1
Curso 2006-2007
Tema 2. M´ etodos anal´ıticos de resoluci´ on de EDP. Dominios acotados.
Asignatura: M´ etodos Matem´ aticos de la Ingenier´ıa Qu´ımica Profesores: Emanuele Schiavi y Ana Isabel Mu˜ noz. Apuntes elaborados por: C. Conde (UPM), E. Schiavi (URJC) y A.I. Mu˜ noz (URJC).
´Indice
1
´Indice
1. 2.
M´etodos de resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Introducci´on al m´etodo de separaci´on de variables . . . . . . . . . . .
7
2.1.
3.
5.
2.1.1.
Imposici´on de las condiciones de contorno . . . . . . 11
2.1.2.
El problema de autovalores asociado . . . . . . . . . 12
Difusi´on unidimensional. Introducci´on a las series de Fourier . . . . . 13 3.1.
4.
El m´etodo de separaci´on de variables . . . . . . . . . . . . . . 10
Resoluci´on del problema de difusi´on unidimensional . . . . . . 15
Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.
Preliminares. La integral de Lebesgue y el espacio de funciones de cuadrado integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.
Los Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.
Analog´ıa con el caso vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4.
An´alisis del error ´optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5.
Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6.
Convergencia de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 34
4.7.
Diferenciaci´on e integraci´on de las series de Fourier . . . . . . 36
4.8.
Otras formas del desarrollo en Serie de Fourier . . . . . . . . . 36
Tablas de series de Fourier trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1.
Series de Fourier completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.
Otros intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.
Series de Fourier cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.
Series de Fourier senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5.
Desarrollos en mitad de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . 40
´Indice
2
6.
Difusi´on bidimensional. Introducci´on a las dobles series de Fourier . . 42 6.1.
7.
La ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.1.
8.
9.
10.
La doble serie seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
El problema de Dirichlet. Principio de superposici´on . . . . . . 48
El problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8.1.
Valores propios y funciones propias . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2.
Forma autoadjunta de una ecuaci´on diferencial . . . . . . . . . 58
Ecuaciones no homog´eneas y condiciones en la frontera . . . . . . . . 59 9.1.
Empleo de series de Fourier generalizadas . . . . . . . . . . . . 69
9.2.
Ejemplos y aplicaciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales . . . . . . . . . . . 72 10.1.
Problemas en coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . 72
10.2.
El problema de Dirichlet en el disco para la ecuaci´on de Laplace 75 10.2.1.
Cambio a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 75
10.2.2.
Resoluci´on del problema de Dirichlet . . . . . . . . . 76
10.2.3.
Resoluci´on de los problemas de autovalores asociados 77
10.2.4.
La ecuaci´on de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . 79
10.2.5.
Aplicaci´on de la resoluci´on de la ecuaci´on de EulerCauchy al problema de Dirichlet en el disco . . . . . 80
10.3.
Conducci´on del calor estacionaria en un c´ırculo . . . . . . . . 82
10.4.
El problema de Dirichlet en el disco para la ecuaci´on de difusi´on 86
10.5.
La ecuaci´on de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 10.5.1.
Funciones de Bessel de primera clase . . . . . . . . . 89
10.5.2.
Soluci´on general cuando el orden no es entero . . . . 90
10.5.3.
Funciones de Bessel de segunda clase . . . . . . . . . 90
10.5.4.
Soluci´on general para cualquier valor del orden . . . 91
10.6.
La ecuaci´on param´etrica de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.7.
Problemas en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . 94
Indice.
3
10.7.1.
Funciones de Bessel esf´ericas
. . . . . . . . . . . . . 95
10.7.2.
Funciones de Bessel esf´ericas modificadas . . . . . . . 97
10.8.
La ecuaci´on de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.9.
La ecuaci´on de Legendre y la aplicaci´on del m´etodo de separaci´on de variables en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . 99
11.
Ejercicios sugeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.
Ejercicios propuestos en ex´amenes relativos al segundo tema . . . . . 109
13.
Ejercicios sugeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
14.
Ejercicios propuestos en ex´amenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
15.
Bibliograf´ıa B´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.
Bibliograf´ıa Avanzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Tema 2. M´ etodos anal´ıticos de resoluci´ on de EDP. Dominios acotados.
1.
M´ etodos de resoluci´ on de ecuaciones en derivadas parciales. Generalidades
En este cap´ıtulo plantearemos algunos procedimientos para resolver ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden que surgen con frecuencia en problemas donde aparecen fen´omenos de difusi´on de materia y conducci´on del calor. Tambi´en consideraremos otros fen´omenos, como la reacci´on y la convecci´on, que suelen completar el modelo f´ısico y que se tienen que reflejar adecuadamente en los t´erminos de orden menor de la EDP considerada. Evidentemente la consideraci´on de estos fen´omenos puede complicar ligeramente el proceso de resoluci´on (oblig´andonos a adecuados cambios de variables) pero no suele modificar las l´ıneas generales del razonamiento.
Los problemas as´ı generados (que nacen por tanto a partir de la expresi´on matem´atica del modelo f´ısico de la realidad) se llaman problemas de contorno (o de valor en la frontera) y se describen mediante ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden que se tienen que verificar en una regi´on Ω ⊂ IRN , (para N = 1, N = 2 o N = 3). Analizaremos en este cap´ıtulo un m´etodo para resolver estos problemas en un dominio Ω acotado. Resolver un problema consistir´a en la determinaci´on de la soluci´on (la distribuci´on de la concentraci´on de un componente o especie qu´ımica en un proceso de difusi´on de materia o el perfil de temperaturas en un proceso de conducci´on del calor) en cada punto del conjunto Ω ⊂ IRN en cada instante de tiempo. Dependiendo del problema considerado, la soluci´on del mismo se puede determinar de manera exacta o aproximada. Los m´etodos de resoluci´on de ecuaciones diferen-
1. M´etodos de resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales. Generalidades
5
ciales pueden ser por tanto exactos o aproximados1 . T´ıpicamente se denominan exactos a los m´etodos de resoluci´on de tipo anal´ıtico que proporcionan (de ser aplicables) una expresi´on de la soluci´on exacta del problema de valor inicial y/o de contorno. Contrariamente al caso ordinario, esta expresi´on de la soluci´on no se obtiene en t´erminos de combinaciones lineales finitas de funciones elementales (senos, cosenos, exponenciales, polinomios) sino que se suele expresar en t´erminos de funciones integrales (soluci´on integral) o en forma de series infinitas. Estas expresiones se tienen tambi´en que derivar o integrar para la determinaci´on por ejemplo de los caudales de flujo de la magnitud estudiada. No obstante lo anterior, la equivalencia entre m´etodos anal´ıticos y m´etodos exactos no es rigurosamente cierta. En efecto un m´etodo anal´ıtico puede ser aproximado y proporcionarnos una expresi´on exacta no de la soluci´on de la EDP original sino de una ecuaci´on simplificada que se obtenga mediante una combinaci´on de an´alisis dimensional2 y observaciones experimentales. La nueva ecuaci´on obtenida (m´as sencilla) representa (con un margen de error a veces estimable) el fen´omeno f´ısicoqu´ımico considerado. Tales tipos de consideraciones motivan lo que se conoce con el nombre de an´alisis asint´otico (que nace en el marco de la teor´ıa de la perturbaci´on), un pilar de la modelizaci´on matem´atica. Por m´etodos aproximados se suele entender los m´etodos de resoluci´on num´erica. Este tipo de m´etodos (a pesar de su car´acter aproximado no exacto) suele poseer gran ventaja respecto a los m´etodos exactos en cuanto que abarcan, obviamente, muchos m´as problemas. Las EDP no lineales son, de momento, su reinado. Por otra parte la expresi´on integral o en series infinitas de la soluci´on puede ser tan complicada que es a veces recomendable resolver directamente el problema num´ericamente y despu´es comparar los resultados obtenidos con la soluci´on anal´ıtica para entender la bondad de la aproximaci´on. La parte de c´alculo num´erico en este curso se desarrollar´a en los temas 4, 5 y 6. Enunciado lo que se entiende por m´etodo de resoluci´on exacta de una EDP realizamos algunos comentarios generales sobre ellos. Existen en efecto muchos m´etodos anal´ıticos de resoluci´on exacta de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden dependiendo de la geometr´ıa del modelo (el dominio o regi´on del espacio donde se verifica la ecuaci´on en t´erminos matem´aticos). Al escribir los operadores diferen1
Evidentemente no siempre podremos elegir entre los dos tipos de m´etodos de resoluci´on (exacto o aproximado) puesto que en muchos problemas el u ´nico tratamiento viable es el aproximado. 2 Con el t´ermino de an´alisis dimensional se entiende el an´alisis de las escalas t´ıpicas de variaci´on de las funciones consideradas para la determinaci´on de los t´erminos relevantes (es decir que gobiernan fundamentalmente el proceso f´ısico considerado) en las expresiones adimensionales de la EDP y de las condiciones de contorno del problema original (expresado en t´erminos de variables dimensionales).
6
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
ciales en los distintos sistemas de coordenadas elegidos (rectangulares, cil´ındricas y esf´ericas son los sistemas m´as utilizados en la pr´actica aunque es posible desarrollar la expresi´on de los operadores de derivaci´on en otros sistemas de coordenadas ortogonales curvil´ıneos) se generan distintas ecuaciones en derivadas parciales y una u otra herramienta (t´ecnica matem´atica) ser´a necesaria. B´asicamente existe una idea fundamental que es com´ un a casi todos los m´etodos de resoluci´on de EDP: su conversi´on a una (o m´as) EDO que se pueda resolver expl´ıcitamente en t´erminos de funciones elementales o de funciones especiales (funciones de Bessel, polinomios de Legendre) que introduciremos m´as adelante. En resumen el proceso consiste en hallar las soluciones particulares de una ecuaci´on en derivadas parciales reduciendola a una3 , dos o m´as ecuaciones diferenciales ordinarias. En este tema, dedicado a los problemas de valor inicial y de contorno en dominio acotados, desarrollaremos el m´etodo de separaci´on de variables. Este m´etodo es adecuado para problemas de contorno en dominios acotados (por lo menos una de las variables espaciales debe ser acotada) y transforma una EDP lineal en un sistema de EDO. S´olo las ecuaciones lineales se pueden resolver con este m´etodo y las EDO generadas son lineales. Utilizando el principio de superposici´on las soluciones de los sistemas de EDO obtenidos se pueden superponer para generar una soluci´on general. Pero las cosas no acaban as´ı y varias dificultades se pueden interponer en este camino lo cual nos obligar´a a introducir nuevas herramientas matem´aticas para resolverlos.
3
En el m´etodo de separaci´on de variables el n´ umero de EDO al cual se reconduce la EDP es igual al n´ umero de variable espaciales m´as uno (la variable temporal). Luego, incluso en el caso m´as favorable, es dos. Existe sin embargo otro m´etodo, llamado de combinaci´on de variables, cuya idea principal es combinar las variables independientes en una u ´nica nueva variable independiente, lo que origina una u ´nica EDO asociada a la EDP. Tal m´etodo se aplica en dominios no acotados (espacialmente y temporalmente) y por ello se estudiar´a en el tercer tema de este curso.
2. Introducci´on al m´etodo de separaci´on de variables
2.
7
Introducci´ on al m´ etodo de separaci´ on de variables
Siguiendo una pr´actica com´ un a la mayoria de los libros de EDP en ingenier´ıa, ilustraremos las ideas b´asicas del m´etodo de separaci´on de variables considerando un problema modelo. En concreto, consideraremos el siguiente problema modelo de difusi´on de la concentraci´on de una especie qu´ımica. Sea Ω una regi´on acotada de IRl , l = 1, 2, 3, confinando una especie qu´ımica que se difunde en Ω de acuerdo con la ley de Fick en ausencia de fuentes y reacciones qu´ımicas: ∂C = k∆C, Ω × (0, +∞) (1) ∂t (siendo k el coeficiente de difusi´on de la especie qu´ımica) y cuya distribuci´on de concentraciones en Ω se supone conocida en el instante de tiempo t = 0: C(x, 0) = C0 (x),
x∈Ω
(2)
Nos planteamos el problema del estudio de las variaciones temporales de la distribuci´on de concentraciones de la especie en Ω. Denotaremos por C(x, t) a la concentraci´on de la especie en el punto x y en el tiempo t ≥ 0. Las condiciones en la frontera de la regi´on Ω, que denotaremos por ∂Ω, desempe˜ nan un papel determinante en el estudio de este problema. Si ∂Ω representa una membrana y disponemos de indicios experimentales de que el flujo de sustancia a trav´es de ella es proporcional a su concentraci´on, habremos de imponer una condici´on de contorno del tipo ∂C (x, t) = αC(x, t), x ∈ ∂Ω, t > 0 (3) ∂n siendo α(x, t) el factor de proporcionalidad y n la normal exterior unitaria a Ω en su frontera. La expresi´on −∂C/∂n denota la componente normal del gradiente de concentraciones y se conoce con el nombre de derivada normal de la concentraci´on. −∇C · n = −
N´otese que en la condici´on (3) se est´a suponiendo que la concentraci´on exterior es nula y de ah´ı la proporcionalidad de la concentraci´on en la pared. Si la concentraci´on exterior es no nula y constante, digamos C∞ , la condici´on (3) toma la forma −∇C · n = −
∂C (x, t) = α[C(x, t) − C∞ ] ∂n
x ∈ ∂Ω,
t>0
(4)
8
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Consideremos como ejemplo un proceso transitorio de difusi´on unidimensional de una sustancia (un soluto) a trav´es de una membrana de espesor L hecha de un material homog´eneo. La ecuaci´on de conservaci´on de la especie qu´ımica se reduce a Ct = kCxx ,
x ∈ (0, L),
t>0
(5)
siendo k el coeficiente de difusi´on de la especie. Sea Nx el flujo de soluto en la direcci´on x; entonces (considerando s´olo fen´omenos de transporte difusivos) ∂C ∂C (0, t), t > 0, Nx (t)|x=L = −k (L, t), t > 0. ∂x ∂x El flujo (difusivo) de soluto se podr´ıa describir, por ejemplo, mediante una condici´on del tipo Nx (t)|x=0 = −k
∂C (0, t) = αC(0, t), ∂x En presencia de transporte convectivo se tendr´ıa Nx (t)|x=0 = −k
t > 0.
∂C (0, t) + vx C(0, t), t > 0. ∂x siendo vx la componente longitudinal del campo de velocidades asociado al fluido. Algunos ejemplos muy interesantes donde aparecen condiciones de este tipo se encuentran en el libro de Deen4 . Nx (t)|x=0 = −k
Si el flujo en la frontera est´a prefijado hemos de imponer una condici´on del tipo ∂C (x, t) = F (x, t), x ∈ ∂Ω, t > 0 (6) ∂n siendo F (x, t) conocida. Por ejemplo si la frontera es impermeable a la sustancia entonces no hay flujo en ∂Ω y F (x, t) ≡ 0. Otras veces la magnitud prefijada en la frontera es la concentraci´on y entonces hemos de imponer una condici´on del tipo −
C(x, t) = Cf (x, t),
x ∈ ∂Ω,
t>0
(7)
siendo Cf (x, t) la distribuci´on de concentraciones en la frontera de Ω. Las condiciones del tipo (7), prefijar el valor de la concentraci´ on en el borde, son conocidas como condiciones de contorno de tipo Dirichlet; las de tipo (6), prefijar el flujo en el borde, reciben el nombre de condiciones de contorno de tipo Neumann. A las de tipo (3), relacionando la concentraci´on y el flujo en el borde, se las suele denominar condiciones mixtas o de Robin. Se dice que las condiciones de contorno son 4
Deen, W.M., (1998). Analysis of Transport Phenomena, cap´ıtulo 3
2. Introducci´on al m´etodo de separaci´on de variables
9
homog´ eneas cuando son satisfechas para cualquier combinaci´on lineal de distribuciones de concentraciones que las verifiquen. La condici´on necesaria y suficiente para que la condici´on (6) (resp. (7)) sea homog´enea es que F (x, t) ≡ 0 (resp. Cf ≡ 0). La condici´on mixta (3) es homog´enea. La condici´on mixta (4) es no homog´enea. Nosotros trabajaremos siempre con condiciones homog´eneas. La homogeneidad de la condici´on de contorno es esencial para que el m´etodo de resoluci´on por separaci´on de variables funcione. Mediante adecuados cambios de variable es a veces posible (no siempre) reconducir unas condiciones de contorno no homog´eneas a una forma homog´enea, lo que permite la aplicaci´on del m´etodo de separaci´on de variables al problema homogeneizado. Por ejemplo, si C verifica la ecuaci´on de difusi´on (5) y la condici´on (4) (que es no homog´enea) entonces la nueva variable C¯ = C − C∞ verifica la ecuaci´on de difusi´on (5) (puesto que C∞ es constante) y la condici´on (3) (que es homog´enea). Deshaciendo los cambios efectuados se obtiene la expresi´on anal´ıtica de la soluci´on del problema original (no homog´eneo). Otro tipo de no homogeneidad puede nacer en la EDP (al considerar por ejemplo fen´omenos de generaci´on de calor (reacci´on) en el interior de Ω). En tales casos se aplica una t´ecnica llamada desviaci´ on de variables. Unos ejemplos muy interesantes se encuentran en el cap´ıtulo 10, secci´on 10.6 del libro de Rice and Do. Veremos este tipo de situaciones en la secci´on 9 y en los ejemplos y ejercicios dedicados a este tema.
El problema modelo Puesto que en cualquier problema que involucra una derivada parcial respecto al tiempo es necesario prescribir el estado inicial del sistema mediante una condici´on inicial, y suponiendo que las condiciones de contorno son de tipo Dirichlet homog´eneas, el problema de contorno y valor inicial que satisface la concentraci´on de la especie es el siguiente: ∂C (x, t) = k∆C(x, t), (x, t) ∈ Ω × (0, ∞) ∂t C(x, t) = 0 (x, t) ∈ ∂Ω × (0, ∞) C(x, 0) = C0 (x) x∈Ω
(8)
donde k > 0 es el coeficiente de difusi´on de la especie (que suponemos constante en Ω), ∆ es el operador de Laplace en IRl , l = 1, 2, 3, (u operador de difusi´on ficksiana5 ) y C0 (x) es el estado inicial (dato del problema) que representa la distribuci´on inicial de concentraciones en el dominio Ω (en los ejercicios se consideran otras condiciones 5
El problema de contorno y de valor inicial (8) tambi´en modeliza el fen´omeno de la transmisi´on de calor, de acuerdo con la ley de Fourier, en una regi´on cuya frontera se mantiene a temperatura cero
10
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
de contorno). La propiedad b´asica que utilizaremos en este tema es la siguiente: El problema formado por la ecuaci´ on y la condici´ on de contorno verifica el principio de superposici´ on; o sea, cualquier combinaci´on lineal de funciones que verifiquen la ecuaci´on y la condici´on de contorno tambi´en verifica la ecuaci´on y la condici´on de contorno6 . Ya que las combinaciones lineales de dos soluciones es soluci´on, las combinaciones lineales de cualquier n´ umero (finito) de soluciones tambi´en son soluciones. Uno de los m´etodos m´as utilizados para la resoluci´on de problemas relativos a ecuaciones en derivadas parciales (lineales) es el de separaci´ on de variables. Con este m´etodo la resoluci´on del problema (8) se reduce a la resoluci´on de una sucesi´on de problemas de valores iniciales y/o de contorno relativos a una ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias. En el contexto del problema (8) separar variables consiste en buscar todas las posibles soluciones de la ecuaci´on y de la condici´on de contorno (no hablamos, de momento, de la condici´on inicial) que sean producto de dos funciones, una dependiente de la variable espacial x ∈ Ω y la otra de la temporal t ∈ (0, ∞), en la forma C(x, t) = X(x)T (t),
(x, t) ∈ Ω × (0, ∞)
(9)
Demostraremos que hay una sucesi´on (conjunto infinito numerable) de funciones de este tipo que resuelven la EDP y la condici´on de contorno. Ya que la superposici´on de cualquier n´ umero de funciones de esa sucesi´on tambi´en resuelve la EDP y la condici´on de contorno, nos quedar´a margen para superponerlas de tal manera que sea satisfecha la condici´on inicial. Obs´ervese que C(x, t) ≡ 0 es una soluci´on del tipo (9) de la ecuaci´on y de la condici´on de contorno de tipo Dirichlet homog´eneo. Buscaremos soluciones no nulas del tipo (9).
2.1.
El m´ etodo de separaci´ on de variables
Sustituyendo (9) en la EDP se tiene: X(x)T 0 (t) = kT (t)∆X(x),
(x, t) ∈ Ω × (0, ∞)
(donde T 0 denota el operador de derivaci´on ordinaria T 0 = dT /dt). Separando variables se obtiene 6
La demostraci´on es directa utilizando la linealidad de los operadores de derivaci´on que aparecen en la ecuaci´on.
2. Introducci´on al m´etodo de separaci´on de variables
11
1 T 0 (t) ∆X(x) = , (x, t) ∈ Ω × (0, ∞) (10) k T (t) X(x) El t´ermino izquierdo de (10) es independiente de x y el derecho es independiente de t. Por consiguiente, la condici´ on necesaria y suficiente para que la EDP tenga alguna soluci´on no nula de la forma separada (9) es que exista λ ∈ IR para el que 1 T 0 (t) ∆X(x) = = −λ, (x, t) ∈ Ω × (0, ∞) (11) k T (t) X(x) N´otese el signo − que aparece delante de la constante de separaci´ on λ. En muchos textos se introduce en la forma −λ2 debido a unas razones que deduciremos m´as adelante. Para no precipitarnos demasiado seguiremos utilizando, de momento, la constante de separaci´on en la forma que aparece en las ecuaciones (11). Hemos por tanto deducido que la condici´ on necesaria y suficiente para que la EDP tenga alguna soluci´on no nula de la forma separada (9) es que exista λ ∈ IR para el que, simult´aneamente, se verifiquen las siguientes ecuaciones diferenciales d T (t) = −λkT (t), dt
t > 0,
(12)
−∆X(x) = λX(x),
x ∈ Ω.
(13)
que es de primer orden y
de segundo orden. Obs´ervese que la ecuaci´on de primer orden (12) es una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal homog´enea7 , cuya soluci´on general es T (t) = T (0)e−kλt ,
t > 0,
(14)
siendo T (0) una constante de integraci´on arbitraria. El tipo de ecuaci´on (13) es como sigue: cuando l = 1, (13) es una ecuaci´on diferencial ordinaria lineal homog´enea de segundo orden con coeficientes constantes8 . Si l ≥ 2, (13) es una ecuaci´on en derivadas parciales lineal (de tipo el´ıptico) para cuya resoluci´on podr´ıamos intentar utilizar una vez m´as el m´etodo de separaci´on de variables. 2.1.1.
Imposici´ on de las condiciones de contorno
Puesto que queremos que las soluciones de la EDP del tipo producto (9) verifiquen la condici´on de contorno Dirichlet homog´enea, hemos de imponer 7
Para el an´alisis y resoluci´on de las ecuaciones del tipo (12) v´ease el tema 13, secci´on 13.2.7.1 de la asignatura de Elementos de matem´aticas para Ingenieros Qu´ımicos. 8 Para el an´alisis y resoluci´on de las ecuaciones del tipo (13) en el caso uni-dimensional v´ease el tema 13, secci´on 13.3.1.1 de la asignatura de Elementos de matem´aticas para Ingenieros Qu´ımicos.
12
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
X(x)T (t) = 0
x ∈ ∂Ω,
t > 0.
(15)
Ya que estamos interesados en soluciones no nulas impondremos tambi´en T (0) 6= 0. En tal caso, la condici´on (15) se convierte en X(x) = 0, 2.1.2.
x ∈ ∂Ω
(16)
El problema de autovalores asociado
De esta manera hemos reducido el problema original (expresado en t´erminos de una EDP) al de la b´ usqueda de los valores de λ para los que el siguiente problema de valores de contorno tiene alguna soluci´on no nula: (
−∆X(x) = λX(x), x ∈ Ω X(x) = 0
x ∈ ∂Ω
(17)
Obs´ervese que X ≡ 0 es soluci´on de (17) para todo λ ∈ IR. Definici´ on 2.1. A los valores de λ para los que el problema (17) tiene alguna soluci´on no nula X(x) 6= 0 se le denomina autovalores del problema de valores de contorno (17). Si λ es autovalor de (17) y X(x) es una soluci´on no nula de (17) se dice que X(x) es una autofunci´ on asociada al autovalor λ. Obs´ervese que si X(x) es una autofunci´on de (17) asociada al autovalor λ, entonces el operador diferencial −∆ la transforma en s´ı misma, multiplicada por el autovalor λ. Esta es la raz´on por la que a los autovalores y autofunciones de (17) se les denomina tambi´en autovalores y autofunciones del operador −∆, sujeto a condiciones de tipo Dirichlet homog´eneas. Salvo en el caso uni-dimensional, l = 1, que ser´a estudiado en la siguiente secci´on, a menos que no se impongan restricciones muy severas a la geometr´ıa de Ω, no es posible calcular con exactitud los autovalores y autofunciones del problema de valores de contorno (17). Hay m´etodos num´ericos muy avanzados para su c´alculo aproximado, pero incluso esta tarea puede llegar a ser muy ardua. Algunos casos particulares (cuando Ω es un rect´angulo de lados paralelos a los ejes coordenados o cuando es un disco del plano) ser´an estudiados en las siguientes secciones. Los autovalores de (17) cuando Ω es un disco vienen dados a partir de los ceros de unas funciones definidas por sus desarrollos en series de potencias. Se pueden aproximar tanto como se desee, pero no es posible determinar su valor exacto. Nos proponemos ahora relacionar el problema de autovalores (17) con el concepto de serie de Fourier. Para ello consideraremos la aplicaci´on del m´etodo de separaci´on de variables al caso de la difusi´on unidimensional, lo que introduce de forma natural
3. Difusi´on unidimensional. Introducci´on a las series de Fourier
13
al estudio de los desarrollos en series trigonom´etricas (que son, en particular, series de Fourier9 ).
3.
Difusi´ on unidimensional. Introducci´ on a las series de Fourier
En esta secci´on supondremos que Ω = (a, b) ⊂ IR con a < b. Entonces x = x ∈ (a, b) y el problema de autovalores (17) queda escrito en la forma 00 −X (x) = λX(x), x ∈ (a, b) X(a) = 0 X(b) = 0
(18)
cuya ecuaci´on diferencial es ordinaria, de segundo orden y con coeficientes constantes. La constante λ que aparece en el problema (18) es, de momento, una constante real arbitraria. Resolver el problema (18) consiste en determinar los valores de λ para los cuales el problema (18) admite soluciones no triviales. El conjunto de los valores de λ tales que el problema (18) admite soluciones no triviales se llama el espectro del problema. Veremos a continuaci´on que el espectro del problema (18) es un conjunto inifinito de n´ umeros reales positivos. El cambio de variable espacial r = x − a,
u(r) = X(x) = X(r + a)
transforma el problema (18) (que tiene lugar en el intervalo [a, b]) en el siguiente (
00
−u (r) = λu(r), u(0) = u(L) = 0
r ∈ (0, L)
(19)
que tiene lugar en el intervalo [0, L], siendo L = b − a > 0. Multiplicando la ecuaci´on diferencial de (19) por u(r), integrando por partes la igualdad resultante entre 0 y L obtenemos 9
La identificaci´on entre series de Fourier convergentes y series trigonom´etricas convergentes no es cierta. De momento s´olo afirmamos que una serie de Fourier convergente es, en particular, una serie trigonom´etrica convergente pero lo contrario no es cierto. Considereremos m´as adelante un ejemplo de serie trigonom´etrica convergente que no es una serie de Fourier. Sin embargo si la convergencia es uniforme entonces si es cierta la equivalencia.
14
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Z
L
λ
Z 2
u (r)dr = −[u(r)u
0
0
(r)]r=L r=0
L
+
[u0 (r)]2 dr,
0
y por lo tanto, como u(0) = u(L) = 0, se deduce Z
L
λ
Z
L
2
u (r)dr = 0
[u0 (r)]2 dr.
(20)
0
La relaci´on (20) nos proporciona una condici´on necesaria para que λ sea autovalor de (18) o, lo que es igual, de (19). En efecto, si λ < 0 la igualdad (20) u ´nicamente se satisface cuando u(r) ≡ 0 y si λ = 0 entonces (20) nos dice que u0 (r) ≡ 0 y por lo tanto u(r) debe ser constante. Ahora bien, ya que u(0) = u(L) = 0, necesariamente u(r) ≡ 0. Por consiguiente los posibles autovalores de (18) o (19), han de ser estrictamente positivos10 . Consideraremos por tanto s´olo el caso λ > 0 pues de lo contrario s´olo obtendr´ıamos la soluci´on trivial (que no es una autofunci´on por la definici´on (2.1)). Supongamos por √ tanto√que λ > 0. Entonces la ra´ıces caracter´ısticas de la ecuaci´on diferencial son λi y − λi, siendo i la unidad imaginaria compleja. Por consiguiente su soluci´on general es √ √ u(r) = A sin( λr) + B cos( λr), siendo A y B constantes arbitrarias de integraci´on. Imponiendo las condiciones de contorno en r = 0 y r = L obtenemos B = 0,
√ √ A sin( λL) + B cos( λL) = 0
Por consiguiente un n´ umero real λ es autovalor de (19) si, y s´olo si, λ > 0 y √ sin( λL) = 0,
(21)
en cuyo caso salvo constantes multiplicativas tiene una u ´nica autofunci´on asociada. A saber √ u(r) = sin( λr).
(22)
Los λ > 0 que satisfacen (21) son aquellos para los que existe un n´ umero natural n tal que √ λL = nπ, n = 1, 2, 3, ... 10
La t´ecnica empleada para deducir la positividad del espectro (multiplicar por autofunciones e integrar por partes) es muy general y se aplica a una amplia gama de problemas que caracterizaremos m´as adelante.
3. Difusi´on unidimensional. Introducci´on a las series de Fourier
15
Consecuentemente, los autovalores de (19) constituyen una sucesi´on de t´ermino general ³ nπ ´2
n2 π 2 , n = 1, 2, 3, .... (23) L L2 Los autovalores de (18) son los mismos que los de (19) (con L = b − a) y la autofunci´on asociada al autovalor λn es λn =
µ Xn (x) = sin
=
¶ nπ (x − a) , b−a
n = 1, 2, 3, ....
(24)
Remarquemos las siguientes propiedades de los autovalores del problema (18): la sucesi´on {λn }n≥1 definida por (23) es una sucesi´on de n´ umeros reales y positivos, estrictamente creciente 0 < λ1 < λ2 < λ3 < ......, y tal que l´ım λn = ∞
n→∞
Adem´as sus autofunciones Xn (x) verifican las siguientes relaciones Z
b
Xn (x)Xm (x)dx = 0,
n, m ≥ 1,
n 6= m,
(25)
a
que son la base de la teor´ıa que desarrollaremos en esta cap´ıtulo. Las relaciones (25) se llaman relaciones de ortogonalidad y pueden obtenerse por integraci´on elemental a partir de la expresi´on de las autofunciones dada en (24).
3.1.
Resoluci´ on del problema de difusi´ on unidimensional
Resumiendo, el proceso de resoluci´on asociado al m´etodo de separaci´on de variables se ha desarrollado siguiendo los siguientes pasos 1. Buscar una soluci´on de la EDP en la forma de soluci´on producto del tipo (9) (y que no sea la soluci´on trivial). 2. Sustituir en la EDP para obtener la relaci´on (10) 3. Introducir la constante de separaci´on λ ∈ IR para obtener (11)
16
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
4. Considerar las ecuaciones as´ı deducidas (que corresponden a las ecuaciones (12) y (13)). 5. Resolver la ecuaci´on diferencial ordinaria (12) introduciendo unas constantes arbitrarias de integraci´on (no nulas para no reducirse a la soluci´on trivial). N´otese que el camino recorrido hasta ahora es independiente del tipo de condici´on de contorno e/o inicial del problema. En nuestro caso concreto estamos trabajando con una condici´on del tipo Dirichlet homog´eneo pero la restricci´on fundamental es que sea homog´enea (no que sea del tipo Dirichlet). 6. Imponer la condici´on de contorno para deducir la condici´on (16) que, junto a la ecuaci´on (13) caracteriza y define el problema de autovalores (17) asociado al problema de valor inicial y de contorno (8). 7. Resolver an´aliticamente (cuando posible) y/o n´ umericamente el problema de autovalores (17).
Una vez calculados los autovalores y autofunciones del problema de contorno (17) en el caso Ω = (b − a) (es decir del problema (18)) volvamos al problema de contorno y valor inicial (8). Como fruto del an´alisis efectuado hemos obtenido que las funciones del tipo (9) que satisfacen la EDP y la condici´on de contorno forman una sucesi´on {Cn (x, t)}, siendo n un n´ umero entero positivo. A saber µ −kλn t
Cn (x, t) = Tn (t)Xn (x) = Tn (0)e
sin
¶ nπ (x − a) , b−a
n ≥ 1,
(26)
siendo λn y Xn (x) los autovalores y autofunciones asociadas al problema (18) que aparecen en (23) y (24). Los correspondientes factores temporales Tn (t) = Tn (0)exp(−kλn t),
n ≥ 1,
se deducen de (14) y (23). Los n´ umeros reales Tn (0) son constantes arbitrarias de integraci´on. Adem´as, las superposiciones de funciones Cn (x, t) tambi´en satisfacen la EDP y la condici´on de contorno en (8). Por consiguiente para cualquier n´ umero entero N y cualesquiera N constantes c1 , c2 , ...., cN , la funci´on SN (x, t) definida por una combinaci´on lineal finita de soluciones del tipo producto
SN (x, t) =
N X n=1
cn Xn (x)Tn (t) =
N X n=1
µ cn sin
¶ nπ (x − a) e−kλn t b−a
(27)
es una soluci´on de la EDP que verifica la condici´on de contorno de Dirichlet homog´enea. N´otese que las constantes arbitrarias Tn (0) han sido englobadas en las constantes cn de la combinaci´on lineal. Ahora bien, ya que
3. Difusi´on unidimensional. Introducci´on a las series de Fourier
SN (x, 0) =
N X
cn Xn (x) =
N X
n=1
µ cn sin
n=1
17
¶ nπ (x − a) b−a
(28)
salvo en el caso en que la distribuci´on inicial de concentraciones C0 (x) sea de la forma (28) para alg´ un N (entero positivo) y algunos coeficientes c1 , c2 , ...., cN , la funci´on SN (x, t) definida por (27) nunca verificar´a la condici´on inicial C(x, 0) = C0 (x) y por consiguiente no ser´a soluci´on del problema original (8). Precisemos m´as. Si por ejemplo el dato inicial C0 (x) viene dado por µ C0 (x) = 3 sin
π(x − a) b−a
¶
µ − 4 sin
3π(x − a) b−a
¶
entonces la funci´on ¶ ¶ µ ¶ µ µ ¶ ¶ µ ¶ µ µ π π(x − a) 3π 3π(x − a) C(x, t) = 3exp −k t sin −4exp −k t sin b−a b−a b−a b−a es soluci´on de (8). N´otese que tal soluci´on se ha obtenido con los valores N = 3, c1 = 3, c2 = 0 y c3 = −4. En efecto, C(x, t) es del tipo (27) y por consiguiente resuelve la EDP y la condici´on de contorno. Adem´as C(x, 0) = C0 (x) y por tanto tambi´en satisface la condici´on inicial. Ahora bien, si el dato inicial fuese el siguiente C0 (x) = (x − a)(b − x) entonces es posible demostrar (por reducci´on al absurdo) que no se puede escribir C0 (x) como una combinaci´on lineal finita de funciones del tipo µ ¶ nπ Xn (x) = sin (x − a) . b−a Por consiguiente, si C0 (x) = (x − a)(b − x) entonces el problema (8) no admite una soluci´on de la forma SN (x, t). Sin embargo bien pudiera ocurrir (en analog´ıa con el caso de los desarrollos en series de Taylor) que aun no siendo expresable el dato inicial C0 (x) como una superposici´on finita de autofunciones del problema (8), fuese no obstante un l´ımite de tales autofunciones, siendo v´alida la f´ormula de representaci´on del dato inicial
C0 (x) =
∞ X
cn Xn (x)
(29)
n=1
en alg´ un sentido que precisaremos posteriormente y para alguna sucesi´on de coeficientes reales {cn }n≥1 a determinar. Al igual que en el caso de los desarrollos en serie de Taylor, resulta bastante razonable examinar en primer lugar c´omo deber´ıan elegirse los coeficientes cn para que la igualdad (29) fuera cierta y posteriormente
18
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
analizar si para esa elecci´on de los coeficientes la serie en (29) converge y caso de que converja si lo hace o no a C0 (x). Para calcular los coeficientes cn se usa la relaci´on de ortogonalidad (25). Sea N un n´ umero entero positivo fijo. Multiplicando (29) por XN (x), integrando entre x = a y x = b y suponiendo que la serie conmuta con la integral, se obtiene Z
b
C0 (x)XN (x)dx = a
∞ X
Z
b
cn
n=1
Xn (x)XN (x)dx
(30)
a
En virtud de la relaci´on de ortogonalidad (25) todos los sumandos de la serie infinita que aparece en (30) excepto el N −´esimo se anulan:
∞ X n=1
Z
Z
b
cn
b
Xn (x)XN (x)dx = c1 · 0 + c2 · 0 + ...... + cN a
a
XN2 (x)dx + cN +1 · 0 + ...... + 0
Por consiguiente: Z
Z
b
b
C0 (x)XN (x)dx = cN a
a
XN2 (x)dx
de donde se concluye que Z
b a
cN =
Z b C0 (x)XN (x)dx 2 C0 (x)XN (x)dx, = Z b b−a a 2 XN (x)dx
N ≥1
(31)
a
En la determinaci´on de (31) hemos utilizado (24) y hemos tenido en cuenta que Z
b a
Z XN2 (x)dx
µ
b
=
sin a
2
¶ Nπ b−a (x − a) dx = b−a 2
Este tipo de resultados de integraci´on se considerar´an en detalle en las pr´oximas secciones. Finalmente, sustituyendo los valores de los coeficientes cn dados por (31) en (29), nos preguntamos por la validez de la siguiente representaci´on en serie de autofunciones ¶ Z b ∞ µ X 2 C0 (x) = C0 (x)Xn (x)dx Xn (x), b−a a n=1
x ∈ (a, b)
(32)
Para ello es conveniente recordar aqu´ı la definici´on de funci´on continua a trozos en un intervalo de la recta real
3. Difusi´on unidimensional. Introducci´on a las series de Fourier
19
Definici´ on 3.1. Diremos que una funci´on f (x) definida en un intervalo I ⊂ IR es continua a trozos en el intervalo I si tiene, a lo sumo, un n´ umero finito de discontinuidades de salto finito. Veremos que si C0 (x) (dato inicial) es derivable con derivada continua a trozos entonces la relaci´on (32) es cierta para todo x ∈ (a, b) donde C0 (x) es derivable. Si x ∈ {a, b} la serie converge a cero, que en principio no es al valor de C0 (a) o C0 (b). Definici´ on 3.2 (Series de Fourier generalizadas). A la serie que aparece en (32) se la denomina desarrollo en serie (generalizada) de Fourier de la funci´on C0 (x) en t´erminos de las autofunciones del problema de valores de contorno (18). Tales series reciben el nombre de series de Fourier por ser este matem´atico franc´es quien a principios del siglo XIX las introdujo11 para resolver algunos problemas de transmisi´on del calor. A los coeficientes del desarrollo de Fourier de C0 (x) se les denomina coeficientes de Fourier de la funci´on C0 (x) (tambi´en se le conoce como los coeficientes espectrales del desarrollo). Las series definidas en (3.2) se llaman generalizadas pues se obtienen a partir del desarrollo en serie de autofunciones lo que puede originar no s´olo las series de Fourier propiamente dichas (que definiremos en la secci´on 4) sino tambi´en otros tipos de series, como las series de Fourier-Bessel o las series de Fourier-Legendre que encontraremos m´as adelante. Volvamos nuevamente al problema de contorno y valor inicial. En virtud de la teor´ıa desarrollada la funci´on C(x, t) definida por C(x, t) = µ ¶ ¶ µ ¶ Z b ∞ µ X 2 nπ nπ C0 (θ) sin (x − a) dθ sin (x − a) exp(−kλn t), b−a a b−a b−a n=1 (33) es soluci´on del problema (al menos formalmente). Si el dato inicial, f (x), es suficientemente regular (digamos una funci´on continua con derivada continua a trozos) se puede demostrar12 rigurosamente que la funci´on dada en (33) es soluci´on del problema modelo. N´otese finalmente que todos los t´erminos de la serie en (33) tienden a cero cuando t → ∞ (debido al factor exponencial). La tasa de decaimiento crece con el valor de n. Algunos ejemplos que ponen de manifiesto este comportamiento 11
En realidad ya antes de Fourier se conoc´ıan las que se denominan actualmente las series de Fourier (o, mejor dicho, las series trigonom´etricas). Una de las (m´ ultiples) aportaciones de Fourier fue utilizarlas para la resoluci´on anal´ıtica de EDP. 12 La demostraci´on requiere el conocimiento del concepto de convergencia uniforme de series de funciones y desborda los objetivos del curso.
20
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
se han considerado en la segunda pr´actica de Laboratorio. Resumiendo, tras la determinaci´on de los autovalores y autofunciones del problema (correspondiente al s´eptimo paso del resumen anterior) se tiene que 8. Considerar la sucesi´on de funciones del tipo producto (que satisfacen la EDP y las condiciones de contorno) dada en (26). 9. Aplicar el principio de superposici´on para obtener la funci´on SN (x, t) definida por (27). 10. Aplicar la condici´on inicial a la funci´on (27) para obtener (28). Este paso corresponde a la evaluaci´on de la suma parcial en el tiempo inicial t0 = 0. 11. Si el dato inicial se puede expresar como combinaci´on lineal finita de autofunciones, para obtener la soluci´on es suficiente realizar la misma combinaci´on lineal multiplicando cada t´ermino por el correspondiente factor temporal. De no ser expresable el dato inicial como superposici´on finita de autofunciones desarrollar el dato inicial mediante una superposici´on infinita de autofunciones (es decir generar la serie de Fourier asociada al dato inicial) en la forma (29). 12. Determinar los n´ umeros cn (coeficientes espectrales del desarrollo en serie de Fourier del dato inicial) aplicando la relaci´on de ortogonalidad (25) (mediante la ecuaci´on (30)) verificada por las autofunciones del problema (obteniendo as´ı la expresi´on de gen´erico coeficiente cN dada en (31). 13. Escribir la soluci´on (formal) del problema de valor inicial y de contorno original en la forma (33).
Las l´ıneas generales del proceso de resoluci´on del problema modelo son las enunciadas en los pasos 1-13. Aclararemos en la siguiente secci´on las definiciones y conceptos de series y coeficientes de Fourier para el tratamiento riguroso del problema y el desarrollo pr´actico de los pasos antes resumidos.
4. Series de Fourier
4.
21
Series de Fourier
Las series de Fourier son un instrumento indispensable en el an´alisis de ciertos fen´omenos peri´odicos (tales como vibraciones, movimientos ondulatorios y planetarios) que son estudiados en F´ısica e Ingenier´ıa. Para poder introducir adecuadamente la teor´ıa de las series de Fourier es preciso recordar unos conceptos y definiciones b´asicos que pertenecen al ´ambito de la teor´ıa de las funciones ortogonales. Empezaremos introduciendo los conceptos de productos interiores y normas para funciones integrables en el sentido de Lebesgue. Trabajaremos con funciones reales de variable real. 13
4.1.
Preliminares. La integral de Lebesgue y el espacio de funciones de cuadrado integrables
La integral de Riemann est´a bien motivada, es f´acil describirla y es u ´til en el C´alculo elemental. Sin embargo esta integral no cubre todas las necesidades del An´alisis superior. Veremos en esta secci´on algunos resultados (sin demostraci´on) de la integral de Lebesgue, que es una extensi´on de la integral de Riemann. La integral de Lebesgue permite integrar funciones m´as generales, trata simult´aneamente funciones acotadas y no acotadas y permite remplazar el intervalo [a, b] por conjuntos m´as generales. En el m´etodo de Riemann el intervalo de integraci´on se subdivide en un n´ umero finito de subintervalos. En el de Lebesgue, el intervalo se subdivide en conjuntos de un tipo m´as general llamados conjuntos medibles. Recordamos que todo intervalo (acotado o sin acotar) es medible. Si I = (a, b), a, b ∈ IR, a ≤ b entonces µ(I) = b−a donde µ(I) denota la medida del intervalo. Si I es un intervalo no acotado entonces µ(I) = +∞. Particularmente interesante es el concepto de medida cero. Como un conjunto formado por un solo punto tiene medida cero, se tiene que cada subconjunto numerable14 de IR tiene medida cero. En particular el conjunto de los n´ umeros racionales (que es numerable, v´ease el libro de Apostol15 , pag 52) tiene medida cero. N´otese que existen conjuntos no numerables que tienen medida cero (por ejemplo el conjunto de Cantor, v´ease el Apostol, pag 218). M´as en general un subconjunto S de IR tienen medida cero si, para cada ² > 0, es posible recubrir S por medio de una colecci´on numerable de intervalos, la suma de cuyas longitudes es menor que 13
La teor´ıa que desarrollaremos es aplicable a las funciones complejas de variable compleja. Un conjunto S es numerable si existe una correspondencia uno a uno entre los enteros positivos y los elementos de S. 15 Apostol, T.M., An´alisis Matem´atico. 2 ed. Editorial Revert´e. 1982. 14
22
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
². El concepto de medida cero se extiende al caso n-dimensional. Se dice que una propiedad se verifica casi en todo un conjunto S ⊂ IRn si se verifica en todo S salvo un conjunto de medida cero. Por ejemplo, si {fn } es una sucesi´on de funciones, se dice que fn converge puntualmente a f casi en todo S (y se denota por fn → f c.t.p.) si l´ım fn (x) = f (x) n→∞
para todo x ∈ S excepto para los x de un subconjunto de n-medida cero (es decir de medida n-dimensional de Lebesgue nula). La definici´on del concepto de medida cero permite caracterizar (mediante el criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann, Apostol, teorema 7.47) las funciones integrables seg´ un Riemann como las funciones definidas y acotadas en [a, b] tales que su conjunto de discontinuidades tiene medida cero. La caracterizaci´on de la clase de las funciones integrables de Lebesgue en un intervalo general se apoya sobre los conceptos de funciones escalonadas, sucesiones mon´otonas de funciones escalonadas y funciones superiores que recordaremos brevemente (pero s´olo en el caso unidimensional). El lector interesado puede consultar estos temas en el libro de Apostol, cap´ıtulos 7 y 10. Comenzaremos con la definici´on de funci´on escalonada Definici´ on 4.1. Sea dada una funci´on s definida en el intervalo compacto [a, b]. Entonces s se llama funci´ on escalonada si existe una partici´ on P = {x0 , x1 , ....., xn } de [a, b] tal que s es constante en cada subintervalo abierto, por ejemplo s(x) = ck ,
x ∈ (xk−1 , xk )
Una funci´on escalonada es integrable de Riemann en cada subintervalo [xk−1 , xk ] y su integral sobre el mismo viene dada por Z
xk
s(x)dx = ck (xk − xk−1 ) xk−1
independientemente de los valores de s en los extremos. La integral de Riemann de s en [a, b] es por consiguiente igual a la suma Z
b
s(x)dx = a
n X
ck (xk − xk−1 )
k=1
Una sucesi´on de funciones reales {fn } definida en un conjunto S es creciente en S si fn (x) ≤ fn+1 (x)
4. Series de Fourier
23
para todo x ∈ S y todo n. Una sucesi´on decreciente es la que verifica la desigualdad invertida. Si {fn } es una sucesi´on creciente de funciones definidas en S tal que fn → f casi en todo S, escribiremos f % f c.t.p de S. An´alogamente, la notaci´on fn & f c.t.p significa que {fn } es una sucesi´on decreciente en S que converge hacia f casi en todo punto de S. Sea S(I) el conjunto de todas las funciones escalonadas en un intervalo I. Hemos definido la integral para todas las funciones de S(I). Ahora deseamos extender la definici´on a una clase U (I) m´as amplia que contenga los l´ımites de ciertas sucesiones crecientes de funciones escalonadas. Las funciones de esta clase las llamaremos funciones superiores y se definen como sigue: Definici´ on 4.2. Una funci´on real f definida en un intervalo I se llama funci´ on superior en I, y se escribe f ∈ U (I), si existe una sucesi´ on creciente de funciones escalonadas {sn } tal que: 1. sn % f c.t.p. de I. Z 2. l´ım sn es finito. n→∞
I
Se dice que la sucesi´ on sn genera f . La integral de una funci´on superior f se define por la ecuaci´on Z
Z f = l´ım I
n→∞
sn I
Es posible demostrar (teorema 10.11, pg 316, cap´ıtulo 10 del libro de Apostol) que la clase de funciones superiores U (I) antes definida incluye todas las funciones integrables de Riemann. Existen adem´as funciones f ∈ U (I) tales que −f ∈ / U (I). Por consiguiente la clase U (I) es m´as amplia que la clase de las funciones integrables de Riemann en I (denotada por R(I)), ya que −f ∈ R(I) si f ∈ R(I). Si u y v son funciones superiores, la diferencia u−v no es necesariamente una funci´on superior. Eliminamos esta propiedad indeseable ampliando la clase de las funciones integrables mediante la siguiente caracterizaci´on de las funciones integrables seg´ un Lebesgue (es decir introduciendo la definici´on del espacio vectorial de funciones integrables seg´ un Lebesgue L(I)): Definici´ on 4.3. Se denota por L(I) al conjunto de todas las funciones f de la forma f = u − v, en donde u ∈ U (I) y v ∈ U (I). Cada funci´on f ∈ L(I) se llama funci´ on integrable de Lebesgue en I y su integral se define por medio de Z Z Z f = u− v I
I
I
24
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
La definici´on anterior afirma que toda funci´on f ∈ L(I) se puede escribir como diferencia de dos funciones superiores y no necesariamente de forma u ´nica. Sin embargo es posible probar que la integral de f no depende de la elecci´on de las funciones superiores. Recordamos las propiedades b´asicas de la integral de Lebesgue PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE Supongamos que f ∈ L(I) y g ∈ L(I). Entonces tenemos 1. Para cada par de n´ umeros reales a y b se tiene que (af + bg) ∈ L(I) y Z Z Z (af + bg) = a f + b g I
I
I
2. Si f (x) ≥ 0 en c.t.p de I entonces Z f ≥ 0. I
3. Si f (x) ≥ g(x) en c.t.p de I entonces Z Z f ≥ g. I
I
4. Si f (x) = g(x) en c.t.p de I entonces Z Z f = g. I
I
Es importante notar que el comportamiento de una funci´on integrable Lebesgue en un conjunto de medida cero no afecta su integral Teorema 4.1. Sea f una funci´on definida en I. Si f = 0 en c.t.p. de I entonces f ∈ L(I) y Z f =0 I
Ejemplo 4.1. Sea dada la funci´on f en el intervalo [0, 1] definida por ( 1 si x es racional f (x) = 0 si x es irracional
4. Series de Fourier
25
Entonces f = 0 en c.t.p de [0, 1] luego f es integrable seg´ un Lebesgue en [0, 1] y su integral de Lebesgue es 0. N´otese que esta funci´on no es integrable seg´ un Riemann en [0, 1]. Seg´ un lo anterior, toda funci´on f integrable de Lebesgue en un intervalo I es el l´ımite, casi en todo I, de una cierta sucesi´on de funciones escalonadas. Sin embargo, el rec´ıproco no es cierto. Por ejemplo, la funci´on constante 1 es un l´ımite de funciones escalonadas sobre la recta real IR, pero esta funci´on no est´a en L(IR). Por consiguiente, la clase de funciones que son l´ımites de funciones escalonadas es m´as amplia que la clase de funciones integrables de Lebesgue. Las funciones de esta clase m´as amplia se llaman funciones medibles. Definici´ on 4.4. Una funci´on definida en I se llama medible en I, y se escribe f ∈ M (I), si existe una sucesi´ on de funciones escalonadas {sn } en I tal que sn → f en c.t.p de I, es decir l´ım sn (x) = f (x) n→∞
casi en todo I. Toda funci´on de L(I) es medible en I, pero el rec´ıproco es falso. A partir de la definici´on de funciones medibles es muy f´acil caracterizar el conjunto de funciones Lebesgue integrables: Definici´ on 4.5. Sea f : I → IR una funci´on medible. Entonces diremos que f es integrable seg´ un Lebesgue y lo denotaremos por f ∈ L(I) si Z f (x)dx < ∞ I
Particularmente importante para ulteriores desarrollos es la clase de funciones reales que son de cuadrado integrable (seg´ un Lebesgue): Definici´ on 4.6. Sean f y g dos funciones complejas de L(I) cuyo producto f g est´e en L(I). Entonces la integral Z f (x)g(x)dx I
se llama producto interior de f y g y se designa por (f, g). Si |f |2 ∈ L(I), el n´ umero no negativo (f, f )1/2 , designado por medio de ||f ||, se llama norma L2 de f: µZ ¶1/2 1/2 2 ||f || = (f, f ) = |f | dx I
26
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Para medir la distancia entre dos funciones de L2 (I) se introduce la siguiente definici´on Definici´ on 4.7. Se define la distancia entre dos funciones de L2 (I) por medio de la ecuaci´ on µZ ¶1/2 2 d(f, g) = ||f − g|| = |f − g| I
El espacio L2 (I) se conoce como el espacio de funciones de cuadrado integrable. Recordamos la definici´on de sucesi´on de Cauchy: Definici´ on 4.8. Sea {fn } una sucesi´on de funciones reales de L2 (I). Entonces {fn } se dice que es una sucesi´ on de Cauchy si para cada ² > 0 existe un entero N tal que ||fm − fn || < ²,
∀m ≥ n ≥ N
El siguiente teorema ata˜ ne la convergencia para series de funciones de L2 (I). on de funciones de L2 tal que la serie Teorema 4.2. Sea {gn } una sucesi´ sea convergente. Entonces la serie de funciones
∞ X
∞ X
||gn ||
n=1
gn converge casi en todo I hacia
1
una funci´on g ∈ L2 (I) y se tiene:
° ° n ∞ °X ° X ° ° ||g|| = l´ım ° gk ° ≤ ||gk || n→∞ ° ° k=1
k=1
El teorema anterior permite demostrar que toda sucesi´on de Cauchy en L2 (I) converge hacia una funci´on de L2 (I), es decir, L2 (I) es un espacio completo. Tal resultado se conoce con el nombre de teorema de Riesz-Fischer: Teorema 4.3. Sea {fn } una sucesi´ on de Cauchy de funciones de L2 (I). Entonces existe una funci´on f ∈ L2 (I) tal que l´ım ||fn − f || = 0
n→∞
Este resultado juega un papel importante en la teor´ıa de las series de Fourier. Finalmente podemos introducir el concepto de sistema ortogonal de funciones: Definici´ on 4.9. Sea S = {φ0 , φ1 , φ2 , ...} una colecci´ on de funciones de L2 (I), I = [a, b]. Si Z b . (φn , φm ) = φn (x)φm (x)dx = 0, ∀ m 6= n a
4. Series de Fourier
27
la colecci´ on S se llama sistema ortogonal en I. Si adem´as ||φn || = 1, ∀ n, es decir s Z b ||φn (x)|| = φ2n (x)dx = 1, ∀ n a
entonces S se llama sistema ortonormal Todo sistema ortogonal tal que ||φn || 6= 0, ∀ n se puede convertir en ortonormal dividiendo cada φn por su norma. Ejemplos de sistemas ortonormales son el sistema trigonom´etrico S = {φ0 , φ1 , φ2 , ...} dado por 1 φ0 (x) = √ 2π
φ2n−1 (x) =
cos(nx) √ , π
φ2n (x) =
sin(nx) √ , π
n = 1, 2, ...
(34)
El sistema (real) S es ortonormal en todo intervalo de longitud 2π. Un sistema ortonormal de funciones complejas en todo intervalo de longitud 2π lo constituye einx cos(nx) + i sin(nx) √ φn (x) = √ = , n = 0, 1, 2, ... 2π 2π Es posible extender la definici´on de sistema ortogonal relacion´andola con el concepto de funci´ on peso. En concreto Definici´ on 4.10. Sea S = {φ0 , φ1 , φ2 , ...} una colecci´ on de funciones de L2 (I) siendo I = [a, b]. Sea w(x) > 0 una funci´on positiva definida en I. Si Z
b a
w(x)φn (x)φm (x)dx = 0,
∀ m 6= n
la colecci´ on S se llama sistema ortogonal con respecto a la funci´ on peso w(x) en el intervalo I.
4.2.
Los Coeficientes de Fourier
Uno de los problemas b´asicos de la teor´ıa de funciones ortogonales consiste en aproximar tanto como sea posible una funci´on dada f ∈ L2 (I) por medio de una n X combinaci´on lineal sn (x) = ck φk (x) de elementos {φn } de un sistema ortonormal k=1
28
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
S. Se utiliza la norma ||f − sn || para medir el error cometido al aproximar f por medio de sn . El teorema de aproximaci´ on ´ optima16 afirma que, para cada valor de n, existe una u ´nica elecci´on posible de los coeficientes (constantes) ck que minimice este error (en el sentido de m´ınimo error cuadr´atico medio). Estos coeficientes que minimizan el error est´an dados por la expresi´on ck = (f, φk ),
k = 0, 1, 2, ...
Definici´ on 4.11. Sea S = {φ0 , φ1 , φ2 , ...} un sistema ortonormal en I y f ∈ L2 (I). La notaci´on
f (x) ∼
∞ X
cn φn (x) = c0 φ0 (x) + c1 φ1 (x) + ......... + cn φn (x) + .........
(35)
n=0
significa que los n´ umeros c0 , c1 , c2 ,... vienen dados por las f´ormulas Z cn = (f, φn ) =
I
f (x)φn (x)dx,
n = 0, 1, 2, ...
(36)
La serie (35) se denomina serie de Fourier de f relativa a S, y los n´ umeros c0 , c1 , c2 ,... se llaman coeficientes de Fourier de f relativos a S. El s´ımbolo ∼ que aparece en en la expresi´on (35) indica igualdad en el l´ımite, cuando n → ∞. Tal igualdad se tiene bajo hip´otesis adecuadas sobre la regularidad de la funci´on f (x). M´as detalles sobre la interpretaci´on de la relaci´on (35) se pueden encontrar en la secci´on dedicada a la convergencia de las series de Fourier. En el caso de conjuntos infinitos ortogonales con funci´on peso w(x) se tiene que las series de Fourier con respecto a la funci´on peso se definen por: Definici´ on 4.12. Sea S = {φ0 , φ1 , φ2 , ...} un sistema ortogonal con respecto a la funci´on peso w(x) en el intervalo I = [a, b] y sea f una funci´on de cuadrado integrable seg´ un Lebesgue, es decir f ∈ L2 (I). La notaci´on
f (x) ∼
∞ X
cn φn (x) = c0 φ0 (x) + c1 φ1 (x) + ......... + cn φn (x) + .........
(37)
n=0
significa que los n´ umeros c0 , c1 , c2 ,... vienen dados por las f´ormulas R cn = 16
I
f (x)w(x)φn (x)dx , ||φn (x)||2
teorema 11.2 pag 375, Apostol
n = 0, 1, 2, ...
(38)
4. Series de Fourier
29
siendo Z 2
||φn (x)|| =
I
w(x)φ2n (x)dx
La serie (35) se denomina serie de Fourier de f relativa a S con respecto a la funci´ on peso w(x), y los n´ umeros c0 , c1 , c2 ,... se llaman coeficientes de Fourier de f relativos a S con respecto a la funci´on peso w(x).
4.3.
Analog´ıa con el caso vectorial
Es posible establecer una analog´ıa entre vectores y funciones utilizando la teor´ıa de las series de Fourier. Sean v (1) , v (2) , v (3) vectores no nulos y ortogonales de IR3 . Entonces BV = {v (1) , v (2) , v (3) } es una base de IR3 y podemos escribir: u = c1 v (1) + c2 v (2) + c3 v (3) ,
ci ∈ IR
siendo ci las coordenadas del vector u en la base BV . Multiplicando escalarmente la relaci´on anterior por v (1) se tiene: ° °2 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ u, v (1) = c1 v (1) , v (1) + c2 v (2) , v (1) + c3 v (3) , v (1) = c1 °v (1) ° por consiguiente
¡
¢ u, v (1) . c1 = kv (1) k2
De forma semejante se puede comprobar que los componentes c2 y c3 se pueden expresar como sigue: ¡ ¡ ¢ ¢ u, v (3) u, v (2) , c3 = c2 = kv (2) k2 kv (3) k2 luego podemos expresar cualquier vector u en la forma ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ (1) (2) (3) u, v u, v u, v u = c1 v (1) + c2 v (2) + c3 v (3) = v (1) + v (2) + v (3) kv (1) k2 kv (2) k2 kv (3) k2 es decir ¢ 3 ¡ X u, v (n) (n) v . u= (n) k2 kv n=1 La analog´ıa consiste en sustituir el vector u por una funci´on f (x), los vectores v (i) , i = 1, 2, 3 (ortogonales) por un conjunto infinito ortogonal de funciones φn (x) y las
30
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
coordenadas ci por las f´ormulas R f (x)w(x)φn (x)dx cn = I , kφn (x)k2
n = 0, 1, 2, ...
siendo Z 2
kφn (x)k =
I
w(x)φ2n (x)dx
que en el caso de funci´on peso constante, w(x) ≡ 1 se escriben R
f (x)φn (x)dx (f (x), φn (x)) = , n = 0, 1, 2, ... 2 kφn (x)k (φn (x), φn (x)) Z 2 siendo kφn (x)k = (φn , φn ) = φ2n (x)dx. En el caso de que el sistema, adem´as de cn =
I
I
ortogonal, sea ortonormal se recupera la f´ormula (36).
4.4.
An´ alisis del error ´ optimo
El siguiente an´alisis del error de aproximaci´on se encuentra en el libro de Mei, pag 91. Hemos visto que una motivaci´on para el uso de las series de Fourier consiste en la necesidad de aproximar una funci´on dada f (x) por medio de una suma finita de funciones de una base {φn (x)} de un espacio vectorial de dimensi´on infinita:
f (x) ≈ SN (x) =
N X
cn φn (x)
(39)
n=0
donde f y las {φn } est´an definidas en un intervalo (0, L), y {φn (x)} es un sistema ortogonal con respecto a la funci´on peso w(x): Z
L 0
w(x)φm (x)φn (x)dx = 0,
m 6= n
(40)
y donde el s´ımbolo ≈ denota una igualdad aproximada. El l´ımite de SN para N → ∞ es la serie de Fourier. Al multiplicar la ecuaci´on (39) escrita en la forma f (x) = c0 φ0 (x) + c1 φ1 (x) + ......... + cn φn (x) + .........cN φN (x)
(41)
por wφm , (m < N ) e integrar en el intervalo (0, L) se tiene Z L Z L Z L w(x)φm (x)φ1 (x)dx+.........+ w(x)φm (x)φ0 (x)dx+c1 w(x)φm (x)f (x)dx = c0 0
0
0
4. Series de Fourier
31
Z
Z
L
+........ + cn 0
w(x)φm (x)φn (x)dx + ....cN
L
w(x)φm (x)φN (x)dx
0
Debido a la ortogonalidad cada t´ermino del lado derecho es cero excepto cuando m = n. En este caso tendremos Z
Z
L
w(x)φm (x)f (x)dx = cm
0
L 0
w(x)φ2m (x)dx
(42)
Para mostrar que SN es la mejor aproximaci´on de f minimizando el error cuadr´atico medio definido por: . ∆N =
Z
"
L
N X
w f− 0
#2 cn φn
dx
(43)
n=0
imponemos las condiciones d2 ∆N >0 dc2n
d∆N = 0, dcn
∀ n = 0, ...., N.
Desarrollando el t´ermino cuadr´atico en (43) y utilizando la ortogonalidad del sistema φn podemos escribir !2 Z L Z L Z L ÃX N N X ∆N = wf 2 dx − 2 cn wf φn dx + w cn φn dx 0
luego
0
n=0
Z
L
2
wf dx − 2
∆N = 0
N X
0
Z
wf φn dx +
cn 0
n=0
Si
L
n=0
N X
Z c2n
n=0
L 0
wφ2n dx
d∆N = 0, dcn
entonces
Z
Z
L
−2 0
wf φn dx + 2cn
L 0
wφ2n dx = 0,
∀ n = 0, ...., N.
y se deduce la expresi´on del n-´esimo coeficiente de Fourier: RL cn = Z0 0
Obs´ervese que d2 ∆N = dc2n
Z
L 0
wf φn dx
L
wφ2n dx
wφ2n dx > 0,
∀ n = 0, ...., N
(44)
32
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
puesto que (por definici´on) la funci´on peso es positiva (w(x) > 0) en el intervalo de ortogonalidad. Por tanto el error es m´ınimo para la elecci´on de los coeficientes de Fourier dada en (44). A partir de (44) podemos adem´as escribir: Z L Z L wf φn dx = cn wφ2n dx 0
0
y sustituyendo en Z
L
∆N =
2
wf dx − 2 0
Z
N X
L
cn 0
n=0
wf φn dx +
N X
Z c2n
n=0
L 0
wφ2n dx
se tiene Z
L
∆N =
2
wf dx − 2 0
N X
Z c2n
n=0
L 0
wφ2n dx
N X
+
Z c2n
n=0
L 0
wφ2n dx
es decir Z
L
∆N =
2
wf dx − 0
N X
Z c2n
L 0
n=0
wφ2n dx
y se deduce de esta expresi´on que si N crece entonces el error cuadr´atico medio decrece y SN proporciona la mejor aproximaci´on a f (x). Por definici´on, ∆N > 0 luego
0<
N X
Z c2n
L 0
n=0
Z wφ2n dx
L
≤
wf 2 dx
(45)
0
Cuando N → ∞ la suma que aparece en (45) tiene que estar acotada por la integral. Luego si esa integral es acotada: Z L wf 2 dx < ∞ 0
tiene que ser (pasando al l´ımite para N → ∞) Z ∞ µ X 2 0< cn n=0
L 0
¶ wφ2n dx
Z
L
≤
wf 2 dx
(46)
0
La desigualdad (46) se conoce con el nombre de la desigualdad de Bessel. La serie en la parte derecha debe converger, luego Z L 2 l´ım cN wφ2N dx = 0 N →∞
0
4. Series de Fourier
33
implicando adem´as que cN → 0 para N → ∞. Adem´as SN converge a f en el sentido de error cuadr´atico si ∆N → 0 Z
L
∆N =
2
wf dx −
N X
0
Z c2n
n=0
L 0
wφ2n dx → 0
para N → ∞ y esto implica Z
L
2
wf dx = 0
∞ X n=0
Z c2n
L 0
wφ2n dx
(47)
que es la f´ ormula de Parseval. Si adem´as SN → f en el sentido del error cuadr´atico medio para cualquier f ∈ L2w (0, L) (de cuadrado integrable con peso w) entonces el sistema ortogonal {φn } es completo y significa que cualquier f se puede desarrollar como ∞ X f (x) = cn φn (x) n=0
Cuando I = [a, b] y S es el sistema de funciones trigonom´etricas descrito en (34) la serie se llama simplemente serie de Fourier generada por f y (35) se escribe en la forma: ∞
a0 X f (x) ∼ [an cos(nx) + bn sin(nx)] + 2 n=1
(48)
en donde los coeficientes se han obtenido por medio de las f´ormulas 1 an = π
Z
2π
f (x) cos(nx)dx, 0
1 bn = π
Z
2π
f (x) sin(nx)dx
(49)
0
N´otese que si f ∈ L[0, 2π] entonces existen an , bn .
4.5.
Propiedades
Se pueden resumir en un teorema (ver Apostol, cap´ıtulo 11). Teorema 4.4. Sea S = {φ0 , φ1 , φ2 , ...} un sistema ortonormal en I, f ∈ L2 (I) y ∞ X cn φn (x) la serie de Fourier de f relativa a S. Entonces los coeficientes de n=0
Fourier cn verifican que:
34
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
1. La serie
∞ X
|cn |2 converge y satisface la desigualdad de Bessel:
n=0 ∞ X
|cn |2 ≤ ||f ||2
n=0
on (f´ ormula de Parseval) 2. La ecuaci´ ∞ X
|cn |2 = ||f ||2
n=0
se verifica si y s´olo si: ° ° N ° ° X ° ° l´ım ||f − SN || = l´ım °f − cn φn (x)° = 0 N →∞ N →∞ ° ° n=1 N´otese finalmente que dos funciones distintas de L2 (I) no pueden tener los mismos coeficientes de Fourier.
4.6.
Convergencia de las series de Fourier
Para que un desarrollo en series de Fourier represente adecuadamente una funci´on, es necesario que la serie sea convergente. Consideremos la serie trigonom´etrica de Fourier generada por una funci´on f integrable de Lebesgue en I = [0, 2π]: ∞
a0 X f (x) ∼ + (an cos(nx) + bn sin(nx)) 2 n=1 en donde an , bn vienen dados por las f´ormulas (49). Existen dos problemas fundamentales: el problema de la convergencia (saber si la serie converge en alg´ un punto x ∈ I) y el de la representaci´on (en caso de converger saber si su suma vale f (x) en todo punto de I).En general la respuesta a ambas cuestiones es no pues existen funciones integrables de Lebesgue cuyas series de Fourier divergen en todo punto. Se pueden sin embargo establecer condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier en un punto particular.17 17
En todas ella aparece la hip´otesis de periodicidad lo que no representa una gran restricci´on en el caso de funciones definidas en intervalos acotados pues siempre se pueden prolongar de forma peri´odica.
4. Series de Fourier
35
Teorema 4.5. Sea f es una funci´on peri´ odica con periodo 2π en (−π, π). Si f 0 es continua a trozos y tiene derivada f continua a trozos, entonces para cualquier x ∈ (−π, π) la serie de Fourier ∞
a0 X + [an cos(nx) + bn sin(nx)] 2 n=1 con
1 an = π
Z
π
f (x) cos(nx)dx, −π
1 bn = π
Z
π
f (x) sin(nx)dx −π
converge hacia el promedio f (x + 0) + f (x − 0) , 2 siendo f (x ± 0) = l´ım± f (x ± h) los l´ımites derecho e izquierdo respectivamente). h→0
Se deduce que si f es continua en x entonces la serie de Fourier converge a f . Si f es discontinua entonces la serie converge hacia el promedio. Por razones pr´acticas de c´alculo, es u ´til saber con que rapidez converge una serie de Fourier dada. La velocidad de convergencia depende de la regularidad de la funci´on y se puede estimar a trav´es del siguiente teorema: 00
Teorema 4.6. Si existen f , f 0 , f , .. , f (m , las derivadas hasta el orden m − 1 son continuas en [a, b] pero f (m es continua a trozos,µ entonces, ¶ cuando n → ∞ los 1 coeficientes de Fourier an , bn decaen a cero como O nm+1 Corolario 4.1. Si f es continua a trozos, cuando n → ∞, los coeficientes µ entonces, ¶ 1 de Fourier an , bn decaen a cero como O . n Corolario 4.2. Si existe f 0 en [a, b] y es continua a trozos, cuando n → ∞, µ entonces, ¶ 1 los coeficientes de Fourier an , bn decaen a cero como O . n2 Resumiendo: cuanto m´as regular es la funci´on, m´as r´apidamente tienden a cero los coeficientes de Fourier. La facilidad con la cual se puede calcular num´ericamente una serie de Fourier depende de la tasa de convergencia. Existen t´ecnicas para acelerar una serie de Fourier. Detalles se pueden encontrar en Kantorovich y Krylov. La teor´ıa matem´atica asociada a este tipo de problemas (convergencia y representaci´on) se basa en conceptos, definiciones y resultados del tipo lema de RiemannLebesgue, integrales de Dirichlet, n´ ucleo de Dirichlet, teorema de localizaci´on de
36
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Riemann, criterio de Jordan, sumabilidad de Ces´aro y teorema de Fej´er. El an´alisis de dichos resultados no ser´a abordado en este curso. Detalles se encuentran en el Ap´ostol, cap 11.
4.7.
Diferenciaci´ on e integraci´ on de las series de Fourier
La diferenciaci´on de una serie de Fourier puede ser necesaria, por ejemplo, para calcular el flujo de calor a partir de la representaci´on (en serie) del campo de temperaturas. La idea natural es derivar t´ermino a t´ermino pero hay que tener cuidado puesto que la serie resultante no siempre converge a la derivada. Sin embargo, si se verifican las siguientes condiciones: 1. La funci´on f (x) es continua en [a, b]. 2. La funci´on derivada f 0 (x) es continua a trozos en [a, b]. entonces la derivaci´on t´ermino a t´ermino de la serie de Fourier nos dar´a una serie que converge a f 0 (x) en cada punto de (a, b) donde f 0 (x) es continua. La integraci´on t´ermino a t´ermino de una serie de Fourier se puede necesitar, por ejemplo, para determinar la temperatura media de un objeto. Para ello es suficiente que la funci´on sea continua a trozos (lo que en la pr´actica casi nunca es una restricci´on).
4.8.
Otras formas del desarrollo en Serie de Fourier
Utilizando las f´ormulas 2 cos(nx) = einx + e−inx ,
2i sin(nx) = einx − e−inx
la serie de Fourier generada por f se puede expresar en t´erminos de exponenciales complejas: ∞
∞
a0 X a0 X f (x) ∼ + [an cos(nx) + bn sin(nx)] = + (αn einx + β n e−inx ) 2 2 n=1 n=1
(50)
donde los coeficientes αn y β n se obtienen de (49) utilizando las f´ormulas de paso: αn =
an − ibn , 2
βn =
an + ibn 2
5. Tablas de series de Fourier trigonom´etricas
37
Si denotamos α0 = a0 /2 y α−n = β n se tiene la forma exponencial f (x) ∼
n=+∞ X
αn einx
n=−∞
y las f´ormulas para los coeficientes αn son Z 2π 1 αn = f (x)e−inx dx, 2π 0
n = 0, ±1, ±2, ....
Generalizando, si f ∈ L[0, p] (es integrable seg´ un Lebesgue en [0, p]) y si f tiene periodo p (es decir f (x) = f (x + p)), escribimos µ ¶ µ ¶¸ ∞ · a0 X 2πn 2πn f (x) ∼ + an cos x + bn sin x 2 p p n=1 para indicar que los coeficientes vienen dados por las f´ormulas . 2 an = p
Z
µ
p
f (x) cos 0
¶ 2πn x dx, p
. 2 bn = p
Z
µ
p
f (x) sin 0
¶ 2πn x dx, p
n = 0, ±1, ±2, ....
En la forma exponencial f (x) ∼
n=+∞ X
αn e2πinx/p
n=−∞
en donde
5.
1 αn = π
Z
π
f (x)e−2πinx/p dx,
n = 0, +1, +2, ....
0
Tablas de series de Fourier trigonom´ etricas
Las m´as conocidas series de Fourier son las series trigonom´etricas, donde las funciones de base son senos y cosenos. Obs´ervese que el conjunto {sin(nx), cos(mx)} tiene las siguientes propiedades de ortogonalidad: Z
π
cos(mx) cos(nx)dx = −π
0 si m 6= n π si m = n 6= 0 2π si m = n = 0
38
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Z
(
π
sin(mx) sin(nx)dx = −π
Z
0 si m 6= n π si m = n 6= 0
π
sin(mx) cos(nx)dx = 0,
∀ m, n
−π
5.1.
Series de Fourier completas
Si desarrollamos f (x), x ∈ (−π, π) como una serie de Fourier trigonom´etrica se tiene ∞
a0 X f (x) ∼ + [an cos(nx) + bn sin(nx)] 2 n=1 donde los coeficientes del desarrollo son, por ortogonalidad, Z 1 π a0 = f (x)dx π −π Z 1 π f (x) cos(nx)dx an = cn = π −π Z 1 π f (x) sin(nx)dx bn = π −π Sustituyendo en la serie se tiene la siguiente f´ormula de representaci´ on integral de una funci´ on: 1 f (x) = 2π
Z
Z ∞ X 1 π f (ξ)dξ + f (ξ) cos(n(x − ξ))dξ π −π −π n=1 π
un resultado que se conoce con el nombre de teorema de Fourier. El teorema de Fourier tiene un papel muy importante en los procesos de resoluci´on de las EDP en dominios no acotados ya que permite extender el an´alisis de Fourier a funciones no peri´odicas en dominios no acotados. El desarrollo en series de Fourier de una funci´on se ve simplificado notablemente si tenemos en cuenta ciertas posibles simetr´ıas de la funci´on a desarrollar. Recordemos para ello la definici´on de funci´on par e impar: Definici´ on 5.1. Una funci´on f (x) es par en el intervalo −L < x < L si f (−x) = f (x) e impar si f (−x) = −f (x).
5. Tablas de series de Fourier trigonom´etricas
39
Los t´ıpicos ejemplos de funciones par e impar son, respectivamente, el coseno y el seno. Cualquier funci´on definida en (0, π) se puede considerar como la mitad de una funci´on par (impar) en (−π, π) luego se puede expresar con una serie de cosenos (senos). Puesto que los t´erminos trigonom´etricos son peri´odicos en x con periodo 2π, la serie de Fourier de cosenos (senos) representa no s´olo f (x) en (0, π) y su extensi´on par (impar) en (−π, π) sino que representa f (x) y todas sus posibles extensiones peri´odicas de periodo 2π. En otras palabras: la serie de cosenos (senos) de Fourier representa una funci´on peri´odica que es par (impar) en (−π, π).
5.2.
Otros intervalos
Si una funci´on F (y) est´a definida en un intervalo (−L, L) en lugar de (−π, π), se rescalan las coordenadas definiendo y = Lx/π luego la funci´on F (y) se puede desarrollar en la forma: F (y) = f
³ πy ´ L
³ nπy ´ ³ nπy ´i a0 X h ∼ + an cos + bn sin 2 L L n=1 ∞
donde los coeficientes del desarrollo son, por ortogonalidad, Z ³ nπy ´ 1 L a = F (y) cos dy n L −L L cn = Z ³ nπy ´ 1 L F (y) sin dy bn = L −L L El teorema de Fourier se representa ahora mediante 1 F (y) = 2L
5.3.
Z
Z ∞ h³ nπ ´ i X 1 L F (ξ)dξ + F (ξ) cos (y − ξ) dξ L −L L −L n=1 L
Series de Fourier cosenos
Si f (x) es una funci´on par en el intervalo x ∈ (−π, π) y desarrollamos con una serie de Fourier de cosenos entonces ∞
∞
a0 X a0 X + [an cos(nx) + bn sin(nx)] = + an cos(nx) f (x) ∼ 2 2 n=1 n=1 donde los coeficientes del desarrollo son, por ortogonalidad,
40
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Z Z 2 π 1 π f (x)dx = f (x)dx a0 = π −π π 0 Z Z 1 π 2 π an = f (x) cos(nx)dx = f (x) cos(nx)dx cn = π −π π 0 Z 1 π f (x) sin(nx)dx = 0 bn = π −π
5.4.
Series de Fourier senos
Si f (x) es una funci´on impar en el intervalo x ∈ (−π, π) y desarrollamos con una serie de Fourier de senos entonces ∞
f (x) ∼
∞
X a0 X + (an cos(nx) + bn sin(nx)) = bn sin(nx) 2 n=1 n=1
donde los coeficientes del desarrollo son, por ortogonalidad, Z 1 π f (x) cos(nx)dx = 0 an = π −π Z Z cn = 1 π 2 π bn = f (x) sin(nx)dx = f (x) sin(nx)dx π −π π 0
5.5.
Desarrollos en mitad de intervalo
En muchos casos nos interesa representar, mediante una serie trigonom´etrica, una funci´on definida s´olo en (0, L) (mitad de intervalo con respecto a los casos anteriores donde consider´abamos intervalos sim´etricos respecto del origen del tipo (−L, L)). Esto se puede hacer de muchas formas distintas, dando una definici´on arbitraria de f (x) en (−L, 0). Lo que se suele hacer es definir f (x) en (−L, 0) como f (x) = f (x + L). Las series de cosenos y senos que se obtienen con este m´etodo se llaman desarrollos en mitad de intervalo y vienen dados por: 1. Si desarrollamos f (x) con una serie de Fourier de cosenos en mitad de intervalo (es decir en (0, L)) ³ nπ ´ a0 X + an cos x 2 L n=1 ∞
f (x) ∼
donde los coeficientes del desarrollo son
5. Tablas de series de Fourier trigonom´etricas
a0 = cn =
an =
2 L 2 L
Z
41
L
f (x)dx Z
0 L 0
³ nπ ´ f (x) cos x dx L
2. Si desarrollamos f (x) con una serie de Fourier de senos en mitad de intervalo (es decir en (0, L)) ³ nπ ´ x f (x) ∼ bn sin L n=1 ∞ X
donde los coeficientes del desarrollo son ½ cn =
bn
2 = L
Z
L
f (x) sin 0
³ nπ ´ x dx L
42
6.
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Difusi´ on bidimensional. Introducci´ on a las dobles series de Fourier
En esta secci´on supondremos que Ω = (0, a) × (0, b) ⊂ IR2 con a, b > 0. Entonces x = (x, y) ∈ Ω y el problema de autovalores (17) queda escrito en la forma ∂ 2X ∂ 2X − (x, y) − (x, y) = λX(x, y), (x, y) ∈ Ω ∂x2 ∂y 2 X(x, 0) = X(x, b) = 0, x ∈ (0, a) X(0, y) = X(a, y) = 0, y ∈ (0, b)
(51)
Una posible estrategia para calcular autovalores y autofunciones de (51) es separar las variables x e y del problema, buscando soluciones de la forma X(x, y) = U (x)V (y)
(52)
con U, V no id´enticamente nulas (es decir, buscamos soluciones distintas de la trivial). Sustituyendo (52) en (51) obtenemos las condiciones necesarias y suficientes que tienen que verificar U (x) y V (y) para que (52) resuelva (51). A saber d2 U d2 V −V (y) 2 (x) − U (x) 2 (y) = λU (x)V (y) dx dy complementadas con U (0) = U (a) = 0,
V (0) = V (b) = 0
(53)
(54)
Dividiendo (53) por U (x)V (y) obtenemos 00
00
U (x) V (y) − = +λ (55) U (x) V (y) cuyo primer miembro es funci´on de x y cuyo segundo miembro es funci´on de y. Por consiguiente U y V satisfacen (53) y (54) si, y s´olo si, existe µ tal que, simult´aneamente (
00
−U (x) = µU (x),
x ∈ (0, a)
U (0) = U (a) = 0 y
(
00
−V (y) = (λ − µ)V (y), V (0) = V (b) = 0
y ∈ (0, b)
(56)
(57)
6. Difusi´on bidimensional. Introducci´on a las dobles series de Fourier
43
Los autovalores y autofunciones de (56) son (respectivamente) µn =
³ nπ ´2 a
³ nπ ´ Un (x) = sin x , a
,
n≥1
(58)
Para que (56) tenga soluci´on no nula µ tiene que coincidir con algunos de los µn . Entonces (57) se convierte en (
00
−V (y) = (λ − µn )V (y),
y ∈ (0, b)
V (0) = V (b) = 0
(59)
cuyos autovalores y autofunciones son λ − µn =
³ mπ ´2 b
,
Vm (y) = sin
³ mπ ´ y , b
m≥1
(60)
De este an´alisis se desprende que condici´on necesaria y suficiente para que (51) tenga alguna soluci´on no nula de la forma (52) es que λ=
³ nπ ´2 a
+
³ mπ ´2 b
para algunos enteros n, m ≥ 1. En particular los n´ umeros λn,m definidos por λn,m =
³ nπ ´2 a
+
³ mπ ´2 b
,
n, m ≥ 1
(61)
son autovalores del problema (51) con autofunciones asociadas del tipo (52) dadas por Xn,m = sin
6.1.
³ nπ ´ ³ mπ ´ x sin y , a b
n, m ≥ 1
(62)
La doble serie seno y coseno
La doble serie de senos para una funci´on f (x, y) definida en una regi´on rectangular 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b es
f (x, y) =
∞ X ∞ X m=1 n=1
Amn sin
³ nπ ´ ³ mπ ´ x sin y a b
en donde los coeficientes del desarrollo vienen dados por
44
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Amn
4 = ab
Z bZ
a
f (x, y) sin 0
0
³ mπ ´ ³ nπ ´ x sin y dxdy a b
La doble serie de cosenos para una funci´on f (x, y) definida en una regi´on rectangular 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b es
f (x, y) ∼ A00 +
∞ X
Am0 cos
∞ ³ mπ ´ X ³ nπ ´ x + A0n cos y + a b n=1
Amn cos
³ mπ ´ ³ nπ ´ x cos y a b
m=1 ∞ X ∞ X m=1 n=1
donde los coeficientes del desarrollo A00 , Am0 , A0n , y Amn vienen dados por A00
Am0
2 = ab
Z bZ 0
a 0
4 = ab
Z bZ
a
f (x, y)dxdy 0
0
³ mπ ´ f (x, y) cos x dxdy, a
Amn
4 = ab
Z bZ
a
f (x, y) cos 0
0
A0n
2 = ab
Z bZ
a
f (x, y) cos 0
0
³ mπ ´ ³ nπ ´ x cos y dxdy a b
³ nπ ´ y dxdy b
7. La ecuaci´on de Laplace
7.
45
La ecuaci´ on de Laplace
Tal y como vimos en las secciones anteriores, el m´etodo de separaci´on de variables se puede utilizar tambi´en en dimensiones superiores siempre que las fronteras del dominio se puedan describir mediante una u ´nica coordenada. Esta condici´on se verifica, por ejemplo, en rect´angulos, discos y esferas. Para ilustrar la aplicaci´on del m´etodo a un problema modelo, supongamos que se trate de encontrar la temperatura de estado estable u(x, y) en una placa rectangular © ª Ω = (x, y) ∈ IR2 : 0 < x < a, 0 < y < b ⊂ IR2 con bordes aislados. Cuando no escapa calor de las parades verticales de la placa (t´ermicamente aisladas), se resuelve la ecuaci´on de Laplace ∆u =
∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y 2
0 < x < a,
0
sujeta a las condiciones de contorno de tipo Neumann homog´eneas en los bordes verticales µ
∂u ∂x
¶ x=0
∂u = (0, y) = 0, ∂x
µ 0 < y < b,
∂u ∂x
¶ = x=a
∂u (a, y) = 0, ∂x
0
y a las condiciones de contorno de tipo Dirichlet en los bordes horizontales de la placa u(x, 0) = 0,
0 < x < a,
u(x, b) = f (x),
0
El problema modelo a resolver es, por tanto: ∂ 2u ∂ 2u + 2 2 ∂x ∂y ∂u (0, y) ∂x ∂u (a, y) ∂x u(x, 0) u(x, b)
= 0,
0 < x < a, 0 < y < b
= 0
x=0
0
= 0
x=a
0
= 0
0
y=0
= f (x) 0 < x < a
y=b
Utilizando separaci´on de variables, buscaremos una soluci´on del tipo u = X(x)Y (y).
46
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Introduciendo la constante de separaci´on λ2 , λ ∈ IR, sustituimos en la ecuaci´on para obtener: 00
00
X Y =− = −λ2 X Y lo que implica: 00
Y − λ2 Y = 0,
00
X + λ2 X = 0,
siendo por tanto las soluciones generales (por ser 0 < y < b un intervalo finito utilizaremos la expresi´on de la soluci´on en t´erminos de funciones hiperb´olicas para la variable Y ): Y (y) = c3 cosh(λy) + c4 sinh(λy),
X(x) = c1 cos(λx) + c2 sin(λx)
Las condiciones de aislamiento de los bordes verticales nos obligan a calcular X 0 (x) X 0 (x) = λ[c2 cos(λx) − c1 sin(λx)] A partir de las condiciones de contorno originales sobre u se tiene X 0 (0) = 0,
X 0 (a) = 0,
Y (0) = 0,
X(x)Y (b) = f (x)
luego λc2 = 0,
λ[c2 cos(λa) − c1 sin(λa)],
c3 = 0
Si λ 6= 0 se tiene c2 = 0,
−c1 sin(λa) = 0,
c3 = 0
Esto implica que los autovalores vienen dados por la ecuaci´on caracter´ıstica λa = nπ,
n = 0, 1, 2, 3, ...,
siendo X(x) = c1 cos(λx),
Y (y) = c4 sinh(λy) 00
00
Si λ = 0 las ecuaciones diferenciales ordinarias a resolver son X = 0, Y = 0. La 00 soluci´on general de X = 0 es una funci´on lineal del tipo X(x) = c2 x + c1 . En este caso las condiciones de frontera X 0 (0) = 0 = X 0 (a) implican X(x) = c1 6= 0 luego en este caso λ = 0 es un valor propio pues su funci´on asociada es no nula. Por tanto los autovalores del problema son
7. La ecuaci´on de Laplace
47
n2 π 2 , a2 y las autofunciones correspondientes λ2n =
n = 0, 1, 2, 3, ...
³ nπ ´ X(x) = c1 , n = 0, X(x) = c1 cos x , n = 1, 2, 3, .... a Para la variable Y se tiene: Y (y) = c4 y + c3 . La condici´on Y (0) = 0 implica c3 = 0 luego si λ = 0 entonces Y (y) = c4 y es la autofunci´on asociada. Por tanto ³ nπ ´ y , n = 1, 2, 3, .... a Las soluciones producto de la ecuaci´on de Laplace que satisfacen las tres primeras condiciones de contorno son: Y (y) = c4 y,
n = 0,
Y (y) = c4 sinh
³ nπ ´ ³ nπ ´ A0 y, n = 0, An sinh y cos x , n = 1, 2, 3, .... a a Aplicando el principio de superposici´on se tiene (formalmente)
u(x, y) = A0 y +
h ³ nπ ´ ³ nπ ´i An sinh y cos x a a n=1
∞ X
Al sustituir y = b se tiene
u(x, b) = f (x) = A0 b +
h ³ nπ ´i ³ nπ ´ An sinh b cos x a a n=1
∞ X
El t´ermino en par´entesis es una sucesi´on de constantes luego tenemos un desarrollo de f (x) en serie de cosenos de mitad de intervalo: ³ nπ ´ a0 X f (x) = + an cos x 2 L n=1 ∞
donde los coeficientes de la expansi´on son Z 2 L f (x)dx a0 = L 0 cn = Z ³ nπ ´ 2 L f (x) cos x dx an = L 0 L Identificando coeficientes tenemos (L = a)
48
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Z
a0 1 A0 b = = 2 a y
a
f (x)dx, 0
Z h ³ nπ ´i ³ nπ ´ 2 a An sinh b = an = f (x) cos x dx a a 0 a
luego 1 A0 = ab
Z
a
f (x)dx, 0
y 2 ³ nπ ´ An = a sinh b a
Z
a
f (x) cos 0
³ nπ ´ x dx a
La soluci´on es, por tanto µ u(x, y) =
+
∞ X n=1
7.1.
2 ³ nπ ´ a sinh b a
Z
a 0
1 ab
Z
a
¶ f (x)dx y+
0
³ nπ ´ ³ nπ ´ ³ nπ ´ x dx sinh y cos x f (x) cos a a a
El problema de Dirichlet. Principio de superposici´ on
Un problema de valor en la frontera en que se busca una soluci´on de una ecuaci´on en derivadas parciales de tipo el´ıptico, como la ecuaci´on de Laplace, ∇2 u = 0, dentro de una regi´on tal que u adopte valores prescritos en el contorno total de esta regi´on, se llama problema de Dirichlet. Un problema de Dirichlet en una regi´on rectangular del plano se puede resolver f´acilmente separando variables cuando se especifican condiciones homog´eneas para dos fronteras paralelas; sin embargo el m´etodo de separaci´on de variables no se aplica a un problema de Dirichlet con condiciones no homog´eneas en los cuatro lados del
7. La ecuaci´on de Laplace
49
rect´angulo. Para salvar esta dificultad se descompone el problema Problema Dirichlet no homog´eneo 2 ∂ u ∂ 2u + = 0, 0 < x < a, 0 < y < b ∂x2 ∂y 2 u(0, y) = F (y) x = 0 0
u(a, y) = G(y) x = a
0
u(x, 0) = f (x) 0 < x < a
y=0
u(x, b) = g(x)
y=b
0
en dos problemas, cada uno con condiciones homog´eneas en la frontera, en lados paralelos Primer problema: homog´eneo en los bordes laterales 2 ∂ u ∂ 2u + ∂x2 ∂y 2 u(0, y) u(a, y) u(x, 0) u(x, b)
= 0,
0 < x < a, 0 < y < b
= 0
x=0
0
= 0
x=a
0
= f (x) 0 < x < a
y=0
= g(x) 0 < x < a
y=b
Segundo problema: homog´eneo en las bases 2 ∂ u ∂ 2u + ∂x2 ∂y 2 u(0, y) u(a, y) u(x, 0) u(x, b)
= 0,
0 < x < a, 0 < y < b
= F (y) x = 0
0
= G(y) x = a
0
= 0
0
y=0
= 0
0
y=b
Supongamos que u1 y u2 son las soluciones de los problemas anteriores. Si definimos u(x, y) = u1 (x, y) + u2 (x, y)
50
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
se comprueba f´acilmente que u(x, y) satisface las condiciones originales de tipo Dirichlet no homog´eneo. Adem´as u es una soluci´on de la ecuaci´on de Laplace (por el principio de superposici´on aplicado a una EDP lineal homog´enea). Se puede comprobar que las soluciones u1 y u2 de los dos problemas vienen dadas por
u1 (x, y) =
∞ n X
An cosh
n=1
³ nπ ´ ³ nπ ´o ³ nπ ´ y + Bn sinh y sin x a a a
en donde los coeficientes del desarrollo son 2 An = a
Z
a 0
³ nπ ´ f (x) sin x dx, a
y 1 ³ nπ ´ Bn = sinh b a
µ Z a ³ nπ ´ ³ nπ ´¶ 2 g(x) sin x dx − An cosh b a 0 a a
∞ n ³ nπ ´ ³ nπ ´o ³ nπ ´ X u2 (x, y) = An cosh x + Bn sinh x sin y b b b n=1
siendo 2 An = b
Z
b
F (y) sin 0
³ nπ ´ y dy b
y 1 ³ nπ ´ Bn = sinh a b
µ Z b ³ nπ ´ ³ nπ ´¶ 2 G(y) sin y dy − An cosh a b 0 b b
Como aplicaci´on de las f´ormulas de las dobles series de senos y cosenos estudiamos ahora en un ejemplo el proceso bidimensional de conducci´on del calor. Ejemplo 7.1. Consideremos el proceso de difusi´on de calor en una placa rectangular µ 2 ¶ ∂u ∂ u ∂ 2u =k + , 0 < x < a, 0 < y < b ∂t ∂x2 ∂y 2 suponiendo una condici´ on inicial u(x, y, 0) = f (x, y), condiciones de contorno Dirichlet homog´eneas en el borde de la placa: u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0,
0 < y < b,
u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0,
0
7. La ecuaci´on de Laplace
51
Buscaremos una soluci´on del tipo u = X(x)Y (y)T (t). Sustituyendo en la ecuaci´on 00 00 se obtiene k(X Y T + XY T ) = XY T 0 , es decir 00
00
X Y T0 =− + X Y kT El lado izquierdo de esta ecuaci´on s´olo depende de x y el izquierdo s´olo depende de (y, t) lo que implica (introduciendo una constante de separaci´on): 00
00
X Y T0 =− + = −λ2 X Y kT luego 00
Y T0 X + λX = 0, = + λ2 Y kT Por las mismas razones, introducimos una nueva constante de separaci´on en la ecuaci´on derecha anterior para obtener 00
00
T0 + λ2 = −µ2 kT
Y = −µ2 Y luego 00
Y + µ2 Y = 0,
T 0 + k(λ2 + µ2 )T = 0
Las soluciones generales de las tres ecuaciones diferenciales ordinarias obtenidas para las variables X, Y y T son: X(x) = c1 cos(λx) + c2 sin(λx),
Y (y) = c3 cos(µy) + c4 sin(µy),
y T (t) = c5 exp(−k(λ2 + µ2 )t) siendo ci , i = 1 − 5, constantes arbitrarias de integraci´on. A partir de las condiciones de contorno originarias (Dirichlet homog´eneas) sobre u(x, y, t) se tiene X(0) = 0,
X(a) = 0,
Y (0) = 0,
Y (b) = 0
Se deduce c1 = c3 = 0,
c2 sin(λa) = 0,
c4 sin(µb) = 0
52
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Estas u ´ltimas implican a la vez mπ nπ , m = 1, 2, 3, .., µ= , n = 1, 2, 3, .., a b As´ı una soluci´on producto de la ecuaci´on del calor en dos dimensiones que satisface las condiciones en la frontera es λ=
½ ·³ ¸ ¾ ³ mπ ´ ³ nπ ´ mπ ´2 ³ nπ ´2 umn (x, y, t) = Amn exp −k + t sin x sin y a b a b siendo Amn constantes arbitrarias. Escribimos entonces el principio de superposici´on en forma de una serie doble:
u(x, y, t) =
∞ X ∞ X
½
·³
Amn exp −k
m=0 n=1
¸ ¾ ³ mπ ´ ³ nπ ´ mπ ´2 ³ nπ ´2 + t sin x sin y a b a b (63)
La condici´ on inicial En t = 0 se debe cumplir
u(x, y, 0) =
∞ X ∞ X
Amn sin
m=0 n=1
³ mπ ´ ³ nπ ´ x sin y a b
multiplicando la doble serie por el producto ³ mπ ´ ³ nπ ´ x sin y a b integrando en el rect´angulo 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b y utilizando la ortogonalidad en ambas direcciones x, y se tiene Xm (x)Yn (x) = sin
Amn
4 = ab
Z
a
Z
b
f (x, y) sin 0
0
³ mπx ´ a
sin
³ nπy ´ b
dxdy
(64)
La soluci´on del problema viene dada por tanto por la expresi´on (63) siendo los coeficientes dados por (64). En el ejemplo que presentamos a continuaci´on impondremos condiciones de contorno de tipo Neumann (en los bordes verticales de la placa) y Dirichlet en los lados horizontales.
7. La ecuaci´on de Laplace
53
Ejemplo 7.2. Consideremos el proceso de difusi´on de calor en un rect´ angulo ¶ µ 2 ∂u ∂ u ∂ 2u + , 0 < x < a, 0 < y < b =k ∂t ∂x2 ∂y 2 suponiendo una condici´ on inicial u(x, y, 0) = f (x, y), condiciones de contorno de aislamiento t´ermico en los lados verticales (x = 0, x = 1) ∂u ∂u (0, y, t) = (a, y, t) = 0, ∂x ∂x
0
y una temperatura prefijada en los lados horizontales (y = 0, y = a): u(x, 0, t) = u(x, b, t) = 0,
0
Buscaremos una soluci´on del tipo u = X(x)Y (y)T (t). Sustituyendo en la ecuaci´on se tiene: 00
00
X Y T0 + = X Y kT lo que implica: T 0 + λkT = 0,
00
X − µX = 0,
00
Y + (λ + µ)Y = 0
A partir de las condiciones de contorno originarias sobre u se tiene X 0 (0) = X 0 (a) = 0,
Y (0) = Y (b) = 0
Considerando el problema 00
X 0 (0) = X 0 (a) = 0
X − µX = 0,
los autovalores y las autofunciones son (poniendo µ = −α2 , α ∈ IR)
α = αm =
mπ , a
m = 1, 2, 3, ...
Xm (x) = Am cos
³ mπx ´ a
Considerando el problema 00
Y + (λ + µ)Y = 0,
Y (0) = Y (b) = 0
si definimos β 2 = λ + µ = λ − α2
,
m = 0, 1, 2, ...
54
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
los autovalores y las autofunciones son nπ , β = βn = b y se tiene la relaci´on
n = 1, 2, 3, ...
λm,n =
α2m
+
Yn (x) = sin
β 2n
=
³ mπ ´2 a
+
³ nπy ´ b
,
n = 1, 2, 3, ...
³ nπ ´2 b
Considerando el problema T 0 + λkT = 0 la parte temporal de la soluci´on viene dada por Tmn (t) = T (0)mn e−λn kt La soluci´on general se encuentra por superposici´on:
u(x, y, t) =
∞ X ∞ X
amn cos
³ mπx ´
m=0 n=1
a
sin
³ nπy ´ b
e−λn kt
Aplicando la condici´on inicial
u(x, y, 0) = f (x, y) =
∞ X ∞ X
amn cos
³ mπx ´ a
m=0 n=1
sin
³ nπy ´ b
y utilizando la ortogonalidad en ambas direcciones x, y se tiene
a0n
2 = ab
Z
a
Z
b
f (x, y) sin 0
³ nπy ´
0
b
dxdy,
y
amn
8.
4 = ab
Z
a
Z
b
f (x, y) cos 0
0
³ mπx ´ a
sin
³ nπy ´ b
dxdy
El problema de Sturm-Liouville
Las funciones ortogonales suelen surgir al resolver ecuaciones diferenciales. Adem´as se puede generar un conjunto de funciones ortogonales al resolver un problema de valor de frontera con dos puntos, donde intervenga una ecuaci´on diferencial de segundo orden que contenga un par´ametro. Presentaremos algunos ejemplos sencillos para despu´es generalizar a los problemas de tipo Sturm-Liouville, una clase muy amplia de problemas de autovalores lineales cuyas autofunciones son, necesariamente,
8. El problema de Sturm-Liouville
55
ortogonales. Una caracter´ıstica fundamental de este tipo de problemas es la homogeneidad del problema (entendida como homogeneidad de la ecuaci´on y de las condiciones de contorno). Un problema de autovalores del tipo de Sturm-Liouville es el an´alogo, en t´erminos de ecuaciones diferenciales del problema de autovalores matricial (estudiado en el tema 5 de la asignatura del primer curso) Ax = λx siendo A una matriz real sim´etrica (luego herm´ıtica), x ∈ IRN y λ ∈ IR. En ambos casos los autovalores son reales y los autovectores proporcionan una base ortogonal para el espacio vectorial considerado. Aunque los problemas de Sturm-Liouville y los problemas de autovalores matriciales est´an as´ı estrechamente relacionados (si la matriz A es herm´ıtica y el operador es herm´ıtico (o autoadjunto) 18 ) el problema de Sturm-Liouville es m´as sutil pues el espacio vectorial es infinito dimensional y los desarrollos son, en general, infinitos. N´otese adem´as que tener un n´ umero infinito de funciones ortogonales no implica tener una base.
8.1.
Valores propios y funciones propias
Las soluciones del problema de valores de frontera 00
u + λu = 0,
u(0) = 0,
u(L) = 0
son no triviales (es decir no id´enticamente nulas) s´olo cuando el par´ametro λ adopta ciertos valores. Los n´ umeros y sus soluciones (no triviales) correspondientes ³ nπx ´ n2 π 2 n = 1, 2, 3, ... un (x) = c sin λn = 2 , L L se llaman, respectivamente, valores propios y funciones propias del problema. De momento, s´olo observamos que el conjunto n ³ nπx ´ o sin L n=1,2,3... es el conjunto ortogonal de funciones en el intervalo (0, L) que se usa como base para la serie de Fourier de senos. De forma an´aloga se demuestra que las soluciones del problema de valores de frontera 00
u + λu = 0, 18
u0 (0) = 0,
u0 (L) = 0
Si quisi´eramos generalizar m´as la teor´ıa, para incluir en el mismo marco el caso de las matrices sim´etricas y el de los problemas de autovalores de Sturm-Liouville deber´ıamos estudiar los operadores autoadjuntos, entendiendo las matrices, las derivadas ordinarias, las derivadas parciales y las integrales como casos especiales de operadores. De ello se ocupa el An´alisis funcional, v´ease por ejemplo el libro de Br´ezis19 Aqu´ı s´olo observamos que, lejos de ser excepcionales, los operadores que se encuentran en las aplicaciones son, a menudo, herm´ıticos (o autoadjuntos).
56
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
son no triviales (es decir no id´enticamente nulas) s´olo cuando el par´ametro λ adopta ciertos valores. Los n´ umeros y sus soluciones (no triviales) correspondientes ³ nπx ´ n2 π 2 λn = 2 , un (x) = c cos n = 0, 1, 2, ... L L se llaman, respectivamente, valores propios y funciones propias del problema. Esta vez se ha incluido el autovalor λ = 0 pues para n = 0 la autofunci´on correspondiente no es nula. El conjunto n ³ nπx ´ o cos L n=0,1,2,... es el conjunto ortogonal de funciones en el intervalo (0, L) que se usa como base para la serie de Fourier de cosenos. Los problemas de contorno anteriores son un caso especial del siguiente problema general: Definici´ on 8.1 (Problema regular de Sturm-Liouville). Sean p, q, r y r0 funciones de valor real continuas en el intervalo [a, b] y sean r(x) > 0, p(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]. El problema de valores en la frontera con dos puntos: resolver · ¸ d du r(x) + [q(x) + λp(x)]u(x) = 0, x ∈ (a, b) dx dx α1 u(a) + β 1 u0 (a) = 0 x = a α2 u(b) + β 2 u0 (b) = 0 x = b
(65)
se llama problema regular de Sturm-Liouville. Los coeficientes αi , β i , i = 1, 2 son constantes reales y nunca puede ocurrir que α1 = β 1 = 0 o α2 = β 2 = 0 (condici´ on de no degeneraci´ on de las condiciones de contorno). Como la ecuaci´on diferencial del problema de Sturm-Liouville (65) es homog´enea, el problema de Sturm-Liouville admite siempre la soluci´on trivial u ≡ 0. Se buscan por tanto valores de λ tales que el problema (65) admita soluciones no triviales. Las condiciones de contorno que aparecen en (65) tambi´en son homog´eneas (una condici´on en la frontera del tipo αu(a) + βu0 (a) = c, c 6= 0 es no homog´ enea). Un problema regular del tipo de Sturm-Liouville se dice por tanto un problema de contorno homog´eneo. N´otese que mediante adecuadas combinaciones de los coeficientes αi , β i , i = 1, 2 es posible generar los tres tipos de condiciones de contorno usuales: Dirichlet, Neumann y Robin. Cualquier ecuaci´on que se pueda escribir en la forma · ¸ d du r(x) + [q(x) + λp(x)]u(x) = 0 dx dx
(66)
8. El problema de Sturm-Liouville
57
siendo λ una constante, λ ∈ IR y las funciones coeficientes r(x), q(x) y p(x) funciones continuas de x, es una ecuaci´on del tipo de Sturm-Liouville. La funci´on p(x) es el peso necesario para que se verifique la condici´on de ortogonalidad de las autofunciones. Es fundamental conocer las siguientes propiedades de los autovalores y de las autofunciones de un problema regular del tipo de Sturm-Liouville Propiedades del problema regular de Sturm-Liouville
1. Existe una cantidad infinita (y numerable) de valores propios (autovalores) reales que se pueden ordenar de manera ascendente: λ1 < λ2 < .... < λn < ... de modo que λn → ∞ cuando n → ∞. 2. A cada valor propio le corresponde s´olo una funci´on propia (salvo por m´ ultiplos distintos de cero). 3. Las funciones propias que corresponden a los distintos valores propios son linealmente independientes. 4. El conjunto de funciones propias que corresponde al conjunto de valores propios es ortogonal con respecto a la funci´on peso p(x) en el intervalo [a, b]
Matizaremos ahora el significado de la palabra regular definiendo lo que se entiende por problema de Sturm-Liouville singular (no regular) Definici´ on 8.2 (Problema singular de Sturm-Liouville). Sean p, q, r y r0 funciones de valor real continuas en el intervalo [a, b] tales que r(a) = 0 o r(b) = 0 o r(a) = r(b) = 0 Entonces el problema de valores en la frontera con dos puntos dado por (65) es un problema de Sturm-Liouville singular. La definici´on anterior afirma que si hay degeneraci´on de la ecuaci´on diferencial (en el sentido que pasa a ser una ecuaci´on algebraica) en al menos uno de los extremos del intervalo entonces el problema de Sturm-Liouville es singular. N´otese que si hay degeneraci´on en x = a (es decir si r(a) = 0) entonces una soluci´on de la ecuaci´on puede crecer sin l´ımite (explotar) cuando x → a. Esto, sin embargo, no implica que las autofunciones no sean funciones acotadas en ese punto. La condici´on de ortogonalidad de las autofunciones Z b p(x)um (x)un (x)dx = 0, ∀ λm 6= λn a
58
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
es v´alida sin ninguna condici´on en la frontera en x = a. Una conclusi´on an´aloga se deduce en los otros dos casos posibles de degeneraci´on r(b) = 0 o r(a) = r(b) = 0. Finalmente notamos que un problema de Sturm-Liouville es singular si el intervalo que se considera es infinito.
8.2.
Forma autoadjunta de una ecuaci´ on diferencial
La ortogonalidad de las autofunciones del problema de Sturm-Liouville (con respecto a una funci´on peso adecuada) y el hecho que los autovalores del problema son reales es consecuencia de una propiedad m´as general de los operadores diferenciales de tipo autoadjunto. No entraremos aqu´ı en detalles sobre la definici´on de estas propiedad pero observamos que los operadores autoadjuntos (el operador laplaciano por ejemplo o el operador de Sturm-Liouville) siempre originan problemas de autovalores autoadjuntos cuyas autofunciones son ortogonales y sus autovalores son reales. Esta propiedad es la que, de hecho, permite extender el m´etodo de separaci´on de variables (u otros m´etodos del tipo transformadas finitas de Fourier) a una amplia clase de problemas que incluye los problemas de conducci´on o difusi´on en coordenadas cil´ındricas o esf´ericas. Para que se entienda la generalidad del problema de Sturm-Liouville notamos que cualquier ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden, lineal y homog´enea con coeficientes variables d2 u du + f1 (x) + f0 (x)u = 0 2 dx dx se puede escribir en la forma autoadjunta ¶ du r(x) + qu = 0 dx µZ ¶ f1 (x)dx y q(x) = r(x)f0 (x). Ilustraremos ahora con definiendo r(x) = exp d dx
µ
unos ejemplos otros posibles casos donde aparecen problemas autoadjuntos. Ejemplo 8.1. La ecuaci´ on adimensional de convecci´ on-difusi´ on para la concentraci´ on CA (ξ, η) de una especie qu´ımica es µ ¶ ∂CA ∂CA 1 ∂ ξ = ξ ∂ξ ∂ξ ∂η Demostrar que el problema de autovalores asociado a la EDP anterior es un problema de Sturm-Liouville.
9. Ecuaciones no homog´eneas y condiciones en la frontera
59
Utilizando el m´etodo de separaci´on de variables buscamos una soluci´on del tipo CA (ξ, η) = φ(ξ)Z(η) Sustituyendo en la EDP se tiene 1 00 φ + φ0 + λ2 φ = 0, ξ
Z 0 + λ2 Z = 0
No podemos todav´ıa resolver expl´ıcitamente la ecuaci´on para la φ (lo haremos en las pr´oximas secciones) pero si podemos escribir la ecuaci´on φ0 φ + + λ2 φ = 0 ξ 00
en la forma equivalente d dξ
µ
dφ ξ dξ
¶ + ξλ2 φ = 0
y concluir que se trata de una ecuaci´on del tipo de Sturm Liouville si identificamos r(ξ) = ξ,
q(ξ) = 0,
p(x) = ξ
El problema de Sturm-Liouville obtenido es regular en cualquier intervalo (a, b) acotado de la recta real que no contiene el origen (a > 0). Si a ≤ 0, b ≥ 0 el problema es singular.
9.
Ecuaciones no homog´ eneas y condiciones en la frontera
Puede ocurrir que el m´etodo de separaci´on de variables no sea aplicable a un problema de contorno cuando la EDP o las condiciones de contorno sean no homog´eneas. Por ejemplo, cuando se genera calor a una tasa constante G en una varilla de longitud finita, la forma de la ecuaci´on de transmisi´on del calor es ∂ 2u ∂u =k 2 +G ∂t ∂x
(67)
on (generaci´on de calor). La ecuaci´on donde G suele modelizar un t´ermino de reacci´ (67) es una t´ıpica ecuaci´on de reacci´on-difusi´on. Esta ecuaci´on es no homog´enea y se
60
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
advierte con facilidad que no es separable. Por otra lado supongamos que se desea resolver la ecuaci´on del calor cl´asica ∂u ∂2u =k 2 +G ∂t ∂x cuando las fronteras x = 0 y x = L se mantienen a temperaturas k1 , k2 distintas de cero. Aun cuando la hip´otesis u(x, t) = X(x)T (t) separa la ecuaci´on diferencial, tenemos un problema con las condiciones de contorno pues u(0, y) = X(0)T (t) = k1 ,
u(L, y) = X(L)T (t) = k2
implicar´ıa T (t) constante para todo t. Pese a lo desalentador de estos comentarios es posible resolver algunos problemas en que intervienen ecuaciones o condiciones no homog´eneas mediante el cambio de variables: u(x, t) = v(x, t) + ψ(x) La idea b´asica es determinar ψ, una funci´on de una variable, de tal modo que v, funci´on de dos variables, pueda satisfacer una ecuaci´on y condiciones de contorno homog´eneas. Esta t´ecnica se conoce con el nombre de t´ ecnica de desviaci´ on de las variables puesto que desviamos (separamos) la parte transitoria de la soluci´on, v(x, t), de la parte estacionaria ψ(x). El procedimiento se expone en el siguiente ejemplo. Ejemplo 9.1. Resolver el siguiente problema de valor homog´eneo ∂u ∂2u = k 2 + G, 0 < x < 1, ∂t ∂x u(0, t) = 0 x=0 u(1, t) = B x=1 u(x, 0) = f (x) 0
inicial y de contorno no t>0 t>0 t>0 t=0
donde el t´ermino constante G indica una tasa de generaci´on de calor uniforme y constante en el interior del dominio. En los ejemplos que siguen consideraremos los casos de reacci´on estacionaria (steady forcing en la literatura anglosajona), donde se aplica el principio de superposici´on en su forma b´asica para G = q(x) y de reacci´on transitoria (transient forcing) para una aplicaci´on m´as sofisticada del mismo principio en el caso de reacci´on G = q(x, t) y condiciones de contorno dependientes del tiempo. Tanto la ecuaci´on como la condici´on de frontera en x = 1 son no homog´eneas. Si u(x, t) = v(x, t) + ψ(x)
9. Ecuaciones no homog´eneas y condiciones en la frontera
61
entonces ∂2u ∂ 2v 00 = + ψ (x), 2 2 ∂x ∂x
∂u ∂v = ∂t ∂t
y al sustituir en la EDP se tiene ∂v ∂ 2v 00 = k 2 + kψ + G ∂t ∂x
(68)
La idea es simple: si imponemos que ψ satisfaga la ecuaci´on 00
kψ + G = 0,
x ∈ (0, 1),
(69)
00
es decir si elegimos ψ tal que ψ = −G/k, la ecuaci´on (68) es homog´enea. Integrando directamente dos veces la ecuaci´on (69) se tiene:
ψ(x) = −
G 2 x + c1 x + c2 2k
siendo c1 y c2 constantes arbitrarias de integraci´on que se determinan mediante las condiciones de contorno u(0, t) = 0 = v(0, t) + ψ(0) = v(0, t) + c2 , y
u(1, t) = B = v(1, t) + ψ(1) = v(1, t) −
G + c1 + c2 2k
de donde se deduce (imponiendo que la componente v de la soluci´on verifique condiciones de tipo Dirichlet homog´eneas v(0, t) = v(1, t) = 0)
c2 = 0,
c1 =
G +B 2k
Por tanto la funci´on estacionaria buscada que permite obtener un problema homog´eneo para la variable v(x, t) es: G ψ(x) = − x2 + 2k
µ
¶ G +B x 2k
62
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
La condici´ on inicial La condici´on inicial u(x, 0) = v(x, 0) + ψ(x) implica que G v(x, 0) = u(x, 0) − ψ(x) = f (x) − ψ(x) = f (x) + x2 − 2k
µ
¶ G . + B x = v0 (x) 2k
luego para determinar v(x, t) nos hemos reconducido a resolver el problema de valor inicial y de contorno ∂v ∂t v(0, t) v(1, t) v(x, 0)
∂ 2v , 0 < x < 1, t > 0 ∂x2 = 0 x=0 t>0 = k
= 0
x=1
t>0
= v0 (x)
0
t=0
(70)
siendo G v0 (x) = f (x) − ψ(x) = f (x) + x2 − 2k
µ
¶ G +B x 2k
Ahora s´ı es posible aplicar separaci´on de variables pues el problema (70) es homog´eneo tanto en la ecuaci´on cuanto en las condiciones de contorno. Razonando como de costumbre se llega a la expresi´on de la soluci´on v(x, t) del problema (70) dada por
v(x, t) =
∞ X
An sin(nπx)e−kn
2 π2 t
n=1
en donde Z
1
An = 2 0
·
G f (x) + x2 − 2k
µ
¶ ¸ G + B x sin(nπx)dx 2k
Con estos valores de los coeficientes cn se obtiene finalmente una soluci´on del problema original sumando las f´ormulas para la v(x, t) y la ψ(x): G u(x, t) = − x2 + 2k
µ
¶ ∞ X G 2 2 +B x+ An sin(nπx)e−kn π t 2k n=1
9. Ecuaciones no homog´eneas y condiciones en la frontera
63
Seguiremos analizando la ecuaci´on de difusi´on para demostrar otras posibles complicaciones en los problemas de valores iniciales y de contorno. Para ello supondremos que el t´ermino de reacci´on es estacionario (y no constante). En concreto Ejemplo 9.2. Consideraremos el proceso de conducci´ on de calor entre dos placas paralelas de espesor L, siendo u(x, t) la temperatura y x la coordenada vertical. Inclu´ımos un t´ermino de reacci´ on estacionario en el interior de las placas luego la ecuaci´ on que gobierna la temperatura es ∂u ∂ 2u = k 2 + q(x), 0 < x < L, t > 0 ∂t ∂x Suponiendo una distribuci´on inicial de temperaturas no uniforme entre las dos placas, u(x, 0) = f (x), 0
t>0
es: ∂u ∂ 2u = k 2 + q(x), 0 < x < L, t > 0 ∂t ∂x ∂u = A, x = 0, t > 0, ∂x u = B, x = L, t > 0,
u(x, 0) = f (x),
0 < x < L, t = 0
siendo A, B constantes. Todos los t´erminos de reacci´on son independientes del tiempo luego es l´ogico esperarse, para tiempos grandes, una soluci´on estacionaria. Utilizando la linealidad del problema, dividimos la soluci´on en dos partes: un estado estacionario ψ(x) y la parte transitoria v(x, t). Es decir, buscaremos una soluci´on del tipo u(x, t) = v(x, t) + ψ(x) El estado estacionario tiene que verificar 00 kψ (x) = −q(x), 0 < x < L, ψ 0 (0) = A x=0 ψ(L) = B x=L
64
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
y resolviendo por doble integraci´on (primero en (0, x) luego en (x, L)) se tiene la expresi´on expl´ıcita del estado estacionario Z
L
µZ
r
ψ(x) = A(x − L) + B + x
0
¶ q(s) ds dr k
La parte transitoria de la soluci´on tiene que verificar
∂ 2v ∂v = k 2, ∂t ∂x ∂v = 0, ∂x v = 0,
0 < x < L, t > 0 x = 0,
t > 0,
x = L,
t > 0,
v(x, 0) = f (x) − ψ(x) = v0 (x), 0 < x < L, t = 0
siendo ahora la EDP y las condiciones de contorno homog´eneas (la condici´on inicial sigue siendo no homog´enea pero esto no impide la aplicaci´on del m´etodo de separaci´on de variables). La soluci´on se puede encontrar como en el ejemplo anterior.
Sea v(x, t) = X(x)T (t) Introduciendo la constante de separaci´on λ2 sustituimos en la ecuaci´on para obtener: 00
X T0 = = −λ2 X kT lo que implica: T 0 + λ2 kT = 0,
∀t > 0
00
X + λ2 X = 0,
∀ x ∈ (0, L)
siendo por tanto las soluciones generales: ¡ ¢ T (t) = exp −kλ2 t , X(x) = A sin(λx) + B cos(λx) A partir de las condiciones de contorno originarias sobre u se tienen que verificar las siguientes condiciones homog´eneas para las autofunciones X 0 (0) = 0,
X(L) = 0
luego A = 0 y la condici´on que determina los autovalores (la ecuaci´on caracter´ıstica) es
9. Ecuaciones no homog´eneas y condiciones en la frontera
65
cos(λL) = 0 Se deduce que los (infinitos) autovalores vienen dados por µ ¶ 1 π λn = n + , 2 L
n = 0, 1, 2, ...
siendo las autofunciones dadas por ¶ ¸ ·µ 1 πx , Xn (x) = cos n + 2 L
n = 0, 1, 2, ...
luego la soluci´on general de la ecuaci´on es (por superposici´on): ¶ ¸ ·µ ¡ ¢ 1 πx exp −λ2n kt v(x, t) = an cos n + 2 L n=0 ∞ X
N´otese que la serie empieza con el valor n = 0 puesto que la autofunci´on correspondiente X0 (x) = cos
³ πx ´
2L no es id´enticamente nula. Aplicando la condici´on inicial ·µ ¶ ¸ 1 πx v0 (x) = an cos n + 2 L n=0 ∞ X
Multiplicando la igualdad anterior por las autofunciones Xn (x), integrando de 0 a L y utilizando la ortogonalidad se llega a la expresi´on de los coeficientes 2 an = L
Z
L 0
·µ ¶ ¸ 1 πx v0 (x) cos n + dx 2 L
n = 0, 1, 2, ...
luego la soluci´on del problema homog´eneo es
∞
2X v(x, t) = L n=0
µZ
·µ
L
v0 (x) cos 0
1 n+ 2
¶
¸ ¶ ·µ ¶ ¸ πx 1 πx −λ2n kt dx cos n + e L 2 L
y la soluci´on del problema originario es Z
L
µZ
r
u(x, t) = v(x, t) + ψ(x) = A(x − L) + B + x
0
¶ q(s) ds dr+ k
66
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
∞
2X + L n=0
µZ
L 0
·µ ¶ ¸ ¶ ·µ ¶ ¸ 1 πx 1 πx −λ2n kt v0 (x) cos n + dx cos n + e 2 L 2 L
En el ejemplo que presentamos a continuaci´on el t´ermino de reacci´on depende del espacio y del tiempo. Se imponen adem´as condiciones transitorias (dependientes del tiempo) en la frontera: Ejemplo 9.3. Consideremos el problema de valores iniciales y de contorno no homog´eneo definido por ∂u ∂ 2u = k 2 + q(x, t), 0 < x < L, t > 0 ∂t ∂x Suponiendo una distribuci´on inicial de temperaturas no uniforme entre las dos placas, u(x, 0) = f (x), 00 ∂x determinar la temperatura entre las dos placas. El problema a resolver es: ∂u = ∂t ∂u = ∂x u = u =
k
∂ 2u + q(x, t), 0 < x < L, t > 0 ∂x2
A(t),
x = 0,
t > 0,
B(t),
x = L,
t > 0,
f (x),
0 < x < L, t = 0
siendo A(t), B(t) funciones dadas y conocidas. Buscaremos en este caso una soluci´on del tipo u(x, t) = W (x, t) + K(x, t) Sustituyendo se tiene que las funciones (desconocidas) W (x, t) y K(x, t) tienen que verificar ∂ 2W ∂K ∂ 2 K ∂W −k + − = q(x, t), 0 < x < L, ∂t ∂x2 ∂t ∂x2 ∂W ∂K + = A(t) x=0 ∂x ∂x W + K = B(t), x = L, W + K = f (x) t=0
9. Ecuaciones no homog´eneas y condiciones en la frontera
67
Elegimos K tal que satisfaga las condiciones de contorno ∂K(0, t) = A(t), ∂x
K(L, t) = B(t)
es decir K(x, t) = A(t)(x − L) + B(t).
(71)
La componente W (x, t) de la soluci´on tendr´a por tanto que verificar ∂W ∂ 2W −k = q(x, t) − A0 (t)(x − L) − B 0 (t) ≡ Q(x, t) ∂t ∂x2
(72)
con las condiciones de contorno honog´eneas ∂W (0, t) = 0, ∂x
W (L, t) = 0
y la condici´on inicial modificada W (x, 0) = f (x) − A(0)(x − L) − B(0) ≡ W0 (x).
(73)
Para encontrar la W (x, t), utilizamos las autofunciones que satisfacen las condiciones de contorno homog´eneas y desarrollamos en serie escribiendo ·µ ¶ ¸ 1 πx W (x, t) = Tn (t) cos n + 2 L n=0 ∞ X
(74)
Los coeficientes temporales Tn (t) que aparecen en el desarrollo en serie son funciones (desconocidas) del tiempo t. Para poderlos determinar, sustituimos la expresi´on de W (x, t) en la ecuaci´on (72) obteniendo: ( ) ·µ ¶ ¸2 ·µ ¶ ¸ ∞ X 1 π 1 πx 0 Tn + n + kTn cos n + = Q(x, t) 2 L 2 L n=0 Multiplicando ambos t´erminos por las autofunciones ·µ ¶ ¸ 1 πx cos n + 2 L integrando en (0, L) y aplicando la propiedad de ortogonalidad de las autofunciones se tiene:
68
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
(
·µ 0
Tn +
1 n+ 2
¶
π L
)
¸2 kTn
2 = L
Z
·µ
L
Q(x, t) cos 0
1 n+ 2
¶
¸ πx dx ≡ Qn (t) L
que es un problema de valores iniciales no homog´eneo para Tn (t). La condici´on inicial se determina a partir de (2):
W (x, 0) = W0 (x) =
∞ X
·µ Tn (0) cos
n=0
1 n+ 2
¶
πx L
¸
y se deduce (por ortogonalidad) que las constantes Tn (0) est´an dadas por 2 Tn (0) = L
Z
·µ
L
W0 (x) cos 0
1 n+ 2
¶
¸ πx dx L
Finalmente, el problema de valores iniciales no homog´eneo para las Tn (t) es exp (−λn kt) [exp (λn kt) Tn ]0 = Qn (t) siendo ·µ λn =
1 n+ 2
¶
π L
¸2
Integrando en (0, t) se tiene Z
t
Tn (t) = Tn (0)exp (−λn kt) +
Qn (τ )exp (−λn k(t − τ )) dτ
(75)
0
La soluci´on matem´atica es ahora completa utilizando las expresiones (75) para las Tn (t), (74) para la W (x, t) y (71) para la K(x, t):
u(x, t) =
∞ µ X n=0
Z
¶
t
Tn (0)exp (−λn kt) +
Qn (τ )exp (−λn k(t − τ )) dτ 0
+A(t)(x − L) + B(t).
·µ cos
1 n+ 2
¶
¸ πx + L
9. Ecuaciones no homog´eneas y condiciones en la frontera
9.1.
69
Empleo de series de Fourier generalizadas
Consideraremos ahora unos problemas de valor inicial y de contorno que no conducen a las series de Fourier cl´asicas sino a las series de Fourier generalizadas (v´ease la definici´on (3.2)). Para cierto tipo de condiciones en la frontera, el m´etodo de separaci´on de variables y el principio de superposici´on conducen en efecto al desarrollo de una funci´on en forma de serie trigonom´etrica que no es serie de Fourier. Para resolver estos problemas se usa el concepto de serie de Fourier generalizada
9.2.
Ejemplos y aplicaciones
Ejemplo 9.4. La temperatura en una varilla de longitud unitaria en que la transmisi´ on de calor se produce de su extremo derecho a su extremos izquierdo, extremo en donde la temperatura permanece siempre nula, se determina a partir del siguiente problema modelo
∂u ∂ 2u = k 2, ∂t ∂x u(0, t) = 0
0 < x < 1, t > 0 x=0
∂u − (1, t) = hu(1, t) x = 1 ∂x u(x, 0) = 1 0
t>0 t>0 t=0
siendo h > 0. Determinar u(x, t). Utilizando separaci´on de variables, buscaremos una soluci´on del tipo u = X(x)T (t). Introduciendo la constante de separaci´on λ2 sustituimos en la ecuaci´on para obtener: 00
X T0 = = −λ2 X kT (λ ∈ IR) lo que implica: 00
T 0 + λ2 kT = 0,
X + λ2 X = 0,
siendo por tanto las soluciones generales: 2
T (t) = Ce−kλ t ,
X(x) = c1 cos(λx) + c2 sin(λx)
A partir de las condiciones de contorno originales sobre u se tiene X(0) = 0,
X 0 (1) = −hX(1)
70
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
luego c1 = 0. Las autofunciones son del tipo X(x) = c2 sin(λx). Derivando (para poder aplicar la condici´on de contorno de tipo mixto en el extremo derecho), se tiene X 0 (x) = λc2 cos(λx) luego al aplicar la segunda condici´on se tiene λc2 cos(λ) = −hc2 sin(λ)
(76)
y como c2 6= 0 (de lo contrario las autofunciones ser´ıan funciones identicamente nulas lo que es absurdo por la definici´on de autofunci´on) la condici´on (ecuaci´on caracter´ıstica) que determina los autovalores es tan(λ) = −
λ h
(77)
La ecuaci´on trascendente20 obtenida tiene una cantidad infinita y numerable de ra´ıces λn h que representan los valores propios del problema. Sus funciones propias correspondientes son: Xn (x) = c2 sin(λn x), n = 1, 2, 3, .... λn > 0 tales que
tan(λn ) = −
Los correspondiente factores temporales son 2
Tn (t) = Ce−kλn t luego ¡ ¢ un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cn sin(λn x)exp −kλ2n t ,
n = 1, 2, 3, ...
La soluci´on general de la ecuaci´on es (al menos formalmente y aplicando el principio de superposici´on): 20
Una ecuaci´on se dice trascendente si en ella aparecen funciones no algebraicas, es decir logar´ıtmicas, exponenciales y/o trigonom´etricas.
9. Ecuaciones no homog´eneas y condiciones en la frontera
u(x, t) =
∞ X
71
An sin(λn x)exp(−kλ2n t)
n=0
Aplicando la condici´on inicial u(x, 0) = 1 para 0 < x < 1, se tiene
1=
∞ X
An sin(λn x)
n=1
La serie anterior no es una serie de senos de Fourier (puesto que el argumento del seno no es un m´ ultiplo entero de πx/L, L = 1 en este caso), sino un desarrollo en t´erminos de las funciones ortogonales que se producen en el problema regular de Sturm-Liouville que consiste en el problema de autovalores asociado a la componente espacial X(x). Por consiguiente el conjunto de las funciones propias {sin(λn x)}, n = 1, 2, 3, ..., en que las λ se definen mediante tan λ = −λ/h es ortogonal con respecto a la funci´on peso p(x) = 1 en el intervalo [0, 1]. La f´ormula general de los coeficientes espectrales cn para series de Fourier generalizadas de una funci´on f (x), siendo {φn (x)} un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a, b] es Z cn =
b a
f (x)φn (x)dx kφn (x)k2
,
f (x) =
∞ X
cn φn (x)
n=1
En nuestro caso la f´ormula ser´a Z
Z
1
1
Xn (x)dx cn =
0
kXn (x)k2
sin(λn x)dx =
Z 01
(78) 2
sin (λn x)dx 0
Calculamos por separado las dos integrales. Para evaluar la norma cuadr´atica que aparece en el denominador de la expresi´on (78) se recurre a una identidad trigonom´etrica: ¸ · Z 1 Z 1 1 1 1 2 2 kXn (x)k = sin (λn x)dx = [1 − cos(2λn x)]dx = sin(2λn ) 1− 2 0 2 2λn 0 Puesto que sin(2λn ) = 2 sin(λn ) cos(λn ) y que la ecuaci´on caracter´ıstica (76) se escribe en t´erminos de λn en la forma λn cos(λn ) = −h sin(λn ) podemos simplificar la expresi´on anterior de la norma de las autofunciones:
72
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Z
1
2
kXn (x)k =
sin2 (λn x)dx =
0
1 [h + cos2 (λn )] 2h
La integral que aparece en el numerador de la expresi´on (78) es elemental (en el sentido que se resuelve por integraci´on directa) Z
1
sin(λn x)dx = − 0
1 1 cos(λn x)|x=1 [1 − cos(λn )] x=0 = λn λn
Las constantes cn se pueden por tanto expresar en la forma cn =
2h[1 − cos(λn )] λn [h + cos2 (λn )]
La soluci´on del problema de valor inicial y de contorno es
u(x, t) =
∞ X n=0
10.
−kλ2n t
An sin(λn x)e
= 2h
∞ · X n=0
¸ 1 − cos(λn ) 2 sin(λn x)e−kλn t 2 λn [h + cos (λn )]
Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
La ecuaci´on de Euler-Cauchy, la ecuaci´on de Bessel y la ecuaci´on de Legendre aparecen con frecuencia en estudios superiores de matem´aticas aplicadas, f´ısica e ingenier´ıa21 . Tras ilustrar los casos generales que originan estas ecuaciones pasaremos a estudiar algunos ejemplos concretos. Recordaremos finalmente los resultados m´as importantes que ata˜ nen a estas ecuaciones especiales.
10.1.
Problemas en coordenadas cil´ındricas
Para el caso m´as general de problemas en coordenadas cil´ındricas debemos determinar una funci´on Θ = Θ(r, z, θ, t) Cuando no existe t´ermino de reacci´on (ni t´erminos convectivos ni se consideran fen´omenos de disipaci´on o absorci´on), la ecuaci´on adimensional de la energ´ıa o de conservaci´on de las especies es 21
Otras ecuaciones que aparecen bastante a menudo son la ecuaci´on diferencial de Laguerre y la ecuaci´on diferencial de Hermite. Ambas ecuaciones tienen soluciones polinomiales, se pueden escribir en forma autoadjunta y sus autofunciones son ortogonales.
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
73
µ ¶ ∂Θ 1 ∂ 2Θ 1 ∂ ∂Θ ∂2Θ = r + + (79) ∂t r ∂r ∂r ∂z 2 r2 ∂θ2 En ocasiones la ecuaci´on anterior puede simplificarse si resultan admisibles algunas hip´otesis simplificadoras que pueden reducir la ecuaci´on (79) a las siguientes formas: 1. Caso estacionario y axisim´etrico. La soluci´on se supone independiente de θ y de t, es decir Θ(r, z, θ, t) = Θ(r, z). En este caso bidimensional (pues Θ depende s´olo de (r, z), la ecuaci´on (79) se transforma en µ ¶ 1 ∂ ∂Θ ∂ 2Θ r + =0 (80) r ∂r ∂r ∂z 2 Para Θ(r, z) el problema de autovalores en z tendr´a el mismo operador diferencial que aparece en coordenadas rectangulares. Sea, en efecto Θ(r, z) = R(r)Z(z), entonces se tiene ¶ dR r 00 Z dr =− = −λ R Z luego el problema de autovalores en la variable z es 1 d r dr
µ
00
Z − λZ = 0 El problema de autovalores en r involucra una ecuaci´on todav´ıa no considerada, conocida con el nombre de ecuaci´ on de Bessel: µ ¶ d dR r + λrR = 0 dr dr Utilizando la expresi´on (65) e identificando las funciones coeficientes que ah´ı aparecen en la forma: r(x) = x,
q(x) = 0,
p(x) = x
vemos que el problema de autovalores asociado a la variable r es un problema del tipo de Sturm-Liouville luego sabemos que existen infinitos autovalores e infinitas autofunciones ortogonales. No podemos, de momento, decir m´as. Necesitamos para ello resolver la ecuaci´on de Bessel (cosa que haremos en el apartado (10.5) en este tema).
74
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
2. Caso estacionario y comportamiento plano de la soluci´on. La soluci´on se supone independiente de z y de t, es decir Θ(r, z, θ, t) = Θ(r, θ). En este caso bidimensional (pues Θ depende s´olo de (r, θ), es decir Θ(r, θ)) la ecuaci´on (79) se transforma en 1 ∂ r ∂r
µ
∂Θ r ∂r
¶ +
1 ∂2Θ =0 r2 ∂θ2
(81)
Para Θ(r, θ) el problema de autovalores en θ tendr´a nuevamente el mismo operador diferencial que aparece en coordenadas rectangulares. La u ´nica novedad (de este tipo de problemas que no presentan simetr´ıa axial) aparece en las condiciones de contorno que ser´an peri´odicas. El problema de autovalores en r es del tipo d dr
µ
dR r dr
¶
λ + R=0 r
que es una ecuaci´on del tipo de Euler-Cauchy. Utilizando la expresi´on (65) e identificando las funciones coeficientes que ah´ı aparecen en la forma: 1 x vemos que el problema de autovalores asociado a la variable r es un problema del tipo de Sturm-Liouville luego sabemos que existen infinitos autovalores e infinitas autofunciones ortogonales. No podemos, de momento, decir m´as. Necesitamos para ello resolver la ecuaci´on de Euler-Cauchy (cosa que haremos en el apartado (10.2.4) en este tema). r(x) = x,
q(x) = 0,
p(x) =
3. Caso evolutivo y comportamiento radial de la soluci´on. La soluci´on se supone independiente de z y θ, es decir Θ(r, z, θ, t) = Θ(r, t). En este caso la ecuaci´on (79) se transforma en µ ¶ ∂Θ 1 ∂ ∂Θ = r ∂t r ∂r ∂r
(82)
El problema de autovalores en r es, nuevamente, una ecuaci´on de Bessel. M´as en general se tiene un problema de autovalores del tipo de Sturm-Liouville.
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
10.2.
75
El problema de Dirichlet en el disco para la ecuaci´ on de Laplace
El objetivo de esta secci´on es ilustrar la importancia de la ecuaci´on de Euler-Cauchy en la resoluci´on del problema de valores de contorno para la ecuaci´on de Laplace ( ∆u(x, y) = 0, (x, y) ∈ DR , (83) u(x, y) = f (arctan(y/x)) (x, y) ∈ ∂DR donde
DR = {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 < R2 },
∂DR = {(x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 = R2 }
y f (θ) es una funci´on real (dato del problema) que por la naturaleza del modelo supondremos que es continua y 2π peri´odica: f (θ + 2π) = f (θ),
θ ∈ [0, 2π]
Desde el punto de vista de las aplicaciones el problema de valores de contorno equivale a la determinaci´on de la distribuci´on de concentraciones en condiciones estacionarias de una sustancia que se difunde en un disco, a partir de la distribuci´on de concentraciones en el borde. Tambi´en equivale a la determinaci´on de la distribuci´on de temperaturas en cada punto de un disco en condiciones estacionarias a partir de la distribuci´on de temperaturas en el borde del disco. 10.2.1.
Cambio a coordenadas polares
Con el objeto de poder separar variables para resolver el problema de contorno efectuaremos el siguiente cambio a coordenadas polares r=
p
x2 + y 2 ,
θ = arctan
³y´ x
,
siendo v(r, θ) definida por v(r, θ) = u(x, y) la nueva variable dependiente. Utilizando la regla de la cadena se obtiene ux = vr rx + vθ θx = vr y
x y − vθ 2 r r
76
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
2xy r 2 − x2 y x uxx = (vrr rx + vrθ θx ) + vr − (vθr rx + vθθ θx ) 2 + vθ 4 = 3 r r r r 2 2 2 2 x xy y r −x 2xy = vrr 2 − 2vrθ 3 + vθθ 4 + vr + vθ 4 3 r r r r r An´alogamente:
y
y x uy = vr ry + vθ θy = vr + vθ 2 r r
y r2 − y 2 x 2xy uyy = (vrr ry + vrθ θy ) + vr + (v r + v θ ) − v = θr y θθ y θ r r3 r2 r4 y2 xy x2 r2 − y 2 2xy = vrr 2 + 2vrθ 3 + vθθ 4 + vr − v θ r r r r3 r4 Sumando las dos expresiones, uxx + uyy se tiene que v(r, θ) debe ser soluci´on del problema de valores de contorno 1 1 vrr + vr + 2 vθθ = 0, r ∈ (0, R), θ ∈ [0, 2π] r r v(R, θ) = f (θ) r = R, θ ∈ [0, 2π] v(r, θ + 2π) = v(r, θ) r ∈ [0, R], θ ∈ [0, 2π]
(84)
La condici´on de periodicidad v(r, θ + 2π) = v(r, θ) hay que imponerla a causa del significado de las coordenadas polares. Adem´as, debido a la naturaleza del problema bajo estudio, hemos de imponer la siguiente restricci´on de car´acter f´ısico: v(r, θ) < ∞,
∀ (r, θ) ∈ [0, R] × [0, 2π]
(85)
es decir: las soluciones f´ısicamente admisibles (matem´aticamente puede haber otras) tienen que ser acotadas. 10.2.2.
Resoluci´ on del problema de Dirichlet
Para la resoluci´on del problema de contorno constituido por (84) y (85) utilizaremos el m´etodo de separaci´on de variables, buscando en primer lugar funciones de la forma v(r, θ) = X(r)Θ(θ) que resuelvan la ecuaci´on en (84), que sean 2π peri´odicas en la variable θ y que est´en acotadas para r ∈ (0, R). Sustituyendo en la ecuaci´on diferencial y separando variables se obtiene
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
00
0
77
00
r2 X (r) rX (r) Θ (θ) + =− X(r) X(r) Θ(θ) El primer miembro de esta ecuaci´on es independiente de θ mientras que el segundo es independiente de r. Por consiguiente, ya que coinciden, los dos tienen que ser independientes de r y de θ, de donde se deduce la existencia de una constante (de separaci´on) λ tal que 00
0
00
r2 X (r) rX (r) Θ (θ) + =− =λ X(r) X(r) Θ(θ) Por lo tanto tiene que existir un n´ umero real λ (si es que existen soluciones del tipo producto buscado) para el que se verifiquen simult´aneamente el siguiente par de ecuaciones diferenciales ordinarias 00
r2 X (r) + rX 0 (r) − λX(r) = 0,
r ∈ (0, R),
(86)
y 00
−Θ (θ) = λΘ(θ),
θ ∈ [0, 2π]
(87)
Por otro lado, como queremos que X(r)Θ(θ) sea 2π peri´odica en la variable θ y que est´e acotada para r ∈ [0, R], hemos de imponer la siguiente condici´on de periodicidad Θ(θ + 2π) = Θ(θ),
θ ∈ [0, 2π]
(88)
y la siguiente condici´on de acotaci´on X(r) < ∞, 10.2.3.
∀ r ∈ [0, R]
(89)
Resoluci´ on de los problemas de autovalores asociados
Resolveremos en primer lugar el problema (
00
−Θ (θ) = λΘ(θ) r ∈ (0, R), Θ(θ + 2π) = Θ(θ)
θ ∈ [0, 2π]
Hemos de distinguir tres casos. 1. caso: λ < 0. Entonces la soluci´on general de la EDO es Θ(θ) = Ae
√ −λθ
+ Be−
√ −λθ
(90)
78
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
que no es peri´odica a menos que A = B = 0. Estos valores nos proporcionan por tanto la soluci´on v(r, θ) ≡ 0, que ya sabemos que es la soluci´on trivial. 2. caso: λ = 0. En este caso la soluci´on general de la EDO es Θ(θ) = A + Bθ y, puesto que tiene que ser peri´odica se deduce que B = 0 luego Θ(θ) = A. Consideremos ahora la EDO (que es una ecuaci´on diferencial ordinaria con coeficientes variables del tipo de Euler-Cauchy, como veremos a continuaci´on) 00
r2 X (r) + rX 0 (r) − λX(r) = 0,
r ∈ (0, R)
Cuando λ = 0 se tiene 00
r2 X (r) + rX 0 (r) = 0,
r ∈ (0, R)
y la soluci´on general es X(r) = a + b ln r Para que X(r) est´e acotada en (0, R) hemos de imponer b = 0. Por tanto el valor λ = 0 nos proporciona las constantes como soluciones acotadas y 2π peri´odicas. 3. caso: λ > 0. En tal caso la soluci´on general de (87) es √ λθ
Θ(θ) = Aei
√
+ Be−i
λθ
siendo i la unidad imaginaria compleja. Aplicando las condiciones de periodicidad (88) para la funci´on Θ la funci´on Θ(θ) es 2π peri´odica si, y s´olo si, λ = n2 , n ≥ 1; Estos hechos nos delimitan el conjunto de posibles soluciones al siguiente: Θn (θ) = An einθ + Bn e−inθ
(91)
para cada n = 1, 2, ... Observemos que para n = 0 (λ = 0), la relaci´on (91) proporciona las constantes que aparecieron en el caso anterior. El problema de autovalores (86) no puede ser resuelto con los m´etodos anteriores. Para ello necesitamos introducir las ecuaciones del tipo de Euler-Cauchy.
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
10.2.4.
79
La ecuaci´ on de Euler-Cauchy
Toda ecuaci´on diferencial lineal de la forma n−1 dn u u du n−1 d (92) + a x + ....... + a1 x + a0 u = g(x) n−1 n n−1 dx dx dx donde los coeficientes an , an−1 , ..., a0 son constantes, se llama ecuaci´ on de EulerCauchy o ecuaci´ on equidimensional. La caracter´ıstica observable de este tipo de ecuaciones es que el grado k = n, n − 1, ...., 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de la diferenciaci´on, dk u/dxk . N´otese que toda ecuaci´on de Euler siempre se puede escribir en la forma de una ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes, mediante la sustituci´on x = et . La idea es resolver la nueva ecuaci´on diferencial en t´erminos de la variable t (siguiendo los m´etodos del tema 13 de la asignatura de Elementos de Matem´aticas del primer curso), y una vez obtenida la soluci´on general, sustituir t = ln x. La expresi´on de la soluci´on general de la ecuaci´on de Euler puede sin embargo obtenerse f´acilmente como se muestra en el siguiente razonamiento. Por simplicidad consideraremos que n = 2 (y dejamos al lector la sencilla tarea de extender el procedimiento a valores de n superiores. En tal caso la ecuaci´on (92) se reduce a
an xn
d2 u du + bx + cu = 0 (93) 2 dx dx El m´etodo de resoluci´on de (93) consiste en buscar una soluci´on del tipo u = xm , donde m est´a por determinar. Al sustituir en la ecuaci´on (93) se verifica que u = xm es una soluci´on de (93) siempre que m sea una ra´ız de la ecuaci´ on auxiliar ax2
am2 + (b − a)m + c = 0
(94)
Se consideran tres casos distintos, dependiendo de si las ra´ıces de esta ecuaci´on cuadr´atica son reales y distintas, reales m´ ultiples (una doble) o complejas conjugadas. Primer Caso: ra´ıces reales distintas Sean m1 y m2 las ra´ıces reales de (94), tales que m1 6= m2 . Entonces u1 = xm1 ,
u2 = xm2
forman un conjunto fundamental de soluciones. La soluci´on general es: u = c1 xm1 + c2 xm2
80
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Segundo Caso: ra´ıces reales m´ ultiples Sean m1 y m2 las ra´ıces reales de (94), tales que m1 = m2 = m. Entonces u1 = x m ,
u2 = xm ln x
forman un conjunto fundamental de soluciones. La soluci´on general es: u = c1 xm + c2 xm ln x Para las ecuaciones de orden superior se puede demostrar que si m es ra´ız de multiplicidad k entonces xm ,
xm ln x,
xm (ln x)2 , ........ , xm (ln x)k−1
son k soluciones linealmente independientes. En consecuencia la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial debe contener una combinaci´on lineal de esas k soluciones particulares. Tercer Caso: ra´ıces complejas Sean m1 = α + iβ y m2 = α − iβ las ra´ıces complejas de la ecuaci´on auxiliar (94). Entonces las funciones u1 = xα cos(β ln x),
u2 = xα sin(β ln x)
forman un conjunto fundamental de soluciones. La soluci´on general es: u = xα [c1 cos(β ln x) + c2 sin(β ln x)] 10.2.5.
Aplicaci´ on de la resoluci´ on de la ecuaci´ on de Euler-Cauchy al problema de Dirichlet en el disco
. Volvamos ahora a la resoluci´on del problema de contorno de Dirichlet en el disco para la ecuaci´on de Laplace (83). El an´alisis anterior nos dijo que la soluciones peri´odicas de (87) est´an asociadas a valores de λ = n2 (es decir positivos). En tal caso, su expresi´on viene dada por (91). Pasando al problema asociado a la ecuaci´on de Euler-Cauchy dada en (86) vemos que la ecuaci´on auxiliar es m2 = λ luego √ m = ± λ son las ra´ıces de la ecuaci´on. Puesto que λ > 0, se tiene que m ∈ IR. En tal caso la soluci´on general de (86) es
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
X(r) = ar
√
λ
+ br−
√ λ
81
,
Aplicando la condici´on de acotaci´on (89) para la funci´on X se tiene que b = 0. Estos hechos nos delimitan el conjunto de posibles soluciones al siguiente: Xn (r) = an rn ,
(95)
Utilizando (91), (95) y tomando superposiciones arbitrarias de vn (r, θ) = Xn (r)Θn (θ),
n≥0
nos vemos abocados a intentar como soluci´on del problema de Dirichlet en el disco la siguiente n=∞ X
v(r, θ) =
cn r|n| einθ
(96)
n=−∞
donde los coeficientes cn tendr´an que ser calculados de tal manera que se verifique la condici´on de contorno v(R, θ) = f (θ). Es decir
v(R, θ) =
n=∞ X
cn R|n| einθ = f (θ)
(97)
n=−∞
Para calcular los coeficientes de este desarrollo en serie de Fourier de f utilizaremos el hecho que Z π
eikθ dθ = 0,
−π
para todo k entero y no nulo: k 6= 0. Fijemos un entero N arbitrario. Multipliquemos ambos lados de (97) por e−iN θ e integremos en θ entre −π y π. Entonces calculando formalmente la integral de la serie obtenemos Z
Z
π
−iN θ
f (θ)e
dθ =
−π
=
π n=∞ X
cn R|n| ei(n−N )θ dθ =
−π n=−∞ n=∞ X n=−∞
Z cn R
|n|
π
ei(n−N )θ dθ = cN R|N | 2π
−π
de donde se concluye que los coeficientes cN deber´ıan venir dados por la f´ormula
82
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
1 1 cN = |N | R 2π
Z
π
f (θ)e−iN θ dθ,
N = 0, ±1, ±2, .....
−π
Sustituyendo esta expresi´on en (96) obtenemos la soluci´on (a priori formal) del problema de valores de contorno de Dirichlet en el disco asociado a la ecuaci´on de Laplace bidimensional (83): ¶ ³ r ´|n| µ 1 Z π −int v(r, θ) = f (t)e dt einθ R 2π −π n=−∞ n=∞ X
(98)
Dado que los c´alculos efectuados son rigurosos para r < R, la funci´on definida en (98) es una soluci´on de la ecuaci´on de Laplace en el disco. Adem´as es 2π peri´odica en la variable θ y est´a acotada en subconjuntos compactos del disco. Para comprobar que v(r, θ) es la soluci´on del problema s´olo nos hace falta comprobar que verifica la condici´on de Dirichlet en el borde del disco v(R, θ) = f (θ),
∀θ
Aqu´ı surge una peque˜ na complicaci´on proveniente del hecho que los c´alculos efectuados anteriormente dejan de tener validez cuando r = R. Esta aparente complicaci´on la resuelve un resultado conocido con el nombre de Teorema de Poisson22 que afirma que si f es continua y 2π peri´odica, entonces l´ım v(r, θ) = f (θ)
r→R
siendo la convergencia anterior uniforme en la variable θ. Adem´as la funci´on v(r, θ) dada en (98) es una soluci´on del problema de valores de contorno (83). Tambi´en es posible comprobar f´acilmente que es la u ´nica soluci´on del problema.
10.3.
Conducci´ on del calor estacionaria en un c´ırculo
En el ejemplo que presentamos a continuaci´on se resume el proceso de resoluci´on de conducci´on del calor en un c´ırculo. Representaremos la soluci´on del problema desarrollando el dato en el contorno, f (θ), en la forma (m´as habitual) de series trigonom´etricas en lugar de la forma en serie de exponenciales complejas utilizada anteriormente. Tras el ejemplo mostraremos como una (aparentemente) leve modificaci´on de la geometr´ıa del dominio puede ocasionar la p´erdida de la propiedad 22
Las complicaciones t´ecnicas asociadas con este resultado son notables y un tratamiento formal de la teor´ıa necesita introducir los conceptos de n´ ucleo de Poisson, n´ ucleo de Dirichlet, Lema de Riemann-Lebesgue. Tales resultados desbordan los objetivos de este curso y tal vez obscurezcan el resultado final de nuestro an´alisis mediante el cual se ha obtenido la u ´nica soluci´on del problema de contorno asociado a la ecuaci´on de Laplace bidimensional en un disco.
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
83
de ortogonalidad de las autofunciones causando la imposibilidad de un tratamiento anal´ıtico y la necesidad de un tratamiento num´erico para la determinaci´on de los coeficientes espectrales del desarrollo en serie de la soluci´on. Ejemplo 10.1. En equilibrio estacionario, el campo de temperaturas T (r, θ) en un c´ırculo 0 < r < a se gobierna por la ecuaci´ on de Laplace ∇2 T (r, θ) =
∂2T 1 ∂T 1 ∂ 2T + + = 0, ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2
0≤r≤a
Supongamos prefijada la temperatura en el borde del disco (la circunferencia): T (a, θ) = f (θ),
0 ≤ θ ≤ 2π
Obviamente supondremos que la temperatura en el interior del disco es finita: es decir buscaremos soluciones acotadas. Nuevamente, puesto que las condiciones de contorno est´an especificadas mediante una u ´nica coordenada (r = a) podemos intentar aplicar el m´etodo de separaci´on de variables. Buscaremos por tanto una soluci´on en la forma separada: T (r, θ) = R(r)Θ(θ) Sustituyendo en la ecuaci´on de Laplace escrita en coordenadas polares se tiene: µ
¶ 1 0 R 00 R + R Θ+ Θ =0 r r 00
es decir 00
00
r2 R + rR0 Θ =− =λ R Θ siendo λ una constante de separaci´on. Se deduce las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias: 00
r2 R + rR − λR = 0,
0 ≤ r ≤ a,
00
Θ + λΘ = 0,
−π ≤ θ ≤ π
La soluci´on para la variable Θ es √ √ Θ(θ) = A cos( λθ) + B sin( λθ) Puesto que el rango de θ recubre el c´ırculo entero, Θ debe ser peri´ √ odica en θ con periodo 2π, es decir Θ(θ) = Θ(θ + 2π) lo que es posible si y s´olo si λ es un n´ umero entero, λ = n2 , n = 0, 1, 2, ....
84
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Con esta informaci´on volvemos a la ecuaci´on para la R(r) teni´endose: 00
r2 R + rR − n2 R = 0,
0 ≤ r ≤ a,
La anterior es una ecuaci´on del tipo de Euler-Cauchy y admite la soluci´on general: Rn = Cn rn + Dn r−n ,
R0 = C0 + D0 ln r,
n = 1, 2, 3, ...
Puesto que T deber´ıa ser acotada en todo el disco, es necesario imponer Dn = 0, ∀ n. Luego Rn = Cn rn , ∀ n = 0, 1, 2, ... y la soluci´on m´as general para la temperatura es
T (r, θ) =
∞ X
rn (An cos(nθ) + Bn sin(nθ))
n=0
La condici´on de contorno en la frontera del disco implica que:
f (θ) =
∞ X
an (An cos(nθ) + Bn sin(nθ))
n=0
(n´otese que lo anterior es equivalente a desarrollar f (θ) en series de Fourier trigonom´etricas). Los coeficientes del desarrollo se pueden determinar f´acilmente utilizando las propiedades de ortogonalidad de {cos(nθ)} y {sin(nθ)} en el intervalo (−π, π): Z
π
cos(mx) cos(nx)dx = −π
Z
(
π
sin(mx) sin(nx)dx = −π
Z
0 si m 6= n π si m = n 6= 0 2π si m = n = 0 0 si m 6= n π si m = n 6= 0
π
sin(mx) cos(nx)dx = 0,
∀ m, n
−π
Por tanto, los coeficientes An son ²n An = 2πan
Z
π
f (θ) cos(nθ)dθ −π
siendo ²n el s´ımbolo de Jacobi: ²0 = 1, ²n = 2, n = 1, 2, 3, .... Por otra parte los coeficientes Bn son
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
1 Bn = 2πan
Z
85
π
f (θ) sin(nθ)dθ −π
siendo a el radio del c´ırculo. La soluci´on es ahora completa. N´otese que en el centro del disco, r = 0: 1 T (0, θ) = A0 = 2π
Z
π
f (θ)dθ −π
luego la temperatura en el centro del c´ırculo es igual al promedio de los valores de contorno en la circunferencia. Esta f´ormula se conoce con el nombre del teorema del valor principal para funciones arm´onicas. Finalmente observamos lo siguiente: la aplicaci´on rutinaria del m´etodo de separaci´on de variables podr´ıa generar la impresi´on que se trata de un m´etodo infalible. Sin embargo, unas peque˜ nas variaciones de las condiciones en el problema anterior muestran lo f´acil que es desilusionarse. El ´exito de la resoluci´on anterior est´a asociado con la propiedad de ortogonalidad pues en el problema considerado el dominio es el c´ırculo entero. En un c´ırculo incompleto podemos perder las ventajas de la ortogonalidad. Para demostrar esta afirmaci´on consideremos la siguiente modificaci´on del ejemplo de la conducci´on estacionaria de calor. Ejemplo 10.2. Supongamos la existencia de un material aislante a lo largo del radio θ = π, 0 ≤ r < a de modo que no haya flujo de calor a lo largo de este radio: ∂T = 0, ∂θ
0 ≤ r < a,
θ = ±π
En la frontera circular mantenemos prefijada la temperatura: T (a, θ) = f (θ),
−π < θ < π
El dominio f´ısico ya no es el c´ırculo completo. Por separaci´on de variables obtenemos T (r, θ) = rλ [A cos(λθ) + Bλ sin(λθ)] Para que T sea acotada en el origen λ no puede ser negativo (pues tendr´ıamos una singularidad), luego supondremos λ ≥ 0. Las condiciones de aislamiento requieren −λ[A sin(λπ) − B cos(λπ)] = 0,
λ[A sin(λπ) + B cos(λπ)] = 0,
86
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
y puesto que A y B no pueden ser cero simult´aneamente, λ debe ser una soluci´on de la ecuaci´on caracter´ıstica sin(2λπ) = 0 luego λ = λn =
n , 2
n = 0, 1, 2, ...
La soluci´on general es por tanto
w(r, θ) =
h ³n ´ ³ n ´i rn/2 An/2 cos θ + Bn/2 sin θ 2 2 n=0
∞ X
Las condiciones de contorno en la circunferencia r = a requieren que
f (θ) = Las sucesiones
h ³n ´ ³ n ´i an/2 An/2 cos θ + Bn/2 sin θ 2 2 n=0
∞ X
n
³ n ´o n ³ n ´o θ , sin θ 2 2 no son, desafortunadamente, ortogonales en el rango (−π, π) luego los coeficientes An/2 y Bn/2 no se pueden determinar con el procedimiento habitual (multiplicaci´on por autofunciones e integraci´on utilizando la propiedad de ortogonalidad) sino que deben de calcularse con m´etodos num´ericos. cos
10.4.
El problema de Dirichlet en el disco para la ecuaci´ on de difusi´ on
Considereremos el siguiente problema de difusi´on en el disco DR de frontera (la circunferencia) ∂DR µ 2 ¶ ∂C ∂ C ∂ 2C = k + , (x, y) ∈ DR , ∂t ∂x2 ∂y 2 C(x, y, t) = 0 (x, y, t) ∈ ∂DR × (0, ∞) C(x, y, 0) = C0 (x, y) (x, y) ∈ DR
(99)
donde k es el coeficiente de difusi´on y C0 (x, y) es la concentraci´on inicial de la especie qu´ımica bajo consideraci´on. La resoluci´on de (99) mediante el m´etodo de separaci´on de variables consiste en buscar soluciones del tipo C(x, y, t) = T (t)Q(x, y) lo que conduce al siguiente problema de autovalores para el operador de Laplace
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
(
87
−∆Q = λQ, (x, y) ∈ DR , Q(x, y) = 0
(100)
(x, y) ∈ ∂DR
Ya es conocido que los λ para los que el problema de autovalores (100) tiene soluciones no triviales son estrictamente positivos. Por tanto, supondremos que λ > 0. Cambiando a coordenadas polares r=
p
x2 + y 2 ,
θ = arctan
³y´
, x el problema de autovalores (100) se transforma en
v(r, θ) = Q(x, y)
1 1 v + v + v = −λv, r ∈ (0, R), θ ∈ [0, 2π] rr r r r2 θθ v(R, θ) = 0 r = R, θ ∈ [0, 2π]IR v(r, θ + 2π) = v(r, θ) r ∈ [0, R], θ ∈ [0, 2π]IR
(101)
(comp´arese este problema con el problema (84) que se puede recuperar para el valor λ = 0). Por la naturaleza f´ısica de las soluciones buscadas, u ´nicamente estamos interesados en soluciones acotadas. Por tanto hemos de imponer que las soluciones de (101) est´en acotadas para (r, θ) ∈ [0, R] × [0, 2π]. La resoluci´on de (101) se efect´ ua, a su vez, utilizando la separaci´on de variables v(r, θ) = X(r)Θ(θ)
(102)
Sustituyendo (102) en la ecuaci´on diferencial (101) y efectuando algunas manipulaciones elementales se deduce que µ r
2
00
0
X (r) 1 X (r) + +λ X(r) r X(r)
¶
00
Θ (θ) =− , Θ(θ)
0 < r < R,
θ ∈ [0, 2π]
Por consiguiente ha de existir un n´ umero real, digamos µ, para el que se verifiquen simult´aneamente el siguiente par de ecuaciones diferenciales ordinarias ³ 1 µ´ 00 X (r) + X 0 (r) − λ − 2 X(r) = 0, r r
r ∈ (0, R),
y 00
−Θ (θ) = µΘ(θ),
θ ∈ [0, 2π]
(103)
88
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Imponiendo las condiciones de contorno en (101) se obtiene que X y Θ tienen que verificar X(R) = 0,
Θ(θ + 2π) = Θ(θ),
θ ∈ [0, 2π]
(104)
La condici´on de periodicidad sobre Θ implica µn = n 2 ,
n = 0, 1, 2, ...
quedando reducido el problema anterior a la resoluci´on de la siguiente familia de ecuaciones diferenciales µ ¶ 1 0 n2 X (r) + X (r) − λ − 2 X(r) = 0, r r sujetas a las condiciones 00
X(r) < ∞,
0 < r < R,
r ∈ (0, R),
n≥0
X(R) = 0
(105)
(106)
A una ecuaci´on del tipo (105) se la conoce con el nombre de ecuaci´ on de Bessel.
10.5.
La ecuaci´ on de Bessel
Sea u = u(x) una funci´on real de variable real. La ecuaci´on 00
x2 u + xu0 + (x2 − ν 2 )u = 0
(107)
siendo ν ≥ 0 se conoce con el nombre de ecuaci´ on de Bessel de orden ν. La ecuaci´on (107) se puede escribir en la forma d x dx
µ
du x dx
¶ + (x2 − ν 2 )u = 0
Buscamos una soluci´on en la forma (de serie de potencias23 ) u =
∞ X
cn xn+r . Susti-
n=0
tuyendo en la ecuaci´on y tras unas cuantas manipulaciones se obtiene la siguiente expresi´on de los coeficientes cn del desarrollo en serie: c2n = 23
(−1)n 22n+ν n!Γ(1 + ν + n)
Las definiciones y conceptos sobre series de potencias no ser´an aqu´ı considerados. Una referencia pr´actica y sencilla es el libro de Zill, cap´ıtulo 6, donde se considera el proceso de resoluci´on en forma de series de potencias de ecuaciones lineales con coeficientes variables.
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
89
siendo Γ(α) la funci´on Gamma cuya definici´on recordamos a continuaci´on
La funci´ on Gamma La notaci´on usual en forma integral de la Funci´ on Gamma (introducida por el matem´atico franc´es Legendre en 1814) es: Z
∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt,
x>0
(108)
0
A partir de la definici´on se calcula f´acilmente que Γ(1) = 1 e integrando por partes se tiene la f´ ormula recursiva Γ(x + 1) = xΓ(x) Si x es un n´ umero entero se tiene (por la identidad anterior) Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) y se deduce la f´ ormula factorial Γ(n) = (n − 1)! Ocasionalmente, el rango de integraci´on en la definici´on (108) de la funci´on Gamma no es finito y esto define la funci´ on Gamma incompleta: Z
τ
Γ(x, τ ) =
tx−1 e−t dt,
x > 0,
τ >0
(109)
0
10.5.1.
Funciones de Bessel de primera clase
Sustituyendo la expresi´on de los coeficientes c2n en la soluci´on en serie u =
Jν (x) =
n=0
³ x ´2n+ν (−1)n , n!Γ(1 + ν + n) 2
cn xn+r
n=0
se obtienen las funciones ∞ X
∞ X
J−ν (x) =
∞ X n=0
³ x ´2n−ν (−1)n n!Γ(1 − ν + n) 2
que se conocen con el nombre de funciones de Bessel de primera clase o de primera especie. Se puede demostrar que tales expresiones (en principio formales por involucrar series infinitas) convergen en (0, ∞). Sustituyendo x por |x| se puede demostrar que convergen para 0 < |x| < ∞. La convergencia en el cero puede no tener lugar pues dependiendo de los valores de ν pueden aparecer potencias negativas
90
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
en las expresiones anteriores. Notamos finalmente que la funci´on i−ν Jν (ix), siendo i la unidad imaginaria es una funci´on real. Esta funci´on, definida por Iν (x) = i−ν Jν (ix) se llama funci´ on modificada de Bessel de primera clase de orden ν. Es necesario tener un cuidado especial al escribir la soluci´on general de la ecuaci´on de Bessel pues dependiendo de los valores de ν las funciones de Bessel de primera clase pueden ser linealmente dependientes. Se distinguen dos casos principales: ν entero y ν no es entero. 10.5.2.
Soluci´ on general cuando el orden no es entero
Si ν no es un n´ umero entero entonces las funciones de primera clase de Bessel son linealmente independientes. En este caso la soluci´on general es u = a1 Jν (x) + a2 J−ν (x) Ejemplo 10.3. La soluci´on general de
µ
1 x u + xu + x − 4 2
00
0
2
¶ u=0
en (0, ∞) es u = a1 J1/2 (x) + a2 J−1/2 (x) Si ν es un n´ umero entero entonces las funciones de primera clase de Bessel son linealmente dependientes pues Jn (x) = (−1)n J−n (x). Se necesita introducir la siguiente definici´on. 10.5.3.
Funciones de Bessel de segunda clase
La funci´on definida por la combinaci´on lineal cos(νπ)Jν (x) − J−ν (x) sin(νπ) y la funci´on Jν (x) son soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on de Bessel24 . Yν (x) =
24
Si el par´ametro que aparece en la ecuaci´on de Bessel no es entero este resultado es f´acil de establecerse. En caso contrario hay unas complicaciones t´ecnicas que desbordan los objetivos del curso.
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
10.5.4.
91
Soluci´ on general para cualquier valor del orden
Para cualquier valor de ν la soluci´on general de la ecuaci´on de Bessel en (0, ∞) se puede escribir: u = a1 Jν (x) + a2 Yν (x)
(110)
siendo Jν (x) la funci´on de Bessel de primera clase y Yν (x) la funci´on de Bessel de segunda clase. Las propiedades y los valores num´ericos de las funciones de Bessel se encuentran tabulados en varios textos. Una exposici´on sencilla (pero escueta) se encuentra en el libro de Zill, cap´ıtulo 6, secci´on 6.4, pag 285. Ejemplo 10.4. La soluci´on general de ¡ ¢ 00 x2 u + xu0 + x2 − 9 u = 0 en (0, ∞) es u = a1 J3 (x) + a2 Y3 (x) A veces es posible transformar determinada ecuaci´on diferencial (por ejemplo la 00 ecuaci´on de Airy, u − xu = 0) en la forma de la ecuaci´on de Bessel (107) mediante un adecuado cambio de variable. Entonces se puede expresar la soluci´on general de la ecuaci´on original en t´erminos de funciones de Bessel.
10.6.
La ecuaci´ on param´ etrica de Bessel
Si reemplazamos x por λx en la ecuaci´on de Bessel (107) y aplicamos la regla de la cadena, llegaremos a una forma alternativa de la ecuaci´on de Bessel, la ecuaci´ on param´ etrica de Bessel: 00
x2 u + xu0 + (λ2 x2 − ν 2 )u = 0
(111)
que se puede escribir en la forma d x dx
µ
du x dx
¶ + (λ2 x2 − ν 2 )u = 0
La soluci´on general de (111) es: u = c1 Jν (λx) + c2 Yν (λx)
(112)
92
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Tras haber introducido las f´ormulas necesarias para sucesivos tratamientos, volvamos al problema (105), (106): µ ¶ n2 1 0 X (r) + X (r) − λ − 2 X(r) = 0, r r 00
r ∈ (0, R),
n≥0
sujetas a las condiciones X(r) < ∞,
0 < r < R,
X(R) = 0
Por los resultados de la secci´on anterior es claro que para todo natural n ≥ 0 la funci´on Xn,λ (r) definida por √ Xn,λ (r) = Jn ( λr) siendo Jn la funci´on de Bessel de orden n ≥ 0 es una soluci´on de la ecuaci´on de Bessel. Adem´as es acotada, como se desprende de la definici´on de las funciones de Bessel de primera clase. Por consiguiente, si λ > 0 es un n´ umero real tal que √ Xn,λ (R) = Jn ( λR) = 0 entonces λ es un autovalor del problema de contorno (100) con autofunciones asociadas Qλ (x, y) = Xn,λ (r)Θn (θ),
Θn (θ) = an einθ + bn e−inθ
siendo an , bn dos n´ umeros complejos arbitrarios. En otros t´erminos, si c > 0 es un cero (es decir una ra´ız) de la funci´on Jn , entonces λ = (c/R)2 es un autovalor del problema de contorno (100). El c´alculo de los autovalores de (100) es por tanto necesario para resolver el problema de difusi´on. De ah´ı el inter´es por obtener informaci´on relativa a los ceros de las funciones de Bessel de orden entero. De la teor´ıa de Sturm-Liouville se desprende que para cualquier α > 0 los ceros positivos de la funci´on Jα constituyen una sucesi´on mon´otona creciente, que denotaremos por {cα,m }m≥1 , tal que l´ım cα,m = ∞
m→∞
√ Obs´ervese que mediante el cambio de variable X(r) = Jα ( λr) este hecho equivale a afirmar que el conjunto de autovalores del siguiente problema de valores de contorno
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
93
1 0 α2 00 −X (r) − X(r) = λX(r), r ∈ (0, R) X (r) + r r2 X(0) = 0, r = 0 X(R) = 0, r = R
(113)
es una sucesi´on mon´otona creciente de n´ umeros reales {λm }m≥1 tal que λm → ∞ cuando m → ∞. Adem´as: λm =
³c
α,m
´2
(114)
R
Es claro entonces que la funci´on Xα,m (r) = Jα
³c
α,m
R
´ r ,
r ∈ (0, R)
satisface Xα,m (R) = 0 y es soluci´on de la ecuaci´on diferencial en (113) para λ dado por (114). Luego las funciones Qn,m (x, y) = vn,m (r, θ) = Jα
³c
|n|,m
R
´ r einθ
son soluciones del problema de contorno (100) para todo entero n y todo natural m ≥ 1. Por consiguiente, la siguiente superposici´on de funciones
C(x, y, t) =
n=∞ X
Ã
n=−∞
! h c i ³c ´ |n|,m |n|,m an,m exp −k t Jα r einθ R R m=1 ∞ X
(115)
es una soluci´on de la ecuaci´on de difusi´on en el disco DR que adem´as verifica la condici´on de contorno C(x, y, t) = 0 en ∂DR del problema inicial. Y esto independientemente de los valores que asignemos a las constantes an,m . Veamos que es posible asignar valores a estos coeficientes para que (115) sea, al menos formalmente, soluci´on del problema (99). Denotando v0 (r, θ) = C0 (x, y) se tiene la siguiente igualdad
v0 (r, θ) =
Ã
n=∞ X n=−∞
∞ X
an,m Jα
m=1
³c
|n|,m
R
´
! einθ
r
Por consiguiente para cualquier entero n se tiene que verificar la siguiente relaci´on 1 2π
Z
π
−inθ
v0 (r, θ)e −π
dθ =
∞ X m=1
an,m Jα
³c
|n|,m
R
´ r
94
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Fijado un natural m ≥ 1, multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por ³c ´ |n|,m rJn r R integrando la igualdad resultante entre 0 y R y teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de las funciones de Bessel se obtiene que 1 2π
Z
R
Z
π
−inθ
rv0 (r, θ)e 0
Jn
−π
³c
|n|,m
R
Z
´
R
r dθdr = an,m 0
rJn2
³c
|n|,m
R
´ r dr
Despejando an,m se tiene que el valor que debemos asignar a estas constantes para que (115) sea soluci´on del problema de contorno y de valor inicial (99) es Z an,m =
R 0
Z
³c ´ |n|,m rv0 (r, θ)e−inθ Jn r dθdr R −π Z R ³c ´ |n|,m 2π rJn2 r dr R 0 π
(116)
Suponiendo que el dato inicial es suficientemente regular se puede demostrar rigurosamente que el problema (99) tiene una u ´nica soluci´on que viene dada por (115) y (116).
10.7.
Problemas en coordenadas esf´ ericas
Nos restringiremos a la clase de problemas con simetr´ıa axial, es decir independientes del ´angulo φ. Para el caso de problemas en coordenadas esf´ericas donde debemos determinar una funci´on Θ = Θ(r, θ, t) y sin t´ermino de fuente volum´etrica, la ecuaci´on adimensional de la energ´ıa o de conservaci´on de las especies es ∂Θ 1 ∂ = 2 ∂t r ∂r
µ r
2 ∂Θ
∂r
¶
∂ 1 + 2 r sin θ ∂θ
µ
∂Θ sin θ ∂θ
¶ ,
0≤θ≤π
(117)
Suele ser ventajoso hacer el siguiente cambio de variables η = cos(θ),
−1 ≤ η ≤ 1
Cambiando variables en (117) la ecuaci´on diferencial para Θ(r, η, t) es 1 ∂ ∂Θ = 2 ∂t r ∂r
µ ¶ µ ¶ 1 ∂ 2 ∂Θ 2 ∂Θ r + 2 (1 − η ) , ∂r r ∂η ∂η
(118)
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
95
y los coeficientes trigonom´etricos que aparecen en (117) se transforman en los coeficientes polinomiales de (118). Consideraremos los siguientes casos particulares (que suelen darse frequentemente en la pr´actica) 1. Caso evolutivo e independencia de θ y η. Sea Θ(r, θ, η, t) = Θ(r, t). En este caso la ecuaci´on (118) se transforma en ∂Θ 1 ∂ = 2 ∂t r ∂r
µ r
2 ∂Θ
¶
∂r
(119)
El problema de autovalores nos da unas autofunciones que se conocen con el nombre de funciones de Bessel esf´ericas (que introduciremos en la siguiente secci´on). 2. Caso estacionario e independencia de θ. Sea Θ(r, θ, η, t) = Θ(r, η). En este caso la ecuaci´on (118) se transforma en 1 ∂ r2 ∂r
µ r
2 ∂Θ
¶
∂r
1 ∂ + 2 r ∂η
µ ¶ 2 ∂Θ (1 − η ) =0 ∂η
(120)
El problema de autovalores asociado nos da unas autofunciones que se conocen con el nombre de funciones de polinomios de Legendre (en la variable η). 10.7.1.
Funciones de Bessel esf´ ericas
El problema de autovalores en la variable r que se deduce de la ecuaci´on (119) es 1 ∂ r2 ∂r
µ r
2 ∂Θ
∂r
¶ = −λ2 Θ
(121)
que es una ecuaci´on del tipo de Sturm-Liouville con peso p(r) = r2 . on de Bessel esf´ erica que La ecuaci´on (121) es un caso particular de la ecuaci´ tiene la forma general
96
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
d dx
µ
df x dx 2
¶ + [m2 x2 − n(n + 1)]f = 0
(122)
siendo m ∈ IR y n un entero no negativo. Las soluciones de la ecuaci´on (122) (en particular de (121)) se llaman funciones esf´ ericas de Bessel) y se pueden expresar en t´erminos de las funciones de Bessel de orden n + (1/2). Afortunadamente, las soluciones de (121) (que corresponden a n = 0) se pueden expresar en t´erminos de funciones elementales. En efecto, la ecuaci´on (121) se puede resolver m´as f´acilmente definiendo el cambio de variable dependiente Θ(r) =
u(r) r
=⇒
u(r) = rΘ(r)
mediante el cual la ecuaci´on (121) se escribe en la forma d2 u + λ2 u = 0 dr2 que tiene soluci´on general dada por
(123)
u(r) = A0 sin(λr) + B0 cos(λr) luego sin(λr) cos(λr) + B0 (124) r r Hemos llegado a la conclusi´on que los problemas de conducci´on o difusi´on para funciones del tipo Θ(r, t) se resuelven mediante funciones elementales del tipo (124). Θ(r) = A0
Obs´ervese que l´ım
r→0
sin(λr) = λ, r
l´ım
r→0
cos(λr) → ∞, r
luego si el dominio (la esfera) incluye r = 0 (dominio simplemente conexo) entonces la condici´on de admisibilidad f´ısica de que la soluci´on tiene que ser acotada implica que B0 = 0 y que las autofunciones de la ecuaci´on (121) vienen dadas por Θn (r) = an
sin λn r r
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
10.7.2.
97
Funciones de Bessel esf´ ericas modificadas
Una ecuaci´on diferencial estrechamente relacionada con la ecuaci´on (122) es la ecuaci´ on de Bessel esf´ erica modificada d dx
µ
df x dx
¶
2
− [m2 x2 + n(n + 1)]f = 0
(125)
siendo m ∈ IR y n un entero no negativo. Las soluciones de la ecuaci´on (125) se llaman funciones esf´ ericas de Bessel modificadas) y se pueden expresar en t´erminos de las funciones de Bessel modificadas de orden n + (1/2). T´ıpicamente el caso relevante corresponde a n = 0 y las soluciones se pueden nuevamente expresar en t´erminos de funciones elementales en la forma sinh(mx) cosh(mx) +B (126) x x Un ejemplo de aplicaci´on de estas f´ormulas se puede encontrar en el libro de Deen, pag 179, donde se considera el problema de difusi´on estacionaria en una esfera con una reacci´on irreversible de primer orden. En hip´otesis adecuadas el problema (unidimensional) resultante para la concentraci´on del reactivo C(r) es f (x) = A
1 d r2 dr
µ r
2 dC
dr
¶ − Da C = 0,
dC (0) = 0, dr
C(1) = 1
siendo Da el n´ umero de Damk¨ohler (basado en el radio de la esfera). La EDP anterior es una ecuaci´on esf´erica de Bessel modificada y se resuelve aplicando las f´ormulas anteriores.
10.8.
La ecuaci´ on de Legendre
Sea u = u(x) una funci´on real de variable real. La ecuaci´on 00
(1 − x2 )u − 2xu0 + n(n + 1)u = 0
(127)
se conoce con el nombre de ecuaci´on de Legendre. La teor´ıa necesaria para el tratamiento de este tipo de ecuaciones se basa en los desarrollos en series de potencias y en las definiciones de puntos ordinarios (regulares) y singulares. Una exposici´on muy pr´actica de estos conceptos y definiciones se puede encontrar en el libro de Zill. Mediante esta teor´ıa es posible demostrar que cuando n es un entero no negativo, se obtiene una soluci´on en forma de polinomio de grado n de la ecuaci´on de Legen-
98
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
dre. Estas soluciones polinomiales espec´ıficas de grado n se llaman polinomios de Legendre y se representan por Pn (x). Recordando la ecuaci´on de Sturm-Liouville · ¸ d du r(x) + [q(x) + λp(x)]u(x) = 0 dx dx y escribiendo la ecuaci´on (127) en la forma · ¸ d 2 du (1 − x ) + n(n + 1)u(x) = 0 dx dx podemos concluir que la ecuaci´on de Legendre es una ecuaci´on del tipo de Sturm Liouville si identificamos r(x) = (1 − x2 ),
q(x) = 0,
p(x) = 1,
λn = n(n + 1), n = 0, 1, 2, ...
Se tiene el siguiente resultado: si el problema de autovalores dado por la ecuaci´on · ¸ d 2 dΦ (1 − x ) = −λ2 Φ(x), dx dx
[−1, 1]
y la condici´on que la soluci´on es acotada en x = ±1 tiene una soluci´on, entonces los autovalores son λn = n(n + 1), n = 0, 1, 2, .. y las autofunciones son Φn (x) = an Pn (x) siendo Pn (x) los polinomios de Legendre y an unos coeficientes (constantes) que se determinan imponiendo la condici´on de ortonormalidad. En efecto, por la teor´ıa de Sturm-Liouville sabemos que los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [−1, 1] con respecto a la funci´on peso p(x) = 1. Los polinomios de Legendre son ortogonales pero no ortonormales. Imponiendo por tanto la condici´on de normalizaci´on (Φn , Φn ) = 1 se tiene Z (Φn , Φn ) = 1 =
a2n
1 −1
µ Pn2 (x)dx
=
a2n
2 2n + 1
¶
Una base de autofunciones ortonormales viene dada por µ Φn (x) =
2n + 1 2
¶1/2 Pn (x),
n = 0, 1, 2, ...
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
99
Los dos primeros polinomios de Legendre son P0 (x) = 1 y P1 (x) = x y los dem´as se pueden generar utilizando la relaci´on recursiva: (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x) n+1 Alternativamente los polinomios de Legendre se pueden obtener utilizando la f´ ormula de Rodrigues Pn+1 (x) =
Pn (x) =
1 dn [(x2 − 1)n ] 2n n! dxn
Por ejemplo, 1 P2 (x) = (3x2 − 1), .... 2 Se puede demostrar que los polinomios de Legendre son funciones pares si n es un n´ umero entero positivo par y son funciones impares si n es un n´ umero entero positivo impar. P0 (x) = 1,
10.9.
P1 (x) = x,
La ecuaci´ on de Legendre y la aplicaci´ on del m´ etodo de separaci´ on de variables en coordenadas esf´ ericas
La aplicaci´on del m´etodo de separaci´on de variables en coordenadas esf´ericas conduce naturalmente a la resoluci´on de la ecuaci´on de Legendre. En el siguiente ejemplo consideraremos un t´ıpico problema de contorno para la ecuaci´on de Laplace en coordenadas esf´ericas (r, θ, φ) definidas a partir de las siguientes relaciones (en t´erminos de coordenadas cartesianas) x = r cos(θ) sin(φ),
y = r sin(θ) sin(φ),
z = r cos(φ)
Recordemos que el laplaciano de una funci´on en coordenadas esf´ericas es ∇2 u =
1 ∂ 2 u cot(φ) ∂u 1 ∂ 2 u 2 ∂u ∂ 2u + + + + ∂r2 r ∂r r2 ∂φ2 r2 ∂φ r2 sin2 (φ) ∂θ2
M´as utilizada es la expresi´on equivalente · µ ¶ µ ¶ ¸ 1 ∂ 1 ∂ ∂u 1 ∂2u 2 ∂u ∇ u= 2 r + sin φ + r ∂r ∂r sin φ ∂φ ∂φ sin2 φ ∂θ2 2
(128)
100
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Ejemplo 10.5. Sup´ ongase que una esfera S de radio R se mantiene a una distribuci´on prefijada de potencial el´ectrico u(R, θ, φ) = f (φ)
(129)
Se supone el origen del sistema de coordenadas esf´ericas coincidente con el centro de la esfera y f (φ) es una funci´on dada. El problema consiste en determinar el potencial u(r, θ, φ) en todo punto del espacio que se considera libre de ulteriores cargas. Puesto que el potencial en la esfera S es independiente de θ tambi´en lo ser´a el potencial en el espacio. u(r, θ, φ) = u(r, φ), Por tanto
∂ 2u ≡0 ∂θ2
=⇒
∀ θ ∈ [0, 2π] 1 ∂ 2u ≡ 0, sin2 φ ∂θ2
y la ecuaci´on de Laplace se reduce (utilizando la f´ormula (128)) a ∂ ∇ u= ∂r 2
µ r
2 ∂u
¶
∂r
1 ∂ + sin φ ∂φ
µ
∂u sin φ ∂φ
¶ =0
(130)
Existe adem´as otra condici´on natural que hay que imponer: que el potencial en el infinito sea nulo, es decir l´ım u(r, φ) = 0 (131) r→∞
Tenemos por tanto que resolver el problema de valores de contorno dado por la EDP de Laplace (130), la condici´on de contorno (129) y la condici´on en el infinito (131). Utilizaremos para ello el m´etodo de separaci´on de variables. Sea u(r, φ) = G(r)H(φ). Sustituyendo en (130) y dividiendo la ecuaci´on resultante por la funci´on GH se obtiene 1 d G dr
µ r
2 dG
dr
¶
1 d =− H sin φ dφ
µ
dH sin φ dφ
¶
y las variables est´an separadas. Introduciendo una constante de separaci´on k se tiene
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
1 d G dr
µ r
2 dG
¶
dr
1 d =− H sin φ dφ
µ
101
dH sin φ dφ
¶ =k
y se deducen las ecuaciones diferenciales ordinarias 1 d sin φ dφ
µ
dH sin φ dφ
¶ + kH = 0
(132)
=k
(133)
y 1 d G dr
µ r
2 dG
dr
¶
La u ´ltima ecuaci´on, (133), se puede escribir como (r2 G0 )0 = kG o (lo que es lo mismo) 00
r2 G + 2rG0 − kG = 0
(134)
que es una ecuaci´on del tipo de Euler Cauchy. Por los resultados vistos en las secciones anteriores sabemos que (134) tiene soluciones del tipo G = rα . Su expresi´on ser´a particularmente simple si cambiamos nuestra notaci´on e introducimos el par´ametro n ∈ IR (arbitrario de momento) en la forma k = n(n + 1). La ecuaci´on (134) se escribe ahora 00 r2 G + 2rG0 − n(n + 1)G = 0 (135) Sustituyendo G = rα en (135) se tiene: [α(α − 1) + 2α − n(n + 1)]rα = 0 Las ra´ıces de la expresi´on polinomial que aparece en corchetes son α = n,
α = −n − 1
luego las soluciones de la ecuaci´on de Euler-Cauchy son Gn (r) = rn ,
G∗n (r) =
1 rn+1
Volviendo a la ecuaci´on (132) la transformamos mediante el cambio de variable w = cos(φ) lo que implica sin2 φ = 1 − w2 . Aplicando la regla de la cadena se deduce la ecuaci´ on de Legendre · ¸ d 2 dH (1 − w ) + n(n + 1)H = 0 dw dw que se puede escribir en la forma
(136)
102
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
dH d2 H − 2w + n(n + 1)H = 0 (137) 2 dw dw N´otese que, hasta ahora n era un par´ametro real arbitrario (puesto que k ∈ IR era arbitrario). Se puede demostrar que las soluciones de (136) son funciones continuas con derivada primera continua en el intervalo −1 ≤ w ≤ 1 (o, lo que es equivalente, 0 ≤ φ ≤ π) s´olo si n es un n´ umero entero no negativo. (1 − w2 )
Las series de Fourier-Legendre Para n = 0, 1, ...., los polinomios de Legendre H(w) = Pn (w) = Pn (cos φ),
n = 0, 1, .....,
son soluciones de la ecuaci´on de Legendre (136). Hemos obtenido por tanto las dos siguientes sucesiones de soluciones del tipo u = GH de la ecuaci´on de Laplace (130) un (r, φ) = cn rn Pn (cos φ),
u∗n (r, φ) =
Bn Pn (cos φ), rn+1
(138)
siendo n = 0, 1, ..., y cn , Bn constantes. Resoluci´ on del problema interior Por problema interior entendemos una soluci´on de (130) en el interior de la esfera que satisface (129). Para ello se considera la serie
u(r, φ) =
∞ X
un (r, φ) =
n=0
∞ X
cn rn Pn (cos φ),
(139)
n=0
Para que (139) satisfaga la condici´on de contorno (129) se debe verificar
u(R, φ) =
∞ X n=0
un (R, φ) =
∞ X
cn Rn Pn (cos φ) = f (φ)
(140)
n=0
es decir que (140) sea la serie de Fourier-Legendre de f (φ). Los coeficientes cn que aparecen en (140) se determinan multiplicando por las autofunciones (polinomios de Legendre) Pn (w), integrando en (−1, 1) y aplicando la propiedad de ortogonalidad de los mismos (como autofunciones de un problema de Sturm-Liouville). Estos pasos nos conducen a la siguiente expresi´on de los coeficientes cn :
10. Unas ecuaciones diferenciales ordinarias especiales
2n + 1 cn R = 2 n
Z
1
103
f¯(w)Pn (w)dw
−1
donde f¯(w) = f (φ) siendo w = cos(φ). Puesto que dw = − sin(φ)dφ y los l´ımites de integraci´on w = −1 y w = 1 corresponden , respectivamente, a φ = π y φ = 0, se tiene 2n + 1 cn = 2Rn
Z
π
f (φ)Pn (cos φ) sin(φ)dφ,
n = 0, 1., , ,
(141)
0
luego la serie (139) con los coeficientes (141) es la soluci´on del problema en el interior de la esfera. Resoluci´ on del problema exterior En el esterior de la esfera no podemos considerar las soluciones un (r, φ) porque estas funciones no satisfacen la condici´on en el infinito (131). Sin embargo podemos utilizar las funciones u∗n (r, φ) (que satisfacen la condici´on (131)) y razonar como antes. Se llega por tanto a la soluci´on ∞ X Bn P (cos φ), u(r, φ) = n+1 n r n=0
r≥R
con coeficientes 2n + 1 n+1 Bn = R 2
Z
π
f (φ)Pn (cos φ) sin φdφ, 0
n = 0, 1, ...
(142)
104
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
11.
Ejercicios sugeridos
Ejercicio 2.1. Aplicar el m´etodo de separaci´on de variables para hallar, si es posible, soluciones producto para las siguientes ecuaciones diferenciales: 1.
∂u ∂u = , ∂x ∂y
2.
∂u ∂u +3 = 0, ∂x ∂y
3. ux + uy = u, 4. ux = uy + u, 5. x
∂u ∂u =y , ∂x ∂y
6. y
∂u ∂u +x = 0, ∂x ∂y
7.
∂2u ∂ 2u ∂ 2u + y + = 0, ∂x2 ∂u∂u ∂y 2
8. y
∂ 2u y + u = 0, ∂u∂u
9. k
∂ 2u ∂u −u= , k > 0, 2 ∂x ∂t
10. k
∂ 2u ∂u = , k > 0, 2 ∂x ∂t
11. a2
12.
∂ 2u ∂ 2u = , ∂x2 ∂t2
∂2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y 2
11. Ejercicios sugeridos
105
u ∂2u + =0y 13. x ∂x2 ∂y 2 2∂
2
14. uxx + uyy = u.
Ejercicio 2.2. Comprobar que las funciones f1 (x) = x y f2 (x) = x2 son ortogonales en el intervalo [−2, 2]. Ejercicio 2.3. Comprobar que las funciones f1 (x) = cos x y f2 (x) = sin2 x son ortogonales en el intervalo [0, π]. Ejercicio 2.4. Demostrar que el conjunto infinito {1, cos x, cos 2x, ...} es ortogonal en el intervalo [−π, π]. Sugerencia: Escribir los productos escalares correspondientes a las gen´ericas funciones φn (x) = cos(nx), φm (x) = cos(mx) y utilizar la identidad trigonom´etrica: 1 cos(mx) cos(nx) = (cos(m + n)x + cos(m − n)x). 2
Ejercicio 2.5. Sea {sin(nx)}, n = 1, 2, 3, ... una colecci´on de funciones en I = [0, π]. Demostrar que el conjunto de funciones dado es ortogonal en el intervalo indicado y calcular la norma de cada funci´on en el conjunto. Ejercicio 2.6. Determinar las normas de cada funci´on en el conjunto ortogonal {1, cos x, cos 2x, ...}. Ejercicio 2.7. Verificar que el sistema trigonom´etrico dado por ½
1 cos x cos 2x √ , √ , √ , ... π π 2π
¾
es ortonormal en [−π, π]. Ejercicio 2.8. [Series de Fourier de cosenos y serie de senos] Supongamos que f ∈ L[−π, π] es peri´odica de periodo 2π. Probar que la serie de Fourier generada por f presenta las siguientes formas especiales si se verifican las condiciones enunciadas:
106
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
1. Si f (−x) = f (x) (f es una funci´on par) cuando 0 < x < π entonces: ∞
a0 X f (x) ∼ + an cos(nx), 2 n=1
2 an = π
Z
π
f (t) cos ntdt 0
2. Si f (−x) = −f (x) (f es una funci´on impar) cuando 0 < x < π entonces:
f (x) ∼
∞ X
bn sin(nx),
n=1
2 bn = π
Z
π
f (t) sin ntdt. 0
Ejercicio 2.9. Desarrollar la funci´on x2 en (−1, 1) con la serie de cosenos o senos adecuadas. ½
0 −π < x < 0 en serie de π−x 0≤x<π Fourier, estudiar su convergencia y calcular su suma.
Ejercicio 2.10. Desarrollar la funci´on f (x) =
Ejercicio 2.11. Resolver el problema:
∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2 u(0, t) = 0
0 < x < 1, t > 0 x=0
u(1, t) = 0 x=1 u(x, 0) = sin (πx) 0 < x < 1
t>0 t>0 t = 0.
Ejercicio 2.12. Resolver el problema: ∂ 2u ∂u = , ∂t ∂x2 u(0, t) = 0
0 < x < 2, t > 0 x=0
u(2, t) = 0 x=2 ³ ´ u(x, 0) = sin π x 0 < x < 2 2
t>0 t>0 t = 0.
11. Ejercicios sugeridos
Ejercicio 2.13. Resolver el ∂u ∂t u(0, t) u(1, t) u(x, 0)
107
problema: 1 ∂ 2u , 16 ∂x2 = 0 =
= 0
0 < x < 1, t > 0 x=0
t>0
x=1
t>0
= 2 sin (2πx) 0 < x < 1
Ejercicio 2.14. Resolver el problema: ∂u ∂ 2u = , 2 ∂t ∂x u(0, t) = 0 u(2, t) = 0 u(x, 0) = sin (2πx)
Ejercicio 2.15. Resolver el problema: ∂u ∂ 2u = , 2 ∂t ∂x u(0, t) = 0 u(π, t) = 0 u(x, 0) = sin (x)
Ejercicio 2.16. Resolver el problema: 4 ∂ 2u ∂u = , 2 ∂x2 ∂t π u(0, t) = 0
t = 0.
0 < x < 2, t > 0 x=0
t>0
x=2
t>0
0
t = 0.
0 < x < π, t > 0 x=0
t>0
x=π
t>0
0
t = 0.
0 < x < 4, t > 0 x=0
u(4, t) = 0 x=4 ³ ´ h ³ ´i π π u(x, 0) = sin x 1 + 2 cos x 0
t>0 t>0 t = 0.
108
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Ejercicio 2.17. Resolver el problema: 1 ∂ 2u ∂u = , 2 ∂x2 ∂t π u(0, t) = 0
0 < x < 1, t > 0 x=0
u(1, t) = 0 x=1 ¶¶ µ µ 1 0
Ejercicio 2.18. Resolver el problema: ∂u ∂ 2u = + 2, ∂t ∂x2 u(0, t) = 0 u(1, t) = 0 u(x, 0) = sin(πx) + x(1 − x)
t>0 t>0 t = 0.
0 < x < 1, t > 0 x=0
t>0
x=1
t>0
0
t = 0.
Ejercicio 2.19. Aplicar el principio de superposici´on para hallar la temperatura de estado estable en una placa cuadrada para el siguiente problema de contorno: 2 ∂ u ∂2u + = 0, 0 < x < π, 0 < y < π ∂x2 ∂y 2 u(0, y) = 1 x = 0 0
12. Ejercicios propuestos en ex´amenes relativos al segundo tema
12.
109
Ejercicios propuestos en ex´ amenes relativos al segundo tema
Ejercicio 1. Examen control. 7/4/2000. Problema 1 Se quiere determinar la distribuci´on de temperaturas de una varilla de material homog´eneo y longitud L > 0, siendo k constante, k > 0, la conductividad calor´ıfica de la varilla. Se supone la varilla t´ermicamente aislada as´ı que el flujo de calor es unidimensional, en la direcci´on longitudinal x. La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de la varilla es la ecuaci´on del calor de Fourier (1)
∂u ∂ 2u = k 2, ∂t ∂x
x ∈ (0, L),
∀t > 0
(1)
El extremo izquierdo de la varilla, localizado en x = 0, tambi´en se supone t´ermicamente aislado luego no hay flujo de calor a trav´es del extremo izquierdo y una condici´on del tipo ∂u (2) (0, t) = 0, ∀t > 0 ∂x es la adecuada. En el extremo derecho, x = L, la temperatura viene prefijada y se mantiene constante durante todo el tiempo: (3)
u(L, t) = uL > 0,
∀ t > 0.
Al comienzo, la varilla est´a a temperatura uniforme y nula: (4)
u(x, 0) = 0.
Se pide contestar, razonadamente a las siguientes cuestiones: 1. Considera el problema de valores de contorno definido por la ecuaci´on (1), las condiciones de contorno (2), (3) y la condici´on inicial (4). ¿ Es aplicable directamente el m´etodo de separaci´on de variables ? Explica porqu´e. (1 punto) 2. Determina el problema de autovalores asociado al problema. ¿ Cuales son las autofunciones y los autovalores del problema ? (4 puntos)
110
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
3. Determina, mediante la aplicaci´on del principio de superposici´on, la soluci´on que satisface la ecuaci´on (1) y las condiciones de contorno (2) y (3). (2 puntos) 4. Determina los coeficientes del desarrollo de Fourier del dato inicial. (3 puntos) 5. Escribe la soluci´on exacta del problema constituido por la ecuaci´on (1), las condiciones de contorno (2), (3) y la condici´on inicial (4). (2 puntos) 6. ¿ Puedes decir hacia que valor se estabiliza la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞) ? ¿ Podr´ıas justificarlo (en t´erminos f´ısicos) a partir de las hip´otesis y condiciones del problema ? (1 punto)
Ejercicio 2. Examen de junio. 9/6/2000. Problema 2 La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 1, cuando se genera calor por decaimiento radiactivo del material, es (1)
∂u ∂ 2u = + e−x , 2 ∂t ∂x
x ∈ (0, 1),
∀ t > 0.
Suponiendo que ambos extremos de la varilla se mantienen a temperatura nula, (2)
u(0, t) = u(1, t) ≡ 0,
∀t > 0
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura (3)
u(x, 0) = u0 (x) = 1 − e−x ,
determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. Ejercicio 3. Examen de septiembre. 14/9/2000. Problema 1 La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L, suponiendo que se pierde calor a trav´es de la superficie lateral (el cual pasa al medio ambiente que est´a a temperatura cero), es (1)
∂ 2u ∂u = − hu, ∂t ∂x2
x ∈ (0, L),
∀t > 0
12. Ejercicios propuestos en ex´amenes relativos al segundo tema
111
siendo h > 0 una constante. Suponiendo adem´as que ambos extremos de la varilla se mantienen t´ermicamente aislados, es decir (2)
∂u ∂u (0, t) = 0 = (L, t) ∂x ∂x
∀t > 0
y que la distribuci´on inicial de temperaturas es (3)
u(x, 0) = f (x)
(siendo f (x) una funci´on suficientemente regular para que todas las operaciones a realizar tengan sentido) determinar 1. la temperatura de la varilla (de longitud L) en cualquier instante t > 0 y para la gen´erica funci´on f (x). 2. la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞). Interpretar f´ısicamente el resultado obtenido.
Sugerencia: realizar el cambio de variables v(x, t) = eht u(x, t) para reconducirse a una ecuaci´on sin el t´ermino de absorbci´on −hu y resolver el problema en t´erminos de la nueva variable dependiente v(x, t). Ejercicio 4. Examen control. 2/4/2001. Problema 3 La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L, cuando se genera calor mediante reacciones qu´ımicas, es ∂u ∂2u = + sin(x), x ∈ (0, L), ∀ t > 0. ∂t ∂x2 Suponiendo que el extremo izquierdo de la varilla se mantiene a temperatura prefijada y no nula, u(0, t) = 1, ∀t > 0 que el extremo derecho est´a aislado, ∂u (L, t) ≡ 0, ∂x
∀t > 0
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura constante u(x, 0) = u0 (x) = 1, Se pide contestar a las siguientes preguntas:
x ∈ [0, L]
112
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
1. ¿ Es aplicable directamente el m´etodo de separaci´on de variables ?. Explica porqu´e. (0.5 punto) 2. Calcular los autovalores y las autofunciones del problema. (2 puntos) 3. Escribir la expresi´on formal de la soluci´on para una varilla gen´erica de longitud L. (2 puntos) 4. Escribir expl´ıcitamente (pero sin resolver) las integrales que definen los coeficientes del desarrollo de Fourier de la soluci´on. (1.5 punto) 5. Sup´ongase que L = π/2. Determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. (3 puntos) 6. En la hip´otesis anterior, determinar la temperatura de la varilla en el extremo derecho y el flujo de calor en el extremo izquierdo para tiempos grandes (t → ∞). (1 punto)
Ejercicio 5. Examen de junio. 5/4/2001. Problema 2 Sea dada la ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 4, ∂u 4 ∂ 2u = , ∂t π ∂x2
x ∈ (0, 4),
∀ t > 0.
Suponiendo que ambos extremos de la varilla se mantienen a temperatura constante, u(0, t) = 1,
u(1, t) = 5,
∀t > 0
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura ³π ´ h ³ π ´i u(x, 0) = u0 (x) = 1 + x + sin x 3 + 2 cos x 4 4 determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. Ejercicio 6. Examen de septiembre. 4/9/2001. Problema 1
12. Ejercicios propuestos en ex´amenes relativos al segundo tema
113
La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna, en condiciones no homog´eneas, la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L > 0, es ∂u ∂ 2u = k · 2 + f (x), x ∈ (0, L), ∀ t > 0. ∂t ∂x siendo k la conductividad t´ermica del material que compone la varilla y siendo f (x) = x − 2x2 un t´ermino de reacci´on debido a procesos qu´ımicos de distinta naturaleza. Suponiendo que a trav´es del extremo izquierdo de la varilla pasa un flujo de calor prefijado y constante A: ∂u (0, t) = A, ∀t > 0 ∂x y que el extremo derecho de la varilla se mantiene a temperatura prefijada y constante B: u(L, t) = B,
∀t > 0
se quiere determinar la temperatura de la varilla en cualquier punto x ∈ [0, L) y en cualquier instante t > 0, sabiendo que al comienzo la varilla tiene una distribuci´on inicial de temperatura dada por u(x, 0) = u0 (x) = x4 − x3 . En concreto se pide: 1. Sean A = B = 0. ¿Es posible aplicar directamente el m´etodo de separaci´on de variables ?. Razona la respuesta. 2. Sean A 6= 0, B 6= 0 y sea k = 1/6 el valor de la conductividad t´ermica del material. Aplicar el m´etodo de desviaci´on de variables en la forma u(x, t) = v(x, t)+ψ(x) para obtener un problema homog´eneo en la nueva variable v(x, t). Determinar la expresi´on del estado estacionario ψ(x). Sea B = L4 − L3 (es decir, la temperatura en el extremo derecho se fija en funci´on de la longitud L de la varilla). (c) Escribir expl´ıcitamente la expresi´on del estado estacionario ψ(x) utilizando la hip´otesis B = L4 − L3 .
114
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
(d) Calcular los autovalores y las autofunciones del problema homog´eneo. ¿Es λ = 0 un autovalor del problema ?. Justifica la respuesta. (e) Escribir la expresi´on formal de la soluci´on del problema homog´eneo v(x, t) indicando las integrales que aparecen en la definici´on de los coeficientes de Fourier cn . (f) Escribir la expresi´on formal de la soluci´on del problema original u(x, t) y estudiar su comportamiento a largo plazo (es decir, cuando t → ∞). ¿Cual es la temperatura de la varilla en el extremo izquierdo ?. (g) Calcular expl´ıcitamente los coeficientes de Fourier cn como funci´on de n, A y L. Supondremos ahora que el flujo de calor en el extremo izquierdo es tambi´en funci´on de la longitud de la varilla seg´ un la relaci´on A = π 2 /(8 · L). Se pide: (h) Particularizar los valores anteriores de los coeficientes de Fourier cn utilizando la hip´otesis A = π 2 /(8 · L). Escribir la expresi´on de la soluci´on del problema homog´eneo v(x, t) y la del problema no homog´eneo, u(x, t) utilizando los valores encontrados de los coeficientes cn . (i) Calcular una aproximaci´on de la soluci´on del problema original u(x, t) utilizando s´olo los primeros dos modos de Fourier.
Ejercicio 6. Examen control. 8/4/2002. Problema 3 Se quiere determinar la distribuci´on de temperaturas de una varilla de material homog´eneo y longitud L = π/2, siendo k = 2 (constante) la conductividad calor´ıfica de la varilla. Se supone la varilla t´ermicamente aislada as´ı que el flujo de calor es unidimensional, en la direcci´on longitudinal x. La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de la varilla es la ecuaci´on del calor de Fourier ∂u ∂ 2u (1) = 2 2 + 1 − sin(x), x ∈ (0, π/2), ∀ t > 0. ∂t ∂x El extremo izquierdo de la varilla, localizado en x = 0, tambi´en se supone t´ermicamente aislado luego no hay flujo de calor a trav´es del extremo izquierdo y una condici´on del tipo ∂u (0, t) = 0, ∀t > 0 (2) ∂x es la adecuada. En el extremo derecho, x = π/2, la temperatura viene prefijada y se mantiene constante y nula durante todo el tiempo: (3)
u(π/2, t) = 0,
∀ t > 0.
12. Ejercicios propuestos en ex´amenes relativos al segundo tema
115
Al comienzo, la varilla tiene una distribuci´on de temperaturas dada por: (4)
u(x, 0) = −
sin(x) x2 3 π2 3 1 − + x+ − π+ . 2 4 2 16 4 2
Se pide contestar, razonadamente a las siguientes cuestiones: 1. Considera el problema de valores de contorno definido por la ecuaci´on (1), las condiciones de contorno (2), (3) y la condici´on inicial (4). ¿ Es aplicable directamente el m´etodo de separaci´on de variables ? Explica porqu´e. (0.5 punto) 2. Determina el problema de autovalores asociado al problema. ¿ Cuales son las autofunciones y los autovalores del problema ? (2.5 puntos) 3. Determina, mediante la aplicaci´on del principio de superposici´on, la soluci´on que satisface la ecuaci´on (1) y las condiciones de contorno (2) y (3). (1.5 puntos) 4. Determina los coeficientes del desarrollo de Fourier del dato inicial. (3 puntos) 5. Escribe la soluci´on exacta del problema constituido por la ecuaci´on (1), las condiciones de contorno (2), (3) y la condici´on inicial (4). 6. Escribe una aproximaci´on de la soluci´on mediante los dos primeros modos de Fourier de la soluci´on obtenida calculando expl´ıcitamente los coeficientes asociados. (2 puntos) 7. ¿ Puedes decir hacia que valor se estabiliza la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞) ? (0.5 punto)
Ejercicio 7. Examen de junio. 4/6/2002. Problema 2
116
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Sea dada la ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada y homog´enea (con difusividad t´ermica constante e igual a 1) de longitud L = 2, ∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2
x ∈ (0, 2),
∀ t > 0.
Suponiendo que ambos extremos de la varilla se mantienen t´ermicamente aislados ∂u (0, t) = 0, ∂x
∂u (2, t) = 0, ∂x
∀t > 0
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura u(x, 0) = u0 (x) siendo ( u0 (x) =
x 0≤x≤1 0 x>1
se pide: a) Determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. b) Calcular los 5 primeros modos de Fourier de la soluci´on (recuerda que los modos de Fourier vienen dados por el producto ai Xi (x)Ti (t)). c) ¿Cual es el comportamiento de la soluci´on para tiempos grandes ? Explicarlo f´ısicamente.
Ejercicio 8. Examen de septiembre. 2/9/2002. Problema 1 La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna, en condiciones no homog´eneas, la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 1, es ∂u ∂ 2u = α · 2 + f (x), x ∈ (0, 1), ∀ t > 0, ∂t ∂x siendo α la difusividad t´ermica del material que compone la varilla y siendo f (x) = 2α un t´ermino de reacci´on constante debido a procesos qu´ımicos de distinta naturaleza que dependen de la difusividad α del material. Suponiendo que el extremo izquierdo de la varilla est´a t´ermicamente aislado:
12. Ejercicios propuestos en ex´amenes relativos al segundo tema
117
∂u (0, t) = 0, ∀t > 0 ∂x y que el extremo derecho de la varilla se mantiene a temperatura prefijada y constante um : u(1, t) = um ,
∀t > 0
se quiere determinar la temperatura de la varilla en cualquier punto x ∈ [0, 1] y en cualquier instante t > 0, sabiendo que al comienzo la varilla tiene una distribuci´on inicial de temperatura dada por u(x, 0) = u0 (x) = −x2 + x + 1. En concreto se pide: 1. [8 puntos] Escribir expl´ıcitamente el problema propuesto y calcular los autovalores y las autofunciones del problema. ¿Es λ = 0 un autovalor del problema ? . Justifica la respuesta. 2. [5 puntos] Calcular los coeficientes de Fourier de la soluci´on. 3. [4 puntos] Determinar la soluci´on del problema propuesto. Sean um = 1 y α = 1. (d) [6 puntos] Calcular la temperatura de la varilla en el extremo izquierdo y el flujo de calor en el extremo derecho en cada instante de tiempo. (e) [2 puntos] Calcular el comportamiento de la soluci´on del problema para tiempos grandes.
Ejercicio 9. Examen control. 28/4/2003. Problema 3 Se quiere determinar la distribuci´on de temperaturas de una varilla de material homog´eneo y longitud unitaria, L = 1, siendo k = 1 (constante) la difusividad del material que compone la varilla. Se supone la varilla t´ermicamente aislada as´ı que el flujo de calor es unidimensional, en la direcci´on longitudinal x. La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de la varilla es la ecuaci´on del calor de Fourier (1)
√ ∂2u ∂u = + 1 − x, ∂t ∂x2
x ∈ (0, 1),
∀ t > 0.
118
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
El extremo izquierdo de la varilla, localizado en x = 0, tambi´en se supone t´ermicamente aislado luego no hay flujo de calor a trav´es del extremo izquierdo y una condici´on del tipo ∂u (2) (0, t) = 0, ∀t > 0 ∂x es la adecuada. En el extremo derecho, x = L = 1, la temperatura viene prefijada y se mantiene constante y positiva durante todo el tiempo: (3)
u(1, t) = 23/30,
∀ t > 0.
Al comienzo, la varilla tiene una distribuci´on de temperaturas dada por: (4)
u(x, 0) =
4 5/2 1 2 x − x + x. 15 2
Se pide contestar, razonadamente a las siguientes cuestiones: 1. Considera el problema de valores de contorno definido por la ecuaci´on (1), las condiciones de contorno (2), (3) y la condici´on inicial (4). ¿ Es aplicable directamente el m´etodo de separaci´on de variables ? Explica porqu´e. (1 punto) 2. Determina el problema de autovalores asociado al problema. ¿ Cuales son las autofunciones Xn y los autovalores λn del problema ? Calcular el l´ımn→∞ λn . (3 puntos) 3. Determina, mediante la aplicaci´on del principio de superposici´on, la soluci´on que satisface la ecuaci´on (1) y las condiciones de contorno (2) y (3). (2 puntos) 4. Determinar los coeficientes del desarrollo de Fourier del dato inicial. Calcular l´ımn→∞ cn . (Sugerencia: Para reducir las posibilidades de error es conveniente utilizar la expresi´ on gen´erica de los autovalores λn en lugar de su f´ormula expl´ıcita. De esta manera podr´ as incluso contestar bien a esta pregunta aunque te hayas equivocado en el apartado (b).) (6 puntos)
12. Ejercicios propuestos en ex´amenes relativos al segundo tema
119
5. Escribe la soluci´on exacta del problema constituido por la ecuaci´on (1), las condiciones de contorno (2), (3) y la condici´on inicial (4). (2 puntos) 6. Escribe una aproximaci´on de la soluci´on mediante los dos primeros modos de Fourier de la soluci´on del problema homog´eneo v(x, t) calculando expl´ıcitamente los coeficientes asociados. (4 puntos) 7. ¿ Puedes decir hacia que estado de equilibrio se estabiliza la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞) ? Calcular la temperatura en el extremo izquierdo y el flujo de calor en el extremo derecho. Calcular su comportamiento para tiempos grandes (t → ∞). (7 puntos)
Ejercicio 10. Examen de junio. 4/4/2003. Problema 5 Sea dada la ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 2, ∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2
x ∈ (0, 2),
∀ t > 0.
siendo k = 1 la difusividad t´ermica del material. Suponiendo que ambos extremos de la varilla se mantienen a temperatura constante, u(0, t) = 1,
u(2, t) = 3,
∀t > 0
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura ³π ´ h ³ π ´i u(x, 0) = u0 (x) = 1 + x + sin x 1 + 2 cos x 2 2 se pide: a) Determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. (18 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (1 punto). b) Calcular el flujo de calor por ambos extremos. (4 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (2 puntos).
120
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Ejercicio 11. Examen de septiembre. 28/4/2003. Problema 1 Sea dada la ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 1, ∂ 2u ∂u = k 2 − x, ∂t ∂x
x ∈ (0, L),
∀ t > 0.
siendo k = 1 la difusividad t´ermica del material. Suponiendo que el extremo izquierdo de la varilla se mantiene a temperatura constante y que el extremo derecho est´a t´ermicamente aislado se tienen las condiciones de contorno ∂u u(0, t) = 1, (1, t) = 0, ∀ t > 0. ∂x Supondremos adem´as que al comienzo la varilla est´a a temperatura 1 u(x, 0) = u0 (x) = x3 6 se pide: a) Determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. (22 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (3 punto). b) Calcular el flujo de calor por el extremo izquierdo (para cualquier instante de tiempo t > 0). (8 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (2 puntos). c) Calcular la temperatura en el extremo derecho (para cualquier instante de tiempo t > 0). (8 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (2 puntos).
13. Ejercicios sugeridos
13.
121
Ejercicios sugeridos
Ejercicio 2.1. Comprobar que las funciones f1 (x) = x y f2 (x) = x2 son ortogonales en el intervalo [−2, 2]. Ejercicio 2.2. Comprobar que las funciones f1 (x) = cos x y f2 (x) = sin2 x son ortogonales en el intervalo [0, π]. Ejercicio 2.3. Demostrar que el conjunto infinito {1, cos x, cos 2x, ...} es ortogonal en el intervalo [−π, π]. Sugerencia: Escribir los productos escalares correspondientes a las gen´ericas funciones φn (x) = cos(nx), φm (x) = cos(mx) y utilizar la identidad trigonom´etrica: 1 cos(mx) cos(nx) = (cos(m + n)x + cos(m − n)x) 2
Ejercicio 2.4. Sea {sin(nx)}, n = 1, 2, 3, ... una colecci´on de funciones en I = [0, π]. Demostrar que el conjunto de funciones dado es ortogonal en el intervalo indicado y calcular la norma de cada funci´on en el conjunto. Ejercicio 2.5. Determinar las normas de cada funci´on en el conjunto ortogonal {1, cos x, cos 2x, ...}. Ejercicio 2.6. Verificar que el sistema trigonom´etrico dado por ½ ¾ 1 cos x cos 2x √ , √ , √ , ... π π 2π es ortonormal en [−π, π]. Ejercicio 2.7. [series de Fourier de cosenos y serie de senos] Supongamos que f ∈ L[−π, π] es peri´odica de periodo 2π. Probar que la serie de Fourier generada por f presenta las siguientes formas especiales si se verifican las condiciones enunciadas: 1. Si f (−x) = f (x) (f es una funci´on par) cuando 0 < x < π entonces: ∞
a0 X + an cos(nx), f (x) ∼ 2 n=1
2 an = π
Z
π
f (t) cos ntdt 0
122
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
2. Si f (−x) = −f (x) (f es una funci´on impar) cuando 0 < x < π entonces: Z ∞ X 2 π f (x) ∼ bn sin(nx), bn = f (t) sin ntdt. π 0 n=1 Ejercicio 2.8. Desarrollar la funci´on x2 en (−1, 1) con la serie de cosenos o senos adecuadas. ½
0 −π < x < 0 en serie de π−x 0≤x<π Fourier, estudiar su convergencia y calcular su suma.
Ejercicio 2.9.Desarrollar la funci´on f (x) =
Ejercicio 2.10. Resolver el problema: ∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2 u(0, t) = 0 u(1, t) = 0 u(x, 0) = sin (πx)
Ejercicio 2.11. Resolver el problema: ∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2 u(0, t) = 0
0 < x < 1, t > 0 x=0
t>0
x=1
t>0
0
t = 0.
0 < x < 2, t > 0 x=0
u(2, t) = 0 x=2 ³ ´ u(x, 0) = sin π x 0 < x < 2 2
Ejercicio 2.12.Resolver el problema: 1 ∂2u ∂u = , ∂t 16 ∂x2 u(0, t) = 0 u(1, t) = 0 u(x, 0) = 2 sin (2πx)
t>0 t>0 t = 0.
0 < x < 1, t > 0 x=0
t>0
x=1
t>0
0
t = 0.
13. Ejercicios sugeridos
Ejercicio 2.13. Resolver el problema: ∂ 2u ∂u = , ∂t ∂x2 u(0, t) = 0 u(2, t) = 0 u(x, 0) = sin (2πx)
Ejercicio 2.14. Resolver el problema: ∂u ∂2u , = ∂t ∂x2 u(0, t) = 0 u(π, t) = 0 u(x, 0) = sin (x)
Ejercicio 2.15.Resolver el problema: ∂u 4 ∂ 2u = , ∂t π 2 ∂x2 u(0, t) = 0
123
0 < x < 2, t > 0 x=0
t>0
x=2
t>0
0
t = 0.
0 < x < π, t > 0 x=0
t>0
x=π
t>0
0
t=0
0 < x < 4, t > 0 x=0
t>0
u(4, t) = 0 x=4 ³ ´ h ³ ´i π π u(x, 0) = sin x 1 + 2 cos x 0
Ejercicio 2.16. Resolver el problema: 1 ∂ 2u ∂u = , 2 ∂x2 ∂t π u(0, t) = 0
t>0 t = 0.
0 < x < 1, t > 0 x=0
u(1, t) = 0 x=1 µ µ ¶¶ 1 0
t>0 t>0 t=0
124
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Ejercicio 2.17. Resolver el ∂u = ∂t u(0, t) = u(1, t) = u(x, 0) =
problema: ∂ 2u + 2, ∂x2 0 0
0 < x < 1, t > 0 x=0
t>0
x=1
t>0
sin(πx) + x(1 − x) 0 < x < 1
t=0
Ejercicio 2.17. Aplicar el m´etodo de separaci´on de variables para hallar, si es posible, soluciones producto para las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.
∂u ∂u = , ∂x ∂y
2.
∂u ∂u +3 = 0, ∂x ∂y
3. ux + uy = u, 4. ux = uy + u, 5. x
∂u ∂u =y , ∂x ∂y
6. y
∂u ∂u +x = 0, ∂x ∂y
7.
∂2u ∂ 2u ∂ 2u + y + = 0, ∂x2 ∂u∂u ∂y 2
8. y
∂ 2u y + u = 0, ∂u∂u
∂ 2u ∂u 9. k 2 − u = , k > 0, ∂x ∂t 10. k
∂ 2u ∂u = , k > 0, 2 ∂x ∂t
∂ 2u u = 2, 11. a ∂x2 ∂t 2∂
2
13. Ejercicios sugeridos
∂ 2u ∂2u + = 0, 12. ∂x2 ∂y 2 13. x2
∂ 2u ∂2u + = 0, ∂x2 ∂y 2
14. uxx + uyy = u.
125
126
14.
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Ejercicios propuestos en ex´ amenes
Ejercicio 1. Examen control. 7/4/2000. Problema 3 Se quiere determinar la distribuci´on de temperaturas de una varilla de material homog´eneo y longitud L > 0, siendo k constante, k > 0, la conductividad calor´ıfica de la varilla. Se supone la varilla t´ermicamente aislada as´ı que el flujo de calor es unidimensional, en la direcci´on longitudinal x. La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de la varilla es la ecuaci´on del calor de Fourier ∂u ∂ 2u = k 2, x ∈ (0, L), ∀ t > 0 (143) ∂t ∂x El extremo izquierdo de la varilla, localizado en x = 0, tambi´en se supone t´ermicamente aislado luego no hay flujo de calor a trav´es del extremo izquierdo y una condici´on del tipo ∂u (0, t) = 0, ∀t > 0 (144) ∂x es la adecuada. En el extremo derecho, x = L, la temperatura viene prefijada y se mantiene constante durante todo el tiempo: u(L, t) = uL > 0,
∀ t > 0.
(145)
Al comienzo, la varilla est´a a temperatura uniforme y nula: u(x, 0) = 0.
(146)
Se pide contestar, razonadamente a las siguientes cuestiones: 1. Considera el problema de valores de contorno definido por la ecuaci´on (182), las condiciones de contorno (183), (177) y la condici´on inicial (184). ¿ Es aplicable directamente el m´etodo de separaci´on de variables ? Explica porqu´e. (1 punto) 2. Determina el problema de autovalores asociado al problema. ¿ Cuales son las autofunciones y los autovalores del problema ? (4 puntos) 3. Determina, mediante la aplicaci´on del principio de superposici´on, la soluci´on que satisface la ecuaci´on (182) y las condiciones de contorno (183) y (177). (2 puntos)
14. Ejercicios propuestos en ex´amenes
127
4. Determina los coeficientes del desarrollo de Fourier del dato inicial. (3 puntos) 5. Escribe la soluci´on exacta del problema constituido por la ecuaci´on (182), las condiciones de contorno (183), (177) y la condici´on inicial (184). (2 puntos) 6. ¿ Puedes decir hacia que valor se estabiliza la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞) ? ¿ Podr´ıas justificarlo (en t´erminos f´ısicos) a partir de las hip´otesis y condiciones del problema ? (1 punto)
Ejercicio 2. Examen de Junio. 9/6/2000. Problema 2 La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 1, cuando se genera calor por decaimiento radiactivo del material, es ∂u ∂2u = + e−x , ∂t ∂x2
x ∈ (0, 1),
∀ t > 0.
(147)
Suponiendo que ambos extremos de la varilla se mantienen a temperatura nula, u(0, t) = u(1, t) ≡ 0,
∀t > 0
(148)
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura u(x, 0) = u0 (x) = 1 − e−x
(149)
determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. Ejercicio 3. Examen de Septiembre. 14/9/2000. Problema 1 La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L, suponiendo que se pierde calor a trav´es de la superficie lateral (el cual pasa al medio ambiente que est´a a temperatura cero), es ∂2u ∂u = − hu, ∂t ∂x2
x ∈ (0, L),
∀t > 0
(150)
siendo h > 0 una constante. Suponiendo adem´as que ambos extremos de la varilla se mantienen t´ermicamente aislados, es decir ∂u ∂u (0, t) = 0 = (L, t) ∂x ∂x
∀t > 0
(151)
128
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
y que la distribuci´on inicial de temperaturas es u(x, 0) = f (x)
(152)
(siendo f (x) una funci´on suficientemente regular para que todas las operaciones a realizar tengan sentido) determinar 1. la temperatura de la varilla (de longitud L) en cualquier instante t > 0 y para la gen´erica funci´on f (x). 2. la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞). Interpretar f´ısicamente el resultado obtenido. Sugerencia: realizar el cambio de variables v(x, t) = eht u(x, t) para reconducirse a una ecuaci´on sin el t´ermino de absorbci´on −hu y resolver el problema en t´erminos de la nueva variable dependiente v(x, t). Ejercicio 4. Examen control. 2/4/2001. Problema 3 Se quiere determinar la distribuci´on de temperaturas de una varilla de material homog´eneo y longitud L > 0, siendo k constante, k > 0, la conductividad calor´ıfica de la varilla. Se supone la varilla t´ermicamente aislada as´ı que el flujo de calor es unidimensional, en la direcci´on longitudinal x. La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de la varilla es la ecuaci´on del calor de Fourier ∂u ∂ 2u = k 2, x ∈ (0, L), ∀ t > 0 (153) ∂t ∂x El extremo izquierdo de la varilla, localizado en x = 0, tambi´en se supone t´ermicamente aislado luego no hay flujo de calor a trav´es del extremo izquierdo y una condici´on del tipo ∂u (0, t) = 0, ∀t > 0 (154) ∂x es la adecuada. En el extremo derecho, x = L, la temperatura viene prefijada y se mantiene constante durante todo el tiempo: u(L, t) = uL > 0,
∀ t > 0.
(155)
Al comienzo, la varilla est´a a temperatura uniforme y nula: u(x, 0) = 0.
Se pide contestar, razonadamente a las siguientes cuestiones:
(156)
14. Ejercicios propuestos en ex´amenes
129
1. Considera el problema de valores de contorno definido por la ecuaci´on (182), las condiciones de contorno (183), (177) y la condici´on inicial (184). ¿ Es aplicable directamente el m´etodo de separaci´on de variables ? Explica porqu´e. (1 punto) 2. Determina el problema de autovalores asociado al problema. ¿ Cuales son las autofunciones y los autovalores del problema ? (4 puntos) 3. Determina, mediante la aplicaci´on del principio de superposici´on, la soluci´on que satisface la ecuaci´on (182) y las condiciones de contorno (183) y (177). (2 puntos) 4. Determina los coeficientes del desarrollo de Fourier del dato inicial. (3 puntos) 5. Escribe la soluci´on exacta del problema constituido por la ecuaci´on (182), las condiciones de contorno (183), (177) y la condici´on inicial (184). (2 puntos) 6. ¿ Puedes decir hacia que valor se estabiliza la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞) ? ¿ Podr´ıas justificarlo (en t´erminos f´ısicos) a partir de las hip´otesis y condiciones del problema ? (1 punto)
Ejercicio 5. Examen de Junio. 2/6/2001. Problema 2 Sea dada la ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 4, ∂u 4 ∂ 2u = , ∂t π ∂x2
x ∈ (0, 4),
∀ t > 0.
(157)
Suponiendo que ambos extremos de la varilla se mantienen a temperatura constante, u(0, t) = 1,
u(1, t) = 5,
∀t > 0
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura ³ π ´i ³π ´ h x 3 + 2 cos x u(x, 0) = u0 (x) = 1 + x + sin 4 4
(158)
(159)
130
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. Ejercicio 6. Examen de Septiembre. 4/9/2001. Problema 1 [50 puntos] La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna, en condiciones no homog´eneas, la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L > 0, es ∂u ∂ 2u = k · 2 + f (x), x ∈ (0, L), ∀ t > 0. (160) ∂t ∂x siendo k la conductividad t´ermica del material que compone la varilla y siendo f (x) = x − 2x2 un t´ermino de reacci´on debido a procesos qu´ımicos de distinta naturaleza. Suponiendo que a trav´es del extremo izquierdo de la varilla pasa un flujo de calor prefijado y constante A: ∂u (0, t) = A, ∀t > 0 (161) ∂x y que el extremo derecho de la varilla se mantiene a temperatura prefijada y constante B: u(L, t) = B,
∀t > 0
(162)
se quiere determinar la temperatura de la varilla en cualquier punto x ∈ [0, L) y en cualquier instante t > 0, sabiendo que al comienzo la varilla tiene una distribuci´on inicial de temperatura dada por u(x, 0) = u0 (x) = x4 − x3
(163)
En concreto se pide: 1. Sean A = B = 0. ¿Es posible aplicar directamente el m´etodo de separaci´on de variables ?. Razona la respuesta. 2. Sean A 6= 0, B 6= 0 y sea k = 1/6 el valor de la conductividad t´ermica del material. Aplicar el m´etodo de desviaci´on de variables en la forma u(x, t) = v(x, t)+ψ(x) para obtener un problema homog´eneo en la nueva variable v(x, t). Determinar la expresi´on del estado estacionario ψ(x). Sea B = L4 − L3 (es decir, la temperatura en el extremo derecho se fija en funci´on de la longitud L de la varilla).
14. Ejercicios propuestos en ex´amenes
131
(c) Escribir expl´ıcitamente la expresi´on del estado estacionario ψ(x) utilizando la hip´otesis B = L4 − L3 . (d) Calcular los autovalores y las autofunciones del problema homog´eneo. ¿Es λ = 0 un autovalor del problema ?. Justifica la respuesta. (e) Escribir la expresi´on formal de la soluci´on del problema homog´eneo v(x, t) indicando las integrales que aparecen en la definici´on de los coeficientes de Fourier cn . (f) Escribir la expresi´on formal de la soluci´on del problema original u(x, t) y estudiar su comportamiento a largo plazo (es decir, cuando t → ∞). ¿Cual es la temperatura de la varilla en el extremo izquierdo ?. (g) Calcular expl´ıcitamente los coeficientes de Fourier cn como funci´on de n, A y L. Supondremos ahora que el flujo de calor en el extremo izquierdo es tambi´en funci´on de la longitud de la varilla seg´ un la relaci´on A = π 2 /(8 · L). Se pide: (h) Particularizar los valores anteriores de los coeficientes de Fourier cn utilizando la hip´otesis A = π 2 /(8 · L). Escribir la expresi´on de la soluci´on del problema homog´eneo v(x, t) y la del problema no homog´eneo, u(x, t) utilizando los valores encontrados de los coeficientes cn . (i) Calcular una aproximaci´on de la soluci´on del problema original u(x, t) utilizando s´olo los primeros dos modos de Fourier.
Ejercicio 7. Examen control. 8/4/2002. Problema 3 Se quiere determinar la distribuci´on de temperaturas de una varilla de material homog´eneo y longitud L = π/2, siendo k = 2 (constante) la conductividad calor´ıfica de la varilla. Se supone la varilla t´ermicamente aislada as´ı que el flujo de calor es unidimensional, en la direcci´on longitudinal x. La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de la varilla es la ecuaci´on del calor de Fourier ∂ 2u ∂u = 2 2 + 1 − sin(x), x ∈ (0, π/2), ∀ t > 0 (164) ∂t ∂x El extremo izquierdo de la varilla, localizado en x = 0, tambi´en se supone t´ermicamente aislado luego no hay flujo de calor a trav´es del extremo izquierdo y una condici´on del tipo ∂u (0, t) = 0, ∀t > 0 (165) ∂x
132
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
es la adecuada. En el extremo derecho, x = π/2, la temperatura viene prefijada y se mantiene constante y nula durante todo el tiempo: u(π/2, t) = 0,
∀ t > 0.
(166)
Al comienzo, la varilla tiene una distribuci´on de temperaturas dada por: u(x, 0) = −
sin(x) x2 3 π2 3 1 − + x+ − π+ . 2 4 2 16 4 2
(167)
Se pide contestar, razonadamente a las siguientes cuestiones: 1. Considera el problema de valores de contorno definido por la ecuaci´on (182), las condiciones de contorno (183), (177) y la condici´on inicial (184). ¿ Es aplicable directamente el m´etodo de separaci´on de variables ? Explica porqu´e. (0.5 punto) 2. Determina el problema de autovalores asociado al problema. ¿ Cuales son las autofunciones y los autovalores del problema ? (2.5 puntos) 3. Determina, mediante la aplicaci´on del principio de superposici´on, la soluci´on que satisface la ecuaci´on (182) y las condiciones de contorno (183) y (177). (1.5 puntos) 4. Determina los coeficientes del desarrollo de Fourier del dato inicial. (3 puntos) 5. Escribe la soluci´on exacta del problema constituido por la ecuaci´on (182), las condiciones de contorno (183), (177) y la condici´on inicial (184). 6. Escribe una aproximaci´on de la soluci´on mediante los dos primeros modos de Fourier de la soluci´on obtenida calculando expl´ıcitamente los coeficientes asociados. (2 puntos) 7. ¿ Puedes decir hacia que valor se estabiliza la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞) ? (0.5 punto)
14. Ejercicios propuestos en ex´amenes
133
Ejercicio 8. Examen de Junio. 4/6/2002. Problema 3 Sea dada la ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada y homog´enea (con difusividad t´ermica constante e igual a 1) de longitud L = 2, ∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2
x ∈ (0, 2),
∀ t > 0.
(168)
Suponiendo que ambos extremos de la varilla se mantienen t´ermicamente aislados ∂u (2, t) = 0, ∂x
∂u (0, t) = 0, ∂x
∀t > 0
(169)
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura u(x, 0) = u0 (x)
(170)
siendo ( u0 (x) =
x 0≤x≤1 0 x>1
se pide: a) Determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. b) Calcular los 5 primeros modos de Fourier de la soluci´on (recuerda que los modos de Fourier vienen dados por el producto ai Xi (x)Ti (t)). c) ¿Cual es el comportamiento de la soluci´on para tiempos grandes ? Explicarlo f´ısicamente.
Ejercicio 9. Examen de Septiembre. 4/9/2002. Problema 1 [25 puntos] La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna, en condiciones no homog´eneas, la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 1, es ∂ 2u ∂u = α · 2 + f (x), ∂t ∂x
x ∈ (0, 1),
∀ t > 0.
(171)
134
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
siendo α la difusividad t´ermica del material que compone la varilla y siendo f (x) = 2α un t´ermino de reacci´on constante debido a procesos qu´ımicos de distinta naturaleza que dependen de la difusividad α del material. Suponiendo que el extremo izquierdo de la varilla est´a t´ermicamente aislado: ∂u (0, t) = 0, ∀t > 0 (172) ∂x y que el extremo derecho de la varilla se mantiene a temperatura prefijada y constante um : u(1, t) = um ,
∀t > 0
(173)
se quiere determinar la temperatura de la varilla en cualquier punto x ∈ [0, 1] y en cualquier instante t > 0, sabiendo que al comienzo la varilla tiene una distribuci´on inicial de temperatura dada por u(x, 0) = u0 (x) = −x2 + x + 1
(174)
En concreto se pide: 1. [8 puntos] Escribir expl´ıcitamente el problema propuesto y calcular los autovalores y las autofunciones del problema. ¿Es λ = 0 un autovalor del problema ? . Justifica la respuesta. 2. [5 puntos] Calcular los coeficientes de Fourier de la soluci´on. 3. [4 puntos] Determinar la soluci´on del problema propuesto. Sean um = 1 y α = 1. (d) [6 puntos] Calcular la temperatura de la varilla en el extremo izquierdo y el flujo de calor en el extremo derecho en cada instante de tiempo. (e) [2 puntos] Calcular el comportamiento de la soluci´on del problema para tiempos grandes.
Ejercicio 10. Examen control. 28/4/2003. Problema 3 [25 Puntos] Se quiere determinar la distribuci´on de temperaturas de una varilla de material homog´eneo y longitud unitaria, L = 1, siendo k = 1 (constante) la difusividad del material que compone la varilla. Se supone la varilla t´ermicamente
14. Ejercicios propuestos en ex´amenes
135
aislada as´ı que el flujo de calor es unidimensional, en la direcci´on longitudinal x. La ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de la varilla es la ecuaci´on del calor de Fourier √ ∂u ∂ 2u = + 1 − x, 2 ∂t ∂x
x ∈ (0, 1),
∀ t > 0.
(175)
El extremo izquierdo de la varilla, localizado en x = 0, tambi´en se supone t´ermicamente aislado luego no hay flujo de calor a trav´es del extremo izquierdo y una condici´on del tipo ∂u (0, t) = 0, ∀t > 0 (176) ∂x es la adecuada. En el extremo derecho, x = L = 1, la temperatura viene prefijada y se mantiene constante y positiva durante todo el tiempo: u(1, t) = 23/30,
∀ t > 0.
(177)
Al comienzo, la varilla tiene una distribuci´on de temperaturas dada por: u(x, 0) =
4 5/2 1 2 x − x + x. 15 2
(178)
Se pide contestar, razonadamente a las siguientes cuestiones: 1. Considera el problema de valores de contorno definido por la ecuaci´on (182), las condiciones de contorno (183), (177) y la condici´on inicial (184). ¿ Es aplicable directamente el m´etodo de separaci´on de variables ? Explica porqu´e. (1 punto) 2. Determina el problema de autovalores asociado al problema. ¿ Cuales son las autofunciones Xn y los autovalores λn del problema ? Calcular el l´ımn→∞ λn . (3 puntos) 3. Determina, mediante la aplicaci´on del principio de superposici´on, la soluci´on que satisface la ecuaci´on (182) y las condiciones de contorno (183) y (177). (2 puntos) 4. Determinar los coeficientes del desarrollo de Fourier del dato inicial. Calcular l´ımn→∞ cn . (Sugerencia: Para reducir las posibilidades de error es conveniente utilizar la expresi´ on gen´erica de los autovalores λn en lugar de su f´ormula
136
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
expl´ıcita. De esta manera podr´ as incluso contestar bien a esta pregunta aunque te hayas equivocado en el apartado (b).) (6 puntos) 5. Escribe la soluci´on exacta del problema constituido por la ecuaci´on (182), las condiciones de contorno (183), (177) y la condici´on inicial (184). (2 puntos) 6. Escribe una aproximaci´on de la soluci´on mediante los dos primeros modos de Fourier de la soluci´on del problema homog´eneo v(x, t) calculando expl´ıcitamente los coeficientes asociados. (4 puntos) 7. ¿ Puedes decir hacia que estado de equilibrio se estabiliza la temperatura de la varilla para tiempos grandes (t → ∞) ? Calcular la temperatura en el extremo izquierdo y el flujo de calor en el extremo derecho. Calcular su comportamiento para tiempos grandes (t → ∞). (7 puntos)
Ejercicio 11. Examen de Junio. 4/6/2003 Problema 4 [25 puntos] Sea dada la ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 2, ∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2
x ∈ (0, 2),
∀ t > 0.
(179)
siendo k = 1 la difusividad t´ermica del material. Suponiendo que ambos extremos de la varilla se mantienen a temperatura constante, u(0, t) = 1,
u(2, t) = 3,
∀t > 0
y que al comienzo la varilla est´a a temperatura ³π ´ h ³ π ´i u(x, 0) = u0 (x) = 1 + x + sin x 1 + 2 cos x 2 2
(180)
(181)
se pide: a) Determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. (18 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (1 punto).
14. Ejercicios propuestos en ex´amenes
137
b) Calcular el flujo de calor por ambos extremos. (4 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (2 puntos).
Ejercicio 12. Examen de Septiembre. 8/9/2003. Problema 3 [45 puntos] Sea dada la ecuaci´on de la energ´ıa que gobierna la distribuci´on de temperaturas en el interior de una varilla delgada de longitud L = 1, ∂ 2u ∂u = k 2 − x, ∂t ∂x
x ∈ (0, L),
∀ t > 0.
(182)
siendo k = 1 la difusividad t´ermica del material. Suponiendo que el extremo izquierdo de la varilla se mantiene a temperatura constante y que el extremo derecho est´a t´ermicamente aislado se tienen las condiciones de contorno ∂u u(0, t) = 1, (1, t) = 0, ∀ t > 0. (183) ∂x Supondremos adem´as que al comienzo la varilla est´a a temperatura 1 u(x, 0) = u0 (x) = x3 6
(184)
se pide: a) Determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante t > 0. (22 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (3 punto). b) Calcular el flujo de calor por el extremo izquierdo (para cualquier instante de tiempo t > 0). (8 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (2 puntos). c) Calcular la temperatura en el extremo derecho (para cualquier instante de tiempo t > 0). (8 puntos). Calcular su comportamiento para tiempos grandes. (2 puntos).
138
15.
Tema 2. M´etodos anal´ıticos de resoluci´on de EDP. Dominios acotados.
Bibliograf´ıa B´ asica
1. Apostol, T.M., (1982), An´alisis Matem´atico. 2 ed. Editorial Revert´e. 2. Apostol, T.M., (1996), Calculus. II ed. Editorial Revert´e. 3. Costa Novella, E. (1986). Ingenier´ıa Qu´ımica. Vol. 2, Fen´omenos de Transporte. Vol. 3, Flujo de Fluidos. Vol. 4, Transmisi´on de Calor. Vol. 5, Transferencia de Materia. Alhambra Universidad. 4. Courant, R y Hilbert, D. (1989). Partial Differential Equations. Vol 2. John Wiley & Sons, Inc. 5. Deen, W.M., (1998). Analysis of Transport Phenomena. Oxford University Press. 6. Kreyszig, E. (1993). Advanced Engineering Mathematics. VII Ed. John Wiley & Sons, Inc. 7. Mei, C.C., Mathematical analysis in Engineering. Cambridge University Press. 1997. 8. Zill, D.G., Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thomson Ed. 6 ed. 1997.
16.
Bibliograf´ıa Avanzada
1. Rice, R.G, Do, D.D., Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers. John Wiley & Sons, Inc. 1995.