ANÁLISIS DE DIFERENCIAS FINITAS USANDO LA APROXIMACIÓN DE EXPANSIÓN DE LA SERIE DE TAYLOR
Presentado por:
LINA MARÍA VELASQUEZ RICO LUISA FERNANDA RODRÍGUEZ CARRIÓN
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA AERONÁUTICA ANÁLISIS ESTRUCTURAL BOGOTÁ D.C 2017
Tabla de Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3 SERIE DE TAYLOR ........................................................................................................................... 3 Expansiones de Taylor ............................................................................................................... 3 Forward DF-Simple (Diferencia regresiva). ............................................................................... 4 Centered DF (Simple) ................................................................................................................ 5 Precisión Doble.......................................................................................................................... 6 Tercer orden .............................................................................................................................. 7 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 10 Referencias .................................................................................................................................. 10
INTRODUCCIÓN El método de diferencias finitas es una aproximación de las derivadas parciales en una ecuación física por “diferencia entre” nodos separados por una distancia finita, una de sus características es que las ecuaciones diferenciales parciales son sustituidas por un conjunto de ecuaciones algebraicas para cada nodo. La solución para valores nodales sea de temperatura, velocidad o concentración se obtiene por iteración o inversión de la matriz. En el caso para flujos no viscosos, estas ecuaciones algebraicas son lineales, pero en la aplicación son no lineales. Adicional, los espaciamientos nodales no necesitan ser iguales, pero si deben tener cierta estructura (proporcionalidad). Para la red nodal existen dos tipos de solución, la primera es la solución analítica que permite determinar la velocidad o temperatura en cada punto del sistema y la segunda es la solución numérica en puntos (nodos) discretos e i nterpolar entre ellos, para esto se discretiza la geometría, a esto se denomina malla y los nodos se numeran de acuerdo con la ubicación (coordenadas). Para una geometría en 2D, con coordenadas x y y se asigna m y n, respectivamente. Si se tiene un mallado muy fino se obtiene una respuesta acertada y precisa. En el siguiente documento se explica cómo por medio del análisis de diferencias finitas se da una aproximación de la extensión de la serie de Taylor, con números simples y dobles de la precisión, todo el análisis se realiza con respecto a la variable x, determinando la exactitud de diferencias finitas y obteniendo las formulaciones de primer, segundo y tercer orden, realizando esquemas de Backward, Forward, Centered y de tercer orden.
Determinar la Exactitud de esquemas de diferencias finitas Considere dos esquemas de diferencias finitas de orden de exactitud 1, 2 y 3 para aproximar la primera derivada de una función f en x = x0 (el punto de control). Para investigar la exactitud de los esquemas construidos en función de un tamaño de malla, Δ x. obtener gráficos de error absoluto y relativo como función de Δ x.
SERIE DE TAYLOR La serie de Taylor se genera una función que se puede centrar en cualquier número, en la ecuación (1) se presenta la estructura para construir la misma, en la cual se evalúa en un punto , es decir donde está centrada , donde puede ser cero o cualquier otro número.
=
Donde,
! ! ! ⋯ !
Expansiones de Taylor
(1)
La expansión en las series de Taylor de n-esimo orden debe ser exacta. Sea una función definida en ( ) que tiene k-esima derivada la expansión de usando series de Taylor alrededor de un punto , obtenido en el intervalo ( ) será:
,
= −! | −! | ⋯ −! | Dónde,
= 0 < < 1
(2)
Forward DF-Simple (Diferencia regresiva). Hace referencia, cuando se emplean puntos posteriores al punto de i nterés. La serie de Taylor se expande hacia atrás para calcular un valor anterior sobre la base del valor actual, empleando la ecuación (3)
1
′′ 2 ′ ′ = ℎ 2! ℎ ⋯ ! ℎ
(3)
Truncando la ecuación. Es decir, la expresión “error por truncamiento” hace referencia a una expresión que contiene un numero infinito de valores, que son imposibles de evaluar. Por ende, es necesario establecer una serie finita para obtener el valor deseado, esto se hace cortando un numero sin aproximar a otro. Luego de la pri mera derivada e organizando los términos, se obtiene la ecuación (4)
= ℎ = ∇ℎ
(4)
∇
Donde el error 0(h), y a , se le conoce como primera diferencia dividida hacía atrás. Adicional a este error, también se genera el error por redondeo que surge de representar números exactos. Este se presenta en un procesador, debido que este involucra un numero finito de dígitos, de tal forma que si el ultimo digito es mayor a cinco el procesador lo aproxima al siguiente. Para este caso precisión simple, se realiza el esquema en Excel utilizando tamaños de malla de −, el error absoluto, error relativo, redondeo, truncamiento, error orden de 1 hasta absoluto, error relativo y Eabs-Erel. Lo anterior mencionado se encuentra en el adjunto a este documento. A continuación, se presenta la tabla No. 1 de precisión simple con las variables más representativas de la tabla.
1 ∗ 10
Esta dada por la siguiente ecuación:
= ∆ ∆ ∆ Ecuación principal:
= 100 Donde mi punto de control es:
4 Reemplazamos en la primera derivada:
20 4 ⋇ 4 = 20 = 20 = 12.8 ⋇ =
Considerando los datos de la tabla no. 1 y la primera derivada, se obtiene el error absoluto y el error relativo, como se observa en la gráfica no. 1. En la misma, se evidencia que el aumento de la malla presenta una disminución en el porcentaje de error, pero a su vez el aumento de esta genera un análisis complejo por este motivo no se representan los datos, −. como se puede observar en la escala de 0,0000001 a
1 ∗ 08
Gráfica 1 – Precisión simple (Error Relativo Redondeo – Truncamiento) 10 1E-10
1E-09
1E-08
0,0000001 0,000001 0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
0,1 1 0,001
0,00001 0,0000001
TAMAÑO DE MALLA Error Absoluto(redondeo)
Error relativo (redondeo) 10 1
1E-10
1E-09
1E-08 0,0000001 0,000001 0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
0,1 1 0,01 0,001 0,0001
0,00001 0,000001 TAMAÑO DE MALLA
Error Absoluto(Truncado)
0,0000001
Error relativo (Truncado)
Centered DF (Simple)
Son fórmulas de aproximación a que requieren que la función se evalúa en abscisas situadas simétricamente a ambos lados del punto (donde se halla la derivada). Es decir, se aproxima la primera derivada, esta consiste en restar la ecuación (3) de la expansión de la serie de Taylor.
′ ≈ −_
(5)
≈ −+_
(6)
_−_ ≈ −+
(7)
≈ −+ _−_ = ℎ; = 2,1,0,1,2 Esta dada por la siguiente ecuación:
(8) (9)
= ∆ ∆ ∆ 2∆ Para este caso, se tuvo en cuenta lo mismo que se realizó para el caso anterior Forward DF Simple. Utilizando la misma escala de cálculo, teniendo en cuenta la ecuación (9) se obtiene que este modelo resulta ser más preciso ya que se presenta una disminución en el porcentaje de error relativo (truncado), como se puede observar en la gráfica no. 2 .
Gráfica 2. Diferencias centradas 10 1E-10
1E-09
1E-08 0,00000010,000001 0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
0,1 1 0,001
0,00001 0,0000001
TAMAÑO DE MALLA Error Absoluto(redondeo)
Error relativo (redondeo)
10 1 1E-10
1E-09
1E-08 0,00000010,000001 0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
0,1
1
0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001
TAMAÑO DE MALLA Error Absoluto(truncado)
0,0000001
Error relativo (truncado)
Precisión Doble Se puede generar fórmulas de alta exactitud al incluir términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor, teniendo en cuenta el término de la segunda derivada. Este análisis se realiza con base en los conceptos explicados anteriormente (Forward y Centered), consiste en refinar la malla usando un mayor número de decimales y que el resultado sea más preciso como se muestra en la gráfica no. 3.
10 1E-10
1E-09
1E-08
0,0000001 0,000001 0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
0,1 1 0,001
0,00001 0,0000001 1E-09 1E-11
TAMAÑO DE MALLA Error Absoluto(redondeo)
Error relativo (redondeo)
10 1E-10
1E-09
1E-08
0,0000001 0,000001 0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
0,1 1 0,001
0,00001 0,0000001 1E-09
TAMAÑO DE MALLA Error Absoluto(truncado)
Error relativo (truncado)
Gráfica 3. Precisión doble
Tercer orden Función polinomial
1 = Derivada de U1 respecto a x
Si
=0
= 2 3
1 = 1 = Se determina los valores de la función polinomio
2 = 1 ∆ ∆ ∆ 3 = 1 2∆ 4∆ 8∆
1E-11
4 = 1 3∆ 9∆ 27∆ Se despeja c de U4
4 1 1 2∆ = 4∆ 4∆ 2∆ Se despeja d de U3
4 1 1 1 = 27∆ 27∆ 9∆ 3∆ Se reemplaza d en U5
4 1 1 2∆( 4 1 1 1 ) = 4∆ 4∆ 2∆ 27∆ 27∆ 9∆ 3∆ 4 1 1 24 21 2 2 = 4∆ 4∆ 2∆ 27∆ 27∆ 9∆ 3 5 = 4 1 1 24 21 2 3 4∆ 4∆ 2∆ 27∆ 27∆ 9∆ 4 1 1 24 21 2 5 = 4∆ 4∆ 2∆ 27∆ 27∆ 9∆ 3 Se reemplaza todo en U2, obteniendo la función
9U3 2U4 = 11U1 18U2 6∆x 10 1E-10
1E-09
1E-08 0,00000010,000001 0,00001 0,0001
0,001
0,01
0,1
0,1 1 0,001
0,00001
TAMAÑO DE MALLA Error Absoluto(redondeo)
Error relativo (redondeo)
0,0000001
10 1 1E-10
1E-09
1E-08 0,00000010,000001 0,00001 0,0001
0,001
0,01
0,1
0,1 1 0,01 0,001
0,0001 0,00001 0,000001 0,0000001
TAMAÑO DE MALLA Error Absoluto(Truncado)
Error relativo (Truncado)
COMPARACION DE FORWARD, CENTERED, TERCER ORDEN 1 1E-10
1E-08
0,000001
0,0001
0,01
1 0,1
Error relativo Forward double (redondeo)
0,01
Error relativo Centered double (redondeo)
0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,0000001 1E-08
TAMAÑO DE MALLA
Error relativo Forward simple (redondeo) Error relativo Centered simple (redondeo) Error relativo Forward Double (Truncado) Error relativo Centered Double(Truncado) Error relativo Forward Simple(Truncado)
1E-09
Error relativo Centered simple(Truncado)
1E-10
Error relativo Tercer orden simple (redondeo))
1E-11
Error relativo tercer orden simple (truncado))
1E-12
Error relativo Tercer orden double (redondeo)
1E-13
Gráfica 4. Comparación de los métodos empleados en Excel
Se puede observar que el método más exacto es el de tercer orden.
CONCLUSIONES ▪
▪
▪
Por el método de Forward se obtiene un mayor porcentaje de error, por este motivo no es el más recomendable. El método Centered, es un método más preciso, pero se debe tener en cuenta que no es aconsejable elegir la variable h en un valor demasiado pequeño. Por lo tanto, es importante que las formulas aproximen las derivadas de f(x) con un error de truncamiento alto. En la comparación de los métodos, también se observa que la definición de los nodos de la malla es inversamente proporcional al porcentaje de error, entre más fina sea la malla el porcentaje de error disminuye.
Referencias ▪
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Introducción al Método de Diferencias Finitas y su Implementación Computacional, Antonio Carrillo Ledesma y Omar Mendoza Bernal. Obtenido de: Facultad de Ciencias, UNAM http://www.mmc.geofisica.unam.mx/acl/ Métodos de Diferencias Finitas para la Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, capitulo 6. Obtenido de: https://cristiancastrop.files.wordpress.com/2010/09/apuntesh-scaletti-metodo-de-diferencias-finitas-para-edo.pdf Diferenciación numérica. José Mario Peña Consuegra y Marvin Enrique Molina Cárdenas Obtenido de: http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/men_udea/pluginfile.php/25793/mod_resour ce/content/0/Integracion_numerica/integracion_NUMERICA1.pdf Métodos Numéricos con Matlab, Jhon Kurtis, Prentice Hall. 2000
