos dos aspectos están normalmente en conflicto, esto es, son objetivos contrapuestos . Un elemento integral en el problema de asignar capital y recursos operativos es la evaluación del costo y del valor de confiabilidad. La metodología para evaluar los costos asociados al suministro de energía eléctrica esta razonablemente bien establecida y aceptada. En contraste, establecer el valor de un servicio confiable es una tarea difícil y subjetiva, puesto que una evaluación directa no resulta factible para la tecnología actual. Una alternativa práctica, la cual esta siendo ampliamente utilizada, es evaluar el impacto y las pérdidas monetarias incurridas por los consumidores debido a interrupciones en el suministro de energía eléctrica.
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Evaluación del valor de la Confiabilidad
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Evaluación del valor de la Confiabilidad Funciones
de Daño al Consumidor
Una forma conveniente de representar los costos de interrupción del servicio al consumidor es en la forma de fu nc io nes d e Dañ (CDF, o al Co ns um id or (CDF, Customer Damage Functions). La CDF puede determinarse para un tipo dado de consumidor o en forma agregada para obtener CDF por sector ( SCDF SCDF,, Sector Customer Damage Functions)) para distintas clases de consumidores en el sistema. Functions A su vez, vez, las SCDF pueden considerarse en forma agregada en cualquier punto de carga particular del sistema s istema para producir funciones de daño al consumidor compuesta (CCDF, (CCDF, Composite Compos ite Customer Damage Functions Func tions en idioma ingles) en cualquier punto de carga.
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Índices de Confiabilidad Valor
esperado del costo cos to de interrupción interrupc ión ECOST (Expected Interruption Cost index) en un punto de carga
ECOST
D a f F SCDF TF $ año añ o
donde: f F: frecuencia de falla del punto de carga [fallas/año] TF: duración media de falla del punto de carga [horas] Da : demanda promedio en el punto de carga [MW] SCDF(TF): función de daño al consumidor por sector [$/MW]
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Índices de Confiabilidad esperado del costo de interrupción ECOST (Expected Interruption Cost index) en el sistema Valor
ECOST
D amn f Fmn SCDF TFmn
mn
$
año
donde: f Fmn: frecuencia de falla del punto de carga de la rama mn [fallas/año] TFmn: duración media de falla del punto de carga de la rama mn [horas] Damn : demanda promedio en el punto de carga de la rama mn [MW] SCDF(TFmn): función de daño al consumidor por sector [$/MW] Curso de Capacitación
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Índices de Confiabilidad Valoración
de la energía no suministrada IEAR (Interrupted Energy Assessment Rate index) en un punto de carga
IEAR
ECOST EENS
$ MWh
de la energía no suministrada IEAR (Interrupted Energy Assessment Rate index) en el sistema Valoración
IEAR
ECOST mn
EENS mn
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mn
$ MWh
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