FÍSICA I
FÍSICA I
_ C
A N Á LISIS V ECTOR A I L Á V A 1.0 MAGNITUD VECTORIAL Es aquella magnitud que aparte de conocer su valor numérico y su unidad respectiva, es necesario conocer también la dirección y sentido para que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada. Veamos un ejemplo sencillo: Si una persona desea disparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza(módulo) mínima que debe aplicar a la flecha para que ésta se incruste en el tablero; pero supongamos que a dicha persona después de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. ¿Sabrá a donde apuntar?, la respuesta es no, pues conocerá cuanto debe tirar de la cuerda pero no sabrá hacia donde . ¿Qué falta? le falta la ubicación del blanco (dirección y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues a parte del valor y u nidad respectiva, se necesita la dirección y sentido. 2.0 VECTOR Es un segmento de línea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales.
A
A
; se lee: Módulo del
vector A. módulo
2.2. ALGUNOS TIPOS TIPOS DE VECTORES a) Vector colineales Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. _ A
_ B
d) Vectores iguales Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido.
_ A
e) Vector opuesto (– A ) Se llama vector opuesto ( – A ) de un vector A cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.
_ -A
3.0 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el módulo del vector dado. Ejemplos. _ (-2) A
dirección sentido
origen
_ A
_ _ _ A, B y C son concurrentes
c) Vectores coplanares Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.
AB
CD
_ B _
_ A
_ R _ C
=
_ D
_ A
_ C
_ B
_ C
b) Vectores concurrentes Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto.
R
_ A
_ _ _ A, B y C son colin eales
_ A
_ B
_ A
_ B
A A ; se lee vector A A
2.1. ELEMENTOS DE UN VECTOR: a) Punto de aplicación.aplicación .- Está dado por el origen del vector. b) Intensidad, módulo o magnitud.magnitud.- Es el valor del vector, y generalmente, está dado en escala. ejemplo: 5 unidades de longitud equivale a 5 N (si se tratase de fuerza). c) Sentido.Sentido.- Es la orientación del Vector. d) Dirección.Dirección.- Está dada por la línea de acción del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él.
Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética.
4 unid unidad ades es
1 2
_ A
2 unid unidad ades es
8 unidades
4.0 OPERACIONES VECTORIALES:
ADICIÓN DE VECTORES MÉTODO GRÁFICO a) Método del Paralelogramo: Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores. _ _ B
_ B
_ A
_ A
b) Método del Triángulo: Válido sólo para dos vectores concurrentes y coplanares. El m étodo es el sigu iente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
4.1. ADICIÓN DE VECTORES
LIC. FÍS. RAUL ZAVALA SANCHEZ
R
1
FÍSICA I
_ B
_ A
_ A
_ B _ R
c) Método del Polígono Válido sólo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
A B C A B
C A B C
a) Suma de Vectores Colineales En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos. y +
_ A
+
ín = A – B 4.3 SUSTRACCIÓN DE VECTORES
_ B
La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos.
sen
x
_ A
_ B
_ R
R _
misma dirección; pero en sentidos contrarios ( = 180º).
R A2 B2 2ABcos
ADICIÓN DE VECTORES – MÉTODO ANALÍTICO
_ B
_ A
FÍSICA I
A sen
a) Método del Triángulo En este caso se unen los dos vectores por sus orígenes y luego se unen sus extremos, el vector ” D ” será el vector
diferencia.
_ A
B sen
_ B
_ C _
_ R
_ _ _ _ R=A+B+C
En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono cerrado”. _ E
_ D
_ E
_ C
_ A
Si: = 90° _ A
_ B
_ C
_ D R
_ _ D _ B C _ _ _ _ _ _ _ R = A + B + C +D +E = 0
_ A
A
2
_ B
OBSERVACIONES: En la adición de vectores se cumplen varias propiedades, éstas son: Propiedad Conmutativa _ _ _ _ A +B =B + A
Propiedad Asociativa
LIC. FÍS. RAUL ZAVALA SANCHEZ
A=
D=
2
B
1
Solución: RABC D
Teniendo en cuenta la regla de signos: R=4–3–3+1R=–1 El signo negativo indica que el vector esta dirigido hacia la izquierda. b) Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares En este caso el módulo de la resultante se halla mediante la siguiente fórmula:
_ D _ B
_ B
4; B= 3; C = 3;
_ A
_ D
_ R
Sabiendo:
_ A
_ A
Caso Particular:
Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores.
4.2. RESULTANTE MÁXIMA Y MÍNIMA DE DOS VECTORES Resultante Máxima Dos vectores tendrán una resultante máxima cuando éstos se encuentren en la misma dirección y sentido ( = 0º). _ A
_ B
D A B
D B A
b) Método del Paralelogramo En este caso se invierte el sentido del vector que está acompañado del signo negativo; y luego se sigue el mismo procedimiento para adición de vectores por el método del paralelogramo. _ A
_ D
_ B
Resultante Mínima Dos vectores tendrán una resultante mínima cuando éstos se encuentren en la
180 -
_ B
R max = A + B
_ A
_ -B
DAB D
A
2
B 2 2 ABcos(180 º )
2
FÍSICA I
D
A
2
B 2 2 AB cos
5.0. COMPONENTES DE UN VECTOR: Se denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados por el método del polígono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes.
A B C D R
y
_ C
son componentes
-i
y
4
A y = A sen 53° = 30 A y = 24 5
30
5.4. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES RECTANGULARES:
_ D
2. Se halla la resultante en el eje x e y (Rx, Ry), por el método de vectores colineales.
i
5.1. COMPONENTES RECTAGULARES DE UN VECTOR: Son aquellos vectores componentes de un vector que forman entre sí un ángulo de 90°. y
Ahora tendremos: y
3. El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras.
_ A
_ Ay A A x Ay ó
_ A
_ Ay
A Ax Ay
-j
x
R
A Ax i Ay j
53° _ Ax
x
_ Ax
x
5.2. VECTOR UNITARIO Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama también. A A
_ U = vector _ unitario de A
Ejemplo de aplicación En el sistema mostrado en la figura, expresa el vector "A" en términos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su módulo es de 30 unidades. y
y
_ A
_ U
53°
53°
x
A Ax Ay
LIC. FÍS. RAUL ZAVALA SANCHEZ
_ Ax
x
A Axi Ay j
3
A x = A cos 53° = 30 A x = 18 5
15
x
30cos 53° 15cos 37°
x Rx
10
Rx = 15 cos 37° - 3 0 cos 53° = 4
3
15 - 30 5 5 Rx = - 6 (hacia la izquierda) Ry = 30 sen 53° + 15 sen 37° - 10 = 4
3
30 + 15 - 10 5 5
Ahora R = 6 2 23 2 R = 23,77
En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su módulo. y
PRACTICA DE CLASE
_ A _ B 37°
01. Hallar el módulo del vector resultante: x
_ C
_ A
y
37°
R 6 i 23 j ;
53°
_ A
_ Ay
Ry
_ B
Ry = 23 (hacia arriba)
R2y
Ejemplo:
2 Rx
15sen37°
53°
_ R
y _ R
30cos 53° 15sen37°
A 18 i 24 j
1. Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares.
x
j
del vector R
U
Para hallar la resultante por este método se sigue los siguientes pasos:
y
A, B, C y D
Ax = A cos Ay = A sen
5.3. VECTORES RECTANGULARES: Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares. i : Vector unitario en el eje x (positivo). - i : Vector unitario en el eje x (negativo). j : Vector unitario en el eje y (positivo). - j : Vector unitario en el eje y (negativo).
_ B
_ A
FÍSICA I
x
Solución: Por motivos didácticos trabajaremos con números.
1u
a) 1u d) 5u
1u
1u
b) 3u e) 6u
c) 2u
02. Hallar el módulo del vector resultante. La figura es un paralelogramo:
3
FÍSICA I
FÍSICA I
a
5
x
A
5
3 B
b 60º
63º
5
a) 5 d) 15
b) 10 e) 20
c) 0 a)
03.Dado el siguiente conjunto de vectores, se pide encontrar la resultante en función de a y b
c) e)
c
a)
a
d) 4(
+ a
b
b) 2(
b
+
b
) e) 2
a
a
+
+3
b
x
x
x
=( A + B )/3
=
( A B )
b) d)
12
x
x
=( A + B )/2
=( A + B )/6
) c) 3(
a
+
b
)
b
b) 12 e) 18
07. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados: A = 5 y B = 3
G
72º
a) 5 d) 8
x
e) 15
c) 15cm
en función de los vectores
A y B
LIC. FÍS. RAUL ZAVALA SANCHEZ
a) 4N d) 7N
b) 5N e) 8N
c) 6N
12. Hallar la resultante
09.Determinar el módulo del vector resultante: A = 48u y B = 14u
0
5
b) 6 e) 9
C
30
A
7º
c) 14
25
a) 28u d) 50u
b) 96u e) 62u
c) 100u
10. La resultante de dos vectores A y B forma con ellos ángulos de 37º y 30º respectivamente. Hallar el módulo del vector B, si A = 10 B
05. Halla el vector
d) 19
c) 8
B
A
b) 10cm e) 0
b) 10
=A-B
a) 10 d) 15
04.Dado los vectores, hallar el módulo de la resultante siendo el lado del triángulo equilátero de 5cm. G: Baricentro
a) 5cm d) 20cm
a) 7
06.La máxima resultante de dos vectores es 21 y su mínima es 3. ¿Cuál será la resultante cuando los vectores forman 90º?
d
a
10º
12º
c) 7
08.Dados los vectores, hallar el módulo del vector resultante.
a) 8 d) 6
b) 12 e) 10
a) 25
b) 50
d) 25 3
e) 25 7
c) 75
13. Determinar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados 12
c) 16
33º
11. Se tiene dos vectores a = 5N y b = 3N
87º 12
Calcular: a - 2 b
a) 25 7
b) 12 3
d) 25
e) 16 7
4
c) 12
FÍSICA I
14. Hallar x en función de A y B
A
Cuando con el motor encendido el velero marcha en la dirección E53º S a razón de 9m/s la bandera flamea en la dirección Oeste. Halle la velocidad del viento en m/s.
y N A
M 60º 45º
30º
B = 25
37º
B
x
FÍSICA I
a) 9 d) 16
x
45º
a
2a
C=15
a) A + B /3 b) A - B /6 c) 2 A + B /3 d) 2 A - B /5 e) A +3 B /7
a) 10 d) 25
C=N 2
2
b) 15 e) 30
c) 20
C=15
A=50
c) 12
16. Si la componente en el eje de las “x” y la componente en el eje de las “y” son de igual
valor, entonces se cumple que:
a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º 19. La resultante de los vectores mostrados en el siguiente sistema es cero. Luego se cumple:
37º
º a) Tg = 1/3 c) Tg = 1/4 e) Tg = 1/5
B
2F
F
º b) Tg = 1/2 d) Tg = 1
17. Hallar el valor de “A” para que la resultante sea horizontal
LIC. FÍS. RAUL ZAVALA SANCHEZ
º
3
a) =37º d) =60º
b) =30º e) =45º
c) =53º
20. Determinar la relación entre M y N (M/N). Para que la resultante sea vertical.
c) 2 y 5
a) 80 d) 50
b) 70 e) 40
c) 60
03.Dos fuerzas de igual intensidad forman un ángulo “”, ¿Qué relación guardan los módulos de la suma y la diferencia? b) ctg e) ctg(/2)
c) Sen
04.Dos vectores dan como resultante máxima y mínima de 7 y 1 ¿Qué resultante darán si se suman siendo perpendiculares? a) 1 d) 6
b) 3 e) 7
c) 15
06.El ángulo entre dos vectores es 150º, uno de ellos mide 10, halle el módulo del vector resultante sabiendo que es el mínimo posible. a) 2
b) 3
d) 5 3
e) 2 3
c) 5
07. Siendo a y b vectores unitarios y cumpliéndose que: a + b - a - b = 3 -1, halle el ángulo formado entre a y b a) 30º d) 53º
b) 37º e) 60º
c) 45º
08.Para dos vectores A y B se cumple que
02.Los vectores x e y , de igual módulo, forman 106º , si x - y =80, halle x + y
a) tg d) tg (/e)
C=70
x
b) 2 y 8 e) F.D.
A=50
y
c)
01. Los módulos de dos vectores son de 3 y 5 unidades, el módulo del vector diferencia esta comprendido entre: a) 3 y 5 d) 3 y 8
53º
B
b) 8 e) 64
e) 1/2
TAREA DOMICILIARIA Nº 01
B=50
A
a) 4 d) 10
b) 3
d) 3 /3
18. ¿Qué valor debe tener el ángulo “ ”, para que la resultante sea vertical?
15. Hallar: 3 A +2 B ; si: A =2; B =2 y Cos=0,25
a) 1/3
b) 12 e) 17
c) 5
A + B = A - B , luego estos vectores.
a) Son paralelos b) Forma un ángulo agudo c) Forman un ángulo obtuso d) Son perpendiculares e) Son de igual módulo 09.Tres vectores A , B y C tienen componentes x e y como se muestra en la tabla. Calcular el ángulo que forma el vector suma con el eje x: A
B
C
X
2
5
-3
y
1
2
1
a) 30º d) 53º
b) 37º e) 60º
c) 45º
05. Cuando un velero guarda reposo en el mar, su bandera flamea en la dirección 037ºS.
5
FÍSICA I
10. Determinar la magnitud del vector suma A +B
14. En el triángulo vectorial B C =8, halle el módulo del vector resultante.
y
d) 29
C=3
53º 30º
D
A
3
B=4
B 5
A
2 1
B
A 1
2
3
a) 2 2
b) 3
d) 5 2
e) 6 2
t
x
C
c) 4
11. Dada la relación para 2 vectores
a yb
a =2 a + b = a +2 b =2 3
a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
c) 20
15. Desde un vértice de un triángulo equilátero se trazan los vectores: A y B sobre los lados, y C que llega hasta el centro de la circunferencia inscrita, halle la suma de
7
a) 13 d) 17
Encontrar b : a) 1 d) 4
c) 3
12. ¿Cuál es el menor número de vectores de módulo diferente de manera que el módulo de su suma es cero? a) 0 d) 3
b) 1 e) N.a.
a) 2 C
b) 3 C
d) 5 C
e) 6 C
3a
b)
c) 4 C d) 3 3 a
16. Entre dos líneas paralelas se muestran vectores que forman ángulos iguales. El vector suma es igual a:
c) 26
Q
13. Hallar la suma de todos los vectores que se muestran en la figura:
R
S
3 2
a
C
F
G
a) 2 A
b) 2 B
d) 2 D
e) 2 E
7
c) 2 3 a
e) 4 3 a
A=5
C=5 2
a) 0 d) 5
a) 5 S
b) 5 Q
d) 5 ( S + Q )
e) F. datos
c) 5 R
c) 2 C
30
17
b) 21
b) 1 e) 8
c) 3
23. Determinar el módulo de la resultante en el siguiente sistema. b) 31 e)
c)
5
33
37
10
53º 45º
21. En el sistema mostrado, hallar el módulo de la resultante.
82º, halle a + b a)
LIC. FÍS. RAUL ZAVALA SANCHEZ
a)
d) 35
17. a =5, b = 2 , y el ángulo a y b es
B=10
T
60º D
1
20.En un rombo de 6 unidades de lado se han ubicado 3 vectores, halle el módulo del vector resultante.
B E
c) 3
22. Hallar el módulo de la resultante del siguiente sistema de vectores.
c) 2 P
b) 2 e) 8
19. Desde el vértice de un cubo de lado “a” se trazan 3 vectores los cuales se ubican sobre las diagonales de las caras contiguas. Halle el módulo de la suma de vectores. a)
b) 2 e) 5
a) 0 d) 4
C
12
b) 39 e) 12
vectores en función de C .
A
A=5
e) 31
18. Determinar la magnitud del vector resultante en el rectángulo mostrado.
37
B
4
FÍSICA I
37º
4 2
c) 23
a) 0
b) 6
d) 35
e)
c) 7 37
6
FÍSICA I
24. En el sistema de vectores mostrado, el modulo de la resultante es:
A=2 2
FÍSICA I
b
B=2 10
a c
20 2 d
50
45º
a) 53º
50
a) 10 2 b) 8 2 c) 5 2 d) 6 e) 8 25. ¿Qué ángulo forma la resultante con el eje
a) 2
b) 2 2
d) 4 2
e) 8
c) 4
28. ¿Qué ángulo forma la resultante con el eje de las abscisas?
de las “x”? 50
B=12 2
37º
A=10
60
45º
37º
37º
C=15
50
a) 30º d) 53º
b) 37º e) 60º
c) 45º
26. En el sistema mostrado, determinar el módulo y la dirección del vector resultante.
a) 30º d) 53º
b) 37º e) 60º
29. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo mostrado.
50
F1 =10
100
37º
c) 45º
( 2 =1,41)
F2 =10
37º
135º 50
F3 =10
a) 50 y 53º
b) 10 y 37º
c) 50 2 y 45º e) 5 y 60º
d) 40 y 53º
27. Si el lado del cuadrado mide 1cm, hallar el módulo de la resultante.
LIC. FÍS. RAUL ZAVALA SANCHEZ
a) 7,1 d) 4,1
b) 6,1 e) 2,1
c) 5,1
d) 4
2
b) 2 e) 4 2
c) 2 2
Nº
02 B C E C B C E D C D C A D C C C D C C B
01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
30. Si: a = c =2, determinar el módulo de la resultante.
7