APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Aplicaciones a la Biología: Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde los microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación. Crecimiento Biológico: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era d! " dt # ! con solución ! # ce $onde c es una constante arbitraria. $e esto vemos que el crecimiento ocurre si % & mientras que el decaimiento 'o encogimiento( ocurre sí ) &. Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada ! de su solución correspondiente es que si % & entonces tenemos que !*+ !*+ si t*+ , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. sto esta en conflicto con la realidad, !a que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo de-a de d e crecer, habiendo conseguido el tamao máximo. /ormulación 0atemática 1upongamos que 2!3 denota la altura de un ser humano 'aunque como !a se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamao de las células(. 4endríamos 4endríamos entonces d! " dx # /'!( ! # 5o para t#& $onde 25o3 25o3 representa la altura en alg6n tiempo especificado t # &, ! donde / es una función apropiada pero aun desconocida. 7uesto que la función lineal /'!( # ! no es apropiada, ensa!emos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática /'!( # ! 8 !9 , ! # 5o para t # &. 7uesto que la ecuación /'!( # ! 8!9 es de variables separables, tenemos
d! " ! 8 !9 # dt ó + d! " ! '8!( # t : c esto es, +;" <;"! :" 8 !=d! # t : c # ;" uando t*+, t*+, vemos, !a que % &, que 5max # lim 5 # " t*+ 7or simple álgebra encontramos Y"a# = li" Y = Y$%Yo & 'YoY' 'YoY' ( Y$Y') *+, Y$- & YoY'
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SE.UNDO ORDEN Movimiento Armónico Simple: La Ley de Hooke: 1upongamos que un cuerpo de masa M esta esta su-eto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido 'por e-emplo un techo(, como se muestra en la figura ?.;b. >uando M se se reempla@a por un cuerpo diferente Mi , el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto. 7or la Le! de Aooe, el resorte mismo e-erce una fuer@a de restitución F opuesta opuesta a la dirección del alargamiento ! proporcional a su magnituds magnitud s. $icho en términos simples, F = ks, ks, en donde k es es una constante de proporcionalidad. Cunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracteri@ado por él numero k . 7or e-emplo, si un cuerpo que pesa ;&lb. alarga el resorte en ;"D pie, entonces, ;& # k ';"D( ';"D( implica que k # D& lb."pie. Luego, necesariamente una masa que pesa E lb. alarga el mismo resorte en D"? pie.
Segunda Ley de Newton: $espués que una masa M se se su-eta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s ! alcan@ara la posición de equilibrio en la cual su pesoW peso W es es equilibrado por la fuer@a de restitución ks. ks. l peso es definido por W = m . g
n donde la masa puede medirse en Filogramos, gramos o geolibras 'slugs( ! g # # G.E mt"s9 , pE& cm"s9 o HDpie"s9, respectivamente. 4al 4al como se indica la figura ?.Db,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks # ks # &. 1i ahora la masa se despla@a de su posición de equilibrio en una magnitud x magnitud x ! ! después se suelta, la fuer@a neta F correspondiente correspondiente a este caso dinámico está dada por la seg/n0a le1 0el "o2i"ien*o 0e Ne3*on, Ne3*on, F = ma, ma, en donde a es la aceleración d9I"dt9. 1uponiendo que sobre el sistema no act6an fuer@as exteriores 'movimiento vibratorio libre(, entonces podemos igualar F a a la resultante del peso ! la fuer@a de restitución m d²x/dt² = - k (s x! mg = - kx mg - ks = - kx cero "#ua#i$n %i&e'en#ia %e Mo)imiento Li*'e no +mo'tiguado: $ividiendo la ultima ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden d²x/dt² k/m x # & o bien d²x/dt² bien d²x/dt² ²x # & n donde 9 # k/m. k/m. 1e dice que la ecuación d²x/dt² ²x # & describe el movimiento armónico simple o movimiento vibratorio noamortiguado. Aa! dos condiciones iniciales obvias asociadas con dicha ecuación x'&( #, dx/dt J # Jt # & Kue representa la magnitud del despla@amiento inicial ! la velocidad inicial, respectivamente. 7or e-emplo si % & ! ) &, se trata trata de una masa masa que parte de un punto a*ao de la de la posición de equilibrio ! a la cual se ha comunicado una velocidad dirigida a#ia a''i*a. a''i*a. 1i ) & ! % &, &, se trata de una masa en 'eoso que 'eoso que se suelta desde un punto que está J Junidades a''i*a de a''i*a de la posición de equilibrio. Los demás casos son análogos.
Sou#i$n y e#ua#i$n de mo)imiento: 7ara resolver la ecuación d²x/dt² ²x # # & observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar M² - w² # # & son los n6meros comple-o M =i y Mi = -i . $e esta forma se obtiene una solución general x 't( # >; cos t : >D sent.
l periodo de las vibraciones libres descritas por la ultima ecuación general planteada es 4 # D" ! la frecuencia es # ;"4 # "D. 7or e-emplo, para x 't( # D cos Ht 8 sen Ht el periodo es D"H ! la frecuencia es H"D. l primer numero indica que ha! H ciclos de la grafica de cada D unidadesM en otras palabras, la masa re ali@a H"D oscilaciones completas por unidad de tiempo. Cdemás, se puede demostrar demostrar que el periodo D" es el intervalo de tiempo tiempo entre dos máximos sucesivos de x't(. /inalmente, una ve@ que h emos determinado las constantes >; ! >D en x 't( # >; cos cos : >D sen t mediante las condiciones iniciales x'&( #, dx"dtJ # Jt # & , $ecimos que la solución particular resultante es la ecuación de movimiento. "emo: Nesolver e interpretar el problema de valor inicial d9x"dt9 : ;O x # & x'&( # ;&, dx"dtJ # & Jt # & sou#i$n: Una formulación equivalente del problema es se estira hacia aba-o de un cuerpo que pende de un resorte hasta que esté ;& unidades ba-o la posición de equilibrio ! luego se le retiene hasta t # &M se le suelta a continuación de manera que parta de un estado de reposo. Cplicando las condiciones iniciales a la solución x 't( # >; cos t : >D sen t. Nesulta x '&( # ;& # >; . ; : >D . & de modo que >; # ;& ! por lo tanto x 't( # ;& cos t : >D sen t. dx"dt # & sen t : >D cos t dx"dtJ # & # >D . ; Jt # & La ultima ecuación implica que > # & ! por lo tanto la ecuación de movimiento es x 't( # ;& cos t.
La solución muestra claramente que una ve@ que el sistema se pone en movimiento, permanece en tal estado, con la masa desla@ándose alternadamente ;& unidades hacia cada lado de la posición de equilibrio x # &. l periodo de oscilación es D" # "D segundos. "emo: Un cuerpo que pesa Dlb. se estira un resorte Oplg. $icho cuerpo se suelta en t # & desde un punto que está Eplg ba-o la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de "H pie"seg. $etermine la función x't( que describe el movimiento libre resultante. Sou#i$n: 7uesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies Oplg # O";D # ;"D pie, Eplg # E";D # D"H pie. Cdemás, debemos convertir las las unidades de peso en unidades de masa. 0 # P"g 4enemos 4enemos 0 # D"HD # ;";OslugM Cdemás, por la Le! de Aooe se tiene D 8 ';"D( lo que implica que # lb"pie. 7or consiguiente, se tiene ;";O d9x"dt9 # 8x ! d9x"dt9 : Ox # &. l despla@amiento ! la velocidad iniciales están dados por x'&( # D"H, dx"dtJ # 8 "H Jt # & n donde el signo negativo que aparece en la 6ltima condición en consecuencia de que a la masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba. Chora bien, 9 # O, osea # E, de modo que la solución general de la ecuación ecuación diferencial es x 't( # >; cos Et : >D sen Et. Cplicando las condiciones iniciales a esta ecuación ecuación tenemos que x '&( # D"H # >; . ; : >D . & '>; # D"H( x 't( # D"H cos Et : E>D cos Et xQ't( # 8 ;O"H sen Et : E>D cos Et xQ'&( # 8 "H # 8 ;O"H . & : E>D .;, '> # 8;"O( Luego >D # 8 ;"O. 7or consiguiente, la ecuación de movimiento es x 't( # D"H cos Et 8 ;"O sen Et.
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