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APLICACIONES DE DERIVADAS E INTEGRALES

MÓDULO III

APLICACIONES DE DERIVADAS

CLASE 1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION EN DISEÑO Imprimir el documento

1.1 Crecimiento y decrecimiento de funciones Recordemos que la derivada de una función y = f (x) en (x) en un punto x punto x 0 de su dominio, indicada por f '(x 0 ),, es un ) número real que mide la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la función. Esto nos indica que el valor numérico de la derivada es un elemento esencial para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones. Por lo tanto:

Permite estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones

El valor numérico de la derivada

1.2 Funciones crecientes y decrecientes Diremos que la función y = f (x) es (x) es creciente en un intervalo (a;b (a;b)) si para todo par de puntos tales que

resulta

.

f(x) es creciente en (a;b) si se cumple: x1 < x2 Análogamente, la función tales que

f(x1) < f(x2) siendo x1 y x2 puntos del intervalo (a;b) es decreciente en un intervalo resulta

si para todo par de puntos

.

f(x) es creciente en (a;b) si se cumple: x1 < x2 Si para todo par de puntos función

f(x1) > f(x2) siendo x1 y x2 puntos del intervalo (a;b) tales que

resulta

, entonces la

es constante en dicho intervalo.

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f(x) es creciente en (a;b) si se cumple: x1 < x2

f(x1) = f(x2) siendo x1 y x2 puntos del intervalo (a;b)

Observación: si la función f(x) es creciente o decreciente en el intervalo dicho intervalo.

se dice que es monótona en

En el caso de funciones derivables, el crecimiento o decrecimiento de la función de su función derivada

está ligado con el signo

.

Cuando la función es creciente, la recta tangente a la curva en un punto forma con el eje de las x un ángulo menor que 90°. Como la tangente trigonométrica de dicho ángulo es positiva, será también el valor de la derivada en ese punto positiva.

Cuando la función es decreciente, la recta tangente a la curva en un punto forma con el eje de las x un ángulo mayor que 90°. Como la tangente trigonométrica de dicho ángulo es negativa, será también el valor de la derivada en ese punto negativa.

Podemos entonces afirmar la siguiente conclusión: · Si

para todo

entonces

es creciente en

· Si

para todo

entonces

es decreciente en

. .

1.3 Concavidad de las funciones Dada la función vez su derivada

, como su derivada

es una nueva función de x , puede considerarse a su


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y esta derivada de la derivada recibe el nombre de derivada segunda de la función y se indica

Observemos a continuación cómo el signo de la derivada segunda está relacionado con la concavidad de la función. Para ello tomaremos un punto tangente no sea paralela al eje de las y :

en el gráfico de una función

, de tal forma que la recta

En el punto la curva es cóncava hacia las y positivas o más brevemente,

cóncava hacia arriba, si todos los puntos suficientemente próximos a situados por encima de la recta tangente coeficiente angular punto

. Observemos que entonces el

de la recta tangente aumenta al crecer la abscisa

, esto es la función

Entonces, su derivada

están

del

resulta creciente.

será positiva o nula.

En el punto la curva es cóncava hacia las y negativas o más brevemente,

cóncava hacia abajo, si todos los puntos suficientemente próximos a situados por debajo de la recta tangente coeficiente angular punto

. Observemos que entonces el

de la recta tangente disminuye al crecer la abscisa

, esto es la función

Entonces, su derivada

están

del

resulta decreciente.

será negativa o nula.

En síntesis:

Se llama punto de inflexión al punto en que la curva tiene recta tangente única y cambia la concavidad de la curva, en un sentido o en otro. En ese punto debe ser

Ejemplo: analicemos el siguiente problema de aplicación


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1.4 Máximos y Mínimos La función

tiene un máximo local en el punto para todo punto

La función

perteneciente a un entorno de

tiene un mínimo local en el punto para todo punto

de su dominio si .

de su dominio si

perteneciente a un entorno de

.

Los máximos y mínimos locales de una función reciben el nombre de extremos locales. Es evidente que si una función posee varios máximos y mínimos locales, el máximo absoluto será el mayor de los máximos locales y el mínimo absoluto será el menor de los mínimos locales. Por ello, nos interesarán criterios para determinar los extremos locales de una función, ya que los extremos absolutos se deducirán por simple cálculo de las ordenadas correspondientes.


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1.5 Criterios para la determinación de extremos locales Criterio de la derivada primera: si la función derivable

tiene en

un máximo o un mínimo

local, debe verificarse que ; condición que significa geométricamente que la recta tangente a la curva es horizontal en ese punto· Criterio de la derivada primera: si la función derivable tiene en un máximo o un mínimo local, debe verificarse que ; condición que significa geométricamente que la recta tangente a la curva es horizontal en ese punto. En efecto, si fuera

sería

mínimo. Si, en cambio, fuera

creciente en ese punto y no podría tener allí ni un máximo ni un sería

decreciente en

y tampoco podría tener allí ni un

máximo ni un mínimo. Entonces queda como única alternativa que máximo o un mínimo en

para que pueda haber un

.

La función presenta un máximo en

La función presenta un mínimo en

Pero esta condición es necesaria pero no suficiente para la existencia de un extremo local. Puede ocurrir que en un punto se verifique que siguiente ejemplo.

sin que tenga allí la función un extremo local, como lo prueba el

Ejemplo: analicimos el siguiente caso


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Para discriminar qué ocurre en un punto que verifica la condición necesaria es necesario recurrir a un criterio en el que interviene el signo de la derivada segunda.

Criterio de la derivada segunda: si la derivada segunda de una función no se anula en un punto que anula la derivada primera, resulta: Si

es

creciente en

hay un mínimo local en

.

Si

es

creciente en

hay un máximo local en

.

Analicemos un caso de aplicación contenido en el s iguiente punto: Ejemplo 1.6

1.6 Ejemplo Sea la función Hallemos su derivada primera y los puntos en que ésta se anula:

Esta última expresión es un producto entre dos factores igualado a cero, es decir, que alguno de los dos factores pueden anularse:

Estos valores son los extremos locales de la función. Para discriminar si corresponden a un máximo o a un mínimo local, aplicamos el criterio de la segunda derivada:


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lo que nos asegura que en el punto de abscisa hay un mínimo. En cambio, en el punto hay un punto de inflexión ya que como es fácil de comprobar, cambia la concavidad de la curva en dicho punto al cambiar el signo de la derivada segunda a derecha e izquierda del origen. En efecto, tomando dos puntos cualesquiera

tenemos:

Esta función, además, tiene otro punto de inflexión en segunda derivada).

(se puede comprobar hallando los ceros de la

1.7 Problemas de optimización Método de trabajo Los problemas de optimización son aquellos en los cuales nos interesa encontrar valores máximos o mínimos de funciones que representan situaciones problemáticas de la vida real. Para resolver un problema de optimización, se recomienda seguir los siguientes pasos: (1) Lea el enunciado del problema cuidadosamente. (2) Determine la cantidad que va a maximizarse o minimizarse. Elija una letra para representar esta cantidad como una función. (3) Use letras para designar las otras cantidades variables y exprese la función de (2) en términos de estas variables. (4) Si la función determinada en (3) quedara expresada en términos de más de una variable, entonces relea el enunciado y determine suficientes relaciones entre estas variables como para que puedan eliminarse todas las variables menos una. (5) Con la cantidad que va a ser maximizada o minimizada expresada como una función de una sola variable, calcule la primera y la segunda derivada con respecto a esta variable y aplique los criterios correspondientes a la determinación de extremos locales que acabamos de estudiar. http://fadu.e-ducativa.com/archivos/repositorio//250/413/html/m4c1/modulo%204%20clase%201.htm

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Problema 1 Se desea saber cuál es el terreno rectangular de mayor área que se puede rodear con cien metros de alambre. La primera parte del problema consiste en expresar las condiciones anteriores en lenguaje matemático. Si llamamos al ancho en metros de la superficie cercada e a su longitud, podemos establecer la siguiente relación en función del perímetro (100 metros de alambre):

El área del rectángulo está dada por la siguiente expresión: Esta función es la que queremos optimizar, es decir, encontrar su máximo valor. Pero como depende de dos variables

debemos expresar una de ellas en función de la otra. Para ello, reemplazamos la expresión

a la que llamamos condición en la expresión

, que es la función a optimizar :

Para hallar el número , que da el área máxima de un rectángulo en las condiciones requeridas, debemos considerar la función escalar que a cada número le asigna como imagen el área del rectángulo correspondiente. Es decir, la función: problema y debe ser: La función

. El dominio de la función

está condicionado por la índole del

.

es derivable y para hallar el valor

de que la maximiza calculamos su primera derivada:

Para hallar los puntos críticos, igualamos la función derivada primera a cero:

Ahora calculamos la derivada segunda de la función y reem plazamos en ella el valor del punto crítico para saber si corresponde a un máximo o un mínimo de la función:

Por el criterio de la derivada segunda, la función presenta un valor máximo en superficie cercada es de 25 metros. Para hallar la longitud, debemos reemplazar

. Es decir, el ancho de la en la expresión

:

Es decir, la longitud de la superficie también debe ser de 25 metros.Esto significa que, si el terreno rectangular tiene 25 metros por lado, el área máxima que cubrimos es de: . El valor máximo de la función es el punto

tal como se muestra


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en el gráfico.

La respuesta a nuestro problema es: el terreno rectangular de mayor área que se puede rodear con cien metros de alambre es un cuadrado de veinticinco metros de lado.

Problema 2 Se desea fabricar una caja abierta (sin tapa) con una hoja cuadrada de hojalata de 1 metro de lado, recortando cuadrados en las esquinas y doblando los bordes como se indica en la figura. Determina las dimensiones de la caja cuyo volumen sea máximo.

Si el lado de cada uno de los cuadrados recortados vale

, la base de la caja será un cuadrado de lado

. El volumen de la caja, que llamaremos

, será igual a la superficie de la base por la altura, es decir:

Recordemos que el dominio de esta función es Si buscamos el valor de cero:

que maximiza el volumen

para que el volumen sea una cantidad positiva. , debemos calcular su primera derivada e igualarla a

Hallamos sus raíces: http://fadu.e-ducativa.com/archivos/repositorio//250/413/html/m4c1/modulo%204%20clase%201.htm

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La raíz la descartamos porque este valor no pertenece al dominio de la función. Para saber si es un máximo de la función, calculamos la segunda derivada y reemplazamos en ésta dicho valor:

Como obtenemos un valor negativo al reemplazar por a un máximo de la función. El volumen máximo lo obtenemos al reemplazar por

en la segunda derivada, este valor corresponde

en la ecuación de la función:

La respuesta al problema es: para obtener un volumen máximo aproximado de caja deben ser

de base (cuadrada) y

las dimensiones de la

de altura.

Problema 3 La resistencia de una viga rectangular es proporcional al ancho y al cuadrado del alto de la sección. Halla las dimensiones de la sección transversal rectangular de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco circular de 12 cm de diámetro. Sea

el ancho en cm y

la altura de la sección de la viga. La

resistencia está dada por la expresión: , donde es una constante que depende del tipo de madera que constituye la viga. La resistencia es función de dos variables y , de modo que debemos eliminar una de ellas. La relación está dada por el triángulo rectángulo de medidas:

y

:

Si reemplazamos la expresión variable:

en

podemos rescribir la función resistencia en función de una única

Utilizando los mismos criterios que en los problemas anteriores, calcularemos la derivada de la función a optimizar, hallaremos los puntos críticos y, con la segunda derivada, averiguaremos si son puntos máximos o http://fadu.e-ducativa.com/archivos/repositorio//250/413/html/m4c1/modulo%204%20clase%201.htm

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mínimos de la función. Es importante recordar que tanto

Entonces en

como

deben ser valores positivos (¡son medidas!)

la función presenta un máximo valor. Es decir: considerando una viga de base

cm y altura cm obtenemos la mayor resistencia posible; si dicha viga la obtenemos de un tronco circular de 12 cm de diámetro.

1.8 Síntesis


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