Analisis Dimensional Julio Palacios

= -- = - = VkI ao

= rp (

;0' ~) =

ex

rp('t',

ex).

En este caso, la. solución es muy vaga, pues la función indeterminada, rp, contiene dos monomios como variables. A pesar de ello, se puede afirmar que dos sistemas diferentes ejecutarán el mismo movimiento con tal de que los monomios 7t1 y 7t2 formados con las magnitudes 1, a. k, valgan lo mismo en uno que en otro. El seudoperíodo Ts y el decremento logarítmico, 8, habrán de valer:

CAPíTULO IX MECÁNICA DE SÓLIDOS DEFORMABLE S

1. Sistema dimensional. En la teoría de la Elasticidad no aparece ninguna nueva magnitud primaria, y las ecuaciones fundamentales, que se agregan a las de la Mecánica de sólidos rígidos, están todas provistas de una constante característica del cuerpo con que se opera. De estas dos circunstancias resulta que, para formar la base, bastarán tres magnitudes tales como la longitud, la masa y el tiempo, con la posibilidad de discriminar las dimensiones espaciales si se atiende al carácter vectorial de las ecuaciones. Las leyes fundamentales de la Elasticidad se basan todas en el postulado de Hooke, en cuya virtud existe proporcionalidad entre la deformación sufrida por el cuerpo y las [uerzae que la originan. No es incumbencia del Análisis dimensional averiguar hasta qué límites es aceptable este postulado, por lo que nos limitaremos a decir que el enunciado de Hooke toma distintos aspectos según sea la manera de aplicar al cuerpo las fuerzas deformadoras, lo cual da origen a diversas ecuaciones con sus respectivos coeficientes o módulos elásticos, cuyas fórmulas dimensionales quedan determinadas por las fórmulas en que aparecen . .Conviene definir en la teoría de la Elasticidad una nueva magnitud secundaria; la presión: p _ = _f_u_e_rz_a_ S área

L

cuya fórmula dimensional es: [p] = L-IMT-2.

106

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

IX.

Cuando la fuerza tiende a comprimir el cuerpo, se atribuye a la presión el signo positivo. En caso contrario, la presión es negativa, y se denomina tensión. Las diversas constantes elásticas están relacionadas de modo que basta conocer dos para cada cuerpo para poder calcular las restantes. Para nuestro propósito basta tomar en consideración las siguientes:

MECÁNICA DE SÓLIDOS DEFORMABLES

107

La fórmula dimensional de E en la base Lx, Ly, Lz, M, T, se establecerá recordando que, para definir dicho módulo, se considera una fuerza que tiende a alargar un alambre y, entonces, en la fórmula

=

[E]

= ltL

fuerza área

[S]

S representa el área de la sección transversal. En nuestro caso, las dos fuerzas del par tienden, la una a estirar la barra, y la otra a comprimirla, por lo que será:

Módulo de Young, E:

Módulo de rigidez,

[1.:

t

[E]

=

L-IMT-2

[[1.]

=

L-IMT-2.

S

El módulo de Young interviene en todos los procesos de alargamiento, mientras que el módulo de rigidez atañe al deslizamiento mutuo de dos porciones contiguas.

y S representará el área de una superficie situada en dicha sección transversal: [S] = LyLz' y resulta:

Los monomios pi se obtendrán, por tanto, como indica el siguiente esquema:

r L';f LII Le M

2. Flexión circular de una barra.

T

Una barra está empotrada por un extremo. En el otro extremo lleva una placa rígida, perpendicular a la barra, y se le aplica un par de fuerzas cuyo momento, P, está situado en el plano de la placa. En estas condiciones, la teoría elemental permite predecir que las fibras longitudinales de la barra se transforman en arcos de circunferencia, que su radio no depende de la longitud de la barra y que no influye el módulo de rigidez. Se trata de hallar el radio de curvatura, r, de la fibra neutra.

7t1 7t2

P

E

Yo

Zo

O 1 1 O O -1 1 1 - 1 O 1 1 O -2 -2

O 1 O O O

1 O

O -1 1 2

O 1

h

=

O

1

3;

O O 1 O O

i=2

r

7tl

=-;

Zo

y la solución es: La magnitud buscada sólo dependerá del momento del par, del módulo de Young y de la forma de la sección transversal. Para atribuir dimensiones a las citadas magnitudes, tomando en consideración la tridimensionalidad del espacio, tomemos el eje x en la dirección de la barra, y el y en la dirección del momento del par, con lo que el eje z tendrá. la dirección del radio de curvatura. La forma de la sección transversal estará definida por la ecuación de su perímetro, 'Y(y, z) = O, la cual podrá. escribirse así:

'Y

(L, ~) Yo

r

= zo'P

(EY Pzo

2

O

,

J!..l.., Yo

...

, ~,

... ).

Zo

En lo que atañe a la función universal
= O,

Zo

[2,1] donde Yo' Zo representan determinados segmentos de dicha sección, por ejemplo, sus dimensiones máximas paralelas a los ejes y, z, respectivamente. La influencia de la sección transversal se manifestará, pues, por factores de forma tales como Yl/YO' Y2/YO' ••. zt/zo, ... Z2/Z0' ••• .

y la función transversal.

'Pl

dependerá

solamente

de los factores de forma de la sección

108

ANÁLISIS

DIMENSIONAL IX.

Si no se hubieran discriminado las dimensiones espaciales, se hubiera llegado a: [2,2J donde 11, 12, ••• , son segmentos que caracterizan la forma de la sección transversal. Esta fórmula no permite aplicar el Análisis dimensional sino a barras cuyas secciones transversales sean semejantes. En cambio, la [2,1] muestra como, a igualdad de otras circunstancias, varía el radio de curvatura cuando se alteran proporcionalmente las dimensiones de la barra a lo largo del eje y, o a lo largo del eje z, por separado. En una barra de sección rectangular, por ejemplo, si sus dimensiones transversales son Yo = a, Zo = b, todos los factores de forma de la sección transversal valen 1, y la ecuación [2,1] se convierte en:

MECÁNICA DE SÓLIDOS DEFORMABLE S

A esto se reduce la información que suministra el Análisis dimensional que, como se ve, es sumamente vaga, pues ni siquiera permite averiguar cómo depende la flecha de la fuerza aplicada. Sin embargo, bastan algunos conocimientos someros de la teoría para obtener una información mucho más completa. En primer término, la ley de Hooke afirma que la flecha ha de ser proporcional a la fuerza, lo que exige que sea:

tp ""

h

-1-

tp¡

(a

b)

-1-' -1-

;

1 h = El

3.

Supondremos que la barra es rectangular con los siguientes datos: longitud, 1; anchura, a; altura, b; módulo de Young, E. Factores de forma: h/l, a/l,

in.

h

1 1

7tl

1 h

2

1

o o =

= _1_ E

E -

-2

h=O~

- 1/2

tp (~

1/2

i=

2;

(-.!2.-) .

Z' ~) 1

.

1

Eab3

Péndulo elástico.

Del extremo de un resorte vertical pende una masa m. Se trata de averiguar el período, t, de las oscilaciones que ejecuta el cuerpo cuando se separa de su posición de equilibrio en sentido vertical. Se supone despreciable la masa del resorte. Además de m, intervendrá el peso, W; la amplitud, 8, y la po ncia del resorte, medida por el factor de proporcionalidad de la ley de Hooke: k = w/81.

L M T

O O 1

7t1 7t2

1 O

1 a

l'

tp2

y sólo queda por determinar el factor O, que ha de ser un número fijo. Se ve fácilmente que esta fórmula es aplicable, con sólo cambiar O, cuando la fuerza se halla uniformemente distribuida por toda la barra, y cuando se trata de una barra empotrada por ambos extremos y cargada en el centro. En el caso en que hay un extremo libre y la fuerza se aplica en él es O = 4, mientras que si la fuerza se reparte uniformemente, es O = 3/2.

1 1

-2

b)

-1-' -1- .

Finalmente, por la misma teoría se sabe que en todos los problemas de flexión de barras cualesquiera, la sección interviene por su momento de inercia (geométrico) con relación al plano horizontal que pasa por la fibra neutra. En el caso de una barra rectangular es: Ig = abs/12, lo cual lleva consigo que sea:

4.

Solución:

L M T

(a

Ea

Lo mismo que en el problema anterior, el extremo libre se supone provisto de una placa rígida que tiene por objeto distribuir la fuerza f y evitar que se produzcan deslizamientos, con lo que tampoco intervendrá el módulo de rigidez. En el caso actual, las distintas porciones de la barra no están ya en las mismas condiciones, como sucedía en el problema anterior, por lo que la forma de la barra deformada no será ya circular, y, en vez del radio, hay que determinar la flecha, h. Finalmente, como la fuerza aplicada no tiende directamente a alargar o comprimir la barra, no se puede hallar la fórmula dimensional de E en la base discriminada, por lo que hay que proceder a la manera clásica.

f

_1

h =

Flexión de una barra sometida a una sola fuerza.

h

tpl

Por otra parte, puesto que no hay deslizamientos, duplicar la anchura a equivale a tener que doblar dos barras iguales, por lo que, para lograr la misma flecha, hará falta una fuerza doble, y habrá de ser:

E r = 0- ab3• p La teoría completa da O = 1/12.

109

h

m

w

k

8

O 1 O

1 1

O 1

1 O O

1/2 1

O

-2

-2

O 1/2 -1 O

=

3;

i=2

]

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

'"'2

IX.

MECÁNICA DE SÓLIDOS DEFORMABLES

y, si la sección del resorte es rectangular:

sk: sk =-w mg

=-

12 X Il Eab3

t2 = 02

El Análisis dimensional prevé la posible influencia de la gravedad y de la amplitud (*), pero la. teoría completa muestra que, mientras se cumpla la ley de Hooke, la función indeterminada
5.

Período de un resorte en espiral asociado a un volante.

. La regulación de los relojes de bolsillo se logra con un volante que ejecuta un movimiento de rotación gracias a la acción de un resorte en espiral. Se trata de calcular el período de las oscilaciones.

6.

L M

T

'"'1 '"'2

O O 1 1 O

E

2 1 O

-

Calcular la frecuencia de las vibraciones de una cuerda que se mantiene tensa mediante una fuerza t. La longitud es l y la masa por unidad de longitud vale ¡.t = mJl. En la teoría elemental se suponen las oscilaciones de tan pequeña amplitud que la tensión se mantiene constante. En estas condiciones, no es preciso tener en cuenta, ni dicha amplitud ni las propiedades elásticas de la cuerda, y con las magnitudes mencionadas sólo resulta un monomio pi

t2

1/2

3/2

O

4

-2

- 1/2 O

h=

1 O O

3;

=~
El3

4 O O

7.

i = 2

(~)

19

V2"

volante, .con lo cual se duplica 1g' el período habrá de ser veces menor. Este l'aZOnaIlliento basta para determinar la forma de la función
0V

~

Vf.

Energía de las vibraciones fundamentales de una cuerda.

En la misma cuerda del problema anterior, la amplitud de las oscilaciones cuando ejecuta su vibración fundamental es A. Calcular la energía E.

O -1

Quien esté familiarizado con la teoría de los movimientos oscilantes sabrá que el período está siempre en razón inversa de la raíz cuadrada del par director de donde resulta que, ,si se colocan dos resortes en paralelo sobre el mismo

t =

v=

El factor O depende del orden p, del armónico. La teoría completa da O = p12.

19

1 1

----

Frecuencia de las vibraciones fundamentales de una cuerda.

. L~ lista de magnitudes estará formada por el período, t; el momento de inercia, 1, del volante; la longitud, l, del resorte; el módulo de Young, E; y el momento de inercia, 1g de la sección transversal. 1

111

Il

19E'

t¿*) Brídgman (22) complica. el enunciado suponiendo que la masa. móvil es co~stltU1da por una vasija de volumen V llena de un líquido de densidad p ~on la ld~a de q:ue un físico inexperto. incluya V y p en la lista de magnitudes~ n cambio, no tiene en cuenta la amplitud, a pesar de que no hay razón a priori para descartada.

Suponiendo también que la amplitud es lo suficientemente pequeña para que no intervengan las propiedades elásticas, la energía será debida únicamente a los movimientos armónicos ejecutados por las diversas partes de la cuerda, los cuales quedan determinados por la masa, la amplitud y la. frecuencia. Por tanto, discriminando las dimensiones espaciales, el problema se plantea y resuelve como sigue: E A v mil O 2 1

Lo:

Lz M

T

'"'1

-2

O O O

1 O O O

-1 1

-2 h = 4;

-1

-1 i=

E = Omv2A2.

O 1 O O

O 1 O 1 1

-2

112

ANÁLISIS

DIMENS10NAL

IX.

Si se hubiera procedido a la manera clásica, hubiese resultado:

E

=

MECÁNICA DE SÓLIDOS DEFORMABLES

113

y, teniendo en cuenta la ley de Hooke:

ml2v2~ (~).

6=O~.

(.Lr4

y la función ~ habría quedado indeterminada. Si no se hubieran discriminado las dimensiones espaciales, habría resultado:

8. Torsión de una barra. 1!na barra de longitud l y radio r se fija por un extremo y se retuer ~ediante un p~: de fuerzas, P, aplicado en el otro extremo. Calcular el angulo de torsión,

y, con la ley de Hooke:

e.

. En la teoría elemental se supone que las fibras no se alargan por lo que sólo mtervendrá el ~ódulo de rigidez. Si se toma el eje Z en la dir~cción del eie de la, b~rra, los ejes X e Y serán equivalentes y nada nuevo se conseguir,J d' crImmándolos. ,a ISComo las fuerzas se aplican en el plano X

y su fórrnul

'

,

>,

a

di , 1 ImenSlOna será:

quedando todavía una función indeterminada. Serían precisos nuevos razonamientos para caer en la cuenta de que, por sufrir la misma deformación todas las porciones de la barra, el ángulo ha de ser proporcional a la longitud, con lo que se llegaría al mismo resultado anterior.

[f] = La;MT-2

y la del par:

9. Solidez de las construcciones. [P] = La;2MT-2.

J:'ara hallar la fórmula dimensional discriminada currzremos a la ecuación:

del módulo de rigidez, re-

d~ f=(.LSdn' en la qu~ f ~s la fue~za qu~ hay que aplicar tangencialmente a la superficie S :;:a p~o UCIr una dislocacIón, también tangencial, d~, entre dos puntos que an n a lo largo de la normal a dicha superficie, En nuestro caso será:

Se quiere comparar la solidez de dos puentes, geométricamente semejantes, en los que las partes homólogas están construidas con materiales iguales (lord Rayleigh, 7, b). La mayor, a, de las tensiones en la parte más castigada, dependerá de las fuerzas, f( = VtPt g, repartidas por los diferentes elementos de volumen, y de las dimensiones lineales, lJ' que determinan la forma del puente. Con estas magnitudes, el Análisis dimensional conduce a:

[dn] = Lz

1 (a=l2~wi,Wi;

y, en consecuencia: [(.L] =

La;MT-2 L2x

Lz

-L

x

=

"1

P

(.L

2

-2

O 1

1 1

-2 1

-2 -1

6 = ~ (:~)

t. = _,_, 1

L-2L x zMT-2 .

Como 6 es de dimensión nula, se procederá

i.; Ly Lz M T

wi

-)

como sigue:

r

1

1 O O O

O 1 O O

-4

1

donde la función universal ~ toma el mismo valor en todos los puentes que se consideran, y t = V pg es el peso de una porción homogénea cualquiera. En dos puentes semejantes se cumplirá que: a a' =

Vl'2 V'l2

=

z,'

y las tensiones son proporcionales a la razón de semejanza, por lo que los puentes grandes se hundirán antes que los pequeños. El resultado anterior es válido para puentes construidos para soportarse a sí mismos. La cosa cambia si, como ocurre en la práctica, se trata de puentes que, además, han de soportar una carga adicional. ANÁLISIS

DIHENSIONAL, -

8

114

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

En tal caso, se puede prescindir de los pesos ft, y el Análisis dimensional da, para la tensión cr producida. por una carga adicional, F el valor:

IX.

T

Lo:

LII Lz M

y la carga F' que hay que aplicar a otra construcción, semejante a. la primera, para obtener la misma tensión a, sería:

T

Una columna de longitud l y seccion rectangular definida por el espesor a y la anchura b(a < b), está sometido a una carga t. Se quiere averiguar la carga necesaria para que se inicie el pandeo, sabiendo que la sección transversal interviene por su momento de inercia geométrico Ig ba3jl'2. Es interesante en este caso discriminar las dimensiones espaciales porque cada una desempeña un papel diferente. Tomaremos el eje Z a lo largo de la columna, el eje X en la dirección del espesor y el Y en la dirección de la anchura. En la teoría elemental se toma en consideración el módulo de Young únicamente, pero con las magnitudes

=

[f]

=

LzMT-l;

no es posible formar un monomio de dimensión nula, y cabe pensar que se ha vulnerado la regla 3.a. del § 4, capítulo VII. En efecto, el comportamiento elástico está definido por el módulo de Young y el módulo de rigidez. Este último no influye mientras no hay pandeo, pero en cuanto se inicia esta deformación deslizan las capas paralelas al plano YZ, y ya no se puede prescindir de él. Razonando como en el § 3 se ve que, en este caso:

f

l

O O

O O 1

1 1

O O

-2

t=O La teoría completa da O =

E -1 - 1 1

1

-2

2 -3

1

l'2 F' = F-. l2

10. Pandeo.

115

y la. solución del problema se obtiene como sigue:

cr = ~l2 m(w')l'

y, en consecuencia, en puentes geométricamente semejasues, la eolide« es proporcional al cuadrado de la razón de semeianza.

MECÁNICA DE SÓLIDOS DEFORMABLE S

t,

¡.r. O

3 1

O O O -1

-1

O 1

-2 2

E3Ig• l2

7t2•

11. Diapasones. En díapasones de igual forma, pero de distinto tamaño, el período de las vibraciones dependerá de la densidad, del módulo de Young y de una dimensión lineal. Con estos datos, el Análisis dimensional exige que sea:

CAPíTULO X MECÁNICA DE FLUIDOS

1.

Sistema dimensional.

En la teoría de los líquidos y de los gases, considerados como medios continuos, no se introducen ni nuevas magnitudes primarias, ni nuevas leyes universales, por lo que el sistema dimensional será el mismo que hemos utilizado hasta ahora. Podrá, pues, utilizarse la base (L, M, T), discriminando las dimensiones espaciales siempre que convenga. 2.

Capilaridad.

En la superficie de los liquidos se producen los fenómenos de capilaridad, los cuales están regidos por una ley fundamental que, para los fines del Análisis dimensional, puede enunciarse así: Para aumentar la superficie de un líquido hay que aplicar a cada elemento de su contorno una fuerza proporcional a la longitud del mismo:

f

=

as.

El factor de proporcionalidad, a, es una constante, característica de cada líquido, que se denomina tensión superficial o constante capilar. Su fórmula dimensional es:

3.

Ascenso de líquidos en tubos capilares.

En este fenómeno intervendrá el líquido por su constante capilar, a, y por su peso específico, pg, y el capilar por su radio r. Habrá que tomar también en consideración el ángulo de conjunción, (l, del menisco con la pared.

118

ANÁLIStS

x.

DIMENSIONAL

Sin necesidad de discriminar las dimensiones espaciales, se llega a:

Haciendo coincidir el eje z con el eje del tubo, que se supone vertical, el fenómeno será simétrico en torno del mismo, y la fórmula dimensional de pg será: [pg] = L;';-vMT-2• Por otra parte, de la fuerza debida a la tensión superficial, habrá que tomar la componente vertical y dividirla por el contorno del menisco, que se halla en el plano xy, por lo que será: [0"] = [fuerza] [longitud] De este modo, podrá resolverse el problema espaciales como se indica a continuación:

"1

h

O"

r

o -

1

1

1 1

O

1

O O

O

-

2

O

1

-

1

1

que está de acuerdo con la ecuación de Laplace:

las dimensiones

5. pg

-

2

O 1 -

2 1

O"

rpg

En la propagación de las olas intervendrá la densidad representativa de la inercia; el peso específico, pg, para de las fuerzas debidas a la gravedad; la longitud de onda, dad, h, del agua, con el fin de tomar en consideración la por el movimiento, y la tensión superficial, a,


L M

T

Para. determinar la forma de la función
Velocidad de las olas.

i = 1

h = 3; h =-

discriminando

a _0"_

a

e

A

P

pg

a

1 O

1 O O

-3

2 1 2

O 1

-1 1 O

lt1 lt2

-

w=-

= 2".

lt.

"1 = ---;;= --r2pg a CI)

rpg


O 1

h A

e ~~(_cr_, ~). =

pgA2

A

La fórmula hallada teóricamente por lord Kelvin es:

y la solución habría sido: h. = --a

del líquido, p, tomar cuenta A; la profundimasa afectada

-2

1/2 - 1/2 O - 1

1/2 2

i = 2;

h=3;

Si no se hubieran discriminado las dimensiones espaciales, habría aparecido otro factor de forma él)= h/r, o, lo que es lo mismo, se habría encontrado otro monomio:

4.

1 O

cos 6.

rpg

La teoría completa da

119

MECÁNICA DE FLUIDOS

( 6, --r2pg) . a

c2

= --Ag

(1

21t

+ 4,,2

cr)

-pg~

Th 21th --o

A

Salto de presiones en la superficie de un líquido.

La diferencia buscada, ap, estará determinada por a y por la curvatura de la superficie en el punto considerado, o sea por los radios de curvatura, r1 Y r2, de las secciones principales, que dan origen a un factor de forma: w = r2/r1•

6.

Vibraciones de una- gota.

Este problema fue propuesto por Lord Rayleigh como uno de los casos en que el Análisis dimensional conduce inmediatamente a una solución que sería difícil de hallar aplicando la teoría.

120

ANÁLISIS

x.

DIMENSIONAL

Se supone la gota sustraída a la fuerza de la gravedad, con lo que no habrá que considerar más fuerzas que las debidas a la tensión superficial, y la forma de equilibrio será esférica. Las variables a considerar son: t, r, cr y p. Sin necesidad de discriminación se llega a:

MECÁNICA DE -FLUIDOS

Solución: En las condiciones del problema, no intervendrá la inercia del fluido, que está representada por su densidad. Las variables independientes serán, pues, el radio r del capilar, el peso específico, pg, del líquido y su tensión superficial, a, Cualquiera otra magnitud será función de estas tres variables. Trataremos de hallar el volumen, V, de la gota. r

e O

T

i O O

-2

'/tI

2

-

L M

y se puede afirmar que el cuadrado del período es proporcional al cubo del radio, a la densidad y a la inversa de la tensión superficial.

Se puede generalizar el problema precedente tomando en consideración la fuerza de la gravedad y suponiendo que la gota se ha formado sobre un plano horizontal. Por razón de simetría su superficie será de revolución, y bastará tomar en consideración el radio, r, de la sección horizontal máxima. La gravedad influirá sobre el peso específico, pg. r

p

i

-3

O O

l

L M

O O

T

i

'/tI '/t2

1 - 1/2 - 1/2 1/2 O 2 - l O

O

-2 l -2

l

V

-2 l

l

i= i

h = 2;

r'

r2pg

cr = r2pg~ ( ;).

cr

O

l

con lo cual será:

-2

r2w

7tI

O

= --,

Va

1

t=~~(_cr ) g

-2

l

W=-'

1t'1=--;

pg

Para relacionar esta solución con la fórmula de Tate, introduzcamos el peso de la gota: w = Vpg,

o

pg

121

y podemos obtener otro monomio pi que no contenga V: _

r2pg

o bien, puesto que:

'/t2

=

w'/tl

W =

--o ra

Así se tiene, en definitiva: ,

1t i

=

2_

1t¡"2

= t 2 -- cr

r3p fórmula que fue propuesta y comprobada experimentalmente y Brown (*).

7. Peso de las gotas desprendidas del extremo de un tubo capilar. Se supone que el fenómeno es suficientemente lento para poder admitir que, en el momento de la ruptura, hay equilibrio entre el peso, w, de la gota y las fuerzas debidas a la tensión superficial.

(55 por Harkins

(*) Lohnstein (56) estudió teóricamente este problema, pero no l?gró la solución completa, y sólo pudo afirmar que debía ser w = rcrt/J(VI/3/a), siendo a el ascenso capilar del liquido en el tubo. Harkins y Brown reemplazaron, sin justificación, la magnitud a por «una dimensión lineal de la gota» y dieron por supuesto que dicha dimensión había de variar como la raíz cúbica del volumen, cosa que sería cierta si todas las gotas, en el momento de la ruptura, fuesen semejantes. El Análisis dimensional, como se ve, conduce inmediatamente a la fórmula de Harkins y Brown sin necesidad de hipótesis especiales.

122

ANÁLISIS DIMENSIONAL

8. Viscosidad. Para estudiar el movimiento de los fluidos, se agrega a las leyes fundamentales de la Mecánica del punto material esta otra: En todo fluido en movimiento, cada porciJm ejerce sobre las contiguas una fuerza tangencial proporcional al área de la superficie de separación y a la proyección del gradiente de la velocidad sobre la normal a dicha superficie. Al pasar de la relación de proporcionalidad entre cantidades a la ecuación entre medidas, hay que introducir una constante caracterís. tica que se denomina coeficiente de viscosidad,'

X.

MECÁNICA DE FLUIDOS

b) Se toma en consideración la viscosidad. El movimiento será amortiguado, y no podrá ya admitirse que el fluido se mueve en bloque, por lo que las variables independientes serán, la densidad, P, el peso específico, pg, y la tensión superficial, además del tamaño y forma del tubo, que influirán por el radio, r, y la superficie, S, de contacto con el liquido. En estas condiciones, además del monomio pi en que figura To, resulta:

r L M

T

1 O O

7t1

1

p

pg

1 O

-1 1

1

-2

-1

1/3 - 2/3

1/3

r

(L

-2

-3

rp2g 7t1 =--

2

dv f=¡;.S-. dn

123

+:»:

(L2

y el seudoperíodo valdrá:

Esta ecuación conduce a la siguiente fórmula dimensional: [¡;.]

=

L-IMT-l.

10. Caída de una esfera en un medio viscoso. 9. Oscilaciones de un líquido en un tubo en U. Un líquido se halla contenido en un tubo en U de seecion uniforme. En la posición de equilibrio alcanzará el mismo nivel en ambas ramas. Se trata de calcular el período de las oscilaciones cuando se produce una pequeña desnivelación y se deja luego el líquido abandonado a sí mismo. La solución completa, teniendo en cuenta todas las circunstancias que, en mayor o menor grado, pueden influir en el fenómeno, es muy complicada, por lo que conviene proceder por aproximaciones sucesivas. a) Se suponen despreciables las fuerzas debidas a la viscosidad y a la capilaridad. La inercia estará repr,esentada por la masa, m, del liquido, y la fuerza que ocasiona el movimiento será la debida a la desnivelación 2z, existente en cada instante:

y todo pasa como si se tratara de un sólido rígido sometido a una fuerza elástica, kz, siendo k = ?7tr2pg. Según se vio en el capítulo VIII, el período propio del sistema vale:

Una esfera de radio, r, y densidad, 1', cae en el seno de un fluido de densidad Po Y viscosidad ¡;.. i Cuál será la velocidad de caída, v, cuando el movimiento sea uniforme! Solución: Si es nula la aceleración de la esfera, no intervendrá su masa. En el fluido, por el contrario, ha de haber forzosamente aceleraciones, por lo que habrá que tomar en consideración su densidad, Po' Finalmente, además de las fuerzas debidas a la viscosidad, ha de figurar el peso aparente de la esfera:

1= -

4

3

v

L

7tr(p

-

r

Po)g.

1

Po

T

1 O - 1

1 O O

7t1 7t2

1 1

1 1

O 1

2;

i=2

M

h v=

= _1

r(lo.

-3

1 1

1 O

-2

(L

-1 1 - 1

-1 O

-

1 1

124

A ÁLISIS DIME

Sustituyendo

f

X.

SIONAL

MECÁNICA DE FLUIDOS

125

El fluido interviene en el número de Reynolds por el cociente

por su valor se tiene:

v =

v=

....!:..,

[v] = VT-l,

p Este resultado está de acuerdo con la fórmula de Oseen:

ti

3 (1 + 8 -

vrpo) _

--

-

-

fL

P - Po g.

2 2 r --9 fL

Cuando sea despreciable la aceleración de las partículas líquidas, puede prescindirse de la densidad del líquido, y resulta la fórmula. de Stokes (*).

que recibe el nombre de visoosidad oinemática. La presencia de la densidad es debida a las aceleraciones de la masa fluida, por lo que se puede afirmar que el número de Reynolds figurará en la solución a menos de que se trate de un movimiento rectilíneo, laminar y estacionario.

12. 11.

Circulación de fluidos por tuberías.

El número de Reynolds. a)

Sea un movimiento estacionario en el que intervienen un fluido y un sólido rígido. Si el régimen es laminar, la velocidad en cada punto se mantendrá constante y, si es turbulento, fluctuará en torno de cierto valor medio. En el valor de dicha velocidad influirá el sólido por su forma, representada por ciertos monomios geométricos, w, y por su tamaño, que quedará determinado por una dimensión lineal, s. El líquido, por su parte, influirá por su viscosidad y por su inercia, representada por la densidad, p. Entre las magnitudes v, e, p, y ¡.t puede formarse un monomio pi: vps N R=--,

Régimen laminar.

En los extremos de un tubo rectilíneo de longitud l y radio r, se mantiene una diferencia de presión constante, ~p, que hace circular un fluido. Se supone que el régimen es laminar y se trata de calcular la velocidad media, V, una vez establecido el régimen permanente. Solución: Puesto que el movimiento es rectilíneo y permanente, no habrá aceleraciones, y no será preciso tomar en consideración la densidad del fluido. Tampoco intervendrá su peso específico, puesto que las fuerzas exteriores son tan sólo las debidas a la diferencia de presión.

¡.t

que recibe el nombre de número de Reynolds, con el que habrá que contar en todos los problemas referentes al fenómeno considerado. En el ejercicio anterior ha aparecido ya dicho monomio como argumento de la función universal.

V

1 -1 1 O - 1 -2

L M

T

1 -1

1tl

_

l

w=-;

(~). E~te pr?blema ha sido tra~ado por Bridgman (22) por los métodos del ~ális~s dimensional. ~or no par~ll' del hecho de que las únicas fuerzas que intervienen son las debidas a la viscosidad y al empuje hidrostático no consigue obtener la fór~ula completa, sino tan sólo la de Stokes y, para ello, amplía la ba:se de referenc~a agregando. la fuerza como nueva magnitud básica. . SI fuera ne~esarlO proceder siempre como hace Bridgman, el Análisis dimensional sería. un mstrume~to inútil, pues en el planteamiento hace razonamientos tan casuíaticos y alambicados que descorazonan a todo el que trate de iniciarse en est0.s asuntos y, además, ¿cómo saber cuándo y cómo se debe ampliar la base? E~te. ejemplo muestra que, en Mecánica, no hay razón ninguna para tal ampliación.

6.p

r

El gasto en volumen, Q, será:

r

fL

1 -1 1 O O -1 1 VfL

1tl

=-r6.p

1

126

ANÁLISIS

x.

DIMENSIONAL

El Análisis dimensional no permite hallar la forma de la función universal
.r; ¡.r.

b)

IIp l

O=~ 8 .

Régimen turbulento. Pérdida de carga.

Éste es el caso de más interés práctico y, como es imposible abordarlo teóricamente, se recurre a fórmulas empíricas. El Análisis dimensional es un instrumento precioso porque sirve de guía para encontrarlas. A las magnitudes consideradas en el régimen laminar hay que agregar la densidad. Por otra parte, cuando el fluido puede ser tratado como incompresible, no es preciso considerar la diferencia de presiones y la longitud por separado, sino la pérdida de presión por unidad de longitud, G = tlp/l. De este modo, al aplicar el Análisis dimensional, se obtienen dos monomios de dimensión nula, a saber: "

_ 1-

-

NR=

VfJ..

r2G'

vpr

=~,

fJ.

c)

Velocidad en función de la distancia a la pared.

Según la hipótesis de Prandtl, aplicada al caso que nos ocupa, se forma en la cara interna del tubo una delgada capa fluida en la que se originan remolinos muy intensos, que se difunden luego en el resto de la masa fluida. En esta capa límite varía rápidamente la velocidad al pasar de un punto a otro, por lo que en ella se origina la mayor parte de las acciones que, por efecto de la viscosidad, se ejercen entre el sólido y el fluido. Fuera de la capa límite, la corriente sigue siendo turbulenta, pero las fluctuaciones de la velocidad, tanto en magnitud como en dirección, son lo suficientemente pequeñas para que tenga sentido el tratar de averiguar el valor, v, de la velocidad en cada punto. Las variables independientes en este problema son: la distancia, y, - del punto a la pared, la densidad, p, la viscosidad cinemática, v, y la caída de presión por unidad de longitud, G. Con estas magnitudes y la velocidad, v, se obtienen los siguiente monomios pi: "1 =

v

el primero de los cuales puede sustituirse por:

127

MECÁNICA DE FLUIDOS

Gr

--;2 pv

rv

Y r

"2 = --;

"3 =-.

V

Conviene ahora introducir la fuerza tangencial, -r, que el fluido ejerce sobre la unidad de superficie del tubo. Como en régimen estacionario ha de ser: resulta:

y la pérdida de carga por unidad de longitud está dada por:

Con auxilio de esta nueva magnitud se puede formar este otro sistema de monomios pi independientes:

La fórmula empírica' de Fanning es:

,

't'

"1=--2; pv

En régimen laminar, la fórmula de Poiseuille da: G=

8vfJ.

r2

.

~'-R'~' •• 2 -

,

P

v

,,'3 = 1/

V

't'

p

•

JL, v

y será:

para

y> 8.

x. ANÁLISIS DIMENSIO

128

. . . . tra el Análisis dimensional. Ahora es plauÉsta es la información que S~t rminada por la velocidad v en una capa sible admitir ~ue la .fuerza "1que a ~Oeque permite afirmar que IJil no depende situada a la distanCIa Y de a pare d, de r, y, en consecuencia, habrá de ser: v =

V;

~2

(

~

MECÁNICA DE FLUIDOS

129

AL

~)

corriente, pero cuando la velocidad rebasa cierto límite, que depende de la naturaleza del fluido, adquiere un movimiento de rotación uniforme. i Qué puede predecirse respecto de la velocidad angular <.U?

z

•

. bl r se obtienen dos " d la capa limite y las varia es ", p, v Y Con el espesor, 0, e monomios pi, y habrá de ser:

/)=v(f~(~V;)· ue la fuerza " proceda en su mayor parte de También es razonable suponer ~ influya sensiblemente el radio y que la capa limite, lo que lleva consigo qu~ no la función ~ se reduzca a un número fijo:

s = e-

V ~.

á d acuerdo con los resultados obtenidos Las previsiones precedentes est n e Ká án) y medidas experimentales. mediante desarrollos teóricos (Prandtl y von d r~ li 'te se obtiene la exPara la distribución de velocidades más allá e a capa mi

1¡--;

presión logaritmica: v = 5,75

V

P log

(

my

1

1¡--;)

+ -v- V p ,

. . del tubo El número m depende de la rugosidad que es válida hasta el nusmo eje . . dimensión lineal, h. Según Prandtl, de las paredes, la cual se define mediante una mientras sea. 't" ~

h __ --<4,

p

v

la superficie puede calificarse de lisa, y es m = 9.

FIG.

1. - Rotación de una placa rectangular en una corriente fluida

Este problema es inabordable por vía teórica y, por eso, fue propuesto por Riabouchinsky como ejemplo típico de aplicación del Análisis dimensional. Las magnitudes a considerar son, desde luego, las dimensiones a y b de la placa, la densidad y la viscosidad del fluido y la velocidad, v, del mismo. Como se dice en el enunciado que la placa acaba por girar con velocidad constante, podría creerse que no intervendrá su momento de inercia. Sin embargo, es de tener en cuenta que las acciones de la corriente fluida sobre la placa son diferentes en las diversas fases del movimiento, por lo que, si bien éste será periódico, no puede ser uniforme. Cuando la placa, por ejemplo, es normal a la corriente, dichas acciones se equilibran por razón de simetría, y será una posición de equilibrio más o menos precario. Lo mismo sucede cuando el plano de la placa es ,:>aralelo a la corriente. Habrá, pues, aceleraciones y será preciso tomar en consideración el momento de inercia. 1, de la placa con relación al eje de rotación. Con estas magnitudes, procediendo a la manera clásica, resulta:

. t b lisos se utiliza la fórmula. Para calcular el espes~r de la capa limite en u os de Prandtl:

/)=

8v

(f.

13. Rotación de una placa en una corriente fluida. A una placa rectangular, móvil e~ torno .de uno d:~:~:~e: ~~c~~ metría (fíg. 1), se hace llegar una corrIente fluida perpe .' a la eje. Con velocidades pequeñas, la placa se coloca perpendicularmente

donde w = b]a. La presencia del factor de forma bla hace que esta fórmula sólo tenga utilidad para comparar el comportamiento de placas de forma semejante. Es indudable, sin embargo, que las dimensiones a y b han de intervenir muy diferentemente en el fenómeno, cosa que no es tenida en cuenta al aplicar el Análisis dimensional. Por eso, reemplazó Riabouchinsky el monomio pí en que figura 1, por otro obtenido hallando la razón entre el momento de inercia de la placa y el momento ANÁLISIS

DIMENSIONAL. -

9

130

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

x.

de inercia del cilindro fluido que ocupa el espacio barrido por aquélla, con lo que resulta:

siendo de notar que en la expresión de NR ha de figurar precisamente la dimensión transversal, a, de la placa. Esta expresión es utilizable con placas rectangulares cualesquiera y muestra la experiencia que, lo mismo con agua que Con aire, la rotación se inicia cuando el monomio

14.

MECÁNICA DE FLUIDOS

Velocidad de propagación del sonido.

En los fluidos, las perturbaciones locales se propagan en forma de das en las que las condensaciones alternan con las dilataciones. Es de nrever que la velocidad de propagación, v, de las ondas planas, dependa ~e la densidad, p, Y del coeficiente de compresibilidad, k, con lo cual el Análisis dimensional conduce a la expresión: v

vale 2, Y se estabiliza cuando 71:1 = 5. Para completar la información obtenida con el Análisis dimensional ha sido precisa una feliz idea. Veamos que se llega al mismo resultado discriminando las dimensiones espaciales. Tomando ejes fijos, como indica la figura, el fenómeno es simétrico respecto del plano xz. Esta consideración basta para hallar la fórmula dimensional de fL, pues las fuerzas debidas a la viscosidad han de ser simétricas con relación a dicho plano, por lo que basta tomar en cuenta las componentes paralelas al mismo, y de la expresión

di

= fL

dv dn

-dS,

131

La teoría completa da

=

ev

klp .

e = 1.

15. Ondas superficiales estacionarias. Hallar el período de las vibraciones superficiales de un líquido contenido en un vaso cilíndrico profundo. Se supone que intervienen solamente las siguientes magnitudes: densidad, p, y peso específico, w = pg, del líquido, y el radio, r, del vaso. Solución:

resulta:

con lo cual:

16. Resonadores de Helmholtz.

y el cálculo se dispone como sigue:

v

co

Lxz Ly M

T 71:1 71:2 71:3

O

1

-2

O O

O O

-

-1 1

1 1

-

-

1

O

-

1 1

O

O O

-

1 1

=

4;

O h co

v

=~

cP

a

b

O

1

O

2

1 1 1

O O O

1

O

O O

1

O

1 1

O O

fL

P

-

1

O

-4

-

1

1

-fL-'

Solución:

O O O 1

i=3

(vpa

Hallar la relación entre los .períodos propios de dos resonadores geométricamente semejantes. Las magnitudes a considerar son: la densidad, p, del aire, su compresibilidad, x, y una dimensión lineal, l.

't"

donde

e es una

=

elVxP,

constante que sólo depende de la forma del resonador.

17. Hidrómetro de Nicholson. 1) pba'

y se obtiene directamente la fórmula sin factor de forma y con la dimensión a en el número de Reynolds.

Un hidrómetro de Nicholson, de masa m, flota en un líquido de densidad p. Se da al hidrómetro un pequeño empujón hacia abajo, y se deja abandonado a sí mismo. Se trata de hallar el período, t, de las oscilaciones, suponiendo que no influye la tensión superficial, que es desprecia-

132

ANÁLISIS DIMENSIONAL

ble la viscosidad y que la vasija que contiene el líquido es de grandes dimensiones, a fin de que no influya el movimiento del liquido. El hidrómetro intervendrá por su masa, m, por su peso, W, y por la sección transversal, S, de su vástago. El liquido sólo puede influir por su peso específico, pg. Finalmente, habrá que tomar en cuenta la posible influencia de la amplitud, a, de las oscilaciones. Como los dos vectores, W y pg, que figuran en la lista de magnitudes, tienen igual dirección que las díslocaciones del vástago, nada se conseguirá aunque se discriminen las componentes, y resultará:

L M

T

O O 1

1tl 1t2 1t2

1 O O

m

W

O 1 O

1 1 -2

- 1/2 O O

S

a

1

2 O O

1 O O

CAPíTULO XI

-2 -2

O O 1

h = 3; con lo que, teniendo en cuenta que

pg

1/2 1/2 O - 1/2 -1 - 3/2

O 1 O

i = 3,

W = mg,

la solución es:

AERODINÁMICA

1.

El principio de similitud y la discriminación de las dimensiones del espacio.

El estudio del movimiento de un sólido en el seno de un fluido tiene gran interés por su aplicación a los barcos y a los aviones. Las dificultades del cálculo teórico son insuperables, por lo que se utilizan fórmulas empíricas para establecer las cuales sirve de guía el Análisis dimensional. Aparte de esta aplicación, el mismo análisis conduce al principio de similitud, que da la pauta para pasar de las medidas hechas en los canales hidráulicos o en los túneles aerodinámicos a las que se obtendrían en la nave de tamaño natural. El mencionado principio es consecuencia inmediata del teorema de pi, y puede enunciarse como sigue: Cualquier ecuación que relacione las magnitudes que intervienen en un fenómeno puede tomar la forma

en la que 7t¡, 7t2' '" son monomios de dimensión nula, y &1' &2' .,. son factores de forma. En consecuencia, los valores obtenidos para 7tl' con valores determinados de 7t2, 7ta ••• serán aplicables a todos los cuerpos semejantes al utilizado en los ensayos. La aplicación del Análisis dimensional a los problemas de aerotecnia sólo puede ser realizada por los especialistas en la materia y no nos ocuparíamos en ello, a no ser porque la distinción entre las tres dimensiones espaciales constituye una innovación que puede ser muy fecunda, pues se sustituye la relación de semejanza por la relación de afinidad.

134

ANÁLISIS

XI.

DIMENSIONAL

El estudio de la rotación de una placa en una corriente fluida, que hemos realizado en el capitulo anterior, muestra que, al ampliar la base introduciendo en ella las tres dimensiones del espacio, en vez de una sola, el Análisis dimensional resuelve el problema de hacer utilizables las medidas hechas en una placa rectangular, no sólo a las placas semejantes, sino a placas rectangulares cualesquiera. Esto nos parece razón bastante para ensayar el nuevo método en algunos problemas de aerotecnia. Así lo ha hecho ya Huntley (51), pero no parece haber reparado en que sus resultados son, evidentemente, inaceptables y que, por tanto, sólo sirven para desacreditar su innovación. Nos proponemos hacer ver que el fracaso se debe a haber utilizado una fórmula dimensional incorrecta para la viscosidad y que; si se procede debidamente, se llega a fórmulas que, si bien han de acogerse con la debida reserva, merecen ya ser sometidas a la comprobación experimental.

La primera dificultad con que se tropieza al ampliar la base consiste en hallar la fórmula dimensional de la viscosidad. Tras de muchos ensayos creemos poder resolverla como sigue. Cada elemento, dE, de la superficie de un sólido sumergido en un fluido con movimiento laminar está sometido a una fuerza tangencial dada por: =

fL

dv dE

dn

= TdS

[2,5]

resulta la fórmula dimensional: [TI3]

=

L-1MT-2

[2,6]

2

y, en general, i,

i,

i, j

[2,7]

k = 1, 2, 3. X3

da:

y de la comparación con [2,4] resulta:

Para que esta expresion sea dimensionalmente correcta, es preciso que fL sea un tensor, y escribir: Ttj

=

OVi fLij --,

OXj

con lo que [2,3] se convierte en:

di,

=

:E fLij-OVt 1

dEj

OXj

[2,2]

o bien, con relación a un sistema de ejes rectangulares,

(*)

y como

[2,1]

'

donde ves la velocidad y n la normal a dS. Se trata de una ecuación veotorial, y para ponerlo de manifiesto, representaremos dS por un vector dirigido según su normal y con un sentido elegido convencionalmente. Siendo dS y dt vectores localizados en un mismo punto del espacio, es sabido (*) que existe un tensor, T, tal que, dado un elemento de superficie, dS, proporcione la fuerza correspondiente mediante la operación: df

LoSelementos diagonales del tensor, T, dan las fuerzas normales que dependen de la viscosidad. no Los elementos no diagonales dan las fuerzas tangenciales o esfuerzos Por ej emplo, si dS es normal al eje X3, la componente df¡ de cort an tea. la fuerza será: [2,4]

Por otra parte, la ecuación [2,1], cuando dS es normal a

2. Dimensiones de la viscosidad.

di

135

AERODINÁMICA

=

1, 2, 3.

Véase, por ejemplo, el libro del autor (57).

Xl>

X2,

y, teniendo presente [2,7], resultan las siguientes fórmulas dimensionales: [2,8]

s:

X

[2,3] Se ve fácilmente que la fórmula dimensional de fL obtenida en el capítulo X, § 13, corresponde a fLIS = fLSl' en el caso en que LI = La·

136 3.

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

XI.

AERODINÁMICA

137

Alas de avión.

El ala de avión se define por su perfil (*), por su forma en planta y por su envergadura, b. Tomaremos el eje Xl en la dirección de avance y en el plano de simetría del ala, y el eje X2 en la dirección de la envergadura. Suponiendo que el perfil se conserva a lo largo de toda la envergadura, podrá ser determinado por cierto número de puntos con las coordenadas (l' ¡, l'3), (l" l' l"3)... , con lo cual los factores de forma serán de dos clases, ll/e y l3/a, donde e y a son dos módulos característicos correspondientes a las direcciones de Xl y x3, respectivamente. Si, para simplificar la cuestión, se supone que el ángulo de ataque es nulo, e puede ser la cuerda y a el espesor máximo del ala. El fluido intervendrá por su densidad, por su viscosidad y por la velocidad, v, del viento relativo. Cuando sea preciso tomar en consideración la densidad del fluido, hay que empezar por hallar su fórmula dimensional en la base completa. Para simplificar la cuestión, supondremos que el régimen es bidimensional, esto es, que las líneas de corriente se hallan en planos paralelos al Xl X3. Para el cálculo de la resistencia al avance, D, hay que proyectar las fuerzas sobre el eje X¡, y la debida al elemento dE será: di1 -- - 1 pVl 2dS1 2

+ f.L12--

oV1

dS2

+ f.LlS--

oVl

oX2

dS3•

El cálculo se lleva a cabo como sigue:

Ll M

1 O O 1

T

-2

nI

1 O

Lz

L3

NR (*)

v

p

e

b

a

1 1 1 1 O

1 O O O O

O 1 O O O

O O 1 O O

1 O O O - 1

-

-2

-1 - 1

-1

Si no se hubiese distinguido

entre las dimensiones del espacio se habría

obtenido: [3,2] y no habría quedado de manifiesto cuál ha de ser la superficie S, ni la longitud que ha de figurar en el número de Reynolds, ni el módulo que ha de servir para hallar los factores de forma w. Por estas razones, los resultados obtenidos en los ensayos sólo son aplicables a cuerpos semejantes al modelo, mientras que la fórmula [3,1] permite hacerlos extensivos a todos sus afines, según vamos a ver.

De la expresión [3,1J se deduce que, si se multiplican las tres dimensiones del ala por sendos factores, k¡, k2, ks, esto es, si

la función cpD conservará el mismo valor si no se altera el número de Reynolds, o sea cuando v'

=

O 1

-

1 O

fJ.13

-

1 1

-

1 1

1

-1

-2

Para las definiciones, véase el libro de F. Lafita. (58).

k

_1_ V 2 3

k

oX3

De esta ecuación se deduce, en primer término, que la fórmula dimensional de la densidad es: [p] = Ll-lL2-lL3-lM. Además, si el régimen es bidimensional, VI será independiente de X2, Yla viscosidad intervendrá por el elemento f.L13' cuya fórmula dimensional es: [f.LlS] = Ll-lL2-lL3MT-l.

'D

[3,1]

y la nueva resistencia al avance será: D'

=

2

k1 k2 D k 3a

'

a condición, desde luego, de que el espesor máximo sea pequeño en compara.ción con la envergadura, para que el régimen siga siendo bidimensional. . Además de la resistencia al avance y de la fuerza sustentadora interesan las componentes, L, M y N, del par de fuerzas. El Análisis dimensional, con la base espacial completa, conduce a:

O 1

donde cP L, cP M Y cP N son funciones del número de Reynolds y de los factores de forma.

138

ANÁLISIS

XI.

DIMENSIONAL

Huntley, sin justificarlo, atribuye a

Para perfiles muy delgados, con igual forma en planta, se utiliza la fórmula:

la fórmula dimensional

[.L

139

AERODINÁMICA

[3,4]

L = Kpv2ba con lo que llega a la ecuación

mientras

p:~a)

D = pv2ba~ (

que, según [3,3] debe ser: L=

y pretende que tiene validez general. Se ve fácilmente que esta solución es inaceptable, pues en el caso de un ala de gran envergadura D debe ser pro~ orcional a b, para lo cual es preciso que ~ no dependa de dicha dimensión, lo que, de ser cierta la fórmula de Huntley, llevaría consigo la no influencia de la viscosidad sobre la resistencia al avance.

Con la base espacial mutilada y para los fines del Análisis dimensional, nada distingue la fuerza sustentadora, L, de la resistencia al avance, por lo que la misma fórmula [3,2], con otra función universal de los mismos parámetros, servirá para el cálculo de L. En la base ampliada, por el contrario, la fórmula que da la influencia de la viscosidad es:

pv -c- (pvc) ----¡¡.- • 2

ba2

[3,5]

Ít:

Sería interesante hacer ensayos para poner a prueba la validez de estas fórmulas, cuya incompatibilidad es manifiesta.

4.

Tránsito del régimen laminar al régimen turbulento.

Cuando la velocidad es relativamente grande, el régimen se hace • turbulento, y las aceleraciones de la masa gaseosa son tales que predomina el efecto de la inercia sobre las fuerzas debidas a la viscosidad. Entonces, las fórmulas se reducen a

[4,1] y como, si la envergadura es grande en comparación con las dimensiones transversales, se puede admitir que Va no depende de X2, basta tomar en consideración el elemento fLa!> cuya fórmula dimensional es: L\L2-1La-lMT-l Y se llega a la solución: L

=

z

pv2 ba e

(pve,!l,~)

Cf>L

e

fl

[3,3] a

y ahora el número de Reynolds resulta ser: ,

N

=

»;

pve

_ R-

N'R=~

--,

v

fl

De la ecuación [3,3] se desprende que Cf>L no cambiará de valor aunque se multipliquen las dimensiones ll' l2 Y la por sendos factores k1, k2 Y ks, con tal de que la velocidad se haga k1 veces menor. Con ello, la nueva fuerza sustentadora se convertirá en: L'

y las funciones f D Y f L no cambiarán de valor aunque se multipliquen las dimensiones i, y ls por factores k1 y Cuando se procede a la manera clásica, resulta un solo númer.o d.e Reynolds, vpl/fl, y para la longitud l suele tomarse la cuerda. Al diseriminar las dimensiones espaciales nos han resultado dos números de Reynolds: uno, NR, para la resistencia al avance, y otro, N' R, para la sustentación:

kz

kZ

3

k3 1

L.

cada uno de los cuales conduce a una velocidad característica: ve vc= --;

a2

I

Vc=-'

V

e

Como medida de la turbulencia en un punto puede tomarse la raíz cuadrada del valor medio de las fluctuaciones de la velocidad elevadas

140

ANÁLISIS DIMENSIONAL

al cuadrado. Dividiendo por la velocidad media se tendrá una magnitud de dimensión nula, y habrá de ser:

XI.

rp(NR, N'

R) =

°

representa el tránsito de la región en que el régimen es laminar a la de turbulencia. 5.

Remolinos de Kármán.

Detrás de un cilindro bañado por Una corriente transversal se forma una estela de remolinos alternados que se suceden periódicamente. La frecuencia, N, del fenómeno dependerá de la velocidad, u, de la densidad, p, del flúido, y de su viscosidad cinemática, v, El cilindro intervendrá por su radio, r,. Con las magnitudes en cuestión se forman dos monomios pi:

141

La experiencia muestra que el rosario de remolinos se forma con l"E'gularidadpara valores de NR comprendidos entre 50

Hasta ahora, por no considerar más que una dimensión espacial, se opera con un solo número de Reynolds, y se pretende que el tránsito del régimen laminar al turbulento ha de producirse para cierto valor CrítICO del mismo. La precisión que se logra en las medidas de dicho valor crítico es muy mediocre, y cabe pensar que ello sea debido a que, aun en el caso de un problema en dos dimensiones, intervienen dos números de Reynolds que, muy probablemente, han de influir de distinto modo sobre la turbulencia. En un sistema de ejes, con NR y N' R como coordenadas ~cur~ '

AERODINÁMICA

< NR <

400.000,

y que, a partir de N R = 300, las fuerzas debidas a la viscosidad son despreciables en comparación con las fuerzas de inercia, por lo que el número de Struhal se mantiene sensiblemente constante y vale: Ns ,...,0,19. 6.

Influencia de la compresibilidad. El número de Mach.

Para las velocidades muy grandes, los cambios de densidad producidos en el fluido por los cambios de presión son tan considerables que se originan ondas sonoras, con la consiguiente disipación de energía. Es preciso, por tanto, tomar en consideración la compresibilidad del fluido y, eventualmente, atribuirle la fórmula dimensional adecuada. Si el fluido es isótropo, las ondas elementales tendrán simetría esférica, y todas las direcciones serán equivalentes, por lo que la fórmula dimensional de la compresibilidad será:

La intervención de la compresibilidad hace que, tanto en la resistencia al avance como en la sustentación, aparezca un nuevo número pi, el número de Mach, formado con v, p, y x:

Número de Reynolds: ur v

NR=--.

Por otra parte, es sabido que la velocidad de las ondas sonoras está dada por:

Número de Struhal:

1

vs=--, Ns=--

VxP

Nr u

luego:

y el Análisis dimensional afirma que debe ser: En el caso de un ala muy alargada, que avanza con velocidades próximas a la del sonido, las fuerzas debidas a la viscosidad son despre-

142

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

XI.

ciables, y las fórmulas son: D

L 7.

=

(NM'

pv2baCPD

b:

2

2

= pv

~l,

~)

8.

Hélice.

Aparte de los factores de forma, las variables independientes serán: una dimensión lineal, por ejemplo, el radio, r, de la pala, la velocidad de avance, v, y la velocidad angular, co. Del fluido interesa tan sólo la densidad, pues las fuerzas debidas a las aceleraciones del fluido predominan considerablemente sobre las ocasionadas por la viscosidad. En estas condiciones, el Análisis dimensional, cuando no se distingue entre las tres dimensiones del espacio, conduce a las siguientes ecuaciones:

Bombas y ventiladores.

Las bombas y los ventiladores tienen por objeto producir una corriente fluida. Al desarrollar su teoría se prescinde de las acciones debidas a la viscosidad, por ser despreciables en comparación con las ocasionadas por la inercia del fluido. Además de los factores de forma, serán variables independientes el radio, r, del rotor, su velocidad angular, co, y la densidad, p, del fluido. También es variable independiente el gasto en volumen, q, pues siempre se puede regular la sección de salida. Con estos datos, el Análisis dimensional aplicado a la manera clásica conduce a la siguiente expresión para la sobrepresión: A _ up -

p -_

Potencia:

3 5 pCil cPp

r

Tracción:

T --

Rendimiento:

'Yj=-=--.

2_4 CPT pCil-r

Tv

V

CPT

P

Cilr

CPp

•••

)

Es de esperar que la información sea mayor si se utiliza la base completa. ~om~remos ejes coordenados solidarios con la pala; el eje Xl será el propio eje de la hélice, y el eje X2 la envergadura, r, de la pala. Los factores , de forma serán de tres clases, l 1Jhl' l 2Jh2 y l 3Jh3' donde h 2 -- r , y los módulos h} y h3 son, respectivamente, las proyecciones sobre Xl y Xa de un segmento convenientemente elegido, por ejemplo, la cuerda media. Con esto resulta: Potencia:

P = pCil3rh13h3CP

Tracción:

T

Rendimiento:

=

p (

h~Cil ,

Ll L2, 3 M

tJ.p

co

r

O

O O

O

'0 -1

O O

-

1 1

V

CPT

P

whl

CPP

-

co, . ..

-2

7t1 7t2

1

-2

-

O

-1

-2

pCil2rhcp

(-q-,

D..p

=

q -

) .'

1

h

p -

1

1

O O O

2 -2

1

T

O

1

O

-1

O

1

Cilr2h

-

1

1

O

~ i;'

~) r

- 1 -1

.

De esta expresión resulta que si r se cambia en r' = k2r y h se convierte en h' = k2h, la razón del gasto a la velocidad angular habrá de ser -w'

Tv

(q

cP --, Cilr3

Con la base completa, si se prescinde de la forma de los álabes, habrá que introducir dos módulos, que pueden ser el radio, r, y el espesor, h, del rotor. Haciendo coincidir el eje Xl con el eje de rotación, resulta:

q'

ha

pCil2rh12

'Yj=-=--

pCil22 r

(rCil -v-, co, ... )

(rCil -v-, Cil¡,

143

Estas expresiones permiten averiguar lo que sucede cuando todas las dimensiones paralelas a cada uno de los ejes se multiplican por un factor cualquiera.

(NM' ~, ~).

cP L

AERODINÁMICA

_

2

=k-: k2-·

q co

144

ANÁLISIS DIMENSIONAL

9. Turbinas. Por las tan r~pet.idas. r~zones, se puede prescindir de la viscosidad, por 10 que el fluido influirá por su densidad y por la velocidad tra en Ia má . , v, con que pene ra en a maq~a. De la turbina propiamente dicha habrá que tomar en . . . cuenta el radio, . r, y el espesor ' a , del rotor . Con est os d a t os, SI se utiliza la base mutilada, el Análisis dimensional conduce a la . ., 1 . misma expresion para a potencia que en el caso de la hélice:

CAPíTULO XII En c~mbio, con. ~a base completa, colocando el eje con el eje de rotación, se llega a:

Xl

en coincidencia

T E M P E R A T U R A (*) 1. Las escalas convencionales.

~o anterior es válido para las turbinas hidráulicas y para los molinos de VI~nto. En el caso de las turbinas de vapor hay que tomar noticia ade;nas~ de las entalpías, he y hs, que posee cada unidad de masa al entra; ya salir de la turbina. Como estas magm·tudes tienen la misma d. ., 1 '. ~ lmensl~n q~e a energía por unidad de volumen, resultan dos nuevos monoIDIOS pl; he "3 = --; 2 pv

La información suministrada por el Análisis di . 1 com let tení mensione se puede p ar ;uendo en cuenta que la potencia es proporcional a la pérdid a d e entalpía he - h8.

Desde los tiempos de Galileo trataron los físicos de construir termómetros, o sea aparatos que permitiesen atribuir un número (grado de calor) a cada estado térmico. Esto basta para reproducir los referidos estados siempre que se desee, y para medir empíricamente todas aquellas magnitudes en cuya definición intervienen intervalos de temperatura, por ejemplo, coeficientes de dilatación térmica, calores específicos, etc. Pero estas medidas adolecían de varios inconvenientes. En primer término ocurría que la posición del cero en la escala era arbitraria, por lo que las escalas no eran absolutas y en ninguna fórmula podía intervenir la temperatura, sino sus diferencias (* *). (*) Según se verá en este capitulo, la temperatura es, indudablemente, una magnitud física. Pero la cosa es discutida y, mientras unos físicos afirman que no debe ser considerada como tal, otros dicen que cada manera de establecer una escala empírica de temperaturas define una magnitud distinta. Véase los trabajos de Isnardi (59), Loedel (42), Loedel y Sábato (60) y Rey Pastor (4~). (**) Es esta ocasión de decir expresamente que todas las escalas oonvencionales han de satisfacer una condición para que puedan convertirse en escalas absolutas. Consiste en que, al tomar como origen el cero absoluto, no deben resultar valores infinitos para las medidas de las demás temperaturas. Por esta razón, la escala logaritmica de Dalton no sirve para el caso, pues el intervalo entre el cero absoluto y cualquier otro punto fijo adquiere un valor infinitamente grande. Por ejemplo, si se impone la condición de que la escala de Dalton coincida: <:on la escala absoluta centígrada en los puntos de fusión del hielo y de ebulliCIón del agua, las medidas T y T de cualquier otra temperatura en una y otra escala. están relacionadas por la expresión: InT -lnTo T = To + 100 ------'''-InT100 - ln/I'¿ que da T = - ::10 para T = o. ANÁLISiS

DIMENSIONAL.

-

10

146

ANÁLISIS

Por otra parte, aunque se tomase para todos los termómetros el mismo cero convencional, y aunque se atribuyese siempre el mismo valor al intervalo entre dos puntos fijos convencionalmente elegidos, sucedía que cualquier otro intervalo adquiría valores diferentes según fuese el tipo de termómetro o la sustancia utilizada en su construcción. Así, el intervalo entre los puntos de fusión del mercurio y del hielo daba medidas diferentes con el termómetro de mercurio que con los termómetros de gases o con los termómetros de resistencia eléctrica, aunque estuviesen graduados del mismo modo, por ejemplo, con la escala de Celsius o con la de Fahrenheit. De ello resultaba que los coeficientes de dilatación, la conductividad térmica, los calores específicos, etc., adquirían valores diferentes según fuese el termómetro utilizado. Con las escalas convencionales, hubiera sido imposible elaborar las teorías en que interviene la temperatura absoluta o cualquiera de las magnitudes con ella relacionadas. En particular, las teorías cuantistas de la radiación y de los calores específicos estarían por hacer. En defensa de las escalas no absolutas podrá adueirse el hecho de que todavía se hallen en uso la de Celsius y la de Fahrenheit, y de que se utilicen termómetros de tipos muy diversos. Pero ocurre que los termómetros en uso dan indicaciones que, salvo una constante aditiva, difieren muy poco de las medidas que se obtendrían con la temperatura termodinámica, y existen tablas para efectuar la corrección oportuna. Los termómetros cuyas indicaciones difieren mucho de las obtenidas con la escala termodinámica han sido desechados.

2.

XII.

DIMENSIONAL

La escala de Avogadro.

Según nuestras normas, para que la temperatura sea magnitud física es preciso hallar un criterio que permita definir la razón entre cada dos estados térmicos. Tal criterio ha de ser universal, esto es, independiente de la naturaleza de los cuerpos que se utilicen para aplicarlo. Como la temperatura no es una magnitud aditiva por acumulación, al modo de la masa o el volumen, el referido criterio ha de derivar de un postulado comprobable experimentalmente. El decidir si la temperatura es o no una magnitud física no es resultado de un convenio, sino fruto de un descubrimiento. Por dos caminos se ha llegado a establecer el referido criterio, a saber: por el estudio de las propiedades de los gases y por el segundo principio de Termodinámica.

147

TEMPERA TURA

El estudio experimental de la compresibilidad de los gases a diferentes eraturas ha permitido establecer la escala de Avogadro, o escala terop , 1os d os requisi isit os d e ser absoluta y d los gases perfectos, que reune e .versal. En su forma más escueta y prescindiendo de pormenores de Ulll, ter histórico su definición operacional es la siguiente: supóngase carac ' ue se trata de hallar la razón entre dos temperaturas, (T) y (To), por q. mplo entre dos puntos fijos. Manteniendo constante la presión, hállaeJe , e la razón entre los volúmenes, (V) y (vo), que ocupa una masa gaseosa ser sometida a las temperaturas (T) y (To)· Repítase la operación con resiones cada vez más pequeñas. El límite a que tiende la razón (V) : (Vo), ~uando p disminuye indefinidamente, resulta ser, con toda la precisión deseable, independiente de la naturaleza del gas, y la razón buscada vale:

:1

(entre cantidades).

[2,1]

Para aplicar esta relación no es preciso elegir unidades ni para las temperaturas ni para los volúmenes, sino saber comparar estos últimos entre sí. En la comparación de las temperaturas, por tanto, no hay nada que sea arbitrario o convencional, ni en la elección del gas, que puede ser cualquiera, ni en la adopción de unidades, que es innecesaria. Se trata, por tanto, de un criterio universal. Ante todo, salta a la vista que todas las temperaturas tienen el mismo signo, pues no hay volúmenes negativos, y basta atribuir convencionalmente un valor numérico al intervalo entre dos puntos fijos cualesquiera para que resulte determinada la posición del cero absoluto. Supóngase, por ejemplo, que se trata de construir una escala centígrada. Si T100 Y To son, respectivamente, las medidas de los puntos de ebullición y de congelación del agua a la presión de una atmósfera, habrá de ser:

T 100

r,

=

lím V 100

(entre medidas).

Vo

La eliminación de T 100 conduce a: To = 100 X lím

Vo V1oo-

Vo

,

[2,2]

148

ANÁLISIS

DIl\'lE

xn.

SIONAL

de donde resulta que la medida en valor absoluto del punto de fusión del hielo puede realizarse sin más que medir la dilatación relativa de un gas cualquiera entre dichos puntos fijos y extrapolando las medidas para hallar el valor correspondiente a p = o. Así es como se ha averiguado experimentalmente que el cero absoluto se halla 273,15 grados centígrados por debajo del punto de fusión del hielo. Es de notar que la determinación del cero absoluto o natural de temperatura se ha logrado sin necesidad de realizarlo experimentalmente, puesto que basta comparar los volúmenes de una masa gaseosa en los dos puntos fijos elegidos. Ni siquiera se exige que la fórmula empleada sea aplicable cuando la temperatura es muy baja, cosa que, por otra parte, es imposible de comprobar experimentalmente, porque no hay ningún cuerpo en el que puedan hacerse medidas de compresibilidad en estado gaseoso cuando la temperatura desciende por debajo de cierto límite. La universalidad de la escala de Avogadro ha sido confirmada, con toda la precisión apetecible, hasta las temperaturas para las cuales el helio se comporta todavía como un gas. Con temperaturas muy próximas al cero absoluto es inútil la ecuación de los gases perfectos, pero ello no obsta para que, con su auxilio y previa la elección del grado, quede determinada la posición del cero.

3. otras escalas universales y absolutas. La escala de Avogadro es absoluta y universal por el hecho de que la razón entre los dos valores que la magnitud p V adquiere en dos recintos isotermos, sólo depende de la temperatura de ambos y no de la naturaleza del gas. Por tanto, se puede afirmar que cualquier otra magnitud que se comporte del mismo modo podrá utilizarse para definir una escala absoluta. Tal es el caso, por ejemplo, con cualquiera de las magnitudes observables en la: radiación del cuerpo negro, como la energía total emitida en un tiempo determinado, la presión de la radiación, etc. Como es sabido, en esta propiedad se basa la medida de temperaturas elevadas. Merece especial mención la que debiera llamarse escala de Gurie porque se funda en la ley siguiente, descubierta por Pierre Curie. La razón entre las permeabilidades que adquiere un cuerpo paramagnético perfecto en dos temperaturas es independiente de su naturaleza. Gracias a esta ley ha sido posible la medida de temperaturas tan bajas que el termómetro de gases deja de ser utilizable.

4.

TEMPERATURA

149

La escala termodinámica.

El segundo principio de la T~rm.odinámi~a niega, com.o.es sabido, ~a .bilidad de construir una maquma térmica que suministre trabajo po SI .J:C t te D . se dispone de dos cuerpos que tengan uueren e mperatura. e no 81 te . cipio se deduce la escala termodinámica o de lord Kelvin, de la es prm uede decirse que goza aún de mayor universalidad que la escala de que p . 'l·d ti ·d Avogadro porque es realizable con cuerpos cua 1esquiera, 801 os, qui 08 o gases. .. No es ésta ocasión de exponer el nada sencillo razonamiento que, partiendo del referido postulado, conduce con todo rigOl:'~ s~ ne~esidad de nuevas hipótesis a la existencia de la escala termodinámica ( ). Nos limitaremos a decir que en esta escala la razón entre dos temperaturas cualesquiera está definida por la fórmula: ~

(To)

=-

J2L

(entre cantidades)

(Qo)

en la que Q y Qo son dos cantidades de calor necesariamente de sig~o contrario. Esta fórmula permite la comparación de temperaturas sin necesidad de introducir ningún elemento arbitrario, por ejemplo, un sistema de unidades. Desde luego, basta adoptar convencionalmente para el valor del grado el intervalo entre dos temperaturas fijas, para que queden determinadas ambas en valor absoluto, lo que prueba la existencia del cero absoluto o natural. Finalmente, todas las temperaturas han de tener el mismo signo, y basta convenir en que todas sean positivas para poder afirmar que el cero absoluto constituye el límite inferior de todas las temperaturas.

5. Relación entre las diversas escalas universales. La temperatura se manifiesta en la Física como una variable de la que, en mayor o menor grado, dependen todas las magnitudes físicas (**). Toda magnitud, M, que dependa de la temperatura servirá para establecer una escala universal con tal de que la razón (M)f(Mo) entre los valores (*) Véase el trabajo de Carathéodory (61) y su resumen en el libro del autor (46). . . (**) Al escribir esta frase viene a la mente la idea de excl.= el tiempo, por aquello de que es la variable independiente por antonomasia. Pero. en Física no se opera con tiempos, sino con duraciones, las cuales son funCión e diversas magnitudes que, a su vez, suelen depender de la temperatura.

JB

150

ANÁLISIS

xn.

DIMENSIONAL

que toma en dos puntos fijos cualesquiera sea independiente de la naturaleza de los cuerpos que le sirven de soporte, pues bastará convenir en que sea

J'!L (To)

= (M)

el problema de Análisis dimensional planteado por la ecuación [5,3] se y

"

formulara asi:

T

T

(entre cantidades).

(Mo) 7tI

La elección del grado queda arbitraria y, por tanto, siempre se puede imponer la condición de que resulte una escala centígrada, y así quedará definida la medida de cualquier temperatura con relación al cero físico respectivo. Si la magnitud considerada no cambia de signo, no habrá temperaturas negativas Como se ve, existe la posibilidad de definir diversas escalas universales centígradas, y se plantea la cuestión de averiguar la relación que ha de existir entre las mismas. La solución ha de hallarse en cada caso particular, sea empíricamente, sea con auxilio de las teorías vigentes, cosa que ya está hecha en los casos que más importan. Pero el Análisis dimensional conduce a un resultado curioso, según vamos a ver. Sean M y N dos magnitudes aptas para definir sendas escalas universales mediante las igualdades: [5,1] (,,)

(N)

("o)

(N'o)

--=--

[5,2]

Con su auxilio, y previa la elección del grado en cada una, será posible atribuir a cada punto fijo dos números, T y -r, entre los que habrá de existir una relación funcional:

,,= f(T,

k).

[5,3]

T

k

1

O

a

O

1

b

aJb

1

-

llb

y resulta un solo monomio de dimensión nula: 7t1

o bien:

= Ta/b"k-l/b

,,= CTrI.,

donde C es una nueva constante universal y CJ. = - ajb, Las medidas obtenidas con dos escalas universales diferentes están ligadas por una función monomia. Este resultado lleva consigo los siguientes corolarios: 1.0 Si CJ. > O, será" = cuando T = 0, esto es, los ceros de ambas escalas coinciden. . 2.0 . Si CJ. < 0, será" = 00 cuando T = 0, esto es, una de las escalas está invertida con relación a la otra. 3.0 Basta que en una escala universal no pueda haber temperaturas negativas para que suceda lo mismo en todas las demás. Todas serán escalas absolutas.

°

Para comprobar las precedentes consecuencias, consideraremos universales que hemos mencionado anteriormente. Escala termodinámica de lord Kelvin:

las escalas

(Q = cantidad de calor tomada del recinto isotérmico T en un ciclo de Carnot) Escala de Avogadro: (TA)

Por hipótesis, ambas escalas son universales, lo que lleva consigo el que en [5,3] no pueda figurar ninguna constante característica. Admitamos, sin embargo, que figure una constante universal, k. Puesto que al establecer las escalas [5,1] y [5,2] no ha sido preciso fijar las unidades en que se han de medir (M) y (N), dicha constante sólo podrá depender de las unidades que se adopten para medir T y -r, por lo que su fórmula dimensional habrá de ser;

151

TEMPERATURA

(TA)o

(pV) = (pV)o

Escala de Stefan: (Ts) (Ts)o

(1)

=~

(1 = intensidad

de la radiación total emitida por un cuerpo negro)

Escala de Curie: (fl. = permeabilidad

de un cuerpo paramagnético perfecto)

152

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

Experimentalmente se ha comprobado con la de lord Kelvin, luego: T.A = Tó

que la escala de Avogadro coincide

0=

ex = Jó

1.

En cambio, la ley de Stefan, hallada primero empíricamente y deducida luego como consecuencia del segundo principio de Termodinámica, dice que:

1 = aT4 y, por tanto,

debe ser: ex=4

CAPíTULO XIII

y, en las escalas centígradas:

CONDUCTIVIDAD

1. El caso más curioso es el de la que hemos llamado escala de Curie; pues como const

fL = ---

T

resulta:

o sea ex =

-

1 Y 0=

1 si (TO)lOO -

(To)o =

-

100,

es decir:

To=-

1

T

si ambas escalas son centígradas. Resulta, por tanto, una escala invertida que podría llamarse escala de frío. Al actual cero absoluto corresponde un frío infinito, el mayor de todos los fríos posibles. Para lograr un frío nulo habría que realizar una temperatura infinitamente grande. Entre T = y T = 1, el frío pasa de oo a 1, y luego es siempre menor que la unidad. En el ambiente en que nos desenvolvemos, todos los fríos tienen medidas pequeñísimas si se utiliza la escala centígrada.

°

TÉRMICA

Leyes fundamentales.

En la teoría de la conducción del calor, que, como sabemos, sirvió a Fourier para sentar las bases del Análisis dimensional, intervienen, además de la longitud y el tiempo, la temperatura, e, y el calor, Q. Del calor tenía Fourier ideas equivocadas, pero estableció correctamente su medida recurriendo al calorímetro de hielo, y esto basta para considerar el calor como magnitud física primaria. De la temperatura nada dice Fourier; supone que el lector sabe manejar termómetros y da por supuesto que se trata también de una magnitud física primaria. La Física moderna ha confirmado esta presunción, según se ha visto en el capítulo precedente. Las leyes en que Fourier basa su teoría, que pueden ser enunciadas como relaciones de proporcionalidad entre cantidades, son: 1.0 La cantidad de calor que fluye a través de un elemento de superficie dS, situado en el seno del sólido, en el tiempo dt, está dada por la expresión vectorial: dQ =

-

K(grad e·dS)dt,

[1,1]

donde K es un coeficiente característico del sólido, que se denomina conductim'dad térmica. 2.0 Si el cuerpo está sumergido en un medio fluido, y se evitan las corrientes de convección, el calor que se pierde a través de la superficie dS en el tiempo dt vale: dQ = H(e-

eo)'

dS'dt,

[1,2J

154

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

donde H es otro coeficiente que depende del está sumergido, y se denomina eonduetividad 3.0 Si un elemento de volumen, d V, del una cantidad de calor, dQ, experimenta un dada por: se = ~ dQ e' ar '

xm.

sólido y del medio en que superficial. . . cuerpo consIderado, recibe aumento de temperatura [1,3]

donde e' es otra constante característica del cuerpo, que se denomina calor específico de la unidad de volumen. 4.° Para los efectos de su propagación, el calor se comporta como un fluido indestructible, por lo que se cumple la ecuación de continuidad:

CONDUCTIVIDAD

En una porción esférica de radio, ro, se desarrolla bruscamente cierta eantidad de calor, que origina en la misma una elevación súbita, eo, de fa. temperatura. El medio se hallaba inicialmente a 00, y se trata de averiguar cuál es la temperatura, e, al cabo de un tiempo, t, en un punto -que dista x = r - ro de la superficie de la esfera en que se produjo la perturbación inicial. Las magnitudes a considerar son: e, eo, x, ro, t, K, e' y resulta: L

T Q

[1,4]

e

x

O O 1 O

1 O O O

O

1

O 1 O O -

= L-2T-1e-1Q [e'] = L-3e-1Q. En la propagación del calor en medios sólidos no hay movimiento de cuerpos materiales, y por eso no intervienen ni masas ni densidades. Tanto la teoría como el Análisis dimensional pueden ser desarrollados ignorando la relación dimensional entre el calor y las magnitudes mecánicas L, M, T, a condición de reemplazar M por Q en la base. En régimen estacionario, la temperatura no depende del tiempo y será ae = O en la ecuación [1,3] y L\e = O en la [1,4] lo que muestra que e' no interviene en el fenómeno.

o bien:

4.

6~ 6.+ V

K

e'

- 1 - 1 -1 1

-3

1/2 -

V

e = eo~ (x

2. Sistema dimensional.

[H]

155

3. Propagación del calor en un medio indefinido.

e

En las ecuaciones fundamentales [1,1], [1,2], [1,3] Y [1,4], figuran, además de longitudes y tiempos, dos nuevas magnitudes primarias, que son la temperatura y la cantidad de calor. Por otra parte, dichas ecuaciones contienen sendas constantes dimensionadas, K, H Y e', de donde se deduce que pueden construirse sistemas coherentes de unidades eligiendo arbitrariamente las unidades de longitud, tiempo, calor y temperatura. Estas magnitudes son, pues, dimensionalmente independientes y forman una base tetradimensional, que es la indicada para el tratamiento de los problemas de conducción del calor. En esta base, las fórmulas dimensionales de K, H Y e', son: [K] = L-IT-1e-1Q

TÉRMICA

O 1 1

-

1/2

1/2

e' , ~) Kt ro

V

~t' '.

~t ).

Propagación del calor en una barra.

_ Una barra ilimitada en ambos sentidos, se encuentra a 00 y, en el 'Instante t = O, recibe cierta cantidad de calor en un trozo de longitud b, -de tal modo que todo él queda a una temperatura e. Se supone que no hay pérdidas laterales, y se trata de calcular la distribución de temperaturas al cabo del tiempo t. . Intervienen en este problema las mismas magnitudes que en el anterIOr, salvo el radio ro que ahora es sustituido por el segmento b. En consecuencia será: [4,1] Si hubiese pérdidas laterales, habría que añadir la conductividad superficial, H, y resultaría un nuevo monomio pi y la fórmula sería: e=eof

((f. x

e' -,b

Kt

V

-

e' be' -,_).

Kt

Ht

156

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

XID.

oe

Si el calor se propagase con una velocidad constante, v, característica. del medio, y las únicas magnitudes que interviniesen en el fenómeno fuesen K y e', debiera poder formarse un monomio pi con v, K y e'. Pero. al tratar de obtenerlo, resulta un sistema de ecuaciones incompatibles, lo que revela que la velocidad de propagación ha de depender de alguna. otra magnitud. Agreguemos, por vía de ensayo, la distancia, x, a la región perturbada inicialmente:

L

T 6

x

1 - 1

K

e'

Q

O O

11"1

1

1 -1

c'x

1

x

v=N--,

K c'x

[5,1}

donde N = 1(0) es un número fijo. Al mismo resultado se habría llegado en el caso de un medio indefinido, y resulta que las perturbaciones térmicas se propagan con una. velocidad inversamente proporcional a la distancia recorrida. Dos velocidades cabe considerar en la propagación de una perturbación. térmica: la del frente de la onda y la del máximo (o mínimo). Para ambas debiera ser válida la fórmula [5,1] con distinto valor del factor N. Pero en lo que a. la velocidad del frente se refiere, la realidad está en contradicción tanto con las previsiones teóricas como con el Análisis dimensional. En efecto, la propagación del calor a lo largo de una barra fue estudiada por Fourier, quien obtuvo la. ecuación

Vrrkt

fb e o

(
d«,

se ha hecho k = K/c. Esta ecuación está. . 1 . d erdo con [4,1] y da para la velocidad de máximo e 6 (*) se U

que, para x

>>

b, se convierte en:

=2~,

Vm=~ X

'*'

El Análisis dimensional nada puede decirnos acerca de la función universal 1, pero, a suficiente distancia de la perturbación, puede escribirse:

6= __60_

157

e'x

que está conforme con [5,1). La dificultad surge cuando se trata de calcular la velocidad, VI, del frente, pues la fórmula [5,2] da 6 O para t O, cualquiera que sea x, lo que significa que el frente de la perturbación debiera propagarse con velocidad infinita,
1 -1 -3 -1 O -1 - 1 1 1

O O O

v=~/(~).

TÉRMICA

ara abreviar la escritura, oond e, P

5. Velocidad de propagación del calor.

v

CONDUCTIVIDAD

[5,21

'*'

'6. Transmisión del calor por tuberías. Por un tubo de diámetro D circula un fluido con la velocidad media v, y se trata de averiguar el coeficiente de transmisión del calor, -r, esto es, la cantidad de calor que pasa cada unidad de tiempo a través de la unidad de superficie, cuando entre el fluido y el medio exterior existe una diferencia de temperatura de l0. En régimen laminar, además de las magnitudes citadas, intervendrá el líquido por su conductividad térmica, por su calor específico referido .a la unidad de masa, e, y por su coeficiente de viscosidad. Para simplíficar la cuestión admitiremos que el tubo es muy buen conductor, y que ni su naturaleza ni el estado de su superficie influyen en el fenómeno.

(*) Un observador colocado en un punto de abscisa x, observará la tempel'atura máxima en un instante dado por la condición

ANÁLISIS

158

La solución es: 1

1

O

1

O O O O

1 O

O

L M

-2 O

T 6

- 1 -1

Q 7t¡ 7t2

-

1

O O O O

1

T=

K

v

D

't"

XIII.

DI 'lENSIONAL

~

O

-1

O -1 - 1 1 -

1

-1

-

O -

-

1 1 1

1 -

1 1

O O

O

O

1

1

El monomio efLjK se denomina número de Prandtl. Lo represen-

de Reynolds, y será:

L T

La fórmula empírica propuesta por Mc.ádams, es:

Conocidas las dimensiones de las magnitudes que intervienen en la. conducción del calor, el Análisis dimensional permite abordar problemas que, por su complejidad, serían prácticamente insolubles por aplicación directa de la teoría de Fourier. He aquí un ejemplo, conocido con el nombre de problema de Boussinesq, que se ha hecho famoso por la polémica que ha suscitado (62). (*) Para las aplicaciones del Análisis dimensional al transporte ~el c~lorpor convección, véase el articulo de M. Palomares, en la Reo. de la Uriiuersidad de Madrid, vol. VI, pág. 307, 1957.

1.1

q

a

O

1 O O O

-1

6'

Enfriamiento de un sólido en una corriente líquida (*).

q a v 6 e' K

El problema de Análisis dimensional se plantea como sigue:

tamos por s-. Si el régimen es turbulento, habrá que introducir, además, el número>

7.

159

Pérdida de calor por unidad de tiempo. . . . . . . . . . . . . .. Dimensión lineal del sólido... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Velocidad del liquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Exceso de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Calor específico del liquido por unidad de volumen.. . . . Conductividad térmica del líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

~(~).

Veremos en el capítulo próximo que la base que hemos utilizado al resolver este problema es superabundante porque el calor es homogéneo> con la energía. Pero se ve fácilmente que la solución es correcta.

TÉRMICA

Un sólido rfgido ocupa una posición fija en el seno de una corriente liquida, y es mantenido a una temperatura constante que excede en 60 a la que tiene el liquido a gran distancia del sólido. Calcular el calor que pierde el sólido cada unidad de tiempo. Este problema, que en el fondo coincide con el estudiado en el apartado anterior, fue tratado por lord Rayleigh (7 b), admitiendo que en el fenómeno en cuestión intervienen las siguientes magnitudes:

¡;.

e

CONDUCTIVIDAD

Q

O 1

7t¡ 7t2

1 -1 O 1

e'

v

6

1

-1 O - 1 1 -1 -1 O 1 1

-1

O O

O O

K

-3

O - 1 1 O

O - 1 1 - 1

La característica de la matriz formada con los exponentes dimensionales es h = 4, Y pueden formarse infinidad de parejas de monomios pi independientes. Por la naturaleza del problema, debe considerarse q como función de las restantes magnitudes, por lo que conviene hacer sucesivamente, €q = 1, €q = O. Simultáneamente, puede elegirse arbitrariamente el exponente de otra magnitud, que puede ser cualquiera con tal que el determinante formado por las cuatro columnas encabezadas por las magnitudes restantes sea diferente de cero. En este caso se encuentran las parejas q, v y q, e'. Con la primera pareja resulta: q

=

aK6¡ (

ae'v ----¡¡-,

W, ...

)

.

Esta fórmula suministra informaciones precisas, a saber: 1.0 La pérdida de calor es proporcional al exceso de temperatura. 2.0 Si se cambia el tamaño del sólido y la naturaleza y la velocidad del fluido de modo que el monomio ae'vjK conserve su valor, la pérdida de calor es proporcional a la conductividad calorífica del líquido y a la dimensión lineal del sólido.

-~-----~~------------~

160

A ÁLISIS DIMENSIONAL XIII.

El método seguido por lord Rayleigh es el propio de los tiempos de Fourier, cuando, por no haber sido descubierto el principio de la equivalencia entre el calor y el trabajo, había que considerar el calor como magnitud independiente de las magnitudes mecánicas (*). Podría pensarse que, al atribuir al calor la misma dimensión que al trabajo, el teorema de pi suministrase más información que la conseguida por lord Rayleigh. No ocurre así, sin embargo, porque la representación dimensional de las magnitudes que intervienen en el problema de Boussinesq requiere una base de cuatro, y es indiferente utilizar la L, T, Q, e, o las L, M, T, e, según se comprueba fácilmente. En el próximo capítulo volveremos a ocuparnos en este problema. 8.

h

L

T

e

Q 7t1 7t2

NR

e

r

- 1 - 1 O 1

1 1 O O

O O 1 O

1 - 1 -3 O - 1 O O - 1 -1 O 1 1

1 O O

O O 1

- 1 O O

K

e'

O -1 O - 1 1 O

O 1 O -

= Kecp

X'

( e'v

NR )

= Kerpl(NR),

r

que pone de manifiesto la posibilidad de medir la fl t . . s uc uaciones de v en una corriente turbulenta por los cambios que· . te hje. experimenta el cocien-

2 1 O O O 1 1

Y la solución puede escribirse así: h

161

v=~f(~)se ¡'

v

-

TÉRlIfiCA

o bien:

Este aparato se basa en el enfriamiento de un alambre colocado transversalmente en una corriente fluida. Se admite que el enfriamiento es proporcional a la longitud y que, además de las magnitudes consideradas por lord Rayleigh en el problema anterior, influye la viscosidad cinemática del fluido, por depender de ella la turbulencia. Representando por r el radio del alambre, y por h la pérdida de calor por unidad de longitud y por unidad de tiempo, resulta el siguiente cuadro de exponentes dimensionales: v

DUCTlVIDAD

tiene que ser un número fij o el mismo para tod 1 . ha de ser: ' os os gases . En consecuenCla,

Anemómetro de alambre caliente.

h

co

.

En los gases perfectos, según se verá en el capítulo XV, la viscosidad es proporcional a la conductividad térmica, por lo que el monomío e'vjK (*) Creía Fourier que el calor venía del Sol y que, como la gravedad, atravesaba todos los cuerpos. ANÁLISIS

DIMENSIONAL. -

11

CAPíTULO XIV TERMODINÁMICA

1.

Calor.

Elaboró Fourier su teoría analítica del calor cuando no se había descubierto la equivalencia entre el calor y el trabajo, esto es, cuando la Termodinámica estaba por crear. Procede, pues, revisar las modificaciones que este nuevo capítulo de la Física introduce en la estructura dimensional. En primer lugar, la Termodinámica ha precisado el concepto de calor. Calor es lo que pasa de un cuerpo caliente a otro frío cuando están en contacto, es decir, la causa de que se establezca el equilibrio térmico entre ambos. Se trata, desde luego, de una magnitud primaria. Para lograr su definición intrínseca conviene notar, ante todo, que el calor no es función de estado, pues sólo puede hablarse del que absorbe o desprende un cuerpo cuando experimenta determinada transformación. Cualquiera de los métodos calorimétricos sirve para comparar cantidades de calor por vía operacional y universal. El principio de la equivalencia liga el calor con el trabajo mediante una relación de proporcionalidad: siempre que un sistema recorre un ciclo, hay proporcionalidad entre el calor absorbido, Q, y el trabajo realizado, W. Al pasar a la ecuación entre medidas, se puede introducir una constante universal y escribir que, en toda transformación cíclica: JQ'= W.

[1,1]

Gracias a la constante, J, el calor conservó su carácter de magnitud independiente de las magnitudes mecánicas, y pudo ser medido en

164

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

XIV.

unidades arbitrarias. Ahora, por acuerdo internacional, se debe expresar el calor en unidades mecánicas, lo que equivale a suprimir la constante universal en [1,1]. Ello no va en detrimento del Análisis dimensional, puesto que, por ser [1,1] una ley fundamental aplicable sin excepción a todos aquellos fenómenos en que interviene el calor, los símbolos J y Q' irán siempre unidos, tanto en el planteamiento de cualquier problema como en su solución, por lo que puede reemplazarse el producto JQ' por Q, con la consiguiente simplificación de las fórmulas. De acuerdo con lo que precede, nuestro segundo postulado afirma que la constante J es superflua, pues las magnitudes Q y W no son inseparables, sino transformables una en otra y queda confirmada una vez más la validez del mismo. En resumen: gracias al primer principio de Termodinámica, el calor se convierte en una magnitud homogénea con la energía mecánica, y no es preciso aumentar el sistema dimensional.

3.

165

Sistema dimensional.

Las ecuaciones [2,1] Y [2,2] pueden considerarse como los postulados de existencia de la energía interna y de la entropía, respectivamente. Como tales ecuaciones no representan relaciones de proporcionalidad entre magnitudes coexistentes, huelga, en virtud de nuestro segundo postulado, la introducción de constantes universales, por lo que las unidades coherentes de energía interna y de entropía quedan determinadas en cuanto se elijan las unidades de calor y de temperatura. Se podrá, pues, seguir usando una base de cuatro, que podrá ser la L, T, e, Q, o la L, M, T, Las nuevas fórmulas dimensionales, en esta última, serán:

e.

[U] [S] 4.

2.

TERMODINÁMICA

= =

L2MT-2

e-

L2MT-2

1•

Variables independientes y constantes características.

Energía interna y entro pía.

El primer principio de Termodinámica, al postular que el calor es una forma de la energía, implica, en virtud del principio de conservación de esta última, la existencia de una magnitud de estado definida por la siguiente expresión, válida en una transformación cualquiera: [2,1] Del segundo principio, según se vio en el capítulo XII, se deduce que la temperatura es una magnitud de las que hemos llamado primarias. Además, dicho principio lleva consigo el que, en todo ciclo recorrido por vía reversible, sea:

¡~=o J e

Al plantear un problema cualquiera de Análisis dimensional, es preciso saber cuáles son las variables independientes cuyos valores determinan el estado del sistema. En Termodinámica se admite que el estado de un sistema cualquiera queda definido por el volumen y la temperatura, de tal manera que, en el estado de equilibrio, otra magnitud cualquiera será función de dichas variables y de la composición del sistema. Tratándose de cuerpos puros, esto es, de sistemas formados por un solo componente, se demuestra que su comportamiento termodinámico queda definido por la masa y por los siguientes parámetros, que en general son funciones de volumen y de la temperatura: Cv

=~m ( ddeQ)

v

calor específico para volumen constante

[4,1]

' ex. -

y, en consecuencia, en una transformación reversible cualquiera deberá suceder que:

t d e dila t aCIonISOara ., . b - 1 (8 -- V ) caefilCIene V 8e p

x- [2,2]

donde S es una nueva magnitud de estado que se denomina entropía.

~ V

( 8V ) 8p

e

compresibilidad isotérmica.

[4,2]

[4,3]

Conviene en todos los problemas de Termodinámica reemplazar la masa, m, por el número de moles, definido por: n -m/Mr

[4,4]

166

ANÁLISIS DIME

XIV.

SIONAL

que es directamente aplicable a todo cuerpo formado por una sola especie de partículas. En esta fórmula, m es la masa con que se opera y Mr es la razón: [4,5]

TERMODINÁMICA

Las fórmulas dimensionales de ey, o: y x se deducen inmediatamente de sus fórmulas de definición: [ey] = L2T-2 1

a-

a-

[('/..] =

[x.] entre la masa, mm, de cada partícula (molécula, átomo, ión, electrón, etcétera) y la dozava. parte, mu, de la masa del átomo neutro del núelido 12C: mu'"

1,66037 X 10-24

La unidad coherente con [4,4] es el mol. Es aquella masa cuya medida, m, es igual a la masa molecular relativa, Mr, del cuerpo que se considere. Es, pues, una unidad derivada, que depende del cuerpo con que se opera y del sistema de unidades que se adopte. Por eso hay que distinguir entre el mol-gramo (mol-g) y el mol-kilogramo (mol-kg) que es la unidad en el sistema de Giorgi (*). . (*) Se n~s presenta ahora la ocasión de comentar lo que la Unión Internacional de. F'ísica Pura y Aplicada ha decidido acerca de la definición del mol. En la últlma. recopilación de. sus decisiones (~oc. S. U. N.: .61-44) se dice que: «Se recomienda que la unidad mol sea considerada en Física como la unidad de cantidad de sustancia (indicada por el símbolo Q). La definición del mol debe ser: 1 mol (símbolo mo.l) es la cantidad de sustancia que contiene el mismo número de moléculas (o iones, átomos, electrones, según los casos) como átomos hay, ~xactam.ente, en 16 gramos del isótopo puro 160. Esta magnitud y su correspondi~nte unidad deben ser consideradas, allí donde se utilicen, como una nueva magrutud fun~a.mental y como una nueva unidad fundamental, respectivamente.e . E~tl;\ ,defirnClón del mol, teniendo presente la sustitución del 160 por el 12C, coincidiría c.on la que se obtiene por coherencia con la ecuación [4,4] a no ser porque se fija el gramo como unidad de masa. Esta arbitraria restricción hace que la llamada cantidad de sustancia adolezca del mismo defecto que el pH y la co.nstante química, por lo que debe desecharse. Sí s~ deja libre la unidad de masa, la cantidad de sustancia coincide con lo que siempre se ha llamado número de moles. Es, pues, homogénea con la masa, y no. hay r~zón para ampliar la base con una magnitud más. . Si se quiere dar al mol un símbolo que exprese cómo está relacionado con la unidad de masa, se puede proceder como sigue: 1 g/Mr

==

1 mol-g;

1 kg/Mr

==

1 mol-kg,

donde M¿ es un número que se encuentra en las bablas de masas moleculares relativ:as, distinto para cada especie de partículas y que no depende del sistema de unidades que se adopte.

=

1

LM-IT2.

Todavía se utilizan en Termodinámica otras magnitudes secundarias, a saber:

entalpía

H= U+pV F= U-TS G= U+pV-TS

g

Como Mr tiene dimensión nula por ser la razón entre dos masas, se deduce de [4,4] que en] = M-l.

167

energía libre entalpía libre,

todas las cuales son homogéneas con la energía. 5.

Constante de los gases perfectos.

Se supone en Termodinámica que a todo cuerpo físicamente homogéneo corresponde una ecuación de estado, f(p, V, a) = 0, que liga la presión, el volumen y la temperatura juntamente con ciertas constantes características del cuerpo que se considere. Nada se prejuzga acerca de dicha función y, con los métodos puramente termodinámicos, no se puede deducir la forma de la misma. Pero hay un grupo de cuerpos, constituido por los sistemas gaseosos y las disoluciones diluidas, cuya ecuación de estado, con cierta aproximación, toma la forma:

pV

=

nRa,

[5,1]

donde n es el número de moles y R la constante de los gases perfectos. Cuando se quiere mayor aproximación, se sustituye la ecuación [5,1] por otras más complicadas, pero siempre la temperatura termodinámica a aparece multiplicada por la constante R. . Si [5,1] fuese la expresión de una ley universal cabría, en VIrtud de nuestro segundo postulado, prescindir de la constante R, con lo qu~ seguiría siendo suficiente la base tridimensional de la Mecánica. Aun asi, no se debería atribuir a a la misma dimensión que al producto p V (energía), pues el número de moles, a pesar de su denominación, no es un número puro, sino una magnitud homogénea con la masa. En todo caso se debería poner: [5,2]

168

ANÁLISIS D1l\mNSIONAL

XIV.

como hicimos equivocadamente en un trabajo anterior (62). Decimos equivocadamente porque esta fórmula dimensional sólo es utilizable en aquellos fenómenos que estén regidos por la ecuación [5,1], por ejemplo, en los sistemas gaseosos y en las disoluciones diluidas. Por no haber tenido en cuenta esta circunstancia, obtuvimos un monomio pi éspurio al resolver el problema de Boussinesq en el citado trabajo (62).

169

TERMODINÁl'tllCA

y, si se toma en consideración la ley de Avogadro, en cuya virtud m/Mr ser función universal de p, V, e, resulta:

ha de

pV=~Re, Mr que es la solución correcta. 2.° Con la base reducida: 8' = Como [8'] = L2T-2, resulta:

Re.

pV = m8'f(Mr),

6. La dimensión de la temperatura. Hemos dado ya las razones por las que la temperatura debe considerarse dimensionalmente independiente de las magnitudes mecánicas, pero como este asunto es objeto de controversia, conviene insistir sobre el mismo. La discusión fue iniciada por Buckingham y Tolman (17). Este último autor, que creía que las dimensiones expresaban la esencia de las magnitudes, desarrolló un razonamiento basado en atribuir a la temperatura la misma dimensión que a la energía. Buckingham objetó que ello no era admisible, y Tolman reconoció su error. Pero Bridgman (22) sostiene que Tolman estaba en su perfecto derecho al suponer que la temperatura era homogénea con la energía si ello convenía a su propósito, lo que equivale a considerar las constantes universales como comodines que permiten atribuir la dimensión que se quiera a las magnitudes que motivan la introducción de dichas constantes. La cuestión sigue sin resolver. Landau y Lifshitz (63), por ejemplo, dan por seguro que la temperatura es homogénea con la energía, y no falta quien, como Reichenbach (20), opina que tiene dimensión nula. Evidentemente, el pleito no puede fallarse por consideraciones teóricas, sino recurriendo a la comprobación experimental y, para ello, bastará aplicar el Análisis dimensional a un problema cuya solución sea conocida. Esto es lo que haremos a continuación.

que coincide con la solución anterior. 3.° Veamos lo que sucede si se hace la temperatura homogénea con la energía y se introduce en la lista de magnitudes la constante R con la fórmula. dimensional [R] = M-l. Además de M¿ y de 7t1 resulta el monomio 7t2 = mR, que es espurio y es causa de que la solución p V = mR6f(Mr, mR) sea menos precisa que la hallada por los dos métodos anteriores. 4.° Todavía se puede ver lo que sucede si se atribuye a la temperatura la. misma fórmula dimensional que a la energía y se ignora la existencia de la. constante R. Se llega a la solución

pV

= 6f(Mr),

que es notoriamente falsa porque no figura la masa del gas. 5.0 Para terminar, vamos a examinar la cuestión en toda su generalidad. Supongamos que, de acuerdo con Fr. Russo (24) y con todos los físicos de la. escuela de Bridgman, tan sólo está definida la dimensión del producto R6, por lo que 6 podría tener una dimensión cualquiera con tal de atribuir a R la dimensión conveniente. Sea

7. Ecuación de los gases perfectos. Tratemos de averiguar, con auxilio del Análisis dimensional, la relación que liga la presión de un gas, p, con el volumen, V, la masa, m, y la masa molecular relativa, Mr. 1.° Con la base completa: p

V

m

6

R

1 1

O 1 O O

O O O 1

2

O

3 O O O

1

1

L M

-

T 6

-2

7t1

-1

-

O

El problema que nos ocupa, prescindiendo p L M T

- 1 1 -2

7t1 7t2

1 O

-2

1 -1

1

Em

V

m

e

3 O O

O 1 O

oc Y

1 1

Em

1

1

=

Ee = ER

~

Ee

3~ oc +y

Como M¿ es de dimensión nula, la solución es: p V = mRef(Mr),

del consabido Mr, se plantearía

= -

3(2 + y) 2(oc + y) 3y 2(oc + y)

R 2-oc

-~ -(2 + y) 1 ER

así:

170

ANÁLISIS

XIV.

DIMENSIONAL

Con el monomio "1 se obtiene la solución correcta. El monoxnio rio. La única manera de que no aparezca es hacer (X = 2, 13= 0, y acuerdo con nuestra tesis.

"2

es espu2, de

= -

8. Enfriamiento de una esfera. Al utilizar la base reducida con 6' = R6, hemos tenido la solución correcta, y podría creerse que en todo problema en que figure la temperatura se la puede considerar como homogénea con el cuadrado de la velocidad, y hacer figurar o no la constante R según la índole del problema. Pero el siguiente ejemplo demuestra que no es así. Una esfera perfectamente conductora tiene en el instante t = O, un exceso de temperatura ~6o sobre la temperatura ambiente. Se admite que el enfriamiento depende tan sólo del coeficiente de conductividad superficial, H, del calor específico referido a la unidad de volumen, e', y del radio, r, Se trata de calcular el exceso de temperatura, ~ 6, en función del tiempo. Aplicando la ley de Newton se obtiene fácilmente: ln--

M

3H

--t. c'r

= -

~6o

Utilicemos ahora el Análisis dimensional. 1.o Con la base completa. Desde luego, un monomio pi es: M 1t'1=--'

TERMODINÁMICA

171

"9. Casos en que es viable la base mutilada. Los ejemplos estudiados en los §§ 7 Y 8 prueban que la temperatura es dimensionalmente independiente de las magnitudes mecánicas. En todo llroblema en que intervenga la temperatura deberá utilizarse una base cuadridimensional, tal como la L, M, T, 6. Excepcionalmente, en aquellos casos en que se tenga la certidumbre de que la temperatura no puede figurar sino en el monomio R6, se puede emplear la base reducida L, M, T, pero a condición de emplear, precisamente, las fórmulas dimensionales [6] = L2T-2 Y [R] = M-l_ Con ello no se tiene otra ventaja sino simplificar algo los cálculos. He aquí otra enseñanza lograda con los ejemplos que hemos analizado. La fórmula dimensional [6] = L2T-2, deducida de la ecuación de esta-do p V = nR6 al prescindir de R, no ha resultado viable sino en casos -especialea, Ello se debe, evidentemente, a que dicha ecuación sólo es aplicable a un grupo particular de fenómenos (los que ocurren en sistemas gaseosos y disoluciones diluidas), y no de un modo general. De aquí se infiere que, para hallar la dimensión de una magnitud primaria es preciso recurrir a una ley universal. Las leyes particulares, tales como la expresada por la ecuación de los gases perfectos, no sirven para este propósito. De haber establecido previamente este requisito no se hubiera planteado siquiera el problema de averiguar RiR es o no superflua.

~6o

a

y el otro se obtiene como se indica a continuación: M L

H

e'

M T 6

O O -1 O 1 1 O -3 -2 1 - 1 -1

"2

O

1 -1

r 1 O O O

O O 1 O

- 1

1

,/ /'

Juhupacio de las maqnitudes mecenic es.

I

I

Se ve que el sistema' es incompatible a no ser nulo el exponente de ~6. Con esta condición es "2 = Htjc'r, y la solución

I

I I

i/ ft FIG.

es correcta. 2.0 Con la base reducida, L, M, T Y [6] = L2T-2. Además de los dos monomios pi hallados antes, aparece el monomio espurio "3 = ~6t2/r2, que revela que el empleo de la base mutilada no es viable en el caso que nos ocupa.

2. - Representación

vectorial de las magnitudes M, E, 6, R

El adjunto esquema (fig. 2) puede servir para aclarar nuestro pensamiento. La representación de las dimensiones de las magnitudes mecáni(las requiere un subespacio vectorial tridimensional, pero si nos atenemos a casos de equilibrio, bastan dos magnitudes básicas, que pueden ser la

172

ANÁLISIS DIME

XIV.

SIONAL

energía, E, Y la masa, M. La temperatura, por ser independiente de las magnitudes mecánicas, ha de representarse por un vector que esté fuera de dicho subespacio, y otro tanto sucede con la constante R. Pero el monomio Re, por ser homogéneo con el cuadrado de la velocidad, cae en el subespacio de las magnitudes mecánicas. 10.

Solución del problema de Boussinesq.

Con lo que precede estamos ya en condiciones de intervenir en la polémica entablada en torno del problema de Boussinesq, del que tratamos ya al hablar de la teoría de la conductibilidad térmica. La solución dada por lord Rayleigh fue criticada por Riabouchinsky (64), quien hizo notar que, si en vez de considerar la temperatura como magnitud independiente, se define como la energía, media de las moléculas, se llega a un resultado diferente. En efecto: utilizando la base mutilada L, T, Q, y atribuyendo a la temperatura termodinámica la misma dimensión que a Q, el problema se plantearía como indica el siguiente cuadro:

L

q

a

v

6

1

1

O O

1

O O

O

1

T

O 1

Q

1

~l

1

O O

~2 ~3

Como la característica

O

-1 1

1

3

O

e'

-3 O O O

-1

O O

1 1

bouchinsky es correcta, y deja la impresión de que este ejemplo es una razón más para justificar su escepticismo en todo lo que se refiere al Análisis dimensional. Desde nuestro punto de vista, la cuestión se resuelve fácilmente. Planteado el problema, esto es, fijada la lista de las magnitudes que intervienen en el fenómeno, se obtendrá la solución correcta utilizando la base completa L, M, T, 6. Pero en el planteamiento hay que decidir si intervendrá o no la constante de los gases. Esta decisión cae, evidentemente, fuera del alcance del Análisis dimensional. Tal como el problema fue planteado por lord Rayleigh, no figura R en la lista, hipótesis plausible, puesto que, tratándose de un fluido prácticamente incompresible, la presión no influirá de un modo apreciable, y huelga tomar en -consideración la ecuación de estado. Será, pues:

1 -

q

aK6'

a

q L M

T 6

1

O O O

-2

-3

O

1

-

1

-1

O

-

1

1

1

O O O

O

O

~l

1

~2

O

K

6

2 -3

e'

v

-

O

-1 1

1

-

-1

O

1 1

1 1

1

1 1

K

ae'v

- 1 -1 O

~l

=

~2=-X;

ai6;

:y esta solución, que reputamos

-1 -1

O

correcta, coincide con la dada por lord Rayleigh. Dejamos al cuidado del lector el comprobar que, si se utiliza la base mutila-da L, M, T, y las fórmulas dimensionales:

es h = 3, resultan tres monomios pi independientes:

~ -

173

TERMODINÁMICA

.

con lo que la solución es menos precisa que la dada por lord Rayleigh. A la observación de Riabouchinsky replicó lord Rayleigh en los siguientes: términos: «La cuestión promovida por Riabouchinsky pertenece más bien a l~ Lógica. que al uso del principio de similitud, que es lo que me concierne. Merece, sin embargo, ser discutida a fondo. La solución a que llegué se basa en las ecuacíones, de Fourier para la conducción del calor, en las que la temperatura y el calor se consideran como sui generis. Ciertamente sería paradójico el que un mejor conocimiento de la naturaleza del calor, logrado por la teoría molecular, nos pusiera en peores condiciones al tratar de resolver un problema particular. La solución parece consistir en que las ecuaciones de Fourier llevan envuelto algo acerca de la naturaleza del calor y de la temperatura, que es ignorado en la argumentación de Riabouchinsky.» Bridgman, al comentar la controversia precedente, dice que la respuesta de lord Rayleigh le deja frío. Opina, sin justificarlo, que la solución de Ría-

[6]

= L2MT-2;

[el

= L-3;

[K]

=

Ir+;

[R]

= M-l,

'se obtiene el monomio espurio e'a3_

11.

Relación entre la viscosidad y la conductividad térmica de un gas perfecto.

La relación v/K entre la viscosidad cinemática y la conductividad 'térmica, para valores determinados de la presión y de la temperatura, sólo podrá depender de la naturaleza del cuerpo que se considere, esto es, -de los coeficientes e', y x, que determinan 'el comportamiento termodinámico de un cuerpo cualquiera, según se deduce de los principios de la 'Termodinámica. Los coeficientes y x derivan de la ecuación de estado y, .si se trata de un gas perfecto, sólo podrá depender de las variables p y e J' de la constante R. (l(.

(l(.

174

XIV.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

L M T

v/K

e'

R

1

-1 1

O

-1

e

2

-2

-2

1

-

-1

1 1 1

1 O

1t"1 1t"2

v 1'1=

2

O O

p

te

O

O O O 1

1

-2 O

O

-

1

1

1'2=

--o

e'e

,

e;

--

y la ecuación dada podrá tomar la forma:

O

-1

P

Para completar la información suministrada por el Análisis dimensional, observaremos que entre el calor específico referido a la unidad de volumen, e', y el calor molar Ov existe la relación:

e

,

Ov V'

Salvo factores numéricos, las magnitudes Pl' VI Y el coinciden con las constantes críticas del gas en cuestión, y en la ecuación precedente está contenida la ley de los estados correspondientes. Se ve fácilmente que cualquier ecuación de estado que contenga tan sólo tres parámetros y permita calcular en función de los mismos los valores de las constantes críticas, lleva consigo la validez de la referida ley. 13.

Distribución de presiones en la atmósfera.

Se admite que la presión al nivel del mar es constante y vale Po, Y que la temperatura está ligada con la altura, z, por la ecuación:

=--

e

donde V es el volumen molar. Resulta así:

P y es sabido que Ov/R es un número fijo, proporcional al número, l, de átomos contenidos en la molécula. Será, pues: ve'

12.

=

1

1

1 O

O O O

O O O 1

O O

1 O

-

T O

-2

consto

P

pb2 a

P

= --; P1

= Pot)¡

eRb 1'2=--=--;

a

e el

1'3=-

V b

=--

V V1

=

Po

1 -1

az g) ( 60' aR

( eo-az) eo

g

R

1 O

O

-2

.

b) = Re

y con las magnitudes que en ella figuran pueden formarse los siguientes. monomios pi:

= --

O O 1

La fórmula completa es: (V -

P

1'1

1 O

-1

P Pl

La ecuación de Van de Waals, referida al mal, es:

;2)

-

a

1'1=--

Ley de los estados correspondientes

'(p +

eo-az. 00

L M

1t"2 1t"3

=

z

p

e'e

-]{l

175

TERMODINÁMICA

g aR

2 -2

O

-1

O 1

-1

O

CAPíTULO XV MECÁNICA ESTADíSTICA

1.

La constante de Boltzmann.

En Mecánica estadística se introduce una nueva magnitud, la probabilidad W, que tiene dimensión nula y que, por tanto, no altera el sistema dimensional. La alteración se produce cuando se establece la conexión con la Termodinámica postulando que, en todo sistema térmicamente aislado, la entropía de cada estado es función universal de su probabilidad. Este postulado basta para que el Análisis dimensional prevea la existencia de una nueva constante universal, k, que recibe el nombre de constante de Boltzmann (*) y que es necesaria para que la relación

s = k/( W)

=

k In W

+ So

[1,1]

cumpla la condición de homogeneidad. En todo problema de Mecánica estadística habrá que contar con la constante de Boltzmann. Además, como [k] = [S] = L2MT-26-1

[1,2]

serán precisas cuatro magnitudes básicas. (*) Todos los autores llaman a k constante de Boltzmann, pero Planck en su autobiografía (26) reivindica para sí el haber obtenido la relación S = k ln W, y haber demostrado que k es la constante de los gases referida a una molécula. Según Planck, Boltzmann, nunca introdujo tal constante, ni mucho menos trató de averiguar su valor. Pues, de haberlo hecho, habría tenido que calcular el número de átomos que existen en un porción determinada de materia, tarea que dejó a su colega Loschmidt, mientras él, en sus propios cálculos, se atuvo siempre a la posibilidad de que la teoría cinética de los gases no pasara de ser una imagen mecánica de la realidad. ANÁLISIS

DUIENSrONAL. -

12

178

ANÁLISIS

xv.

DIMENSIONAL

De acuerdo con nuestro segundo postulado, la constante de Boltzmann es ineludible, puesto que la entropía y la probabilidad son inseparables. La medida de la probabilidad depende de la definición que se adopte, y la experiencia ha hecho ver que es preciso proceder de distinto modo según los casos, y de aquí que, además de la estadística clásica de Boltzmann, hayan entrado en vigor las nuevas estadísticas cuánticas de Bose-Einstein y de FermiDirac. En todo caso, la probabilidad es una magnitud de dimensión nula, por lo que en cualquier problema de Mecánica estadística en que figuren magnitudes termodinámicas habrá que contar con la constante de Boltzmann y atribuirle la fórmula dimensional [1,2]. Además, su valor numérico subsiste en las nuevas estadísticas, puesto que, por figurar en [1,1] el logaritmo de la probabilidad, un cambio en la medida de W afectará tan sólo a la constante aditiva So.

2.

Príncípío de equipartición. Constante de Avogadro.

La conexión entre la temperatura y las magnitudes mecamcas se logra gracias al principio de equipartición de la energía, que establece que, en todo sistema en equilibrio estadístico, la energía correspondiente a cada grado de libertad vale, por término medio:

e = .!... ke.

MECÁNICA ESTADÍSTICA

179

El que muchos autores, de acuerdo con Tolman y Bridgman, opinen que la temperatura puede tener la misma dimensión que la energía procede de suponer que la constante de Boltzmann es superflua, con lo que se puede hacer k = 1, Y de [2,1] re ulta [6] = [E]. Pero hemos visto en el capítulo precedente que al proceder así aparecen monomios pi espurios cuando se aplica el Análisis dimensional a ciertos problemas, y ello basta para afirmar que la constante de Boltzmann es ineludible. Sflgún la Mecánica estadística, los conceptos de entropía y de probabilidad sólo tienen sentido en sistemas formados por gran número de elementos sometidos a sus acciones mutuas, de tal modo que sea posible atribuir una probabilidad, W, a cada estado del sistema compatible con las condiciones exteriores, y los principios fundamentales postulan que ha de haber proporcionalidad entre la entropía y el logaritmo de la probabilidad, por una parte, y entre la temperatura y la energía media correspondiente a cada grado de libertad, por otra. Se trata de parejas formadas por magnitudes, inseparables, por lo que, en virtud de nuestro segundo postulado, el factor de proporcionalidad ha de ser una constante universal ineludible. La constante de Bo1tzmann y la constante de la gravitación desempeñan papeles análogos. Con la fórmula mg = VGmi se puede eliminar de todas las fórmulas la masa inercial o la gravitatoria. Del mismo modo, la ecuación [2,1] puede servir para prescindir de la temperatura termodinámica, 6, sustituyéndola por la magnitud 6c = k6. No hay que olvidar, al hacer esta sustitución,

e

[2,1]

2

Es interesante hacer ver que, si existe una relación entre la energía cinética media de las moléculas y la temperatura, el Análisis dimensional permite prever la relación [2,1]. Con las magnitudes e, m, e, k y v, sólo puede formarse un monomio pi, en el que no figura la masa ni la velocidad media. Ha de ser, por tanto: e: =

Cke

Re R 3. - Diagrama vectorial que muestra las relaciones entre las magnitudes de la Mecánica estadística con las de la Mecánica clásica y con la temperatura FIG.

y queda así demostrada la proporcionalidad energía cinética media de traslación.

entre la temperatura

y la

Para los movimientos de rotación hay que reemplazar la masa por el momento de inercia, I, con lo que aparece un nuevo monomio pi que complica la solución:

y ya no se puede afirmar que exista la proporcionalidad entre 6 y E.

que la nueva magnitud, que podemos llamar temperatura cinética, por llamarla de algún modo, es cosa totalmente distinta de la temperatura sensible. La primera, por definición, ha de medirse hallando la energía media de cada partícula, dividiendo por el número de grados de libertad, y multiplicando por 2; es, por tanto, homogénea con la energía. En cambio, la magnitud 6 es la temperatura sensible, la que se mide con los termómetros y, según hemos hecho ver anteriormente, su fórmula dimensional no puede ser establecida a base de magnitudes mecánicas.

180

xv.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

La figura 3, complemento de la 2, muestra las relaciones entre las magnitudes k y !le, que son las propias de la Mecánica estadística, con las magnitudes de la Mecánica clásica y con la temperatura, considerando como vectores sus respectivas dimensiones de acuerdo con la teoría de R. San Juan. Se ha incluido otra constante universal, el número de Avogadro, NA, que, como es sabido, está ligado con las otras dos constantes, k y R, por la ecuación:

181

MECÁNICA ESTADÍSTICA

n,

Además de 6, V y la constante universal k, intervendrá la compresibilidad, x. Como con estas magnitudes sólo puede formarse el monomio de dimensión nula TI1

x6k

= --,

V

resulta:

R=N..I.k

1 Ti

y cuya fórmula dimensional (*) es:

V( n-n-)2 -_ cp (Xk6) ----v- .

[N..I.] = M-l.

En la fórmula completa es: 3.

Ley de distribución de Boltzmann.

Dado un sistema constituido por un gran número, N, de sistemas elementales en equilibrio estadístico y mantenido a temperatura constante, 6, averiguar el número de los que poseen energías comprendidas entre e: y e: ~e:. Se supone que e: puede variar de modo continuo. Con las magnitudes dadas se puede construir un monomio pi, TI = e:/k6, y dos factores de forma, (;)1 = 1ft/N y (;)2 = ~e:/e:. El segundo puede reemplazarse por (;)3 = ~e:/k6. Será, pues:

+

No -N c=:

cp

(_e:k6' ~)k6

.

La solución completa, en el caso de un gas perfecto, es:

~ ( x~e ) ~ 5.

4.

Fluctuaciones estadísticas.

En un sistema en equilibrio estadístico, mantenido a temperatura constante, el número de partículas contenidas en cierto volumen, V, es, por término medio n. Áveriguar el valor medio de la fluctuación cuadrática definida por:

x~e .

Ley de distribución de MaxwelI.

Dada una masa gaseosa formada por un número muy grande, N, de moléculas iguales, de masa m, averiguar el número, dN, de las que tienen velocidades comprendidas entre e y e de, cuando la temperatura es 6. Se supone que las acciones entre las moléculas consisten exclusivamente en choques elásticos. Con las magnitudes mencionadas y la constante de Boltzmann se pueden formar tres monomios pi:

+

~e:

k6

V

TI

1-

dN N '

__

o

de

TI2

= --;

e

TIs =--

mc2 k6

y la solución es de escasa utilidad, pues en ella figura una función desconocida con dos parámetros. Se puede precisar algo más la información suministrada por el Análisis dimensional teniendo presente que, por la isotropía del espacio y la ausencia de fuerzas exteriores, si se representan las velocidades de las moléculas por sendos vectores trazados desde un punto cualquiera, el valor de dN será igual al número de vectores cuyos extremos quedan entre dos esferas de radios e y e de, o sea en un volumen 41te2de. Esto pone de manifiesto que el elemento de debe figurar multiplicado por e2, cosa que se logra sustituyendo 1t2 por

+

(*) Muchos físicos creen erróneamente que el número de Avogadro tiene dimensión nula, porque se obtiene contando el número de molécula-s que hay en un mol. Pero olvidan que el mol depende de la unidad de masa, por lo que un mol-kg, por ejemplo, vale 1000 mol-g.

182

ANÁLISIS

y puede afirmarse que dN

=

xv.

DIMENSIONAL

f2 ~2)

N ( :

e2~ (

7. de.

La fórmula completa es: dN

6.

4N

m

V rr

2k8

= ,e. ( --

3/2 )

(

mc2

e2 exp - --) 2k8

de.

Presión de una masa gaseosa.

Hallar la relación que liga la presión, p, de un gas perfecto con el número, NI' de moléculas contenidas en la unidad de volumen, con la masa, m, de cada una, y con la energía cinética media, E, por grado de libertad. Se admite que las dimensiones lineales de las moléculas son muy pequeñas en comparación con el recorrido libre medio. En este problema intervienen magnitudes mecánicas exclusivamente, por lo que bastan tres magnitudes básicas, L, M, T, Y la solución es:

Viscosidad de los gases.

La teoría cinética explica la viscosidad de los gases como un transporte de ímpetu entre choque y choque. Es un fenómeno puramente mecánico, que se produce aunque no haya diferencias de temperatura y, en consecuencia, para aplicar el Análisis dimensional bastará una base de tres, que pueden ser L, M, T. Las magnitudes a considerar son: la masa, m, de las moléculas; el número, NI> de las contenidas en la unidad de volumen; su velocidad media, y el recorrido libre medio. He aquí el planteamiento y la solución:

e,

(J.

m

L

- 1

M T

1 -1

o 1 o

7tI 7t2

1 -1

o

o

(J. =

€=~k8 2

recurriendo al principio de

'

e

NI

-3

o o

A

1

1

o

o o

-1

-1 -1 1/3 o

-1

1

mNleA~CANl/3).

Si no se trata de gases ultraenrarecidos, ocurre que A < < 1/Nl1/3, por lo que, con gran aproximación, puede atribuirse a ~ el valor O = ~(o): (J.

Se puede hacer intervenir la temperatura equipartición:

183

MECÁNICA ESTADÍSTICA

Como mNl

=

= OmNlcA.

p, resulta: (J.

La teoría completa da 0=

= OpCA.

[7,1]

1/3.

con lo que resulta: 8. y como, si N es el número total de moléculas, V el volumen, NA la constante de Avogadro y n el número de moles, se cumple que:

N Nl=--· V' queda en definitiva:

Conductividad térmica de los gases

La conducción del calor en los gases se debe al transporte de energía cinética efectuado por las moléculas, por lo que constituiría un problema mecánico a no ser porque la magnitud a calcular es una magnitud térmica. Habrá, pues, que agregar la constante de Boltzmann a la lista de las magnitudes que figuran en el problema anterior, y serán precisas cuatro magnitudes básicas, por ejemplo, L, M, T, 8. En esta base, la fórmula dimensional de la conductividad térmica es: [K] = LMT-3fJ-l

o bien: pV

= O'nR8.

y el Análisis dimensional conduce a la expresión K

=

N;é;A.k~(ANl/3),

184

XV.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

que, para valores no excesivamente pequeños de la densidad, se convierte en: [8,1]

MECÁ ICA ESTADÍSTlCA

185

el Análisis dimensional conduce a n(E) =

V1;4L84).

q(E)

rp ( q(E)

vE1;L 8

De la comparación de [7,1] y [8,1] resulta: (LN1

vN o sea __ 1_ K

= const,

pK

= const,

que está de acuerdo con el resultado hallado en el § 11, capítulo XIV, pues e' es proporcional a Nll. 9.

Densidad de moderación de los neutrones.

En la teoría elemental de los reactores se presenta el problema de averiguar el número de neutrones, n(E)dE, que en cada unidad de volumen poseen energías comprendidas entre E y E dE. Esta magnitud dependerá de las siguientes variables: 1.° La llamada densidad de moderación, q(E) (slowing down density), que es el número de neutrones que, en cada unidad de volumen, atraviesan cada unidad de tiempo el nivel de energía E. 2.° De la energía considerada, E. 3.° De la masa, m, del neutrón. Esta magnitud puede sustituirse

+

V

por la velocidad v = 2E [m, pues E figura ya en la lista. 4.° De la naturaleza del moderador, del cual sólo interesa el poder moderador q:, que representa la pérdida logarítmica media de energía por unidad de camino. Como puede verse en cualquiera de los muchos libros que tratan de esta cuestión, la solución se logra tras de razonamientos alambicados y cálculos nada sencillos. Fermi indicó un medio fácil, pero se le hace la objeción de ser poco riguroso. Vamos a ver que el Análisis dimensional justifica el método d~ Fermi. Como muestra el siguiente cuadro: n(E)

v

L

-5

1

M

-

O

T

1

2

1'Cl

1

1'Cz

O

-

~:E ,

E

q(E) -3

2

O

1

O O

1

1 4

1

-1

1 1

-1 -1

-2 O

-

1

Es evidente que, a igualdad de otras circunstancias, n(E) ha de ser proporcional a q(E) y como esta variable interviene en el argumento de rp, es preciso que esta función degenere en un número fijo, G. Por tanto: n(E)

=

Gq(E) .

vE1;L

8

Para hallar el número C bastará considerar un caso sencillo, lo que justifica el suponer, como hace Fermi, que la pérdida logarítmica de energía en cada choque, 1;= - /).In E, es infinitamente pequeña, con lo que se obtiene fácilmente el valor G = 1.

CAPíTULO XVI RADIACIÓN

1.

TÉRMICA

Y MECÁNICA

CUANTISTA

Necesidad de una nueva constante universal.

Demuestra la experiencia que en toda cavidad mantenida a temperatura constante, con tal de que contenga una partícula de un cuerpo negro, esto es, de un cuerpo capaz de absorber y emitir radiaciones de todas las frecuencias, se establece un estado de equilibrio en el que la densidad de energía y la composición espectral de la radiación son independientes del tamaño y forma de la cavidad y de la naturaleza de sus paredes. Como la partícula absorbente obra sólo a manera de catalizador que provoca el paso al estado de equilibrio más estable, resulta que no hay más variable independiente que la temperatura, por lo que cualquier otra magnitud, y en particular la densidad de energía, habrá de ser función de dicha variable (*). Si u es la densidad de energía, como [u] = L-IMT-2,

se ve inmediatamente que es imposible obtener un monomio de dimención nula en que no intervengan más que u y e, por lo que el Análisis dimensio(*) Refiere Planck en su autobiografía (27) que, para lograr que la magnitud W, que figura en la fórmula S = k In W, pudiese ser interpretada como una probabilidad, tuvo necesidad de introducir una nueva constante universal h, que, por tener la misma dimensión que la acción (energía X tiempo), denominó -cuanto elemental de acción. No es fácil hacer conjeturas acerca del razonamiento mediante el cual, por consideraciones dimensionales, llegó Planck a su maravilloso descubrimiento, y debe reputarse como obra de un genio. Con nuestro segundo postulado y con la hipótesis de los fotones la cosa resulta obvia.

188

ANÁLISIS

XVI.

DIME "SIONAL

nal exige que en dicha función esté presente una constante universal. Ni la. velocidad de la luz ni la constante de los gases sirven para el caso, pues. en su fórmula dimensional no figura la masa. Agotados con esto los recursos de la Termodinámica, cabe la esperanza de que se resuelva la dificultad con ayuda de la Mecánica estadística. Para aplicar los métodos estadísticos a la radiación térmica, imaginó> Planck un sistema de resonadores lineales en equilibrio con la misma. De este modo, se operaba con gran número de elementos entre los cuales. eran posibles las transferencias de energía, condición indispensable para. poder aplicar dichos métodos. Con este artificio logró Planck su propósito, pero ahora ya no es necesaria la introducción de elementos extraños,. porque se sabe que la radiación está constituida por partículas de luz ofotones, que formarán una colectividad estadística si se hace posible le transferencia de energía entre los mismos. Éste es, precisamente, ell papel de la partícula de cuerpo negro que hay que colocar en la cavidad, cuando sus paredes son perfectamente reflectoras, para asegurar el equilibrio estadístico. En Mecánica estadística disponemos de la constante de Boltzmann,. y procede ensayar si con las magnitudes u, e, e y k se puede formar un monomio pi. Pero ocurre que las ecuaciones que se obtienen al plantear el problema son incompatibles, pues la característica de la matriz; formada con los exponentes dimensionales:

RADIACIÓ

TÉ~lICA

k

e

2

O O O 1

L M

-1 1

T

-2

-2

O

-1

e

1

vale 4, que es justamente el número de magnitudes. Por tanto, el Análisis dimensional permite afirmar que en la teoría de la radiación ha de intervenir una nueva constante universal. 2.

La constante de Planck.

Según nuestro segundo postulado, para que una constante universal sea indispensable es preciso que figure en la relación que liga las medidas. de dos magnitudes inseparables. En los fotones, sólo cabe considerar dos magnitudes variables, la energía, e, y la frecuencia, v, pues la velocidad con que se mueven en el vacío es común a todos ellos, carecen de masa. en reposo, y su carga es nula.

189

e: = kv,

-pero el profesor Teófilo Isnardi nos ha hecho notar, muy atinadamente, -que por igual razón se podía hacer:

-donde x es un número racional cualquiera, positivo o negativo. Por tanto, .sólo se puede afirmar que la fórmula dimensional de k debe ser: [k] = L2MT-2+x,

-en la que x es un número racional indeterminado. Es evidente que el Análisis dimensional, por sí solo, nada puede decirnos respecto del valor de x. Pero, en muchas ocasiones, basta un conocimiento elemental de la parte física del problema que se aborda para llegar a resultados que precisan más la solución. Vamos a demostrar que, en nuestro caso, basta tener -en cuenta la ley de Wien:

e

= const,

Vm

e 1 O -1 O

MECÁ ICA CUANTISTA

En la primera edición de este libro dábamos por supuesto que estas 'Consideraciones bastaban para escribir, en virtud de nuestro segundo -postulado:

-

u

y

para poder afirmar que ha de ser, precisamente, x = 1. Representando por uvdv la energía correspondiente al intervalo espectral dv, deberá haber una relación entre uv, v, e y las constantes universales k, e y h. Para facilitar los cálculos tendremos presente que, por tratarse de un problema -de Mecánica estadística, las magnitudes k y han de figurar formando el monomio ke. En el siguiente cuadro se indica el modo de plantear y resolver el problema dimensional:

e

u L M

-

T

-

1tl 1t2

ke

v

2

1 1 1

O O - 1

1 O

-2-xO X

1

-2 -

h

e 1 O - 1

1

-2+x -

3 O

1

2

y resultan dos monomios pi:

hv'"

1t2 =

kQ'

1 1

190

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

XVI.

por lo que habrá. de ser:

+

x)v:"+z

I ( h;;

) +

v~+z

t' ( h~:m )

h Z-¡ O --xv tn = ,

+ x)1

191

(

hv"m ) + r ( k6

m)

Z

hvzm

k6

k8

hV

VZm

=

27t

~f «»

z3dz

ex)

e

Z -

o

=

5,672.10-5 g

S-3

0C-4.

1

x = O

'

4. Ecuación de lord Rayleigh.

de la que, despejando vXmJ6 se deduce:

-6-

donde cr = Ck4J4c2k3 es la constante de Stefan. La teoría completa da (véase, por ejemplo, J. Palacios, 46, pág. 332), cr

k6

o sea: (2

TÉRMICA Y MECÁNICA CUANTISTA

El flujo por unidad de superficie y por unidad de tiempo vale:

donde I es una función indeterminada. Veamos ahora si la precedente ecuación está de acuerdo con la ley de Wien. A este fin, hallemos el valor vm para el cual adquiere Uv su valor máximo. Deberá ser:

(2

RADIACIÓN

= const,

y basta comparar con la ley de Wien para deducir que ha de ser x = 1. En resumen: si se admite que la radiación está formada por fotones, que su> estado de equilibrio depende tan sólo de la temperatura y que su estudio puedeefectuarse por métodos estadísticos, el Análisis dimensional permite afirmar que, además de las constantes universales e y k, ha de intervenir otra, h, y nuestro segundo postulado conduce a la fórmula dimensional

Además, para que se cumpla la ley de Wien ha de ser x = 1. El gran mérito de Planck consiste en haber logrado, por consideracionas dimensionales, llegar a la conclusión de que debía existir tal constante, y hallar su fórmula dimensional sin hacer uso, ni de la hipótesis de los fotones ni de) referido postulado.

La Mecánica estadística de Boltzmann, que había logrado grandes éxitos al ser aplicada a los gases, fracasó totalmente cuando se trató de obtener con su auxilio la distribución de la energía en el espectro de la radiación negra. Representando por uvdv la densidad de energía correspondiente al intervalo espectral dv, deberá haber una relación entre uv' '1, 6, k Y c. El Análisis dimensional (*) conduce inmediatamente a

que, con C = 87t, coincide con la fórmula hallada por lord Rayleigh y Jeans, la cual, como es sabido, es totalmente inaceptable. La dificultad sólo pudo ser resuelta con auxilio del cuanto de acción de Planck, como veremos en el apartado que sigue.

5. Ley de Wien y ecuación de Planck. Abordemos el problema del apartado anterior tomando en consideración la constante de Planck, k. Resultan así dos monomios pi:

3. Ley de Stefan. Gracias a la nueva constante, k, resulta ya viable el problema de hallar la función que Íiga la densidad de energía con la temperatura. absoluta, pues con las magnitudes u, c. k, k y 6 puede formarse un monomio pi:

7ti

=

7t

kv

2-Te' -

(*) Ya Hopf (65) trató de hallar la fórmula de Rayleigh por consideraciones dimensíonales, pero incurrió en el error de hacer la temperatura homogénea con la energía, con lo que obtuvo:

y habrá de ser:

.

[3,1]

Uv

v26

= const --,

c2

en la que la constante no es un número fijo, sino una constante dimensionada.

192

XVI.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

RADIACIÓN TÉRMICA Y MECÁNICA CUANTISTA

193

donde z está dado por la ecuación (*):

o bien: 7t

--2 -

hv

5(1 -

kS'

y la solución es:

t (hV)

, - ~ Uv-

--

e3

[5,1]

•

kS

De esta fórmula se deduce inmediatamente la ley de Wien (*), según la cual, si Am es la longitud de onda a la que corresponde la máxima energía, ha de ser: AmO = const = b. Como el monomio "

"

1

=

"1"2

2

-

e-z) = z.

Gracias a nuestro segundo postulado, y basándonos en la existencia de los fotones, hemos logrado predecir la existencia de la constante de Planck y, con su auxilio, hemos deducido las leyes de Stefan y de Wien con sus respectivas constantes, salvo sendos factores numéricos. La radiación térmica sirvió a Straneo (67) de ejemplo para poner a prueba un método basado en un supuesto vinculo que ha de existir entre las diversas constantes universales de una teoría. Da por supuesto que en la radiación se requieren cuatro magnitudes básicas tales como L, M, T, 6, y que han de intervenir las constantes universales e, h y k, todo lo cual es correcto, y basta, según hemos visto, para lograr el resultado apetecido. Pero admite luego, sin justificación, que ha de existir una relación, u = 1(6, O),

tiene también dimensión nula, la expresión [5,1] puede tomar la forma:

lo que revela que Uv/S3 es función universal de S/v. Por tanto, el valor de S/v = AS/e, que hace máxima la densidad de energía Uv para cada valor de S habrá de ser una constante universal, que es la ley de Wien (*). AmS

= const =

[5,2]

b,

La solución completa del problema fue lograda por Planck gracias a su hipótesis de los cuantos, y es: Uv=--

e3

exp (hv/kS) -

1

que está de acuerdo con [5,1] y da para la constante de la ley de Wien -el valor b

=

_1

z

constante

6.

v3

87th

donde O es una constante universal vinculada COIl e, h y k. Con estas limitaciones previas consigue deducir tan sólo la ley de Stefan, pero no la manera de obtener O a partir de e, h y k. Esto muestra que el método de Straneo no agrega nada nuevo al Análisis dimensional. Antes bien; sólo es aplicable en casos muy especiales y, aun entonces, suministra menos información que la que se logra aplicando el teorema de pi. En un artículo aparecido recientemente, trata de probar el profesor Epstein (68) que, una vez establecida la ley de Wien, el Análisis dimensional permite prever la existencia de la constante de Planck. En realidad, lo que demuestra es que tiene que haber una constante universal que no puede obtenerse mediante una expresión monomia formada con las constantes e y k. Pero de ello no se deduce que tal constante tenga necesariamente la misma dimensión que la de Planck.

Presión de radiación.

Como en la radiación térmica no hay más variable independiente que la temperatura, la presión deberá ser función de S, y podrán figurar las constantes e, h y k. Con las magnitudes citadas sólo puede formarse un monomio pi, y la solución es:

he

k'

. (*) . Para la deducción de las leyes de Stefan y de Wien por consideraciones -dirnensionales con auxilio del cuanto de acción, véase el articulo de Runge (66).

(*)

Véase, por ejemplo, el libro del autor (46), pág. 331.

ANÁLISIS

DUrENSIONAL. -

18

194

ANÁLISIS DIMENSIONAL

o bien, teniendo presente [3,1]: p La teoría completa da 01

7.

=

°lU.

= 1/3.

Constante química.

Para los fines de la Mecánica estadística clásica, un gas perfecto queda definido por la masa, m, de cada una de sus moléculas. Por otra parte, la existencia de la constante química se predice mediante el tercer principio de Termodinámica, o teorema de Nernst, que equivale a postular la existencia de un dominio finito de igual probabilidad en el espacio fásico, dominio cuyas dimensiones están relacionadas con el cuanto de acción de Planck. De aquí resulta que la constante química, K, ha de depender de m, k y h. Recordando la fórmula dimensional de la constante química dada en el § 4 del capítulo VI, resulta: K L

M T

e

7t'1

-1 1

-2 - 5/2 1 -

K=O

m

h

O 1 O O

2 1 -1 O

3/2

3

k 2 1

-2 -1

- 5/2

m3f2k5f2

h3

La fórmula deducida teóricamente por Sackur y Tetrode es:

,

donde g representa la multiplicidad, o peso estadístico 2l estados cuánticos magnéticos del nivel fundamental.

+ 1 de

los

CAPíTULO XVII

ELECTROMAGNETISMO 1.

Magnitudes primarias.

De todas las magnitudes con que se opera en Electromagnetismo, las únicas que importan para establecer el sistema dimensional son las que hemos llamado primarias, esto es, aquellas para las cuales es posible definir la Suma por vía operacional y universal sin necesidad de recurrir a la medida de otras magnitudes. A continuación enumeramos las magnitudes primarias con el postulado que sirve para establecer el criterio de suma en cada una. Oarga eléctrica. La carga eléctrica, Q, se manifiesta por la creación en torno suyo de un campo en el que se observan ciertos fenómenos peculiares que daremos por conocidos. Su carácter de magnitud primaria resulta de admitir que las cargas eléctricas se suman por acumulacián (capítulo II, § 5). Corriente eléctrica. Las corrientes eléctricas se manifiestan por determinados efectos observables (térmicos, magnéticos y electrolíticos) que permiten definir una magnitud primaria, llamada intensidad. Su criterio de igualdad es obvio, yen cuanto al de suma, basta postular que las intensidades son aditivas por acumulación. Se dirá, por ejemplo, que una corriente es igual a la suma de otras dos cuando la primera produzca los mismos efectos electrolíticos que las otras dos puestas en paralelo. Vectores eléctricos. En todo punto de un campo electrostático pueden observarse dos magnitudes dirigidas que se manifiestan por sendos efectos característicos. Una es la intensidad, E, responsable de las fuerzas que se ejercen sobre los cuerpos electrizados. La otra es la inducción, D,

196

ANÁLISIS

DIMENSIONAL XVII.

que es la causa de los fenómenos de electrización por influencia, esto es, de la aparición de cargas de signo contrario en las caras de una lámina metálica, cargas que adquieren su valor máximo cuando la lámina se coloca en determinada posición. Tanto E como D son magnitudes primarias en virtud de un principio de su/perposicion, que puede enunciarse aSÍ: las magnitudes E y D se comportan como ueciores, esto es, las cantidades de cada especie se suman por la regla del paralelogramo. Según el referido principio, si ·E es la fuerza que se ejerce sobre la unidad de carga, la que actúa sobre una carga Q valdrá: f= EQ.

[1,1]

Además, por ser E y D vectores coexistentes en un punto, deberá ser: D = eE,

[1,2]

donde e es un tensor, característico del medio, que se denomina permeabilidad eléctrica, permitividad o constante dieléctrica, el cual se convierte en un escalar en los medios isótropos. Campo magnético. Las cargas eléctricas .en movimiento y los imanes crean en torno suyo un campo magnético, que se manifiesta por fenómenos peculiares que daremos por conocidos. En todo punto de un campo magnético pueden observarse dos magnitudes dirigidas que se manifiestan por sendos efectos característicos. Una es la inducción magnética, B, responsable de los efectos ponderales. La otra es el poder imanador, H, que es la causa de los fenómenos de imanación por influencia (*). Ambas son magnitudes primarias en virtud de un principio de superposición que puede enunciarse así: las magnitudes By H se comportan como vectores. (*) Cuando Maxwell formuló las ecuaciones del campo electromagnético no se preocupó ~n dar las definiciones epistémicas de los cuatro vectores E D B, .H, Y no es fá~ll encontrar tales definiciones en los libros de Electromagnet¡g'mo: quizá porqu~ piensan los autores que bastan los nombres o que sus definiciones est~n contelll~as en las referidas ecuaciones. Pero, si nos atenemos a las denorninacIOn~s cláaicas (H = intensidad, B = inducción), habríamos de atribuir a H las acciones ponderales y a B lo~ fenómenos de imanación por influencia. y ~ucede q.u~, en VIrtud <;lelas ecuaciones del campo electromagnético y en contra ~ la opinión del propIO Maxwell, las cosas ocurren justamente al revés, según hIZO.notar Sornmerfeld (69), por lo que H debiera llamarse inducción y B iny,ensId~d. Tal como están las cosas, lo más viable parece ser seguir llamando mducc~ón al vector B, por ser el causante de las corrientes inducidas, y llamar poder Imanador al vector H, según hemos propuesto en un trabajo anterior.

ELECTROIl1A.GNETISMO

197

Por ser B y B vectores coexistentes en un punto, habrá de cumplirse que: B = fLB,

[1,3]

donde fL es un tensor, característico del medio, que se denomina permeabilidad magnética, el cual en los medios isótropos se convierte en un escalar.

2. Leyes fundamentales. De muchas maneras se pueden clasificar las leyes del Electromagnetismo en fundamentales y derivadas, y cada autor elige como fundamentales las que considera más adecuadas desde el punto de vista pedagógico. Para el Análisis dimensional sirve cualquier sistema de ecuaciones fundamentales, pues todos conducen al mismo sistema de fórmulas dímensionales, pero con objeto de poner de manifiesto que se cumple nuestro primer postulado, adoptaremos las ecuaciones que pueden enunciarse como relación de proporcionalidad entre cantidades. Ley de Famday-Gauss. Toda carga eléctrica engendra un campo eléctrico en el que la inducción es proporcional a dicha carga y está en razón inversa del cuadrado de la distancia: (D) ~ (Q)

(entre cantidades).

(r)2

[2,1]

Al pasar a la ecuación entre medidas, hay que poner un factor de proporcionalidad que resulta ser independiente del medio; es una constante universal. Pero como la relación [2,1] no liga dos magnitudes inseparables, nuestro segundo postulado afirma que tal constante es superflua, y puede recibir un valor numérico cualquiera. Con C = 1 resulta el sistema no racionalizado: Dn=-

al paso que, con C =

1/41t

Q r2

(entre medidas),

se obtiene el sistema racionalizado: D

=

_1_!L. 41t

,.2

[2,2]

198

XVII.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

El empleo de uno u otro sistema tiene importancia cuando se trata de obtener sistemas de unidades coherentes, y es actualmente cuestión debatida en los organismos internacionales (70). Para nuestros fines, da lo mismo un sistema que otro, pues el cambio de factores numéricos no altera la estructura dimensional. En lo que sigue nos atendremos al sistema racionalizado. Combinando [1,2], [1,3] Y [2,2], se obtiene la ley de Coulomb. Ley de Rowland. La intensidad de una corriente es proporcional a la carga que atraviesa cada sección transversal en la unidad de tiempo: (1) '"

199

ELECTROllfAGNETISl\10

El factor de proporcionalidad es independiente del medio, y superfluo según nuestras normas. La ecuación entre medidas en el sistema racionalizado es: [2,5] f = Bll. Además de las leyes que hemos enunciado, hay otras que se refieren a fenómenos particulares, tales como los electrolíticos o los originados por las cargas en movimiento, pero en tales leyes no se introducen nuevas magnitudes primarias ni constantes universales ineludibles, por lo que no es preciso tomarlas en cuenta en Análisis dimensional.

i2L. (t)

3. Sistema dimensional.

La constante universal que pudiera figurar en la ecuación entre medidas es superflua en virtud de nuestro segundo postulado, por lo que, con unidades coherentes habrá de ser: l=~. t

[2,3]

, Ley de Anvpére. Toda corriente rectilínea indefinida engendra en torno suyo un campo magnético transversal cuyo poder imanador es proporcional a la intensidad de la corriente y está en razón inversa de la distancia:

Entre las nueve magnitudes primarias, t, L, T, Q, 1, E, D, B, H, Y las constantes e y [L, existen las siete ecuaciones independientes que hemos formulado en los dos apartados anteriores. En virtud de lo dicho en el § 5 del capítulo IV, podrán elegirse cuatro magnitudes para formar la base, y con ello quedarán determinadas las fórmulas dimensionales ~e todas las demás. Cualquiera de 105 grupos formados por las tres magmtudes mecánicas y una electromagnética sirve para el caso, pues es seguro que son dimensionalmente independientes. Además, la fuer~a ~uede sustituirse por la masa a fin de que todo se reduzca a una amphac~on .de la base que hemos utilizado en Mecánica. Adoptando la carga e~ectrlCa como cuarta magnitud básica, se tiene el siguiente sistema de formulas dimensionales:

En la ecuación entre medidas figura una constante universal que, según nuestras normas, es superflua. En el sistema racionalizado es: H=_l_ 27tr '

[H] = L-1T-1Q

[1] = QT-l [E]

= LMT-2Q-l

[D] = L-2Q

[e]

=

[B] = MT-1Q-l [[L]

= LMQ-2.

L-3M-1T2Q2

[2,4]

y en el no racionalizado

Se comprueba fácilmente que con las ecuaciones de Maxwell: H=~.

r

[2,4']

Ley de La/place. Toda corriente eléctrica, colocada transversalmente en un campo magnético, experimenta una fuerza, perpendicular al campo y a la propia corriente, que es proporcional a la inducción magnética del campo, a la intensidad de la corriente y a su longitud: (f) '" (B) (1) (l).

B=

D=eE

div B = O

div D = q rotH=

. t

[LH

aD +-at

resulta el mismo sistema dimensional.

rotE = ---,

aB

at

200 4.

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

XVII.

La racionalizaci6n de Heaviside.

De acuerdo con nuestro criterio, las unidades derivadas han de cumplir la condición de ser coherentes con el sistema de ecuaciones fundamentales. De aquí que sea necesario precisar tales ecuaciones, y sucede que los diferentes autores las escriben de distinta manera, por lo que aunque se fijen las unidades básicas, no quedan unívocamente determinadas las unidades derivadas. Por otra parte, no hay unanimidad acerca de si, aparte la temperatura, se necesitan tres o cuatro unidades para formar la base. Todo esto ha originado una situación caótica en la que hay gran número de unidades para cada magnitud, y resulta un verdadero rompecabezas el saber cuándo debe utilizarse cada una y el averiguar y retener los factores de conversión. Buena prueba de ello es que la Comisión S. U. N. no ha sido capaz todavía de definir la unidad de poder imanador en el sistema de Giorgi. Una de las causas del embrollo es el empleo de dos sistemas de ecuaciones, las primitivas y las racionalizadas, que difieren en la presencia del factor 41t en algunas de ellas. El causante de esta complicación fue Heaviside, quien, en 1880, llamó la atención sobre la «erupción del 47t», que consiste en la aparición de este número en casos en que su presencia no le pareció justificada. Este físico eminente tenía la opinión -por lo visto compartida por los geómetras y los demás físicos- de que tal número está vinculado de algún modo en la curvatura, y, por eso, consideraba absurdo el que, por ejemplo, aparezca en la fórmula que da la capacidad de un condensador plano, siendo así que no hay en él nada curvo. El opera El de la

número Te procede de la Geometría y se introduce en Física cuando se con longitudes, áreas, volúmenes, ángulos planos y ángulos sólidos. primer encuentro con el número 7t ocurre en la ecuación que da la longitud circunferencia: l = nd; [4,1]

Es ésta una ley geométrica que tiene la peculiaridad de que contiene tan sólo dos cantidades directamente comparables, pues ambas son longitudes. Esto quiere decir que, al pasar de la relación de proporcionalidad: (l) ,....,(d)

(entre cantidades)

[4,2]

a la ecuación entre medidas [4,1], queda determinado el factor de proporcionalidad, que resulta ser el número Te = 3,141592 ... En este caso particular, la ecuación no define ninguna unidad; cualquier unidad de longitud es coherente con ella.

ELECTROMAGNETISMO

201

Vemos que el número Te no es el resultado de ningún convenio. Resulta de comparar la longitud de una circunferencia cualquiera con la longitud de su diámetro. Esta comparación puedo hacerse empíricamente con toda la precisión que se desee, y así se podrá comprobar la ley geométrico. que sirve de fundamento para el cálculo teórico del número en cuestión. Es de notar que la ley [4,1] sólo es válida cuando la circunferencia está trazada sobre un plano. Si apoyando en una superficie cualquiera la punta de un compás, se traza la curva que describe la otra punta, la razón lid entre la longitud de la curva y el doble de la distancia entre ambas puntas podrá tomar un valor cualquiera, que dependerá de la forma de la superficie y del valor de d. Por consiguiente, el número Te es característico del plano o, dicho de otro modo, define la superficie de curvatura nula. Esta consideración echa por tierra la razón aducida por Heaviside en pro de la racionalización que más bien debiera llamarse desracionalización. Se tropieza nuevamente con el número Te en la expresión del área del círculo: [4,3J Ahora se trata ya de dos cantidades, área y longitud, que no son comparables, pues no hay criterio que permita averiguar cuántas veces está la una contenida. en la otra. En otros términos; la ecuación [4,3] sólo es válida a condición de que, dada la unidad de longitud, se adopte una unidad de área que sea coherente con la referida ecuación. El profesor Perucca sostiene que la unidad de área tiene que ser, necesariamente, el área del cuadrado que tiene por lado la unidad de longitud, y da como razón el que con cuadrados se puede recubrir cualquier área plana sin dejar intersticios. Esta razón carece de valor, pues en la unidad de área lo que importa. es el tamaño y no la forma. La yunta, la hanegada, el pie cuadrado o la hectárea pueden tener formas cualesquiera. Por otra parte, si se admite la definición de coherencia propuesta por el Comité S. U. N., habría que prescindir del factor númérico en [4,3] y escribir:

y, con el centímetro como unidad de longitud, la unidad de área sería el centímetro redondo, o sea el área del círculo cuyo radio es un centímetro, cosa inadmisible porque es bien sabido que la unidad de área coherente con [4,3] es el centímetro cuadrado. La ley más general entre las que relacionan áreas con longitudes, es la que afirma que las áreas de dos figuras semejantes son proporcionales a sus dimensiones lineales. Esta ley, aplicada al círculo de radio r, se expresará así: (A)

,....,(r)2

(entre cantidades).

Al pasar a la ecuación entre medidas se puede proceder de dos maneras: o se suprime el factor de proporcionalidad y se escribe: (entre medidas),

202

A ÁLISIS Dll\IE

xvrr.

SIONAL

ELECTROMAG ETISMO

203

con lo que la unidad coherente es el que hemos llamado centímetro redondo, o bien se impone convencionalmente otra unidad cualquiera. Si se conviene en que la unidad sea precisamente el centímetro cuadrado, las leyes de la Geometría plana exigen que el factor de proporcionalidad sea precisamente el número te, el mismo que se obtiene al hallar la razón entre la circunferencia y el diámetro. El razonamiento precedente es aplicable al área de la superficie esférica y al volumen que limita, con lo que llegamos a las siguientes conclusiones: El número rr figura en lo ecuación que da la longitud de cualquier circunferencia en función de su radio como consecuencia de una ley natural. N o hay en ello nada convencional. En cambio, su aparición en las fórmulas que dan las áreas o los volúmenes de ciertas figuras en función de sus dimensiones lineales, es el resultado de un convenio en la elección de sus respectivas unidades.

sidad, 1, de la corriente. En cambio, las medidas de e, fJ., D Y H cambian del siguiente modo: en = 4ne; fJ.n = fJ./47t [4,5]

Desde nuestro punto de vista, al pasar de la relación de proporcionalidad entre cantidades a la ecuación entre medidas, siempre puede ponerse como factor de proporcionalidad (además de la constante universal o característica, si fuere necesaria) un número fijo, que puede ser el 47t u otro cualquiera. De aquí que, si bien no son válidos los razonamientos aducidos en pro de la racionalización, no haya inconveniente en admítirla. Fue cosa desdichada porque aumentó el embrollo, pero una vez admitida por acuerdo internacional, lo mejor es aceptarla. He aquí las dos maneras de escribir las ecuaciones de Maxwell, que tomaremos como fundamentales: No racionalizadas:

que determinan las unidades de E, q, 1, i, si se imponen las unidades de longitud, de fuerza (o de masa), de tiempo y de carga eléctrica. Con esto, las ecuaciones (e), (a), (f), (e) y (b) determinan, respectivamente, las unidades de D, e, B, H Y fJ.. En resumen: para formar un sistema de unidades coherente con las ecuaciones de Maxwell, son necesarias y suficientes cuatro unidades básicas, una de las cuales ha de ser, necesariamente, de naturaleza eléctrica o magnética.

enE

(a);

div Dn = 47tq

(c);

ro t Hn = 47tt .

+ --BDn

Dn

=

(b)

B = fJ.nHn

[4,4]

div B = O (d) (e);

Bt

rotE =---

BB

(f).

Bt

Racionalizadas: D

=

eE

div D = q rot H = i

B

(a);

divB=O

(e);

+

BD Bt

= fJ.H

(e);

rotE = --

(b)

[4,4']

(d) BB Bt

Dn = 47tD;

Hn = 47tH.

Para los efectos de la definición de unidades, hay que descartar la ecuación (d) porque es válida con unidades cualesquiera. Quedan, pues, cinco ecuaciones fundamentales a las que hay que agregar las siguientes definiciones: E _ f/Q; q - Q/V; 1 _ Q/t; i - LjS,

5.

Sistema de Giorgi.

Puede definirse el sistema de Giorgi como un sistema de unidades
(f),

donde i representa la densidad de corriente y q la densidad de carga. Del examen de las ecuaciones [4,4] y [4,4'] resulta, inmediatamente, que las medidas de i, E Y B no se alteran por efecto de la racionalización. Lo mismo sucederá, evidentemente, con la carga Q y con la inten-

donde e es la medida de la velocidad de la luz en el vacío. En el caso actual será: 1 e:o=--=

fJ.OC12

1

47t·

10-7C12

204

XVII.

.ANÁLISIS DIMENSIONAL

donde el = 2,9979· 108 ~ 3· 108 es la medida de la velocidad de la. luz en metros por segundo. Aplíquese ahora el teorema de Gauss para, mediante la ecuación [4,4' (c)] hallar el flujo que, procedente de una carga Q, atraviesa una. superficie esférica de radio r que tiene su centro en la carga. Será:

205

ELECTROMAGNETISl\lO

Como resultado de la controversia, los defensores de la racionalizacíón de 'Cantidades afirman que el símbolo 1t que figura en las ecuaciones del electromagnetismo no es un número «puro», sino que representa la medida de la cuarta parte del ángulo sólido completo cuando se toma como unidad el esterradián. Así, de [5,4] deducen: QT-l [H] = -= LT-IQ . sr-1 [5,5] L . sr

[5,1J y, a beneficio de (a) resulta: E

=

--.:Q,--47t1::r2

[5,2}

y la fuerza que actúa sobre una carga Q' colocada a la distancia r de Q valdrá: [5,3}

que es la ley de Coulomb racionalizada y determina, por coherencia, el culombio. Con esto, las ecuaciones [5,2] y [5,3] dan las unidades deD y E, respectivamente, y la unidad de corriente, que se denomina. amperio (A), resulta de la definición: 1 = Q/t. Aplicando el teorema de Stokes a la ecuación [4,4' (e)], se obtiene para. el poder imanador engendrado por una corriente rectilínea e indefinida. la ecuación: H = I/27tr, [5,4} que determina la unidad de poder imanador, para la que se ha propuesto el nombre de lenz (L). La unidad de intensidad o inducción magnética se denomina tesla (T) y e~tá definida por la ecuación [4,4' (b)], según la cual en todo punto del vaClOen que haya un poder imanador H habrá una inducción magnética:


con [5,5]. Esto prueba que el símbolo

ha de tener di-

-6. Sistemas cegesimales. Suele afirmarse que los sistemas cegesimales utilizan tan sólo tres unidades fundamentales: el centímetro, el gramo y el segundo, Haremos ver que no es así, sino que, como sucede en el sistema de Giorgi, siempre :se impone una condición que determina la cuarta unidad. Los sistemas cegesimales, que se usan todavía en muchos libros de Física teórica, son tres: el electrostático, que representaremos por CGSE, el magnético (CGSM), y el electromagnético o mixto que también se llama 'Sistema de Gauss. Los dos primeros son coherentes con las ecuaciones de Maxwell no racionalizadas, mientras que el sistema de Gauss es incoherente, por lo que trataremos de él más adelante. En el sistema CGSE se impone la condición de que la permitividad del vacío tenga por medida el número: En

B = 47t· 10-7H

1t

= 1

(u. CGSE),

[6,1]

(u. Giorgi). (Jon lo que la ecuación de Coulomb no racionalizada:

~as demás unidades de este sistema, tales como el ohmio, el faradio, el henrio y el uieber se obtienen por coherencia con las ecuaciones de definición de las respectivas magnitudes.

[6,2]

206

ANÁLISIS

xvrr.

DIMENSIONAL

determina, por coherencia, la unidad de carga, que ha recibido el nombre de franklin (Fr). En el sistema CGSM, la cuarta unidad está fijada por la condición de que la permeabilidad del vacío tenga por medida el número fln

=

(u. CGSl\1),

1

[6,3J

con lo que queda determinada la cuarta unidad básica y, con ella, todas las unidades derivadas. Como, en general: efl

=

207

ELECTROMAGNETISMO

que nos dice que el oersted estará realizado en cualquier punto del vacío que diste un centímetro de. una corriente rectilínea e ilimitada cuya intensidad valga medio biot. Como, en general, B = u.H; Y en el sistema que estamos considerando la permeabilidad del vacío ha de valer 1, la unidad de inducción o intensidad magnética, que se denomina gauss (Gs), estará realizada. en cualquier punto del vacío donde el poder imanador valga 1 Oe. La unidad de flujo de inducción se llama maxwell (Mx) y estará. realizada en todo punto de un medio cualquiera donde la inducción valga 1 Gs.

l/e}

y en los sistemas cegesimales e = 2,99796' 1010 dad del vacío tendrá por medida: 1

:::::

3· 1010, la permitivi-

(u. CGSM).

[6,4)

En este último sistema se ha dado el nombre de biot (Bi) a la unidad de intensidad de corriente. La unidad de carga no tiene nombre; en atención a su fórmula dimensional se representa por el símbolo Bi X s. Para hallar la relación entre el franklin y el Bi X s, basta recurrir a la fórmula dimensional:

7.

Factores de conversión.

Puesto que el sistema electrostático y el magnético son ambos coherentes con un mismo sistema de ecuaciones fundamentales, y hemos visto que se requieren cuatro unidades básicas, la relación entre las unidades de una magnitud cualquiera se obtendrá a partir de la correspondiente fórmula dimensional completa, esto es, en una base formada con cuatro magnitudes dimensionalmente independientes, que podrán ser la longitud, la masa, el tiempo y la carga eléctrica. Además, como las unidades de las tres primeras no cambian, bastará tomar en consideración el exponente de Q en la fórmula dimensional. Así, de [H]

[6,5}

= L-1T-1Q

de la que se deduce: 1 Bi X s ( 1 Fr

)2=

en (u. CGSE)

se deduce que la mudad de poder imanador en el sistema electrostático, que representaremos por el símbolo Frjcm· s, está dada por:

en (u. CGSM) 1 Frjcm' s

y, en virtud de [6,1] y [6,4],

1 Oe

1 Bi X s = e Fr ,...., 3· 1010 Fr.

., Para o~tener las urii~ades derivadas hay que recurrir a alguna ecuacion que ligue la magnitud que se considere con otra cuyas unidades hayan sido ya definidas. Tratemos, por ejemplo, de hallar la unidad depoder imanador, que en el sistema CGSM se denomina oersted (Oe). En ~l sistema no racionalizado, el poder imanador engendrado por una, corriente rectilínea ilimitada está dado por: H¿

=

21/r,

1 Fr 1 Bi· s

1

1

e

3· 1010

=-~----

[7,1]

Análogamente, como el potencial eléctrico tiene por fórmula dimensional:

la unidad magnética será e veces menor que la electrostática. Con esto queda en claro una paradoja que ha llevado de cabeza a los físicos. No se comprende el que la razón entre dos unidades de una misma magnitud, que son cantidades homogéneas, venga expresada en función de la velocidad de la luz en el vacío. Resulta paradójico, por ejemplo,

208

ANÁLISIS DIMENSIONAL

XVII.

el que la relación entre las dos unidades de carga, el Fr y el Bi . s, que debiera ser un número, resulte ser igual a una velocidad. Todo consiste en que las condiciones arbitrarias que fijan la cuarta unidad se han elegido de tal modo que la referida relación sea igual al número que mide dicha velocidad en el sistema CGS. El problema de hallar los factores de conversión se complica cuando se trata de pasar de los sistemas cegesimales al sistema de Giorgi, pues como este último es incoherente con las ecuaciones no racionalizadas no se pueden aplicar las fórmulas dimensionales. Por esta razón, conviene efectuar el paso en dos etapas. Primero, de un sistema CGS, el CGSM, por ejemplo, al MKSC no racionalizado, y finalmente, al sistema de Giorgi, teniendo presente que el culombio no se altera al racionalizar. El primer paso se reduce a hallar la razón entre el Bi· s y el culombio. Recurriremos nuevamente a la fórmula dimensional:

209

ELECTRO MAGNETISMO

su símbolo puede ser erg/Bi . s, y resulta: 1V

=

108 erg/Bi : S.

La fórmula dimensional de la intensidad eléctrica es: [E]

=

LMT-2Q-1

y sus símbolos pueden ser: N/C en el sistema de Giorgi y din/Bi' s en el CGSM. Con esto: 1 N/C

6

=

10 dín/Bi : s ~ c

1

3. 104

din/Bi·

S.

La unidad de inducción magnética en el sistema CGSMes el gauss (Gs). En el sistema de Giorgi es el tesla (T). Como la fórmula dimensional es: la cual, recordando que: e:n

= 1/c2

e:' n = 1/10-7c12

[B] = MT-1Q-1,

(u. CGSM)

resulta:

(u. MKSC),

1T

= 104 Gs,

conduce a: e:n e:' n =

1m

( 1 cm

1 kg )-3 ( )-1 (

Ig

1C

)2

de modo que un tesla es lo mismo que un miriagauss. Las unidades del flujo de inducción, <1>, son el weber (Wb) en el sistema de Giorgi y el maxwell (Mx) en el CGSM. Como:

1 Bi . s '

de donde: 1C

= 10-1 Bi . S.

[7,2] será:

Una. vez hallada la razón entre el culombio y el Bi· s, se pueden hallar los factores de conversión para todas las unidades que no se alteran por la racionalización sin más que aplicar las respectivas fórmulas dimensionales. Así, de: [1] = T-1Q se deduce: 1 A = 10-1 Bi, por lo que el biot se puede llamar decanvperio, La unidad de potencial en el sistema de Giorgi es el voltio. En el sistema CGSM carece de nombre, pero como la fórmula dimensional del potencial es:

1 Wb

=

108Mx.

Los precedentes factores de conversión valen tanto para el sistema MKSM no racionalizado como para el sistema de Giorgi. En el caso de los vectores D y H hay que recurrir a las ecuaciones [4,5]. Como: [D] = L-2Q, los símbolos de sus unidades en los sistemas no racionalizados podrían ser: (C/m2)n y Bi . s/cm2, con lo cual:

ANÁLISIS

DIMENSIONAL. --

14

210

XVJI.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

y, en virtud de [4,5], teniendo presente que las medidas están en razón inversa de las unidades, la. unidad de Giorgi, valdrá: 1 C/m2

= 47t •

10-5 Bi . s/cm2•

Del mismo modo, para el poder imanador: [H]

= L-IT-IQ

se obtiene: 1 (A/m)n = 10-3 Oe,

211

ELECTROMAGNETISMO

Desde luego, aquellas ecuaciones en que sólo entran magnitudes de una clase, eléctricas o magnéticas, quedarán inalteradas. En cambio, toda ecuación que, como la de Laplace: t = BIl, contenga ambas especies de magnitudes, tendrá que ser modificada. Esta ecuación es válida con cualquier sistema coherente, por ejemplo, con el CGSM, en el que 1 se mide en biots y B en gauss. Si se quiere medir 1 con otra unidad, habrá que introducir un coeficiente parásito que se denomina constante electromagnética, y:

y 1 Alm =

47t·

10-3 Oe,

o bien, si se adopta el nombre lenz (L) para la unidad de poder imanador en el sistema de Giorgi: 1 L = 47t • 10-3 Oe.

8. Sistema de Gauss. De las ecuaciones del campo electromagnético escritas en la forma [4,1] puede decirse que son correctas porque en ellas no se ha suprimido ninguna constante indispensable ni añadido ninguna superflua. También los dos sistemas CGS, el eléctrico y el magnético, merecen ser calificados de perfectos porque ambos son coherentes con las referidas ecuaciones. Lo mismo puede decirse del sistema de Giorgi, pues la raoíonalización consiste en introducir el factor 47t en algunas ecuaciones, lo cual, si bien complica inútilmente el problema de hallar los factores de conversión, no altera la estructura dimensional. No puede decirse lo mismo del sistema de Gauss que, por desgracia, es el que se utiliza en casi todos los libros de Física teórica. Este sistema es un híbrido en el que las magnitudes Q, p, 1, i, E, D, e, se miden con las unidades del sistema electrostático, mientras que las B, H, y ¡J., se miden con las del sistema magnético. Por eso se llama sistema"mixto. Es, pues, un sistema incoherente con las ecuaciones que hemos llamado correctas y, para poder utilizado, es preciso introducir en las ecuaciones coeficientes parásitos que las desvirtúan totalmente. Es de esperar que, con la adopción del sistema de Giorgi, desaparezcan estos inconvenientes, pero entre tanto no hay más remedio que saber cómo han de escribirse las ecuaciones del electromagnetismo para que sea viable el sistema de Gauss.

f

=~

y

Bll.

En el sistema de Gauss hay que medir 1en Frls, y como: 1 Bi será y

=

=

e Frls,

e, y la ley de Laplace se escribirá así:

f

= ~

e

Bll.

Por este mismo procedimiento se demuestra que, para poder utilizar la unidades de Gauss, hay que escribir las ecuaciones de Maxwell en la forma: Dn=E B =Hn div Dn =

47tp

rot Hn =

47t -

div H = O i c

+ --aE at

rot E =--

1 e

aB

at

,

o sea: div E=

47tp

rot B =

47t -

[8,1]

div B = O i c

+ --aE at

rot E=--

1 e

aB

-at

Aparentemente, se ha logrado una simplificación en las fórmulas, cosa muy del agrado de los matemáticos, que explica el éxito del sistema de Gauss. Desde el punto de vista físico, la simplificación tiene el inconveniente de que confunde D con E y B con H. Pero lo más grave es que,

212

ANÁLISIS DIMENSIONAL

XVII.

en lugar de las dos constantes características del vacío, una de carácter eléctrico, Ea, y otra de naturaleza magnética, (.Lo, aparece una tan sólo, la e, que es de índole mecánica. Este escamoteo es causa de que muchos físicos se obstinen todavía en que bastan tres unidades básicas, las tres mecánicas. En el sistema de Gauss se imponen a las unidades básicas no una, sino dos condiciones, a saber: EO

=

(u. Gauss),

1;

[8,2]

y como, según la teoría de Maxwell-Hertz, la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío está dada por: e

= l/VEof1.o,

213

ELECTROMAGNETISMO

Admitió que los metros y los relojes se comportan automáticamente de acuerdo con ellas y dio por supuesto que la invariancia de la velocidad de la luz era un fenómeno natural, y no consecuencia del empleo de relojes contraídos y de relojes amañados. No es aventurado afirmar que si Lorentz no hubiese adoptado en mala hora el sistema de Gauss, tendríamos una teoría de relatividad libre de las paradojas que aparecen en la teoría de Einstein y que, muy probablemente, habría contribuido mucho más eficazmente al progreso científico. Pero siempre es tiempo para abandonar el mal camino, y cuanto antes mejor. Como dice Stratton (72), refiriéndose al sistema de Gauss: «cuanto antes se deponga al viejo favorito, tanto mejor para poner fin a una fuente innecesaria de confusiones».

[8,3]

ningún sistema cegesimal podrá ser coherente con esta ecuación y satisfacer las condiciones [8,2] sino que, dado el centímetro, habrá que elegir la unidad de tiempo de modo que la medida de la velocidad de la luz esté dada por el número l. Para que sea viable el sistema de Gauss, hay que introducir en [8,3] un coeficiente parásito, e, con lo que queda reducida a la identidad e = c. Como se ve, el sistema de Gauss escamotea, por arte de birlibirloque, una de las más importantes leyes naturales. La desdichada adopción del sistema de Gauss ha tenido fatales consecuencias para la Física teórica. En los fenómenos debidos a las acciones mutuas entre corrientes e imanes interviene tan sólo el movimiento relativo, lo que exige que las ecuaciones no se alteren al cambiar el sistema inercial. Por tanto, si las ecuaciones se escriben a la manera de Gauss, será preciso, cada vez que se cambia de sistema inercial, alterar las unidades de longitud y de tiempo de manera que la medida de la velocidad de la luz sea igual al número parásito e que figura en ellas. Ésta es, sin duda, la razón por la que Lorentz se vio obligado a introducir el tiempo local en sus ecuaciones de transformación y, con gran acierto, lo consideró. como un artificio matemático que no tenía más objeto que lograr la invariancia de c. Desde nuestro punto de vista, el artificio de Lorentz debe atribuirse al propósito de cambiar la unidad de longitud y de sincronizar los relojes de modo que la medida de e resulte inalterada, y hemos demostrado (71) que esto se logra gracias a la contracción de los metros, que es un fenómeno natural, y a maniobras hechas con los relojes. Como es sabido, Einstein tomó las ecuaciones de Lorentz como base de su teoría.

9.

Discriminación de las dimensiones del espacio.

Las magnitudes E, D, B Y H son vectores, por lo que puede haber ventaja en distinguir las tres dimensiones del espacio al formar la base. De la ecuación vectorial [1,1] se deduce para cada una de las componentes de E: Ei

/;. =Q

i

=

1, 2, 3,

y será:

Para hallar las dimensiones de las componentes ecuación: div D = q,

de D, partiremos

donde q es la densidad de carga en el punto considerado. Así resulta:

La fórmula dimensional de la permeabilidad

La ley de Laplace: f=lll\B da, para los componentes de la fuerza:

de donde:

eléctrica resulta ser:

de la.

214

XVII.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

215

ELECTROMAGNETISMO

de convenios, pero si nos atenemos al significado de los vectores By H, procedería atenerse a las siguientes definiciones:

De la ecuación de Maxwell: rot H = 1, en que i es la densidad de corriente en el punto considerado, resulta:

Imanación: aHí -aXi

-

aHí -aXí

B-

H

[M]

=

L-IT-IQ

=~J.:'

en vez de: M'

B-

fLoH

[M']

= MT-IQ-l.

El momento de un dipolo magnético rígido se definirá como el vector que, multiplicado vectorialmente por B, es igual al par de fuerzas, O, que actúa sobre el dipolo al ser colocado en un campo magnético uniforme:

se tiene:

Las permeabilidades e: y fL son tensores que, en medios isótropos, degeneran en escalares. Pero en el caso de fL, cada elemento del tensor conserva su dimensión. Como Bt = fLtHt, será:

Se emplean en Electromagnetismo gran número de magnitudes secundarias, definidas convencionalmente mediante ecuaciones entre medidas. A continuación damos una lista de las más importantes, con su ecuación de definición y su fórmula dimensional: Potencial eléctrico: grad V _ -

E

!L V

Polarización eléctrica: P¿ = D Momento eléctrico: me -

Momento magnético: O - [mmB] en vez de:

O

[m' mH]

[mm] [m' m]

= L2T-IQ = L3MT-IQ-l.

Los factores de conversión de las magnitudes secundarias se obtienen fácilmente a partir de sus fórmulas de definición.

Magnitudes secundarias.

Capacidad: O _

_1_

fLo

y como:

10.

M -

.

eaE

Ql

[P]

=

L-2Q

[me] = LQ

. te ncia: . R =-dV Resis

-dI

Fuerza electromotriz: F - /).V -

IR

[F] = L2MT-2Q-l

. dUCClOn: ., L = - --F Au t oro dIjdt Hay discusiones acerca de cómo debe definirse el momento de un imán y las magnitudes con él relacionadas. La polémica es baldía porque se trata

11.

Otros sistemas dimensionales.

Nuestras normas nos han conducido a un sistema de fórmulas dimensionales que puede llamarse clásico, porque coincide con el usado por los fundadores del Análisis dimensional, entre los que citaremos por vía de ejemplo a Jeans y a Buckingham. Pero, desde los orígenes de las teorías eléctricas, se suceden los intentos de referir las magnitudes electromagnéticas a una base constituida por magnitudes mecánicas exclusivamente. La cosa empezó con Gauss (1840), que trató de fundir en uno solo los sistemas electrostático y electromagnético, siguió con Hertz (1890), y continúan apareciendo nuevos sistemas con una base de tres magnitudes mecánicas a los que cada autor atribuye determinadas ventajas. Entre los más modernos citaremos los de Apraiz (73), Dingle (34), EsnaultPelterie (74) y Berger (75). En lo de mutilar la base hay mano libre, pues se puede atribuir a cualquier magnitud electromagnética, a la carga eléctrica, por ejemplo, la fórmula dimensional que cada uno tenga por conveniente, sin que ello conduzca a ningún absurdo. Pero los sistemas así obtenidos son ineficaces, porque al mutilar la base es posible formar monomios que en apariencia tienen dimensión nula y en realidad no, lo que acarrea una imprecisión en el resultado, según hemos puesto de manifiesto con numerosos ejemplos. En el sistema electrostático se despoja de su dimensión a la permeabilidad eléctrica, D y E resulten homogéneos. Resulta así para la carga la fórmula:

216

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Hertz propuso un sistema en el que: [e] = [¡;.] = L-IT, lo que obliga a introducir un coeficiente parásito en [2,5]. En las innovaciones recientes, suele suprimirse la constante electromagnética, por lo que sólo hay libertad en la fórmula dimensional de una magnitud. He aquí algunos ejemplos: Apraiz Esnault-Pelterie Berger

. .. .

XVlI.

12.

217

ELECTROMAGNETISMO

Condensador plano.

Con los datos: S (área de cada armadura), d (distancia entre las mismas), e (permeabilidad del dieléctrico), y O (capacidad), pueden formarse dos monomios pi:

o

S

d

Q

-2 - 1 2 2

2 O O O

1 O O O

ni n2

1 O

L M

[Q] = LMT-I (ímpetu) [e] = 1, [Q] = L3/2M1/2T-I [Q] = L3.

T

Reemplazando en las fórmulas dimensional es completas de los § § 3 Y 4 [Q] por una fórmula dimensional mecánica cualquiera, puede el lector formar cuantos sistemas dimensionales quiera.

-1 - 1/2

1 1

E

-3 -1 2 2 -

1 O

( ~).

eS O=-cp d

Todavía quedan físicos que opinan que las dimensiones dan la esencia de las magnitudes, y en esta creencia se basan para afirmar que sus respectivos sistemas son privilegiados. Así, Berger atribuye gran importancia al hecho de que, con sus normas, la tensión eléctrica, o potencial, tenga la misma dimensión que la tensión mecánica, y Apraiz afirma que intensidad de una corriente es la misma cosa que una fuerza, y atribuyendo al culombio la masa 109 gramos, llega a la conclusión de que un amperio vale tanto como la décima parte de una dina. A todas estas proposiciones cabe objetar que, si la fórmula dimensional completa nada dice respecto de la esencia de las magnitudes, menos información se logrará todavía con bases caprichosamente mutiladas.

Además, el Análisis dimensional permite afirmar que en condensadores planos geométricamente semejantes, aunque tengan dimensiones finitas, la capacidad es proporcional aSid.

El sistema propuesto por Dingle merece comentario aparte. Partiendo de la hipótesis de que las dimensiones han de deducirse de los métodos de medida, atribuye a la carga la misma dimensión que a la fuerza, con lo que resulta, según se ve fácilmente:

Con la base mutilada, cualquiera que sea la fórmula dimensional que se a.tribuya a una de las magnitudes eléctricas, pueden resultar monomios espurios. Si fuera lícito hacer, por ejemplo, [E] = LOMoTo, como pretenden, entre otros, Bridgman y Esnault-Pelterie, hubiera resultado

Si los planos son ilimitados, la función desconocida tomará el valor correspondiente a d2/S = 0, y, salvo un factor numérico, resulta: 0=

eS . d

[E] = L-IMT-2. Supone luego que el vector H tiene dimensión nula (si fuera consecuente con su método debiera darle la fórmula dimensional MT-3) y, sin explicar cómo, saca la consecuencia de que la permeabilidad magnética ha de tener como fórmula dimensional [¡;.] = M-ITS, con lo cual deduce: [E¡;'] = L-IT. Es sabido que, en todo sistema coherente, el producto E¡;' es igual a la inversa del cuadrado de la velocidad de la luz. El resultado a que llega Dingle es, por consiguiente, inaceptable y ello basta para desacreditar su método basado en la Filosofía operacional.

y el Análisis dimensional no permitiría

13.

averiguar

cómo O depende de

E.

Energía potencial de las cargas eléctricas.

Para una esfera de radio r, uniformemente cargada con una densidad de carga q, en un medio de permeabilidad e, el Análisis dimensional con la base completa da, para la energía potencial:

.

ANÁLISIS

218

xvrr.

DIMENSIONAL

que está de acuerdo con el valor que se obtiene al calcular dicha energía utilizando la ley de Coulomb (76). Con el sistema dimensional propuesto por Dingle resulta:

solución que contiene el monomio espurio efqr.

15. Campo de un dipolo eléctrico. Un dipolo está constituido por dos cargas iguales y de signo contrario, Q y - Q, que ocupan sendos volúmenes cuyas dimensiones lineales son muy pequeñas en comparación con la distancia, l, que los separa. Tómese como eje polar la recta que une ambas cargas, y como origen el punto medio del segmento l. El potencial en un punto dependerá de sus coordenadas polares, r, IX, de la permeabilidad del medio, de Q y de l. Con estas magnitudes resultan los siguientes monomios pi:

+

14. Inercia de la electricidad. 7t

Sea una carga, Q, distribuida en una esfera de radio r. Al comunicarIe una velocidad, v, se crea un campo electromagnético, con el consiguiente consumo de energía. Todo pasa como si la carga poseyese una masa, m, cuyo valor dependerá de las permeabilidades, e Y fL, o lo que es lo mismo, de e y de la velocidad de la luz, e: m

Q

Q

O 1 O O

O O O 1

1tl

1

L

M T

e

e:

r

1 -3 O - 1 2 - 1 2 O

1 O O O

1

1

-2

2

w=-

v

219

ELECTROMAGNETISMO

Ver

Q'

l-

-

•

7ts

=

IX,

y habrá de ser: V

=

JL er

cp (~,

r

IX)'

Para puntos muy alejados, V ha de ser proporcional a l, pues duplicar la distancia entre las cargas equivale a poner dos dipolos, uno a continuación de otro. Por tanto: V

=

Ql -1j¡(1X). er2

De la función 1j¡(1X)se puede afirmar que ha de ser máxima para IX = O, Y que 1j¡(1X)= -1j¡(7t - IX); 1j¡(7t/2) = O. La solución completa, para i < < r, es:

e Q2

m=G--.2

c e:r

Ql cos er2

V = --

Con el sistema dimensional de Apraiz resulta:

m L

Q

M T

O 1 O

1 1 - 1

1tl 1t2

1 O

-2 - 1

e

e:

r

1 -1 1 O O - 1

1 O O

1 1

1 1

2 1

IX.

y aparece el monomio 1t2 = ce:r/Q, que es espurio porque tiene dimensión no nula en la base completa. Estos ejemplos bastan para probar que deben desecharse todos los sistemas e~ que, se toma una base de tres magnitudes mecánicas para representar las dimensiones de las magnitudes electromagnéticas.

16. Electrómetro de Lippmann. Según la teoría de Helmholtz, entre el mercurio y un electrólito se forma una capa eléctrica doble con un salto de potencial (fuerza electromotriz) VO' A dicha capa corresponde una capacidad por unidad de superficie, que representaremos por k. En el electrómetro capilar se agrega a Vo el potencial que se trata de medir, y se determina la dislocación, l, que el cambio !1cr experimentado por la tensión superficial determina en el menisco de mercurio. En el valor de l influirá, además, el peso específico del mercurio, w = pg, y el radio, r, del capilar.

220

ANÁLISIS

XVII.

DIMENSIONAL

Si se aplica el Análisis dimensional a todas las magnitudes mencionadas, se llegará a un resultado erróneo, porque entre ellas no hay una, sino varias relaciones, a saber: l.a El cambio que experimenta la tensión superficial está determinado por el potencial aplicado, V, y por la capacidad por unidad de superficie, k, pues ambas magnitudes determinan la densidad de carga acumulada en la superficie. El Análisis dimensional da: D,.cr L

O 1

M T

-2

Q

O

1'1

1

V

k

-4

2

-

1

1

Densidad de energía en el campo electromagnético.

L M

T Q

2.a El cambio ~a provoca un cambio ~p en la presión del mercurio dado por: ~p=

01-

~p

-2 O 1

ue

L M

rpg

V2 (~). ~ V

T Q

~a

V = --- k V2 ( _0__ 2

y, por tanto,

V

La teoría da 01

1

)2 '

2 2

O

1

O

1

-2 =

-

-1

01€E2.

H -

18.

=

1

O

1

1

O

-2

1

=

¡.t.

e

1 1

O

O

-1

-2

1'2

o

La teoría completa (véase, por ejemplo, Palacios) (77), conduce a:

1

O

1

-2

-1

Um

l= O~

-3 -

-

Um

Combinando las expresiones [16,1,2 y 3] resulta:

,

e

e:

Para el campo magnético se procede de modo análogo:

[16,3]

W

1 1

1 1

[16,2]

r

3.a Este cambio de presión es causa de que el menisco experimente una dislocación que depende del peso específico, w:

t-; O2-,

-

1'1

~a

E

Ue

[16,1]

k V2~ ( ~).

~cr =

que es inadmisible.

El campo eléctrico en cualquier punto del espacio queda definido por el vector E. El medio intervendrá por su permeabilidad y, posiblemente, por la velocidad de propagación de la luz. Para averiguar cómo depende la densidad de energía de las referidas magnitudes se procede como sigue:

-2

1

221

Al resolver este problema hemos tenido presente la regla del § 4, capitulo VII. según la cual sólo se deben tomar en consideración cada vez las magnitudes de las que se pueda afirmar que una de ellas es función de las restantes. EsnaultPelterie trata simultáneamente las cuestiones l." y 2.", con lo que llega a la. expresión:

17.

2 -2 2 - 1 -

ELECTROMAGNETISMO

1 -

1

-2

O

-

O

1

02¡J.H2.

O2 = 1/2.

Ondas electromagnéticas.

Según la teoría de Maxwell, la luz está formada por ondas electromagnéticas en las que los vectores E y H, que coexisten en todo punto alcanzado por las mismas, experimentan cambios periódicos, que se propagan de un modo análogo a las oscilaciones acústicas en un medio elástico. Además, las ondas electromagnéticas ejercen una presión al reflejarse

222

ANÁLISIS

DIl'dENSIONAL

XVII.

sobre cualquier pared conductora. Estos conocimientos rudimentarios de la teoría electromagnética de la luz, bastan para hacer algunas predicciones con auxilio del Análisis dimensional. a) Relación entre E y H. Entre estos dos vectores coexistentes ha de haber una relación que sólo puede depender de las permeabilidades e: y ¡.L del medio. El Análisis dimensional conduce inmediatamente a: [18,1J

EH U=04--'

1 O O

LI L2 L3 M

1

T

-2

Q

-

7t1

-

1 O O O

-

e

fl.

1 1

1

-1

-

-

1

p

1 1

2 O 2 -2

O

O

O

-

O

[18,2]

A beneficio de [18,1 y 2], cualquier magnitud observable en la radiación podrá ponerse en función de E, H Y c. e) Presión de la radiación. Con las magnitudes p, E, H Y e, sólo puede formarse un monomio pi, por lo que el valor de la presión será: c

EH -3-' C

[18,5]

La comparación de [18,4] y [18,5] da:

[18,6]

pues la teoría completa conduce a 06 = l. Esta relación ha sido generalizada por Einstein a todas las especies de energía.

~

EH

Os

W

b) Velocidad de propagación. Por lo que acabamos de decir, habrá de ser: e = ¡(E, e, ¡.L), y al aplicar el Análisis dimensional resulta:

p= 03--,

=

m=--¡;2'

*

O

e)

por lo que, a una energía radiante W, corresponderá una masa inercial:

Al tratar de formar un monomio pi, resultan ecuaciones incompatibles, lo que significa que El es independiente de HI, y como El = O si HI = Hg = H2 = O, habrá de ser El = O aunque HI O.

2 c=--.

= ¡(E, H,

1 1 1

1

[18,4]

c

e) Inercia de la luz. El que las ondas electromagnéticas sean capaces de ejercer una presión revela que poseen ímpetu, y todo pasa como si en cada punto de la onda hubiese una densidad de masa, p, dada por:

Basta discriminar las tres dimensiones del espacio para poder deducir que los vectores E y H han de ser perpendiculares entre sí. En efecto; si se toma el eje Xl en la dirección de H, será H2 = Ha = O, Y la componente El habrá de calcularse con el siguiente cuadro, en el que figuran los exponentes dimensionales obtenidos en el § 4. HI

223

d) Densidad de la energía. Como la densidad de energía tiene la misma dimensión que la presión, bastará cambiar el factor numérico en [18,3]:

Esta relación pone de manifiesto que cualquier otra magnitud observable en la radiación ha de depender de E, e: y ¡.L.

El

ELECTROMAGNETISMO

[18,3]

19.

La radiación térmica como fenómeno ondulatorio.

Cuando ya Planck había descubierto el mecanismo de emisión de .l~ e~ergía radiante e introducido su constante de acción, aplicó Jeans (6) el Análisis dimensional a la radiación térmica apoyándose en la teoría electromagnética e ignorando la existencia de dicha constante. Supuso que la producción de las ondas electromagnéticas era debida a la emisión de electrones y trató de ~veriguar el valor de la energía u'J...d'J..., correspondiente al intervalo d'J..., en función de la temperatura. Hizo intervenir en el problema la constante de Boltzmann (que él llama constante de los gases perfectos), la masa, m, y la carga, e, del elec~rón, y las constantes eo y e del vacío. Aplica correctamente el Análisis dimen.slOn~1 con una base de cinco magnitudes, L, M, T, 6 y e, y obtiene tres monomios pl:

k6 7t1

= mc2;

7t2

=

'J...k6e -e-2-;

Justifica a su modo el prescindir del primero, y logra así deducir las leyes de Stefan y de Wien.

224

XVlI.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Desde luego, este trabajo no tiene más que interés histórico, pues se sabe ahora que en las leyes de la radiación térmica no intervienen para nada ni la masa ni la carga del electrón, y que para su estudio hay que recurrir a la teoría cuantista. De todos modos, el artículo de 3eans puede ponerse como ejemplo de aplicación del Análisis dimensional de modo irreprochable antes de que hubiese sido enunciado expresamente el teorema de pi. También Bridgroan (22) abordó el problema de la radiación térmica prescindiendo de la hipótesis de los cuantos y limitándose a buscar la ley de Stefan, esto es, la relación entre la densidad integral de la energía, u, y la temperatura absoluta. Plantea la cuestión en los mismos términos que 3eans, pero afirma que «se llega al mismo resultado haciendo igual a 1 la permeabilidad eléctrica del vacío». Como esta afirmación está en contra de nuestra tesis, conviene examinar la solución hallada por Bridgman. Debemos observar, ante todo, que no hay inconveniente en atribuir a e: el valor 1, pues ello equivale a elegir una unidad eléctrica y formar con ella y tres unidades mecánicas un sistema coherente, que puede ser el electrostático cegesimal. Lo que no debe hacerse es mutilar la base privando a e: de su dimensión. Esto es lo que hace Bridgman, y con el siguiente cuadro dimensional: u L M

-

T

-2

e

m

e

6

k

O 1 O O

3/2 1/2

O O O 1

2 1

O

O -1

6

O

1 O - 1 O

71:1

1 O

-2

71:2

1 1

-1 O -4

6 O

tema electrostático cegesimal y con el de Giorgi, ambos coherentes ecuaciones fundamentales. Sea: 6 = 1000oK; u = 1,62· lQ-3 erg/cm3 = 1,62· 10--43/m3

En el sistema electrostático resulta: 71:1

= 8,65· IQ-S

y en el de Giorgi: 71:

2

= 7,49· 10-38.

20. Energía emitida por un dipolo eléctrico. El momento eléctrico, p = Ql, de un dipolo ejecuta oscilaciones sinusoidales con una frecuencia v. Se quiere calcular la energía, W jt, emitida por unidad de tiempo en un medio definido por las constantes e, E. El Análisis dimensional conduce a: W t El cálculo completo da:

obtiene los monomios 71:1

=

ue6 k464;

71:2

=

A continuación, y mediante razonamientos prescinde de 71:2 y da como solución: U =

k464 0--6-, e

con las

e = 4,80· 10-10 u· e . e = 1,60· 10-19 C.

-2 -1 1

225

k = 1,38· 10-16 erg/oK = 1,38· 10-23 3/oK.

-4 1

ELECTROMAGNETISMO

0=

k6 mc2

4 -w. 3

--o

extraños al Análisis dimensional,

[19,1]

con lo que pretende haber deducido la ley de Stefan. Desde luego, la ecuación hallada por Bridgman es errónea, pues la carga del electrón no figura para nada en la constante de Stefan, según puede verse en la ecuación [3,1] del capítulo XVI. Pero no hace falta conocer la ley exacta para poder afirmar que el resultado de Bridgman es inadmisible, pues el monomio 71:1, único que aprovecha, no tiene dimensión nula, es un monomio pi espurio. En efecto, su fórmula dimensional en la base completa es:

En confirmación de este aserto, hagamos ver que 71:1 toma distintos valores según sea el sistema de unidades que se utilice. Hagamos la prueba con el sisANÁLISIS

DIMENSIONAL. ~

15

CAPíTULO XVIII MECÁNICA RELATIVISTA

1.

Las magnitudes de la Mecánica relativista.

Suele afirmarse que Einstein ha modificado las ideas del tiempo y del espacio fundiéndolas en una entidad superior, el espacio-tiempo o universo de Minkowski, de donde podría inferirse que tiempo y espacio son, para los fines de la Mecánica, una misma cosa y que, en consecuencia, debieran tener una misma dimensión y ser medidos con una misma unidad, por ejemplo, el segundo. No entraremos aquí en discusiones metafísicas (25), que son ajenas a nuestro propósito, y nos limitaremos a examinar, desde nuestro punto de vista, las magnitudes usadas en Mecánica con el solo fin de averiguar si procede o no modificar su fórmula dimensional. Bastará, para ello, que consideremos las magnitudes primarias y las leyes fundamentales, pues ellas son las que determinan el sistema dimensional. Las magnitudes primarias de la Mecánica clásica son la longitud, el tiempo, la masa, la fuerza y la energía. Los postulados en que nos hemos basado para establecer los criterios de igualdad y de suma se refieren a cuerpos en reposo con relación a un sistema de referencia del que forma parte el observador. La cosa cambia cuando se trata de comparar entre sí cantidades que se refieren a cuerpos animados de distinta velocidad. En tal caso, el crite rio de igualdad, que era obvio cuando ambos cuerpos estaban en reposo relativo, necesita ser postulado cuando uno de ellos se mueve con relación al otro, pues no es evidente, por ejemplo, el que dos cuerpos que se mueven de distinto modo tengan masas equivalentes cuando sus efectos

228

ANÁLISIS DIMENSIONAL

XVITI.

sobre un tercero sean iguales, y lo mismo cabe decir de las distancias y de las duraciones. En la Mecánica clásica se admitía tácitamente que tanto las longitudes como las duraciones observadas en un cuerpo eran independientes de su estado de movimiento, y que lo mismo ocurría con las masas y con las fuerzas. El experimento de Michelson y Morley obligó a desechar este postulado y a sustituirlo por este otro: Si dos observadores, uno en reposo y otro animado de una velocidad constante, miden la velocidad de un destello luminoso, obtienen un mismo valor, c. Dicho de otro modo; el postulado de la invariabilidad de longitudes, tiempos, masas y fuerzas, ha sido sustituido por el postulado de la invariabilidad de la velocidad de la luz. Como es sabido, este nuevo postulado conduce a las fórmulas de transformación de Lorentz, que implican, en primer término, la necesidad de distinguir entre las longitudes, lo, Y las duraciones, to, en reposo, de las respectivas cantidades, 1 y t, en movimiento, lo que equivale a decir que estas últimas son magnitudes secundarias (*) definidas mediante las fórmulas: t=-----

0

2

1--

c2

que se refieren a un cuerpo que se mueve con la velocidad v a lo largo del eje x y que ocupa la posición Xl en el momento considerado. Las precedentes definiciones implican la intervención de la constante universal e en todo fenómeno de movimiento, pero en nada alteran el sistema dimensional de la Mecánica clásica, puesto que cumplen el requisito de homogeneidad condicionada. Sigue, pues, habiendo tres magnitudes básicas, y subsiste la posibilidad de elegir arbitrariamente tres unidades para formar sistemas coherentes. No hay, por tanto, inconveniente en tomar como unidad la velocidad, e, de la luz, pero ello no significa que se pueda despojar de su dimensión a dicha magnitud, pues tal mutilación iría en detrimento del Análisis dimensional. En consecuencia, si [e] =l=1, aunque sea e = 1, será [s] =l=[t]. En otros términos: el tiempo y el espacio siguen siendo dimensionalmente independientes. (*) Para más pormenores respecto a las ideas de tiempo y espacio en la teoría. de la. relatividad, remitimos al lector a nuestro tratado (71).

MECÁNICA RELATlVlSTA

229

Respecto de la masa, el referido postulado relativista conduce a la siguiente definición de la masa en movimiento: mo m_--~--

0

2

1--

c2

que también cumple el requisito de homogeneidad condicionada. Finalmente, la fuerza sigue siendo considerada como un vector, lo que basta para que conserve su carácter de magnitud primaria. Las definiciones de las magnitudes derivadas subsisten en la Mecánica relativista, pero hay que tener presente que, en ellas, la masa se refiere al cuerpo en movimiento, por lo que será función de la velocidad. La velocidad y la aceleración siguen siendo definidas mediante las ecuaciones: ds du a_--, U- =--, . dt dt cualquiera que sea el sistema de referencia. Al aplicar a estas definiciones las fórmulas de transformación de Lorentz, se observa que ni las velocidades ni las aceleraciones se comportan como vectores. Su medida no puede realizarse de modo intrínseco, sino a beneficio de sus respectivas fórmulas de definición. La fórmula: p mu sirve todavía para definir el ímpetu, pero m es la masa en movimiento.

2. Ecuaciones fundamentales. Para los fines del cálculo dimensional interesa tan sólo saber en qué se convierten la segunda ley de Newton y la ley de la gravitación. Esta última, aun cuando no se diga expresamente, se conserva inalterada, pues se sigue admitiendo que la masa inercial y la gravitatoria son inseparables, y uno de los propósitos de la teoría de la relatividad generalizada es dar cuenta de esta circunstancia. La segunda ley de Newton adquiere en Mecánica relativista una forma complicada cuando se expresa en función de la aceleración. Por eso es preferible recurrir al ímpetu, con lo que se llega al siguiente enun-

230

ANÁLISIS DIMENSIONAL

ciado, que es también válido en Mecánica clásica: La impulsión, fdt, es proporcional a la variación, dp, del ímpetu: (fdt) '" [d(mv)]

(entre cantidades).

Al pasar a la ecuación entre medidas, es superfluo el factor de proporcionalidad, pues la impulsión y el ímpetu no son magnitudes inseparables, y resulta: fdt = d(mv). [2,1]

XVIII.

MECÁNICA RELATIVISTA

231

Este resultado permite afirmar que, para comunicar a un cuerpo una velocidad determinada, hay que gastar una energía que no depende de la fuerza que se aplique, lo cual es una manera de enunciar el principio de conservación de la energía. La fórmula completa es: Ectn =

mc2 (1-

:: ).

[4,1]

5. Inercia de la energía. 3. Sistema dimensional. Hemos visto que en Mecánica relativista intervienen las mismas magnitudes que en Mecánica clásica. También es el mismo el número de ecuaciones fundamentales, que siguen siendo relaciones de proporcionalidad entre potencias de magnitudes previamente definidas. Finalmente, todas las definiciones de magnitudes secundarias cumplen el requisito de homogeneidad. Podrá, pues, utilizarse el mismo sistema dimensional que en Mecánica clásica, y tan sólo será preciso tener en cuenta la intervención de la velocidad de la luz como constante universal. En general, la aplicación del método dimensional a los problemas de Mecánica relativista conduce a soluciones muy vagas. Vamos, no obstante, a hacer algunas consideraciones.

4.

Conservación de la energía.

En la Mecánica clásica, el principio de conservación daba el siguiente valor para la energía que había que gastar en comunicar a un cuerpo de masa m la velocidad v:

Esta expresión, en que no figura c, no es válida en Mecánica relativista. Veamos qué se puede predecir con respecto a la misma por consideraciones dimensionales.

De la teoría de Maxwell resulta que la luz y, en general, las ondas electromagnéticas poseen masa inercial. En la teoría de la relatividad, esta proposición se generaliza a todas las especies de energía. Al calcular la masa correspondiente a una energía, W, habrá que tomar en consideración la velocidad de la luz, y el Análisis dimensional por sí solo conduce a: W [5,1] m=O-2-' e

El cálculo completo da O = l. Gracias a esta fórmula se puede interpretar el aumento que experimenta la masa de un cuerpo a causa de su movimiento, como debido a la inercia de la energía cinética. En efecto, la masa total, teniendo en cuenta [4,1], valdrá:

s.: mO+C2=mo+m

(mo) l-----m =m.

6. Masa de ímpetu y masa de aceleración. Un cuerpo de masa mo, que se mueve con la velocidad v, se halla sometido a una fuerza, f. iCuánto valdrá la aceleración, a~ Las magnitudes a considerar son: mo, m, f, a, y e, pues la velocidad está involucrada en m. Con eilas se pueden formar dos monomios pi, y resulta:

Las magnitudes a considerar son mo y m, pues la velocidad va involuorada en esta última. Con estos datos y la intervención de c se obtiene inmediatamente Si siguiéramos el criterio de quienes pretenden que la masa es, por definición, el cociente de dividir la fuerza por la aceleración, tendríamos que

232

ANÁLISIS DIMENSIONAL

XVIII.

introducir una nueva magnitud secundaria:

que podría llamarse «masa para los efectos de la aceleración) o, más simplemente, masa de aceleración. El Análisis dimensional nada puede decirnos acerca de la forma de la función, .cp: por lo que habremos de recurrir a la ley fundamental [2,1], que escribiremos como sigue: d dt

f=mo-

V;

y la ecuación [6,1], haciendo v/c Ix

moax

=

(1 _

[6,1]

R c2

=

"v

Vz

= 0,

= ~,conduce

mo

O

---

O

O

~2)3

mo

VI

O

[6,2]

~2

O

y hay que distinguir entre la masa longitudinal transversal, m/ 1 _ ~2.

V

m....:o,--_

La masa de aceleración, que es un tensor simétrico definido por [6,2] cuando sus ejes principales coinciden con los ejes coordenados.

La ecuación [5,1] W=mc2 expresa que toda energía, W, posee una masa (de ímpetu), m. Escrita en la forma: [7,1] significa que todo cambio en la energía de un sistema va acompañado de un cambio determinado de su masa, cambio que será acusado por una balanza muy sensible si se trata de un sistema en reposo, pues al aumento !1mo de la masa inercial corresponderá un aumento de la masa gravitatoria. Basta, por ejemplo, calentar un cuerpo para que aumente de peso. Expuesta así la cuestión, !1W y tsm¿ resultan ser dos magnitudes primarias inseparables, por lo que nuestro segundo postulado exige que c2 sea una constante universal ineludible, y queda justificada su intervención en fenómenos de Mecánica en que está ausente la luz.

.

O

__

a:

y la masa buscada resulta ser un tensor:

ma-

m

7. Materia, masa y energía.

~2)3/2 '

(Vl-

1.0 La masa en reposo, mo, que es la única que se utiliza en Mecánica clásica. Para ella se pueden establecer los criterios de igualdad y de suma sin recurrir a la medida de otras magnitudes, por lo que es una magnitud primaria. 2.0 La masa de ímpetu, definida por la fórmula:

2

Para si~plificar la cuestión, tómese un sistema de ejes coordenados tales que el eje x tenga la misma dirección y sentido que la velocidad V en el instante considerado. Entonces será: ' , =

233

3.0

v 1--

Va;

MECÁNICA RELATIVISTA

mo

Vl-

~2

' m/( 1 _

fJ.2)3j2

t-',y

1 amasa

En resumen.: hay que distinguir tres especies de masa, una primaria y d os secundarIas, a saber:

Pero está generalizada la creencia de que la ecuación [7,1] ha de interpretarse en el sentido de que la masa se transforma en energía, y recíprocamente, en virtud de un principio de equivalencia análogo al que rige las transformaciones recíprocas de calor en trabajo. Por eso suele decirse que la energía de las bombas atómicas proviene de la masa que pierden los núcleos atómicos al escindirse. Se dice, además, que la teoría relativista ha reunido en uno solo (energía + + masa = const) los dos principios de conservación de la Mecánica clásica, el de la masa y el de la energía. De ser cierta esta interpretación, la masa y la energía no serían ya inseparables, sino transformables una en otra y, de acuerdo con nuestro postulado, podría suprimirse por superflua la constante dimensionada que figura en [7,1],

234

ANÁLISIS DIMENSIONAL

XVJIJ.

con lo que la energía y la masa serían magnitudes homogéneas. Ello acarrearía la mutilación de la base en el sistema dimensional, y se daría el contrasentido de que un conocimiento más perfecto de las leyes naturales se tradujera en una pérdida de eficacia de los métodos dimensionales. Es, pues, importante, poner en claro el sentido de la ecuación [7,1]. Para poder afirmar que, en determinado fenómeno, una magnitud se transforma en otra, es preciso que esta última aumente a expensas de la primera. Esto sucede, por ejemplo, cuando la energía cinética de un cuerpo que cae aumenta tanto como disminuye la potencial, o cuando el calor se transforma en energía mecánica. Pero la masa que pierden los núcleos atómicos en las escisiones nucleares se encuentra íntegramente en la energía desprendida. Si se colocase una pila atómica en una báscula y se evitase la salida de energía, no se notaría la menor pérdida de peso, por grande que fuese la energía liberada en la pila. Con lo dicho queda la cosa en claro mientras se manejan cuerpos materiales y la energía ligada a los mismos. Pero, si interviene la energía luminosa, hay que estudiar la cuestión más a fondo. Según la teoría de la relatividad, la energía interna de un cuerpo en reposo vale moc2• Si se mueve con una velocidad v, su masa (de ímpetu) se convierte en: m

= __m--=o__

[7,2]

VI=f32 ' por lo que la energía total habrá de valer:

de donde resulta que la energía cinética está dada por: Ecin

=

me2 -

moc2

1 - 1)

= (

VI -

y, desarrollando en serie, se ve fácilmente que, mientras ~ Ecin = -

1

2

[7,3]

moc2,

~2

<<

1;

mv2•

Cuando ~ = 1, la expresión [7,3] se convierte en Ecin = cc, si mo 9= 0, lo que pone de manifiesto que toda la energía del universo no basta para que un simple electrón alcance' la velocidad de la luz. Los fotones, o partículas de luz, se mueven con la velocidad e y, según la hipótesis de Planck-Einstein, la luz de frecuencia v está constituida por fotones de energía h», por lo que cada uno poseerá una masa: hv c2

m=--

y un ímpetu hv me = --o e

[7,4]

MECÁNICA RELATIVJSTA

235

Las fórmulas [7,2] y [7,3], puesto que v y e son finitos, exigen que en el fotón sea mo = 0, pero esta consecuencia, según la cual un fotón puesto en reposo sobre el platillo de una balanza no debiera pesar nada, es imposible de comprobar, porque no hay observador capaz de efectuar tal medida. En cambio, la masa cinética m, la que figura en [7,4], tiene un sentido perfectamente claro. Se manifiesta, a la vez, por su inercia y por sus efectos gravitatorios. Gracias a estos últimos ocurre que una cavidad llena de luz pesa más que si se encuentra a oscuras, pues los fotones chocan con el fondo con más violencia que con la cubierta de la vasija. . A nuestro modo de ver, cuando se atribuye el desprendimiento de energía en las reacciones nucleares a la pérdida de masa que experimentan los núcleos atómicos, se incurre en una falta de precisión que procede de no distinguir entre materia y energía, por lo que procede revisar estos conceptos. Toda la Física, tanto la clásica como la contemporánea, se basa en la clara distinción entre lo que es materia y lo que es energía. Se creía antes que la diferencia específica entre ambos entes radicaba en ser la materia inerte y pesada, mientras que se suponía a la energía exenta de inercia y de peso. Tales diferencias se borraron desde que Maxwell descubrió que la energía luminosa posee masa inerte y, sobre todo, desde que se comprobó experimentalmente que la energía, de acuerdo con la teoría de la relatividad de Einstein, está sometida a la acción de los oampos gravitatorios. Procede, pues, buscar otros rasgos diferenciales. Se sabe que la materia está constituida por corpúsculos elementales, protones, electrones, neutrones, etc., que nunca pueden alcanzar la velocidad de la luz. La energía, por el contrario, no es de naturaleza discreta, como sucede con la energía mecánica (cinética + potencial), o, si lo es, como ocurre con la energía electromagnética, sus partículas o fotones han de moverse precisamente con la velocidad de la luz. Se puede, por tanto, distinguir sin ambigüedad la materia de la energía. Para describir la composición de un cuerpo es preciso enumerar las especies de materia de que está constituido, y las cuantías de cada una, lo cual exige que se defina la manera de medir cantidades de materia. Análogamente, la energía se medirá por alguno de sus atributos, el trabajo que se puede realizar con ella o su masa. Si bien en todo cuerpo hay siempre materia y energía, lo que importa desde el punto de vista de su constitución es la materia. Un cuerpo sigue siendo el mismo, aunque cambie su riqueza en energía, mientras no se altere su constitución material. Por eso puede decirse que materia es aquello de que están constituidos los cuerpos. Conviene distinguir también entre materia y masa. La materia no interviene en Física sino cualitativamente; en ninguna ecuación figuran las cantidades de materia. Hasta en las ecuaciones químicas los diferentes átomos están representados por sus símbolos, que no son más que abreviaciones de los nombres respectivos, mientras que la parte cuantitativa corresponde a los coeficientes, que representan masas medidas en unidades arbitrarias, por ejemplo, en moles. En cambio, la masa ee una magnitud física, atributo común a todas las especies de materia y a todas las especies de energía. Hay diversas especies de materia, pero sólo hay una especie de masa.

236

ANÁLISIS

DIMENSIONAL

Podemos ahora interpretar la ecuación de Einstein, E = m,c2, Y los hechos que la confirman, del siguiente modo: La materia puede transformarse en energía, y recíprocamente, y existe una relación de proporcionalidad entre la materia que desaparece (medida por su masa en reposo) y la energía que se engendra. En otros términos: con una porción dada de materia se obtiene siempre la misma cantidad de energia. Es una relación de proporcionalidad entre dos magnitudes simples que no son inseparables, por lo que huelga el factor de proporcionalidad en la ecuación entre medidas, y resulta un principio de conservación que puede enunciarse así: En todo sistema cerrado: materia + energía = const [7,5]. Gracias a este principio de conservación, la materia adquiere el rango de magnitud física homogénea con la energía, y podrá medirse en las mismas unidades que ésta. En cambio, no se puede decir que la materia sea homogénea con la masa, porque son magnitudes inseparables, y la correspondiente relación de proporcionalidad exige poner una constante universal en la ecuación entre medidas. Tal constante, según la teoría de la relatividad, es igual al cuadrado de la velocidad de la luz. Por tanto:

y, a beneficio de [7,5]:

[7,6] J7,7] donde Wo es la energía que se obtendría si toda la materia se transformase en energía. Por lo que ahora se sabe, la transformación de materia en energía es un proceso de o todo o nada, que se observa cuando se aniquilan mutuamente un negatón y un posit6n, o un protón y un antiprotón. En este fenómeno y en su inverso, la materialización de dos fotones, se conservan la masa y el ímpetu. En resumen: 1.° La masa y la energía no se transforman una en otra; son magnitudes inseparables, ligadas por una relación de proporcionalidad. 2.° La energía liberada en las reacciones nucleares procede de la energía almacenada en los núcleos y del aniquilamiento de partículas. 3.° La masa total (y el ímpetu) se conserva en todas las reacciones.

CAPíTULO XIX

FíSICA CORPUSCULAR 1. Sistema dimensional. A lo largo de este libro hemos intentado probar que las dimensiones de las magnitudes primarias no derivan de sus definiciones instrumentales, sino del grupo de ecuaciones fundamentales de cada teoría y del criterio que sirve para suprimir las constantes universales superfluas. Pero al llegar a la moderna Física de los corpúsculos, nos encontramos con la afirmación reiterada de que su estudio no puede realizarse sino desde el punto de vista de la Filosofía operacional. Así lo afirma, por ejemplo, Halliday (78) en el prólogo de su libro. Tal aserción, si fuese cierta acarrearía la no validez del Análisis dimensional en cuestiones corpusoulares, pues hemos visto con numerosos ejemplos que, al proceder por vía operacional, quedan indeterminadas las dimensiones. Y como sobre los corpúsculos debe construirse toda la Física teórica, toda la estructura dimensional se vendría abajo. Es fácil ver que no sólo no ocurre tal catástrofe, sino que en el mundo de los corpúsculos rige exactamente el mismo sistema dimensional que en los restantes capítulos de la Física. Para que sea aplicable el Análisis dimensional, basta que se cumpla nuestro primer postulado, en cuya virtud, por consistir las leyes en rel~ciones de proporcionalidad entre cantidades, pueden ser enunciadas sin hacer referencia a ningún sistema particular de unidades. No hay en Física corpuscular una sola ley que no cumpla dicho requisito, lo que permite afirmar que el Análisis dimensional sigue siendo ap~cable: Vamos a probar que subsiste sin alteración de la estructura dimensional.

238

XIX.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

De dos maneras se puede alterar un sistema dimensional: por reducción o por ampliación de la base. Para que lo primero sea viable, es preciso descubrir alguna ley que relacione entre sí las magnitudes básicas y en la que se pueda prescindir de la respectiva constante universal. Tal fue el caso cuando se descubrió la ley de equivalencia entre el calor y el trabajo, y tal pretenden que sea también el caso en Física corpuscular los que, como Rosenfeld (79), opinan que, en virtud de la teoría de la relatividad, basta tomar como unidad la velocidad de la luz, para que resulten homogéneas y puedan medirse con la misma unidad la longitud y el tiempo, por una parte, y la masa, el ímpetu y la energía, por otra. Pero, si bien no hay inconveniente en tomar e como unidad de velocidad ello no implica el que se pueda despojar impunemente a esta magnitud de su dimensión. Igual razón habría para hacer h = 1, con lo que estarían ~elacionados dimensionalmente el tiempo y la energía, y así se podría continuar hasta que no quedase una sola magnitud básica, y quedaría totalmente arruinado el Análisis dimensional. Este cataclismo se evita si de acuerdo con nuestro postulado y con lo dicho en el capítulo preoedente, se considera e como constante ineludible en todos los problemas de relativídad. Para que fuese necesario ampliar la base, sería preciso haber introducido una nueva magnitud que no estuviese relacionada dimensionalmente con alguna de las conocidas. No ocurre esto en Física corpuscular, por lo que podemos afirmar que es suficiente una base de cinco, que pueden ser L, M, T, e y Q, y pueden reducirse a cuatro en aquellos problemas en que no intervenga la temperatura. ~e aquí la traducción comienzo de su libro:

literal de algunos párrafos

que Rosenfeld pone al

.a) «~e da a la masa y al ímpetu la dimensión de una energía, es decir, se Identifica la masa de cada partícula con su energía en reposo y se llama í~petu a la magnitud que usualmente se designa con este nombre: pero multiplicada por la velocidad de la luz.» b) «Este convenio implica modificaciones similares en las magnitudes derivadas: el ímpetu angular-habrá de multiplicarse por e, y el momento de inercia 2 por e ; en p.articular, tomamos como constante fundamental de "acción" la constante de Dirao, h/2rr:, multiplicada por e. Con el fin de conservar una expresión de la forma ~v para el cuanto de energía, caracterizaremos los cambios periódicos (cuya velocidad d~ propagación sea e) por su número circular de ondas cs]«, esto es, por el COCIentede su frecuencia circular por c.» ,e) «Por otra ,parte, mantenemos el segundo como unidad de tiempo, y (~'mentras no se diga lo contrario) conservaremos el cm/s como unidad de velocidad, con lo que la veloc~dad de la luz aparecerá todavía explícitamente en las fórmulas en que figuren tíempos y velocidades.»

FÍSICA CORPUSCULAR

239

La lectura de estas líneas nos deja perplejos. Si todo ello procede de haber hecho e = 1 (simply by taking the veloeity 01 light as unit 01 veloeity), ¿qué importa el multiplicar por e los ímpetus, sean lineales o angulares, y qué papel desempeña la e en las fórmulas en que figuren tiempos y velocidades? Este quitar y poner la e no tiene razón de ser. O se conserva siempre para, de acuerdo con nuestro postulado, salvar el Análisis dimensional, o se suprime sin excepción. Si se opta por esta última alternativa, el tiempo y la longitud aparecerán como magnitudes homogéneas, y sólo quedarán en Mecánica dos magnitudes básicas, que pueden ser la longitud y la masa. Con esta mutilación de la base, el concepto de dimensión resulta casi inútil.

2.

Unidades corpusculares.

Cuando se obtiene una ecuacion mediante el Análisis dimensional, se sobrentiende que sólo es válida con unidades coherentes con las ecuaciones fundamentales, pues al utilizar sistemas incoherentes hay que introducir coeficientes parásitos que, por depender de las unidades adoptadas, son verdaderas constantes dimensionadas. Dicho Análisis fija el número de unidades básicas, pero deja arbitraria su naturaleza y su cuantía, con tal de que sean dimensionalmente independientes. Con ello quedan fijadas las unidades de todas las demás magnitudes. Entre los infinitos sistemas coherentes, merecen citarse los dos siguientes: Sistema electrostático CGS: centímetro, gramo, segundo, grado de Celsius, franklin. Sistema de Giorgi: metro, kilogramo, segundo, grado de Celsius, culombio. Cualquier sistema coherente serviría en Física nuclear, pero por desgracia se utilizan unidades incoherentes, lo que implica, no sólo una verdadera plaga de coeficientes parásitos, sino gran confusión en los conceptos, pues se pretende justificar la elección de tales unidades con las mismas razones que, según hemos hecho ver en el apartado anterior, carecen de fundamento. Las unidades incoherentes subsisten por el mismo motivo por el que los ingenieros siguen usando el peso del kilogramo como unidad de fuerza. Es de desear que un acuerdo internacional ponga término a esta situación caótica. En Física corpuscular, las longitudes y los tiempos suelen medirse en centímetros y segundos, respectivamente, o bien se recurre a sus múltiplos y submúltiplos decimales. Las secciones eficaces se miden en borne: 1 barn = 10-24

cm",

240

ANÁLISIS DIMENSIONAL XIX.

Para la masa se preconiza el empleo de la unidad máeica: 1 um

=

_1_

=

1,6597 X 10-24 g,

NA donde NA es el número de Avogadro. Además, quienes pretenden que hay ventaja en hacer [e] = 1, introducen tantas unidades de masa como unidades de energía se hallan en uso. Al proceder así se comete el mismo desatino que cuando se confunde la masa con el peso y se toma como unidad de fuerza el kilogramo-masa. Según este vicioso método, sería: 1 1 erg-masa = - = 1,111 X 10-21 g

c2

1 J-masa = 1,111 X 10-14 g,

y todavía queda una nueva unidad de masa, la correspondiente al electrón-voltio o evoltio (ev), que se define como la energía que alquiere un electrón al recorrer un trayecto en el que la caída de potencial vale un voltio. Como la carga del electrón es: e

=

1,6008 X 10-19 colombios, será:

1 ev = 1,6008 X 10-19 julios,

y la correspondiente unidad de masa sería: 1 ev-masa

=

FÍSICA CORPUSCULAR

241

como unidad de energía, el evoltio-masa como unidad de masa, y se quiere conservar el centímetro y el segundo (o sus múltiplos y divisores decimales) como unidades de longitud y de tiempo, respectivamente.

3. Magnitudes usadas en radiactividad y radiología. La ya embrollada cuestión de las unidades corpusculares se complica aún más cuando se toman en consideración las magnitudes usadas en radiactividad y radiología. La actividad, A, o poder emisivo de un cuerpo radiactivo es, por definición: dN A lím t1N =--, 6,t-+O t1t dt donde t1N es el número de átomos que se transforman en el tiempo t1t. Su unidad coherente en el sistema cegesimal debiera ser la actividad de un cuerpo que se desintegra a razón de un átomo cada segundo, y podría llamarse microrutherford (urd), ya que se ha definido el rutherford (rd) como la actividad de un cuerpo en el que se produce un millón de desintegraciones cada segundo. Desgraciadamente, no hay grandes esperanzas de que el rutherford prevalezca, pues sigue usándose el curio, que es una unidad incoherente: 1 curio = 3,7 X 1010 fLrd. La actividad específica se define mediante la fórmula:

1,779 X 10-33 g.

A

a=--

-

Se han definido ya las unidades de longitud, de masa, de tiempo y de energía, y como sólo puede haber en la base tres magnitudes mecánicas, es cosa de averiguar si se puede formar con ellas un sistema coherente. Tomando como básicaa el centímetro, el segundo y el evoltio, la unidad coherente de fuerza debiera ser:

U¡ = 1,6008 10-12 dinas, y la de masa:

ti; =

1,6008 10-12 g,

que no coincide con ninguna de las actualmente en uso. Esto prueba que es imposible formar un sistema coherente si se impone el evoltio

m'

donde m es la masa del cuerpo. Su unidad coherente en el sistema CGS, debiera ser el fLrd/g,pero se usa el curio/gramo, La constante radiactiva es, por definición: 1

A--7 y se mide en

dN

de'

S-l.

Finalmente, la semivida está definida por la fórmula: T

In 2 _

A y se mide en segundos. ANÁLISIS

DIMENSIONAL. -

16

0,693

A

242

XIX.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Si pasamos a las magnitudes que se usan en radiología con el propósito de dosificar la radiación, se tropieza con tales dificultades, que conocemos radiólogos eminentes que confiesan no haber logrado entender la definición del roentgen. En otro lugar (80) hemos tratado de poner en claro las definiciones de dosis, y casi simultáneamente aparecieron las Recomendaciones Internacionales sobre Unidades Radiológicas, que coinciden enteramente con nuestras conclusiones. Aquí nos limitaremos a definir la dosis suministrada y la dosis absorbida. Al definir la dosis suministrada, D, se da por supuesto que lo que interesa de la radiación para los fines terapéuticos es su poder ionizante, y que basta conocer su valor en el aire en condiciones normales. El poder ionizante es, por definición, la carga total que llevan consigo los iones de cada signo liberados por la radiación en la unidad de volumen de aire en condiciones normales y en la unidad de tiempo:

emite una sola partícula con una energía W. Se conoce el coeficiente total de absorción, fL, de dichas partículas en el aire, y se sabe que cada ion lleva una carga e, y que en la producción de cada pareja de iones se consume, por término medio, una energía e:. iQué dosis se obtendrá cada unidad de tiempo en un punto que dista r del cuerpo radiactivo! Para no tener que tomar en consideración la radiación secundaria, se supone que la radiación se propaga en el vacío. Con las magnitudes citadas, el Análisis dimensional conduce a: A

Djt

W

Q

1

O O - 1 O

7>1 7>2

1 O

- 1 O

L M

-3

T

-1

O

1 O

O O O

O O

O 1

-2

r

e

1 O O O

O O O 1

3 - 1 1

O

W

Vt

D

fL

2 - 1

Poder ionizante - ~, y la dosis suminístrada es el producto del poder ionizante por el tiempo de irradiación:

243

FÍSICA CORPUSCULAR

w=--e: Djt

W)

Ae =7

cP ( fLr, -e:-

.

!l. V

Como la dosis ha de variar en razón inversa del cuadrado de la distancia, y ser proporcional a la energía, W, de cada partícula resulta:

Su fórmula dimensional es: [D] = L-3Q

y su unidad en el sistema cegesimal es el roentgen. En el sistema de Giorgi, la unidad será 3 . 103 veces mayor. La dosis absorbida se define como la energía absorbida por cada gramo de tejido a consecuencia de la irradiación. Su unidad coherente en el sistema CGS, debiera ser el ergjg, pero se utiliza el rep, que es una unidad incoherente: 1 rep - 83 ergjg. Actualmente, se usa el rad: 1 rad 4.

=

100 ergjg.

Dosis en función de la actividad y de la distancia.

Para poner de manifiesto los inconvenientes del empleo de unidades incoherentes, tratemos de resolver el siguiente problema. Se dispone de un cuerpo cuya actividad vale A, y se sabe que en cada desintegración

}¿ = e

AefLW

e:r2

t

El cálculo completo, según se ve fácilmente, conduce a la relación:

que es válida con cualquier sistema de unidades coherentes. Pero, en la ,práctica, A se expresa en curios, e en el sistema CGSE, fL en cm-l, Wen Mev, e: en ev, r en cm, y se pide la dosis en roentgensjhora. Entonces, hay que introducir numerosos coeficientes parásitos, y la fórmula se convierte en: 3,7 X 1010 X 106 X 3600 AefLW D 47t

e:r2

244

ANÁLISIS

que, como e

=

DIMENSIONAL

4,80 X 10-10 u. e. e. y e D

=

1,59' lO8fL

XIX.

32 ev, da:

=

AW -2-'

r

t.

Esta fórmula da la dosis en roentgens, y no puede ser utilizada sino midiendo fL en cm-l, A en curios, W en Mev, r en cm y t en horas.

FÍSICA CORPUSCULAR

245

A título de curiosidad, damos a continuaci6n un sistema de unidades coherentes en que se toma el evoltio como unidad de energía y en el que todas las relaciones entre las nuevas unidades y las del sistema. de Giorgi se expresan con auxilio de un solo número: a = 1,602 10-19, que es el valor de la carga elemental expresada

en culombios.

Unidades básicas:

5.

Longitud: metro. Tiempo: segundo. Masa: a gramos. Carga eléctrica: a culombios.

Un sistema de unidades coherentes para la Física de los corpúsculos y de la radiación.

Cuando tras medio siglo de incomprensi6n ha logrado prevalecer el sistema de Giorgi en Electromagnetismo, sería de esperar que sus ventajas fuesen también reconocidas por los que cultivan la Física de los corpúsculos y de la radiaci6n, pero, por desgracia, no van las cosas por este camino. Dos razones suelen aducirse en contra del sistema de Giorgi. Una es la de que sus unidades son desmesuradas si se comparan con las cantidades que se manejan en el mundo subat6mico; la otra es que el uso de unidades especiales, tales como el evoltio, facilita el lenguaje y simplifica los cálculos. La primera raz6n nos parece baladí, pues cualquier sistema de unidades ha de dar números muy grandes o muy pequeños al utilizarlo para medir la velocidad de la luz y las dimensiones de los núcleos at6micos. La segunda es fútil si se consideran los beneficios que reporta la supresi6n de coeficientes parásitos, lo mismo en las ecuaciones propias de la Física atómica que en las que sirven, por ejemplo, para el cálculo de los aceleradores de partículas. En realidad, los trastornos que produciría la adopción del sistema de Giorgi se reducen a tener que cambiar en las tablas de radis6topos las energías expresadas en evoltios o en megaevoltios por sus equivalentes en julios, y a introducir nuevas unidades de dosis, a saber: Unidad de dosis suministrada: 1 Unidad

culombio mS

Basta tener a la vista el cuadro de fórmulas dimensionales, para llegar a la conclusi6n de que, en este sistema, las unidades de potencial, intensidad del campo eléctrico e inducci6n magnética son las mismas que en el sistema de Giorgi; las de fuerza, energía, ímpetu, inducci6n electrostática, momento de los dipolos eléctrico y magnético, capacidad, intensidad de la corriente y poder imanador, se obtienen multiplicando por el número a las respectivas unidades de Giorgi; finalmente, la unidad de resistencia es a veces menor que el ohmio.

6.

Onda asociada a una partícula en movimiento.

Según la hipótesis del duque (antes príncipe) Louis de Broglie, toda partícula en movimiento lleva asociado un fenómeno ondulatorio caracterizado por su longitud de onda A. Esta magnitud ha de quedar determinada por la masa en reposo, mo, y por la velocidad, v, con la eventual participación de las constantes universales h y e: A

mo

v

h

L M T

1 O O

O 1 O

1 O 1

2 1 1

7t1

1

1

1

1

= 3· loa roentgens.

de dosis absorbida: julio 1 --kg

Unidades derivadas:

_ 104 erg _ 125 rep. g

Desde luego, se pueden formar infinitos sistemas coherentes, pues es arbitraria la elecci6n de cuatro unidades, sin contar el grado de temperatura. Pero sucede que, si se adopta el evoltio para la unidad de energía, juntamente con el segundo y cualquiera de los múltiplos decimales del metro, ninguna de las unidades de masa actualmente en uso es coherente. Y, si se adopta el voltio como unidad de potencial eléctrico, juntamente con el evoltio como unidad de energía, no se puede adoptar el kilogramo, ni ninguno de sus divisores decimales, como unidad de masa.

w=

v e

A=_h ~(~). mov e Se puede ahora tener en cuenta que el cociente v/e interviene tan sólo en la teoría de la relatividad, y que sirve para pasar de la masa en

,... 246

XIX.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

de donde resulta que el producto de 0/0/* por una magnitud cualquiera, q, representa la densidad de la misma:

reposo, mo, a la masa en movimiento, m. Será, pues: h

A=O-. mv

8.

resulta para la velocidad de propagación:

r

c2 0-. v

O

=

e2

[8,1]

--o

e:rnc2

La misma fórmula, mutatis mutandis, sirve para el protón.

La teoría completa conduce a O = 1.

9. 7.

Radio clásico del electrón en el vacío.

Se supone que toda la masa, mo, del electrón es debida a su energía potencial, esto es, al trabajo que es preciso realizar para condensar la carga, e, en una esfera de radio, r, por lo que habrá de depender de las constantes del vacío, e: y c. Con las magnitudes mencionadas sólo puede formarse un monomio pi, y resulta:

e: = rnc2 = hv,

= AV =

qo/o/*.

p =

[6.1]

Según De Broglie, es O = 1. Combinando [6,1] con la ecuación de Einstein,

U

247

FÍSICA CORPUSCULAR

Energía electrostática de los núcleos atómicos.

La función de ondas.

Hasta ahora, el camino que parece más prometedor para llegar a una teoría de los fenómenos corpusculares es el que parte de la ecuación de Schrodinger: h 80/ h2 [7.1] ~o/- V'P' = 0,

-8t +

Si entre los nucleones no se ejercieran más fuerzas que las previstas por la ley de Coulomb, el trabajo necesario para reunir Z protones en un núcleo atómico de radio R, dependerá de la carga elemental, e, del radio, ro, del neutrón y de las constantes del vacío e: y c. W

e

2

O O O

81t2m

en la que h es la constante de Planck, m la masa del corpúsculo, y V su energía potencial. En cuanto a la que pudiéramos llamar protagonista de la ecuación, la función O/, se limita Schrodínger a decir que sirve para determinar unívocamente el estado del sistema. Es todavía objeto de discusión su significado físico, pero el Análisis dimensional puede decirnos algo muy interesante acerca de la misma. En la ecuación [7,1] la dimensión de o/ queda indeterminada, pero sucede que las únicas soluciones aceptables son las normalizadas, o sea aquellas en que se cumple que

L M

T

1

-2

donde 0/* es la función compleja conjugada de O/, y d-r: es el elemento de volumen. Según esto, habrá de ser: [0/0/*]

=

L-3,

1

Q

O

7t¡

1 -2

w=

2

e

e:R q>

(

&

e

1 -3 -1

O

1

O O O

2 -1 O 2

1

1

O

o

Z'Rr ) .

Según Bethe y Bacher (81), en el sistema electrostático es: W

[7,2]

R

3

=-

Z(Z -

5

e2

1) -,

R

pero, según hicimos ver en otro lugar (76),la fórmula correcta es:

w=~(~-~). 5

R

ro

248

ANÁLISIS DIMENSIONAL

XIX.

10. Fuerza de Lorentz. iA qué fuerza se halla sometido un electrón que se mueve en un campo magnético? Del campo bastará conocer el vector B, que es el responsable de las acciones ponderales. El electrón figurará por su carga, e, y por su velocidad, v. Si con los datos precedentes se aplica el Análisis dimensional no considerando más que una magnitud espacial en la base, se obtiene un monomio pi: 7t1

11. Radio de curvatura de la trayectoria de un electrón en un campo magnético. Del problema anterior resulta que, si el campo es homogéneo, la fuerza será constante y, como es normal a la trayectoria, ésta habrá de ser circular. Además, tomando los ejes como en el problema anterior, resulta que sólo interviene la componente B2 de B, esto es, la que es perpendicular a v. r B2 m e v L M

f = --, evR

que permite afirmar la proporcionalidad de f con y V con B, pero que nada dice respecto de la posición relativa de estos tres vectores. Para hallar la cuantía y la dirección de la fuerza, hay que hallar sus componentes 11' 12' Is, con relación a un sistema de ejes coordenados. Tómese el eje Xl en la dirección de la velocidad, con lo que será v2 = va = O, Y el plano Xl x2 de modo que contenga el vector B, con lo cual, Bs = O. Utilizando las fórmulas dimensionales del § 4, capítulo XVII, se ve que con las citadas magnitudes y las componentes 11 y 12 de la fuerza no se puede formar ningún monomio pi, lo que significa que dichas componentes no dependen de Vl' Y como 11 = 12 = O si vl = O, lo mismo ocurrirá aunque vl =1= O. Para la tercera componente se tiene:

249

FÍSICA CORPUSCULAR

T Q

1 O O O

1 O - 1 O

O 1 - 1 1

O 1 O O

O O O 1

7tl

1

-

1

1

1

1

r

= 0--.

mv

cB

La teoría da O = 1.

12. El espín. Las partículas elementales poseen un ímpetu angular (espín), como si girasen en torno de sí mismas. Admitiendo que su comportamiento mecánico queda determinado por su momento de inercia, y teniendo en cuenta la posible intervención de las constantes universales h y e, resulta un solo monomio pi; y la solución es: 8 =

Oh,

que no depende del momento de inercia de la partícula. La teoría dice que O es un múltiplo entero o semientero de 1/2 rr.

lo que prueba que la fuerza es perpendicular Y vale:

al plano determinado

por v y B

Podemos ahora resolver el siguiente problema. ¿Cuánto vale el aumento, llm, que experimenta la masa de una partícula cuando su espín pasa del valor O al valor h/27t? Sea m la masa en reposo de la partícula, que supondremos esférica. Si r es o . á el radio, el momento de inercia respecto de un diámetro cualquiera, ser :

f = Oev 1\ B. La teoría completa da O = l. Es de notar que, por utilizar un sistema dimensional en que [¡.¡.] = 1, la fórmula dimensional dada por el propio Lorentz es incorrecta, según hizo notar Sommerfeld, pues figura en ella H en lugar de B.

Al girar la partícula

en torno de uno de sus diámetros

con un ímpetu

angu-

250

ANÁLISIS DIMENSIONAL

lar h/211:,

XIX.

la frecuencia habrá de ser tal que:

tantes universales EO Y h, la primera para tomar cuenta de las fuerzas de Coulomb, y la segunda por efecto de la cuantización.

h

= --, 211:

211:vI

251

FÍSICA CORPUSCULAR

o sea:

L M

[12,1]

T

y la energía cinética de rotación valdrá:

k

e

O O

O O O 1

-1

Q

O

11:1

1 -4

€o

-3 -1

k

=

2 1

O 1 O O

O

3 - 1

2

mo

w=-En consecuencia, el aumento relativo de masa será:

m

-1

2 2

_

h

mp

4

O moe

2h3