UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULT FACULTAD DE INGENIERIA INGENI ERIA DE MINAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE PETROLEO CURSO
:
Matemática IV
PROFESOR
:
Chunga.
TEMA
:
Aplicación de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería de petróleo.
CICLO
:
ALUMNA
:
2015 II
Moreno e!olledo "u#it$a "u#it$a de los Milagros
PIURA- PERU 2015
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA INGENIERIA DE PETROLEO
INTRODUCCION La importancia del Cálculo Integral en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología moderna sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas e integrales, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las erramientas del cálculo. !or esa raz"n los cursos de esta materia aparecen en los planes de estudio de todas las carreras cientí#cas y técnicas. $l Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la umanidad. %na vez construido, la istoria de la matemática ya no fue igual& la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva te"rica. 'etrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evoluci"n de ideas que acen posible su nacimiento. $s muy interesante prestar atenci"n a la cantidad de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los a(os para dar lugar, en alg)n momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. $l Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la umanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. *us aplicaciones son difíciles de cuanti#car porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, a recibido su in+uencia y las diferentes partes del desarrollo matemático interact)an constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
MARCO TEORICO $l presente traba-o trata sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en el campo de la ingeniería y más especí#co en la ingeniería de petroleo, para conocer a fondo sus aplicaciones es necesario saber primero algunos conceptos básicos de las $cuaciones 'iferenciales y las áreas de traba-o de la ingeniería de petroleo. /ué es una $cuaci"n 'iferencial0 %na ecuaci"n diferencial es una ecuaci"n en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. 'ependiendo del n)mero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en& $cuaciones diferenciales ordinarias& aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. $cuaciones en derivadas parciales& aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. /ué es una ecuaci"n diferencial ordinaria de primer orden0 %na ecuaci"n diferencial ordinaria de primer orden es una ecuaci"n diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. $stas ecuaciones, -unto con su condici"n inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita& dy dx f 1 x, y 2. Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más cientí#cas. $l vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos entre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos de almacena-e de petr"leo y combustibles. $stas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien por convecci"n natural aprovecando las diferencias de niveles entre tanques. 3ediante la aplicaci"n de ecuaciones diferenciales se pueden resolver mucos problemas que todo estudiante universitario o investigador pueda enfrentar durante su vida académica y4o profesional en las investigaciones, desarrollo de aplicaciones, teorías, experimentos, etc. 5eniendo este gran espectro de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y siendo el acelerado desarrollo tecnol"gico y el que se vislumbra en un futuro pr"ximo motor de nuevas exploraciones de la matemática aplicada, se ace necesario que el estudiante de ingeniería tenga un acertado conocimiento del tema que le permita interactuar con mayor facilidad en las decisiones empresariales del futuro. $s por ello que el estudiante universitario debe conocer, desarrollar y aplicar las ecuaciones diferenciales para poder resolver los problemas que se le presentan siendo importante conocer formas de aplicar en su vida cotidiana en el desarrollo de problemas directamente relacionados con la carrera de ingeniería de petroleo.
OBJETIVOS
'esarrollar abilidades para la selecci"n y aplicaci"n de métodos analíticos, cualitativos y numéricos en la resoluci"n de ecuaciones diferenciales de primer orden. Introducir al estudiante en el análisis de la soluci"n de ecuaciones diferenciales de primer orden. !otenciar el desarrollo de competencias para la resoluci"n de problemas propios de la Ingeniería de petr"leo. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales aparecen a partir de las familias de curvas geométricas y del intento de describir en términos matemáticos, problemas físicos en ciencias e ingeniería. %na ecuaci"n diferencial es una ecuaci"n en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. 'ependiendo del n)mero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en& $cuaciones diferenciales ordinarias& aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. $cuaciones en derivadas parciales& aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. 6rden de una ecuaci"n diferencial $l orden de la derivada más alta en una ecuaci"n diferencial se denomina orden de la ecuaci"n. 7rado de una ecuaci"n diferencial $s la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuaci"n, siempre y cuando la ecuaci"n esté en forma polin"mica, de no ser así se considera que no tiene grado. *oluci"n de una $cuaci"n 'iferencial %na soluci"n de una ecuaci"n diferencial es una funci"n que al reemplazar a la funci"n inc"gnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, veri#ca la ecuaci"n, es decir, la convierte en una identidad. 8ay tres tipos de soluciones& *oluci"n general& una soluci"n de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La soluci"n general es un az de curvas. 5iene un orden de in#nitud de acuerdo a su cantidad de constantes 1una constante corresponde a una familia simplemente in#nita, dos constantes a una familia doblemente in#nita, etc.2. $n caso de que la ecuaci"n sea lineal, la soluci"n general se logra como combinaci"n lineal de las soluciones 1tantas como el orden de la ecuaci"n2 de la ecuaci"n
omogénea 1que resulta de acer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 92 más una soluci"n particular de la ecuaci"n completa. *oluci"n particular& *i #-ando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la soluci"n de la ecuaci"n diferencial, existe un )nico valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuaci"n, éste recibirá el nombre de soluci"n particular de la ecuaci"n en el punto , que recibe el nombre de condici"n inicial. $s un caso particular de la soluci"n general, en donde la constante 1o constantes2 recibe un valor especí#co. *oluci"n singular& una funci"n que veri#ca la ecuaci"n, pero que no se obtiene particularizando la soluci"n general.
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un tanque está llen !n 1" #alnes $e a#ua sala$a en la !ual están $%sueltas &l' $e sal. S% el a#ua sala$a está !nten%en$ (l' $e sal )* #al+n que ent*a al tanque a , #alnes )* -%nut la -e/!la '%en a#%ta$a sale a la -%s-a tasa. En!nt*a* la !ant%$a$ $e sal en el tanque en !ualqu%e* t%e-). 0Cuánta sal está )*esente $es)us $e 1"-%n2 0Cuánta sal está )*esente $es)us $e un t%e-) la*#2
:ormulaci"n matemática& *ea ; el n)mero de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego
dA dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y está
dada por& dA dt < tasa de cantidad ganada = tasa de cantidad perdida.
2 gal
!uesto que entran
3 lb
, conteniendo
min
gal de sal tenemos que la cantidad de
sal que entra por minuto es& 2 gal
min
3 lb
x
gal de sal <
6 lb
min .
Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. !uesto que siempre ay >9 gal en el tanque y debido a que ay ; libras de sal en cualquier tiempo t, la concentraci"n de sal al tiempo t es ; libras por >9gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto, A lb 10 gal x
2 gal
min
2 A lb
<
10 min
A lb < 5 min dA dt <
'e 1>2, 1?2 y 1@2 tenemos
6−
A 5
!uesto que inicialmente ay Alb de sal, tenemos que ; < A en t < 9. ;sí, la formulaci"n matemática completa es& dA dt <
6−
A 5
, ; < A en t < 9
*oluci"n3 %sando el método de separaci"n de variables, tenemos&
∫ 30dA − A
<
∫ dt 5
B=
ln ( 30− A )
t
<
5
c
!uesto que ; < A en t < 9, c < = ln ?A. ;sí,
−ln (30 − A ) =
t 5
= ln ?A .
ln
[
30 − A 25
] < D
t 5
− t
" ; < @9 = ?A
e5
La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t. ;l #nal de los >9min. la cantidad de sal es ; < @9 = ?A
−2
e
< ?E.E lb.
'espués de un tiempo largo, esto es, cuando t
dA dt < 9, puesto
que también ; es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
,. Una *e4na$*a $e )et*+le está s%tua$a !e*!a $e un *5 !n 6u%$ !nstante $e 1"" -(7se#.8 el !ual 9a a $a* a la :n%!a ent*a$a $e un la# $e 9lu-en 1"; -(. Su)n#a que en el %nstante t < "= la *e4na$*a $e )et*+le e-)%e/a a '-'ea* !nta-%nantes al *5 a *a/+n $e 1 -( )* se#un$8 que la ent*a$a sal%$a $el la# sn !nstantes e %#uales 0!uál se*á la !n!ent*a!%+n $e !nta-%nantes en el la# al !a' $e un t%e-) t2
*oluci"n3 *ea H 1t2 la cantidad de sal que ay en el tanque en el instante t entonces la velocidad de entrada de sal al tanque en el instante t es& e ( t )
kg
¿
5ambién en el instante t, la cantidad de líquido en el tanque es de& v ( t )=1000 + ( 6 −5 ) t <¿
La concentraci"n es de& xt
kg
1.000 + t
¿
La velocidad de salida de la sal es de& x ( t ) kg s ( t )
Luego nuestra ecuaci"n diferencial es& dx dt
= 6−
5 x 1000 + t
, x192<9
!ara resolverla consideremos la ecuaci"n 8omogénea& dx −5 x = dt 1000 + t
/ue se puede escribir& dx −5 dt = x 1000 + t
La soluci"n de la omogénea es& c
H ( t ) < ( 1000 + t )
5
8aciendo variar la constante& c < c 1t2 y reemplazando en la no omogénea tenemos& c ' ( x )
5
'
=6 ⥤ c ( x ) =6 ( 1000 + t )
5
( 1000 + t )
6
( )=( 1000 + t ) + c
⥤ c t
!or lo tanto&
( )
x t =1000 + t +
c 5
( 1000 + t )
Como x 192 < 9, tenemos c <>999E, y entonces nuestra soluci"n es& 6
x ( t )=1000 + t −
1000
5
(1000 + t )
;sí, la concentraci"n de sal en el instante t es de& 6
1000
1000 + t −
5
(1000 + t ) =1 − 1000 1000 + t (1000 + t ) 6
6
5enemos que encontrar t tal que& 6
1−
1000
63
( 1000 + t )
6
=
64
$ntonces& 1 64
=
1000
6 6
( 1000 + t )
(
⥤ 1000
6
+ t ) =64 × 1000
!or tanto& t < >999 min.
6
⥤ 1000
+ t =2000
