ANALISIS-MATRICIAL (1)

ANALISIS MATRICIAL

Grados de libertad Una

290 – 367

tiene 6 grados de libertad

es flexible

Grado de libertad. libertad. Los desplazamientos que tiene una estrutura. !lementos axialmente flexible  "!l # 3 $"%&' ( $"%&' )*  "+mero de &unta  "!L # "+mero "+mero de grado de libertad  "%& # "+mero de ,untas $%%&' # "+mero de ,untas externas * # es igual a -  el /nulo de un rodillo

#1

2

 "GL # 3 $' $' – $2' ) 3 # 6  "GL # 3 $"%&' $"%&' – $"%&' ) * – 1 ) 4  "GL # 3 $' $' – 2 ) 5 # 3 $' – $1' – $1' $1' # 12 – 3 # 9

 "GL # 3 $' $' – $1' $2' – 1 – 1 – 3 # 6

#3

Deformación axial

y P

P

A

X

 PL 4 #  EA

rinipio de superposiin

=

!4 # 8igidez  flexible

d: #

 Ex dX   y

d: #

 H  dx  EIz

 L

: #

 H   dx ∫ dE =∫  ELz e

;i el material es prism
: #

 H   dx  ELz

%eformain por torsin

!#

Tr J 

! # !sfuerzo ortante = # >omento torso r # %ef. unitario por ortante & # >omento olzi

 T

 T

dx L

rmax

a

dO b d

=mix #

TR J 

8 # radio de la barra G& # 8igidez o =orsin

dO =

rmix T  dx =  dx  R GJ 

r#

J  T  = G GJ 

G # >dulo de orte

c d s

 T

 L

d#

T  dx ∫ dO =∫  EJ  O

%eformaiones por ortante

M A

dx

M dx

L

?allar el fator de forma para una sein ualquiera on el formato de representain @ r+bria.

> # (  $L ( A'

d4 #

B#

∫ 6V  A dx

VO  Lzb

4#

PL ∫ 6P A dx =∫ GA

Análisis de Estructuras Métodos numéricos

=emaC Dn/estigar los mEtodos analtios @ numErios en la soluin de problemas de an
 # 4in neesaria para produir un %esplazamiento unitario

8igidez axial

Huerza axial neesaria para produir un desplazamiento 8igidez por flexin !l momento neesario para produir  un giro unitario 8igidez a torsin 8igidez a arga latera lateral La fuerza Iorizontal neesaria ara produir un desplazamiento.

A

P

>omento torsor neesario para produir un giro torsional unitario. b a

rQ =i

K b

4 ET 

#

 L 2 EI 

a#

 L

K =rígidez iflexia K =

4 EI 

 L

rígidez reciprocaa flexi!a =

2 EI 

 L

 K + a GEI   K + a Ez = 2 = rígidez flexi!b = =6 2  b #  L  L  L  L

12 EI 

t#

 L

3

= Ag" del L#eral

1

b +b # =  L

Le@ de ?ooJe Los esfuerzos son proporionales a las deformaiones.

o

dx

A

X !x #

d

a$ ax

!@ #

ay ay

r x@ #

a$ a% + ay ax

!z #

a$z az

r x@ #

r$ a% + r 2 ax

r xz #

r% a& + rz ay

B

 Y

U+

a$  dx ax

%eformaiones prinipales

ox − % (oy + oz ) ⌋ 1

!#

 E

 ⌊ ¿

oy − % (ox + oz ) ⌋ 1

!@ #

 E

 ⌊ ¿

oz − % ( ox + oy ) ⌋ 1

!z #

 E

 ⌊ ¿

=eoras bases de eletriidad para un

!x #

Oy  E

!n el plano

!@ # ( *

Ox  E

!z # ( *

Ox  E

* # >edio de Horsson

!n el plano

rx@ #

#xy G

 E x 3 rxz # G

r@z #

 Ey 3 G

!n el plano

 E

G #  z ( 1 + 1 )

r#

 E G

Para ecuaciones en el lano

K
L

X1

X2

X1 =

 K − L ?u #  L

5

 X  3

L X >atriz de flexibilidad

 L

r 11 #

∫  '(   Ez O

 L

dx

#

∫( o

( X − L )2 dx =¿  L 2  X − L  #  dr = ∫ ¿  L

)

 L

o

2

 x −2 x L + L

(¿) dx 0

[

3

1  X 

 L

2

3

−

2 x

2

]

 L

2 2

 L+ L  X 

2

O

 L

 '  ¿ 2  L O

∫

[

3

 I   L 2  L 3

 L

−

2 L

] [

2

2

+ L3 =

 L

1  '$l r 22 = dx = 1  L O  EI 

∫

 L

∫

r 12 =

O

 '$ 1 ' $ 2  EI 

I  4 3 2  L − L 2  L 3

]

4

−  L2−1 3

 L

∫ X   dx  EI   L

O

dx =

 L

( x − L ) X  dx ∫  EI   L 1

2

O

[ ] [ ]  L

3

 I   X  2  L 3

 X 12=

3

3

 I   L = L 1 = L 2 3 bL 3 O  L



L  L

2

!ec"a #$ de %ctu&re del '(#)

=emaC >atriz de flexibilidad empotramiento perfeto.

@ de rigidez a flexin de una barraF reaiones de

Marra de e,e reto sein ortante

L A X1

=

B

X2

1 1

 L  I   L

A

?#

 X − L  L

 I   L

X H#

1 F

n F 21 F 22

11

12

21

22

1era Iiptesis - el apo@o 129

A1 = 1 A2 = 0

Ecuaciones de comati&ilidad

[ ] { } {} ) 11 ) 12

 X 1

1

) 21 ) 22

 X 2

0

¿ ¿ ¿¿

¿ =¿

A1 #   A2 #  

2da. ?iptesis. 4po@o dorado gira

A1 = 0 A2 = 0

!uaiones de ompatibilidad

[ ] { } {} ) 11 ) 12

 X 1

0

) 21 ) 22

 X 2

1

¿ ¿ ¿¿

[ ] { } {}

¿

 K 

0

) 21 ) 22

a

1

¿ ¿ ¿¿

¿ =¿

¿

) 11 ) 12

¿ = ¿

−1 ¿

[ ]

 K  a ) 11 ) 12 ¿ ¿ ¿ = ¿ ¿¿ ¿ a  K  )21 ) 22

¿

[

H#

− L L 3 E*  6 EI  L L ¿− ¿ 6 EI  3 EI 

]

¿ 2

)

2 2

4  EI 

 # H(1 #

 L

1

¿− 1 ¿ ¿ 2

¿ ¿

6 EI 

¿

=

L  ¿ 6 EI 

¿

2 EI   L  L 2 EI  ¿  4  EI  ¿  L ¿  L

¿

#

 [ ]

2 EI  2 ¿ 1

 L

¿ ¿¿

1 2

2/ 3 1 / 3 =¿ ¿ 1/ 3¿ ¿ 2/ 3

¿

+L ?H #

2

12

+ ', =

+L

¿

2

12

¿

) 11 ) 12 ¿ ) 21 ¿ ¿ )

22

{

H,  ¿ H - f 

¿

}{ } +  A 10 ¿ A 20

 # 0

+L

+L

¿

2

2

)11 ) 12 ¿ ) 21 ¿ ¿ )

*q

¿

22

{ } { }

H,  =− A 10 ¿ ¿ H - f  ¿ A 20

+L 4

+L

?Uo

¿

2

2 EI   L  L 2 EI  ¿  4  EI  ¿  L ¿  L

8

[ , ]−1=¿

 L

410 #

¿

4 EI 

dx  H ( 1 H ( 0  =¿  EI  0

∫

2

3

−+L  L = 8 3 EI  24 EI 

9 L

410 # ( 1  L

420#

dx  =¿ ∫ H (   H (   EI  2

0

+L

0

8

420 #

2

∗ L

3 EI 

=

−+L3 24 EI 

[ ] {  } 3

 EI  4 2 + L −1  L 2 4 24 EI  1

#

{

}

3

{  }

H,  = − +L −2 ¿ H - ,  24 EI  2

+L

?H #

{

}

3

2

12

{ }

H,  = −+L 1 12 −1 ¿ H - , 

+L

?NH #

2

12

Análisis Matricial Tema* K
L

X1

X2

¿

¿ ¿ ,  ¿ ¿ ¿ ¿

¿

) 11 ) 12 ¿ ) 21 ¿ ¿ )

22

 #  #

[ , ] =¿

%iagramas unitariosF %eformaiones por orte.

r i,#

dx  +∫∫ V%i∗V%. ∫ '$li '$. dx  EI  GA

+

1 L 1 1

 L

=

2

HU1 1

 L

 L

()

2

=

M2

;11 #

 L 1  + f  3 EI  2

 L L f  L f  = + ∗)22=  + 3 EI   LGA GA 3 EI   LGA

;12 #

 L f   EIE  EI,   +  / = .. GA = 2 GEI   LGA GAI  /L 1 + 3 / 

2

11 # u #

12 # 21 #

 L  f / L  + = L  3 EI   LEI,  3 EI 

 L / L  + L  + = G EI   EI  6 EI 

VU2 L + VU2

L 1

=

=

/L L  =  ¿ '  EI  3 EI 

1 + 3 / 

¿

'

H#

H#

[

 ( 1 + 3 / ) L  (−1 + 6 / ) 3 EI  6 EI  ¿ 1  L ( 1 + 3 / )  ( −1 + 6 / ) 1

6 I 

3 E* 

[

 L 6 EI 

[ , ]  #

]

2 ( 1 + 3 / ) (−1 + 6 / )

¿ (−1 + 6 / ) 2 ( 1 +3 / )

[

6 EI  3 L ( 1 + 12 A )

]

2 ( 1 + 3 / ) ( 1−6 / )

¿

(1 −6 / ) 2 (1 +3 / )

(+ )

]

4 EI  1 + 3 / 

##

 L

9 / 

O#

1 2 / 

(+ )

2 EI   1 −6 / 

#

 L

 # 1 #

2 EI 

#

 b#

;i

 L

 1

#

1 12 / 

4 EI 

 L

(

1 +3

(− ) 1

12 1

9

1+ 12

1 9− 12 1

)

 #



1 + 12

+ + 12 1

2 EI 

#

9−12

 (

4  K + 3 6 EI  = 2 1−  1 3  L  L

)

 L

9−12 / 

 EI  ( 1− 1 )  L

1

1− 6

1 + 12 / 

( 1 −2 1 )

9.

9 1

O#

EIf  2

2b

GA L = 1 + 12 /  12 EI,  1+ 2 GA L

t#

12 EI 

t#

 L

3

 L

(

4 1 −  1 3

)

9 EI f 

O#

2

GA L + 12 EIf 

b 6

!

# H#

5

−1,2

H # 2F0 AD:9 Jgm2

 E

G#

 L =o  L

G # 0F25

2 ( 1+ 2 )

G # P00 x 106 4 EI 

#

 L 2 EI 

a#

 L

( 9 x 2 x 10 ) (1 x 2 ) ( I ) +12 EI,  ( 800 x 10 ) ( A ) L +12 ( 2 x 10 ) ( I ) ( 1,2 ) 9

9 EI , 

O#

GA L

2

6

6

2,16  x 10

O#

(

1 12

800 x 10 ( b x 3 ) ( L 6

2

b3

3

2

)

) + 2,88 x 10

10

>omento de empotramiento perfeto P

#

10

2,16  x 10 * 

9

 #

180000 b 3

3

6

900 x 10 ( b x 3 )

6

800 x 10  A L

2

+ 2,8 x 1010

a

b L

Q> # ( - 8b@ – L  P a = Rby  L

[ , ]

 #

8a@ #

[ ]

21

[ K ]= 2 EI  ¿  L

¿ −1 2

¿¿

 Pb  L

 [ ]

2 −1

6 EI  1

Q>b # fa@ L – b

12

{ X } −{ A 0 } L,J - 

{ }

 ',  =−  A [ K  ] { 0}  ', 

>emoria de empotramiento

4 ab

>#

 L

2

a H - =

 L

410 #

dx ∫ ' (   ' (   EI  1

0

O

 L

420 #

dx ∫ ' (   ' (   EI  1

O

0

4 ab  L

2

b

[

]{

}{ }

)11 )12 + ',  +  A 10 ¿ ) 21 ) 22 ¿ ' - ,  ¿ A 20

{

} { } [

',  =− A10 ¿ ' - ,  ¿ A 20

( 0

)11 )12 ¿ ) 21 ) 22

−1 ¿

]

r 11−

L  L  r 12 3 EI  6

[ ] 4 EI  2 EI 

−1

[ , ] =

 L  L  LEI  4 EI   L  L

410 #

 L  P −a  P− a = 3 EI   L 3 EI 

420 #

 L  P −b  P− b = 3 EI   L 3 EI 

#

[ ]  {  }

 EI  4 2  P −a −1  L 2 4 3 EI  1

!ec"a* '+,#(,'(#) Análisis Matricial

Dntroduin al mEtodo de la flexibilidad ;i se tiene una barra de longitud onstante on una longitud L @ adem
4

!D

te 9 L 2

2

L $('

0

!strutura Libre

4M0

A1 L

 

$-'

A1

4M0 - 4MU # 4M # 0

A1 L 4MU Dmposible Iallar sin antes onoer la mag de x 1

Siemre -ue sea .álido el rinciio de suerosición

 A5$ )5 = 6 A5( = X 1  X 1 1

QO

 A 5 6

4M0 - A1 ;M # 0

A 1 # (

)5

 y

dx −9 L =  Ho H(5  EI  8 EI 

∫

4M0 #

3

;M #

 L 3 EI 

Por suerosición de efectos +L

?4 # (

2

2

3

 -

8

+ l L=

+L

2

8

8 4 # qL – 1F0 A1

5

8 4 #

8

+l

411 # a11 A1 #s$rc$ra P

"

"

P B

'(1

#  

-

A1

'X1

8%A

1 A2

>%

8%@

'11 A1

'((

'(2

'2(

'2) 1 '11 1

Ec/ Comati&ilidad de los desla0amientos/

410 - r 11 F x1 - r 12 A2 - r 13 A3 # 0 420 - r 21 F x1 - r 22 A2 - r 23 A3 # 0 403 - r 31 F x1 - r 32 A2 - r 33 A3 # 0

[ , ] =¿

 matriz de flexibilidad

+

'1(

[ , ] { X } + { A0 }={ Ar }

{ X }  # redundante

{ A }=¿ 0

 desplazamiento en los redundantes por Exodo de ur/a externa.

{ Ar }  # desplazamiento lados en los redundantes

[ , ] 7o e" compac#o ( 8i"per"o ) )i"#emaba!d R [ , ] 9 0 ;olRno Dniio [ , ] =¿ 0 Dnestable Pasos ara resol.er una estructura estáticamente indeterminada Primera arte relaionados on las propiedades

1' %eterminar el n+mero de redundantes $Dndet. !st
dx dx  +∫ 7V 7V. +∫ TVi TV  ∫ H(i H(.  dx  EI   AE 6 J 

 - H

∫ V8V  6dx!

Se1unda arte/ ara ada Iiptesis de arga.

' :btenin del /etor de desplazamiento 46 .1 :btener los diagramas ?ui S "Ui F =*i S */i .2 :btener los tErminos 4iS por medio de integrain o por medio de una e/aluain geomEtria seg+n sea el aso. 5' lantear el sistema general de las euaiones de ompatibilidad de los desplazamientos @ obtener los redundantes.

[ , ] ) x ) + { A0 } ={ A1 } 6' 4pliar el prinipio de superposiin de exeder.

?i # ?U0i - >Ui A1 - >Ui A2 -RR *i # *Uio - *Ui1 A1 - *U i2 A2 -RR  "i # "Uio - "Ui1 A1 - "U i2 A2 -RR =i # =Uio - =Ui1 A1 - =U i2 A2 -RR 4i # 4Uio - 4Ui1 A1 - 4U i2 A2 -RR Análisis Matricial

!ec"a* 27 de :tubre del 2016 "

Mo

AM Ay

M* BMM*

L

?allar las reaiones de empotramiento perfeto para la barra bien potrada on la arga que se muestra en la figura.

: '  R =+

: '  R =

( )+

L  L 2 3

−4 L 2 6

 R 52  L: fx = ( 

 R 52  L −

+L 2

+ R A2 + R 52  −0 9 X 

+L

8 M@ # 9

 L

=

"

 L

6

10

 X 

X

 R Ay

B  R Ay

L

 R5y

9 X 

 L

=10 aL b

9

 L

+L

10

=¿  =  X 

[ : 'oL' ] A5 = R 5y− +X   L 4 XL

#

 '  A

6

 X  ❑ 2 3

3

=

4  X  3 L

=1 A  R Ay

L

R 5y

X

Q>4# 0 (

 R5y ( L ) −11 =0 R A  y =

 R5y =

1

 L

1

 L

[ : 'az+ ] A5 = R Ay ( L− x )−1 1

#  L

 ( L − X ) −1  X   L

1 B

A  R Ay

Por el método de inte1ración

L

6

R 5y

 #

+XL 6

=

=

4  x

3

3 L

In1enier2a en Costos

,i&%

Kostos Dndiados Hinaniamiento Gastos :fiial Gastos de ampo

Le@ de ontratain p+blia Kaptulo 9 G. =MK>i

/. /ara$a d& $&x$o /.

412 92 411 9 Kaptulo 3 4rt. 73 – 7 (75

Dmpre/isto Garanta Utilidades

KalularF determinar @ ,ustifiar los ostos indiretos de una obra de un monto de Iasta 500 000 dlares de un plazo de 6 meses. Gastos Konepto . direti/a . general . =Enio

Kostos Dndiretos Kantidad

reio unitario $mensual'

C.I.O.CA =

( I ; A ;O ) Tema* ?erramienta menor @ enofrado

Kontrolara general del !stado

Dmpre/isto

Garanta

Dmpre/isto

K D aK 1

Ca2tulo III

4rt. 73 4rt. 7 4rt. 75

4rt. P9

Análisis de Estructura !ec"a* 17 de "o/iembre del 2016 ?allar por el mEtodo de la flexibilidad las redundantes de prtio Iiperest
#4

#4

c

1F2 lbHet

5M6

#4 d

a

c

b

d

a dx

Ax

Ma

Ay

dy Md

8or$& 8*

8or$& bc 131

c x dx

d

Hd

Hx = 9)0

Q>d # 0 >d – 1F2 $10' $5' # 0 ?d # 60 Qf@ # 0 8d#0 8d@ – 1F2 $10' # 0 8d@ # 12

2

Hd=

A#0

dy = 12 Korte b

dx 7 xd = dy = 12

2

Mx =9132 Vx = 132x

 X   L

[

]

 'x =−1,2  'x =1,2

Mx = 9)0 A # 10 Vx = 12

Korte do >x # 0 *x # 0

b

c

dx=1

8or$& AB

BMd=0

10

Mx = 9 x a

d

1

Mo : Md

dx=1

x Vx = 1

Md = 10 dy=0

M

8or$& bc x

Korte d >x # (10 *x # 1

>x # 0 - x *x # 1 X

10

dx = dy =

1

Md =

b

c

!md # 0

!fx # 0

!fx # 0

10 – >d – 0

8dx # 0

8d@ - 1 # 0

10

>d ( 10 d

a

dx= dy

M

b

a

c

d

Marra ab  b d

r 11

r 12

r 22

:rigen a  b  b

 dx = 1  ' 1  EI   EI 

∫

 L

[

Lmite x 10 10 10

10

∫ Ex l

? n 0  L

(

10

2

2

0

10

]

10

1 1000 dx 0 + (−10 ) ( X ) + ( x −10 ) ( 10 ) =  ' 1 ' 2  = =lb / 0,3  EI   EI   EI  0 0

∫

 dx 1 =  '   EI   EI 

∫

2

{

∫

∫

10

∫ (10 ) dx =1333,33 2

0

10

r 32

dx ∫ '   '  = EI  1

3

0

#

}

 x 1  I   1667 −1000−200 −1000 1333,33150  x 2  EI  −200 15030  x 3

A1 # 1

dx +

2

0

{¿

10

∫ +∫ ( r ) (1 ) dx

100

 EI 

0

xlb / 0,3 }

3

]{ }

[

∫

(−10 )( 1)2

0

 EI 

 =lb −1  ' 3 ' 2=150  EI 

∫

0+

1

>2 0 x 10

∫ (−10 ) dx+∫ ( x −10 ) =1666,69  Klb EI / 0,3

(− x ) (1)2

r 31

2

10

0

[

12 X 

2

dx +

0

>1 (r  (10 x(10

200 =b

rx3#

 -

{ }

  5000 −7500  EI  800 1

c

=0

r 33=

30

 EI 

]

>3 1 1 1

A2 # 6 A3 # 3F33

3ormi1ón Armado

!xamen !xposiin rueba

2 %iiembre 1 Hsio 25 (0 -2 ( !saleras 1P 17

Losas