SEMINARSKI RAD CIM Analiza i modeliranje metodom konačnih elemenata
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
Sadržaj 1. UVOD ....................................................................................................................................................... 2
2. METODA KONAČNIH ELEMENATA .................................................................................................. 3 3. FORMULACIJA METODE KONAČNIH ELEMENATA ..................................................................... 5 4. MODELIRANJE KONAČNIM ELEMENTIMA .................................................................................. 16 5. ZAKLJUČAK ......................................................................................................................................... 18
1
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
1. UVOD
U modernom mašinstvu, dizajneri često koriste računarske programe bazirane na kompjuterski integrisanoj proizvodnju (CIM) za analizu njihovog dizajna u svakoj fazi izrade nekog proizvoda. Ovi CIM alati se mogu koristiti za analizu kinetičkih ili dinamičkih odziva
nekog proizvoda koji se konstruiše. Ovoj grupi računarskih programa pripadaju ADAMS i DADS. Kod ovih programa, za svaku komponentu u sklopu se predpostavi da imaju istu masu. Ponekad CIM programi se koriste za analizu rasporeda naprezanja ili temperature neke
konstrukcije koja je podvrgnuta nekoj sili ili nekom temperaturnom opterećenju. TakoĎer, analizu vibracija je moguće izvršiti sa CIM alatima, a koja je omogućena zahvaljujući alatima baziranim na metodi konačnih elemenata. Programi bazirani na metodi konačnih elemenata su NASTRAN i ANSYS.
Ranija metoda konačnih elemenata se primjenjivala u strukturnoj mehanici. Prva primjena je bila od strane Clough-a gdje se vršila analiza na prezanja kod aviona. Metoda konačnih elemenata omogućila je inžinjerima lakše vršenje analize problema kod različitih konstrukcija. Uskoro se uvidjelo da se metoda konačnih elemenata može primjeniti i u mehanici fluida, termodinamici, računanju elektrostatičkog potencijala, analizu vibracija i ostalih inžinjerskih problema. Kako je rasla snaga kompjuterskog hardvera tako je rasla primjena i složenost problema koji se mogu analizirati metodom konačnih elemenata. Slika 1.1. prikazuje izlaz koji se dobije prim jenom metode konačnih elemenata na ručku na vratima hladnjaka za računanje temperaturne raspodjele kada je kalub za njenu izradu napunjen rastopljenom smolom. Primjena metode konačnih elemenata na probleme mehanike fluida koriste se alati C-MOLD i MOLDFLOW za simulaciju protoka rastopljene plastike u kalupima.
Slika 1.1. Primjena metode konačnih elemenata u analizi temperaturne raspodjele
U ovom radu opisat ćemo osnovne koncepte alata za analizu zasnovanih na metodi konačnih elemenata.
2
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
2. METODA KONAČNIH ELEMENATA U praksi se često dizajniraju komplikovani oblici sastavljeni od različitih materijala. Problemi kao na slici 2.1. ne mogu se analitičkim metodama riješiti. Računanje napona (slika 2.1. a) analitički vrlo je komplikovano. Ako je greda napravljena od više materijala problem je možemo reći nerješiv. TakoĎer, nemoguće je temperaturnu raspodjelu predstaviti analitički.
Slika 2.1. Problem koji nije moguće riješiti analitički
Metoda konačnih elemenata je najpoznatiji numerički metod za rješavanje ovakvih problema. Metoda konačnih elemenata se savršeno uklapa u potrebe za analizu kompleksnih inžinjerskih sistema za koje ne postoje jednačine za njihovo raćunanje. U metodi konačnih elemenata, analiza počinje aproksimacijom regije interesa i podjelom u mrežu. Na slici 2.2.(a) mreža je povezana čvorovima i tako postaje konačni element. Slika 2.2 (a i b) prikazuje objekat sa slike 2.1. podjeljen na mrežu koja je podjeljena u trostrane i četverostrane elemente. Iako je objekat podjeljen na trostrane elemente sa tri čvora i četverostrane sa četiri čvora u prethodnom primjeru, kod nekih primjera mogu se naći i neki drugi elementi sa više čvorova zavisno od analize metodom konačnih elemenata. U stvari, najvažnija odluka korisnika metode konačnih elemenata je da izabere odgovarajuće elemente podjele sa odgovarajućim brojem čvorova iz baze podataka. Ne postoji pravilo koliki će se broj elemenata koristiti pri analizi. Veći broj čvorova (verzija h) ili veći ste pen funkcije oblika (p verzija). Sljedeći problem je generisanje mreže odreĎenog tijela, pogotovu ako tijelo ima komplikovanu geometriju.
Slika 2.2. Podjela tijela na konačne elemente
3
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
Kreiranje trodimenzionalne mreže konačnih elemenata često je vrlo teško i vrlo lako je pogriješiti u tome procesu. Mnoge studije se provode da bi se omogućilo automatsko kreiranje mreža. Kada je objekat podjeljen na konačne elemente sa odgovarajućim čvorovima, svakom čvoru odgovara neka nepoznata koju je potrebno odrediti. Za primjer sa slike 2.2, pomak po x i y će biti nepoznata. To znači da će čvorovi imati dva stepena slobode tj, bit će potrebno riješiti 2n stepena slobode ako postoji n čvorova. Funkcije oblika nam daju vrijednosti nepoznatih, što je u ovom slučaju pomak. Kada je pomak izračunat, naprezanja se izvode parcijalnom derivacijom funkcija pomaka.
Nakon podjele na konačne elemente i dobijanja skupa konačnih elemenata odreĎuju se svojstva materijala u svakom konačnom elementu kao i granični uslovi tih elemenata. OdreĎivanjem različith materijala za različite konačne elemente možemo analizirati objekat koji uključuje različite materijale. Obično poznajemo granične uslove cijelom dužinom granice konačnog elementa. Ovi uslovi moraju biti izraženi kao skup vrijednosti pomaka, sila ili temperatur e za odreĎeni čvor konačnog elementa. Nakon što su svi uslovi odreĎeni, analiza metodom konačnih elemenata generiše jednačinu koja se naziva sistemska jednačina ili jednačina sistema, koja povezuje granične uslove sa nekim nepoznatima na čvorovima i/ili sa koeficijentima funkcije oblika, te je riješava i daje nam vrijednosti nepoznatih. Kada smo dobili nepoznate na čvorovima, vrijednosti nepoznatih na bilo kojoj lokaciji bilo kojeg elementa se mogu izvoditi upotrebom funkcije oblika koja je korištena za generisanje sistemske jednačine. Izlaz is koda dobijenog analizom konačnim elementima je numerički. Problem kod numerih podatak je to što je vrlo teško pratiti promjene ponašanja na izlazu. Grafički izlazi pružaju bolji uvid u promjene. Za grafički prikaz pomaže post -procesorski interfejs koji se nalazi u programskom paketu za analizu konačnim elementima. Ovo je područje u kojem pomaže računarska grafika. Mnogi inžinjeri nisu svjesni ograničenja pri analizi konačnim elementima pa često prihvataju netačne podatke. Prednost primjene konačnih elemenata je mogućost rada sa proizvoljnim geometrijama i nehomogenim materijala. MeĎutim, metod je baziran na tehnici podjele nekog objekta na konačne elemente i pronalaženje najboljeg stalnog rješenja unutar konačnih elemenata iako se granice pomjeraju. Netačnost zavisi od veličine i broja elemenata i stepena funkcije oblika.
4
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
3. FORMULACIJA METODE KONAČNIH ELEMENATA Kod generisan analizom konačnih elemenata daje jednačinu sistema sastavljenu od nepoznatih varijabli na čvorovima sa predopostavljenim graničnim uslovima. U ovom dijelu ćemo opisati proceduru dobijanja sistemskih jednačina u klasičnom kodu analize konačnih elementima (h verzija). Za dobijanje sistemske jednačine koristimo metod virtualnog pomaka.
Slika 3.1. Osnovni trodimenzionalno tijeo sa različitim opterećenjima
Razmotrit ćemo ravnotežu trodimenzionalnog objekta pod opterećenjem kao na slici 3.1. Sila na vanjsku površinu je označena sa f S , sile u tijelu f B, a koncentrisane vanjske sile F i. Generalno ove sile imaju tri komponente na osama koordinata.
[3.1]
Označimo pomak bilo koje tačke neopterećenog objekta sa U . Onda imamo:
[3.2]
gdje je T transponovana matrica. Pomak, U će uzrokovati naprezanja:
i odgovarajuće napone:
[3.3]
[3.4]
Naš je cilj da izračunamo U, ε i τ iz izraza [3.2]-[3.4] na tačkama (X,Y,Z) za date vanjske sile. Uzimajući u obzir uslove ravnoteže uvodimo diferencijalnu jednačinu ravnoteže dijelova tijela. Isti princip imamo kada izražavamo ravnotežu cijelog tijela: princip virtualnog pomaka.
5
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
On glasi da ravnoteža tijela zahtjeva male virtualne pomake (koji zadovoljavaju osnovne
granične uslove) nametnute tijelu, te je ukupni unutrašnji rad jednak ukupnom vanjskom radu. Ova se ravnoteža može izraziti kao:
∫ ̅ ∫ ∫ ∑ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
[3.5]
Lijeva strana ove jednačine predstavlja unutrašnji rad uzrokovan stvarnim naponom τ i virtualnim naprezanjima uzrokovanim virtualnim pomakom
.
[3.6] B
S
i
Desna strana izraza [3.5] predstavlja vanjski rad izvršen stvarnim silama f , f i F kroz virtualnu pomak gdje je:
S
[3.7] i
Znak S kod označava virtualni pomak površine, dok znak i kod označava pomak na i onom mjestu gdje djeluju koncentrisane sile F . Jednačina [3.5] se može primijeniti i kao
kontinualna funkcija i pomoću nje se mogu pratiti granični uslovi. Naponi su odreĎeni pomoću naprezanja upotrebom odgovarajuće jednačine. Korištenje virtualnog pomaka omogućava rješavanje svih problema analize. Sada ćemo upotrijebiti jednačinu [3.5] za generisanje jednačine konačnih elemenata. Prvo ćemo aproksimirati tijelo sa slike 3.1. i prikazat ga kao mrežu konačnih elemenata gdje su elementi povezani čvorovima. Pomak u bilo kojoj tački (x,y,z) u odnosu na bilo koju koordinatu sistema za neki element će biti funkcija pomaka na čvorovima, tj za element m če biti:
gdje je
̂ ̂ ̂ ̂ ̂
[3.8]
matrica pomaka, a je vektor tri komponente pomaka ui, vi i wi na svim čvorovima. Ako imamo N čvorova tada će biti:
i ona se može napisati kao:
[3.9]
[3.10]
gdje U i odgovara pomaku u bilo kojem pravcu, a n predstavlja broj stepena slobode. Iako su svi čvorni pomaci ispisani u izrazu [3.10], tako da u izrazu [3.8], na bilo koji
pomak u konačnom elementu utiče pomak na nnjegovom čvoru. Upotrebljavamo sve čvorove u izrazu [3.8], da olakšamo proces spajanja elementarnih matrica. Iz izraza [3.8], naprezanje u svim elementima može se predstaviti kao:
̂ (m)
[3.11]
Redovi matrice naprezanje-pomak, B , u jednačini [3.11] dobijeni su odgovarajućim (m) deferenciranjem i kombinovanjem redova matrice H .
6
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
Napon u elementima dat je izrazom:
(m)
[3.12]
matrica elastičnosti elementa m, a τ l(m) predstavlja početni napon u elementu. Matrica elastičnosti je matrica koja daje vezu izmeĎu napona i naprezanja. Možemo upotrebljavati različite vrijednosti C (m) za svaki element strukture napravljenog od kompozitnih materijala. Prije nego što izvršimo substituciju izraza jednačina [3.8], [3.1] i [3.12] u izrazu za virtualni pomak, napisat ćemo jednačinu [3.5] kao sumu integrala preko zapreminei površine za svaki konačni element. gdje je C
∑ ∫ ̅ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑
[3.13]
gdje se m mijenja od 1 do konačnog broja elemenata.
Kada izvršimo uvrstimo jednačine [3.8], [3.1] i [3.12] u jednačinu [3.13], možemo (m) predpostaviti da virtualni pomaci unutar elemenata zavise od virtualnih pomaka na
čvorovima
̂
:
̂ ̂ ̂ { }{ } { }
[3.14]
gdje je interpolacijska matrica pomaka po površini, , dobijena preko interpolacijske matrice zapreminskog pomaka, , substitucijom koordinata površinskih elemenata u jednačini [3.8], a F je vektor koncentrisanih sila na čvorovima. Vektor čvornog pomaka
̂
stavljen je ispred sume jer je nezavisan od elementa. Da bi vrijedila ravnoteža virtualnih pomaka u jednačini [3.14], mora biti zadovoljen sljedeći uslov:
̂ 7
[3.15]
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
Jednačina [3.15] se može jednostavno napisati kao:
∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫
gdje je:
[3.16]
[3.17]
i
[3.18]
[3.19]
[3.20]
[3.21]
[3.22] (m)
Suma zapreminskih integrala u izrazu [3.18] daje matricu krutosti elementa K . Vektor sile u cijelom tijelu srukture, R B dat je sumiranjem vektora sila u elementima. Na isti način izračunati su ostali vektori sila RS , Rl i RC . Izraz [3.16] opisuje statičku ravnotežu problema. Ako se sile mijenjaju tokom vremena, izraz [3.16] opisu je ravnotežu u bilo kojoj tačci vremena. MeĎutim, ako se sile mijenjaju isuviše
brzo moramo uzeti u obzir inerciju. D'Alembertov princip koristimo za jednostavno uključimo inerciju. Ako predpostavimo da je ubrzanje u bilo kojoj tačci unutar elementa povezano sa ubrzanjem na čvoru preko H (m), doprinos ukupne sile tijela unutar vektora opterećeja R će biti:
∑ ∫ ̈
[3.23]
gdje je U ubrzanje na čvoru, a ρ(m) je specifična gustina elementa m. U izrazu [3.23] nije uključena sila inercije. Zamjenom izraza [3.23] umjesto [3.19] u izraz [3.15] daje izraz za ravnotežu:
̈ ∑ ∫
gdje je M, matrica mase:
[3.24]
[3.25]
U izrazu [3.24] U i R su vremenski zavisni.
Ako uzmemo u obzir prigušenje tada izraz [3.23] postaje:
∑ ∫ ̈ ̇ 8
[3.26]
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
̈ ̇ ∑ ∫
Jednačina ravnoteže:
[3.27]
gdje je C matrica prigušenja strukture i može se napisati:
[3.28]
Matrica C proizišla je iz rezultata eksperimenata koristeći matrice mase i krutosti jer je vrčo
teško naći prigušenje u samim elementima. Pr imjer 1:
Izvesti i riješiti jednačinu sistema ploče opterećene kao na slici 3.2 a, upotrebom modela dva elementa kao na slici 3.2b. Youngov modul i poasonov koefecijent ploče su E i ν, odnosno ploča ima konstantnu debljinu 1 cm. Predpostavimo da je ploča opterećena sa P Y lagano tako da se može zanemariti inercija.
Slika 3.2. Ploča
Rješenje:
Prvi korak je da konstruišemo H (m) i B(m) , koje odgovaraju UT=[U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8].
Drugi korak je derivacija matrice pomaka Hi bilo kojeg elementa. Ovdje uzimamo trostrani element sa slike 3.3. Pomak unutar elementa sa tri čvora je konstantan.
Pomaci na čvorovima su:
9
[3.29]
[3.30]
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
Ovim jednačinama mogu biti izračunate konstante αi i β i preko u ,i vi i x ,i yi. Stoga imamo sljedeće izraze za αi i β i:
gdje je:
i
Slika 3.3. Trostrani element sa tri čvora
Zamjenom vrijednoysti x1 , x2 , x3 , y1 , y2 i y3 elementa 1 dobijamo:
10
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
( )( ) ( )( )
[3.31]
Ovaj izraz se može napisati kao:
[] []
[3.32]
Pomak unutar elementa 2 možemo napisati:
Sljedeći korak je odreĎivanje pomaka.
(1)
[3.33]
naprezanja ili matrice B(m), upotrebom odnosa naprezanja i
21)
ε (x, y,z) i ε (x, y,z ) dobijamo iz izraza [3.32]i [3.33]:
11
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
[3.34]
[3.35]
Odnos napon-naprezanje za homogeni element je :
[3.36]
Predpostavimo da nema početnog napona na strukturu.
Matrica krutosti bilo kojeg elementa izvedena je substitucijom rezultata iz izraza [3.34] - [3.36] u izrazu [3.17]. Pošto su oba elementa od istog materijala izraz [3.36] se koristi za oba elementa.
12
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
∫ ∫ ∫ ∫
[3.37]
( ) [ ] [
]
∫ ∫ ∫
[3.38]
Matrica krutosti strukture kao cjeline dobija se spajanjem izraza [3.37] i [3.38].
13
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
[3.39]
Vektor opterećenja, R jednak je RC pošto samo koncentrisane sile djeluju na čvorove. dakle:
[3.40]
gdje je P y poznata vanjska sila, a F 1x , F 1y , F 3x i F 3y su nepoznate sile reakcije na oslonac.
Sada možemo izračunati nepoznate pomake u čvorovima iz sljedećih izraza:
gdje su elementi matrice krutosti označeni sa k ij.
14
[3.41]
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
Matrica krutosti je singularna pa se kao takva ne može riješiti. Analogno tome da diferenciranjem jednačine nećemo dobiti jedinstveno rješenje bez upotrebe graničnih uslova. Ako uvrstimo granične uslove u izraz [3.41] imamo:
Izraz [3.42] može se podijeliti na dva dijela:
[3.42]
[3.43]
[3.44]
Izraz [3.43] možemo riješiti i naći nepoznate nepoznate pomake na čvorovima U 3 , U 4 , U 7 i U 8 i uvrstiti ove vrijednosti u izraz [3.44] i naći vrijednosti sila reakcije F 1x , F 1y , F 3x i F 3y. Većina programa zasnovanih na principu konačnih elemenata prati ovakvu proceduru rješavanja problema.
Kada smo dobili pomake na čvorovima, možemo izračunati naprezanja i napone unutar elemenata koristeći Jednačine [3.34] - [3.36]. Možemo zaključiti da pomaci igraju glavnu ulogu u analizi nekog tijela. Ovakav postupak analize se naziva formulacija bazirana na pomacima.
15
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
4. MODELIRANJE KONAČNIM ELEMENTIMA Iako je analiza konačnim elementima moćna tehnologija za simulaciju strukturnih, termalnih i ostalih fenomena kao tok fluida ili elektromagnetne tokove, največa prepreka je priprema podataka za analizu: izgradnja geometrije, izgradnja mreže konačnih elemenata, odreĎivanje graničnih uslova, odreĎivanje svojstava materijala i odreĎivanje tipa analize (npr, statički ili dinamički, linearni ili nelinearni itd). Ova aktivnost se naziva modeliranje konačnih elemenata obično se vrši predprocesioniranjem dizajna za odreĎeni kod analize konačnih elemenata (FEA - engl. finite element analysis). Predprocesioniranje započinje svoj zadatak
geometrijom tijela. Tradicionalni FEA
sistemi imaju samo osnovne funkcije modeliranja, dok većina današnjih sistema nudi napredne mogućnosti modeliranja i imaju bliske veze sa CAD sistemima. Sistemi koji se oslanjaju na CAD sisteme za geometrijsko modeliranje ili rade direktno na CAD principima modeliranja ili
prevode i prilagoĎavaju CAD podatke. Direktni CAD pristup postao je iznimno popularan jer eleminiše korake pretvaranja podataka i što uzrokuje gubljenje podataka i skraćuje potrebno vrijeme za dizajniranje i analizu. Povrh toga, upotreba CAD sistema olakšava modeliranje i pruža korisnije funkcije za kreiranje i izmjenu kompleksnih geometrija. Današnji hibridni sistemi za modeliranje mogu kreirati bilo koju geometriju potrebnu za analizu. Većina FEA sistema daje mogućnost unosa geometrija bilo kojeg standarda ili direktno iz CAD sistema. Upotreba CAD geometrije nije uvijek jednostavna. Kreirani model koji izgleda bez greške nekada nije kompaktibilan za analizu jer može sadršavati mane i sistem neće biti u mogućnosti da kreira mrežu. Neki sistem nude funkciju koja može ispraviti unesenu geometriju. Detalji kao što su zaobljeni rubovi neće ili će biti uzeti u obzir za analizu ovisno od sistema. Neki programi nude funkciju koja sakriva detalje koji ne utiču na tačnnost analize. Ovo znači da modeliranje i analiza ne koriste iste modele istog modela. Trenutno se istražuje način postizanja automatskog pojednostavljenja modela. Sljedeći korak je kreiranje mreže i raspodjela čvorova. Generiranje mreže je najvažniji i najteži korak u modeliranju konačnih elemenata. Danas većina sistema nudi automatsko
generisanje mreže što u mnogome olakšava ovaj korak. Najčešći princip je automatsko generisanje tetraedalne mreže za čvrstu geometriju i četverostranu ili trostranu mrežu za trodimenzionalne ili dvodimenzionalne geometrije. Većina sistema daje mogućnost odreĎivanja gustine mreže. TakoĎer nude mogućost usavršavanja mreže u nekim kritičnim regijama. Kompleksnst mreže direktno će uticati na veličinu matrice krutosti, numeričke kompleksnosti i potrebne računarske resurse. Tačnost se može povećati povećanjem broja elemenata u mreži ili upotrebom funkcije oblika višeg stepena unutar elemenata. Da bi gener isanje mreže bilo zadovoljeno moraju biti ispunjena odreĎena ograničenja. Dimenzije elementa moraju biti iste kao i dimenzije domene problema. Jednodimenzionalni elementi se koriste za jednodimenzionalne probleme, dvodimenzionalni elementi za dvodimenzionalne
probleme itd. Kreirani element trebao bi biti podržan kodom analize konačnih elemenata. Različiti elementi koji su podržani kodom analize konačnih elemenata naziva se baza podataka elemenata. Veći broj elemenata u bazi znači da sistem može podržati veći broj problema. Na slici 4.1. su prikazani elementi koje podržava većina kodova analize konačnih elemenata. Vidimo da ista mreža može postati drugačiji element, to sve zavisi od broja čvorova koji se koriste. Zone očekivanih naglih promjena ponašanja trebaju imati veći broj čvorova i elemeneta od zona očekivanih postepenih promjena.
16
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
Slika 4.1.Tipovi elemenata
Drugi pristup u izgradnji mreže je p verzija FEM. Zasniva se na jednostavnijom i automatski kreiranom mrežom koja zavisi od stepena funkcije oblika. Programi kao što su PTC pro/Mechanica i CADSI PolyFEM zasnovani su na analizi p vezije. Prednost ovakvih programa
je što se mogu unijeti tražene tačnosti i mogu vrlo aproksimisati CAD geometriju. Upotrebom slabije tačnosti u vrlo kratkom vremenu možemo dobiti preliminarne rezultate. Sljedeći korak je odreĎivanje tipa analize, stepeni slobode na čvorovima. Nepoznate mogu biti pomak, rotacija, temperatura, fluks itd. Sljedeći korak je odreĎivanje graničnih vrijednosti. Granične vrijednosti moraju se izraziti kao skup vrijednosti pomaka, sila itd, na odreĎenim čvorovima konačnih elemenata. Nekada konačni elementi moraju bii kreirani bez graničnih vrijednosti. Ako uzimamo u obzir odreĎene tačke opterećenja tada čvorove moramo kreirati na tim tačkama. Većina sistema povezanih sa CAD sistemima dozvoljavaju defuburabhe graničnih opterećenja na CAD geometriji. Većina FEM sistema nudi odreĎen broj naina kojima definišemo granične uslove te, tako možemo kreirati vrlo realne probleme. Svojstva materijala moraju se pridodati svakom elementu. Ova svojstva su u većini slučajeva Youngov modul i Poissonov koeficijent. Debljina (stijenke, ploče itd) je u FEM sistemima stavljena kao svojstvo materijala da ne bi došlo do riješavanje problema u tri dimenzije. Ostala svojstva materijala mogu biti: temperaturna provodljivost i viskoznost itd.
Tijelo koje analiziramo može biti sačinjeno od različitih materijala. Kada je definisan model konačnog elementa on je ubačen u kod koji vrši analizu konačnog elemnenta. Kada je FEA problem riješen, reultati su prikazani u koraku poznatom kao post-procesiranje podataka. Većina programa daje različite načine za prikaz rezultata analize (tabelarno, grafički itd) koji sadržavaju informacije o naprezanjima, naponima i oblik deformacije. Tradicionalni način je izrada konture koja prikazuje naprezanja direktno na tijelu. Alati kao što su iso-surface daju mogućnost prikaza naprezanja u poprečnom presjeku. U današnjim alatima postoji mogućnost animiranog prikaza dinamičke analize.
17
Analiza i modeliranje konačnih elemenata
5. ZAKLJUČAK U ovom seminarskom radu opisana je analiza i modeliranje koristeći metodu konačnih elemenata. Rješavanje vrlo kompleksnih zadataka analize, tem peraturne raspodjele, analize naprezanja tijela sačinjenih od kompozitnih materijala vrlo je teško i često nemoguće uraditi analitičkom metodom. Za probleme ovakvog tipa koristi se metoda konačnih elemenata. Za potrebe analize sistem dijeli tijelo koje će se analizirati na mrežu i dodaje adekvatne čvorove toj mreži te tako kreira konačne elemente. Najvažnije je odrediti princip podjele tijela na konačne elemente. Da bi dobili tačnije podatke analize potrebno je da imamo veći broj čvorova ili veći broj elem enata. Nakon podjele tijela na konačne elemente njima se unose svojstva materijala od kojeg su sačinjeni i odreĎuju se granični uslovi. Nakon toga kreira se funkcija sistem, i uovom radu je prikazan primjer odreĎivanja funkcije sistema. Kod koji je generisan analizom konačnih elemenata daje jednačinu sistema sastavljenu od nepoznatih varijabli na čvorovima sa predopostavljenim graničnim uslovima. Modeliranje konačnih elemenata obično se vrši predprocesioniranjem dizajna za odreĎeni kod analize konačnih elemenata. Postoje dva principa modeliranja konačnih elemenata i to: direktni CAD sistem i sistemi koji pretvaraju CAD geometriju i prilagoĎuju je sistemu modeliranja. Kao i kod analize osnvono je pravilno kreirati mrežu elemenata.
18
