VARIABEL KOMPLEKS
SUMANANG MUHTAR GOZALI
KBK ALJABAR & ANALISIS
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009
2
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
2
1 Sistem Sistem Bilanga Bilangan n Kompl Kompleks eks (C) 1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sifat-s t-sifat Aljabar Bilang ngaan Komplek plekss . 1.3 Interpretasi Geometris . . . . . . . . . 1.4 Ketaksamaan Segitiga . . . . . . . . . 1.5 Bentuk Polar . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Bentuk Eksp onensial . . . . . . . . . . 1.7 Pangkat dan Akar . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
1 1 2 3 3 3 3 3
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
2 Fungsi Analitik 2.1 Fungsi dengan variabel bel kompleks 2.2 Limit . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kekontinuan . . . . . . . . . . . . 2.4 Turunan . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Persamaan Cauchy-Riemann . . . 2.6 Fungsi Analitik . . . . . . . . . . 2.7 Fungsi Harmonik . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
5 5 5 5 5 6 6 6
3 Fungsi Elementer 3.1 Fungsi Eksponen . . 3.2 Fungsi Trigonometri 3.3 Fungsi Logaritma . . 3.4 Eksp onen Kompleks
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
7 7 7 7 8
. . . .
. . . .
. . . .
4 Inte Integr gral al di R 4.1 Fungsi Bernilai Kompleks 4.2 Integral Lintasan . . . . . 4.3 Anti-Turunan . . . . . . . 4.4 Formula Cauchy . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 9 9 9 9
5 Deret eret di C 5.1 Kekonvergenan Barisan dan Deret . 5.2 Deret Taylor . . . . . . . . . . . . . 5.3 Deret Laurent . . . . . . . . . . . . 5.4 Kekonvergenan Mutlak . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
11 11 11 11 12
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
6 Teori Residu 13 6.1 Residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.2 Teorema Residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 DAFTAR PUSTAKA
15
3
BAB 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) Pada bab pertama ini kita akan mempelajari struktur bilangan kompleks, dimulai dengan definisi dan sifat-sifat aljabar kemudian ...
1.1 1.1
Penda endah hulua uluan n
Pada sistem bilangan real kita tidak mengenal konsep akar dari suatu bilangan negatif. Sekarang kita mendefinisikan bilangan i =
√−1, atau i = −1. Selanjutnya, 2
kita mendefinisik mendefinisikan an himpunan himpunan bilangan bilangan kompleks kompleks sebagai C
= x + yi : x, y
{
∈ R}.
Untuk kemudahan penulisan notasi, kita akan sering menggunakan notasi z = (x, y ) untuk z = x + yi . Misalkan z = x + yi
∈ C, kita menyebut x sebagai bagian real dari z, dino-
tasikan dengan Re z , dan y kita sebut bagian imajiner dari z , dinotasikan dengan I m z . Jika bagian imajiner suatu bilangan kompleks adalah nol, maka kita peroleh
suatu bilangan real. Dengan demikian demikian kita memandang sistem bilangan real sebagai subhimpunan di sistem bilangan kompleks. Sebagaimana pada sistem bilangan real, pada sistem bilangan kompleks C kita dapat mendefinisikan mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian. perkalian. Misalk Misalkan z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i keduanya di C. Kita mendefinisikan penjumlahan dan perkalian dari z1 dan z2 melalui z1 + z2 = (x1 + x2 ) + ( y1 + y2 )i
1
BAB 1. SISTEM BILANGAN BILANGAN KOMPL KOMPLEKS EKS ( C)
2
z1 z2 = (x1 x2
− y y ) + (x y 1
2
1
2
+ x2 y1 )i.
Selanjutnya, kita mendefinisikan invers penjumlahan dari z , sebagai
−z = (−x) +
( y )i. Dengan mudah kita dapat memeriksa kesamaan z + ( z ) = 0.
−
−
Jika z = x + yi = 0, kita mendefinisikan invers z terhadap perkalian sebagai
z −1 =
1.2
x x2 + y 2
+
−y
x2 + y 2
i
SifatSifat-sif sifat at Aljaba Aljabarr Bila Bilanga ngan n Komple Kompleks ks
Untuk semua a,b,c
∈ C, operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi semua
sifat berikut:
Sifat Ketertutupan a + b dan a.b keduanya adalah elemen di
R
SifatKomutatif a + b = b + a, a.b = b.a Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c), (a.b).c = a.(b.c) Sifat Distributif a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a Eksistensi Identitas Penjumlahan Terdapat 0 Eksistensi Identitas Perkalian untuk semua a
∈ C sehingga 0 + a = a. Terdapat elemen 0 = 1 ∈ C sehingga 1.a = a
∈C
Eksistensi Invers Penjumlahan Untuk setiap a
∈ C terdapat −a ∈ C sehingga
a + ( a) = 0.
−
Eksistensi Eksistensi Invers Invers Perk Perkalian Untuk setiap x = 0 di x−1
∈ C sehingga x. Latihan
1. 2. 3. 4.
1 x
= 1.
C
terdapat satu elemen
1.3. INTERPRET INTERPRETASI ASI GEOME GEOMETRIS TRIS
1.3 1.3
Inte In terp rpre reta tasi si Geom Geomet etri riss
1.4 1.4
Keta Ketaks ksam amaa aan n Segi Segiti tiga ga
1.5 1.5
Ben Bentuk tuk Polar olar
Latihan 1. 2. 3.
1.6 1.6
Ben Bentuk tuk Ekspo Ekspone nens nsia iall
1.7 1.7
Pan angk gkat at da dan n Akar Akar
3
4
BAB 1. SISTEM BILANGAN BILANGAN KOMPL KOMPLEKS EKS ( C)
BAB 2 Fungsi Analitik 2.1
Fungsi ungsi dengan dengan variabel ariabel komplek omplekss
2.2
Limit
2.3 2.3
Kek Kekonti ontin nua uan n
2.4
Tur urun unan an
Latihan
2.5
Persama ersamaan an Cauc Cauchy-Riem y-Riemann ann
Latihan 1. 2. 3.
2.6 2.6
Fun ungs gsii Anal Analit itik ik
Latihan 5
BAB 2. FUNGSI FUNGSI ANALIT ANALITIK IK
6 1. 2. 3.
2.7 2.7
Fun ungs gsii Ha Harm rmon onik ik
BAB 3 Fungsi Elementer Pada bab ini ...
3.1 3.1
Fun ungs gsii Ekspo Ekspone nen n
Latihan 1. 2. 3.
3.2
Fungsi ungsi Trigono rigonomet metri ri
Latihan 1. 2. 3.
3.3 3.3
Fun ungs gsii Loga Logari ritm tma a
Latihan 7
BAB 3. 3. FUNGSI FUNGSI ELEM ELEMENT ENTER ER
8 1. 2. 3.
3.4 3.4
Ekspo Ekspone nen n Komp Komple leks ks
BAB 4 Integral di
C
4.1 4.1
Fun ungs gsii Ber Berni nila laii Kom Kompl plek ekss
4.2 4.2
Inte In tegr gral al Lin Lintasa tasan n
Latihan 1. 2. 3.
4.3 4.3
Anti Anti-T -Tur urun unan an
Latihan 1. 2. 3.
4.4 4.4
Form ormula ula Cauc Cauch hy
Latihan 9
BAB 4. INTEGR INTEGRAL AL DI C
10 1. 2. 3.
BAB 5 Deret di 5.1
C
Kekon Kekonv vergena ergenan n Bar Barisa isan n dan dan Deret Deret
Latihan 1. 2. 3.
5.2 5.2
Dere Derett Taylor ylor
Latihan 1. 2. 3.
5.3
Dere Derett La Lau uren rent
Latihan 1. 11
BAB BAB 5. 5. DE DERE RET T DI DI C
12 2. 3.
5.4
Kekon Kekonv vergena ergenan n Mutlak Mutlak
Latihan 1. 2. 3.
BAB 6 Teori Residu 6.1
Residu
Latihan 1. 2. 3.
6.2 6.2
Teore eorema ma Resi Residu du
Latihan 1. 2. 3.
13
14
BAB 6. TEORI TEORI RESIDU RESIDU
DAFTAR PUSTAKA
[1] [1] Bartl Bartle, e, R.G. R.G. (1985) (1985),, Introduction to Real Analysis, John John Wiley Wiley & Sons. Sons. Inc. Inc. [2] Churchill, Churchill, Ruel V. (1978), Compleks Variables and Applications, McGRAWMcGRAWHILL. [3] Wade, W.R. W.R. (2000) (2000),, An Introduction to Analysis, Pren Prenti tice ce Hall Hall.. [4] Zeidler Zeidler,, Eberhard Eberhard (1995 (1995), ), Applied Functional Analysis, Springer-V Springer-Verlag erlag New York, Inc.
15