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VIGA POSTENSADADescripción completa
3.2 Elemento Viga de Timoshenko
3.2. 3.2.
Eleme Elemen nto Viga Viga de de Timo Timosh shenk enko o
Determinación del elemento viga mostrado en la fig. (3.1).
Figura 3.4: Elemento viga de timoshenko: a) geometría, a) geometría, b) grados b) grados de libertad y c) fuerzas. c) fuerzas.
3.2.1. 3.2.1.
Apro Aproximació ximación n del campo de desplazam desplazamien ientos tos y rotacione rotaciones s
El campo de desplazamiento transversal, transversal, ((), y el giro giro (() se aproximan independientemente como:
() = 1 ()1 + 2 ()2
() = 1 ()1 + 2 ()2
(3.25)
(3.26)
donde las funciones de forma son de la ec. (2.18) : 1 () = 3.2.2. 3.2.2.
2 −
2 () =
−1
(3.27)
Apro Aproximaci ximación ón de las ecuacion ecuaciones es cinemát cinemáticas icas
Las ecuaciones cinemáticas para una viga de Timoshenko son:
() = ( () =
−
(3.28)
(3.29)
Sustituyendo las ecs. (3.25) y (3.26) en la ec. (3.28) y (3.29):
() =
1
h | {z h
1 1
−
B
( () = c GJL, UAM °
1
1 1
−
i( ) } ( ) i h 1
2
1
2
−
1 2
i( ) 1
2
(3.30)
(3.31) 109
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3.2 Elemento Viga de Timoshenko
3.2.3. 3.2.3.
() =
Bθ
( () =
Bw
−
(3.32)
Nθ
(3.33)
Apro Aproximació ximación n de las ecuacio ecuaciones nes constitu constitutiv tivas as
Para vigas de Timoshenko las ecuaciones constitutivas son:
=
=
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Sustituyendo la ec. (3.32) en la ec. (3.35)
( ( ) = =
Bθ
= = = 3.2.4. 3.2.4.
Bw
−
Nθ
(3.37)
Extrem Extremizac ización ión del funcion funcional al
El funcional de una viga de Timoshenko es de la ec. (1.128):
Π ( )
=
Z ∙
1 1 2 + 2 2 2
−
¸
−
() ()|Γ
−
( () ()|Γ
(3.38)
donde es el la rigidez por cortante. Sustituyendo las ecs. (3.12) y (3.15) en el funcional definido en la ec. (3.18):
Π (w θ)
=
Z ∙
−
1 1 θ B Bθ + 2 2
¯
w N ()
Γ
−
¡
w B
¢
N − θ
¯
( ) θ N (
Γ
(Bw
Para que el funcional de la ec. (3.19) tenga un valor extremo:
−
Nθ ) − w N
¸
(3.39)
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3.2 Elemento Viga de Timoshenko
Reagrupando la ec. (3.40):
Z " | 0
−
B −N
N ( ()
=
θ
N ()
+
0
Sustituyendo la matriz
w
B B + N N
{z
Z ¯ ¯ | {z } | {z } } | {z }
B N
B B
Γ
+
N ( ()
Γ
(3.41)
B, de finida
⎡ ⎢⎢⎢ = ⎢ ⎣
−
en la ec. (3.15), en la matriz de rigideces en la ec. (3.41):
−
−
2
−
2
2
−
2
−
2
+ 3 + 6 −
2
2
2
+ 6 − + 3
⎤ ⎥⎥⎥ ⎥⎦
(3.42)
Sustituyendo las funciones de forma , , definidas en la ec. (3.12), en el vector de fuerzas de empotramiento debidas a la carga distribuida constante :
=
⎡ ⎢⎢⎢ Z = = ⎢ ⎣
Z
N
0
⎤ ⎡ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ = ⎢ ⎥⎦ = ⎣
−
0
0
0
1 2 1 2
0 0
⎤ ⎥⎥⎥ ⎥⎦
(3.43)
Sustituyendo las ecs. (3.21) y (3.22) en la ec. (3.20) se obtiene:
⎡ ⎢⎢⎢ ⎢⎣
2
2
−
2
−
+ −
−
−
3
2
+
6
2
−
2
1
2
−
+
−
6
+
⎤ ⎧⎪ ⎥⎥⎥ ⎪⎨ ⎥⎦ ⎪⎪ ⎩
2
3
1 2
2
⎫⎪ ⎡ ⎪⎬ ⎢⎢ ⎪⎪⎭ = ⎢⎢⎣
2
0
2
0
⎤ ⎡ ⎤ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎥⎦ + ⎢⎣ ⎥⎦ 1
1
(3.44)
2
2
La matriz de rigideces de la ec. (3.44) presenta problemas de atoramiento de esfuerzos, limitante que se supera utilizando integración reducida. La solución exacta de la viga de Timoshenko es:
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎢⎢ (1 + ) ⎣ Φ
12
3
6
2
3 6 − 2
−12
−6
12
6
3
2
−12
(4+Φ) 2
3
6
2
(2− (2−Φ) −6
2
⎤ ⎧⎪ ⎥⎥⎥ ⎪⎨ ⎥⎥ ⎪⎪ ⎦
1
1 2
⎫⎪ ⎡ ⎪⎬ ⎢⎢ ⎪⎪ = ⎢⎢⎣
1
2
2
1
12
2
⎤ ⎡ ⎤ ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢ ⎥⎥⎥ ⎥⎦ + ⎢⎣ ⎥⎦ 2
2
(3.45)
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3.2 Elemento Viga de Timoshenko Tarea
La viga en voladizo, mostrada en la fig. (3.5), esta sujeta a una carga = =
20000 2000 0 kgf kgf m, tiene
−
una longitud = 200 cm, cm, una sección rectangular de 10 ×30cm 30cm.. El material tiene un modulo elástico elástico = 2 2 2 × 105 kgf kgf cm2 y relación de Poisson Poisson = 025. 25. Determine el desplazamiento y el giro en el extremo libre con la aproximación de vigas de Bernoulli, ec. (3.21), la aproximación con elementos finitos de Timoshenko, ec. (3.44), y la solución exacta de Timoshenko (3.45). Realice el modelo en el programa SAP.
