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antiderivadasDescripción completa
Muy buen materia de Medida e Integracion...
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examen de modelamiento de procesos UAP
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perfil comercial, zona de libre comercioDescripción completa
Libro acerca de los determinantes de la integracion comercial y de sus principales caracteristicas, asi como breves ejemplosDescripción completa
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA 1 ANTIDERIVADAS OBJETIVO: Aprender el concepto de antiderivada e integral indefinida y resolver integrales usando las formulas básicas. Concepto: Dada una función, sabemos como hallar su derivada, este problema lo estudia el cálculo diferencial. Cuando se conoce la derivada de una función y se desea conocer la función original, se usa el cálculo integral.
La antiderivada o primitiva de una funcion f( x)
x)+C es otra función F( x x) donde C es una constante. Si al derivar F( x)+C nos da como respuesta f( x x) Es decir F’( x) = f( x A la funcion F( x) se le llama una antiderivada de la una funcion f( x).
Ejemplo ¿Qué se derivo para que la derivada sea f ' ( x ) = 4 ? Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se se derivo es:
pero también las funciones 4x F 2 (x)=4x+5 F 3 (x)=4x-2 F 4 (x)=4x-12 F 5 (x)=4x+15 F 6 (x)=4x+8 F(x) = 4x+C F 1 (x)=
Es decir que la funcion cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen pendiente de +4 pero diferentes diferentes intersecciones intersecciones con el eje y como vemos en las graficas para los diferentes valores de la constante C C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15 C=8
Se puede afirmar que la funcion F( x)=4x+C es la antiderivada de f(x)=4
2 EJEMPLO Hallar la antiderivada de f ( x) = 3 x 2 x)= x 3 pero también La funcion funcion que se derivó derivó es F( x
x3 +5 3 F (x)= x +9 3 F (x)= x -2 3 3 F (x)= x + 2 3 F(x)= x +C Pues todas tienen pendientes 3 x es decir se puede afirmar que la funcion F(x)= x3 +C es la antiderivada de f ( x) = 3 x con F 1 (x)= 2
3
4
2
2
diferentes intersecciones intersecciones con con el eje eje y como vemos en las graficas graficas para los diferentes valores de la constante C C =5 C=9 C=-2 C=3/2
INTEGRALES INDEFINIDAS
INTEGRACION Al proceso de hallar las antiderivadas se le llama integración y a la familia de funciones que se obtiene mediante este proceso se llama integrales indefinidas y se representa mediante los símbolos dx
∫ o signo de la integral ,
indica la variable respecto a la cual se lleva el proceso de integración
los símbolos siguientes siempre van juntos y en el cuadro va la funcion f(x) que se debe integrar así:
∫ f ( x ) dx
donde f(x) es la derivada derivada de la funcion desconocida desconocida llamada integrando y la respuesta es una familia de funciones así
∫ f ( x ) dx
= F ( x ) + C
A la constante C se le llama constante de integración integración Por lo tanto en los los 2 ejemplos anteriores anteriores la antiderivada de f ( x ) = se escribe mediante una integral indefinida así:
4
∫ 4dx = 4 x + C 2 y la antiderivada de f ( x) = 3 x se escribe
2 3 x dx x 3 = +c ∫
REGLAS BASICAS DE INTEGRACION A continuación se presenta un conjunto de reglas para encontrar la integral indefinida de una funcion 1- INTEGRAL DE UNA FUNCION CONSTANTE F(x)=K donde k es un numero real
∫ kdx
= kx + C
EJEMPLOS
∫ − 9dx = −9 x + C 1 1 2- ∫ dx = x + C 8 8 3- ∫ dx = x + C 1-
π
π
∫ 52dx = 52 x + C 5- ∫ m dx = m x + C 4-
2- INTEGRAL DE UNA POTENCIA
f ( x) = x
∫
x
n
n
=
dx
n +1
x
n +
1
+ C
n ≠ −
con
1
Cuando el integrando es x elevado a algún exponente real se aumenta el exponente de x en 1 ,se divide en el nuevo exponente y se suma la constante de integración EJEMPLOS
∫
4
∫
−7
1- x dx 2- x
x ∫ 3-
3 2
=
x 5
dx =
dx =
+c
5 x
−6
−6 x
5 2
5 2
+c
+c es decir después de efectuar el producto de 3 2
2 x medios y extremos extremos resulta así: ∫ x dx = 5
∫
4- x
−7
3
− 3 x dx = 4
−4
3
+c
5 2
+c
5
1 2
2 32 x dx = ∫ x dx = x + c 3
∫
cada vez que aparece aparece una integral integral con radical, se vuelve a reescribir reescribir la integral con el radical en forma de potencia potencia fraccionaria fraccionaria como en el último ejemplo Cuando la potencia esta en en el denominador se reescribe subiendo la potencia con exponente negativo
1
∫ x
n
dx
∫
=
x
− n
dx
EJEMPLOS
1
1-
∫ x 9 dx = ∫ x 1
2-
2-
−9
∫ x 43 dx = ∫ x ∫
1
x
2 17
∫
8
dx =
− 43
dx = x
x −
dx =
2 − 17
+c
−8 x
−42
− 42 −
dx =
x
−
+c
15 17 15 17
− 15
+c=
− 17
15
x
17
+ C
3- INTEGRAL DE UNA CONSTANTE MULTIPLICADA POR UNA POTENCIA
n+ x n dx = k x n dx = k + C kx ∫ ∫ n +1
1
n ≠ −1
Las constantes salen de la integral y multiplican por las potencias
EJEMPLOS
x
4 10 x dx = 10 1- ∫
5
5
2- ∫ − 7 x dx = − 7
x
9
10
+ c = 2 x 5 + c 10
+c =
−7
10
x 10
5 − 12 5 x − 11 +c x dx = 3- ∫ 8 8 ( − 11 ) 6 5
5 x 4- ∫ 2 x dx = 2 11
11 5
10 115 +c = x + c 11
INTEGRAL DE UNA SUMA O RESTA DE FUNCIONES Se integra cada sumando es decir se distribuye el símbolo de la integral y se suma una sola constante C
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ]dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx EJEMPLOS 13 −6 3 −6 + + − = + + − ( 8 3 x x 2 x ) dx 8 dx 3 xdx x dx 2 x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx
Por lo tanto integrando cada termino se tiene :
3 x 2 x 4 2 x −5 8 x + + + + C 2 4 5 INTEGRAL DE LA POTENCI A n=-1
f ( x) = O
1
con
x f ( x ) = x −1
n = −1
1
∫ x
dx
= ln x
+ C
INTEGRAL DE LA FUNCION EXPONENCIAL (BASE E) Es la misma funcion funcion exponencial
∫
e
x
dx
EJERCICIOS BASICAS
=
e
x
+
RESUELTOS
c
APLICANDO
LAS
REGLAS
2 3 5 1- ∫ (6 x + 5 x − 8)(4 x − 3 x)dx
primero se efectúa el producto indicado y se obtiene la integral de una suma de constantes por potencias 7 8 5 4 3 ∫ (24 x + 20 x − 32 x −18 x − 15 x + 24 x) dx
se reducen términos términos semejantes si los hay y después después se integra cada termino aplicando las formulas básicas de integración en este caso suma de constantes por potencias
--------------------------------------------------------------------------5 2 2- ∫ (4 x + 7) dx se desarrolla el binomio indicado 10 5 ∫ (16 x + 56 x + 49)dx
Ahora se integra integra cada término término y se obtiene:
16 x 11 + 56 x 6 + 49 x + C 11 6
--------------------------------------------------------------3- ∫ 3 ( 4 x 5 + 7 ) dx se cambia el radical por potencia 5
x
fraccionaria y luego se sube la potencia y se efectúa el producto −1 3 x 5 (4 x5 +7)dx
∫
24 −1 (12 x 5 +21 x 5 )dx
∫
(12 )
5 29
60 x 29
29 5
29 x 5
Se integra cada término
4 5 + ( 21) x 5
4
+ C Simplificando
4
105 x 5 + C + 4
ACTIVIDAD I MATEMATICAS II
INTEGRAL INDEFINIDA
OBJETIVOS 1. Afianzar el concepto de integral indefinida resolviendo integrales. 2. Aplicar las formulas básicas de integración después de resolver resolver operaciones operaciones algebraicas algebraicas Actividades.
1) Halle la antiderivada antiderivada de las las siguientes funciones 4 − 5 a) x −1 b) c) 8 x 7 d)123 x e) 5 x 3 x
2) Calcule las siguientes integrales indefinidas –
