ANALISIS REGRESI NON LINEAR MODEL HIPERBOLA
MAKALAH Untuk memenuhi tugas matakuliah Analisis Regresi Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi
Oleh: Kelompok 4 Anita Hermaningty Hermaningtyas as
408312408019 4083124080 19
Umi Qoiriah
408312409125 4083124091 25
Rachmadania Akbarita
408312409133 4083124091 33
Elvira Firdausi N.
408312411952 4083124119 52
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA Oktober 2010
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Salah satu teknik analisis data yang sedang ngetrend belakangan ini adalah regresi. Regresi adalah salah satu metode peramalan yang dikenal dalam statistik. Regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan hubungan sebab-akibat antara satu variabel dan variabel yang lain. Dalam dunia pendidikan, regresi sangat sering digunakan oleh mahasiswa yang sedang menyelesaikan tugas akhir. Analisis regresi berguna untuk mengetahui pengaruh antara variabel bebas
dan variabel terikat (yang juga dikenal dengan kriterium) yang disimbolkan dengan dengan . (yang juga dikenal dengan prediktor) yang disimbolkan dengan
Istilah variabel bebas dan variabel terikat teri kat berasal dari matematika. Dalam penelitian:
Variabel bebas adalah variabel yang dimanipulasikan oleh peneliti. Misalnya seorang peneliti di bidang pendidikan yang mengkaji akibat dari berbagai metode pengajaran. Peneliti dapat menentukan metode (sebagai variab el bebas) dengan menggunakan berbagai macam metode. Dalam bahasa yang lebih lugas, variabel bebas adalah variabel yang meramalkan sedangkan variabel terikat adalah variabel yang diramalkan.
Variabel terikat adalah akibat yang diduga mengikuti perubahan dari variabel bebas. Contoh, misalnya kita mengkaji tentang hubungan hubungan antara kecerdasan dan prestasi sekolah, maka kecerdasan adalah variabel bebas dan prestasi sekolah adalah variabel terikat. Jika kita meneliti hubungan antara merokok dan penyakit kanker, maka merokok mer okok adalah variabel bebas dan penyakit kanker adalah variabel terikat. Meskipun terdapat banyak sekali bentuk regresi non linear yang biasa
digunakan tetapi di sini hanyalah akan ditinjau beberapa saja yang penting dan termudah. Untuk regresi non linear berbentuk berbent uk lengkungan :
atas yang akan ditinjau di sini, antara lain
a. b. c. d.
Parabola kubis dengan persamaan: Logaritmis dengan persamaan: Hiperbola dengan persamaan: Parabola kuadratis dengan persamaan:
Dalam makalah ini akan dibahas lebih mendalam mengenai bentuk regresi non linear hiperbola
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana persamaan persamaan umum regresi non linear model hiperbola dan bentuk linear dari persamaan tersebut? 2. Bagaimana menganalisa model regresi yang telah diperoleh? 3. Bagaimana aplikasi regresi non linear model hiperbola?
C. Tujuan
1. Menuliskan persamaan umum regresi non linear model hiperbola dan bentuk linear dari persamaan tersebut. 2. Menganalisa model regresi yang telah diperoleh. 3. Mengetahui aplikasi dari regresi non linear model hiperbola.
BAB II PEMBAHASAN
1. Persamaan Umum Regresi Non Linear Model Hiperbola dan Bentuk Linear dari Persamaan Tersebut
Persamaan regresi hiperbola (lengkung cekung) ada dua model, yaitu: A.
di mana garis persamaannya akan memotong sumbu , ini ̂ berarti bahwa nilai ada yang negatif, atau bahkan keduanya keduanya (nilai maupun ) sama-sama negatif. Jika tidak ada ̂ berharga nol dapat ditulis menjadi: ̂ Dan bentuk tersebut sudah linear terhadap
B.
dan
̂ di mana garis persamaannya akan memotong sumbu , ini berarti bahwa dalam persamaan ini penyebaran penyebaran nilai ada yang negatif.
Model hiperbola ini jarang dipakai pada penelitian pendidikan karena nilainilai yang dihadapi dalam dunia pendidikan sifatnya positif. Walaupun terjadi maka model ini pun dapat digunakan, sedangkan perhitungan koefisien regresinya regresinya tidak berbeda dengan yang telah dibahas di muka (regresi ( regresi linear sederhana), hanya
diganti dengan . Dengan demikian maka untuk menghitung koefisien regresi digunakan rumus: ∑ (∑ ) ∑ ∑ ∑ ∑ Sedangkan Sedangkan untuk menghitung koefisien regresi digunakan rumus: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ seluruh nilai
2. Menganalisa Model Regresi yang Telah Diperoleh
Jika telah diperoleh model regresi yang linear maka kita dapat melakukan analisa sebagai berikut:
1. Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai berikut
: model regresi tidak berarti : model regresi berarti dari Anova, dan dari tabel dapat diperoleh . Terima jika dan tolak jika . Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai
2. Uji Koefisien regresi Untuk menguji koefisien regresi menggunakan menggunakan uji T, dengan hipotesis sebagai berikut
, artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel terikat. , artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat. Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai dari Anova, dan dari tabel dapat diperoleh . Terima jika dan tolak jika . 3. Uji asumsi analisis regresi a) Normal residual Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu minitab dan uji Anderson Darling dan mencari nilai P_value, dan dengan hipotesis sebagai berikut:
: Residual berdistribusi normal. : Residual tidak berdistribusi berdistribusi normal. normal. Untuk menentukan menolak atau menerima P_value dengan suatu nilai
, dilakukan perbandingan perbandingan
(taraf kepercayaan) kepercayaan) dengan ketentuan
sebagai berikut:
, jika data diperoleh dari penelitian di lapangan. , jika data diperoleh dari penelitian di laboratorium. , jika data diperoleh dari penelitian terhadap manusia atau binatang.
, dalam bidang kedokteran.
jika P_value , Tolak jika P_value . Terima
b) Kebebasan Kebebasan residual Untuk menguji kebebasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi untuk residual. Homogenitas residual bersifat homogen atau t idak saling bebas jika ada korelasi korelasi antar sisa. c) Homogenitas Untuk mengetahui apakah sisa antara variable terikat dengan variable bebas mempunyai keragaman yang homogen, atau tidak menunjukkan kecenderungan kecenderungan tertentu. Jika standar sisa 95% berada diantara ( -2,2) secara merata maka sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga mempunyai keragaman yang tetap. Jika asumsi kehomogenan ini terpenuhi t erpenuhi maka secara otomatis asumsi normalitas akan dipenuhi, jika sumsi ini tidak dipenuhi maka dilakukan cara untuk mengatasi salah satunya dengan cara melakukan transformasi terhadap data tersebut.
3. Aplikasi Regresi Non Linear Model Hiperbola Hi perbola
Toko Maju Makmur pada hari pertama pembukaan memiliki jumlah pengunjung yang berbeda pada setiap menitnya. Pada menit -menit pertama pembukaan, terdapat banyak banyak pengunjung yang tertarik untuk melihat-lihat melihat -lihat dan membeli di toko tersebut. Data pengunjung diberikan sebagai sebagai berikut:
= menit setelah toko dibuka = jumlah pengunjung toko X
Y
X
Y
20
150
500
97
35
125
800
62
60
105
1200
58
100
100
1300
40
150
92
1500
38
300
97
1600
35
Dengan minitab, didapatkan plot sebagai berikut:
Data di atas dianalisis dengan regresi model hiperbola yang ditransformasi menjadi bentuk linier. Nilai-nilai yang diperlukan untuk mencari parameter adalah sebagai berikut:
Jumlah
X
Y
20
150
0.0066667
400
0.1333
35
125
0.0080000
1225
0.2800
60
105
0.0095238
3600
0.5714
100
100
0.0100000
10000
1.0000
150
92
0.0108696
22500
1.6304
300
97
0.0103093
90000
3.0928
500
97
0.0103093
250000
5.1546
800
62
0.0161290
640000
12.9032
1200
58
0.0172414
1440000
20.6897
1300
40
0.0250000
1690000
32.5000
1500
38
0.0263158
2250000
39.4737
1600
35
0.0285714
2560000
45.7143
7565
-
0.178936
8957725
163.143
∑ , ∑ ,
Diperoleh
∑ ∑
dan
sehingga didapat:
Jadi persamaan regresi model hiperbola dari data di atas adalah
̂ ( )
Keterangan grafik: Dari minitab diperoleh grafik yang menunjukkan taksiran garis regresi yang
sebesar 92.7% dan sisanya sebesar 7.3%. Ini menunjukkan bahwa keragaman variabel mempengaruhi sebesar 97.2%, linier dengan koefisien determinasi
sedangkan sedangkan 7.3% dipengaruhi oleh variabel lain yang tidak masuk dalam model. Grafik di atas memperlihatkan taksiran intersep taksiran parameter
sebesar 0.00733 dan
sebesar 0.000012. R-Sq berkisar antara 0.1 sampai 0.5,
dengan catatan semakn kecil nilai R-Sq, semakin lemah hubungan antara kedua variable (begitu juga sebaliknya). Model regresi linear telah diperoleh maka kita dapat menganalisis sebagai berikut: 1) Menguji model regresi Data di atas diperoleh dari data lapangan maka Dari minitab diperoleh Anova sebagai sebagai berikut:
Dari AnovA di atas diperoleh nilai
Untuk menguji model regresi digunakan uji F , dengan hipotesis sebagai berikut: Terima
jika dan tolak jika .
: model regresi tidak berarti : model regresi berarti Dari tabel didapat Karena maka menolak . Tanpa mencari dapat yang berarti sehingga diketahui dari signifikan dapat disimpulkan bahwa model regresi dengan kata lain data sangat mendukung adanya hubungan antara menit . Adanya dengan pengunjung dengan persamaan hubungan ini dapat diidentifikasi dengan tingginya nilai koefisien determinasi sebesar 0.927 atau 92.7%. 92.7%.
2) Menguji koefisien regresi Untuk menguji koefisian regresi digunakan uji T , dengan hipotesis sebagai berikut: Terima
jika dan tolak jika .
artinya variabel bebas tidak ti dak berpengaruh terhadap variabel terikat.
artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat. Dengan alat bantu minitab, diperoleh
Hasil uji koefisien kemiringan garis regresi menunjukkan adanya pengaruh
terhadap pengunjung dengan nilai , jadi . Tanpa mencari dapat diketahui dari . Karena maka menolak dengan kata lain hipotesis
menit
artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat diterima. Jadi variabel bebas
sangat mempengaruhi variabel tak bebas .
3) Uji asumsi analisis regresi a) Normal residual Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu minitab dan uji Anderson Darling dan mencari nilai P_value, dan dengan hipotesis sebagai berikut:
: Residual berdistribusi normal. : Residual tidak berdistribusi normal.
Untuk menentukan apakah menolak atau menerima dengan suatu nilai
, P_value dibandingkan
.
Dari minitab diperoleh nilai P_value beserta grafiknya grafiknya sebagai berikut:
jika P_value , Tolak jika P_value . Terima
Nilai P_value = 0.96 > 0.05 terima
(memenuhi asumsi kenormalan
sisaan), jadi residual berdistribusi normal. b) Homogenitas Untuk mengetahui apakah sisa antara variabel terikat dengan variabel bebas mempunyai mempunyai keragaman yang homogen, atau tidak menunjukkan kecenderungan tertentu. Jika standar sisa 95% berada diantara ( -3, 3) secara merata maka sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga mempunyai keragaman yang tetap.
Dari minitab diperoleh scatterplot hubungan antara sres1 dengan fits1. Berdasarkan gambar diketahui bahwa standart standart sisa 95% berada antara (-3, 3) secara merata. Dengan kata lain sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga sehingga keragamannya keragamannya tetap (homogen). c) Kebebasan residual Untuk menguji kebabasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi untuk residual dengan menggunakan menggunakan alat bantu Minitab:
Karena garis hitam (data) tidak ti dak melebihi garis merah maka dapat dikatakan saling bebas atau tidak ada korelasi antar sisaan.
BAB IV PENUTUP
Ada dua macam regresi, regresi, yaitu regresi regresi linear dan non linear. Regresi Regresi linear merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan linear dan grafiknya grafiknya mendekati garis lurus, sedangkan regresi non linear merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan persamaan garis non linear, linea r, yang terdiri dari beberapa bentuk, yaitu eksponen, eksponen khusus, geometri, logistik, hiperbola, power, compound, sigmoid, dan logaritmik. Regresi non linear r tidak dapat di analisa secara langsung, melainkan harus dilinearkan terlebih dahulu dengan menggunakan menggunakan transformasi yang yang sesuai. Untuk regresi non linear model hiperbola diperoleh persamaan
. Misalkan maka ̂
dan dapat diduga parameter untuk persamaan
tersebut sehingga diperoleh model regresinya. regresinya.
