APUNTES DEL ÁREA DE MATEMÁTICA
3° U.A : Identidades Trigonométricas y F.T de ángulos compuestos
5TO AÑO DE SECUNDARIA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Todo triángulo tiene los siguientes elementos básicos: 3 ángulos y 3 lados. Entonces resolver un triángulo rectángulo significa encontrar la medida de uno de ellos conociendo la medida de 3 de ellos por lo menos. En la práctica aparecen situaciones problemáticas en planos verticales y/o planos horizontales, por lo que definiremos ángulos VERTICALES Y HORIZONTALES H ORIZONTALES.
ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos que se determinan en un plano vertical vertical y se miden mediante un “Teodolito”. Hay 2 clases de ángulos verticales: Ángulos de Elevación y Ángulos de Depresión. Ángulo de Elevación: Es el ángulo formado por la Ángulo de Depresión: Es el ángulo formado por horizontal que pasa por el ojo del observador y la la horizontal que pasa por el ojo del observador y línea de mira dirigida al objeto situado encima de la línea de mira dirigida al objeto situado debajo de la horizontal. la horizontal.
“α” es un ángulo ángulo de elevación. elevación. “β” es un ángulo de depresión Horizontal: recta imaginaria que pasa por el ojo del observador Línea de mira: segmento de recta que une el ojo del observador con el objeto observado. Observaciones: • Para resolver problemas de ángulos de elevación y depresión debemos recurrir a los triángulos rectángulos y las F.T • Como los ángulos de verticales se miden con el teodolito en la resolución de problemas se debe considerar la altura de este instrumento, pero para efectos prácticos es común omitir este valor. PROBLEMAS DE APLICACIÓN que le ángulo de depresión a la parte inferior inferior de 01.- Desde la orilla de un río se observa una antena 30°. ¿Cuál es la altura del depósito de agua?. de telefónica colocada en la orilla opuesta con un 06.- Una alumna de la I.E “María Auxiliadora” ángulo de elevación de 60°. Alejándose 50m el observa en un mismo plano vertical 02 ovnis ángulo de elevación es de 30°. Hallar el ancho volando a una misma altura con ángulos de del río y la altura de la antena. elevación de 53° Y 37°, si la distancia entre los 2 02.-Ericka que esta en lo alto de un edificio de 20m ovnis es de 70m ¿ a qué altura están los ovnis?. divisa una torre con un ángulo de elevación de 07.- Una alumna observa la cima de una montaña 30° y la base de la torre con un ángulo de bajo un ángulo de elevación de 30°. Después de depresión de 60°. Hallar la altura de la torre. avanzar 5km hacía la montaña, el ángulo de 03.- Desde la altura más alta de un edificio de 30m de elevación de la cima es de 45°. Determinar la altura se observa con ángulos de depresión de altura de la montaña. 30° y 60° la parte superior e inferior de otro 08.- Una persona observa un poste con un ángulo de edificio más pequeño. ¿Calcular la altura de dicho edificio?. elevación “α”, cuando la distancia que los separa 04.- Desde un punto del suelo se observa el techo del se ha reducido a la tercera parte, el ángulo de noveno piso de un edificio con ángulo de elevación se ha duplicado. ¿Cuál es el valor del elevación de 37° y la parte superior del mismo ángulo α. con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuántos 09.- Una niña observa la cabeza de su padre con un pisos tiene el edificio?. ángulo de elevación de 37° y los pies con un 05.- Un depósito de agua se encuentra a 100 metros ángulo de depresión de 30°, si las cabezas de de un edificio. Desde una de las ventanas del ambos están distanciadas 2.25 metros, ¿ hallar la edificio se estima que el ángulo de elevación altura del padre?. hasta la parte superior del depósito es de 45° y
Responsable: Prof. Carlos Enrique Navarro A - IE “María Auxiliadora”-Sullana
10.- Desde un avión que esta por aterrizar en el aeropuerto capitán Ibérico de Castilla, se observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje, al extremo más cercano con un ángulo de depresión de 60°, al extremo más alejado con u ángulo de depresión de 30°. Hallar la longitud de la pista de aterrizaje, si el avión se encuentra a 600 3 m de altura. 11.- Un turista curioso observa la parte alta de un torre; con un ángulo de elevación de 37°, se acerca 25m y ahora la observa con un ángulo de 74°. Determinar la distancia que le falta para llegar a la base de la torre.
12.- Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo. ¿ Cuál era la altura del árbol, si la parte que ha caído hacía el suelo forma con éste un ángulo de 37° y la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 30m. 13.- Enrique que se encuentra en la terraza de un edificio de 8 pisos, observa a Ericka que se encuentra a 21 metros del edificio con un ángulo de depresión de 53°; luego se pregunta cuánto mide la altura de cada piso del edificio, si todos son iguales.
ÁNGULOS HORIZONTALES
Son aquellos ángulos agudos, contenidos en planos horizontales, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales: norte(N), sur(S), este(E) y oeste(O). El instrumento para medirlos se llama Brújula. Su estudio también está basado en la resolución de triángulos rectángulos y en las F.T. En el gráfico anterior se han colocado todas las Direcciones: Encontramos la siguiente: Principales: se evalúan a 90°(N, S, E, O) Secundarias: se evalúan a 45°(NE, SO, SE, NO) Terciarias: se evalúan a 22° 30´(N-NE, E-NE, SSE, S-SO, O-SO, O-NO, N-NO) • Cuaternarias: se evalúan a 11° 15´(NE 1 4 N,…) Rumbo o Dirección: es la desviación angular que sufre un objeto con respeto a 2 direcciones principales Ejemplo: • • •
Ojo: la lectura se hace de izquierda a derecha En el gráfico la dirección de B respecto a A es N30°E o E60°N. La dirección de C con respecto a A es S56°O u O34°S. Rosa Náutica(o Rosa de los vientos): es un gráfico donde se observa 32 direcciones notables de la brújula, formando entre ellas ángulos iguales de 11° 15´(11,25°). Recuerda:
direcciones náuticas que corresponde a ángulos agudos cuya medida resulta de:
360° = 11,25 ° = 11°15´ 32
⇒
Observación: E1/4 SE es equivalente a E 11°15’ S Analicemos: 1. ¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones: NE¼N y NO¼O? 2. Ubica gráficamente una ciudad que se encuentra a 125km de otra, sabiendo que si una persona se desplaza de la primera ciudad a la segunda, debe seguir el rumbo E ¼SE 3. Desde un punto P se observa el punto R en la dirección E53°S. El punto R se encuentra a 3,5cm de P. Si desde R se observa al punto M en la dirección N20°E que está a 5cm de R. ¿Cuál es la medida del ángulo PRM?. 4. Claudia se encuentra a 16m de Irene en la dirección S60°O y Karla se encuentra a 12m de Irene en la dirección N30°O. Hallar la distancia entre Claudia y Karla. 5. Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N53°O luego recorre 40 2 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ? “La perseverancia es clave para el éxito”
Responsable: Prof. Carlos Enrique Navarro A - IE “María Auxiliadora”- Sullana
