NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA
GUIA DE ESTUDIO 2015 – 00B
Nivelación en Matemática B 1
APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
Modelació de !"o#le$a% En los problemas de aplicación o de modelación, nunca alguna sugerencia está de más. Sería bueno que organice el desarrollo de la solución usando las siguientes pautas para que no olviden ningn detalle!
Co$!"e%ió del !"o#le$a & elecció de la 'a"ia#le( • • • •
"ea todo el enunciado atentamente. #race un esquema que ilustre el enunciado, si esto es posible. $denti%ique las cantidades conocidas & desconocidas que presenta el problema. Eli'a una variable para la cantidad desconocida, & escriba e(actamente lo que representa, sin olvidar mencionar las unidades en caso de tratarse de problemas de la vida real. )ara esto, es mu& til %i'arse en la pregunta del enunciado.
Co$!"e%ió del !"o#le$a & !la)ea$ie)o( Estable*ca relaciones entre las cantidades & variables indicadas anteriormente. +icas relaciones provienen de! • #radu*ca el enunciado a una o varias ecuaciones -interpretación de te(tos. • /eglas e(ternas al problema.
*e%ol+ció( • •
"a parte operativa debe ser sencilla despu0s de todo lo traba'ado. No debería %allar en 0sta, el traba'o debe acerse cuidadosamente. /ecuerde que siempre es bueno asegurarnos que el proceso de cálculo est0 correcto! veri%ique
A,li%i% de "e%!+e%)a & "e%!+e%)a co$!le)a( Esta parte es mu& importante. 3no debe re%le(ionar sobre el sentido de los nmeros obtenidos con respecto al conte(to de problema & escribir una respuesta completa como solución a la pregunta propuesta. No olvide colocar unidades.
E-e$!lo 1( +os ermanos guardan su dinero en una cuenta mancomunada. 4l cabo de un a5o tienen en total S6. 7 888,88 pero al ma&or de ellos le corresponde el triple de dinero que al menor. +etermine la cantidad que posee el ermano menor.
Sol+ció. Sea x la cantidad de dinero que posee el ermano menor en soles. 9on ello, el ermano ma&or tiene
8 000
− x .
+el enunciado :al ma&or de ellos le corresponde el triple de dinero que al menor;, se constru&e! 8 000 − x =3 x 4l resolverlo 8 000 = 4 x → x = 2000 )or tanto, el ermano menor tiene S6. 2 888,88 Actividades de aprendizaje
1. Un automóvil tiene 4 x km/h de velocidad y otro las tres cuartas partes de la velocidad anterior. Modele la expresión que permita obtener la diferencia de dichas velocidades
Nivelación en Matemática B 2
2. Si a los cuatro quintos de x lo multiplico por !2" y al resultado le restamos la mitad de x multiplicado por !2. Modele la expresión que se obtiene. #. $l doble de un n%mero x es i&ual a la quinta parte de otro n%mero quintos de y es i&ual a T . $xprese
x en t(rminos de
y ' si los dos
T .
). Un hombre recorre x metros en m minutos. Modele la velocidad en kilómetros por hora* ".Si despu(s de un descuento del 1+! un producto cuesta expresión que describa el precio ori&inal.
m
soles. Modele la
,. $n un teatro de n asientos! a est-n ocupados. Modele la expresión que represente el porcentae de asientos que est-n desocupados. . $n un salón de clase hay el porcentae de chicas.
a chicos y
b chicas. Modele la expresión que represente
0. Se tiene una cinta de # metros de lar&o con la cual se forma un rect-n&ulo de metros de ancho. Modele la supercie del rect-n&ulo en función de . 3os primeros cinco minutos de una llamada internacional cuestan
a
a. d dólares y cada
minuto adicional cuesta q centavos de dólar! si Mar4a habló durante 0 minutos. Modele la expresión que indique cu-nto tiene que pa&ar Mar4a. 1.Mi auto rinde k kilómetros por &alón! si el &alón cuesta # soles y se le echa d soles. Modele la expresión matem-tica que indique los kilómetros que se pueden recorrer. 11.5 un alambre se le da dos cortes y cada tro6o resultante es i&ual a la lon&itud del anterior aumentado en su cuarta parte. Modele la lon&itud del lado mayor! si la lon&itud del lado menor es x metros. 12.Siendo P el per4metro de un rect-n&ulo y 12!"m uno de sus lados. Modele es la lon&itud del otro lado. 1#.7os( nació 2 a8os despu(s que 9ablo y # a8os antes que :(sar. Modele la expresión que determine la edad que tiene cada uno si la suma de sus edades es E . 1).Un comerciante compró 2 " botellas a ;2 el ciento' en el camino se le rompieron 1 botellas y despu(s re&ala " botellas por cada 1 que vend4a.
a=
C ' en s4ntesis habr- utilidad sólo si
R debe ser
R > C . Si una compa84a
fabrica discos y su ecuación de costos para una semana es
C =300 + 1,5 x
y su
ecuación de in&resos es R=2 x ! donde x es el n%mero de discos vendidos a la semana. :alcule la cantidad de discos que se debe vender para que la compa84a no pierda ni &ane. 1.Una tienda de descuento de computadoras reali6a una barata de n de a8o de dos tipos de computadoras. Se obtienen ;)1 0 por la venta de "0 computadoras' si uno de los dos tipos se vendió a ;, y el otro a ;0". :alcule la cantidad de computadoras de cada tipo que se vendieron. 10.$l $stadio >acional est- ne&ociando un contrato con una compa84a ambulante de patinae sobre hielo. $sta compa84a cobra ;, por noche m-s )+ de la recaudación de la taquilla. $l $stadio >acional planea cobrar ;12!" por boleto para cualquier asiento. e=
acional tiene la meta de recaudar ;1" cada noche. :alcule la cantidad de boletos que necesita vender. &=
2".Una persona tiene S/.12 y otra tan sólo S/."! despu(s que cada una de ellas &astó la misma cantidad de dinero! a la primera le queda el triple de lo que le sobra a la se&unda! :alcule cuanto les queda en conunto a ambas personas. 2,.$n un teatro las entradas valen S/.," y S/.2"! si al vender un total de ) entradas se obtiene #0 " soles! :alcule la cantidad de entradas de S/.," que se vendieron. 2.5l pre&untar un padre a su hio qu( cantidad hab4a &astado de los #" soles que le dio! este le contestaB Clas tres cuartas de lo que no &ast(D. :alcule cuanto &astó. 20.3a ra6ón del n%mero de varones al de ni8as! en un &rupo era de # a ".
Actividades colaborativas
1. $l lado de un cuadrado es dos veces mayor que el de otro cuadrado' si la suma de sus -reas es C5D m2. Modele la expresión matem-tica que exprese el per4metro de los cuadrados. 2. Se tiene un cubo de arista C2xD.
". Si la edad de 5lberto es # veces la edad de 7ulio y untos suman "2 a8os! :alcule cu-ntos a8os le llevar- 5lberto a 7ulio dentro de " a8os. Actividades de extensión
1. Un n%mero es tal que multiplicado por 2! por # y por " da tres n%meros cuyo producto es 1" #,.
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la %orma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni el denominador. )or e'emplo, 3 x + 2 y + 6 z =6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.
1( DE/INICIÓN( 3n sistema de ecuaciones lineales es un con'unto de ecuaciones lineales de la %orma! a11 ∙ x 1
¿
+¿ a12 ∙ x 2 +¿ a13 ∙ x 3 +¿ ⋯ +¿ a1 n ∙ x n ¿ b 1 a21 ∙ x1 +¿ a22 ∙ x 2 +¿ a23 ∙ x 3 +¿ ⋯ +¿ a 2 n ∙ x n ¿ b 2 ⋮ ¿⋮ ¿⋮ ¿ ¿⋮ ¿ ⋮ ¿ am 1 ∙ x 1 ¿ am 2 ∙ x 2
¿ +¿ a m 3 ∙ x 3 ¿ +¿ ⋯ { ¿ +¿ amn ∙ x n ¿¿ ¿ b m ¿ En este caso tenemos "os nmeros reales determinar &
b j
aij
m ecuaciones &
n incógnitas.
se denominan coe%icientes & los
x 1
se denominan incógnitas -o nmeros a
se denominan t0rminos independientes.
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suele designar simplemente por x e y en ve* de x 1
&
x 2
x 1 x 2 x 3 , & en el caso de tres, x , y , z en lugar de , & pero esto es
indi%erente a la ora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones del
sistema simultáneamente. 9uando un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, es consistenteA en caso contrario es inconsistente. +iremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Do% ec+acioe% lieale% co do% 'a"ia#le%( )odemos en%ocar el problema de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables como un problema de geometría. "a grá%ica de cada ecuación de tal sistema es una línea recta. 4sí, un sistema de dos ecuaciones con dos variables representa un par de rectas. "as rectas -1 se pueden cortar, -2 pueden ser paralelas o -< pueden ser coincidentes -es decir, id0nticas. 1. Si las rectas se cortan, el sistema de ecuaciones tiene una solución dada por el punto de intersección. El sistema es co%i%)e)e & las ecuaciones son ide!edie)e%. 2. Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones no tiene solución, &a que las rectas nunca se cortan. El sistema es ico%i%)e)e.
Nivelación en Matemática B @
<. Si las rectas son coincidentes, el sistema de ecuaciones tiene una in%inidad de soluciones, representadas por todos los puntos sobre la recta. El sistema es co%i%)e)e & las ecuaciones son de!edie)e%.
Rectas que se corta; el sistema tiene una solución.
Rectas paralelas; el sistema no tiene solución.
Rectas coincidentes; el sistema tiene una infinidad de soluciones.
2( MTODOS DE *ESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES. 2.1. M)odo de %+%)i)+ció $lustraremos el m0todo de sustitución mediante el siguiente e'emplo.
E-e$!lo 1( /esuelve
{−
+¿ y ¿ 4 x +¿ 6 y ¿
2 x
5 12
Resolución.
)rimero despe'amos y en la primera ecuación, con lo cual obtenemos y =5 −2 x Sustituimos este resultado en la segunda ecuación & nos quedamos con una ecuación que sólo contiene a la variable x , la cual tambi0n podemos despe'ar.
−4 x + 6 y −4 x + 6 ( 5 −2 x ) −4 x +30 −12 x −16 x x x
¿ 12 ¿ 12 ¿ 12 ¿ −18 −18 ¿ −16 ¿
9 8
3na ve* que sabemos que
x =
9
y mediante 8 , podemos determinar con %acilidad el valor de 9
sustitución regresiva, es decir, sustitu&endo 3tili*aremos la primera!
Nivelación en Matemática B 7
8
en ve* de x en una de las ecuaciones originales.
+ y
¿
5
( )+
¿
5
+ y
¿
5
y
¿
y
¿
2 x 2
9 8
9 4
y
5
−9 4
11 4
"a solución del sistema es
x =
9 8 ,
y=
11 4
.
El m0todo utili*ado para resolver el sistema del e'emplo 1 es el de sustitución. Bosque'amos a continuación los pasos de este m0todo.
• • • • •
)aso 1! Elegir una de las ecuaciones & despe'ar una de las variables en t0rminos de las otras. )aso 2! Sustituir el resultado en las demás ecuaciones. )aso ! Ceri%icar la solución determinada.
2.2. M)odo de eli$iació 3n segundo procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones lineales es el m0todo de eliminación. )or lo general, este m0todo es pre%erible sobre el de sustitución cuando este ltimo conduce al uso de %racciones o si el sistema contiene más de dos variables. "a eliminación tambi0n proporciona la motivación necesaria para la solución de sistemas mediante matrices. "a idea sub&acente tras el m0todo de eliminación es la de reempla*ar las ecuaciones originales del sistema con ecuaciones equivalentes, asta llegar a un sistema de ecuaciones con una solución obvia. 4l proceder de esta %orma obtenemos sistemas equivalentes de ecua ciones. /eglas para obtener un sistema de equivalentes de ecuaciones -1 $ntercambiar dos ecuaciones cualesquiera del sistema. -2 Multiplicar -o dividir cada lado de una ecuación por la misma constante distinta de cero. -< /eempla*ar cualquier ecuación del sistema por la suma -o resta de esa ecuación & cualquier otra del sistema. 3n e'emplo le aclarará lo anterior. 4l estudiar el e'emplo, preste particular atención al patrón seguido.
E-e$!lo 2( /esuelve
{
+¿ 3 y ¿ 1 … ( 1) − x +¿ y ¿ −3 … ( 2) 2 x
/esolución Multiplicamos cada lado de la ecuación -2 por 2, de modo que los coe%icientes de x en las dos ecuaciones sean el negativo uno del otro. El resultado es el sistema equivalente
Nivelación en Matemática B
{
+¿ 3 y ¿ 1 … ( 1 ) −2 x +¿ 2 y ¿ −6 … ( 2 ) 2 x
5 y
¿ ¿−1
¿ ¿ −5 y ¿ ¿
4ora sustituimos en %orma regresiva utili*ando este valor de y en la ecuación -1 & simpli%icamos para obtener 2 x
¿ +¿ 3 (−1) ¿ 1 ¿ 4 ¿
2 x
x
¿2¿
4sí, la solución del sistema original es
x =2 , y =−1 . +e'aremos para usted la veri%icación
correspondiente. Dbservemos el patrón del m0todo de eliminación aplicado en el e'emplo 2. )rimero eliminamos la variable x de la segunda ecuaciónA despu0s sustituimos en %orma regresiva, es decir, sustituimos el valor determinado para y de nuevo en la primera ecuación para encontrar x . Actividades de aprendizaje
1. Iesuelve los si&uientes sistemasB
− 4 x + 5 y = 0 2 x − y = 6 a
4 p − 3q = 0 3 p + 4q = 6 b
3v − 6t = 12 5v + 4t = 6 c
x − 2 = y + 3 2 3 x + y = 4 d x + y x − y − =8 2 3 x + y + x − y = 1 4 3
e
Nivelación en Matemática B 18
2( x − 3 y ) = 5 − 3(2 y − 1) y x + 2 y 2 = 4 + 1 e %
x + y = 1 2 3 6 x y − =0 4 5 %
g
x = 2( y − x) + 1 2 x + y = 3( x − y ) + 3 g
y 2 x − 2 = x + y y = 3 x + 5 2 i i
2.
+e%ine un sistema que tenga como con'unto solución! x =6
y =−7
e
.
'
3 x − 8 y = 15 x + y = <. 9ompleta el sistema mostrado! x =−4 k=
e
.....
.....
y =1
de manera que admita como solución los valores
l =. +el SE"
{
( a + b ) x +¿ ( a−b ) y ¿ (2 a −3 b ) x +¿ ( 2 a−5 b ) y ¿
m
15
a + 2b
n o p
4dmite como soluciones 9alcule
b =4 x + 2 y
u v
y =−7 .
c =2 x + y A
d =3 x – y
A a 66 c A
b /¿ d
9alcula el perímetro de dico paralelogramo.
?. /esuelve los siguientes sistemas! (
2 x + 4 y + 6 z = 22 3 x + 8 y + 5 z = 2 − x + y + 2 z = 2 &
e
b −a .
q >. "os lados paralelos de un paralelogramo miden! r a = x + 2 y + 6 s A t
x =3
a
Nivelación en Matemática B 11
3 x − 2 y + 8 z = ! − 2 x + 2 y + z = 3 x + 2 y − 3 z = 8
3 b aa ab ac
ad) Actividades colaborativas
ae 1. /esolver los siguientes sistemas! a%
x + 1 = 1 2 y x − 1 = 1 y ag a
2 x + 3 8 x − 2
= 16 y = 36 y
a b
1 + 1 = 1 x y 12 1 1 1 + = y z 20 1 1 1 + = x z 15 ai c 1 1 + x − y x + y = a 1 − 1 =b x − y x + y
a'
e
aF
2. Se tiene! al)
3 x − 2 y + 1 = 0 y + z − 4 = 0 2 x + 4 z + 3 = 0
am= an=
( x , y , z ) es solución del sistema.
ao
Si!
ap aq
9alcule el valor de! ( x + y )
2
z
+
( y + z ) x
2
+
( x + z )
2
y
ar= <. "os lados de un triángulo equilátero miden! 9alcule el perímetro de dico triángulo. as =. /esuelve el siguiente sistema!
Nivelación en Matemática B 12
( y + 2 ) cm,
( x + 2 y ) cm &
( y – 2 x )
cm.
1 + 1 = x y 12 1 + 1 = 3 y z 4 1 1 5 + = x z 6
at= au= av= aJ= ax= ay= a*
ba) Actividades de Extensión
bb= 1. Iesuelve los si&uientes sistemas de ecuaciones bc= 21 a + 10 b=3 a= −9 a + 6 b=15
{
bd= b=
{
c=
be= 9 x + 4 y = 25 12 x −6 y =5
d)
+ z =−11 11 w − 2 z =−38 2w
{
{ { {
bf= x y 2 15 2
+ =2 3
x −30 =−5 y
bg)
e)
b 4
3a 4
a
+ =4 6
b
− =5 2
bh)
( c + d )+ c
f)
−d 3
10 c + 7 d 6
=0
=−4
bi= >. /esolver el sistema! b'
bk=
{
2 x + y + z =8 5 x −3 y + 2 z =3 7 x + y + 3 z = 20
Nivelación en Matemática B 1<
bl 2
bm
9alcule
bn
?. /esuelve el siguiente sistema bo
3 x + 2 6 x − 3
y y
= 15 =!
a bp 2 y + 3 z =
3 x + 6 y − 12 z = −3 5 x − 2 y + 2 z = −
b bq 2 x + y + z = 180
x + 3 y + 2 z = 300 2 x + y + 2 z = 240 c
Nivelación en Matemática B 1=
2
( x + y )
br= bs)
APLICACIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLE
bt= bu) Actividades de Aprendizaje
bv 1( 94/D"4 S49 es %abricante de blusas & %aldas. En un determinado mes produce ?> de estas x
y
prendas. 9ada %alda se vende a S6. 188 & cada blusa se vende a S6. 128. 9onsidere que e representan el nmero %aldas & blusas que %abrica la empresa. Modele el sistema de ecuaciones que permita calculara el nmero de blusas & el numero de %aldas que deben con%eccionarse para obtener S6. @188 con dica venta. b 2( Gos0 tiene en su billetera, billetes de S6.28 & de S6.18, en total tiene 1> billetes con un valor de x
y
S6.288. 9onsidere que e representan el nmero de billetes de S6.28 & S6.18 respectivamente. Modele un sistema de ecuaciones que permita calcular el nmero de billetes de cada denominación que tiene Gos0. b( 4( 9arlitos viendo que se acerca el día de la madre, compra una lavadora & una re%rigeradora, por un valor total de H < >88. Si por la lavadora le ubieran eco un descuento del 18I & por la re%rigeradora un descuento del 7I, ubiera pagado H < [email protected] el sistema de ecuaciones que me permita encontrar el precio de cada artículo. b& ( "a edad en a5os de una tortuga es ma&or en 28 que el cuadrado de un nmero NA & menor que > que el cuadrado del nmero siguiente a N. Modele la e(presión matemática que permita determinar la edad que tiene la tortuga. b* 5( El =8I de los estudiantes de un aula 4 son varones, & la cuarta parte de los de otra aula B son mu'eres. Si en total son << cicos & 2> cicas. +etermine cuántos alumnos tiene cada grupo. ca 6( En una nevera a& 22 latas de re%resco, unas de 16< de litro & otras de 16> de litro de capacidad. Si en total contienen ? litros. 9alcule la cantidad de latas que a& de cada tipo. cb 7( En un grupo de cone'os & gallinas el nmero de patas e(cede en 1= al doble, del nmero de cabe*a. 9alcule el nmero de cone'os. cc 8( 3na %amilia consta de varios i'os entre ni5os & ni5as, alguien preguntó cuántos eran, & la ni5a ma&or respondió que tenía tantas ermanas como ermanos a lo que el ni5o ma&or a5adió que tenía el doble de ermanas que ermanos. a Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione el nmero de ni5os & ni5as de dica %amilia. b 9alcule el nmero de ni5as que a& en dica %amilia. cd 9( 3na de las salas de un cine de la ciudad de "ima tiene 88 asientos & cobra H2 por ni5o, H< por estudiante & H= por adulto. En cierta %unción, con dica sala llena, abía la mitad de adultos con respecto del nmero de ni5os & estudiantes 'untos. "os ingresos totales %ueron de H2 788. J9uántos ni5os %ueron a la %unciónK ce Modele el sistema de ecuaciones lineales que relacione el nmero de ni5os, estudiantes & adultos que asistieron a la %unción en dica sala. c% a 9alcule el nmero de ni5os que asistieron a la %unción del cine en dica sala. cg 10( "a pro%esora de Matemática le propone a Gon <8 problemas, para que lo resuelva todos, por cada problema bien resuelto le da S6. = & por cada problema mal resuelto Gon tendrá que entregar a la
Nivelación en Matemática B 1>
pro%esora S6. 2 9alcule cuántos problemas resolvió correctamente, si resulta que al %inal tenia en total S6. <8. 9onsidere x los problemas bien resueltos. c ci cj) Actividades Colaborativas
cF 1. Modele lo que se indica en la columna 2 segn los enunciados de la columna 1. cl
cm)
Columna 1 (Enunciaos)
a) "n re#alo que cuesta $%& soles quieren comprarlo $n& alumnos' si 8 de ellos se retractan de participar de la compra.
b) "n depósito cua capacidad es $a& litros tiene $*& litros de a#ua. +e ,ierte a#ua al depósito por medio de un ca-o que llena $%& litros por minuto sale mediante un #rifo de desa#e que arro/a $& litros por minuto (% ).
cn) Columna ! (Mo"lami"n#o) co) Modele cuntos soles ms' tendr que pa#ar cada uno de los restantes (que mantienen el acuerdo) en función de
:onsiderando que
x % representa el nmero
de cintas producidas.
d) =+>76+: es fa*ricante de ,estidos faldas. n un determinado mes produce 112 de estas prendas. :ada falda se ,ende a +?. 150 cada ,estido se ,ende a +?. 210. @:untos ,estidos faldas de*en confeccionarse para o*tener +?. 4500 con dic9a ,enta. di) d/)
n .
cp) cq) cr) cs) Modele la e%presión matemtica que permite determinar los minutos que se tardar en llenar el depósito ct) cu) cv) cw) cx) cy) c<) Modele el costo total en dólares
c) a empresa "67 produce cintas de audio de calidad para conciertos en ,i,o. +i dic9a empresa al producir una cinta #asta 20 dólares presenta ademas otros #astos por concepto de pu*licidad de 100 dólares.
x
C ' como una
función de
x x.
da) d*) dc) dd) de) df) d#) dh) dk) :onsidere que se producen x ,estidos e y faldas. Modele las ecuaciones que representan la situación.
dl 2. )ara la compra de tiles de escritorio, Sonia a guardado S6.>>8 en billetes de S6.18 & S6.28, si a& =8 billetes en total. dm a 9alcule la cantidad de billetes de cada denominación.
Nivelación en Matemática B 1?
b Si Sonia reali*a las compras & paga con 1< billetes de s6.28 & 7 de s618. +iga 3d. 9uantos billetes de cada denominación an le queda. dn <. 4 una con%erencia asistieron << pro%esionales entre psicólogos clínicos & psicólogos educativos. Se recaudó S6.11? 888 para a&udar al tratamiento de los ni5os con enuresis de un ospital de solidaridad. Si cada psicólogo clínico colaboró con S6.= 888 & cada psicólogo educativo con S6. < 888, Se pide! do a Modele un sistema de ecuaciones lineales que permita 9alcular cuántos psicólogos clínicos & cuántos psicólogos educativos asistieron a la con%erencia. b +eterminar la cantidad de psicólogos clínicos & educativos asistieron a la con%erencia. dp dq dr =. "a edad de 4 e(cede en 22 a5os a la edad de B & si la edad de 4 se divide entre el triple de la de B el cociente es 1 & el resto 12. +eterminar ambas edades. ds >.
3n cierto 9apital
y se desea reunir entre x personas. Si cada uno aporta H2=8 %altan H188
para completar el 9apital & si aportan H2>8 sobran H>8. 9alcule el 9apital a reunir +etermine el nmero de personas dt du) Actividades de extensión
dv 1. "a suma, di%erencia & producto de 2 nmeros, están en la misma relación que los nmeros >, < & 1?. 9alcule los nmeros. d
2. 3na persona compra ob'etos al precio de S6.=7 & S6.=2 pero no recuerda cuantos compró de S6.=7 ni cuantos de S6.=2, solamente recuerda que gastó S6.1>=2 & que el nmero de ob'etos de S6.=7 no llegó a die*. +etermine la cantidad de ob'etos de S6.=7 que compró. d(
<. 3na gran'a tiene >88 acres de terreno destinados al cultivo de maí* & trigo. El costo respectivo de los cultivos -inclu&endo semillas & mano de obra es de H=2 & H<8 por acre. El due5o dispone de H17 ?88 para reali*ar este cultivo. Si desea utili*ar toda la tierra destinada a estos cultivos & todo el presupuesto correspondiente. 9alcula la cantidad de acres debe plantar de cada cultivo. d&
=. En "a cantidad total de pasa'eros que utili*an cierta ruta durante el turno matutinos es de 1 888. Si el pasa'e de cada ni5o cuesta 2> centavos, el de adulto @> centavos & el ingreso total obtenido del cobro de los pasa'es es de H?>8. 9alcule cuántos ni5os & cuántos adultos utili*aron el autobs en la ma5ana. d*
>. En unas reba'as e comprado un pantalón, con el 28I de descuento, & una camisa con el =8I de descuento, pagando en total H >=. 4ntes de las reba'as abría tenido que pagar H @>. 9alcule el precio inicial de cada artículo. ea
?. 3n cine tiene 88 asientos & cobra H2 por ni5o, H< por estudiante & H= por adulto. En cierta %unción, con el cine lleno, abía la mitad de adultos con respecto del nmero de ni5os & estudiantes 'untos. "os ingresos totales %ueron de H2 788. +etermine cuántos ni5os %ueron a la %unción. eb
ec
Nivelación en Matemática B 1@
