Descripción: Documento que contiene información sobre vectores, propiedades de los vectores, gradiente de un vector, producto punto y producto cruz
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DEFINICIÓN.- Un Vector es un ente matemático que representa a todas las DEFINICIÓN.magnitudes físicas de naturaleza vectorial, físicamente un vector es una semirrecta orientada dentro de un espacio Euclidiano en el plano o en el espacio. Simbólicamente se representa con cualquier letra del alfabeto acompañado con una flecha en la parte superior. Vector
A
Un vector tiene como elementos a:
Módulo. Módulo. Denominado también magnitud, magnitud, representa el valor numérico o la cantidad o el tamaño del vector.
Dirección. Dirección. Es la orientación del vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas.
Sentido. Indica el lado hacia donde se dirige el vector (línea/acción) el sentido también se indica por la dirección de las flechas.
Punto de aplicación. Se da por el origen del vector. Línea de acción
A
Módulo
θ
Dirección
Pto. De aplicación
Edilberto Atau Enriquez
Fisica 1
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Composición de Vectores: Dos o más vectores son cooplanares, si están contenidos en un mismo plano: B A .P
Dos o más vectores son concurrentes cuando sus líneas de acción se intersecan en un solo punto.
A A B C B
Edilberto Atau Enriquez
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DESCOMPOSICION DESCOMPOS ICION VECTORIAL EN EL PLANO: PLANO: sea un vector A en el sistema XY: YA A
i,j Vectores Unitarios
Ay J
θ i
X
Ay
i = (1,0) vector unitario en dirección X J = (0.1) Vector unitario en dirección y Vectorialmente el vector A se denota por:
A
A X i
Ay J
Relacionando con la dirección θ: A x
A Sen
A y
A Cos
A x
A Cos
Edilberto Atau Enriquez
i
A Sen Sen J
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La magnitud del vector se determina por:
A
A
Ax
2
Ay
2
La dirección del vector será: Tan
A y A x
tan
1
A y A x
EN EL ESPACIO En este caso el vector se encuentra en el campo tridimensional cuya representación grafica se indica. A sen y
AZ
A
A COSY Y
Ay A sen Y cosθ
θ
A sen Y Sen θ
A sen Y
Ax
A x
A Sen Y Cos
Ay A Sen Y Sen Az
ACosY
Edilberto Atau Enriquez
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La expresión vectorial se representa por el vector
A Axl
Ay J AzK
Donde: i = (1,0,0)
J = (0,1,0) K = (0,0,1)
La magnitud será:
A
A Ax
2
Ay
2
Az
2
La dirección de un vector espacial se determina aplicando los cosenos directores, esto es: z Ax
Cos
Cos
Cos
A
A
δ β
Y
Ay A Az A
α X
Donde Ax, Ay, Az son las componentes rectangulares en dirección x,y,z respectivamente A=
A
, ,
: magnitud Ángulos directores.
La relación que cumplen los cosenos directores es la siguiente:
2
2
2
Cos Cos Co Coss 1
Edilberto Atau Enriquez
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OPERACIONES CON VECTORES Dentro del campo vectorial las operaciones definidas, son: so n: SUMA DE VECTORES .- sean los vectores:
A Axl
A y J AzK
B Bxl
B y J BzK
La suma de estos vectores resultan otro vector cuya suma.
S
A B
( Ax
B X )i
S
( Ay
By ) J
Sxi
( Az
Bz )k
Sy J Szk
Gráficamente la suma de dos vectores mediante le método de paralelogramo.
A
y B se puede determinar
A
B DIFERENCIA DE DOS VECTORES.VECTORES.- Sean los vectores.
A Axl
B Bxl
A y J AzK
B y J BzK
La DIFERENCIA de estos vectores resultan otro vector:.
D A B
( Ax
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B X )i
( Ay
By ) J
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( Az
Bz )k
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D Dxi
Dy J Dzk
Gráficamente:
B
D A B
A
PRODUCTO DE VECTORES.VECTORES.- Existen los siguientes casos : a) Producto de un escalar por un vector.vector.- Sea un número real k εR y un vector A A x i
Ay J ,
el producto será K A K ( A x i
Ay J
AzK )
Dependiendo del valor de k, el vector A puede ser aumentado o disminuido: Si
K 1
Si
K 2
Si
K 1 2
Si
K 1
K A A
K A 2 A
K A
1 A 2
K A A
b) Producto punto de Dos vectores: vectores: Denominado también producto escalar resulta un número escalar cuya notación matemática es la siguiente:
Sean A Axl
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A y J AzK
B Bxl
B y J BzK
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El producto punto también se define por la expresión:
A x B ABCos
Donde es el ángulo entre los vectores A y B. En esta operación se debe tener presente los siguientes resultados. Si 0 A. B AB AB
2
Además
son paralelas
son ortogonales.
J . J K .K 1
i . J J .K K .i
A y B
A y B
A. B 0
i .i
0
A. B AxBx A y By AzBz
c) Producto vectorial vectorial de dos vectores
Sean los vectores A Ax Axl
A y J AzK
B Bxl
B y J BzK
El producto vectorial de estos vectores de denota por
A
otro vector perpendicular el plano formado por los vectores
C = A
x
B
A
y resulta y B
y B
B
A
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Para determinar el valor del producto vectorial se utiliza la definición siguiente:
A
x B = AB sen
u
También se suele utilizar la expresión siguiente. Para fines de cálculo:
A
A
x B =
x B =
i
J
k
Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
( AyBz AzBy )i
( AzBx AxBz ) J (AxBy - AyBx)K
La magnitud del producto vectorial, también se puede determinar por.
A x B
( ABsen )
En esta operación se debe considerar los siguientes resultados:
J xK l
K xl
l xK J
J
K x J i
J x K
l x J K
I x I J x J K xK 0
El producto vectorial representa al área formado por los vectores A y B (paralelogramo).
B
θ
A
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A x B
Área del paralelogramo.
Producto triple o Mixto: Esta operación se denota por: