FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INGENIERIA CIVIL INDUSTRIAL COMPLEMENTO MATEMATICOS
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO INTRODUCCION: En nuestra vida cotidiana muchos fenómenos pueden ser vistos como relaciones funcionales entre dos variables, donde el comportamiento de una dependerá del comportamiento de la otra. Obteniendo el modelo matemático matemático que representa estos fenómenos y relacione las variables involucradas, involucradas, se podrán podrán analizar y resolver problemas de interés tecnológicos y científicos entre otros. Unos de los aspectos aspectos de gran interés interés y aplicación son los modelos de crecimientos y decrecimientos utilizados frecuentemente en el ámbito de la economía, demografía, medicina, epidemiología epidemiología etc. Un modelo matemático matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro. f uturo. Para la formulación de problemas en términos matemáticos se debe previamente determinar claramente las premisas o variables que influyen sobre la variable a estudiar y de que manera lo hacen. El mundo real es muy complejo, a menudo se debe determinar cuales son las variables significativas y de cuales se puede prescindir, después de lo cual se debe clarificar la o las relaciones entre las variables, estas relaciones se dan en forma de leyes, principios, teorías, formulas etc. La formulación del planteamiento matemático o modelo matemático en forma de una ecuación diferencial se aplica en todos los campos de las ciencias, de acuerdo a los conceptos propios de cada área de acción ,en este caso, caso, la situación estudiada pasa pasa por el conocimiento conocimiento de la interdependencia interdependencia de las variables vari ables y las leyes naturales que rigen el fenómeno. Aplicaciones: -
Trayectorias ortogonales Problemas de crecimiento y decaimiento Ley del enfriamiento de Newton Problemas de mezclas Movimiento rectilíneo (Segunda ley de Newton) Circuitos eléctricos.
1.- TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Si dos familias de curvas en un mismo plano son tales que cada curva de una de ellas corta bajo ángulo recto a todas las curvas de la otra familia, se dice que cada familia constituye un sistema de trayectorias ortogonales de la otra. Ejemplo.La familia de circunferencias concéntricas x 2 + y 2 = c 2 ortogonales a la familia de rectas por el origen y = kx
ϕ ( x, y, c
)=0
Sea G ( x, y,
-1 y′
una familia de curvas y
tiene por familia de trayectorias
F ( x, y, y′) = 0 la E.D. correspondiente a esta familia
) = 0 la E.D. correspondiente a las trayector ias ortogonales de la E.D. anterior
y ψ ( x, y, c* ) = 0
la familia de las trayector ias ortogonales.
Ejemplos: 1.1Describir las trayectorias octogonales a la familia de curvas dada por y =
C
para C ≠ 0
Dibujar varias curvas de ambas familias. 1.2 Hallar la ecuación de la curva en que la longitud de la proyección de la ordenada sobre la normal es igual a una magnitud constante a.
2 .- PROBLEMAS DE MEZCLAS (i) Si una molécula tiene tendencia a descomponerse espontáneamente en moléculas más pequeñas a una velocidad que no esta afectada por la presencia de otra sustancias, entonces es natural esperar que el número de moléculas de este tipo, que redescompone en una unidad de tiempo será proporcional al número total presente. Una reacción química de este tipo, se llama reacción de primer orden, así, sí:
x0 : es la cantidad de sustancia ( gramos) en el instante inicial x : es la cantidad de sustancia en un tiempo t. k : contante de proporcionalidad. - : indica que la materia se reduce con el tiempo. dx dt
= −kx
⇔
dx x
= −kt
⇒ x = ce- kt
∴ x = x oe
y x ( 0 ) = c = x0
− kt
( ii ) En un proceso puede estar presente un elemento que ni se crea ni se destruye. La cantidad de este elemento en una región dada varía únicamente cuando cierta cantidad del mismo entra o sale cruzando los límites de la región considerada, en tal caso, la ecuación surge de Aumento = entradas – salidas Así sí: x = es la cntidad de Kg. de sal que hay en el estanque al cabo de t minutos. dx dt v0 v0
dx dt
= rapidez de cambio de la cantidad de Kg de sal
lt min lt min
* x0 *
Kg
= velocidad de entrada por concentración
lt x Kg
cap lt
= v0 x 0
Kg min
= velocidad de salida por concentración
- v0
x Kg cap min
cap : capacidad
( iii ) En el caso de una contribución continua la concentración de una sustancia determinada es la cantidad de la misma en la unidad de volumen. Si la concentración es uniforme, se tiene: dx dt dx dt
= ( velocidad ) ( concentración =) = v0
lt min
*
x Kg cap lt
Observación: ( i ) Si las velocidades de entrada y salidas son distintas, entonces varía la concentración, esto es concentración =
x cap + ( v 0 - v1 )
v0 : velocidadd eentrada v1 : velocidadd esalida
( ii ) Concentración es igual a la cantidad x que existe en un instante t / cantidad total de la mezcla. Ejemplo En un tanque hay 200 litros de salmuera que contiene 40 Kg. de sal disuelta. Entra agua al tanque a razón de 20 lt/min. y la mezcla bien agitada sale del tanque a la misma razón ¿Que cantidad de sal ha salido del tanque al cabo de media hora? Solución. x (t ) cantidad de sal en el tanque en el t x (0) = 40 Kg. cantidad de sal en el instante inicial dx x Ecuación: = ce ⋅ ve − ⋅ v s dt V (t ) dx dt
= 0 ⋅ 20 −
x 200
⋅ 20
Dato inicial x(0) = 40
⇒
dx dt
⇒ C = 40
=−
x 10
⇒
⇒
t
−
x = Ce
−
∴ x (t ) = 40e
10
t 10
x (30) = 40e −3
Respuesta.- La cantidad de sal que ha salido es 40 −
40 e
3
Kg ( aprox. 38 Kg. )
Propuestos 2.1 Un depósito contiene 50 litros de una solución compuesta por 90 por 100 de agua y 10 por 100 de alcohol. Se vierte en el deposito a razón de 4 litros / min una segunda solución que contiene 50 por 100 de agua y 50 por 100 de alcohol. Al mismo tiempo, se vacía en el depósito a razón de 5 litros / min, como indica la figura. Suponiendo que la solución del depósito se agita constantemente, ¿cuánto alcohol queda en el depósito después de 10 minutos?.
2.2 Un tanque contiene, en un principio 40 lt de salmuera con 8 Kg de sal en solución. Entra en el tanque a razón de 8 lt por minutos salmuera conteniendo 1/8 Kg. De sal por litro. La mezcla, bien agitada para que sea homogénea, sale del tanque a razón de 4 litros. Hallar la cantidad de Kg de sal que hay en el estanque al cabo de 5 minutos
3.- Crecimiento de población Consiste en determinar el tamaño futuro de una población conocida su tasa de crecimiento. Suponiendo que la tasa de aumento es proporcional en el instante t a la población del momento se tiene: dP dt
= kP
Llamada “ Ley de crecimiento exponencial “ P (t ) = P 0e kt P 0 = población inicial
Ejemplo.Suponga que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambio respecto al tiempo del fenómeno activo x(t ) es proporcional a la cantidad existente. Si x (t ) se duplica en dos horas. ¿Cuánto debe esperarse al final de 8 horas, a al misma rapidez de crecimiento? Solución. x (t ) cantidad de levadura en el instante t t unidad de tiempo en horas x (0) = x0 cantidad de levadura al instante de iniciar el experimento x ( 2) = 2 x0 x (8) = ? dx dt
= kx
Por lo tanto x (0) = x0
⇒
dx
= kdt
⇒
ln x = kt + c
⇒
x(t ) = Ce kt ⇒ x0
= Ce
k ⋅0
⇒ C = x0
⇒
∴
x(t ) = x0 e kt
El otro dato permite determinar el valor de la constante de proporcionalidad k x ( 2) = 2 x0
⇒ 2 x0 = x0 e
k ⋅2
⇒ k =
ln 2 2
≈ 0,346574
entonces
x (t ) = x0 e
(
ln 2 2
)⋅t
, evaluando en t= 8 se tiene x(8) = x0 e 4⋅ln 2 = 16 x0
Respuesta: Al final de las 8 horas se tiene 16 veces la cantidad inicial. 4.- Ley de enfriamiento de Newton La rapidez a la cual decrece la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea de el mismo y la temperatura del medio que lo rodea. Pongamos T (t ) temperatura del cuerpo en el instante t t unidad de tiempo T m temperatura del medio dT
Ecuación:
dt
= k (T m − T )
Ejemplo 4.1 Un trozo de carne de 5lb. que se encuentra 50° F., se pone en el horno a 375 ° F a las 11 horas, 75 minutos después se observa que la temperatura de la carne es 125° F. ¿A que hora estará a 150 ° F( a punto)? Solución.T (t ) temperatura del trozo de carne en el instante t T m = 375 T(0)= 50 T(75)= 125 Ecuación:
dT dt
= k (375 − T )
separando variables T(0)= 50
dt T − 375
⇒ C = −325
= − kdt
⇒
⇒
T (t ) = 375 + Ce − kt
T (t ) = 375 − 325e − kt
T(75)= 125 ⇒ 125 = 375 − 325e − k ⋅75 T (t ) = 150
⇒
⇒ k = −
1 75
ln(
250 325
150 = 375 − 325e −0, 0035t ⇒ t ≈ 105 min.
) ≈ 0,0035
Ejemplo 4. 2 La razón de enfriamiento de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente. Si una cierta barra de acero tiene una temperatura de 1230 o y se enfría a 1030 o en 10 minutos, cuando la temperatura del ambiente es de 30 o ¿ cual es la expresión de la temperatura de la barra en función del tiempo?. Solución.-
Sea T(t) la temperatura en grados centígrados en un instante t (medida desde el momento en que la barra a 1230 º es colocada en un ambiente a 30º). Se supondrá en lo sucesivo que el tiempo t se mide en minutos. dT
La ecuación diferencial a la que satisface T(t) será:
dt
= − k ( T − 30 ) , k>0
donde k es la constante de proporcionalidad, no aportada en el enunciado, que a cambio proporciona el resultado de una medida experimental (a los 10 minutos la barra está a 1030 º ). El signo negativo indica que la temperatura decrece al aumentar t. Separando las variables en la ecuación:
dT T − 30
= − k dt
T − 30 = C e − kt , es decir:
E integrando, se tiene
T ( t ) = 30 + C e − kt .
Aplicando ahora la condición inicial, se obtiene la constante de integración: T(0) = 1230º 1230 = 30 + C ⇒ C = 1200 . ⇒ Luego:
T( t ) = 30 + 1200 e − kt .
El resultado de la medida experimental permitirá hallar el valor de la constante k de proporcionalidad: 1
T(10) = 1030º ⇒
10 10 −k =e 12
1030 = 30 + 1200 e-10 k ⇒
t
10 10 donde t está en minutos. 12
Por tanto, la función buscada es: T(t ) = 30 + 1200
