Anualidades ESAN

Valera, R. (2012). Anualidades. En Matemática financiera:conceptos, problemas y aplicaciones (pp.71-158)(420p.)(5a ed). Piura : Universidad de Piura. (C37991)

Anualidad.es 3.1

Conceptos

3.1 .1

Concepto de Anualidad

Es una serie de pagos periódicos, que se hacen en cantidades iguales, y a intervalos regulares de tiempo. Final del periodo de pago

Inicio del pertodo de pago

o

R

R

R

R

1

1

1

1

1

2

3

4

S=?

A=? Periodo o intervalo de pago

~· . *"''m!!l!r..es}~

Plazo o término de la anualidad

El tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el último período de pago se llama "término o plazo de la anualidad". El tiempo que hay entre cada pago sucesivo se llama período o intervalo de pago, y este plazo, expresado en número de días, meses trimestres etc. , debe ser el mismo entre cada período de pago.

3.1.2

Elementos de una Anualidad

Los principales elementos que conforman una anualidad son los siguientes: 71

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones

R : Pago Periódico es el importe cobrado o pagado, según sea el

caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la anualidad. S:

El Valor Futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos ( R ), capitalizados al final del enésimo período.

A:

El Valor Actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos ( R ), descontados a una tasa de interés o de actualización.

i : Es la tasa de interés efectiva por período.

n : El número de períodos se obtiene al multiplicar el tiempo en

años por la frecuencia de capitalización de los intereses (n =N*m ).

3.2

Clasificación de las Anualidades

En términos generales, las anualidades se clasifican en anualidades eventuales y anualidades ciertas.

e 3.2.1

VITALICIAS

)

e

)

TEMPORALES

)

e r

e: TEMPORALES

~

e

1 PERPETUAS

)

Anualidades Eventuales o Contingentes

Pertenecen a este grupo aquellas anualidades en las que el comienzo o el final de la serie de pagos son imprecisos y dependen de algún acontecimiento previsible pero sin exactitud.

72

Anualidades

Ejemplo: Un contrato hecho por una compañía de seguros de vida, en la que se obliga a pagar, a partir de una determinada fecha, una cierta cantidad de dinero a una ersona mientras ésta viva. Estas anualidades a su vez pueden ser:

•

Vitalicias: Son las anualidades que tienen vigencia mientras dure la vida del rentista. Podría ser el caso de una pensión por jubilación.

•

Temporales: Son, en esencia, anualidades vitalicias que terminan después de un determinado número de pagos, aún cuando el rentista continúe con vida. Un ejemplo podría ser el seguro que cubra los estudios universitarios de una persona.

3.2.2

Anualidades Ciertas

Reciben este nombre aquellas anualidades en las que la duración de la serie de pagos, no depende de alguna eventualidad externa, sino que se estipula en términos concretos por adelantado. Las anualidades ciertas, de acuerdo a su duración, se clasifican en perpetuas y temporales.

•

Temporales: Son aquellas que tienen un plazo de duración determinado. Por ejemplo, un crédito hipotecario a pagar mensualmente durante veinte años.

•

Perpetuas: Son las que tienen duración ilimitada, quiere decir que el fm del horizonte temporal no está determinado. Por ejemplo, la emisión de un tipo de bonos que pagan una renta a perpetuidad.

Las anualidades ciertas y eventuales pueden ser a su vez:

•

Vencidas u Ordinarias: Cuando las rentas se efectúan al final del período.

•

Anticipadas o Adelantadas: Cuando las rentas se efectúan al comienzo del período.

7?.


3.3

Cálculo del Valor de una Anualidad

Podemos calcular el valor de una anualidad, en cualquiera de los tres casos siguientes: •

Al fmal del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es el monto o valor futuro (S).

·•

Al comienzo del plazo de la anualidad, entonces el valor hallado es al valor actual (A).

•

En un punto intermedio del plazo de la anualidad.

3.4

Anualidad Vencida u Ordinaria

Se caracteriza porque sus pagos periódicos iguales, se hacen al final de cada intervalo de pago.

3.4.1

Cálculo del Monto o Valor Futuro (S)

Consiste en hallar la suma de todos los pagos periódicos a una misma tasa de interés por periodo, y al fmal del plazo de la anualidad. Con un ejemplo se detallará la forma com.o se obtiene este monto. Ejemplo: Hallar el monto de una anualidad con pagos periódicos de S/. 100 1~ fmal de cada trimestre, durante un año, al 9% efectivo trimestral.

1

Datos: R =lOO i = O. 09 trime¡stral n=4 S=?

o

74

1

2

3

4

100

100

lOO

lOO

Anualidades

Solución: S=100(1+0.o9Y +100(1+0.09Y +100(1+0.o9Y +100

S= 457.31 Deducción de la fórmula: Simbólicamente tenemos:

S= R(l +if +R(l +if +R (1 +iY +R Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razón geométrica ( r ), para luego hallar la suma de sus términos.

Primer término: a = 1 Últin1o término: u

(1 + iY

La fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica finita es:

f * (1+ i) -1 - -'----'--( 1+ i) -1 4

(u * r )- a - (1+ i S-

- (r-1) -

(l+i)-1

-

i

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:

S=R

[

(l+ir-11 . l

cuando cuatro (4) es el número de períodos y de pagos. 75

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas yaplicaciones

Por lo tanto, la fórmula del monto de una anualidad ordinaria cuyos pagos (R) son pagaderos al final de cada período, durante n períodos y a una tasa de interés i , sería:

En el ejemplo visto tenemos que:

s = 1oo[.....;_(1_+o_.o---'9)_4-_1 J 0.09 S =457.31

3.4.2

Cálculo del Valor Actual (A)

Consiste en hallar la suma de los valores actuales de todos los pagos periódicos al comienzo del plazo de la anualidad. Con los datos del ejemplo anterior, hallar el valor actual o presente de dichos pagos.

A=?

o

1

1

1

2

3

4

100

100

100

100

1

2

3

A= 100(1 + O.o9r + 100(1 + 0.09r + 100(1 + 0.09r + 100(1 + 0.09r

A =323.97 Deducción de la fórmula:

Simbólicamente tenemos:

76

4

Anualidades

Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

A =R[ (1 +ir

1

+(1 +i)-2 +(1 +ir3 +(1 +i)-4

J

y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razón geométrica ( r ), términos. r=

para luego hallar la suma de sus

' )1 1+ i 1 Q =(l+i) 2 (1 + i)

Pri.rner término: a= (1 + i)-4 Último término: u= (1 +i)-

1

La fórmula de la suma de los términos de lma progresión geométrica finita

(u*r)-a (1+ir1 *(l+iY -(l+i)-4 1-(l+i)-4 S = (r -1) = (1 + -1 l

ii


l

rJ 4

A=R l- (1+ i l

cuando cuatro (4) es el número de períodos y de pagos. La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad ordinaria cuyos pagos ( R ) son pagaderos al final de cada período, durante n períodos y a una tasa de interés i, sería:

77


En el ejemplo visto tenemos que: S=lOOrl-(1+0.09)-4

l

0.09

S

1

S =323.97

3.4.:i

Cálculo de una Anualidad en un Punto Intermedio

Para una mejor ilustración del cálculo de una anualidad en un punto intermedio usaremos un ejemplo 1 Ejemplo: Se tiene una anualidad ordinaria con pagos trimestrales de S/. 5 000 durante dos años, pactados a una tasa efectiva trimestral del 7 .5%. Hallar el valor de la anualidad al final del primer año. Datos: R = 5 000 i =O. 07 5 trimestral n=4*2=8 X =valor buscado al fmal del primer año

o

1 5 000

2 5 000

3 5 000 '

4 5 000

5

6

7

5 000

5 000

5 000

8 5 000

S=? 1

A=? 1

Solución: •

78

Hallar el monto S al final del primer año de los pagos anteriores a la fecha; inclusive el pago en esa fecha:

Anualidades

5

S= •

ooo[ (1+0.075r -1] = 22 364.60 0.075

Hallar el valor actual A al fmal del primer año de los pagos posteriores a la fecha. 5 ooo[l-(1+0.075r A=

•

0.075

4 ]

= 16 746.63

El valor de la anualidad al fmal del primer año (..W es: S + A = 22 3 64 .6 O+ 16 7 46 .6 3 = 3 9 111.2 3

3.4.4 Problemas Resueltos de Anualidades Vencidas l. ¿Qué monto obtendré si deposito S/. 500 al fmal de cada mes durante cuatro años, si la tasa efectiva mensual es del 0.5%? Datos:

R=500 i =0.005 mensual Plazo =4 años n=4*12= 48

Solución:

s = soo[ (1 +O.oos)" -1J 0.005 S= 27 048.91

S=? 2. ¿Qué cantidad de dinero tendré que depositar hoy día en un banco para poder disponer de S/. 500 al fmal de cada m_es durante tres años, si el banco paga una tasa efectiva mensual del 0.5~1,?

Datos:

Solución:

R=500 i=0.005 Plazo =3 años n · 3*12=36 A=?

A= soo[1- (1 +o.oosr"]

0.005 A =16 435.5

79


3. La empresa ABC hace un préstamo al banco, que se cancela mediante pagos semestrales vencidos de S/. 20 000 durante dos años a una tasa efectiva semestral del 18%. ¿Cuánto deberá ABC al cabo de un año después de haber cancelado los dos primeros pagos?

o

3

2 20000

Datos:

R=20 000 i =18% semestrnl n=2*2=4 A=?

20000

4 20 000

20 000

Solución: 20 ooo[l-(1+0.18r

2 ]

A=-------0.18

A =31 312.84

4. Una empresa azucarera reserva S/. 15 000 al fmal de cada mes durante tres años en un fondo que gana 12% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuál será el valor del fondo al fmal del tercer año, y cuánto será el monto 2.5 años después de hacer el último depósito? Datos:

R=15 000 i =12%/ 12=1 %~nsual n=3*12=36

S=?

Solución:

Y-1]

15 000 [ (1 +O. O1

6

S=----=-----0.01 8=646153.17

S=C(1+iY n

=12 * 2. 5 =30

8=64{) 153.17(1+0.0lj

0

S= 870 916.85 5. Se solicita un crédito por $ 100 000 al Banco Regional. Se cancelará con pagos mensuales vencidos durante dieciocho meses.

80

Anualidades

La tasa de interés del mercado es 2.8436% efectivo mensual. ¿De cuánto será cada pago? Solución:

Datos:

A= lOO 000 n =18 meses i =2.8436% trensual R=?

R[1- c1 + o.o28436r

18

J

1()() 000 = ---=---------=0.028436 R=7175.08

6. Terry recibe un crédito de$ 7 000 pagaderos por medio de cuatro pagos semestrales vencidos, a una tasa del1.5% efectivo mensual: a) ¿Cuánto pagará semestralmente? b) ¿A cuánto ascenderían estos pagos si es que se acordase pagar mensualmente? Solución: a) Datos:

Solución;

i =0.015 rrensual

R [t-(1 + 0.093443)-4] 7 000 = - - - = ' - - - - - - - = 0.093443 R =2 177.03

n=2x 12=24 12

(1+0.015)

=(1+i)

2

i =9.3443% sem.

b) Datos:

Solución:

i =0.015 rrensual n= 2 x 12 = 24

7 000=

R [1-(1 + o.093443

rJ 24

0.093443

R= 349.46 7. ¿Qué cantidad de dinero tendré que invertir en una financiera, para obtener un pago de $ 3 500 al final de cada año durante cuatro años, si la financiera paga el 9% anual capitalizable mensualmente?

81


Datos:

Solución:

R=3 500 i =O. 09112 = 0.0075 mensual 2

(1 + 0.0075Y = (1 +TEA

y

3 5oo[1-(1+0.093807)-4] A= 0.093807 A= 11 244.91

TEA=9.3807% 8. Valeria desea comprar un equipo de sonido que al contado cuesta SI. 2 800. El vendedor le ofrece que no pague nada de cuota inicial, sino que haga un solo pago de S/. 3 500 al fmal de seis meses; sin embargo ella prefiere hacer pagos mensuales iguales, acordando con el vendedor efectuarlos al fmal de cada período. ¿De cuánto debería ser cada pago periódico? Datos: Solución:

C=2 800 S=3 500 n=6 i=?

S=C(l+ir 6

3 500 =2 800(1 + i)

i =3.7891% mensual

Para hallar el pago periódico, usamos la fórmula del Valor Futuro o la fórmula del Valor Actual. Datos:

A=2 800 n=6

i =3.7891% R=?

Solución:

R[ 1- (1 + 0.03 7891 )-6]

2 800 = - - - - - - 0.037891 R=530.47

9. Cuando Pía cumplió catorce años, su abuela decide depositarle al fmal de cada trimestre la cantidad de S/. 550 en una cuenta de ahorros en el Banco América que paga el 3.5~ó efectivo mensual. Si tiene pensado hacer estos depósitos durante ocho años consecutivos, calcular la cantidad que tendrá Pía en su cuenta al cumplir veintitres años, si se sabe que la tasa de interés permaneció invariable hasta que cumplió veinte años, fecha en que la tasa efectiva trimestral subió al 16%. Datos:

R=550 n=24 i=3.5% 82

(1 + o.o35Y = (1 +

iY

i= 10.871788% trimestral

Anualidades

Solución:

14 años

o

2

1

3

4

5

6

7

i = 10.8718%

n

,,,"

·

·

j = 16% n=8

=24

8

9 i = 16% n =4

~~

R=550

~ ~s,

s, 24

sso[ (1+0.10871788) S,=

-1]

0.10871788

S1 =55 164.667 Por lo tanto: S,

=55 164.66 7 (1 + O.16 i

2

SI = 327 458.95

R=550· n=8· i=l6%

'

'

8

S2 -

5 50 [ ( 1+ o.16) -1

J

--=-----·

-

0.16

S2 =7 832.05 Por lo tanto: 4

S2 = 1 832.05 (1 + o.16)

s2 = 14 181.02 Entonces, Pía al cumplir veintitrés años tendrá en su cuenta:

ST = s, +S2 ST = 327 458.95 + 14 181.02 ST =341 639.97

83


10. Jorge ahorró en una A.FP $ 100 mensuales, durante toda su vida laboral que duró treinta años, los cuales incluyen dos años de inactividad por falta de trabajo. Al final de estos treinta años se jubila. Pero durante los años catorce y veintiun no pudo ahorrar los $ 100 al mes ya que no tuvo trabajo. Si la tasa es del 0.5o/ó mensual, y si se estima que Jorge vivirá quince años más después de su jubilación, ¿cuánto deberá recibir mensualmente en su ancianidad durante esos quince años? Solución: Primero, tenemos que calcular el monto acumulado hasta el año trece, en que Jorge dejó de trabajar:

*

R=100

i = 0.005 mensual

n = 13 12 =156 meses·

'

años

o

1

13

3

2

Ahora debemos calcular el monto que se acumuló el año que dejó de trabajar, aunque no aportó los $ 100 mensuales durante ese año, el monto acumulado hasta ese año siguió ganando intereses de la siguiente manera:

R[(l+i) -1] s13

=

i

56

=

Ioo[(l+o.oo5Y -1] = 23 544.73

0.005

Acumulado hasta el año 14:

e= 23

n = 1 *12 = 12 meses

544. 73;

2

s14

=23 544.73(l+O.oosY = 24 996.92

Lo que se acumuló hasta el año veinte será:

e= 24 996.92; 84

n = 6 * 12 = 72 meses

Anualidades

años 15

14

20

16 72

S= 24 996.92(1 + 0.005) = 35 796.41

oo[(1 + o.oo5) -1 J=8 640.89 72

1 S=

0.005 s2o =35 796.41+8 640.89 S20 = 44 437.3

Ahora, calcularemos el monto que se acumuló en el segundo año que no trabajó, que es el año veintiuno. El tnonto hasta ese momento es el siguiente:

n = 1*12 =12 meses

C= 44 437.3;

12

S= 44 437.3(1 +0.005) = 47 178.09 Finalmente hallaremos el monto total acumulado hasta el año treinta:

*

e= 47 178.09;

n = 9 12 = 108 meses

años 21

22

23

30

24 08

s = 47 178.09 (1 + o.oo5i = 80 849.07 too[ (1 + o.oo5yos -1 J S=

0.005

= 14 273.98

85


El monto total acumulado durante los treinta años de su vida laboral es:

=80 849.07 + 14 S30 =95 123.06 S30

273.98

El monto que va a percibir mensualmente, durante los próximos quince años:

A= 95 123.06;

n=15*12=180 meses

J

R[1-(1+irn A = --=------=l

R[ 1- (1 + o.oo5r J 180

95123.06 = --=------=0.005 R=802.70

11. La compañía "ERLI S.A." ha decidido cancelar las doce últimas cuotas mensuales de un préstamo contraído con la Caja Municipal. Sí las cuotas pendientes de pago son fijas y cada una de ellas asciende a S/. 15 000. a) ¿Cuánto tendría que cancelar hoy, si la TEA con la que fueron calculadas las cuotas es del 18%, pero se sabe que para recalcular la deuda se toma la TEA vigente que es del 15%? b) ¿Le favorece o le perjudica que para recalcular su deuda tomen una TEA menor? a)

o A=?

86

1 15 000

2

12

15 000

15 000

Anualidades

(1+0.15j =(l+ij

2

i =0.011714917 mensual

A= 15 ooo[1- (1 + o.Ol1714917r'

2

J

0.011714917 A = 167 011.14

b) Si no hubiese variado la TEA, tendría que pagar lo siguiente:

( 1+ o.18

i =(1 + i i

2

i =0.0138888 mensual A =15 ooo[ 1- (1+ o.o 1388 88

r' J 2

0.0138888 A= 164 751.20 Con lo cual vemos que, si para recalcular la deuda se hubiese tomado la TEA del 18% y no la TEA del 15%, se hubiera ahorrado S/. 2 259.94.

12. María Lucía compró un departamento por el cual debe hacer un pago periódico n:tensual de $ 550 durante diez años; pactándose una tasa efectiva anual del 11.5%. a) Si al efectuar el trigésimo pago desea liquidar el saldo de su deuda con un pago único ¿Cuánto deberá pagar adicionalmente en esa fecha para liquidar su deuda?

b) ¿Cuál será el valor al contado del departam.ento? Datos:

R=550 n=~

(1 +ir = (1 +TEA j

(1+iY 2 =(l+o.usy i = 0.9112% mensual

87


Solución: a)

A= 550[1- c1 +O.o09mr"'

J

0.009112 A =33 678.13 b) 120

55o[1-c1 + o.o09u2r

J

A=--=---------= 0.009112

A=40034.32 13. Luis Perales desea comprar dos camionetas para distribuir gaseosas. En DAEWOO, el precio al contado de ambas camionetas es de S/. 120 000, pero le proponen un crédito con las siguientes condiciones: Sin cuota inicial y cuotas mensuales iguales para pagar al fmal de cada mes por S/. 6 712.59 a una tasa efectiva del 3% mensual. Calcular en cuántos meses se pagarán las camionetas. Datos:

A=120 000 R=6 712.59 i =O. 03 trensual n=?

Solución:

6 712.59[1- (1 +O.o3rn

J

120 000 = -----=------= 0.03 3 60016 712.59 = 1- (Lo3rn 0.463694 = (t.o3r, log (0.463694)=-n * log (1.03) n=26meses

14. El Sr. Sergio García decide comprar una máquina ABSX 30 para complementar su gimnasio; el vendedor le ofrece un plan de cuotas, en la que mensualmente tendría que desembolsar $ 930, acordándose una tasa efectiva anual del 18%. Si su deuda está actualmente valorizada en $ 7 817.18. Determinar el número de meses que le restan para cancelar su deuda. 88

Anualidades

Datos:

R=930 A=7 817.18 TFA=18%

(l+TEAi =(1+ii

2

(1 + o.t8Y = (1 + iY

2

i =0.01388843 mensual

Solución: 930[1- (1 +0.01388843rn

J

7 817.18 = --=----------=0.01388843 0.883295 = (1.01388843 rn log (0.883295) = -n * log (1.01388843) n =9 meses

15. Juan Ruiz desea realizar sus estudios de Master en Dirección de Empresas. Después de averiguar el costo de estos estudios, se dio con la sorpresa que serían de$ 16 000. Juan solamente contaba con $ 6 000 ahorrados, por lo que se vio en la necesidad de prestar $ 1O 000 al banco con las siguientes condiciones: Préstamo TEA Plazo Forma de pago

$ 10 000

18% 4 años cuotas mensuales

a) Hallar a cuánto asciende la cuota de cada pago mensuaL b) Al finalizar el primer año, luego de efectuar el pago correspondiente a ese período, Juan Ruiz desea saber cuál es el saldo de su deuda luego de amortizar $ 2 000 de ésta. e) Si la TEA al comenzar el segundo año aumt~ntó en 2% ¿A cuánto ascenderán las cuotas restantes? Solución: a)

(1 +TEA} = (1 + i } (1+0.18) =(l+i)

2

2

i =1.3 88843~/o mensual

89


R [1-(1 + 0.01388843 )-4

8 ]

1o 000= --=---------=0.01388843 R= 286.8259 b) 36

286.8259[1- (1 +0.01388843r ] A=---=--------= 0.01388843 A=8 082.61 Como decide amortizar $ 2 000, su deuda será de: 8 082.61-2 000 = 6 082.61

e)

(1 + TEAY = (1 +ij

2

(1 + 0.20i =(1 + ii

2

i =1.530947% mensual

R [1- (1 + o.ol50947r

36 ]

6 082.61 =~-------= 0.0150947 R =221.03

16. Un alumno que recién termina la Univ.ersidad, está planeando comprarse un departamento cuyo precio al contado es de$ 40 000. Para ello, se pone en contacto con el Banco América que le ofrece financiar el 75% del valor del departamento, exigiéndole a cambio cuotas mensuales de $ 360.05 cada una durante 15 años. ¿Cuál es el costo del financiamiento anual? Datos: A =40 000 * 0.75 = 30 000 R = 360.05 n = 15 * 12 = 180 i=? 90

Anualidades

Solución: 360.05[1-(1 + i)-ISO] 30 000 = ---==-----

i

La i se puede hallar rápidamente con la ayuda de una calculadora financiera o con una hoja de cálculo. Manualmente el cálculo hay que hacerlo por el método de prueba y error que consiste en probar aleatoriamente con distintas tasas de interés hasta que encontremos una tasa que satisfaga esta ecuación. El primer paso sería igualar la ecuación a cero.

ir J --=-----=-- 30 000 =o 360.o5[1-(1 +

180

l

Probamos con i =5% , y esto es igual a: S/. -22 800.1; resultado que al ser negativo quiere decir que la tasa que estamos buscando es menor al 5%. Ahora probamos con i = 0.5%, y esto es igual a S/. 12 667.19; resultado que al ser positivo quiere decir que la tasa que estamos buscando es mayor al 0.5%; entonces ya sabemos que la tasa que estamos buscando se encuentra dentro de este rango hasta que finalmente encontramos que una i igual al 1% ( i = 1% ) logra satisfacer esta ecuación, haciendo que ésta sea igual a cero. A continuación, hallamos el costo anual del financiamiento (TEA):

(1+TEAY = (l+O.otY

2

TEA= 12.6825% 17. La Cía. San Andrés contrae una deuda con el banco por $ 200 000 pagaderos en diez años mensualmente, a una tasa del 1.5% efectivo mensual (TEM). Al fmalizar el cuarto año luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho mes, se plantea lo siguiente: a) ¿Cuánto tendría que pagar en ese momento para liquidar su deuda? 91


b) ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento para que en el futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan sólo a $2 500? e) ¿Afecta que al calcular el valor actual de mi deuda considere una tasa efectiva mensual menor, por ejemplo del1 %? Solución: a) A=?

meses

o

2

3

48

R

49

118

50

119

[1- c1 + o.o15r J 120

200 000 =~-------=0.015 R =3 603.704

2

= 3 603 .704[ 1-(1 +0.015f'

A 48

0.015

A48 =158 003.20 b)

2 soo[1- (1 +o. ot5r

72 ]

A=----~--------~

0.015 A =109 611.66

Pagaría: 158 003.20-109 611.66 = 48 391.54 e)

n=72·

R = 3 603.704;

'

A 48

i=1%

= 3 603.704[1-(1+0.01f']

0.01 A48 = 184 3 30.870 92

]

120

Anualidades

184 330.870 vs 158 003.201

Aparentemente, esta situación parecería favorable al cliente; sin embargo, al calcular a cuánto ascendería el valor actual de su deuda en el caso de que las cuotas se recalculen con una tasa menor, en este caso del 1%, podemos observar que se le estaría perjudicando, como se ve al comparar los valores actuales calculados con las tasas mensual del 1.5% y del 1%. Esto ocurre porque las cuotas pactadas fueron calculadas inicialmente con una tasa mayor y al calcularlas con una tasa menor estaríamos castigándolas menos y obteniendo, por lo tanto, un mayor valor actual. 18. Hoy día se contrae una deuda por $ 11 000, con el acuerdo de pagarla en 24 meses con una TEM del4%. Luego de efectuado el sexto pago y ante la aparición de problemas financieros, se plantea al acreedor: a) El deseo de seguir pagando siempre y cuando la deuda pendiente se la refmancien a 3 años, contados a partir de ese momento. ¿Cuánto sería el pago mensual que tendría que asumir? b) Le afecta que le bajen la tasa de interés al 3%, al momento de recalcular las cuotas pendientes de pago. Solución: a) A=?

o

6

23

24

93


R[ 1-(1 + o.04r J 11 000 =- - = - - - - - - = 24

0.04

R= 721.44

721.44[ 1- (1 + o.04

4=

rJ 18

0.04

4, = 9 133.08 R

R

R

R

R

R

-+-·--+---1 o

1

3

2

34

35

36

R[lc1 + o.o4 r J 9 133.08=-----36

0.04

R=483 b) R [1- (1 + o.o3r

36

J

9 133.08 =---=------=0.03 R =418.32

Como se puede apreciar habría una reducción significativa en las cuotas, disminuyendo$ 64.68 (483 ·- 418.32).

19. El Sr. Pelayo desea adquirir una máquina cuyo precio al cash es de $ 100 000. Al solicitar información sobre el fmanciamiento el vendedor le dice lo siguiente: ~

• • •

Cuota inicial: $ 15 000 y 3 alternativas de pago: 12 mensualidades de$ 8 037.56 c/u. 18 mensualidades de$ 5 669.67 c/u. 24 mensualidades de$ 4 494.00 c/u.

Luego de escuchar al vendedor, el Sr. Pelayo le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente:

94

Anualidades

•

• • •

Cuota inicial: $ 15 000 Al fmalizar el primer mes $ 5 000 Al finalizar el segundo mes $ 1O000 A partir del tercer mes dieciséis pagos iguales.

El vendedor se preguntaba a cuánto ascendería ese pago teniendo en cuenta que el costo mensual de financiamiento de esa casa comercial es del2%. 100 000

A=?

~ o 1

15 000

5000

2

10000

3

16

17

18

R

R

R

R

¿A cuánto ascenderá cada pago R ? 1

100 ooo= 15 ooo+ 5 oooc1 +o.02r + 1o oooc1 +0.02)-2

R[ 1- (1 + 0.02r

16 ]

+ -----------------------

0.02 R = 5 401.06

*1.02-2

20. Suponer que la Cía. PIQUET desea adquirir cuatro camiones de 3~ Ton. c/u. cuyo precio cash es de $ 20 500 c/u. El costo mensual del fmanciamiento ofrecido es del 4.25%, por lo que las alternativas de pago son las siguientes: Cuota inicial de$ 6 500 y tres formas de pago: • • •

12 mensualidades de$ 1 513.45 c/u. 24 mensualidades de$ 941.87 c/u. 36 mensualidades de$ 766.25 c/u.

a) Si compro cuatro camiones utilizando el crédito de la casa comercial. ¿Cuánto pagaría mensualmente en total si el plazo para pagar fuese de 24 meses, además de la cuota inicial que en total sería de $ 26 000? 95


b) Además de pagar la cuota inicial, ¿cuánto hubiese tenido que pagar mensualmente por la compra de cinco camiones de ese mismo tipo, si el fmanciamiento se hubiese hecho por el saldo y a través de un Banco que tiene un costo del18% anual? Solución: a) El costo de la casa comercial será el siguiente: Mensual: Anual:

4.25~/o

(1 + 0.0425Y 2 -1= 64.78%

Y por la compra de cuatro camiones pagaré lo siguiente: 941.87 * 4 =3 767.48 mensualmente

b) Por la compra de cinco camiones pagaría lo siguiente:

y

(1 + 0.18 = ( 1+ i

y 2

i =1.3888% A =14 000* 5= 70 000

R[ 1- (1 +0.013888r J 70 000 = 24

---:=..,_ _ _ _ _ __ : : .

0.013888 R=3 449.74

3.4.5

Problemas Propuestos de Anuaiidades Vencidas

l. Lucía tiene en su poder los siguientes docmnentos: •

96

Catorce letras de S/. 8 000 cada una. La primera vence al comenzar el noveno mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalo de un mes.

Anualidades

•

Además tiene diez letras de S/. 6 000 cada una: La primera vence al fmal del séptimo mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalos de dos meses. Si la tasa de liquidación de estos documentos es del 12.6825(% anual, y le ofrecen S/. 150 000 por todo el paquete de documentos. ¿Debería aceptar la ofetta o no?

Rpta: Teóricamente no conviene la oferta, ya que S/. 150 000 es mayor que S/. 148 283.20, que es el valor actual de esas letras el día de hoy.

2. El Sr. Suárez compró un auto, pagando una cuota inicial de $ 5 000 y comprometiéndose a pagar $ 200 cada tres meses durante los próximos diez años. Se pactó una tasa efectiva trimestral del1.5%. •

¿Cuál era el valor de contado del auto? Rpta: $ 10 983.169

•

Si el Sr. Suárez omitiera los primeros doce pagos, ¿Cuánto tendrá que pagar en el vencimiento del décimo tercer pago para ponerse al corriente? Rpta: $ 2 847.36

E,)

®

Después de haber hecho m;ho pagos, el Sr. Suárez desea liquidar el saldo existente mediante un pago único en el vencimiento del noveno pago. ¿Cuánto deberá pagar además del pago regular vencido? Rpta: $4 929.22 Si Suárez omite los primeros diez pagos, ¿Cuánto deberá pagar cuando venza el décimo primer pago para liquidar el total de su deuda? Rpta: $ 7 047.86

3. El Sr. Dulanto viene depositando en el Banco lVIundo cuotas de $ 1 527.18 al fmal de cada mes, con el propósito de que a] final de su rnuerte sea entregado dicho dinero a su hijo. Dos meses después de la muerte del Sr. Dulanto se le notificó a su hijo que era acreedor de $ 35 000, habiéndose pactado una TEA del 15% ¿durante cuántos m.eses ha estado depositando dinero el Sr. Dulanto? Rpta: 20 meses.

97


4. El Sr. Lira decide adquirir un departamento valorizado en$ 50 000. Al investigar en la inmobiliaria acerca de las formas de pago, le proponen tres alternativas de pago, a pagar en un lapso de cinco años. Alternativa 1: Sin cuota inicial y sesenta mensualidades de $ 1 142.13 c/u. Alternativa 2: Una cuota inicial de $ 5 000 y sesenta mensualidades de$ 946.62 c/u. Alternativa 3: Una cuota inicial de $ 10 000 y sesenta mensualidades de$ 868.4 c/u. ¿Cuál será la mejor alternativa de crédito para el Sr. Lira? Rpta: Al Sr. Lira le conviene la alternativa número dos, ya que el costo efectivo anual de su fmanciamiento, es el menor (10%). 5. Ciro Bazán desea comprar un nuevo motor que cuesta S/. 2 000 al contado. El dueño le ofrece que haga un solo pago de S/. 3 000 dentro de seis meses. Pero Ciro le propone pagar una cuota inicial de S/. 700, y el resto a pagarlo en cuotas iguales al fmal de cada mes durante doce meses. ¿Cuál será el pago periódico que Ciro tendría que hacer? Rpta: El pago periódico debería ser de S/. 163.59. 6. Tres jóvenes deciden emprender un negocio de venta de artesanías para lo cual necesitan un capital inicial de $ 15 000; monto que solicitan a un prestamista a pagar en cinco años. El prestamista les asigna cuotas mensuales a una tasa capitalizable mensualmente del 98%. Al fmal del segundo año, el negocio obtiene considerables utilidades por lo cual los socios deciden cancelar el 50% de su deuda en ese momento y el saldo pagarlo en doce cuotas quincenales. a) ¿Cuánto pagarán los socios al fmal del segundo año y a cuánto ascenderán las nuevas cuotas a pagar? Rpta: Lo que tendrán que pagar es de $ 7 119.77, y las nuevas cuotas ascenderán a 759.77 1

b) ¿En cuántos pagos mensuales de $ 707.1907 cancelarían el saldo de la deuda a partir del tercer año? Rpta: Sería en 22 pagos mensuales.

98

Anualidades

e) Si los socios están dispuestos a pagar como máximo cuotas quincenales de$ 750 y el prestamista incrementa su tasa activa a 10% efectivo mensual ¿Aceptaría el incremento propuesto por el banco? Rpta: Probablemente no, porque el monto de la cuota sería de $797.9. 7. Sí depositó $ 2 000 en la Caja Rural Piura al fmal de cada mes esperando recibir un monto de $ 56 486.4. ¿Cuánto tiempo tendrá que estar el dinero en dicha entidad fmanciera, si se sabe que la tasa efectiva anual que paga la Caja Rural Piura es del12.6825? Rpta: 25 meses. 8. Un recién egresado de la UDEP empieza a trabajar en una consultoría a partir del 1 de Enero de 2005, ganando $ 600 mensualt::, y se propone dentro de tres años hacer una maestría a tiempo parcial que tiene un valor de$ 21 000. Se sabe que el Banco Financiero al comenzar su maestría le puede fmanciar el 50~ó del costo. ¿Cuánto deberá ahonar mensualmente para poder pagar el otro 50%, sabiendo que la TEA en ahorros es del 2%? Rpta: Lo que debería ahorrar mensualmente es de $ 283.32. 9. Ernesto Gallo percibe mensualmente un sueldo de $ 7 000. Con ocasión de querer viajar, pidió un préstamo al Banco Económico por un monto de$ 70 000. El sectorista del banco le comunicó que su crédito había sido aceptado y que el interés anual que se le cobrarla seria del 18% pagadero en cinco años, a través de cuotas mensuales iguales. Después de un año y ímedio de recibido el préstamo y después de cancelada la cuota respectiva correspondiente a ese período; Ernesto Gallo encontró una propuesta mejor en el Banco de NY (que recién llegaba a la ciudad) y decidió renunciar, amortizando con una parte de su CTS el 35% del importe recibido como préstamo; la amortización se realizó el n1ismo mes en que el Sr. Gallo renunció. Ernesto Gallo quisiera saber, ¿cuánto tendría que pagar mensualmente a partir del siguiente mes y durante el resto del tiempo que le queda hasta cumplir los cinco años inicialmente pact:'ldos? Rpta: Tendría que pagar $ 953.31

99


1O. Juan López abre una libreta de ahorros el día de hoy con S/. 8 000 en el Banco Popular, el cual paga una tasa anual del 19.5618%. El Sr. López está viendo la posibilidad de comprarse unos artefactos para implementar su hogar y se ha dado un plazo de doce meses para acumular en su libreta S/. 20 000 y así poder comprar al contado los artefactos posibles. ¿Cuánto tendrá que depositar mensualmente el Sr. López para que al doceavo mes Hegue a recaudar el monto propuesto? Rpta: Tendrá que depositar S/. 800.16

11. La Universidad de Piura piensa adquirir un ómnibus para transpotte del alumnado, que tiene un valor de S/. 50 000. Debido a la reciente falta de liquidez, el activo podría ser pagado en cuotas trimestrales durante seis años, para lo cual la empresa comercializadora plantea una TEA del 38%. Al final del tercer año la Universidad de Piura decide refmanciar a cinco años con cuotas semestrales el monto que aún tiene por pagar, aceptándose un interés del 20% semestral. ¿A cuánto ascenderá la nueva cuota a pagar? Rpta: La nueva cuota ascenderá a S/. 8 640.23 12. Cueto tiene una deuda de S/. 12 000, que deberá pagar en doce cuotas iguales de S/. 1 100.16 al final de cada 1nes. ¿A cuánto ascenderían dichas cuotas si quisiera cancelarlo en treinta y seis mensualidades? Rpta: Los pagos serían de S/. 433.83

13. Guilletmo desea adquirir un auto del añ.o. La empresa Velúculos Grau les hace una propuesta de un carro marca Toyota Yaris, cuyo precio al cash es de $ 14 000. La empresa les propone lm financiamiento de tres años, que consiste en dieciséis pagos tnensuales iguales de$ 299 5 seguidos de veinte pagos de $ 400, La ,empresa trabaja con una tasa de interés del 26.075% anuaL Guillermo desea saber cuál será el monto total que habrán pagado tma vez que haya cancelado todos sus pagos, considerando el costo del dinero en el tiempo. Rpta: El monto total cancelado será de$ 17 838.57 14. Pilar desea adquirir un televisor, con la condición de que el pago se realice al crédito. El vendedor le informa que según el plan de pagos deberá cancelar una cuota mensual de $ 915 durante dieciocho meses, pactándose una tasa de interés del 3% efectivo 100

Anualidades

mensual. Pilar desea saber cuánto tendrá que pagar el décimo octavo mes, si se sabe que a partir del décimo tercer mes dejó de pagar. Rpta: Tendrá que pagar$ 5 918.60.

15. Jaime desea adquirir una máquina cuyo precio al cash es de $ 60 000. Luego de escuchar al vendedor sobre las alternativas de fmanciarniento que ofrece, Jaime le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente: • s

•

Cuota inicial: $ 1O 000, a pagar al fmal del primer mes. Al comenzar el tercer mes $ 5 000 A partir del quinto mes, seis pagos mensuales iguales.

El vendedor se preguntaba a cuánto ascendería ese pago, teniendo en cueniü que la TEA que cobra por el financiamiento esa casa comercial es del 60.1032% Rpta: El pago mensual sería de$ 10 212.41

16. Martha solicita a

banco un préstarr1o de $ 480 para adquirir un equipo de sonido. La forma de pago propuesta es de diecisiete cuotas mensuales, calculadas con una tasa del 59.89% compuesta trimestralmente. De otro lado, la casa cmnercial le ofreció una alternativa de crédito, consistente en pagar quince cuotas de $ 53 mensuales. ¿Cuál de estas dos opciones le convendrá a Martha? Rpta: Le convendrá un crédito del banco porque le cobra una tasa menor. liD

17. Hoy día Marlene contrae una deuda, con intereses al 7% convertible trimestralmente, por la que se compromete a pagar lo siguiente: durante los próximos cinco años pagará$ 500 al fmal de cada tres meses, seguidos de pagos de $ 600 cada tres meses por los siguientes tres años. Hallar el impmte de la deuda actuaL Rpta: La deuda actual es de S/. 12 931.027

18. Cierta compañía constructora vende casas en las siguientes condiciones:

:•

SI. 50 000 al realizar el contrato.

o

12 mensualidades de S/. 5 000 cada una, abonándose el pago de la primera al tnes de fnmaclo el contrato. 101


• •

S/.125 000 al momento de la entrega de las llaves, que está prevista para dentro de un año. 96 pagos mensuales de S/. 4 800 cada uno, a continuación de la fmalización de los primeros doce pagos de S/. 5 000.

Si la tasa de interés que · aplican es del 6.5% anual capitalizable mensualmente. Se pide: a) Hallar el valor del inmueble en el momento de entrega de las llaves. Rpta: S/. 598 746.13 b) Hallar el valor de contado del departamento. Rpta: S/. 561 163.94 19. Pedro tiene tres deudas: una de S/. 10 000 pagadera dentro de dos años pactada al 4% efectivo mensual, otra deuda de S/. 8 000 que vence dentro de tres años pactada al 50% capitalizable semestralmente y una tercera deuda de S/. 5 000 que vence dentro de cuatro años con una tasa del 60% efectivo anual. Sí después de veinticinco meses plantease pagar el 50% de sus tres deudas y el saldo en seis cuotas trimestrales; y si además, la tasa con la que le fuesen a liquidar sus deudas fuese del 60% efectivo anual. ¿A cuánto ascenderían dichas cuotas trimestrales considerando la TEA del 60%? Rpta: S/. 7 369.58 20. La Cía. Ford ofrece las siguientes alternativas para comprar un automóvil: a) Valor al contado$ 12 920 b) Hacer ocho pagos cada treinta días de $ 1 820 cada uno, y uno de $ 1 116.94 a los trecientos sesenta días. e) Un solo pago de$ 14 98938 luego de transcurridos noventa y cinco días. Si la tasa efectiva diaria que cobra esta casa comercial es del 0.15% ¿qué alternativa de compra le convendrá más al cliente? Rpta: La más barata es "b", ya que su valor actual seria de $ 12 607.13 102

Anualidades

21. Pía alquila un local comercial durante cinco años por un importe trimestral de $ 3500. Pía recibe como alternativa del usuario la propuesta de efectuarle un pago de $ 19 000 al inicio del contrato. Considerando que Pía puede invertir el importe de los alquileres que percibirá a una tasa efectiva mensual del 5% ¿le convendrá la alternativa propuesta? Rpta: No le conviene, por que el valor actual de los pagos es mayor que $ 19 000 22. Con la fmalidad de disponer de $ 20 000 dentro de dos años, una persona piensa realizar depósitos mensuales iguales en una entidad financiera que paga una tasa una tasa efectiva mensual del 2.5~1> a) Calcular el importe de los depósitos que tendría que efectuar para poder reunir lo planeado. Rpta: $ 618.25 b) Si después de haber cumplido con realizar los depósitos hallados en el apartado "a" durante un año, la TEA baja al 19.56%, se pide hallar los nuevos depósitos por realizar con la fmalidad de disponer de los $ 20 000 planeados inicialmente. Rpta: $ 751.64 23. Se tiene una deuda de $ 90 000 pagadera mensualmente, durante cinco años, a una TEA del 16%. a) Suponga que luego de transcurridos dos años, desde que se desembolsó el préstamo, usted tuvo problemas económicos que le impidieron pagar las seis cuotas siguientes ¿Cuánto tendría que pagar, para ponerse al corriente con el banco, vencido la trigésima cuota? Rpta: $ 13 233.70 b) Con los datos del apartado anterior, ¿cuánto tendría que pagar en ese momento para cancelar el total de su deuda? Rpta: $ 66 487.14 e) Si suponemos que no canceló las primeras doce cuotas ¿cuánto deberá pagar cuando venza el décimo tercer pago para liquidar el total de su deuda? Rpta: $ 105 699.27 103


24. Rafael solicita un préstamo de $ 5 000 el 15 de febrero de 201 O, a pagar mensualmente (plazo fijo)~ en un período de dos años, pactándose una tasa efectiva mensual del 1.6878%. El primer pago se haría en marzo de 20 1O y el último pago se haría en febrero de 2012, acordándose pagar doble cuota los meses de julio, y diciembre. a) Calcule el importe mensual a pagar para los meses ordinarios y para los meses extraordinarios de julio y diciembre. Rpta: $ 219.2 y $ 438.4 b) Calcule el importe mensual a pagar, para los meses ordinarios y para los meses extraordinarios de julio y diciembre, suponiendo que se le conceden dos períodos de gracia; tanto para el pago del principal como para el pago de intereses. Rpta: $ 239.69 y $ 479.38 25. Un conocido banco de la localidad vende computadoras en las siguientes condiciones: •

Precio Cash $ 943 ó fmanciado en 36 meses a través de cuotas mensuales de $ 39 cada una, a la mejor tasa del mercado (1.1715% mensual).

¿A cuánto ascendería la cuota mensual a pagar, "sí efectivamente me estuviesen cobrando" dicha tasa de interés mensual? Rpta: R = $ 32.21 26. Mario contrae una deuda con el banco por $ 1O 000 pagaderos mensualmente, durante cinco años, a una tasa efectiva anual del 26.8242 %. Al fmalizar el segundo año, luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho mes, se plantea lo siguiente: ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento, para que a futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan sólo a $ 200? Rpta: $2 234.86. 27. Usted contrae una deuda con el banco por$ 40 000 pagaderos en 5 años mensualmente a una tasa efectiva anual (TEA) del12.6825%. Suponga que luego de cancelar la cuota correspondiente al vigésimo cuarto mes, usted tiene problemas fmancieros que le 104

Anualidades

obligan a pedir un refmanciamiento, consistente en pagar su deuda pendiente en seis años. ¿A cuánto ascendería el nuevo pago mensual a pagar, luego de aceptarse el refmanciamiento de la deuda, a la TEA inicialmente pactada? Rpta: $ 523.72 28. Sí mis ingresos sólo me permiten pagarle al banco $ 300 mensuales, y deseo endeudarme por un lapso de 2 años. ¿Cuánto es lo máximo que podría pedirle prestado a dicha institución, teniendo en cuenta que la tasa efectiva mensual que me cobran es del 1.25 %? Rpta: $ 6 187.27 29. Se quiere comprar al crédito una camioneta cuyo precio cash es de $ 20 000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial de$ 5 000 y el saldo a pagar en 24 mensualidades iguales con un interés mensual del 2%. Al preguntar el cliente a cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar, el vendedor procede a efectuar su cálculo de la siguiente manera:

R =15 000+15 000*0.02*24 = 24

925

El cliente dubitativo se pregunta lo siguiente: a) ¿Cuál es el costo efectivo mensual de este crédito? Rpta: 3.407082% b) ¿A cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar si, efectivamente, me estuviesen cobrando un interés mensual del 2%? Rpta: $793.06 30. Usted contrae una deuda con el banco por $ 40 000 pagaderos mensualmente, durante diez años, a una tasa efectiva anual del 19.5618 %. Suponga que usted dejó de pagar las cuotas 36, 37, 38 y 39 y que desea cancelar, al fmal del periodo cuarenta, todas ellas junto con las restantes. ¿Cuánto tendría que pagar en total para liquidar su deuda? Rpta: $ 37 161.06 31. David Alcázar solicita un crédito por S/. 120 000, a pagar mensualmente durante un año, a una tasa efectiva mensual del3%. 105


Suponga que junto con el pago de la cuarta mensualidad desea prepagar (amortizar) S/. 30 000 adicionales de su crédito. a) Calcular el saldo de su deuda después de realizado el prepago. Rpta: S/. 54 625.55 b) Calcular la nueva cuota mensual a pagar en los ocho meses restantes. Rpta: S/. 7 781.76 e) Sí después del prepago el señor Alcázar desea seguir pagando la misma cuota mensual que venía pagando, en cuántos meses más terminaría de cancelar su crédito, y a cuánto ascendería la última cuota mensual a pagar. Rpta: Terminaría de pagar aprox. dentro de cinco meses, y la última cuota mensual a pagar ascendería a S/. 11 377 .41. d) Sí después de realizado este prepago de S/. 30 000, hubiese acordado con el banco continuar pagando a partir del mes ocho, ¿De qué importe tendrían que ser las cuatro cuotas restantes, para que el banco no afecte a su rentabilidad? Rpta: S/. 13 033.76 e) Sí al fmalizar el cuarto mes hubiese cancelado el valor actual de las cuotas cinco, seis y siete (S/. 34 100.18), y además hubiese acordado con el banco continuar pagando a partir del mes ocho, ¿De qué importe tendrían que ser las cuatro cuotas restantes, para que el banco no afecte a su rentabilidad? Rpta: S/. 12 055.45.

106

Anualidades

3.5 Anualidad Ade~antada o Anticipada Es una anualidad cuyo pago periódico se hace al principio de cada intervalo de pago.

3.5.1

Cálculo del Monto o Valor Futuro (S )

Ejemplo: Hallar el monto de una anualidad con pagos periódicos de SI. 100 son pagaderos al principio de cada trimestre durante un año, a una tasa efectiva trimestral del9%. Datos: R =100 i = 0.09 trimestral n=4 S=?

1

o

1

2

3

100

100

100

100

4

Solución:

s = IOO(l + o.o9y + 1oo (1 + o.o9) + 1oo(1 + o.o9f + 1oo(1 + o.o9y S= 498.47 Deducción de la fórmula: Simbólicamente tenemos: 4

S= R(1 +i) + R(l +iY +R(l +i) + R(l+iY Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que: 107


S=R [(1+i)4+(l+i)3+(l+i)2+(l+i)1] Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razón geométrica ( r ), para luego hallar la suma de sus términos. (1 + i)

r=

Primer término: a=

4

(1 +if

=1+i

.

(1 + i)

Último término: u= (1 +

tY

La fórmula de la sruna de los términos de una progresión geométrica fmita es: 4

(u* r )-a = (1 + i) * (1 + i)- (1 + i) =~~-~~ (1 + iJ - (1 + i) S= (r-1)

(1+i)-1

i


Cuando cuatro es el número de períodos; aumentándose n en 1

(n=4+1=5). La fórmula del monto de una anualidad adelantada cuyos pagos ( R ) son pagaderos al inicio de cada período, durante n períodos y a una tasa de interés i , sería:

S=R

<1 + ir+l -(1 + i) lJ [

. En el ejemplo visto tenemos que:

108

i

-

Anualidades

S = OO [..;_(1_+_o.0_9~)'*_-_(;:.._1+_O_.0__:.9)] 1 0.09 1

8=498.47

3.5.2

Cálculo del Valor Actual (A)

Con los datos del ejemplo anterior, hallar el valor actual de dicha

anualidad:

100

100

100

100 3

2

1

A= 100+ 100 (1 + O.o9r + 100(1 + 0.09r + 100 (1 + O.o9r A= 353.13 Deducción de la fórmula:

Para obtener la fórmula del valor actual, seguimos el mismo procedimiento que seguíamos para hallar el monto de una anualidad. 2

1

A= R + R(1+ir +R(1 +ir +R(l+i)-

3

Sacando factor común R e invirtiendo el orden de los factores tenemos que:

A=R[1+(1+ir +(1 +ir +Cl +ir 1

2

3 ]

Y obtenemos una progresión geométrica, dentro del corchete, a la que le hallamos su razón geométrica (r), para luego hallar la smna de sus términos.

r=

1

(1 +tri

= 1+z.

109

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas y aplicaciones 3

Primer término: a= (1 + ir Último ténnino: u

=1

La fónnula de la suma de los términos de una progresión geométrica fmita es: 3

3

(I+i)-(l+ir S- (u*r)-a - l*(l+i)-(1+ir - ....:.-.-___;..---:.._-'-- (r -1) (1 + i) -1 1 Por lo tanto, reemplazando en la fórmula general se tiene que:

A=

R[-(1+_i)_i_(l+_i)_']

Cuando cuatro es el número de períodos; por lo que disminuye n en 1 (n= 4-1 =3). La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad adelantada, cuyos pagos ( R) son pagaderos al inicio de cada período durante n períodos y a una tasa de interés i sería:

A=R

(1 + i )- (1 + i r(n-l)J [

.

l

Tomando como referencia el ejemplo anterior, tenemos que:

A=

100

[<1 + o.o9 )- (1 + o.09 r(4-l)J 0.09

S =353.13

3"5.3

Problemas Resueltos de Anualidades Adelantadas

l. Se solicita un crédito por $ 30 000 al Banco Hispano. Se cancelará mediante pagos trimestrales adelantados durante cuatro años. La tasa de interés del mercado es del 25% efectivo anual. ¿A cuánto ascenderá el pago trimestral? 110

Anualidades

4

Datos: A==30 000 n ==4* 4==16

(1 +TEAi = (1 +i)

4

(1 + o.25i =(1 + i)

i = 5. 73 7126% trimestral

Solución:

R[(1 + o.o5737126)- c1 + o.o5737126r
-l)

30 000 = - - - - - - - - - - - - - 0.05737126 R =2 757.03 2. Luego de haber cancelado seis cuotas al Banco Hispano (ver ejemplo anterior), el cliente solicita que se refmancie su deuda vigente, de manera que se pague en un lapso de cinco años, mediante cuotas mensuales adelantadas. ¿A cuánto ascenderán las nuevas cuotas a pagar en el supuesto que el banco acceda a los requerimientos de su cliente y que le fije una nueva TEA del 30%? Datos:

Solución:

e= 2 757.032 n

2 757.032[1- <1 +o.oo5737126r

=10

10

J

As= 0.005737126 As = 20 547.13

i = 5.737126%

A=?

As=? 1

o

1

2

3

5

6

14

7

15

16

~6

n=5*12=60 TEA=300/o A=20 547.13 R=?

2

(1+o.3oY =(1+iY i = 2.21 0445% mensual

R[ (1 + 0.02210445)- (1 + 0.02210445)-{ o-t)] 6

20547.130 = - - - - - - - - - - - - - 0.02210445 R=608.1543 111


3. Una empresa de confecciones necesita adquirir una nueva máquina para poder incrementar su producción por lo que hará un préstamo de $ 75 000 al Banco Norte que cobra una TEA del 25%. Si las cuotas mensuales iguales anticipadas son de $ 5 676.74. ¿En cuántas mensualidades podrá cancelar este crédito? Solución:

(1 + o.25Y

= {1 +

iY

2

i =0.018769 mensual

5 676.74[ {1+0.018769)-{1+0.018769)-{n-l)] 75 000

=----=------------=::. 0.018769

-o. 77080 =-(1 + o.o18769r
n =15 meses

4. Un padre decide construir su casa cuando su hijo cumpla 25 años. Para ello decide ahorrar en una Caja de Ahorros, haciendo el primer depósito el día de su nacimiento y el último depósito lo hará cuando su hijo tenga 20 años y medio. El ahorro será de$ 350 cada seis meses y será depositado en una cuenta que le paga una TEA del lO%. ¿Cuánto tendrá disponible su hijo a los 25 años?

Datos: TEA= 10% R=350 n = 42 i = 0.0488

Solución: 42 1

350[ (1 + 0.0488)

S=

+ -

0.04S

8 S =70 474.74 (A los 25 años)

112

J.

(1 + 0.0488)

4

(1+0.10)

Anualidades

5. CRASA ha lanzado al mercado una campaña para la venta de lavadoras de marca Moraveco, ofreciendo las siguientes condiciones: • Precio Cash: $ 460, con dos modalidades de pago: a) Una cuota adelantada de $ 135 como cuota inicial y cuatro cuotas trimestrales restantes por la misma cantidad. b) Una cuota adelantada de $ 11 O como cuota inicial y seis cuotas trimestrales restantes por la misma cantidad. Determinar qué alternativa de crédito es la más barata. Solución: a) 460

1------+------+-----l---------11

o

1

2

3

4

135

135

135

135

135

trimestres

135 [ (1 + i) -(1 + i)-(S-l)]

460=

.

l

Se iguala la ecuación a cero y luego, mediante iteraciones sucesivas o usando una calculadora fmanciera, se obtiene el valor de i que en este caso es igual a:

i = 23.93% trimestral b) 460

o

1

2

3

4

110

110

110

110

110

+ 5

110

11 o[(l + i)-(1 + i)-<

7

350=

-l)

1

trimestres

6

110

J

. l

i = 21.79% trimestral 113


Le conviene la alternativa "b", ya que cobra una tasa de interés menor. 6. Miguel Ferré adquirió un préstamo por cinco años el cual iría pagándolo poco a poco, por medio de pagos de $ 500 al inicio de cada mes. Luego d~ haber cancelado las cuotas correspondientes a tres años, 11iguel se plantea cancelar el total de su deuda a esa fecha. ¿Cuánto tendría que pagar en ese momento para poder liquidarla si se tiene en cuenta que las cuotas fueron calculadas con una tasa de interés del 1.5% efectivo mensual? Datos: R=500 n = 2* 12= 24 i = 1.5% mensual A=?

,. o

2

3

34

35

58

36

59

60

~

R¡

Solución: 24

500[(1 + 0.015)- (1 + 0.0 15r< A=

0.015

-l)

J

(1+ o.o15r

1

A=lO 015.2

7. La Universidad del Sur tiene un plan de pagos para todos los alumnos, el cual se detalla a continuación: e

S/. 1 000 si el pago es al contado.

•

Financiado: cinco cuotas pagaderas al inicio de cada mes. El valor de cada una de ellas se calcularán a partir del valor de contado, cargándole una tasa de interés del 8% efectivo mensual.

Si el padre del alumno "X" ya canceló la primera cuota, y hoy que le toca cancelar la segunda cuota, ha sido beneficiado con una 114

-

Anualidades

cierta cantidad de dinero, que es de S/. 800, y por consiguiente quiere pagar todas las cuotas restantes. ¿Podrá cancelar dicha deuda con lo que ha sido beneficiado? Solución:

R [ (1 + 0.08 )- (1 + 0.08 )-{s-l)] 1 000= - = - - - - - - - - - = 0.08 R = 231.9041 Hallamos el valor actual del total de la pensión al segundo mes:

A= 231.9041[ (1 +0.08)- (1 +0.08)~~~)] 008 A = 829.53 No podrá cancelar el total de su deuda 8. Pedro tiene que pagar cinco letras, al comienzo de cada mes, por un importe de $ 500 cada una, pactándose una tasa del 3% mensual. También posee en otro banco siete letras con vencimiento cada treinta días de $ 200 cada una, a una tasa de interés del 2.5% mensual, las cuales se empezarán a pagar al fmal de este mes. Si Pedro quisiera pagar todas sus deudas al fmal del quinto mes. ¿Cuánto tendría que desembolsar? Datos: ~ = 500;

R2 =200

i¡ = 0.03; i2 = 0.025

n1 =5; n2 = 7

115


íTT i

f

l

SA =?

-i

1

o

1

500

3

4

500

2 500

500

500

200

200

200

200

1

t

1

I

5

6

7

200

200

200

JLlJ

l

Solución:

x =soo[ (1+ o.m)" -(1+ o.m)t 2oo[(1+0.025)' -1 J 1

0.03

2oo[ 1- (t + o.025r

0.025 2

J

+--~----------~

0.025

%=4170.95 9. Financiera Continental asigna un préstamo al Sr. Torres por un monto de S/. 22 000, acordando pagarlo en tres años mediante cuotas mensuales iguales a una TEA del 35.7'%. Luego de efectuado el décimo octavo pago, dada su insolvencia económica, el Sr. Torres pide al banco se le otorgue un período de gracia de cinco meses, tanto para el pago del principal como para el pago de los intereses. Transcurrido este período de tiempo, propone efectuar doce pagos iguales al comienzo de cada bimestre, por el saldo pendiente. El Banco acepta la propuesta del Sr. Torres, pero considerando un aumento de la TEA en un 6.35% aplicados solamente a los doce pagos restantes. ¿A cuánto ascenderán dichos pagos? Datos: A= 22 000 n = 3 * 12 = 3 6 m eses

TEA=35.7% R=? 116

(t+0.37sy

=(l+iY

2

i =2.5766% mensual

Anualidades

Solución: 36

R[ 1- (1 + 0.025766f

22 000 = ___:: . _____ 0.025766

]

--=::,

R=945.045

A= 945.045[1- c1 +O.o25766r"

J

0.025766 A =13 47 5.42 (Deuda al décimo octavo mes) Deuda al vigésimo tercer mes:

S= 13 475.42(1 +0.025766) S= 15 303.25 Calculamos la i bimestral:

y

( 1+ o .420 5 = ( 1+ i

y

i= 6.0247% bimestral

Por lo tanto:

2 R[ c1 + o.060247 )- c1 + o.o6024 1r(l -l)] 15 303.25 = ___:::.._ _ _ _ _ _ _ _ __ 0.060247 R =: 1 723.93 bimestral

1O. Café Perales reserva $ 15 000 al principio de cada año, durante cinco años, para crear un fondo para una futura expansión. Si el fondo gana el 8% efectivo anualmente. ¿Cuál será el monto acumulado al término del quinto año? Datos: R =15 000 n=5 i = 0.08

Solución:

15 ooo[ (I +O.o8f+l - (1+0.os)] S = - - - - - - -- - 0.08 S ::=95 038.93

117


3.5.4

Problemas Propuestos de Anualidades Adelantadas

l. Se desea realizar un viaje a Huaraz, el cual al contado cuesta$ 800. Una agencia de viajes, deseando facilitar el pago, propone no pagar nada ahora y realizar un único pago de $ 926.1 O a fmales del tercer mes; o si no se desea esta forma de pago, propone realizar diez pagos mensuales al inicio de cada mes. Sabiendo que el cliente aceptó esta última alternativa de pago y que posteriormente desea cancelar el saldo de su deuda al fmal del cuarto mes. ¿Cuánto tendría que cancelar para liquidar su deuda, incluyendo la cuota correspondiente a dicho período? Rpta: Para liquidar su deuda tendrá que cancelar$ 525.84 2. Un arrendador esperaba recibir el primer día de cada mes una renta de S/. 205 durante cinco años por una propiedad en usufructo, pero aparece un comprador del inmueble y le ofrece darle S/. 1O 500 el mes entrante. ¿Aceptaría la cantidad y cederle el usufructo del bien por los cinco años? El costo de oportunidad del dinero es del 9% anual. Rpta: Sí le conviene aceptar la oferta porque la cantidad ofrecida tiene un valor actual de S/. 1O 424.86 que es mayor a los SI. 10 028.86 que es el valor actual de la renta esperada en cinco años. 3. El Señor Corcuera necesita tener en liD futuro una entrada mensual con el fin de cubrir los estudios universitarios de su hijo. Para esto decide colocar un determinado capital en un banco con el objeto que dentro de cinco años, al comienzo de cada mes durante seís años, pueda retirar S/. 600 al mes. Si la tasa efectiva anual es del 15%. ¿Cuál es el capital inicial que deberá colocar? Rpta: El capital que se deberá colocar es de S/. 14 624.38 4. Juan dejó una herencia a su hijo, la cual se invinió para ganar una tasa efectiva trimestral del 2%, recibiendo $ 4 469 al principio de cada año. Sí gasta dicho monto anual la herencia sólo durará doce años. ¿Cuánto fue lo que Juan le dejó a su hijo de herencia? Rpta: Juan le dejó$ 36 000. 5. Se vende un inmueble valorizado en $ 500 000, pagándose una cuota inicial de $ 150,000. El comprador acuerda pagar el saldo con un interés del 1.5% efectivo mensual, mediante cuarenta y 118

Anualidades

ocho pagos mensuales iguales cada uno, al inicio de cada mes. El primero con vencimiento dentro de un año. Hallar el pago mensual. Rpta: $ 12 110.78. 6. Koky Rojo se está preparando para dar la Prueba PAE, que de:cidirá su ingreso directo a la Universidad de Piura (UDEP). El desearía, a futuro, estudiar su maestría en administración de empresas en la UDEP y sabe que para ello, además de ser buen alumno, debe contar con recursos económicos. Koky desearía cubrir una parte del costo a través de sus ahorros. Koky quiere saber cuánto necesitaría ahorrar mensualmente, a partir del 1 de enero de 2005, de rrmnera que cuando termine su carrera tenga ahorrada la tercera parte de lo que ahora cuesta el Master($ 21 000). Tome como referencia que la Caja Rural paga una TEA del 12.6825%; además, que Koky termina su carrera dentro de cinco años y que el 1 de enero de 2005 tenía ahorrado sólo $ 800. Rpta: Necesitaría ahorrar mensualmente $ 67 .24. 7. Sandro Navarro desea adquirir una casa de playa valorizada en $ 40 000. Por contar sólo con el20% del valor de la casa, se ve en la necesidad de pedir un fmanciamiento al Banco Español, quien le presenta la siguiente modalidad de pago: préstamo por $ 32 000 a pagar en un plazo de cinco años, a través de cuotas adelantadas mensuales, calculadas con una TEA del 11.5%. a) ¿A cuánto ascenderá cada cuota que tiene que cancelar? Rpta: La cuota ascenderá a $ 688.45 b) Pasados dos años, debido a problemas económicos, Sandro no puede cancelar las cuotas 25°, 26°, 27°. Si al momento de cancelar la 28° cuota, Sandro decide cancelarla conjuntamente con las cuotas atrasadas. ¿A cuánto ascenderá el pago total? Rpta: El pago total será de$ 2 791.66 8. La Sra. Chávez quiere adquirir un departamento y le ofrecen dos alternativas de fmanciamiento: • o

Inicial de $ 1O 000 y 120 cuotas de $ 4 00 mensuales, con una TEA del 9%. Inicial de $ 15 000 y 96 cuotas mensuales adelantadas de $ 400 cada una con una TEA del 9o/o. ¿Cuál alternativa le conviene más? 119


Rpta: Le conviene la primera alternativa.

9. El Sr. Miano desea obtener un seguro confiable para su fábrica. El gerente fmanciero tiene en su poder tres propuestas que tendrá que analizar: a) Seguro pagado al contado, cuyo costo anual es de$ 50 000. b) Seguro con pago a plazos durante veinticuatro meses, a una tasa nominal del 24% capitalizable mensualmente y eon una cuota constante pagada por adelantado de$ 2695.39 e) Seguro constituido por una cuota de $ 1 846.26, pagada por anticipado durante treinta y seis meses, a una TEA del 26 ,8242<}~ .

Rp~a :

Le conviene la alternativa 6'c" ~ ya que su valor &crual es

menor. 10. Emilia, está pensando en casarse, por lo que desea comprar al crédito~ y de una sola vez, una cocina, una refrigeradora y un televisor. El vendedor les hace siguiente pro forma de pago:

de S/. 150

o

Cocina: Doce cuotas mensuales adelantadas cada una.

•

Refrigeradora: Diez cuotas mensuales adelantadas SI. 250 cada una.

o

Televisor: Ocho cuotas mensuales adelantadas de S/. 100 cada una.

de

La tasa de interés mensual, utilizada por Financiera GENIOS, es del 4%. Por curiosidad, Emilia le pregunta al vendedor en cuánto tiempo cancelaría todos sus artefactos, si pagase cuotas mensuales adelantadas de S/. 237.61 Rpta: En 30 meses. 11. Suponga que su padre tiene cuarenta años y que suele depositar sus ahorros en el Banco Caribeño que paga el 6% de interés capitalizable mensualmente. Sí su padre decidiese depositar S/. 500 al fmal de cada mes hasta que alcance la edad de cincuenta y cinco años. ¿Qué cantidades iguales podría retirar mensualmente su padre, al inicio de cada mes, durante quince años? Suponer que el 120

Anualidades

primer retiro lo hace seis meses después de haber realizado el último depósito. Rpta: R = 1 258.03 12. Maria Lucía hipoteca su casa por un valor de $ 25 000, comprometiéndose a efectuar pagos mensuales de $ 300 por adelantado, durante veinte años. a) ¿Cuál es la TEA que cobra el Banco? Rpta: TEA= 14.4 7% b) Al término del sexto año se omitió el pago de las dos cuotas siguientes. ¿Cuánto debe cancelar al siguiente período para continuar sus pagos normales? Rpta: Debe cancelar$ 910.22 e) Al término del año doce, antes de cancelar la cuota correspondiente a ese período, decide pagar el 50% de la deuda pendiente y cancelar $ 297,40 mensuales a partir de la fecha. ¿Por cuánto tiempo más tendrá que pagar hasta cancelar el saldo total de su deuda? Rpta: 36 meses. 13. La empresa "Zurita." contrae una deuda con el banco por$ 150 000, pagaderos en cinco años mensualmente y por adelantado, a una tasa del 1.5% efectiva mensual. Al finalizar el tercer año y después de haber efectuado el trigésimo sexto pago, se plantea lo siguiente: a) ¿Cuánto tendría que pagar en ese momento para liquidar su deuda? Rpta: $ 76 296.1 b) ¿Cuánto tendría que pagarle al banco en ese momento para que en el futuro sus cuotas de pago mensuales asciendan sólo a $ 2500 y que éstas se paguen al final de cada mes? Rpta: $26 220.08

121


14. Perico tiene en su poder los siguientes documentos: e

e

Diez letras de S/. 7 000 cada una. La primera vence al comenzar el octavo mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalo de dos meses Además tiene ocho letras de S/. 9 000 cada una: la primera vence al final del sexto mes; a partir de la fecha, las siguientes vencen con intervalos de tres meses.

Si la tasa de liquidación de estos documentos es del 2% mensual, y le ofrecen S/. 100 000 por todo el paquete de documentos ¿Debe aceptar la oferta o no? Rpta: No debe aceptar la oferta. 15. El Sr. Campos desea adquirir una máquina cuyo precio al cash es de $ 100 000. Al solicitar información sobre el fmanciamiento el vendedor le plantea lo siguiente: Cuota inicial de $ 15 000 y tres alternativas de pago: • • •

Doce mensualidades de$ 8 037.56 c/u. Dieciocho mensualidades de$ 5 669.67 c/u Veinticuatro mensualidades de$ 4 494.00 c/u

Luego de escuchar al vendedor, el Sr. Campos le plantea una alternativa de pago diferente que se resume en lo siguiente: e e Q)

0

Cuota inicial de $ 15 000 Al fmalizar el segundo mes $ 5 000 Al finalizar el cuarto mes $ 1O000 A partir del final del quinto mes, ocho pagos adelantados iguales bimestrales.

El vendedor se preguntaba a cuánto ascendería ese pago teniendo en cuenta que el costo mensual del fmanciamiento de esa casa comercial era del2%. Rpta: $ 11 202.44

122

Anualidades

3.6

Anualidades Perpetuas

Una perpetuidad se define como una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para siempre.

3.6.1 Anualidades Perpetuas Constantes Se tiene un pago periódico R al fmal de cada período con una tasa efectiva i por período: A=?

R

R

R

¡

t t t o

1

R

t

3

2

4

El valor actual vendría dado por: R

A=

(l+iY

+

R

(1+iY

+

R

(1+iY

+···

(1)

Multiplicando ( 1) por (1 +i) : A(l+i)=R+

R

+

(l+iY

R +· ·· (l+if

(2)

Pero, A=

R (1 + i

+

R

+

R

y (1+ i y (1+ i y

+ ....

Entonces remplazando en (2):

A(l+i)=R+A Simplificando: A+Ai=R+A

A= ~ í

123


Ejemplo: Calcular el valor teórico de una acción, de la que se espera que se pague eternamente unos dividendos ( R) de S/. 0.20 por acción, y cuyo costo de capital ( i ) es del 12%.

Solución:

Datos: R =0.20

A=020 0.12 A =1.6667

i= 12%

A=?

De aquí podemos deducir que una renta uniforme perpetua vencida es el flujo de efectivo que genera en un período de tiempo a una tasa de interés sobre una cantidad A donde el número de períodos capitalizados es indeterminado.

Ejemplo: Calcular el importe mensual que se percibirá indefinidamente por un depósito a plazo fijo de$ 496 284.57, si se sabe que la TEA que paga dicha institución de crédito es del 7.5%.

Datos: A= 496 284.57

(1+o.o75Y =(1+iY

2

i = 0.6045% mensual

TEA= 7.5% R =?

Solución:

R=A*i R =496 284.57 * 0.006045 R=3 000

Ejemplo: Un padre de familia al fallecer dejó en un baneo una cuenta de $ 1 000 000. Si la tasa de interés que se pacto con el banco fue de 8%. ¿Cuánto recibirá anualmente la familia por intereses?

Solución:

R=A*i R =1000000 *0.08 R =80000 124

J

Anualidades

3.6.2 Anualidades Perpetuas con Crecimiento Se tiene una perpetuidad con crecimiento constante g. El flujo se produce al flnal de cada período y la tasa efectiva por período es i ; por lo que esquemáticamente se ilustra de la siguiente manera: A=?

• 1

00

o

1

2

4

3

El valor actual es: A=

1

R

+

. (l+ii

R (1 + g)

(1+i)

2

+

R (1 + g)

(1+i)

2

3

+···

(3)

1 Multiplicando (3) por ( + i ) tenemos que:

l+g

(4)

Pero, A=

R

1

+

(l+iY

R (1 + g)

,

(l+iY

2

+

R (1 + g)

+·· .

(l+iY

Entonces, reemplazado en (4):

A(~)= R +A l+g (l+g) Agrupando términos y luego simplificando:

125


Acl:; )-A=

(l:g)

A[(::;)-1]- (l:g) A(1 +i-1-g )= 1+ g

R (1+ g)

A(i -g)=R

A=_B__ l-g

Ejemplo: Se tienen los siguientes flujos de caja proyectados: Año flujo

1 100.00

2 10S.OO

3 108.00

4 110.00

S 112.00

6 120.00

...

...

00

120.00

Si la tasa de interés anual es del11 %: a) ¿Cuál será el valor actual de los flujos proyectados, si se sabe que a partir del año seis se tiene una perpetuidad? Rpta: 1 040.61 b) Tomando como referencia los flujos proporcionados en el apartado "a", calcule el valor actual de los flujos proyectados, si se sabe que a partir del año doce los flujos crecerán con una tasa anual del2%? Rpta: 1 125.98 Ejemplo: Se tienen los siguientes flujos de caja proyectados: Año flujo

1 100.00

2 102.00

3 104.04

4 106.12

S 106.12

10~.121

... ...

110;121

A partir del año cuatro los flujos permanecerán constantes hasta el año doce; fecha a partir de la cual los flujos crecerán a una tasa anual del 1%. ¿A cuánto ascenderá el valor actual de los flujos proyectados si se sabe que la tasa de interés anual es del 12%? Rpta: 897.22 Ejemplo: ¿A cuánto ascenderá el valor actual de un flujo de $ 15 000 después de un año y una serie de flujos perpetuos $ 1O 000 a partir del 126

Anualidades

segundo año si el costo de oportunidad es de 10% y la tasa de crecimiento de las perpetuidades es 6%? Solución: 1

A =15oooct+o.tr +

10000 (0.1-0.06)

A =13636.36+250000 A =263636.36

3.6.3

Anualidad Perpetua Constante Adelantada

El valor actual de una perpetuidad cuyos pagos uniformes se efectúan por adelantado, es igual al valor actual de una perpetuidad vencida, a la que se le adiciona la renta producida en el momento cero, o sea: R

A=R+-. l

También se puede hallar A , de la siguiente manera:

R

i

A=-· donded=d' l+i Entonces, para el cálculo de la renta uniforme que al mismo tiempo es perpetua y anticipada, lo haremos a partir de:

Ejemplo: Una universidad recibió de una organización $ 50 000 para la construcción de un nuevo edificio y además recibirá cada fin de año de forma permanente el rnismo monto. Si la TEA es 15%, ¿a cuánto asciende la donación? R

C=R+1

e =soooo + 50000 0.15 e =383333.3 127


Ejemplo: ¿Cuál debería ser el precio de venta de un terreno por el cual S"el recibe un alquiler anual adelantado de$ 35 000, si el costo de oportunidad es de 1.5% mensual? Datos: 12

TEA=(1+0.015) -1

R =$35000 i = l. 5 mensual

TEA= 19.56% 35000 0.1956 C= 213936.6 C=35000 +

3.6.4

Ejercicios Propuestos de Anualidades Perpetuas

l. Una compañía de seguros vende una póliza de seguros con las siguientes características: cobro de una prima constante de $ 80 mensuales durante doce años; a cambio, la compañía de seguros ofrece pagarte $ 5 000 en el año trece y de abi en adelante $ 100 mensuales de por vida. ¿Es conveniente tomar el seguro si la tasa de interés es de 9% efectiva anual? Rpta: No le conviene tomar el seguro. 2. Una madre de familia gana actualmente S/. 3 500, y desea ahorrar desde ahora para poder afrontar gastos cuando sus hijos ingresen a la universidad. A partir del siguiente mes se propone ahorrar el 10% de su sueldo en una cuenta bancaria que le paga una TEA del 12%, y el banco le ofrece las siguientes alternativas de pago: a) Retirar todo el dinero en el año quince, para lo cual el banco le asegura una TEA preferencial de 15%. b) Retirar el dinero en cuotas mensuales después de quince años de aporte, en el cual el banco se compromete a pagarle S/. 400 mensuales que se incrementarán en 0.1% cada mes y de por vida. ¿Qué alternativa recomendaría? Rpta: Le recomendaría la primera alternativa.

128

Anualidades

3. Juan Pablo acaba de ganarse la lotería, y en breve tendrá que decidir cómo va a cobrar el dinero ganado. La empresa que le vendió la lotería le ofrece las siguientes alternativas de pago: a) Quince cuotas mensuales de S/. 60 000. b) Cobrar mensualmente y de manera perpetua cuotas de S/. 5 000. e) Solamente cobrar ocho cuotas anuales de S/. 130 000. d) Cobrar un millón de soles después de tres años. Si la TEA es del 8.75% ¿Qué alternativa le recomendaría? Rpta: Le recomendaría la primera alternativa. 4. Como ganador de un concurso de cereales para desayuno, usted puede elegir uno de los siguientes premios: a) b) e) d) e)

$ 100 000 ahora. $ 180 000 dentro de cinco años. $ 12 000 anuales a perpetuidad. $ 19 000 durante cada uno de los próximos diez años. $ 7 600 el próximo año, y aumentar después los pagos en un 5% anual durante toda la vida.

Si el tipo de interés es de 12% anual ¿Cuál es el premio más valioso? Rpta: El premio más valioso es del apartado "e". 5. El Sr. Álvarez recibió una herencia de su hermano, mediante la cual se le entregarán el día de hoy $ 100 000 y al final de cada mes recibirá $ 30 OO. Considerando una tasa de interés de 1.5% mensual. Determinar el monto total de la herencia que recibió el Sr. Álvarez. Rpta: El importe de la herencia es de$ 2 100 000. 6. ¿Cuál es la tasa de interés que se debe exigir a una inversión de S/. 30 000 para recibir al fmal de cada año S/. 8 500? Rpta: Una TEA de 24.25%

3.6.5

Aplicaciones de Anualidades Perpetuas enAcciiones y Bonos

Generalmente cuando se transan diferentes activos fmancieros, tales como bonos y acciones, estos tienen como característica especial de que, a veces, 129


los flujos se consideran perpetuos; por lo que es necesario la aplicación de las formulas de anualidades perpetuas que hemos deducido anteriormente: Acciones:

Una acción es un instrumento de renta variable y de mayor riesgo en comparación con otros activos fmancieros. Las acciones suelen defmir el pago de un dividendo como retribución al capital invertido por los accionistas de la empresa. A veces, este dividendo se considera perpetuo, ya que la empresa tiene una vida útil ilimitada. Utilizando la fonnula de Gordon & Shapiro, se puede encontrar el precio tentativo de una acción teniendo en cuenta los pagos de dividendos futuros que realizará la empresa para los siguientes años: n _ rrA _

r, - r .11 -

Div1

+

Div 2

(1+i) (1+iY

o

+

Div 3

(1+iY

+

Div 4

(1+iY

+ ···

Donde

Po :

Precio de la acción.

i : Tasa de interés que sirve para actualizar los pagos de dividendos futuros.

Div 1 : Dividendo que paga la empresa en el periodo l. Div2

:

Dividendo que paga la empresa en el periodo 2.

Si consideramos que el dividendo que paga la empresa en cada período es constante, entonces tenemos: n rr'A r 0 =r ..

=

Div1

+

Div2

(1 + i) (1+ i

+

Div 3

+

Div4

y (1+ i y (1+ i y-+···

Donde se deduce que esta sumatoria que tiende al infinito se puede simplificar a la siguiente expresión:

R = Div1 o

.

l

De esta ecuación se podría deducir la rentabilidad esperada de una acción, conociendo el precio y el dividendo que se paga en el período 1 es: 130

Anualidades

.

Div

1=--1

Fa

~

Muchas empresas generalmente no pagan dividendos constantes sino que establecen un dividendo diferenciado, donde éste va creciendo de acuerdo a una tasa de referencia que se asume y que viene dada por la variable g ; entonces nuestra derivación de la fórmula quedará expresada de la siguiente manera:

De acuerdo a la derivación anterior se conoce que esta sumatoria se simplifica a la siguiente expresión:

Po

=Div •

1

z-g

;

donde se debe cumplir que i > g

Si se desea conocer la rentabilidad esperada de la acción que paga un dividendo que crece a tasas constantes dadas por g, tenemos: . Div1 1=--+g

Po

Esta valorización de acciones nos permite tomar decisiones de inversión en un mercado de capitales. Por ejemplo, si se compara el precio de la acción obtenido por la fónnula de Gordon & Shapiro con el precio que se lista en una Bolsa de Valores ( Pm ) podemos decir si la aceión esta subvaluada o sobrevaluada, vea:mos: Si ~ > P,.n se dice que la acción se encuentra subvaluada, lo que es recomendable cmnprar la acción ya que se espera que aumenten por los fluj os de dividendos que ofrece pagar a futuro. Si Po < Pm se dice que la acción se encuentra sobrevaluada por lo que es recomendable vender para aprovechar la oportunidad que me está brindando el mercado, ya que su verdadero precio es menor de acuerdo al flujo de dividendos que se esperan obtener.

131


Donde

Po= Precio de la acción obtenido aplicando la fórmula de Gordon & Shapiro. pm : Precio de mercado de la acción que se lista en una bolsa de valores.

Ejemplo: La empresa Backus está pagando actualmente un dividendo de S/. 1.5 y espera que crezca de manera perpetua a una tasa del3% anual. Si hoy la tasa de interés es del 8% anual y se está cotizando en la bolsa de valores a un precio de S/. 25 ¿Qué decisión debería tomar el inversionista?

Solución: Div 0 = 1.5 Div1 = Div 0 (1 + g )= 1.5 (1 + 0.03)= 1.545

Fa = Divt

=

i- g

1.545 = 30.90 0.08-0.03

Lo que debería hacer el inversionista es comprar la acción ya que se encuentra subvaluada y tiene la oportunidad de comprarla a S/. 25, cuando su verdadero precio es de S/. 30.90

1

Ejemplo: Los nuevos accionistas de la empresa Ferreyros esperan que el dividendo que se pat,TUe el siguiente año sea de S/. 4.8, y que éste crezca de manera perpetua a tasas del 5% anuaL Ellos han pagado por la acción S/. 52.5 y consideran que es un precio justo. ¿Cuál es la rentabilidad anual esperada por los nuevos accionistas de Ferreyros?

Solución:

i = Div 1 + g =

Po

48 · +0.05=0.1414 52.5

Los accionistas esperan obtener tma rentabilidad anual de 14.14%.

-l

Ejemplo: Se tiene la siguiente información bursátil de los diferentes activos financieros que posee en cartera un inversionista: ___ j

1

132

Anualidades

Acciones -------------------

VOL CAN EDEGEL TEXTIL PlURA BUENAVENTURA UNIVER'iAL TEXTIL

Precio Bolsa -

-

-

-

---

50.8 4.2 2.8 18.6 12.5

-

Div0

G

3.5 0.8 0.5 3.6 4.8

2%

-

o o 2% 1%

Si hoy la tasa de mercado es de 2% efectiva mensual. Y los dividendos se cancelan una vez al año. ¿Qué acciones le recomendaría vender al inversionista? Solución: Como los dividendos que se están cancelando se están desembolsando en el año cero, tenemos que encontrar los dividendos que se cancelarían en el año 1 aplicando la siguiente fórmula: Div1 =Div0 *(1 + g) Entonces, calculando los dividendos para cada acción y el precio de la acción de acuerdo a la formula de Gordon y Shapiro que es, po

1 = Div tendríamos los •

1-g

siguientes resultados: -.

Acciones

·Div1

·g

3.57 0.8 0.5 3.672 4.848

2%

. - - - - - - - - - - - - - - - - ·. - - - -

VOL CAN EDEGEL TEXTIL PIURA BUENAVENTURA UNIVERSAL TEXTIL

--

Precio Teónco - - - - · _ _ _ _ !..._ _ _ _ _ _

o o 2% lo/o

14.38 2.98 1.86 14.79 18.77

Para el cálculo del precio teórico se ha tomado la tasa de mercado anual (TEA) que es de 26.82%. De los resultados obtenidos se recomienda al inversionista vender las siguientes acciones: VOLCAN, EDEGEL, TEXTIL PIURA y BUENAVENTURA ya que el precio teórico es menor al precio que se negocia en bolsa, por lo tanto la acción está sobrevaluada y debe aprovechar la oportunidad que le da el mercado para venderlas y obtener una ganancia adicional. La acción de UNIVERSAL TEXTIL se encuentra subvaluada porque su precio es mayor al precio que se negocia en bolsa lo cual debe mantenerla en cartera hasta encontrar una oportunidad de ganancia adicional.

133


Bonos:

Un bono es un instrumento de renta fija que se caracteriza por realizar pagos cada cierto periodo al tenedor del bono; estos pagos son los intereses que cobra el tenedor del bono por haber adquirido este instrumento de fmanciación. La tasa de interés que paga el bono se denomina tasa cupón y generalmente se cancela en periodos mensuales, trimestrales, semestrales y anuales; además para efectos de facilitar la negociación con los inversionistas extranjeros, la tasa de cupón puede ser efectiva o nominal. El bono es tm instrumento de fmanciación, generahnente de largo plazo, y al mismo tiempo es una deuda que adquiere la empresa emisora del bono, ya que tiene que pagar intereses (tasa de cupón) y el principal de la deuda (valor facial). La mayoría de bonos tienen un vencimiento defmido, pero hay otro tipo de bonos que se emiten con un vencimiento perpetuo, es decir que pagan el cupón de manera perpetua al tenedor del bono, y a este tipo de bonos es que nos vamos a referir en este capítulo. Los bonos perpetuos, todavía no existen en nuestra economía, pero se emiten y se negocian en economías desarrolladas, tales como las de EE.UU. Características de los bonos perpetuos:

134

.,.

Valor facial o Valor non1inal (VN ): es el valor de referencia del bono para calcular los intereses que se va a cancelar.

e

Tasa de cupón (a ): es la tasa de interés que se tiene que capitalizar al periodo de pago del cupón para definir el interés que recibirá el tenedor del bono, esta tasa puede ser efectiva o nominal.

•

Cupón: es el interés recibido por el tenedor del bono.

•

Vencimiento: se consideran bonos perpetuos.

•

Tasa de mercado (i ): es la tasa de interés que sirve para actualizar los flujos futuros que devenga el bono, siempre se expresa en términos efectivos, también es conocido como el YTM (yield to maturity).

Anualidades

La valorización de un bono perpetuo se realiza de la siguiente manera:

E = VA = Cupón + Cupón + Cupón + Cupón + ... o (1 + i) (1 + iY (1 + i) 3 (1 + i) 4

p =VA= Cupón o

.

l

para d cálculo de los cupones se tiene que tomar en cuenta la tasa de cupón, el periodo de pago y el tipo de interés que se paga es decir si es nominal o efectiva. Si la tasa de cupón es efectiva: Cupón= [ (1 +a

i'm -1J*VN

Si la tasa de cupón es nominal: Cupón= !!... *VN

m

Donde m es el periodo de capitalización; es decir: • • •

•

m= 12 m= 4 m =2 m =1

si el pago de los intereses es mensual. si el pago de los intereses es trimestral. si el pago de los intereses es semestral. si el pago de los intereses es anual.

Muchas veces el inversionista desea saber cuál ha sido su rentabilidad anualizada de la negociación de un bono. Para ello, es necesario definir el periodo de tenencia del bono que es aquel periodo expresado en días, meses o años desde que compra el bono hasta que lo vende. En base a este periodo de tenencia se calcula el rendimiento corriente de la transacción (RCYTM) aplicando la siguiente fórmula: 360

J

RCYTM = (Ingresos r -1 Egresos

Donde:

T : Es el periodo de tenencia del bono. Ingresos :

Total de ingresos recibidos por la transacción del bono que incluye el precio de venta más los cupones cobrados, llevados a la fecha de venta. 135


Egresos : Es el precio de compra del bono. Para calcular los cupones cobrados llevado a la fecha de venta se tiene que aplicar la siguiente fórmula:

, [(1

Cupones cobrados = Cupon *

+i y ~

-1]

Donde:

P : Es el número de cupones cobrados. im : Es la tasa de interés de mercado al momento de la compra, capitalizada al periodo de pago del cupón. Ejemplo: Se ha emitido un bono perpetuo con un valor nominal de US$ 1O 000 que paga una tasa de cupón del 9% nominal anual con pagos

trimestrales. Si hoy la tasa de mercado es de 10% efectiva anual ¿A qué precio se estará negociando el bono? Sí después de un año desea vender el bono cuando la tasa de mercado es de 8% efectiva anual ¿A qué precio lo vendería? Encuentre la ganancia o pérdida de la transacción. Datos: VN= US$ 10 000

nominal anual Período de pago = trimestral i =10% efectiva anual a=9

Solución:

0 09 Cupón- · *10 000 = US$ 225 4 Convertimos la tasa de mercado anual a tasa trimestral: i

=[ (1 +O.IO(' -1J 0.024113689 =

225

Po= 0.024113689 =9330.80; precio de compra del bono. Si después de un año lo desea vender cuando la ·tasa de mercado es de 8% efectiva anual, el precio de venta sería: 136

Anualidades

i= [ (1 +O.

Po=

os/< -1J=0.019426546

225 = 11582.09; precio de venta del bono. 0.019426546

Encontrando la ganancia o pérdida de la transacción tenemos: Ganancia o pérdida = ingresos - egresos Ingresos= precio de venta+ cobro de los cupones Egresos = precio de compra Ganancia o pérdida= 11 582.09 + 225 * 4-9 330.80= 3 15129 Si se desea conocer la rentabilidad de la transacción se tiene que aplicar la siguiente fórmula: Rentabilidad = mgresos - egresos *100 egresos En este caso la rentabilidad es de 33.77%.

Ejemplo: Si tenemos la siguiente información de un instrumento emitido por una Empresa local. Emisor: Telefónica del Perú. Tipo: Bono corporativo. Fecha de emisión: Hoy Tasa de cupón: 12.88% efectiva anual pagadero trimestralmente. Periodo de Veto: Perpetuo. Valor facial: S/. 5 000 a) Si un inversionista desea comprar bonos ¿Cuál es el precio del bono, si la tasa de mercado es de 11 .5% efectiva anual? . b) Si después de dieciocho meses de haberlo comprado desea vender ej bono y espera que la tasa de mercado sea del 10.24o/ó, cuál será su RCYTM?

137


Solución: Primero tenemos que calcular el cupón que paga la empresa:

Cupón= [ (1+0.1288)'~ -1]* 5 000= 153.76 Luego tenemos que convertir la tasa de mercado anual a trimestral:

¡ =[ (1 +O.

uso(< -1] = o.027587273

Con esta información, ya podemos calcular el precio de compra del bono:

p = o

153 76 • =5573.61 0.027587273

Como existe una nueva tasa de mercado al momento de la venta, se debe capitalizar esta nueva tasa de mercado a trimestral:

i

=[o +0.1024Y~ -1] =0.02467184

Entonces el precio del bono al momento de la venta es:

R = o

153 76 · =623223 0.02467184

Para el cálculo del RCYTM nos falta calcular el valor de los cupones cobrados a la fecha de venta: El inversionista desde que compró el bono hasta que lo vendió, cobró 6 cupones por los 18 meses de tenencia del bono.

(1 + 0.027587273 ) Cupones cobrados= 153.7 6 * [ 0.027587273 Aplicando la fórmula del RCYTM tenemos

138

6

-1] =

9 88.58

Anualidades

12/

RCYTM=(6 232.23+988.58)118 -1=0.1884 5 573.61 La rentabilidad corriente anualizada del inversionista es de 18.84%.

Ejemplo: Hace un año el Banco de Crédito emitió un bono subordinado al 88.5% de su valor facial y con un vencimiento perpetuo. El valor facial del bono es de S/. 10 000 y paga una tasa de cupón del 5.55% efectiva anual pagadero semestralmente. Si después de dos años de haberlo comprado lo desease vender cuando la tasa de interés de mercado fuese del 6.96% efectiva anual, cuál sería su RCYTM? Solución: Primero tenemos que calcular el cupón que paga el Banco:

Cupón=[(1+0.0555)'V, -1}10 000=273.75 Como el problema ya nos está dando el precio de compra que es el 88.5% de su valor facial entonces el inversionista habrá pagado por cada bono 8 850 nuevos soles. Para encontrar el precio de venta tenemos primero que encontrar la tasa de mercado capitalizada semestralmente; o sea: i= [ (1 +0.0696)v, -1 ]=0.034214677

Con esta infor.mación ya podemos calcular el precio de venta del bono: p o

= __l-73 · 7~-- =8000.95 0.034214677

Para el cáleulo del RCYT.IVI nos falta calcular el valor de los cupones cobrado a la fecha de venta: El inversionista desde que compró el bono hasta que lo vendió cobro cuatro cupones por los dos años de tenencia del bono, pero nos hace falta la tasa 139


de interés de mercado a la cual se negociaron los bonos en el momento de la compra la cual la podemos hallar de la siguiente manera:

Donde la tasa de mercado semestral al momento de la compra fue de 0.030932203 que es la tasa que utilizaremos para llevar los cupones cobrados a la fecha de venta. Cupones cobrados =273.75 * [

(1 +0.030932203) -1] 0.030932203

=1146.86

Aplicando la fórmula del RCYTM tenemos:

RCYTM

=(

8 000 95 1146 86 · + · 8 850

J V

2

-1=0.016686316

La rentabilidad corriente anualizada del inversionista es de 1.67%.

3.6.6

Ejercic~os

Propuestos de Anualidades Perpetuas con Acciones

y Bonos l. Backus está a punto de pagar un dividendo de tres soles por acción. Los inversionistas prevén que el dividendo anual se incrementará un 6% cada año y para siempre. La tasa de interés aplicable es del 11% ¿Cuál sería el precio de la acción el día de hoy? Rpta: 63.6 2. La empresa Calixto se disculpó ante sus accionistas, en su informe corporativo más reciente, por no haber pagado un dividendo.. El informe indicaba que la gerencia pagaría un dividendo de dos soles, el próximo año. A partir de entonces, el dividendo se incrementaría 4% cada año de manera perpetua. ¿Cuánto debería pagar por una acción Calixto, si la tasa de descuento es del 12%? Rpta: 25 140

Anualidades

3. Se espera que Telefónica pague un dividendo de 5.5 soles por acción el próximo año. También se espera que este dividendo crezca a una tasa anual del 8% y de manera perpetua. ¿Qué precio esperaría que tenga la acción de Telefónica, si la tasa de descuento apropiada es del12%? Rpta: 137.5

4. Suponga que un inversionista acaba de pagar cincuenta soles por acción del capital de la empresa Casa Grande. Este capital pagará un dividendo de dos soles por acción el próximo año. Se espera que este dividendo crezca con una tasa anual de 10% para el futuro inmediato. El accionista piensa que pagó el precio adecuado, considerando su valoración de los riesgos de la empresa. ¿Cuál es la tasa anual de rentabilidad que espera este accionista? Rpta: 14% 5. Si tenemos la siguiente información de un instrumento emitido por una Empresa local: Emisor: Backus Tipo: Bono Corporativo Fecha de emisión: Hoy Tasa de cupón: 8.12% nominal anual pagadero trimestralmente Periodo de vencimiento: indeterminado Valor facial: US$ 5 500 Tasa de mercado (TEA): 9.6% ¿A qué precio he comprado el bono? Si después de tres años lo deseo vender cuando la TEA de mercado sea del 12%. Encuentre el precio de venta. ¿Cuál ha sido la ganancia o pérdida de la transacción? Rpta: ~ =4 816.36; ~ =3 885.188; Ganancia =408.628 6. Un inversionista ha comprado un bono perpetuo en$ 9 859.79 hace nueve meses y este bono tiene un valor facial de $ 1O 000 que paga una tasa de cupón del 5.96% efectiva anual con una periodicidad mensual. Si hoy lo desea vender y la tasa de mercado es de 7% efectiva anual. ¿Ha sido beneficiosa la transacción para el inversionista? Rpta: No ha sido beneficiosa la negociación. 141


7. Encontrar el precio a la cual se está negociando un bono perpetuo que paga una tasa de cupón del 12% efectiva anual con pagos semestrales y tiene un valor facial de $ 1 000 si la tasa de mercado es de 11% efectiva anual. Rpta: 1 088.3896 8. Hoy se está negociando un bono perpetuo con las siguientes características: Valor facial: US$ 5000 Tasa de cupón: 6.89% nominal anual Periodo de pago: anual Si actualmente las tasas de mercado ascienden a 8% anual ¿Cuál es el precio que debe pagar un inversionista por adquirir los bonos? Si después de tres años de haber comprado el bono, desea venderlos y la tasa de mercado es de 7.3% anual, encuentre la rentabilidad de la transacción. Rpta: ~ =4 306.25; RCYTM=10.67%

142

Anualidades

3.7

Factores financieros

Los factores fmancieros suelen ser de suma utilidad y de aplicación en la solución de los diversos problemas fmancieros referidos al monto compuesto, anualidades vencidas y a las anualidades adelantadas. El uso de factores pennite hallar de una manera más rápida las variables del monto ( s ), valor actual (A ), y del pago periódico ( R ); evidentemente para hallar dichos factores debemos de conocer previamente las variables i y n ; y, en todos los casos, se asume que R, S o A asumen el valor de l. A continuación se presenta un resumen que muestra distintos factores financieros que pueden ser utilizados en función de la fórmula que se utiliza y de la variable que se quiera hallar.

3.7.1 factores F~nancieros que se obtienen a partir de Monto Compuesto

~a

fórmula del

l . Factor a utilizar para hallar el monto o valor futuro (S ), conociendo el valor actual o presente ( C):

2. Factor a utilizar para hallar el valor actual o presente ( C ), conociendo el monto o valor futuro. (S):

3.7.2

w:atior~S financ~eros J\~naf.dk~ades

•

t]Ue $9

orbt~e~en

a par[ij¡r «JJ~e

~a fórmu~a

de

Vencidas

Cálculo de Factores a partir del Monto o Valor Futuro de una Anualidad Vencida.

3. Factor a utilizar para hallar el monto o valor futuro (S ), conociendo el pago periódico (R ):

143

MATEMÁTICA FINANCIERA: conceptos, problemas yaplicaciones

4. Factor a utilizar para hallar el pago periódico ( R ), conociendo el monto o valor futuro (S ):

[V +:Y •

-t]

Cálculo de Factores a partir del Valor Actual o Presente de una Anualidad Vencida.

5. Factor a utilizar para hallar el valor actual o presente (A ), conociendo el pago periódico ( R ):

6. Factor a utilizar para hallar el pago periódico (R ), conociendo el valor actual o presente (A ):

3.7.3 •

Factores Financieros que se Anualidades Adelantadas

obt~enen

a partir de la

fórmul~l

de

Cálculo de Factores a partir del Monto o Valor Futuro de una Anualidad Adelantada.

7. Factor a utilizar para hallar el monto o valor futuro (S), conociendo el pago periódico ( R ) :

144

Anualidades

8. Factor a utilizar para hallar el pago periódico ( R ), conociendo el monto o valor futuro ( S):

•

Cálculo de Factores a partir del Valor Actual de una Anualidad Adelantada

9. Factor a utilizar para hallar el valor actual o presente (A ), conociendo el pago periódico ( R ):

10. Factor a utilizar para hallar el pago periódico ( R ), conociendo el valor actual o presente ( A ) :

145


3.7.4 3.7.4.1

Casos Prácticos para la Aplicación de Factores Financieros CASO 1: Préstamo Bancario

El Banco Pacífico desea implementar un programa de créditos al sector informal con la finalidad de atender a este importante sector de la economía. Para ello, la Gerencia aprueba como plan piloto inicial un programa de fmanciamiento con un plazo hasta por 18 meses. Si la TEA que se quiere cobrar por el financiamiento es del 21 %, se pide que elabore lo siguiente: a) Una tabla de factores que nos permitan calcular el pago periódico mensual que tendría que efectuar cada cliente por los distintos montos solicitados. Considere una columna adicional que muestre a cuánto ascendería el pago periódico en el hipotético caso que se pida un préstamo por S/. 10 000. Dado que los pagos periódicos ( R ) serán mensuales, necesitarnos hallar una tasa efectiva mensual equivalente a la TEA del 21 %. (1 + 0.21

i =(1 + i)

12

i =0.01601187 mensual Y como conocemos el valor actual (A ) , utilizamos el factor definido en (6) para hallar el pago periódico. ·,

Por ejemplo, aquí vemos manualmente como se calcularía el factor para alguien que desea pagar el préstamo en dieciocho meses.

Factor(n = 18 )=

l

0 01601187 =0.06438609 · 18 1- (1 +o. o1601187r

J

Luego, la cuota mensual, a pagar en los próximos dieciochos meses, se calcularía de la siguiente manera:

R =A *Factor18 R =10 000* 0.064386092= 643.86

146

Anualidades

A continuación se muestra una tabla de factores que nos permitirá calcular el pago periódico mensual que tendría que efectuar cada cliente, en el hipotético caso que se pida un préstamo por SI. 10 000, suponiendo que dicho préstamo se pueda cancelar hasta en dieciocho meses.

2 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0.512040695 0.344064433 0.260086897 0.209708851 0.176130547 0.152152095 0.134173548 0.120194936 0.109016277 0.099873946 0.092258858 0.085818572 0.080301341 0.075522554

5120.41 3 440.64 2 600.87 2 097.09 1761.31 1521.52 1341.74 1 201.95 1090.16 998.74 922.59 858.19 803.01 755.23

18

0.064386092

643.86

3

b) Resuelva el apartado "a" considerando que los pagos periódicos se harán por adelantado. Dado que los pagos periódicos ( R ) serán n1ensuales, necesitamos hallar una tasa efectiva mensual equivalente a la TEA del 21 %.

(t +0.21y = (1 + iY

2

i = 0.01601187 mensual Y como conocemos el valor actual (A ) , utilb:amos el factor

defmido en (10) para hallar el pago periódico que se hará por adelantado. Siguiendo el mismo procedirniento del apartado "a" encontramos lo siguiente: 147


0.01601187 ] Factor ( n =18) = [ (1 + o.o1601187) -(1 + o.o160 1187r(l8-l) = 0.06337140 R =A *Facto~ 8 R= 10 000*0.0633714= 633.71 A continuación se muestra una tabla de factores que nos permitirá calcular el pago periódico mensual que tendría que efectuar cada cliente, en el hipotético caso que se pida un préstamo por S/. 1O 000, suponiendo que dicho préstamo se pueda cancelar hasta en dieciocho meses. f' ~~-.1r-Nij',(fQ · ···~ r~· 4~ tt:;L~"t4i~~t~-2~fff~~~3ff~t't~;~~t~~FifA~~~~~;1~~~;~(~~~:r~:~rffv~JWf1B;. ~:( ••. / !; ,r>_~:-u· .::~_,,,. ·f\á'>';....,,-. -rlf~lr}");.r·~~*I·¡¡Á'+/;.{. Ft:·,.,~:.!%r-·;6Cl''l>It.'ii\t.itf"· 4~ l~/ ·/:.~~ ~~- ·T~l'#~~:f~:~~ ~ ..OJ!~pª~· ~a ~ ami} ~1~{~ ~ ~?tr.~r -~~ ~ P. J«;g,~: ~ \ t~~~~

f~,gy,q{á~ ~-'! };¡.¡;~ ~~~11!~-~~.~f~;.~w;r;,¡ 'f¿tJ:if."f§t,~~r:,{J)/2.~L~t'44~~i~--~f2:'~'*'\·:~v:.'u~~t~~~ Sj.,:.

1 2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 O.S0397117 0.33864214 0.25S9880S 0.20640394 0.1733S481 0.14975425 0.1320S904 0.11830072 0.10729823 0.09829998 0.09080490 0.08446611 0.07903583 0.07433235 0.07021940 0.06659277 0.06337140

10 000.00 S 039.71 3 386.42 2 SS9.88 2 064.04 1 733.5S 1497.54 1320.59 1183.01 1072.98 983.00 908.0S 844.66 790.36 743.32 702.19 66S.93 633.71

e) Suponga que el Sr. Valencia, es un cliente del Banco y que solicitó un préstamo por S/. 1O 000 a pagar al final de cada mes durante 18 n1eses, y que luego de haber efectuado 6 pagos tuvo problemas de liquidez que le impidieron pagar las cuotas 7 y 8. Si el Sr. Valencia quisiera ponerse al corriente con el Banco y cancelar las cuotas atrasadas junto con la novena cuota ¿Cuánto tendría que pagar? Asuma que no hay gastos adicionales por concepto de mora. 148

Anualidades

En primer lugar, observando la tabla elaborada en el apartado "a" vemos que para un préstamo de S/. 10 000, que se pagará en 18 meses, corresponde un pago periódico de S/. 643.86 En segundo lugar, para ponerse al corriente con el Banco,

tendremos que utilizar el factor definido en (3) para hallar el monto total a pagar, dado que ya conocemos de antemano el pago periódico ( R ).

r(1 + o.o 1601187f -1] =3.04829161

Factor(n=3)=l

0.01601187

S= R * Factor3 S= 634.86*3.04829161=1962.67 Como se ve a continuación, también se podría resolver utilizando la fórmula del monto de una anualidad vencida; o sea:

6

y- 1]=1962.67

1601187 1 S=643.86[( +0.0 0.01601187

Entonces, al tener que cancelar tres cuotas, el Sr. Valencia tendrá que pagar, al finalizar el noveno mes, S/. 1 9t~2.67 como se demuestra. La t.abla completa, en el hipotético caso que se haya retrasado en el pago de hasta dieciocho cuotas, quedaría de la siguiente manera:

149


..

L

w~~·~·Ñ~oe~~ ·(~~·~::.i~~--~Jtr;;¡!i·~'i:g:},~-J~~\r... ~~ ~Hi~;-~!:--~~::::-;·~:~~ ~ -~".-

~:~":,~

.

:~,~

-:

\t ·:·f 2..f~.c~9r!p~rá:nallaf s:;.~ .~ ~:\!VfO:~~~ ~-paga~ ,;;

~.~ Y~~;~ ~~~ 1! -.<-¿;.'w~" 1-;:>J:,;::~

.t·: ,_; "~. :, ·~·.··, :/·:. ~~~~'!yf4{,-Y;~~·:.-:..

,,. ~" ~~

1 2 3 4 S

1.0000000000 2.0160118700 3.0482919900 4.0971008450 5.1627030912

643.86 129.03 1962.67 2 637.96 3 324.06

14 15

15.554646523 16.803705501 18.072764249 19.362143000 20.672167117

10 015.01 10 819.23 11636.33 12 466.51 13 309.98

...

16 17 18

...

...

d) Resuelva el apartado "e" considerando que los pagos periódicos se harían por adelantado. En primer lugar, observando la Tabla elaborada en el apartado "b" vemos que para un préstamo de S/. 1O 000, que se pagará en 18 meses, córresponde un pago periódico de S/. 633.71 En segundo lugar, para ponerse al corriente con el Banco,

tendremos que utilizar nuevamente el factor definido en (3) para hallar el monto total a pagar, dado que ya conocemos de antemano los pagos periódicos ( R) que se harán por adelantado y se desea conocer el monto a pagar al comienzo del noveno mes. Entonces, la tabla quedaría de la siguiente manera: 1+0.01601187 ) 3 -1 ] Factor (n = 3) = [ ( = 3.04829161 0.01601187

S= R* Factor3 S =633.71 *3.04829161 =1 931.73 Como vemos también podría resolverse mediante una ecuación de valor que se explica en el gráfico o con la fórmula del monto de una anualidad vencida. 150

Anualidades

S=?

9

R,

~

Rg

1

S= 633.71 {1 +0.01601187f + 633.71(1 +0.01601187) +633.7 S= 1 931.73

Entonces, al tener que cancelar tres cuotas, el Sr. Valencia tendrá que pagar, al comenzar el noveno mes, S/.1931.73 tal como se demuestra. La tabla completa, en el hipotético caso que se haya retrasado en el pago de hasta dieciocho cuotas, quedaría de la siguiente manera: 'lif.-J<~·N"'1:f' · 1 ' e·11!(~!!!!:'""··~-=i'"''~'jli¡~". "'"' ,.,~"'·'' '""'¡····~···••'" r,., ... "'"""''' .. • ,.., _, f"(',~N. w;.,,;<".!·cl0~ii;,'faCfói! gara.:halrar.~.S ·:[lC;~· MontO a ~ga.rnol euofár{"~·s~ n·]"'~~~ {!Cr'i.r!i. .$t~q~:!. ., ""~~ái·.tr-:~~'· ...." .·""'."i·"'-t·~.P ' .".. -.t'í-J:,~~--·~ ~·· .... ~ ,... , .' . ::.,.•,.,::. , , ::_...;~.r"·· .~~·t" .·... :--....::..;-. ; ...~. t·~\'·~· -~"'

'.ii:,:JE:i"').(i.á\~'t~';.:A'

~m:-~-

~

~;r.. ·~~'r·*-'f. ~.

~·.(~~""

*~.:.,.¡;fi?~· K:fa:~~-::~:..:-,.;:~J>·~ t~/'f:W;'*"·r..":'A!,_¡, ··~~~

·-:...,.¡...,

1 2 3 4 S 6

.. .

13 14 f--15 16 f---·

17 •'--~8

,.,

•

~

~'~'

'>'í-:>-"

~-

,,-:;...

n.~':. 1

'l<;,,,..:t<,. ,',_

•¡''
·~t•¡•.¡.l{

~.~

.:,j(

'l'·'•t.

,~,..,...-:?"'·"·

•

~

'4(

...

;:~;:

.~~--;-~w",.J,4:'.

"'..,.~

1.00000000 2.01601187 3.04829199 4.09710085 5.16270309 6.24536762

633.71 1277.57 1931.73 2596.37 3271.66 3957.75

14.32527213 15.55464652 . 16.80370550 18.07276425 19.36214300 20.67216712 -

9078.07 9857.14 10648.68 11452.89 12269.98 13100.16 _j

.. .

...

e) Si el Sr. Valencia se encontrase en condiciones de pagar el saldo de su deuda, luego de haber cancelado las 10 primeras cuotas ¿cuánto tendría que pagarle al Banco, teniendo en cuenta que el préstamo solicitado fue por S/. 1O 000 y que se había acordado pagar en 18 meses? En prixner lugar, observando la Tabla elaborada en el apartado "a" vemos que para tm préstamo de S/. 1O 000, que se pagará en 18 meses, corresponde un pago periódico de S/. 643.86 151


En segundo lugar, si se desea cancelar la deuda en fonna anticipada al Banco, tendremos que utilizar el factor definido en (5) para

hallar el valor actual de la deuda, dado que ya conocemos de antemano el pago periódico ( R ) y la tasa de interés pactada.

Factor(n =8)=

1- (1 +0.01601187)~] [

0.01601187

=7.45303303

S = R *Factor8

S= 634.86 * 7.45303303 =4 798.71 Como vemos también podría resolverse mediante una ecuación de valor que se explica en el gráfico o con la fórmula del valor actual de una anualidad vencida. A=?

9

10

11

16

1

17

18

A =643.86(1 +0.01601187f +··· +643.86(1 +0.01601187f

8

A=4 798.71 Al quedar pendientes de pago un total de ocho cuotas, el Sr.

Valencia tendrá que pagar, al final del décimo mes, S/. 4 798o71 tal como se demuestra. La tabla completa, en el hipotético caso que se quiera adelantar el pago de hasta dieciocho cuotas, quedaría de la siguiente manera:

152

Anualidades

m-=---"''"""''"''"' .,. -~·-· segun "' ,. actual·de...1ª"~aeuda . : . . ,_,,,,., ~~ Ef '~·f<)·'·'"'··-'~" ft'í tt'''t:'~"~ · · . ·.·,-J·~,···"" .. "I;N° (f ~-'· . 'ta . . "'./·:: ·,·),.·, ac~6- ':k~r.gam aat·' -- ·:·,.,;:.: . ,;-.,;·: ~ - · e·cuo s ~:euotaS:~ni ;)
r~;;¡ ----~·c.4, •.• "-"· ·'·•·-""' \>''""-~"'· 1 '.-- • "'•""~""'''"" <:Jr;¡.,., ''"J-.~~,,._ <·• ~.,.,-. ,•·!·N/áiOR ·:'+l'P No ·ae;~t<'".:l>: . . ~~ :-:~~1~::~ti.. ·~~~;,~~:!-<~,~ ..;.!e·>ri~4'~~:i~. i_¡;•.J,' ,J'.-' ~ ..· , !' ·~ "~'·

"\;~."('"

~,

•

,

-

¡'i--p...

¡,.

1J

§l;v;cn;J:.E::: ..~:1~zr: !;~:--:~~. \'.b.~.~~kj ~!- {;-,:::_~~- .:::..~iY~'""'¡·~L~ ·--~;L: ~:;::~~".¡~~\ 3i\'iiP.~~:.-.e ~o;;&;, '"'{-'/'-'1 , •••.

<;l\ " " ••• ,

•• •:( , ••••

<•ie'

"~"'-:; ~

..

1 2 3 4 S 6 7 8

0.9842404696 1.9529697715 2.9064323544 3.8448688148 4.7685159572 5.6776068543 6.5723709058 7.4530338960

633.71 1257.44 1871.34 2475.56 3070.26 3655.58 4231.69 4798.71

16 17 18

14.0166450125 14.7799897382 15.5313045095

9024.76 9516.24 9999.99

...

...

P. . .Q

·

·

~ . ..

.. .

f) Resuelva el apartado "e" considerando que los pagos periódicos se harían por adelantado. En primer lugar, observando la tabla elaborada en el apartado (b) vemos que para un préstamo de S/. 10 000, que se pagará en 18 meses, corresponde un pago periódico de S/. 633.71 En segundo lugar, si se desea cancelar la deuda en forma anticipada al banco, tendremos que utilizar nuevamente el factor definido en (5) para hallar el valor actual de la deuda, dado que ya conocemos de antemano el pago periódico (R) y la tasa de interés pactada. De esta manera hallaremos el valor actual de la deuda al comienzo del período diez. 1-(1 + o.o160 1187r Factor(n =8)= [ 0.01601187

8 ]

= 7.45303303

A = R * Facto:rg

A =633.71 * 7.45303303 = 4 723.06 Como vemos también podría resolverse mediante una ecuación de valor que se explica en el gráfico o con la fórmula del valor actual de una anualidad vencida. 153


A=?

9

10

11

16

17

18

A= 633.71(1 +0.01601187 rl +··· + 633.71(1 +0.016011s7r

8

A=4 723.06 Al quedar pendientes de pago ocho cuotas, el Sr. Valencia tendrá que pagar, al comienzo del décimo mes, S/. 4723.06, tal como se demuestra. La tabla completa, en el hipotético caso que se quiera adelantar el pago de hasta dieciocho cuotas, quedaría de la siguiente manera:

154

2 3 4 S 6 7 8

1.9529697715 2.9064323544 3.8448688148 4.7685159572 5.6776068543 6.5723709058 7.4530338960

1237.62 1841.84 2436.53 3021.86 3597.96 4164.98 4723.06

16 17 18

14.0166450125 14.7799897382 15.5313045095

8882.49 9366.23 9842.34

Anualidades

3.7.4.2 CASO 2: Pandero laboral El Sr. Uri Escalante, empleado de una prestigiosa empresa, decide juntarse con un grupo de compañeros de trabajo, con la fmalidad de reunir S/. 5 000 cada uno para ser utilizados durante sus vacaciones. Para ello, deciden aportar una cantidad fija al final de cada mes por un plazo de 12 meses, percibiendo por estos depósitos tm interés mensual del 1.5% que es lo que paga una conocida institución de crédito a plazo fijo. a) Elabore una tabla que muestre el pago periódico que habría de realizar en función del número de cuotas en que desee pagar su pandero hasta que se hayan acumulado los S/. 5 000 requeridos. Conociendo la tasa efectiva mensual y el valor futuro deseado, utilizaremos el factor definido en (4) para hallar el pago periódico, dado que ya conocemos de antemano el monto o valor futuro (S) deseado. Entonces, la tabla quedada de la siguiente manera:

2 3 4 S 6 7 8 9 10 11 12

0.4962779156 0.3283829602 4447860 0.1940893231 0.1605252146 0.1365561645 0.1185840246 0.1046098234 0.0934341779 0.0842938442 0.0766799929

2481.39 1641.91 1222.22 970.45 80 682.78 592.92 523.05 467.17 421.47 383.40

Al observar la tabla, vemos que por ejemplo si alguien quiere pagar su pandero en doce meses tendria que efectuar un pago mensual de SI. 383.40. b) Con la misma información del caso, elabore una tabla de factores, suponiendo que los pagos periódicos se efectúan por adelantado. Conociendo la tasa efectiva mensual y el valor futuro deseado, utilizaremos el factor defmido en (8) para hallar el pago periódico, 155


dado que ya conocemos de antemano el monto o valor futuro deseado. Entonces, la tabla quedaría de la siguiente manera:

2 3 4

S 6 7 8 9 10 11 12

0.4889437592 0.3235300101 0.2408323015 0.1912210080 0.1581529208 0.1345380931 0.1168315513 0.1030638654 0.0920533772 0.0830481223 0.0755467910

1204.16 956.11 790.76 672.69 584.16 515.32 460.27 415.24 377.73

Al observar la tabla, vemos que por ejemplo si alguien quiere pagar su pandero en doce meses tendría que efectuar un pago mensual por adelantado de S/. 377.73

156

Anualidades

3.7.4.3

CASO 3: Pandero para la Adquisición de un Vehículo

El Sr. Masías desea comprar un auto cuyo valor de contado es de$ 12 600. Al no contar con el dinero requerido decide optar por una alternativa de fmanciamiento (pandero) que consiste en depositar una cantidad fija al fmal de cada mes por un plazo hasta de 24 meses, cobrándosele por este financiamiento un interés mensual del3%. a) Elabore una tabla que muestre el pago periódico que habría de realizar en función del número de cuotas en que desee pagar su pandero. Conociendo la tasa efectiva mensual y el valor actual del vehículo, utilizaremos el factor defmido en (6) para hallar el pago periódico. Entonces, la tabla quedaría de la siguiente manera:

1

2 3 4 S 6 7 17 18 19 20

21 22 23 24

1.03000000 0.52261084 0.35353036 0.26902705

0.16050635

12 978.00 6 584.90 4454.48 3 389.74 2 751.27 2 325.93 2 022.38

0.07595253 0.07270870 0.06981388 0.06721571 0.06487178 0.06274739 0.06081390 0.05904742

957.00 916.13 879.65 846.92 817.38 790.62 766.26 744.00

Al observar la tabla vemos que, por ejemplo, si el Sr. Masías quiere pagar su pandero en dieciocho meses tendría que efectuar un pago mensual de$ 916.13 Hay que anotar que en este tipo de panderos se suele pagar de manera adicional una Cuota de inscripción al momento de formar el grupo; y una Cuota de adjudicación al momento de hacerse acreedor del vehículo. 157


b) Con la misma información del caso, elabore una tabla de factores, suponiendo que los pagos periódicos se efectúan por adelantado. Conociendo la tasa efectiva mensual y el precio cash del vehículo, utilizaremos el factor definido en (lO) para hallar el pago periódico. Entonces, la tabla quedaría de la siguiente manera:

3 4 S

1.00000000 0.50738916 0.34323336 0.26119131 0.21199473

12 600.00 6 393.10 4 324.74 3 291.01 2 671.13

17 18 19 20 21 22 23 24

0.07374032 0.07059097 0.06778047 0.06525797 0.06298231 0.06091980 0.05904262 0.05732759

929.13 889.45 854.03 822.25 793.58 767.59 743.94 722.33

1 "1

¿

Al observar la tabla vemos que, por ejemplo, si el Sr. Masías quiere pagar su pandero en dieciocho meses, tendría que efectuar un pago mensual por adelantado de$ 889.45

158

Anualidades ESAN

Recommend Documents