UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE PETROLEO CURSO
:
Matemática IV
PROFESOR
:
Chunga.
TEMA
:
Aplicación de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería de petróleo.
CICLO
:
ALUMNA
:
2015 II
Moreno Rebolledo Yuvitza de los Milagros
PIURA- PERU 2015
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA INGENIERIA DE PETROLEO
INTRODUCCION La importancia del Cálculo Integral en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología moderna sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas e integrales, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta materia aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas. El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atención a la cantidad de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del desarrollo matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
MARCO TEORICO El presente trabajo trata sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniería y más específico en la ingeniería de petroleo, para conocer a fondo sus aplicaciones es necesario saber primero algunos conceptos básicos de las Ecuaciones Diferenciales y las áreas de trabajo de la ingeniería de petroleo. ¿Qué es una Ecuación Diferencial? Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. ¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden? Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita: dy dx f ( x, y ). Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas. El vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos entre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos de almacenaje de petróleo y combustibles. Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien por convección natural aprovechando las diferencias de niveles entre tanques. Mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales se pueden resolver muchos problemas que todo estudiante universitario o investigador pueda enfrentar durante su vida académica y/o profesional en las investigaciones, desarrollo de aplicaciones, teorías, experimentos, etc. Teniendo este gran espectro de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y siendo el acelerado desarrollo tecnológico y el que se vislumbra en un futuro próximo motor de nuevas exploraciones de la matemática aplicada, se hace necesario que el estudiante de ingeniería tenga un acertado conocimiento del tema que le permita interactuar con mayor facilidad en las decisiones empresariales del futuro. Es por ello que el estudiante universitario debe conocer, desarrollar y aplicar las ecuaciones diferenciales para poder resolver los problemas que se le presentan siendo importante conocer formas de aplicar en su vida cotidiana en el desarrollo de problemas directamente relacionados con la carrera de ingeniería de petroleo.
OBJETIVOS
Desarrollar habilidades para la selección y aplicación de métodos analíticos, cualitativos y numéricos en la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Introducir al estudiante en el análisis de la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Potenciar el desarrollo de competencias para la resolución de problemas propios de la Ingeniería de petróleo. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales aparecen a partir de las familias de curvas geométricas y del intento de describir en términos matemáticos, problemas físicos en ciencias e ingeniería. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Orden de una ecuación diferencial El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. Grado de una ecuación diferencial Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. Solución de una Ecuación Diferencial Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación
homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular: Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en la cual están disueltas 5lb de sal. Si el agua salada está conteniendo 3lb de sal por galón que entra al tanque a 2 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. ¿Cuánta sal está presente después de 10min? ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo?
Formulación matemática: Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego
dA dt
es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y está
dada por: dA dt = tasa de cantidad ganada − tasa de cantidad perdida.
Puesto que entran
2 gal min
3 lb gal de sal
, conteniendo
tenemos que la cantidad de
sal que entra por minuto es: 2 gal min
x
3 lb gal de sal
=
6 lb min
.
Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto, A lb 10 gal
x
2 gal min
=
2 A lb 10 min
De (1), (2) y (3) tenemos
A lb = 5 min dA dt
=
6−
A 5
Puesto que inicialmente hay 5lb de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es: dA A 6− = dt 5 , A = 5 en t = 0 Solución: Usando el método de separación de variables, tenemos: dA
∫ 30− A
=
dt
∫5
ò − ln ( 30− A ) =
t 5
+c
Puesto que A = 5 en t = 0, c = − ln 25. Así, −ln (30− A ) =
t 5
− ln 25 .
ln
[
30− A 25
]
t =- 5
ó A = 30 − 25
e
−t 5
La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t. Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 − 25
e−2
= 26.6 lb.
Después de un tiempo largo, esto es, cuando t=>∞, vemos que A=>30 lb. Esto dA también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
2. Una refinadora de petróleo está situada cerca de un río con fluido constante de 100 m3/seg.; el cual va a dar a la única entrada de un lago de volumen 109 m3. Suponga que en el instante t = 0, la refinadora de petróleo empieza a bombear contaminantes al río a razón de 1 m3 por segundo; y que la entrada y salida del lago son constantes e iguales ¿cuál será la concentración de contaminantes en el lago al cabo de un tiempo t?
Solución: Sea X (t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t; entonces la velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es: kg e ( t ) =6 ¿ ×1 ¿ min También en el instante t, la cantidad de líquido en el tanque es de: v ( t )=1000+ ( 6−5 ) t<¿ La concentración es de: xt kg 1.000+ t ¿ La velocidad de salida de la sal es de: x(t) kg s ( t ) =5 ¿ × min 1.000+t ¿ Luego nuestra ecuación diferencial es: dx 5x =6− dt 1000+t
, x(0)=0
Para resolverla consideremos la ecuación Homogénea: dx −5 x = dt 1000+t Que se puede escribir: dx −5 = dt x 1000+t La solución de la homogénea es: Xh
c (t ) = 5 (1000+t )
Haciendo variar la constante: c = c (t) y reemplazando en la no homogénea tenemos: c ' (x ) 5 6 =6 ⥤ c' ( x ) =6 ( 1000+t ) ⥤c ( t )=( 1000+t ) + c 5 (1000+t) Por lo tanto: x ( t )=1000+t +
c 5 (1000+t )
Como x (0) = 0, tenemos c =10006, y entonces nuestra solución es: 10006 ( ) x t =1000+t− (1000+ t)5 Así, la concentración de sal en el instante t es de: 6
1000 (1000+t)5 10006 =1− 1000+t (1000+t)6
1000+ t−
Tenemos que encontrar t tal que: 1−
10006 63 = 6 ( 1000+t ) 64
Entonces: 6
1 1000 6 = ⥤ ( 1000+t ) =64 × 10006 ⥤ 1000+ t =2000 6 64 (1000+t ) Por tanto: t = 1000 min.
