BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Penggunaa Penggunaan n matematika matematika dalam kehidupan kehidupan sangat berguna berguna untuk untuk meningkatkan pemahaman dan penalaran, serta untuk memecahkan suatu masalah masalah dan menafsi menafsirka rkan n solusi solusi dari dari permas permasalah alahan an yang yang ada. ada. Tanpa anpa disadari disadari ketika ketika kita mempelajari matematika, matematika, kita memiliki ketelitian dan kecerm kecermatan atan yang yang sangat sangat baik baik karena karena nilai-n nilai-nila ilaii pada pada matema matematik tikaa yang yang menggu menggunak nakan an nilai nilai yang yang komple kompleks ks sehing sehingga ga faktor faktor keteli ketelitia tian n sangat sangat diperlukan untuk menghitung suatu rumusan masalah. Persamaan diferensial berperan penting dalam kehidupan, sebab banyak permasalahan pada dunia nyata dapat dimodelkan dengan bentuk persamaan diferensial. Ada dua jenis persamaan diferensial yang kita kenal, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah persamaan diferensial biasa. Pesamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan dari sebuah unknown function dan hanya memiliki satu variabel bebas. olusi dari persamaan diferensial adalah fungsi spesifik yang memenuhi persamaan. Persamaan dibawah ini merupakan contoh dari persamaan diferensial biasa yang memiliki solusi. Pada persamaan dibawah ini, ! merupkan variabel bebas dan y merupakan variabel tetap. y merupakan nama unknown function dari variabel !.
1.2
Tujuan Tujuan Tujuan yang hendak dicapai dalam penulisan ini ini yaitu sebagai salah satu syarat syarat untuk memenuhi seluruh praktikum jurusan Teknik Teknik Elektro ITENAS Bandung, antara lainnya: • Mahasisa dapat menghitung persamaan di!erensial biasa
dengan dengan menggu menggunak nakan an metode metode euler, euler, baik baik secara secara manual manual maupun dengan komputer"
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
1.3
Sistematis Penulisan BAB I
" Pendahuluan Pada bab ini memuat latar belakang, tujuan yang ingin dicapai, serta sistematis penulisan
BAB II
" Teori #asar #asar teori yang berisi kajian literatur mengenai materi dasar dan terkait dengan teori-teori metode euler
BAB III
" $andasan Praktikum Pembahasan tentang langkah-langkah untuk mendapatkan rumus metode euler
BAB IV
" Penutup %erisi tentang analisa dan kesimpulan dari praktikum
BAB II
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
2.1
Metode Euler
&etode &etode 'uler 'uler adalah adalah salah salah satu dari metode metode satu langkah langkah yang yang paling paling sederhana. #i banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kuran kurang g telit teliti. i. (amu (amun n demi demiki kian an meto metode de ini ini perl perlu u dipe dipela lajar jarii meng mengin ingat gat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti. &etode 'uler dapat diturunkan dari #eret Taylor" Taylor" y i
= +0
y i
+
7 x
y i8
06
+
y i88
7 x ) )6
+
...
Apabila
nilai
∆ x
kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari ) adalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi" yi
#engan
+
0 =
yi
+
yi8 7 x
membandingkan yi8 persamaan *+. dan persamaan *+.
dapat disimpulkan disimpulkan bahwa pada metode metode 'uler, 'uler, kemiringan kemiringan Φ / / f * x xi , yi, sehingga persamaan *+. dapat ditulis menjadi" yi
+
0 =
yi
+
f * xi , yi - 7 x
dengan i / 0, ), 1, 2 Persamaan *+.3 adalah metode 'uler, nilai y nilai yi 4 0 diprediksi dengan menggunakan kemiringan fungsi *sama dengan turunan am!ar "et#$e Euler
pertama di titik x titik xi untuk diekstrapolasikan secara linier pada jarak sepanjang pias ∆ x. x. 5ambar +.1, adalah penjelasan secara grafis dari metode 'uler.
%esala&an "et#$e Euler
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
0 9esalah 9esalahan an pemoto pemotonga ngan, n, yang yang diseba disebabka bkan n oleh oleh cara penyeles penyelesaian aian yang digunakan untuk perkiraan nilai y nilai y,, ) 9esalah 9esalahan an pembul pembulatan atan,, yang yang diseba disebabka bkan n oleh oleh keterb keterbata atasan san jumlah jumlah angka angka *digit yang digunakan dalam hitungan.
9esalah 9esalahan an pemoto pemotonga ngan n terdiri terdiri dari dari dua bagian bagian.. Pertam Pertamaa adalah adalah kesalah kesalahan an pemotongan lokal yang terjadi dari pemakaian suatu metode pada satu langkah. 9edua adalah kesalahan pemotongan menyebar yang ditimbulkan dari perkiraan yang dihasilkan pada langkah-langkah berikutnya. 5abungan dari kedua kesalahan tersebut dikenal dengan kesalahan pemotongan global. %esar dan sifat kesalahan pemotongan pada metode 'uler dapat dijelaskan dari deret Taylor. :ntuk itu dipandang persamaan diferensial berbentuk" y 8 = f * x, y -
y 8
dy =
dengan dengan , sedang sedang x x dan y dan y adalah
dx
variabel bebas dan tak bebas.
Penyelesaian dari persamaan tersebut dapat diperkiraan dengan deret Taylor" Taylor" yi
= +0
yi
+
8
yi
7 x
+
06
88
yi
7 x ) )6
+
...
+
n
yi
7 x n
n6
+
Rn
Apabila
persamaan *+.; disubstitusikan ke persamaan *+.+, akan menghasilkan" yi
+
0 =
yi
+
f * xi , yi -
7 x 06
+
f 8 * xi , yi -
7 x
)
)6
+
f 8 8 * xi , yi -
7 x
1
16
+
... + Rn
Ta!el Ta!el Hasil &itungan $engan met#$e Euler x
y
x ' ' eksak
<,<<
0,<<<<<
<,)
),3<
<,<
1,)0+;
<,;
1,);=1<
0,<<
1,<<<<<
y
()*
x ' '
+erk
0,<<<<<
,)<<<
,+;<<
t
,-
-
31,00
=,+1
y
()2*
+erk
t
,-
0,<<<<<
-
1,0)<<
)),<
,0;=3=
)=,+
,=)0=
13,==
,11;
,;=
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
0,;
0,==+<
),<<
),<<<<<
),)
),)+<
),<
),;0+;
),;
1,10+<
1,<<
,<<<<<
1,)
,)=1<
1,<
,;0+;
1,;
,10<
,<<
1,<<<<<
,<<<<
,;<<<
,+;<<
;,0)<<
;,<<<<<
0),<<
;,;0
3,++
<,==
011,11
1,))0=
3),);
1,0)<<
3,)
1,)<<<
,;
1,30;0=
11,<
,0;=3=
),<;
,+1;
)0,<=
,3+;
)<,;
,+3;0=
),1
,+<3=
1,33
,<<<<<
33,3;
Perban Perbandin dingan gan antara antara persam persamaan aan *+.3 *+.3 dan persam persamaan aan *+.= *+.= menun menunjuk jukkan kan bahwa metode 'uler hanya memperhitungkan dua suku pertama dari ruas kanan persamaan *+.=. 9esal salahan
yang
terjad rjadii
dari
meto etode
'uler
ada adalah
kare arena
tidak
memperhitungkan suku-suku terakhir dari persamaan *+.= yaitu sebesar"
ε t =
f 8 * xi , yi -
7 x
)
)6
+
f 88 * xi , yi -
7 x
1
16
+
... + Rn
dengan
ε
t
adal adalah ah kesal kesalah ahan an pemo pemoto tong ngan an loka lokall eksak eksak.. :ntu :ntuk k ∆ x yang yang sangat sangat kecil, kecil, kesalahan kesalahan seperti yang diberikan diberikan oleh persamaan persamaan *+.0<, *+.0<, adalah berkurang berkurang dengan bertambahnya order *order yang lebih tinggi. #engan demikian suku yang mengandung pangkat lebih besar dari dua dapat diabaikan, sehingga persamaan *+.0< menjadi" ε a =
f 8 * xi , yi -
7 x
)
)6
dengan
adalah perkiraan
ε a
kesalahan pemotongan lokal.
&"&%i'erensial (arsial
Persamaan Persamaan #iferensial #iferensial Parsial adalah suatu persamaan yang melibatkan melibatkan
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
geometris. %ila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas. Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederh sederhan anaa yang ang dapa dapatt dimo dimode delk lkan an deng dengan an persa persama maan an dife diferen rensia siall biasa biasa mekanika fluida dan mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan persamaan differensial parsial. parsial. :mumnya, :mumnya, jika adalah fungsi dua variable dan, andaikan andaikan kita misalkan misalkan hanya hanya saja yang yang beruba berubah-u h-ubah bah sedang sedangkan kan dibuat dibuat tetap, tetap, kataka katakan n dengan dengan konsta konstanta nta.. %aru %aru sesudah sesudah itulah itulah kita kita sebena sebenarny rnyaa meninj meninjau au fungsi fungsi variab variable le tunggal, yaitu jika mempunyai turunan di, maka kita menamakannya turunan parsial dari terhadap di dan menyatakannya dengan. >adi 'rror" ?eference source not found found dengan'rror" dengan'rror" ?eference source not found &enurut definisi turunan, kita mempunyai ehingga persamaan nomor 0 menjadi
#engan #engan cara serupa, serupa, turunan turunan parsial dari terhadap terhadap di dinyatakan dinyatakan dengany /*a,y /*a,y diperoleh dengan membuat tetap tetap * / / a 'rror" ?eference source not founddan founddan mencari turunan biasa dari fungsi >ika
'rror"
?eference source not found adalah fungsi dua variable, variable, turunan parsialnya parsialnya adalah fungsi 'rror" ?eference source not found found dan 'rror" ?eference source not found yang found yang didefinisikan oleh
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
BAB III LANDASAN P/A%TI%U"
)"* Algoritma )"*"* Algoritma Metode Euler
0. &ulai ). #efinisikan fungsi persamaan data 1. &asukan data input . @itung panjang vector ! . &emproses nilai dari data masukan sesuai rumusan 3. elesai
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
)") isting (rogram
)")"*
isting Metode Euler
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
int pilihan1
main 43oid5 6
ulang: print'47Muhammad I2bal +athurahmaan8n751 print'47**9&*)9;)8n751 print'479999999999999999999999999998n751 print'47Masukkan Nilai < : 751
scan'47='7,>a51 print'47Masukkan Nilai ?@ : 751
scan'47='7,>b51 print'47Masukkan Nilai h* : 751
scan'47='7,>c51 print'47Masukkan Nilai h& : 751
scan'47='7,>d51 print'47Masukkan Nilai h) : 751
scan'47='7,>e51
'444*)5Cb5CaCaCa594bCa51
gbCa1
hbD'1
ib9h1
jbD4'Cc51
kb9j1
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
print'47Nilai y&: =g8n7,l51 print'47Nilai error y&: =g8n7,m51 print'47Nilai y): =g8n7,n51 print'47Nilai error y): =g8n7,o51
print'47Ingin Masukkan data yang ain8n751
print'47F*Gya8n751
print'47F&Gtidak8n751
scan'47=d7,>pilihan51
i'4pilihan*5 6 goto ulang1 H H
3.0
Sreenst DATA PENA"ATAN Ta!el Ta!el 3.0.1 3 .0.1 #ata Pengamatan &etode 'uler
<
? h*
J h&
? aproksimasi h)
Error
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
*
"K
"*
"K
"K
"L
"K
"*
"K
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
*
"L
"K
"*
"K
*"K
")
"K
"*
"K
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
&
)
"K
"*
"K
3.* Tu Tugas gas Ak&ir
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
(ersamaan (ersamaan di'erensial di'erensial parsial parsial 4(%(5 adalah persamaan persamaan yang di dalamnya dalamnya terdapat terdapat matematika diartikan diartikan
suku9suk suku9suku u di'er di'erens ensial ial
parsia parsiall,
yang
dalam
sebagai sebagai suatu hubungan hubungan yang mengaitkan mengaitkan
suatu 'ungsiᄃ yang tidak
diketahui diketahui,, dimana merupakan merupakan 'ungsi 'ungsi
dari beberapa 3ariabel bebasᄃ dengan
turunan9turunannya
melalui 3ariabel93ariabel 3ariabel 93ariabel yang dimaksud" dim aksud" (%(" (%(" +ungs ungsin iny ya menyelesaik menyelesaikan an
dig digunak unakan an
untuk ntuk
mela melak kukan ukan
'or 'ormula mulas si
permasalah permasalahan an yang melibatkan melibatkan 'ungsi9'ungs 'ungsi9'ungsii yang
tidak diketahui"
O"
dan dan
Pelas Pelaska kan n perb perbeda edaan an meto metode de euler euler deng dengan an di'er di'eren ensi sial al pars parsia iall Metode euler: yang terdiri dari satu variabel bebas saja #iferensial parsial" yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
&eskip &eskipun un metode metode 'uler 'uler sederha sederhana, na, tetapi tetapi ia mengan mengandun dung g dua macam galat, yaitu galat pemotong pemotong *truncation error dan galat longgokan longgokan *cum *cumul ulati ative ve erro error. r. 5ala 5alatt pemo pemoto tong ng dapa dapatt lang langsu sung ng dite ditent ntuk ukan an dari dari persamaan berikut" E p =
0 )
h ) y C *t = <*h ) 5alat
pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga galat +er langk langka& a& *error per step di sebut juga galat step atau galat local.
emak emakiin keci ecil nilai h *yan *yang g bera berarti rti sema semaki kin n bany banyak ak lang langka kah h perhitungan. (ilai pada setiap langkah *y * yr dipakai dipakai lagi pada langkah berikutnya. 5alat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari lang langka kahh-la lang ngka kah h sebel sebelum umny nya. a. 5alat 5alat yang yang terku terkump mpul ul pada pada akhi akhir r lang langka kah h ke-r ke-r ini di sebit sebit galat l#ngg#kan *cumulative cumulative error error . . >ika langkah dimulai dari ! < / a dan berakhir di ! n / b maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir *y n adalah n
Etotal = ∑ ( 0 ) ) h y *t = n )
r
0
=
C
h) )
longgokan total ini sebenarnya adalah
y C *t =
*b − a )
yC *t h
5alat
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
'rwin 9reysFig, 9reysFig, Advance Advance 'ngineerin 'ngineering g &athematics, &athematics, 3th 'dition, 'dition, >ohn Giley H ons, Enc, 0=++.