ANEXO
282
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
ANEXO I
I.1 CARACTERISTI CARACTERISTICAS CAS DE VINCULOS VINCULOS (APOYOS)
Tipo de vinculo
Diagrama Apoyo móvil
O P I T º 1
Apoyo fijo
O P I T º 2
Empotramiento móvil
Empotramiento guiado
Grados de libertad
Reacciones de apoyo
Tiene 2 grados de libertad. Movimiento de rotacion Movimiento de traslacion Tiene 1 grado de libertad. H Z Movimiento de rotación de la barra
V Z
Se presenta 1 reaccion de apoyo
Se presenta 2 reacciones de apoyo V Z
Tiene 1 grado grado de libertad Movimiento de M Z traslación del apoyo
V Z
Tiene 1 grado de libertad M Z Movimiento de H Z traslación del apoyo
Se presenta 2 reacciones de apoyo
Se presenta 2 reacciones de apoyo
Empotramiento O P I T º 3
Tiene 0 grado de libertad
M Z H Z V Z
Se presenta 3 reacciones de apoyo
ANEXO
283
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
I.2 CARACTERISTIC CARACTERISTICAS AS DE NUDOS NUDOS Tipo de vinculo
Nombre y representación Nudo articulado 4
3 2
5 n
1
Nudo rígido O P I T º 2
3
4
2 1
n
5 k
1 2 k
1
El grado de libertad esta dado por: GL = (n – 1) 1) n = Numero de barras articuladas. El grado de libertad esta dado por: GL = 0 Restringido todos los movimientos.
Nudo udo co combin binado ado 2
Grados de libertad
El gra grado do de lib libeertas rtas es: es: GL = n – 1 n = Numero de barras articuladas. Barras rígidas se considera como una unión.
Reacciones Las reaccion reacciones es están están dados dados por: 1) Reacciones = 2 (n – 1)
n = Numero de barras articuladas. Las reaccion reacciones es están están dados dados por: 1) Reacciones = 3 (k – 1)
k = Numero de barras rígidas. Las reacciones están dados por: Reacciones=3(k – 1)+2(n 1)+2(n – 1) 1) k = Numero de barras rígidas. n = Numero de barras articuladas.
I.3 CARGA PUNTUAL EQUIVALENTE A CARGA DISTRIBUIDA Carga distribuida
Carga genérica
Resultante
qx q
R q x
Brazo
Carga rectangular q
b
R x
b
x 2
L
Carga triangular
qx
R b
q x
x q x q L
L
Carga parabólica (2º) R b qx x
q
x qx q L
2
L
Carga parabólica (nº) R
b qx
x L
q
x qx q L
n
n=0 Carga rectangular n=1 Carga triangular triangular n>1 Carga parabólica
1 R qx x 2 1 x R q x 2 L 1 R qx x 3 2 1 x R q x 3 L 1 q x n 1 x n 1 x R q x n 1 L
1 b x 3
1 b x 4
R
b
1 x n2
ANEXO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
I.4 VIGAS VIGAS BASICA BASICASS ISOSTAT ISOSTATICA ICASS Y CALCUL CALCULO O DE REACCI REACCIONE ONESS
Nombre e t n a e d m a e y l p o p m a i S o z i d a l o v n E
Representación gráfica
Formulación de ecuaciones
H X
V Z
V X
Suma de momento respecto al punto “X”: M X 0 M X
H X
Obtenida M X , planteamos las ecuaciones: FV 0 V X FH 0 H X
M X V X
Suma de momento respecto al punto “Z”: M Z 0 ……… (1)
H X
Incognitas: V X y H X
o d a l u c i t r a i r T
V X
Y
Suma de momento respecto al punto “Y”: M Y 0 ………. (2) (Lado izquierdo)
H Z
V Z
Incognitas: V X y H X Resolviendo el sistema sistema obtenemos: V X y H X ,entonces planteamos las ecuaciones: FV 0 V Z FH 0 H Z Suma de momento respeto al punto “X”: M X 0 ……….. (1)
H X s o y o p a s e r t e D
Suma de momento respecto al apoyo fijo: M X 0 V Z Obtenida V Z , planteamos las ecuaciones: FV 0 V X FH 0 H X
V X
U
V Y
V Z
Incognitas: V Y y V Z Suma de momento respecto al punto “U”: M U 0 ………… (2) (Lado derecho) Incognitas: V Y y V Z Rsolviendo el sistema obtenemos: V Y y V Z , entonces planteamos las ecuaciones: FV 0 V X FH 0 H X
284
ANEXO
285
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
I.5 TIPOS DE CARGA DISTRIBIDA RECTANGULAR EN BARRA DE EJE INCLINADO Tipo de carga di distribuida Resultante Brazo de la resultante b
R
q
R q x Cos
θ n e S x
x θ
Resultante de la Brazo de la Resultante carga distribuida es: es: 1 b x Cos 2
xCosθ
q
Resultante de la Brazo de la resultante carga distribuida es: es: 1 b x R q x 2
b
R θ n e S x
x θ xCosθ
b
q
R θ n e S x
x θ
Resultante de la El brazo de la carga distribuida resultante es: es: 1 b x Cos R q x 2
xCosθ
I.6 EQUIVALENCIA DE CARGAS DISTRIBUIDAS RECTANGULARES Carg Cargaa dist distri ribu buid idaa q
Carg Cargaa Dist Distri ribu buid idaa equi equiva vale lent ntee q q' Cos
θ
θ
q
θ
q
q
θ
ANEXO
286
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
I.7 ECUACIONES DE FUERZAS NORMALES Y CORTANTES EN BARRAS INCLINADAS
Signos asumidos
Barra inclinada y direccionada
Ecuación de la fuerza Normal Nx
La ecuación de la Normal es: FH N x N H N V θ Donde: N H FH cos QH NH NV N V FV sin FV Remplazando: QV θ θ N x FH cos FV sin
La ecuación de la Cortante es: Q x Q H QV Donde: Q H FH sin QV FV cos Remplazando: Q x FH sin FV cos
La ecuación de la Normal es: N x N H N V FH Donde: N H FH cos θ N H QH N V FV sin NV FV Remplazando: QV θ N x FH cos FV sin
La ecuación de la Cortante es: Q x Q H QV Donde: Q H FH sin QV FV cos Remplazando: Q x FH sin FV cos
La ecuación de la Normal es: N x N H N V Donde: N H FH cos N V FV sin Remplazando: N x FH cos FV sin
La ecuación de la Cortante es: Q x Q H QV Donde: Q H FH sin QV FV cos Remplazando: Q x FH sin FV cos
La ecuación de la Normal es: N x N H N V Donde: N H FH cos N V FV sin Remplazando: N x FH cos FV sin
La ecuación de la Cortante es: Q x Q H QV Donde: Q H FH sin QV FV cos Remplazando: Q x FH sin FV cos
θ
FH
θ
θ
NV
FV
θ
NH
QH
QV
FH θ
FV
NV θ
Ecuación de la fuerza Cortante Qx
QV
NH
QH θ
El signo a asumir para las sumatorias de fuerzas son los mismos que se utiliza en la deducción de las ecuaciones, para el cuadro en todos los casos es: FH y FV , esto puede variar de acuerdo a nuestra nuestra convenció convenciónn de signos signos asumidos. asumidos.
Fuente: ESTRUCTURAS ISOSTATICAS, Ing. Ivan Choqueticlla Tapia
ANEXO
287
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
I.8 PROPIEDADES DE SUPERFICIES PLANAS Figura
Momentos de inercias centroidales
Distancias al centroide
Área
Radio de giro
y y1
C
x
h
A b h
x1 x1 b y y
x
h
x'1
y1 C
x
A
y’1
x1
x’1
y1
h
x1
x
y1
b
1 bh 2
1 b 3
I x
2
I y
2 x1
2 b 3
I x
1 y '1 h 3 2 y1 h 3
b y
bh 3
12
hb
bh
I y
r y
b
r x
h
12 12
3
36 3
bh
36
* I xy
3
12
h
r x
r y
2 2
b h
3 2 b
3 2
72
y
x
r
C
d
y1 x y1
x1
x1
2
A r
r
d
d A 4
y1 x1
r 2 A 2 d 2 A 8
r 2 2 d 4 r y1 3 3 y '1 0.288 d
2
2
I x
I y
r 4 d 4 4 64
r
r x
r y
r x
0.132 d
r y
2
y y y’1
C
x
x y1
x1
x1 d=2r y
x1
d
0.11 r 4 d 4 r 4 I y 128 8
I x
d
4
y
x
y’1
C r
x y1
x1
x’1
r 2 A 4
4r 3 x'1 y '1 0.576 r
x1
y1
I x
I y 0.0549 r 4
r x
r y 0.264 r
* I xy 0.0165r 4
y
* Solamente Solamente las dos figuras figuras tienen tienen producto producto de inercia, inercia, ya que no tienen tienen un eje de simetría, simetría, las demás demás figuras si tienen un eje o dos ejes de de simetría por lo tanto su producto producto de inercia es cero. * El producto de inercia inercia de ambas figuras cambia cambia de signo cada que rotan 90º, de negativo negativo a positivo en forma sucesiva.
ANEXO
288
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
ANEXO II
1. Grado hiperestati hiperestatico co 1.1 Método General: General: GH I E E 3 N
Donde:
I= Incógnitas Incógnitas o reacciones. reacciones. E= Numero Numero de ecuaciones. ecuaciones. N= Numero de barras de la estructura. 1.2 Método de Los Los Anillos: Anillos:
2. Vigas 2.1 Definición.- Una viga es un miembro que se somete a cargas transversales, es decir, perpendiculares a lo largo de su eje. 2.2 Tipos de cargas a) Carga puntual.- Un carga puntual es la que actúa en un punto, puede ser perpendicular perpendicular o tener tener una inclinación con el eje principal de la viga. P1
P2 θ
GH 3 A GL
Donde: A= Numero de anillos anillos que se forman. GL= Grado de libertad libertad de cada vinculo.
1.3 Método de las barras: barras: GH b r 2n
Donde: Donde: b= Numero Numero de barras barras de la estruc estructura. tura. r= Numero Numero de reacciones reacciones de apoyo. n= Numero de nudos, incluyendo incluyendo los los apoyos. utiliza solamente solamente en Este método se lo utiliza entramados. 1.4 Estructuras con apoyos elásticos:
P3
b) Carga distribuida.- Una carga distribuida es la que actúa a lo largo de la viga, puede ser distribuida uniformemente o tener una variación a lo largo de la viga. Carga uniformemente distribuida:
q
Carga con distribución variada:
q
q2
GH TOTAL GH PARCIAL N º Re sortes N º Cables
q1 Donde: GHPARCIAL: Grado Hiperest Hiperestático ático,, donde no interviene cables ni resortes. Nº Resortes: Cantidad de resortes en la estructura. Nº Cables: Cantidad de cables en la Estructura.
Como podemos observar las cargas distribuidas están representadas como figuras geométricas entonces para hallar la resultante de una carga distribuida basta con encontrar matemáticamente su área, considerando que “q” representa la altura
de la figura figura que que represen representa ta a la carga. carga. Por ejemp ejemplo lo hallar la resultante de la siguiente siguiente figura:
ANEXO
288
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
q
R
2.1 Ecuaciones Ecuaciones de equilibrio: equilibrio: 1º Esta ley garantiza el equilibrio de traslación:
F 0
L La resultante de la carga distribuida en forma de de un triangulo es el área de un triangulo, convencionalmente el área de un triangulo es:
1 A bh 2
F 0
F 0 y
x
2º Esta ley garantiza el equilibrio de rotación:
Entonces la resultante será:
1 R Lq 2
M 0
Esta resultante actúa en el centro geométrico de la figura figura que que represen representa ta a la carga. carga.
R 1 L 3
2 L 3
Sus componentes rectangulares son:
La formulación de estas ecuaciones en forma correcta nos lleva a determinar las reacciones r eacciones de apoyo de la viga. 2.2 Relación Relación del Momento Momento flector flector con la Cortante: Signos: +M +Q dM x Q x dx
La unidad de “q” puede ser “KN/m” o “Ton/m”, entonces la unida de la resultante será “KN” o “Ton” respectivamente.
c) Carga de de momento puntual puntual..- Es una carga que actúa en un punto de la viga, en una ecuación de fuerzas internas, específicamente en la ecuación de momento, representa un salto de momento.
Signos: +M +Q
dM x dx
2.3 Momento máximo: El momento máximo se da:
M 2.2 Planteamiento de de ecuaciones de fuerzas internas. Se tiene cualquier estructura y una disposición de cargas en la viga:
Q x
Q x
dM x dx
0 Qx 0
En el punto donde la Cortante Q x es igual a cero se produce el máximo momento del tramo, pero no siempre de la viga completa.
2.4 Ecuación Ecuación de la Normal Normal y Cortant Cortantee en vigas inclinadas: N x Q x
FH cos FV sin FH sin FV cos
Los signos se asumirán de acuerdo a cada caso. Para determinar los signos en forma rápida les presento un cuadro que representa todas las
ANEXO
289
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
posibilidades de signos que se puede presentar en un problema:
SIGNOS PARA LA NORMAL “Nx”
Para usar la tabla se tiene que tomar dos consideraciones importantes: 1º Para las sumatorias será positivos los sentidos: FH x y FVx . 2º El Angulo “ ” será el que se forme con la horizonta horizontall de la viga viga inclinada inclinada y nunca con con la vertical.
3. Ecuaciones de ejes de arcos 3.1 Ecuación del eje circular en coordenadas rectangulares:
x a 2 y b 2 R 2
SIGNOS PARA LA CORTANTE “Qx”
Donde: a= Abscisa al centro del arco circular. b= Ordenada Ordenada al centro del arco circular. circular. referencia, de Se tiene que asumir un eje de referencia, ejes perpendiculares o cartesianos.
3.2 Ecuación Ecuación del eje parabólico: parabólico: y
4 f 2
L
x L x
Donde: f= Flecha del arco parabólico. parabólico. L= Longitud o luz del arco arco parabólico.
3.3 Ecuación Ecuación del eje Elíptico: Elíptico: y
Las ecuaciones base base para aplicar este sistema sistema de signos signos son: son:
N x FH cos FV sin Q x FH sin FV cos
De la tabla, “H” representa los signos a asumir para la sumatoria de horizontales y “V” para la sumatoria de verticales:
N x FH cos FV sin H
V
Las flechas representan el sentido de orientación que se ha asumido al direccionar la viga y se tiene dos signos para cada caso a remplazar en las ecuaciones base ya mencionadas.
2 f L
Lx x
2
Donde: f= Flecha del arco parabólico. par abólico. L= Longitud o luz del arco elíptico.
3.4 Ecuación Ecuación del eje Senoidal: Senoidal:
x a
y aSen
3.5 Ecuación Ecuación del eje eje de una una Cardioid Cardioide: e: r a 1 cos
4. Línea de influencia 4.1 Línea de influencia para una carga concentrada:
ANEXO
290
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS EsfuerzoSS P1 LI SS x x1
Donde: Donde: P1= Fuerza Fuerza puntual puntual en el punto punto 1. 1. LI=Valor de la línea de influencia en el punt puntoo x1. x1. 4.2 Línea de influencia para una carga distribuida: EsfuerzoSS Area L I . . x x xx 21 q
Donde: Área L.I.= Área de la línea línea de influencia influencia comprendida entre los puntos x1 y x2. q= Valor de la carga distribuida 5. Cerch Cerchas as 5.1 Método de los nudos El concepto básico de este método consiste en estudiar cada nudo del entramado y aplicar ecuaciones de equilibrio. Por cada nudo se forma dos ecuaciones, por lo tanto, se tiene que tener también solamente dos barras como incógnitas. La fuerza que sale del nudo es Tracción:
5.1 Coeficient Coeficientes es de Tensión:
t L t L j
jx
j
jy
P x 0 P y 0
Donde: t j: Tensión en la barra “j”. L jx: Longitud proyectada al eje x de la barra “j”.
L jy: Longitud proyectada al eje y de la barra “j”.
Px: Carga aplicada respecto al eje x. Py: Carga aplicada respecto al eje y. 5.2 Fuerza Normal Normal dada el coeficiente de tensión: N j
t j L j
Dond Donde: e: N j: Fuerza Normal en la barra “j”. t j: Coeficiente de tensión en la barra “j”. L j: Longitud de la barra “j”. 6. Cables
+ Tracción 2
La fuerza que entra al nudo es Compresión: Compresión – Compresión
Las ecuaciones a aplicar son:
F 0
T 1
y
x
T 2 β
α
x
T 1Cos T 2 Cos 0
F 0 y
T 1Sen T 2 Sen 0
Se forma dos ecuaciones y se tiene dos incógnitas, es posible posible solucionar solucionar el sistema sistema y determinar determinar las fuerzas normales. 5.2 Método Método de las las seccio secciones nes o corte cortess Este método es conveniente usarlo cuado queremos determinar la fuerza normal de una barra en particular y de forma rápida. Consiste en realizar cortes y aplicando ecuaciones de momento en un punto se puede obtener el valor de la fuerza normal deseada. Es imp impor orta tant ntee tene tenerr en cuen cuenta ta cómo cómo se va va a realizar el corte, pues de esto dependen las ecuaciones a formular.
T H
V 2
V tg 1 H
Donde: T: Tensión del cable. H: Componente horizontal. V: Componente vertical θ: Angulo de inclinaci ón del cable.
