BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Latar Belak Belakang ang Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam alam ini ini dinya dinyata taka kan n dala dalam m bentu bentuk k pers persam amaa aan n yang yang memua memuatt laju laju perubahan dari suatu kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial. Bany Banyak ak ka kasu sus s yang yang meli meliba batk tkan an huku hukum m pend pendin ingi gina nan n
newton. Banyak perubahan jumlah karena saat berlangsung berlangsung seperti uang uang dalam dalam
tabu tabung ngan an atau suhu minuman minuman menyeg menyegar arkan kan atau atau
massa pendingin. pendingin. Di sini kita akan tertarik dalam membuat prediksi tent tentan ang g juml jumlah ah peru peruba baha han n ters terseb ebut ut.. Perh Perhit itun unga gan n ini ini bias biasan anya ya diulang beberapa kali dan merupakan contoh dari algoritma. Karena sejumlah sejumlah besar besar perhitun perhitungan gan ulang, ulang, kita biasanya biasanya menggun menggunakan akan beberapa alat komputasi. komputasi. Perhatikan Perhatikan pendinginan pendinginan baik-diaduk baik-diaduk cair seperti secangkir kopi. Di sini kita ingin memprediksi suhu cairan yang diberikan pada beberapa observasi awal (http://www4.ncsu.edu/eos/users/w/white/www/white/ma325/ HTlec1.pdf ) Huku Hukum m
Newt Newton on
memb membua uatt
pern pernya yata taan an
tent tentan ang g
ting tingka katt
seket seketik ika a perub perubah ahan an suhu. suhu. Kita Kita ak akan an melih melihat at bahwa bahwa ketik ketika a kita kita mene enerjem jemahka ahkan n
pern ernyata ataan
verb erbal
1
ke
dala alam
persam samaa aan n
diferensial, kita sampai pada sebuah persamaan diferensial. Solusi untuk untuk persa persama maan an ini ini maka maka ak akan an menjad menjadii fungs fungsii yang yang melaca melacak k catatan catatan lengkap suhu dari waktu waktu ke waktu. waktu. Hukum Hukum Newton Newton akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah tersebut.
B. Permas Permasala alahan han
Yang menjadi permasalahan pokok dalam makalah ini adalah bagaiamana membuat permodelan proses pendindinan Newton dan perp perpin innd ndah ahan an
kalo ka lorr
pada pada
sebu sebuah ah
term termos os
sert serta a
baga bagaim iman ana a
mengetah mengetahui ui distribu distribusi si aliran aliran kalor kalor pada pada sebuah sebuah termos termos (sebuah (sebuah atudi kasus) C. Tuju Tujuan an
Tuju Tujuan an dari dari penul penulisa isan n makal makalah ah ini ini adala adalah h menca mencari ri solu solusi si persamaan permodelan proses pendinginan Newton serta mencari solusi solusi fenomena fenomena distrib distribusi usi aliran aliran kalor kalor untuk untuk dapat dapat mengetah mengetahui ui distribusi temperature dalam termos. D. Hipot Hipotesi esis s
Pada kasus proses pendinginan air akan cenderung mengikuti hokum proses pendinginan Newton dan diatribusi aliran kalor dalam termos (studi kasus) mengikuti distribusi Maxwell.
2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Laju
perpindahan
panas
pada
suatu
rongga
dihitung
berdasarkan hukum newton pendinginan. Sedangkan koeffisien perpindahan panas konveksi (h) Pada rongga dipengaruhi oleh : perbedaan temperature dari kedua dinding pembatas, selain itu juga merupakan fungsi dari geometri rongga , orientasi dari rongga dan sifat-sifat yang dimiliki fluida (Ousthuizen H Patrick, David Naylor, (1999). Besarnya laju perpindahan panas antara dua permukaan yang membentuk rongga sangat dipengaruhi pula oleh kondisi sifat-sifat (properties)
,
yaitu
;
tekanan,
temperatur,
massa
jenis,
konduktivitas, viskositas dan sebagainya dari fluida yang berada di dalam rongga tersebut. Untuk mengurangi laju perpindahan panas pada suatu rongga (cavity), cara penghampaan (pemvakuman) merupakan suatu metode yang sangat popular didalam kehidupan sehari-hari. Cara ini sering digunakan pada thermos, pelat-pelat absorber
pada
pemanas
matahari,
sebagai
isolasi
untuk
mengurangi kehilangan panas pada reaktor nuklir, pendinginan pada tangki sampah radioaktif, ventilasi ruangan 3
( Roth A, (1989).
Jika benda panas, seperti secangkir kopi, ditempatkan dalam lingkungan yang dingin suhu turun. Kita tahu dari pengalaman pribadi bahwa hari-hari berangin merasa lebih dingin dari hari tenang. Bahkan, selama musim dingin laporan cuaca yang sering termasuk "faktor angin dingin" di samping suhu. Hukum
pendinginan
Newton
menyatakan
bahwa
laju
perubahan suhu suatu benda sebanding dengan perbedaan antara suhu sendiri dan suhu ruang (yaitu suhu sekitarnya). Hukum Newton membuat pernyataan tentang tingkat perubahan suhu yang seketika. Kita akan melihat bahwa ketika kita menerjemahkan pernyataan verbal ke dalam persamaan diferensial, kita sampai pada sebuah persamaan diferensial. Solusi untuk persamaan ini maka akan menjadi fungsi yang melacak catatan lengkap suhu dari waktu ke waktu. Hukum Newton akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah berikut.
Dengan menggunakan fakta bahwa
adalah konstan untuk
menghilangkan turunannya, dan kami terpasang di Dengan mendefinisikan variabel baru ini,
4
untuk
Solusinya adalah Kita dapat menggunakan hasil ini untuk menyimpulkan (dengan
memasang
dan
Yang
Oleh karena itu,
Kasus khusus : 1. Asusmsikan bahwa
, maka hokum pendinginan T ( 0)
= T 0 > T
Newton dapat dituliskan : Dengan metode separasi variable dan mengitegralkan persamaan diatas maka di peroleh :
Jika
maka : T ( 0)
= T
0
5
Dan
Oleh sebab itu kita peroleh :
2.
Asumsikan bahwa T ( 0 )
=
T 0
<
A
Sehingga panas benda dapat di gambarkan seperti pada persamaan berikut :
Dengan cara yang sama seperti pada kasus pertama maka kita dapatkan :
Secara dari kedua kasus diatas maka dapat dituliskan sebagai :
6
http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONVAL/Sites/English_sites/Si te4/6/6_03-2.htm Segera setelah secangkir kopi panas dituang, itu mulai dingin. Proses pendinginan sangat cepat pada awalnya, dan kemudian level off. Setelah jangka waktu yang panjang, suhu kopi akhirnya mencapai suhu kamar. variasi suhu untuk objek pendingin seperti itu dirangkum oleh Newton. Dia menyatakan bahwa tingkat di mana tubuh mendinginkan hangat kira-kira sebanding dengan perbedaan suhu antara suhu benda hangat dan suhu sekitarnya. Lain matematis:
∆T = −k ( T − C ) ∆t dimana
merupakan perubahan suhu benda selama selang waktu
∆T
yang sangat kecil,
. T adalah suhu tubuh di instan tertentu, C
∆t adalah suhu sekitarnya, dan k adalah konstanta proporsionalitas. Persamaan ini dapat diselesaikan untuk T menggunakan teknik canggih:
7
T − C = ( T − T 0 ) e − ( kT ) T − C = Te −( kT )
− T e −( kT ) 0
mana T0 adalah suhu tubuh saat t = 0. Dalam latihan ini, Anda akanmenyelidiki variasi suhuuntuk objekpendinginan dan berusaha untuk memverifikasimodel matematika yang dikembangkan oleh Newton. dT dt d dt
= −k ( T t − T a )
( T t − T a ) =
dT t dt
−
dT a dt
Perhatikan bahwa DTA / dt adalah 0 sehingga
dT
∫ T = ∫ − kdt ln
dT = −k ( T t − T a ) dt dT d ( T t − T a ) = t dt dt dT = −kT dt
−
dT a dt
T = −kt
T = e − kt
= T ( 0) e −kt T ( t ) = T ( 0) e − kt T ( 0)
http://answers.yahoo.caom/question/index? qid=20090727232050AAL6zBr
8
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Kasus pada persamaan : T ( t )
To
T
Ta=T o-T
t(mnt)
100
10
90
10
100
10
90
20
100
10
90
30
100
10
90
40
100
10
90
50
100
10
90
60
100
10
90
70
100
10
90
80
100
10
90
90
100
10
90
100
k 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 9
= T + T a e kt kt
exp(kt )
T(t)
0.5949
0.551 618
55.161 77
1.1898
0.304 282
30.428 21
1.7847
0.167 847
16.784 74
2.3796
0.092 588
9.2587 61
2.9745
0.051 073
5.1072 96
3.5694
0.028 173
2.8172 75
4.1643
0.015 541
1.5540 59
4.7592
0.008 572
0.8572 46
5.3541
0.004 729
0.4728 72
-5.949
0.002 608
0.2608 45
100
10
90
110
100
10
90
120
100
10
90
130
100
10
90
140
100
10
90
150
100
10
90
160
100
10
90
170
100
10
90
180
100
10
90
190
100
10
90
200
0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9 0.0594 9
6.5439
0.001 439
0.1438 87
7.1388
0.000 794
0.0793 7
7.7337
0.000 438
0.0437 82
8.3286
0.000 242
0.0241 51
8.9235
0.000 133
0.0133 22
9.5184
7.35E05
0.0073 49
4.05E05
0.0040 54
2.24E05
0.0022 36
1.23E05
0.0012 33
6.8E06
0.0006 8
10.113 3 10.708 2 11.303 1 11.898
Suhu suatu benda atau suatu fluide tertentu akan menurun seiring dengan waktu yang berjalan, yang mana makin lama waktunya maka fluida akan temperaturnya akan makin menurun. Pada kasus ini mengalamai penurunan temperature yang kritis. Hal ini terlihat kita pada temperature 100 0C di biarkan dalam waktu 10
10
menit maka temperaturnya menjadi 55.161770C dan sampai pada waktu 200 menit temeparturnya menjadi 0.00068 0C seperti terlihat pada gambar dibawah.
Analisis Kasus pada persamaan : T ( t )
Ta
T
Ta=T o-T
t(m nt)
100
10
90
10
100
10
90
20
100
10
90
30
100
10
90
40
100
10
90
50
100
10
90
60
100
10
90
70
100
10
90
80
100
10
90
90
100
10
90
100
100
10
90
110
100
10
90
120
100
10
90
130
100
10
90
140
= T + T a e −kt
k
kt
0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545
0.605 45 1.210 9 1.816 35 2.421 8 3.027 25 3.632 7 4.238 15 4.843 6 5.449 05 6.054 5 6.659 95 7.265 4 7.870 85 8.476 3
11
exp(kt) 0.545 829 0.297 929 0.162 618 0.088 762 0.048 449 0.026 445 0.014 434 0.007 879 0.004 3 0.002 347 0.001 281 0.000 699 0.000 382 0.000 208
T(t) 59.12 459 36.81 361 24.63 564 17.98 855 14.36 038 12.38 002 11.29 908 10.70 908 10.38 703 10.21 125 10.11 531 10.06 294 10.03 435 10.01 875
100
10
90
150
100
10
90
160
100
10
90
170
100
10
90
180
100
10
90
190
100
10
90
200
0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545 0.060 545
9.081 75 9.687 2 10.29 265 10.89 81 11.50 355 12.10 9
0.000 114 6.21E05 3.39E05 1.85E05 1.01E05 5.51E06
10.01 024 10.00 559 10.00 305 10.00 166 10.00 091 10.00 05
Suhu suatu benda atau suatu fluida tertentu akan menurun seiring dengan waktu yang berjalan, yang mana makin lama waktunya maka fluida akan temperaturnya akan makin menurun. Hal ini terlihat kita pada temperature 1000C di biarkan dalam waktu 10 menit maka temperaturnya menjadi 59.12459 0C dan sampai pada waktu 200 menit temeparturnya menjadi 10.0005 0C seperti terlihat pada gambar dibawah.
Dua sumber utama dari adanya daya disipasi yaitu dari radiasi dinding termos dan konduktansi termal antara udara diantara dinding – dinding termos. Daya radiasi dari dalam dinding termos negative
12
J r ( 0 )
=ε
( − T )
σ T 4 A
4
o
Yang mana T = suhu pada teh T0 = suhu lingkungan = konstatanta Stefan-blotzman = σ
5,7.10
Daya disipasi konduktifitas termal
−8
W / m 2 K 4
pada udara seharusnya
dapat mengestimasi keadaan yang sebenarnya, saat tekanan, rata
– rata molekul udara adalah
. Oleh sebab itu, terjadi λ ≈ 1 cm
tumbukan antara molekul – molekul yang bergerak
satu dinding
termos kedinding yang lainya. Kita dapat mengasumsikan bahwa
( d adalah jarak antara dinding – dinding). Dalam regime ini λ ≥ d
konduktansi termal sebanding dengan tekanan ( jika
, maka λ << d
akan bergantung pada tekanan). Diasumsikan
13
setelah molekul
menumbuk
dinding
–
dinding,
maka
akan
memeperoleh
temperature pada dinding. Setelah dari awal mengenai dinding, molekul ini akan membawa energy sebesar : ε = C v ( T − T o )
Dimana
untuk di uadara
. Banyaknya tumbukan C v
=
5 2
k B
molekul pada dinding bagian dalam interval waktu dt di berikan oleh :
dN =
Dimana
n υ
n
4
Adt
adalah
kosentrasi
molekul
dan
adalah υ
kecepatan rata – rata molekul.
14
∞
υ
∞
= ∫ υ f (υ ) d υ = 4π C ∫ υ 3 e 0
−
mυ 2 2τ
d υ
0
1 ∞
−
υ e 2 ∫ = −2π C d ∫ e da
= 4π C
2
2
mυ
d υ 2
2τ
0
∞ − ax
0
dx
3
∞
= 2π C ∫ 0 υ 3 e
= −2π C d
1
da a
2
m 2 2τ = 2π = 2π τ m
8τ
π m
=
−
mx 2 2τ
dx
= 2π C 12 a
8 RT 0
π µ
Daya termal konduktansi adalah :
J t
= ε
dN dt
=
5 2
k B ( T − T 0 )
Substitusi
5
J t
= ε
dN
J t
= ε
dN
J t
= 5 k B ( T − T )
J t
5 = ( T − T )
dt
dt
=
2
5 2
P
A
0
k B ( T − T 0 )
k B ( T − T 0 )
P T 0
maka di peroleh : υ
k B T o
0
2
8
4
dan n=
=
n υ
P
1
k B T 0
4
8 RT 0
n υ 4
n υ 4
=
8 RT o
µ π
A
A
8 RT 0
A π µ
A = π µ
T − 1 PA 8 T 5
0
15
8 RT 0
π µ
Juga, kita dapat melihat loss radiasi pada hal yang sama pada magnitude sebagai parameter - parameter konduktansi termal. Oleh karena itu, pada termos hanya dapat memperbaiki keduaduanya dim kurangi emeistifiti dan tekanan residu antara dinding – dinding. Energy disipasi didefinisikan sama dengan perubahan energy pada teh yang bermassa m : − Cm
dT
− Cm
dT
− Cm
dT
dt
dt
=
( J
+ J t
r
=ε
) dt
( − T ) + 5 ( T − T ) PA
8 R
4
σ T 4 A
0
0
8
5
T 0 π µ
~ ≈ ε A σ ( T − T ) 4T + ( T − T ) PA 3
0
Dimana
8
0
8 R
T 0 π µ
. Ketika waktu t untuk teh menjadi
T + T 0 2
~
T =
dingin dari temeperatur awal T i sampai pada temperatur akhir T f, diberikan oleh :
Cm ln t ≈
~
A 4ε σ T 3
− T 0 T f − T 0
+
T i 5 8
P
8 R
π µ T 0
16
Panas lossnya di berikan oleh :
= Cm( T − T ) + Q
J τ 1
2
1
1
Dan
,
= Cm∆T
Q2
τ 2
τ 1
=
2
= 2Q = 2Cm∆T J τ = Cm( T − T ) + Q = Cm( T − T ) + 2Cm∆T = Cm( T − T + 2∆T ) Q1
2
1
2
m=
1
1
2
1
2
J τ 1 C ( T 2
− T + 2∆T ) 1
n = nf ( v ) v 2 dv sin θ d φ d θ R
2π
= nA∫0
∫
d φ
∞
0
f ( v ) v 3 dv
π / 2
∫
0
sin θ cosθ d θ = π An
∫
∞
0
v 3 f ( v ) dv
Kecepatan rata – rata di definisikan sebagai : v
=∫
2π
0
∫
d φ
∞
0
vf ( v ) v 2 dv
∫
π
0
sin θ d θ
= 4π ∫
∞
0
v 3 f ( v ) dv
Dari persamaan : dan
∫
2π
0
∫
d φ
∞
0
f ( v ) v 3 dv
π / 2
∫
0
sin θ co sθ d θ
17
= π An ∫
∞
0
v 3 f ( v ) dv
1
, diperoleh
=∫
v
R
2π
0
v
=n
4
∫
d φ
∞
0
vf ( v ) v 2 dv
∫
π
0
sin θ d θ
= 4π ∫
∞
0
v 3 f ( v ) dv
A
Maka dE dt
v
= R∆ε = n
A∆ε =
4
1 8
nτ v A
Transfer panas :
dan dE dt
R
=−
dn dt
d ( nV )
=−
dt nv 4V
= −V
dn dt
=
=
dQ
nv 4
dt
=
1 8
nτ v A
R
=n
v 4
A
A
A
Solusi dari persamaan diatas, kita dapat menguraikan perubahan densitas : , dimana − t
t 0
n( t ) = ne t
0
≡
4V
A v
Oleh karena itu di dapatkan aliran panasnya yaitu : dQ dt
=
1 8
−
nτ A v e
t t 0
Banyaknya molekul – molekul yang bertumbukan pada permukaan N tiap waktu diberikan oleh : 18
dan N =
nv 4
N 0
t
=
4 A
π d 2
Hubungan dari kedua persamaan diatas dapat di tuliskan sebagai
. N ≤ γ N 0
Atau untuk tiap 1 m2 pada permukaan di berikan oleh : nv
4
t ≤ γ 2 4 π d
Kecepatan rata – rata :
dan v
=
8τ
=
π µ
8 RT
π µ
n=
P k B T o
sehingga si peroleh : P ≤
16γ k B T
π d 2 t v
Persamaan diatas adalah merupakan besarnya kalor yang berkontaminasi dengan permukaan termos.
BAB IV KESIMPULAN
Dari uraian diatas maka dapat diambil kesimpulan bahwa pada
proses
pendinginan
air
19
cenderung
mengikuti
hokum
pendinginan Newton yang mana bahwa temperature suatu fluida akan menurun seiring dengan waktu yang makin meningkat, hal ini terlihat pada saat Hal ini terlihat pada kasus pertama Pada kasus ini mengalamai penurunan temperature yang kritis. Hal ini terlihat kita pada temperature 1000C di biarkan dalam waktu 10 menit maka temperaturnya menjadi 55.161770C dan sampai pada waktu 200 menit temeparturnya menjadi 0.00068 0C dan pada kasus kedua pada temperature 1000C di biarkan dalam waktu 10 menit maka temperaturnya menjadi 59.124590C dan sampai pada waktu 200 menit temeparturnya menjadi 10.0005 0C.
20
