Resistencia de Materiales 2
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL RESISTENCIA DE MATERIALES 2
ANÁLISIS DE ESFUERZOS ESFUERZOS
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ÍNDICE INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………………….3 OBJETIVOS…………………………………………………………………………………………………………….4 General Específicos MARCO TEORICO……………………………………………………………………………………………… 5-16 Esfuerzo en un punto Variación del esfuerzo en un punto Cascarones de revolución de pared delgada Casquete esferico Método de casquete cilíndrico Ejemplo Proyecto- Cúpula Funcionamiento estructural CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………………………17
RECOMENDACIONES……………………………………………………………………………………………18
BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………………..19
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INTRODUCCIÓN
Con la acción de cascarón, las principales fuerzas internas que se desarrollan en respuesta a las cargas se encuentran en el plano de la superficie, encontrándose en forma de axiales y sin formarse momentos significativos, este es el tipo de esfuerzos que se produce. Es importante señalar que esta acción es fruto de la interacción entre las condiciones de carga y la forma de la estructura, por lo que no todas las superficies que presenten curvatura trabajarán de este modo. Algunos buenos ejemplos son las formas esféricas y los paraboloides hiperbólicos. Dado que no se pueden presentar momentos apreciables en estas estructuras, las cargas puntuales no son bien soportadas, estando especialmente indicadas para cargas repartidas. Es importante señalar que dichas fuerzas se desarrollan en dos direcciones perpendiculares, produciéndose además un esfuerzo tangencial de cortante que también colabora a soportar las cargas. Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicación importante del análisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión, puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente. Considerando recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared (t)
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OBJETIVOS
General.
Analizar y estudiar los tipos de esfuerzos aplicados a un elemento cualquiera.
Específicos.
Conocer cómo actúa el esfuerzo en un punto aplicado a un elemento.
Conocer el análisis de un cascaron de revolución de pared delgada.
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ESFUERZO EN UN PUNTO El esfuerzo medio sobre una superficie se obtiene dividiendo la fuerza entre el área sobre la que actúa. Si el esfuerzo medio es constante sobre toda la superficie, se llama uniforme. Si no es uniforme, se obtiene el esfuerzo en un punto considerando la fuerza que actúa sobre un elemento de área alrededor del punto y haciendo que este elemento superficial sea cada vez menor tendiendo a cero. El esfuerzo en un punto se define como el esfuerzo medio uniformemente distribuido sobre un elemento diferencial de área. En la figura 9-11, por ejemplo, el esfuerzo normal en la dirección X que existe en un punto de coordenadas x, y,z, mide el esfuerzo uniforme que actúa sobre el área dydz.
Cuando el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actúan en varias direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actúan sobre un elemento diferencial de volumen que rodee el punto considerando. Sean los σ xy,σyxτxylos esfuerzos en un punto. La figura 9-12a muestra estos esfuerzos actuando sobre un elemento diferencial que rodea al punto, aunque se suele representar en elevación (ver figura 9-12b). Obsérvese que también que también hay un esfuerzo cortante τyxque actúa en la cara Y en un plano en la dirección X. Esto se debe a que un esfuerzo cortante que actúa sobre un plano induce en un plano perpendicular al primero, otro esfuerzo es igual.
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La notación que se emplea para los esfuerzos normales es la letra griega (σ) con un subíndice correspondiente a la cara sobre la cual actúa, tomando la cara el nombre del eje al que es perpendicular, por ejemplo, la cara X es perpendicular al eje X (σx ). El esfuerzo cortante se representa por la letra griega (τ) con un doble subíndice, correspondiente el primero a la cara sobre la que actúa y el segundo a la dirección en que lo hace dentro de aquella cara (τxy ). Variación del esfuerzo en un punto: el esfuerzo en un punto queda definido por los esfuerzos que actúan sobre las caras del elemento que rodea dicho punto. Los esfuerzos con la orientación de los planos que pasan por el punto, es decir los esfuerzos en las caras del elemento varían, cuando lo hace la posición angular de este elemento. Para expresar analíticamente estas variaciones cortemos el elemento inicial mediante un plano, y apliquemos a una de las partes las condiciones del equilibrio estático.
1. Estado inicial del esfuerzo
En la figura 1, se muestran las componentes normal y cortante del esfuerzo que actúa sobre un plano cuya normal (N) forma un ángulo θ con el eje X.
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2. Esfuerzos que actúan en el prisma rectangular
El elemento triangular de la figura 2 está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas que producen los esfuerzos que existen en todas sus caras.
3. Diagrama de las fuerzas en un punto
CASACARONES DE REVOLUCION DE PARED DELGADA Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicación importante del análisis de esfuerzo plano. Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexión, puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente. Considerando recipiente cilíndrico de radio interior r y espesor de pared (t). Casquete esférico: Un casquete esférico, es la parte de una esfera cortada por unplano. Si dicho plano pasa por el centro de la esfera, lógicamente, la altura del casquete es igual al radio de la esfera, y el casquete esférico será un hemisferio(semiesfera).
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Si el radio de la esfera es (r) el radio de la base del casquete (a), y la altura del casquete , el área de la superficie curva del casquete esférico es:
Casquete esférico parte superior de la sección e revolución que se genera es .
Figura 2
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PROYECTO- CÚPULA. Las cáscaras de revolución son la clase más importante de cáscaras para la construcción de cúpulas y depósitos. Además de esto, son más fáciles de describirmatemáticamente, y así, de analizarlas
Funcionamiento estructural
El mecanismo resistente de las cúpulas tiene una particularidad que las hace superar ampliamente la capacidad estructural de los arcos. Cada meridiano se comporta como si fuera un arco funicular de las cargas aplicadas, es decir, resiste las cargas sin desarrollar tensiones de flexión para cualquier sistema de cargas . La dirección esférica da tracciones en los paralelos, y la direcciónrebajada da tracciones en el anillo extremo, por lo que requiere estribos muy fuertes. La cúpula posee unos paralelos que restringen su desplazamiento lateral desarrollando tensiones en anillo y haciendo posible un comportamiento de membrana.
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Cuando la cúpula es de gran altura, bajo la acción de las cargas los puntos más altos se mueven hacia dentro, pero los más bajos lo hacen hacia fuera, es decir, alejándose del eje. Para que todo esto tenga lugar y la cúpula solo posea esfuerzos propios de membrana los bordes han de poder experimentar libre movimiento horizontal en sus apoyos. En caso de que fuera empotrada se presentarían unaspequeñas flexiones en los arranques que la propia cúpula amortigua muy rápidamente. La cúpula puede imaginarse como unos gajos o arcos meridianos cuya flexiónestá impedida por los anillos o paralelos horizontales. En las zonas en las que los gajos quieren hundirse hacia dentro, los paralelos se lo impiden trabajando en compresión y donde los gajos quieren abrirse, el paralelo ha de evitarlo resistiendo en tracción.
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Las deformaciones de la lámina ya no son lo suficientemente pequeñas parapoder prescindir de ellas, ya que la obligada continuidad entre su superficie y el anillo exterior provoca una flexión de los meridianos. El anillo de borde, bajo las componentes radiales, sufre una dilatación, mientras la lámina, para seguir este movimiento, necesitará deformar sus meridianos, para amoldarse a lanueva dimensión del anillo.
El método de los casquetes cilíndricos. Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r 1 y cuyo radio exterior es r 2 como el que aparece en la figura 1 Naturalmente procedemos restando el volumen V 1 del cilindro interior al volumen V 2del cilindro exterior, así:
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Figura 1
En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r 2 + r 1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos r = r 2 − r 1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f ( x ), con f ( x ) > 0, el eje x , es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región
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Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [ x i−1, x i], todos con el mismo ancho:∆ x = (b − a) / n. Sea x i* el punto medio del i-ésimosubintervalo. Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimosubintervalo con una altura de f ( x i*) y hagámoslo girar en torno del eje y . Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio x i*, como altura f ( x i*) y cuyo grosor es ∆ x = x i−1 − x i. Por lo tanto, el volumen V i de este casquete cilíndrico está dado por:
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la y después sumar los volúmenes de todos ellos:
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Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:
El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f ( x ), con f ( x ) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral.
Ejemplo: Una región delimitada por dos curvas. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x 2 + 4 x − 3, por la cúbica y = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.
Solución: La región delimitada por las dos curvas dos funciones que son:
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El sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor de l eje yes.
Obsérvese que está limitado arriba y abajo por dos superficies de revolución curvas y en la parte interior y en la exterior por dossuperficies cilíndricas. Consideremos ahora que este sólido está formado por una serie de casquetes cilíndricos incrustados, como antes, los unos dentro de los otros.. Esta vez los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x, puesto que su base inferior está situada en la parábola y = − x 2 + 4 x − 3 mientras que su base superior está sit uada en la cúbica y = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 5 . Por lo tanto, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura.
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Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral:
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CONCLUSIONES
El tipo de esfuerzo que se estudia es el esfuerzo en un punto, el cual está distribuido sobre un elemento diferencial de área donde actúan esfuerzos sobre las caras de un elemento que rodea dicho punto. El esfuerzo en un punto está definido por los esfuerzos que actúan sobre las caras del elemento y que rodean a dicho punto donde los esfuerzos varían con la orientación de los planos que pasan por el punto considerando la fuerza que actúa sobre un elemento y haciendo que este elemento superficial sea cada vez menor tendiendo a cero. En un cascaron de revolución de pared delgada constituyen una aplicación de su análisis de esfuerzo plano, si dicho plano pasa por el centro de la esfera donde la altura del casquete esférico es igual al radio de la esfera.Donde sus paredes oponen poca resistencia a la flexión ejercida , puede suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la superficie del recipiente
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RECOMENDACIONES
Este tipo de trabajos es de gran importancia, dado que hace que el estudiante busque aplicaciones en cuanto al tema de cascarones de pared delgada, siendo este muy aplicable en la vida real. Estudiar con detalle la aplicación de cascarones de revolución de pared delgada en la ingeniería civil para realizar construcciones utilizando métodos relacionados al análisis de esfuerzos. Para la construcción de una cúpula realizar un análisis de su funcionamiento estructural y sus esfuerzos para la cual va a ser construida y el lugar donde se va a construir.
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BIBLIOGRAFIA
Andrew Pytel, Ferdinand L. Singer. Resistencia de Materiales, cuarta edición, 1994, México D.F. pág. (332-335). http://www.ing.una.py/pdf/mecanica1/Clase%206%20%20Cascaras%20delg adas%20V250505.pdf SALVADORI, MARIO y HELLER, ROBERT: “Estructuras para arquitectos” , Ed.Kliczkowski Publisher, Buenos Aires, 1998. Hhtp://www.slideshare.net/diegocastillocers/cascara.
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