Análisis Vectorial Suma y Resta de Vectores
Sabemos que un vector tiene una magnitud y una dirección. Un vector A puede escribirse como A =
A A
Donde A es la magnitud (y tiene la unidad y la dimensión) de A
A = es un vector sin dimensión con magnitud unidad , , es un escalar; específicamente la dirección de A. Podemos hallar a partir del vector A dividiéndolo por su magnitud
=
El vector A puede representarse gráficamente como un segmento de = A, con la punta de la fecha apuntando en línea recta dirigida de longitud , Ver figura 1 la dirección de
Figura 1 Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección aunque puedan puedan estar desplazados en el espacio. Dos vectores A y B que no tengan la misma dirección y que no esté en direcciones opuestas, como los de la figura 2.a , su suma es otro vector C en el mismo plano C = A+B se puede obtener gráficamen gráficamente te de dos maneras .
Figura 2a 1.- Por la regla del paralelogramo: El vector C resultante es el vector diagonal del paralelogramo formado por A y B dibujados dibujados desde el mismo punto como se muestra en la figura 2.b
Figura 2b 2.- Por la regla cabeza-cola. La cabeza de A se conecta a la cola de B. Su suma es C es el vector dibujado de la cola de A a la cabeza de B; los vectores A, B y C forma un triángulo , como se muestra en la figura 2.c y 2.d La resta de de dos vectores puede definirse definirse como en término de la suma de la siguiente manera: A B = A + (-B), donde -B es el negativo del vector B, ver figura 3
Figura 2b y 2c
Figura 3 Multiplicación
de Vectores
La multiplicación de un vector A por un escalar positivo k cambia la magnitud de A por k veces sin modificar su dirección k A =
(Ka) (Ka)
Producto Punto
o Escalar
El producto punto de dos vectores A y B se denota A B (A punto B). El resultado del producto punto de dos vectores es un escalar igual al producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo entre estos. A B AB
El símbolo significa igual por definición , es el ángulo más pequeño entre A y B y es menor que radianes (180°) , Ver figura 4
Figura 4 El producto punto punto es conmutativo , A B = B A A si mismo tenemos que A A = = Producto
Cruz o Vectorial
Dados dos vectores Ay B el producto cruz A X B (A X B) es vector definido por: AX B
AB
otro
es el ángulo más pequeño entre A y B y es menor que radianes (180°) , es un vector unitario normal perpendicular al plano que contiene A y B. La dirección sigue la del dedo pulgar de la mano derecha cuando los dedos giran de A a B siguiendo el ángulo , ver figura 5a y figura 5b
Figura 5a
Figura 5b El producto cruz produce otro vector cuya dirección es y su magnitud es igual al área del paralelogramo formado por A y B. El producto cruz no es conmutativo y la inversión del del orden de los vectores cambia el signo del producto. Gradiente de un Campo Escalar
En electromagnetismo es común tratar con cantidades que dependen tanto del tiempo como de la posición. Puesto que las tres variables de coordenadas tienen lugar en un espacio tridimensional , es de esperar encontrase campos escalares y vectoriales que sean función de cuatro variables (t , , , Consideremos una función escalar de coordenadas espaciales V( , , ) que pueden representarse por ejemplo, la distribución de temperatura en un edificio , la altitud de un terreno montañoso o el potencial eléctrico en una región. La magnitud de V depende en general de la posición del punto en el espacio , pero puede ser constante sobre ciertas líneas o superficies. En la figura 6 se muestran dos superficies en las cuales la magnitud de V es constante y tiene los valores y + dV, respectivamente , donde dV indica un cambio pequeño en V. Debemos señalar que las superficies de V constante no tienen por qué coincidir con cualquiera cualquiera otra de las superficies que define el sistema de coordenadas. El punto está en la superficie ; es el punto correspondiente sobre la superficie + dV determinado por el vector normal , y es un punto cercano a , determinado por otro vector .
Para el mismo cambio
dV en V, la razón espacial,
, obviamente más
grande a lo largo de (es la distancia más corta entre las dos superficies. Puesto que la magnitud de
es una derivada direccional. Definiremos el
vector que representa la magnitud y la dirección de la razón de incremento espacial máximo de un escalar como el gradiente de dicho escalar.
Figura 6 Gradiente de un campo escalar grad V
Hemos supuesto que dV; si fuera negativo el sería negativo. La derivada direccional a lo largo de es
=
=
=
=
La ecuación establece que la razón de incremento espacial de V , es igual a la proyección del gradiente de V en esa dirección. La ecuación también se puede escribir como Razón de Incremento espacial de V en función de
dV
=
=
(1)
. Ahora dV es el diferenciar total de V como resultado de un cambio
en posición de a en la figura figura 6 y puede expresarse expresarse como:
dV
=
d +
d +
d
Donde d , d , d son las componentes del desplazamiento diferencial vectorial dl en un sistema de coordenadas determinado. En el caso de coordenadas cartesianas ( , , ) = (x, y, z) y d , d , d , son respectivamente, dx,dy,dz. Podemos escribir dV, como el producto punto de dos vectores de la siguiente manera
dV=( =(
+
+
+
+
+
+
)(
dx +
dy +
dz)
(2)
) dl
Al comparar 1 y 2 tenemos
=(
+
+
+
Es conveniente considerar diferencial vectorial =
+
+
)=(
+
+
+
)V
en coordenadas cartesianas como un operador
+
En coordenadas ortogonales generales ( , , ) con coeficiente métrico ( , , ) podemos definir como como
+
Divergencia
+
+
de un campo vectorial
En el estudio de campo vectorial es conveniente representar gráficamente las variaciones de los mediante líneas de campo dirigidas. Líneas de Flujo: Son líneas o curvas dirigidas que indica en cada punto la dirección del campo vectorial , como se ilustra en la figura 7a , 7b, 7c. La magnitud del campo en un punto punto se representa con la densidad o con con la longitud de las líneas dirigidas en la vecindad del punto. En la figura 7.a , se muestra que el campo en en la región A es más fuerte en la región B , ya que hay mayor densidad de líneas dirigidas de igual longitud en la región A. En la figura 7.b, la reducción en la longitud de las fechas al alejarse del punto q indican un campo radial que es más fuerte en la región cercana a q. En la figura 7.c , se ilustra un campo uniforme.
Figura 7a La fuerza del campo vectorial de la figura 7.a se mide con el número de líneas de flujo que pasan por una superficie unidad normal al vector. El flujo de un campo vectorial es análogo al flujo de un fluido incomprensible , como el agua. En el caso de un volumen con una superficie cerrada , habrá habrá un exce excess o de flujo que sale o entra por la superficie , si el volumen contiene una fuente o sumidero, respectivamente. Es decir, una divergencia neta positiva indica la presencia de una fuente de fluido en el interior del volumen , mientras que una divergencia neta negativa indica la presencia de un sumidero. El flujo de salida neto del fluido por unidad de volumen es entonces una medida de la fuerza de la fuente encerrada. En el campo uniforme ilustrado en la figura 7.c hay cantidades iguales de flujo de entrada y salida que pasan por cualquier volumen cerrado que no contiene fuentes , ni sumideros, produciendo una divergencia nula.
Figura 7b
Figura 7c La definición de divergencia de un campo vectorial A en un punto (div A), como el flujo neto de salida de A por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero. div A
(1)
El numerador en la ecuación es una integral de superficie. En realidad se trata de una integral doble en dos dimensiones , la integra debe debe aplicarse a toda toda la superficie s que encierra un volumen. En el integrando , el elemento diferencial de superficie vectorial , ds = ds tiene una magnitud ds y una dirección indicada por el vector unitario que apunta hacia fuerza del volumen encerado. La in tegra de superficie encerada representa el flujo de salida neto del campo vectorial A.
La divergencia es una cantidad cantidad escalar escalar cuyo magnitud puede variar de un punto a otro al variar A. Esta definición definición es validad para cualquier sistema de coordenadas , por supuesto la expresión de div y de A , dependerán de la selección del sistema de coordenadas. Derivemos ahora la expresión de div A en coordenadas cartesianas. Considere un volumen diferencial con lados , , centrado alrededor de un punto P( , , ) en el campo de un vector A, como se ilustra ilustra + + . Queremos en la figura 8. En coordenadas cartesianas A= encontrar div A en el punto( , , ). Dado que el volumen diferencial tiene seis caras , la superficie integral del numerador (1) , puede descomponerse en seis partes:
=[
A.ds + + A.ds
En la cara anterior ,
A.ds
=
.
= ( +
=
.
, , )y.z
y.z) y.z)
(1)
Figura 8
, ,) puede desarrollarse en serie de Taylor alrededor de su valor en ( , , ), de la siguiente manera:
La cantidad ( +
( +
|
, , ) = ( , , ) +
superior superior (2)
( , , )+ termino del grado
Donde los términos de grado superior (T.G.S) contienen los factores , etcétera. De forma similar se desarrolla para la cara posterior
A.ds
= ( +
=
.
, ,)y.z
=
.
,
y.z) y.z)
(3)
|
El desarrollo en la serie de Taylor de ( +
( +
, , ) = ( , , ) +
, ,) es
( , , ) + TGS (4)
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) y la ecuación ecuación (4) en la ecuación (3), para luego sumar las contribuciones , tenemos +
] Ads = (
|
+ T.G.S) ( , , ) x x y.z(5)
En este caso se ha eliminado por factorización una x de los términos de grado superior de las ecuaciones 2 y 4 , pero todos los términos de grado superior de la ecuación 5 , aun contiene potencia de x El mismo procedimiento se realiza para la cara derecha e izquierda y la cara superior e inferior , luego concluir que la expresión de div A en coordenadas cartesianas es: div A =
+
+
(6)
Los términos de grado superior desaparecen conforme el volumen diferencial x.y.z se aproxima a cero. El valor de div A generalmente depende de la posición del punto donde se calcula. En la ecuación (6) eliminamos la notación ( , , ) porque se aplica a cualquier punto donde están definidos A y sus derivadas parciales.
Recordemos que
div A
En un sistema de coordenadas ortogonales ( , , ), las ecuación (1) nos lleva a
=
Teorema
[
de la
( )+
Divergencia ivergencia
( ) +
( ) ]
o Teorema de Gauss
La divergencia de un campo vectorial es el flujo de salida neto por unidad de volumen. Podríamos expresar de manera intuitiva que la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial es igual al flujo de salida total del vector a través de la superficie superficie que limit a el volumen.
A.dv = Ads Esta identidad se conoce como el teorema de la divergencia o teorema de Gauss. Se aplica a cualquier volumen V limitado por una superficie S. La dirección de ds es siempre la de la normal hacia hacia el exterior exterior , perpendicular a la superficie ds y dirigida dirigida hacia fuera del volumen . En caso de un elemento diferencial muy pequeño v limitado por una superficie , la definición div A
sustituimos
A
En el caso de un volumen arbitrario V , podemos subdividir en mucho , digamos N, volúmenes diferenciales pequeños de los cuales es típico. Este procedimiento se ilustra en la figura 9. Combinaremos ahora las contribuciones de estos volúmenes diferenciales en ambos lados de la ecuación , para obtener
Figura 9
=
= ( )dv
(a)
El lado izquierdo de la ecuación es por definición , la integral de volumen de
(b)
La integral de superficies en el lado derecho de la ecuación (a) se suman para todas las caras de los elementos de volumen diferencial. Sin embrago, las contribuciones de las superficies internas de elemento adyacentes se cancela, ya que en una superficie interna común las normales de salida de los elementos adyacentes apuntan en direcciones opuestas. Por lo tanto, la contribución neta del lado derecho de la ecuación se debe únicamente a la superficie exterior S que encierra el volumen V, es decir
Ads
El teorema de la divergencia divergencia es una identidad identidad en el análisis vectorial vectorial que contiene una integral de volumen de la divergencia de un vector en una integral de superficie cerrada del vector y viceversa. Queremos destacar que aunque
por cuestión de sencillez se usan un símbolo de integral simple en ambos lado de la ecuación las integrales de volumen y superficie representan en realidad integrales triple y doble Rotación de un campo vectorial
Cuando se estudió la divergencia de un campo vectorial se estableció estableció : que el flujo de salida neto de un vector A , a través de una superficie que limita un volumen indica la presencia de una fuente. Esta fuente puede denominarse fuente de flujo y div A es una medida de la fuente de flujo. Hay circulación vectorial a un campo integral de
otro tipo de fuente, llamada fuente de vórtice , que ocasiona la de un campo vectorial a su alrededor. La circulación de un campo su alrededor. La circulación neta (o simplemente la circulación) de vectorial alrededor de una trayectoria cerrada se define como la línea escalar del vecto r a lo largo de la trayectoria. Tenemos ,
Circulación de A alrededor del contorno C
El significado físico de de la circulación depende de qué tipo de campo representa el vector A. Si A es una fuerza que actúa sobre un objeto , su circulación será el trabajo realizado por la fuerza para mover el objeto una vez alrededor del contorno; si A representa la intensidad de campo eléctrico , la circulación será una fuerza electromotriz alrededor de la trayectoria cerrada. El fenómeno familiar del agua que gi ra al salir por el desagüe de un lavaplatos es un ejemplo de un sumidero vórtice que ocasiona ocasiona una circulación de de la velocidad del fluido. Puede existir una circulación A aunque div A= 0 (cuando no hay fluido) Definición matemática de un campo vectorial A La circulación circulación se definió definió C
como una integral de línea de un
producto punto, de manera que su valor depende de la orientación del contorno C relativa al vector A. Para definir una función puntual , que es una medida de la fuerza de la fuente de vórtice, C debe ser muy pequeño y hay que oriéntalo de manera que la circulación sea máxima rot A
[
Definición física de
, una medida de la fuerza de la fuente de vórtice de A
La ecuación anterior establece que el rotacional de un campo vectorial A, denotado por rot A o , es un vector cuya magnitud es la circulación neta máxima de A por unidad de área conforma al área tiende a cero y cuya dirección es la dirección de la normal al área área cuando está orientada de manera que la circulación neta máxima. Puesto que la normal a un área puede apuntar en dos direcciones opuesta, seguimos la regla de la mano derecha: derecha: cuando los dedos de la mano derecha sigue la dirección de dl, el pulgar en la dirección de 10 . El rotacional de A es una función puntual ; esto se ilustra en la figura 10. vectorial. Su componentes en cualquier otra dirección es · ( ) y pude determinarse a partir partir de la circulación por unidad unidad de área normal a a medida que el área se aproxime a cero
Figura 10
=
·(
)
=
( )
Donde la dirección de la integral de línea alrededor del contorno
limita el área
y la dirección
,
sigue la regla de la mano derecha derecha .
que
De la ecuación determinaremos las tres componentes de en coordenadas cartesianas. De la figura 11 , se puede observar un área rectangular diferencial paralela al plano yz con lados y dibujados alrededor alrededor de un punto genérico P( , , ). Tenemos = y = y el contorno de consiste en los cuatro lados 1 ,2,3, y 4
=
(
)
Figura 11 En coordenadas cartesianas A = + + contribuciones de los cuatro lados a la integral son las siguientes: Lado 1: dl =
, A·
dl = ( , +
, )=
Donde ( , +
donde T.G.S contiene contiene los términos de los factores
·dl = { ( , , ) +
Lado 3: dl =
donde ( , -
, A·
, )=
Al combinar lado 1 y 3
+ T.G.S)
+ T.G.S
, , entre otras.
+ T.G.S}
, )
( , , ) -
dl = ( , -
·dl = { ( , , ) -
·dl = (
. Las
, )
( , , ) +
De esta manera
+ T.G.S}
+ T.G.S
(1)
Los T.G.S aun contiene potencia de . De forma similar se puede calcular para los lados 2, y 4
·dl
=(
+ T.G.S)
Si sustituimos (1) y (2) en
=
(
)
Los términos de grado superior tiende a cero de y obtenemos obtenemos la componente en x de
=
-
(2)
tienden a cero ,
Una revisión más cuidadosa de la ecuación , revela un orden cíclico de x. y , z, el cual nos permite escribir las componentes en y , z de . La expresión completa del rotacional de A en coordenadas cartesianas es
=
-
+
-
+
-
Y la podemos representar como
X
A =
Representación de X A en sistema general coordenadas ortogonales curvilínea
X
A=
De la matriz anterior se pueden escribir las expresiones en coordenadas cilíndricas y esféricas, usando los valores apropiados de
y sus coeficientes , los puedes revisar en la tabla 1, en la unidad de coordenadas.
Teorema
de Stokes
En el caso de un área diferencial muy pequeña limitado por un contorno la definicion de
·( =
(a)
Para superficies arbitraria , podemos subdividir en varias , digamos N, áreas diferenciales pequeñas. En la figura 12 se muestra este esquema con con
elemento diferencial típico. El lado izquierdo de la ecuación es el flujo del vector por el área . Al sumar la contribución al flujo de todas las áreas diferenciales tenemos.
Figura 12
= (
)·ds
(b)
Supongamos las integrales de línea alrededor de los contornos de todos los elementos superficiales representados representados por el lado derecho derecho de la ecuación (a). Puesto Puesto que la parte común de los contornos de dos elementos adyacentes es recorrida en direcciones opuesta por dos contornos , la contribución neta a la integral de línea total de todas las partes comunes en el interior es cero y después de la sumatoria solo queda la contribución del contorno exterior C que limita toda el área S
=
Al combinar combinar (a) y (c) obtenemos el
·ds =
(c)
Teorema
de Stokes
El cual establece que la integral de superficie del del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral de línea cerrada del vector a lo largo del contorno que limita la superficie. El teorema de Stokes convierte una integral de superficie del rotacional de un vector en una integral de línea del vector y viceversa. El teorema de Stokes, al igual que el teorema de la divergencia , es una identidad importante en el análisis análisis vectorial y lo usaremos usaremos con frecuencia frecuencia para estable cer otros teoremas y relaciones del electromagnetismo.
Si aplicamos la integral de superficie a una superficie cerrada , no habrá un contorno externo que limite la superficie
= 0 para cualquier superficie cerrada S . La geometría de la figura 15, se ha elegido a propósito para destacar el hecho de que una aplicación no trivial del teorema de Stokes siempre implica una superficie abierta con un borde. La superficie abierta más sencilla seria un plano plano bidimensional o un disco con la circunferencia como contorno. Debemos recordar que las direcciones relativas de dl y ds (su dirección denotada por ) sigue la regla de la mano mano derecha ; es decir , si los dedos de la mano derecha siguen la dirección de dl , el pulgar apunta en dirección de Dos
Identidades Nulas
Identidad I
(1)
= 0
El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar es idénticamente cero. (La existencia de V y sus primeras derivadas en todos los puntos está implícita en esta identidad) La demostración cartesianas
se
puede
hacerse
fácilmente
De la ecuación
=
+
+
+
.
en
coordenadas
En término generales, si se
sobre cualquier superficie , el resultado toma la integral de superficie de es igual a la integral de línea de (circuición de a lo largo de la trayectoria cerrada que limita la superficie , como lo establece el teorema de Stokes.
·ds =
(2)
De la ecuación
dV
=
= = 0
(3)
La combinación de (2) y (3) establece que la integral de superficie de sobre cualquier superficie es cero. Por consiguiente el integrado debe anularse y se obtiene la identidad de la ecuación (1). Puesto que en la derivación no se especifica un sistema de coordenadas , la identidad es general e invariable para cualquier sistema de coordenadas. La identidad I puede enunciarse también como sigue: Si el rotacional de un campo vectorial es nulo , enton ces el campo vectorial vectorial puede expresarse como el gradiente de un campo escalar. Sea E un campo vectorial. Entonces , si = 0. Podemos definir un campo escalar V tal que
E=-
El signo negativo no tiene importancia en lo que se refiere a la identidad I , sabemos que un campo vectorial cuyo rotacional es nulo es un campo conservativo; lo tanto un campo vectorial irrotacional ( conservativo) siempre siempre puede expresarse como el gradiente de un campo esc alar. Identidad II
(1)
= 0
La divergencia rotacional idénticamente igual a cero.
de
cualquier
campo
vectorial
es
Podemos demostrar esta identidad sin hacer referencia a un sistema de coordenadas si tomamos la integral de volumen en el lado izquierdo , aplicando el teorema de la divergencia tenemos
·ds =
(1)
Escojamos Escojamos por ejemplo, ejemplo, el volumen arbitrario arbitrario V, encerado encerado por una superficie S, como se muestra en la figura 13. La superficie cerrada puede dividirse en dos superficies abiertas y conectadas por una fortera comun que sea dibujado dos veces como y . Después se aplica el teorema de stokes a la superficies , limitada por y a la superficies , limitada por , escribiendo el lado derecho de la ecuación.
=
·
ds
+
·
ds
= +
(2)
Figura 13
La normales y a las superficies y , son normales hacia fuera y sus relaciones con la direcciones de las trayectorias y siguen la regla de la mano derecha. Puesto que los momentos de y de hecho son las mismas fronteras común entre y , las dos integrales de línea en el lado derecho de la ecuación (2) siguen la misma trayectoria en direcciones opuestas. Su suma es entonces cero y desaparecen la integra de volumen de del lado izquierdo de la ecuación (1). Puesto que esto se aplica a cualquier volumen a arbitrario , la integral debe ser cero, como lo indica la identidad II.
Otra forma de enunciar la identidad II es: Si la divergencia de un campo
vectorial es nula, entonces el campo vectorial es solenoidal y puede expresarse como el rotacional rotacional de otro campo vectorial. vectorial. Sea B un campo vectorial. vectorial. Este enunciado alternativo establece que = 0, podemos definir un campo vectorial a tal que B=
Clasificación de campos y teorema de Helmholtz
Clasifiquemos los campos vectoriales de acuerdo a si son solenoidales o irrotacionales (conservativos). 1.- solenoidal solenoidal e irrotacional.
= 0
y
=0
Por ejemplo: un campo eléctrico estático en una región libre de carga
2.- solenoidal solenoidal pero no irrotacional si
= 0
y
0
Por ejemplo: un campo magnético estático en un conductor que trasporta corriente 3.- irrotacional pero pero no solenoidal.
=0
y
0
Por ejemplo ejemplo:: un campo eléctrico estático en una región con carga
4.- ni solenoidal ni irrotacional
0
y
0
Por ejemplo: un campo eléctrico en un medio cargado con campo magnético variable El campo vectorial mas general tiene una divergencia distinta de cero y un rotacional distinto de cero y pueden considerarse como la suma de un campo soleniodal y un campo irrotacional. Teorema
de Helmholtz
Un campo vectorial esta determinado si su divergencia divergencia y su rotacional están especificados especificados en todos los puntos .
