Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
Aplicaciones Geométricas Y
: Y f ( x)
L N A
P ( x, y )
C
D
E
X LT
Ec. Recta Tangente: Y y y' ( X x) Punto A:
x 0 Y y xy'
Punto E:
y y 0 X x y '
Ec. Recta Normal:
Punto C:
d ( P , E )
Long.Normal
Sub. No.
1 ( X x) y '
L N A
P ( x, y )
y 0 X x yy'
Long. Tg.
Sub. Tg.
Y y
Y
: Y f ( x)
(
I
y 2 ) y2 y '
C d ( P , C )
( yy ' ) 2 y 2
d ( D, E )
(
d ( D, C )
y 2 y ) 02 y ' y '
( yy' ) 2 0 2 yy'
D
E
X
LT
Prob oble lem ma: Un tr triian angu gullo for orm mad ado o por la tan ang gente a una cu curv rva a en un pu pun nto cu cual alq qui uier era a de P de el ello loss ,el ej eje e Y y OP (donde O es el origen de coordenadas) es isóscel ele es y tiene su base en el eje Y. Hallar la familia de curv cu rvas as qu que e cu cump mpla lan n lo re requ quer erid ido. o.
Solución: DATOS: OP=AP ADEMÁS POR SER ISÓSCELES: = A=(0,2Y) ADEMÁS : Y’=
=
−2 −0
+ 2
, PERO B=(0,Y)
= -
LNY=-LNX + LNC , DE DONDE.
XY=C
Ejemplo 2 : Hallar la ecuación de la familia de curvas en el plano xy que satisfacen la siguiente propieda propiedad d : " la longitud de la subtangente es igual a la suma de coordenadas del punto punto de tangencia"
Solución :
y y '
x y
donde P(x, y) es el punto punto de tangencia.
Habrán 2 casos : a) Si
y y'
0
y y '
x y y '
y x y
Sea y ux y ' u xu ' u xu '
ux x ux
u xu '
u 1 u
xu'
u 1 u
u xu'
u2 1 u
1 u dx dx 2 1 du u u du u2 x x Integrando obtenemos :
1 y Ln u Ln x C 1 . Como u u x x y Ln Ln x C 1 y x
entonces :
x x Ln y Ln x Ln x C 1 Ln y C 1 y y
x y Ln y C 1 x yLn y c
b) Si
y y y 0 x y y ' y ' y ' x y
Sea y ux y ' u xu ' ux u u u xu ' xu ' u x ux 1 u 1 u 2u u 2 1 u dx xu ' 2 du 1 u u 2u x 1 Ln u 2 2u Ln x C 1 2
u xu '
2
1 c c Ln u 2 2u Ln u 2 2u u 1 2 x x 2
2
2
2
c 1 x
x y c 2 2 2 2 2 1 x y c x 2 xy y c x x
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
PROBLEMA Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas y = a•x2.
En primer lugar planteamos la ecuación diferencial del haz de parábolas:
Las pendientes de las curvas ortogonales a las parábolas consideradas son perpendiculares a las de estas parábolas; por consiguiente, tendremos:
Y esa es la ecuación e cuación pedida.
El pr prob oble lema ma es un cas aso o pa part rtic icul ular ar de dell de en enco cont ntrrar la ec ecua uaci ción ón de la lass cu curv rvas as qu que e co cort rten en co con n án ángu gulo lo cu cual alqu quie ierra, w, a un haz cuya ecuación se da. El pr prob oble lema ma en es este te ca caso so se res esue uelv lve e co como mo si sigu gue. e. Si Sien endo do C un una a cu curv rva a re repr pres esen enta tati tiva va de la fa fami mili lia a da dada da,, en el pu punt nto o P se tendrá:
Análogamente, siendo T una de las curvas que cortan al haz dado con un ángulo w, en el mismo punto P se verificará la ecuación:
Pero
entre
los
ángulos
Con Co n lo qu que e fi fina nalm lmen ente te po pode demo moss es escr crib ibir ir::
implicados
se
tienen
las
siguientes
relaciones:
Problema:
Encontrar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1;3) para la cual: La ordenada PN de cualquier punto P(x ; y) corta a la recta 2x+y-10=0 en un punto punto Q y si sobre PN tomamos un punto M tal que PM = NQ entonces la recta OM resulta paralela a la recta tangente a la l a curva cur va en P. P.
Solución: Del Gráfico, observamos: N(x;0), Q(x;y+2x-10) Como PM = NQ entonces: M (x; y +2x-10) = y' = Entonces: y'= y/x +2 -10/x Después : y'-
=2-
…..(1)
Ecuación diferencial lineal
= x-1 ….(2)
F.I =
Luego (1)x (2):
=
-
entonces
yx-1 = Por tanto Y = 2xlnx 2xlnx + 10 + cx …….(3) Condición inicial: X=1 , y = 3 En (3) C = -7 Por lo tanto en (3):
Y = 2xlnx + 10 -7x
Problema:
Determinar la ecuación de la familia de curvas que gozan de la siguiente propiedad: “ El área del trapecio limitado por los ejes coordenados, la tangente en un punto cualquiera de la curva y la ordenada del punto de tang angenci encia a sea sea siem siempr pre e igua iguall a “b” unidad unidades es cuadr cuadrada adass”.
Por dato: (PB+OA) . OB/2 = b ……………………..( ……………………..( 1) Sabemos que PB = y, OB =x, OA =? Sea A = (0; y1) Entonces Entonces y'= ( y-y1)/x Entonces y1 = y-x y' luego OA =y 1 = y-x y' Reemplazando en (1) (y+ y-x y')x/2 = b → (2xy-2b)-x2
=0
→ (2xy – 2b)dx – x2dy = 0…..(1)
M = 2xy – 2b → N = -x2→
= 2x
= -2x
Son diferentes por ello buscamos el factor integrante
Si depende de X → u(x)=
Donde g(x)=
→
=
→u(x) = x -4
X F.I: (2xy -2b)x -4dx – x-2dy = 0 →M* = 2x-3 -2bx -4, N* = – x-2
Sea F(x;y) = c la solución entonces
= M* y
= N*
De
= N* F(x; y) = dy + h(x) = -x-2y + h(x) ……(2)
De
= M* → 2x-3y + h'(x) = 2x -3y – 2bx-4
h'(x) = – 2bx-4 → h(x) = En (2): F(x;y) = -x-2y + bx-3 = c
bx-3
Problema Hallar una curva que tenga la . propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente se sea a igual a la abscisa del punt pu nto o de co cont ntac acto to..
Y
d
p x0 , y0 y f x
d 1
X
0 Lt
y
x0 . d
Por Por dato dato del probl problema ema
2
x 2 dx 2xydy 0,
y ux dy udx xdu
sea y la ecuación de la tangente es:
mLt | p y' x0
Además
u Lt : y y 0 mLt x x0
y' x0 2 1
y' x0 2 1
1dx 2u udx xdu 0
dx 2u du 0 x u 2 1 d 0, Lt x0
genera generaliz lizand ando o en cualqu cualquierpuntose ierpuntose tiene: tiene:
x0
2
u 2 1 dx 2uxdu 0,
y0 x0 y1 x0
Porcondició Porcondición n del proble problema ma se tiene: tiene:
y0 , x0 y1 x0
x 2 x 2 dx 2 x 2 u udx xdu 0
u
Lt : xy1 x0 y y0 yx0 y1 x0 0
d 0, Lt
2
dx x
1 y
x y xy1 x 1 y1 2 por lo tanto: tanto:
y 2 xyy x Y 2
1
2
y 2 x 2 2xyy1 0
12
x x y 2
2
12
de donde
, integrand integrando o
Lnx Lnu 2 1 Lnc xu 2 1 c
1
1 2
separando separando las variables. variables.
2u du Lnc u 2 1
de donde donde
y xy
es homogénea homogénea
u
y x
x 2 y 2 cx.
PROBLEMA Hallar la curva para la cual, la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje OY, al radio vector es una canti ca ntidad dad con const stant ante e pos positi itiva va
Por dato se tiene tiene La ecuación ecuación de la recta recta tangente tangente es: Lt :
y0= y-M(x-xo)
, de donde Lt :
Para x=0 se tiene luego :
, generalizando generalizando se tiene :
,
Sea : Remplazando:
→
separando las variables:
→
Entonces:
→
PROBLEMA03: Hallar la curva cuyas tangentes corten en los ejes coordenados segmentos cuya suma se igual a 2a.
De la ecuación de la pendiente tenemos:
-
(X-x)…………………………………*
Para el punto (0, y1) Reemplazando en * tenemos: y1=
-
Para el punto (X1,0) Reemplazando en * tenemos: X1= -
Reemplazamos en el dato:
X1 +y1= 2 a -
+ -
=2 a
Ahora derivamos resp ecto a “x”:
1-(
)-
-
=0
= de ahí tenemos dos soluciones:
=0
Y=CX+C1
x=
APLICACIONES FISICAS Un cuerpo es dejado caer verticalmente hacia ab aba ajo con una velocidad inicial Vo en un medio que qu e of ofre rece ce un una a re resi sist sten enci cia a pr prop opor orci cion onal al a la ma magn gnit itud ud de la ve velo loci cida dad. d. En Encu cuén éntr tres ese e un una a re rela lació ción n entre ent re la vel veloci ocidad dad “v” y el ti tie empo “t”.
Solución Haciendo el D.C.L. del cuerpo
v
kv
mg
1)
Una Una pelo pelota ta de masa masa m es lanz lanzad ada a vert vertic ical alme ment nte e haci hacia a arrib arriba a desd desde e la supe superf rfic icie ie de la
tier tierrra con con una una velo veloci cida dad d inic inicia iall V0 V0.. Supongamos que no actúan fuerzas sobre la pelota excep cepto la de grav gravit itac ació ión n mg y la resistencia del aire de magnitud kv , donde v es la velo veloci cida dad d esc escalar alar.. Hall Hallar ar el tiem tiempo po en el cual cual la pelo pelota ta alca alcanz nza a su altu altura ra máxi máxima ma,, así así como como encon encontr trar ar dicha dicha altura altura máxim máxima. a. F=-mg-Kv=ma
Kv
-g-kv/m = a =dV/dt mg
-g = (k/m)V + dV/dt (ecuacion lineal) dy/dx + P(x).y =Q(x) = V0
………(1)
Cuando t=0
……….(2)
ura máxima máxima alcanzada V=0
mos hallado el valor del ti empo que demora demora en llegar a la altura máxima ……………..(3)
scomponemos matemáticamente la velocidad, para luego integrarlo
t=0 el S=0
……………..(4)
Ahora hallamos la altura máxima ya que tenemos el tiempo en que demora en subir la altura máxima y tenemos la ecuacion de la altura
Remplazando Remplazando la ecuacion 3 en 4
Rpta:
PROBLEMA
Una bala se introduce en una tabla de h=10 cm. De espesor con la velocidad de V0= 200 m/s traspasándole con la velocidad V1= 80 m/s. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla.
H=10
V0
Vf
La tabla presenta una fuerza de resistencia por lo tanto planteamos lo siguiente :
F = ma = m
Por condición del problema tenemos:
m Integrando la expresión:
1
Además :
Integrando
2
Finalmente, reemplazamos reemplazamos 2 en 1 teniendo de esta manera:
Reemplazando los datos el valor de t es:
Problema: Un paracaidista(y por supuesto su paracaídas) cae desde el reposo. El peso combinado del paracaidista y su paracaídas es W. el paracaídas tiene una fuerza actuando sobre él(debido a la resistencia del aire) la cual es proporcional a la velocidad en cualquier instante durante la caída. Asum Asumie iend ndo o que que le par paracai acaidi dist sta a cae cae vert vertic ical alme ment nte e haci hacia a abajo y que el paracaídas ya esta abierto cuando el salt salto o ocur ocurre re,, desc descri riba ba el movi movimi mien ento to resu result ltan ante te..
SABEMOS: SABEMOS : Resistencia Resistenci a proporcional a v. R=a.v Condiciones iniciales: v=0 en t=0
Problema:Si nos planteamos que al tratar de limpiar "una piscina, a la cual le hemos añadido el doble de la cantidad de sulfatos permitida, y queremos saber cuánto tiempo tenemos que mantener abierta una entrada de 120 lits/min de agua sin sulfatos y la salida de la piscina que responde a 60 lits/min. La piscina en cuestión tiene 20 m de longitud, 10 m de ancho y 2 m de profun profundid didad. ad. Tendre endremos mos que: que:
Donde el volumen es V = 400m3 = 400 (100cm) 3 = 4 x 108cm3 = 4 x 108 (10-3lit) = 4 x 105lit. Con lo cual el tie mpo para que la cantidad final decaiga a la mitad de la inicial surge de:
PROBLEMA: Se lanza un cuerpo de masa constante hacia arriba, desde la superficie terrestre con una vel elo ocid ida ad in inic iciial Vo. Suponiendo que no hay resistencia del aire perro tom pe oman and do en cu cuen entta com omo o var aría ía el campo gravitacional de la tie ierrra con la altura; encontrar la menor velocidad inicial que necesita tener el cuerpo para que no regrese a la tierra.
La gravedad va en sentido opuesto a la velocidad por lo tanto es negativa. Por fórmula: g
dV dt
dV dh dh dt
V
dv dt
dV dh
GMt ( Rt h)
2
GMt ( Rt h)
2
dh
( R h)
VdV GM
t
2
V 2
2 C.I V o
2
2
GMt Rt h
V = Vo
GMt RT
C
h= O
C
C=
V o
2
G
2
Mt Rt
Si no queremos que regrese debe cumplirse que para h=∞ V=0 V=0
(0) 2 2
=
GMt ( Rt )
V o
V o
2
2
GMt Rt
2GMt
Rt
Problema : Un proyectil de masa m se dispara verticalmente hacia arriba, desde la Tier Tierrra hasta la Luna, na, con veloci ocidad inicial Vo, teniendo en cuenta que las masas de la Tierra y de la Luna son Mt y ML , sus radios son R y r, que la distancia entre ambos es 60R, que R = 4r (aproximadamente ); y que la influencia del Sol, otros planteas y la resis esisttenc encia del del air aire se depr deprec ecia ian, n, hall hallar ar:: a)La a)La veloc elocid idad ad en cual cualqu quiier ins instant ante T b)La velocidad de salida para alcanzar el punto, entre la tierra y la luna, donde la gravedad es nula tenga en cuenta que MT = 81ML, gL =g/6 g/6 c) La velocidad que el proyectil debería tener para abandonar la Tier Tierrra y nunc nunca a regr egresar esar (tambi ambién én llama lamada da veloc elocid idad ad de esc escape) ape)..
Solución:
Aplicando la ley de la gravitación gravitación de Newton: ma = F1 - FT = G →m G …………………….(1) Ahora, sabemos que la atracción atracción de una masa m a la tierra tierra es su pe W = mg Luego: = mg → GMT = gR2 Si gL es la gravedad en la luna, entonces :GML = gR2 En (1): = ………………………(2)
Pero:
=
De (2):
→
además : t = 0 → x = 0, v = v0
=
-
-
=
+c
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales: i niciales: a)
=
-
+
- 2gR -
…………….(3)
b) La gravedad es nula cuando (1) se anula, es decir: G
=G
Como
= 81
entonces
=
Resolviendo: x = Además en este punto (donde gravedad es nula) se tiene que v = 0 En (3) tenemos: → →
-
= 2gR + = 2gR +
-
………………..(4)
Pero r =
, en(4):
= 2gR + También: gL =
–
…………………….( …………………….( 5)
en (5):
= 2gR +
–
→
= 2gR (1+0.0002-0.02)
→
=
c) Para encontrar encontrar la velocidad velocidad de escape, hacemos que la distancia 60R tienda a infinito, por ello de (4): = 2gR →
=
Problema 5:
Problema 3:
Problema 1:
Solución: La descripción matemática es De donde al resolver la ecuación se tiene
Para t = 0, v= 10 m/seg , se tiene
Para t = 5 seg , v=8 m/seg .
Solución:
Para v = 1 m/seg .
De donde seg. RPTA
Trayectorias ortogonales Dada una familia de curvas uniparamétricas F(x,y,c) = 0, es posible encontrar otra familia de curvas uniparamétricas H(x,y,c) = 0 de modo que cada curva de la segunda familia corta perpendicularmente a cada curva de la prime merra familia
Obtención de las trayectorias ortogonales Dada la familia: F(x,y,c) F(x,y,c) = 0 , podemos obtener la y ' f ( x , y )......( I ) ecuación difer diferencial: encial: Par ara a ob obtten ener er la ec ecua uaci ción ón di differ eren enci cial al de la lass tr tra ayec ecttor oria iass ortogonales, reem ortogonales, reemplaz plazamos amos y’ por en (I) (ya que 1 en cad ya' punto de intersección de ambas familias, el producto de las pen end dientes de las tan ang gen enttes es -1 -1)). Nos qued eda a:
1 y'
f ( x, y)
Ejemplo 1: hallar las trayectorias ortogonales a la familia: c
y 1
x
,c 0
c
Solución.- obten Solución.obtenemos emos la ecuación ecuación diferencial diferencial de la familia dada: x c1 dx c
dy 1
c 1
x y ' 1 c
x y xy ' x y ' y1 1 c c y ' y y ' c Reemplazando : xy '
y y y ' y y '
c 1
La ecuación diferencial de las trayector ias ortogonales se obtiene reemplazando y ' por
y yy '
x 1 yy '
1 . Así : y '
Ejemplo 2 : Hallar las trayector ias ortogonales a la familia de curvas :
x 3 y 2c x 2
Solución :
2c x 3 x 2 x 3 1 x 3 y 2 yy ' 2c x 2c x 2 2
2 yy ' yy '
6cx 2 3 x 3 x 3
2c x
3cx 2 x 3
2c x 2
2
2 yy '
6cx 2 2 x 3
2c x 2
2c x
c x y 2 2 y 2 x
1 x
3
3 x
3
2 2 3 x 3 2 x x x 2 1 x 3 2 y 2 y yy ' 2 3 x x 3 2 y 4 y 2 2 2 2 2 2 3 3 x y 3 x y y y 3 x y yy' yy ' y ' 3 3 3 3
2 x
y
2 x
2 x
2
La ecuacion diferencial de la familia de curvas ortogonales obtenemos :
1
y '
3 x 2 y y 3 2 x
3
y '
2 x 3 3 x y 2
3
Sea y ux y ' u xu '
u xu '
2 x
3
3 x 3u u 3 x 3
u xu'
2 3u u 3
xu '
2 3u u
u 3 3u u 4 3u 3 2
3
u xu '
du
2 3u 2 u 4 3 u 3u
2u u dx 2 2 du x x u 2 u 1
dx
1
Lnu 2 2 Lnu 2 1 Ln x C 1 Lnx LnC 2
u 2 1 u 2 1 C C Ln Ln 2 x u 2 2 x u 2 Pero u
y x
:
x 2 y 2 y 2 x 2
2
C
TRAYECTORI AS ISOGONALES
y x
g ( x) f ( x)
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
PROBLEMA Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas y = a•x2.
En primer lugar planteamos la ecuación diferencial del haz de parábolas:
Las pendientes de las curvas ortogonales a las parábolas consideradas son perpendiculares a las de estas parábolas; por consiguiente, tendremos:
Y esa es la ecuación e cuación pedida.
El pr prob oble lema ma es un cas aso o pa part rtic icul ular ar de dell de en enco cont ntrrar la ec ecua uaci ción ón de la lass cu curv rvas as qu que e co cort rten en co con n án ángu gulo lo cu cual alqu quie ierra, w, a un haz cuya ecuación se da. El pr prob oble lema ma en es este te ca caso so se res esue uelv lve e co como mo si sigu gue. e. Si Sien endo do C un una a cu curv rva a re repr pres esen enta tati tiva va de la fa fami mili lia a da dada da,, en el pu punt nto o P se tendrá:
Análogamente, siendo T una de las curvas que cortan al haz dado con un ángulo w, en el mismo punto P se verificará la ecuación:
Pero
entre
los
ángulos
Con Co n lo qu que e fi fina nalm lmen ente te po pode demo moss es escr crib ibir ir::
implicados
se
tienen
las
siguientes
relaciones:
Trayectorias isogonales : a).Dada una familia de curvas f ( x, y, c) 0, existe otra familia g ( x, y, c) 0 que corta a una familia f bajo un angulo .A la familia g se le llama familia de trayector ias isogonales de f y g ( x, y, c) 0 es la solución de la ED. tan tan( )
tan tan 1 tan tan
f ' ( x) g ' ( x) 1 f ' ( x) g ' ( x)
b).En b).En particular particular , cuando 90 , a g se le llama 0
familia de trayector ias ortogonales de f y en este caso g es la solución de la ED
tan tan f ' ( x) g ' ( x) 1 f ' ( x) y '
f ' ( x) y ' 1 f ' ( x) y '
Ejemplo 1 Hallar las trayector iasisogonales a 450 de la familia
y( x c) 1. Solución : tan 450 por
d dx
f ' ( x) y ' 1 f ' ( x) y'
derivación
( y( x c))
1
implícita :
d dx
(1) y ( x c)
y
y
y'
1
dy dx
0
y'
y 2 y 1 2 1 y y' 1 y' x c 1 y 1 y x c y
y
dy dx
y x c
1 y 2 y ' y 2 y ' y ' ( y 2 1) 1 y 2
2 1 2 2 1 y 2 dy dx y 1 y 1 dy 1 1 y 2 tan y x K g ( x, y, c) 0 y 2 tan y x K y 1 2
y '
y 1 2
dx
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CAMBIO DE TEMPERATUR A._ La ley de enfriamiento de Newton Newton establece , que la rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t, es proporcion proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio circundate en el tiempo t y a Tm la temperatura del medio circundate y a To temperatur a inicial del cuerpo(t 0). como la variación de la temperatura puede ser que aumente o disminuya.
Luego de acuerdo a la Ley de emfriamiento de Newto Newton n se expresa mediante la ecuacion diferencial.
dT
k (T T m ) ó
dT
k (T T m ) ya sea que aumente
dt dt o disminuya , donde k es el factor de proporc proporcion ionalidad. Si
dT
k (T T m )
dT
kT kT m Que es una
dt dt ecuación diferencial de primer primer orden y su solución es :
T e kt e kt kT m dt c dondeT T m Ae kt además se debe cumplir para para t 0, T To Luego
T Tm (T 0 T m )e kt
Problema
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisface la siguiente propiedad; la recta tangente a las curvas en cualquier punto P, es la bisectriz del ángulo determinado por la recta vertical que pasa por P y la recta que une P con el origen de coordenadas.
Solución Graficando tenemos:
α α
Dadas las condiciones:
Problema Las curvas equipotenciales de un determinado determinado campo electrostático electrostático se puede aproximar aproxi mar por las elipses ; Encuentre las líneas de fuerza.
Solución: Como sabemos las curvas equipotenciales y las líneas de fuerzas son curvas ortogonales entre si, por lo cual emplearemos propiedades sobre “trayectorias ortogonales”. ……(I)
Derivando:
. Reemplazando:
Resolviendo la integral y remplazando t: RPTA
problema4 Partiendo del origen de coordenadas un hombre se pasea por el semieje y positivo con una velocidad de 100 metros/min.En el instante inicial silva a su perro que se encuentra en el punto (900m,0)y este comienza a correr con una velocidad de 200 mts/min , dirigida en todo momento hacia su dueño. Hallar la ecuación diferencial la curva que describe el perro y el tiempo k tarda en alcanzar a su amo.
SIENDO EL PUNTO R(900.0)
Solución: En un tiempo t minutos , el hombre estará en P=(0,vht) y el perro en el punto P(X,Y) Luego :
=
………………………..(0)
la distancia recorrida por el perro, en dicho instante es el arco AB
Luego AB=-
dX=s…………(1)
Pero: Vpt=200t……………………….(2) (2) en un (1 ):
-
dX=200t
De (0) reemplazamos t: -
Derivando tenemos:
-
= =
→ u+
→ 2
=c
Volviendo a la ecuación :
+
=c
)
…………………..(3)
=
=0 Reemplazando en (3) tenemos: c=1/30 De (3) pasamos el
Y=
-3 0
al otro miembro y elevamos elevamos al cuadrado: cuadrado:
+C1
En t=o → x = 900 → y=0 C1=600 Dea hi la ecuación será: Y=
-3 0
El perro dara alcance en X =0
+600 Y=0
; P(0,600)
Dado que el tiempo es igual para el hombre y el perro 600=Vht1=100 t1 →→→→→ t1= 6min
Ejemplo : A la 1 p.m un termómetro que marca 70 0 F es trasladado al exterior donde el aire tiene una temperatur a de - 10 0 F a las 1.02 p.m.la temreatur a es de 26 0 F a las 1.05 p.m el termómetr o se lleva nuevamente adentro donde el aire está 70 0 F , ¿Cual es la lectura del termómetr o a las 1.09 p.m. Solución Sean T temperatur a del cuepo : Tm temperatur a del aire -10 0 F
La descripción matematica es
dT k (T tm), dt
k factor de proporcion propo rcionalidad La solucion de la ecuacion diferencial es : T T m Ae kt para T T0 se tiene T T m
(T 0 T m )e kt esto es a la 1.p.m y a la 1.02 p.m t 2, t 26 0 F 26 10 80e 2 t K 0.5 ln(9 / 20) Luego T -10 80e
1 9 ln t 2 20
t
9 es decir T 10 80( ) 2 20 5
9 2 a las 1.05 p.m., t 5 min se tiene T 10 80 20 T 0.88 0 F
DESCOMPOSICION , CRECIMIENTO REACCIONES QUIMICAS. La Ley de descomposi ción y de creciemiento , esta dado dS dS por kS para la descomposición y kS para dt dt el crecimiento, en donde K es un factor de proporcion proporcionalidad. Como dS
dS dt
kS , las variables s y t son separables .Luego :
kdt , integrando Ln( s ) kt c S Ae kt es la
dt solución general .si So representa a la cantidad inicial es decir S S0 , cuando t 0, S0 A
PROBLEMA Se sabe que un cierto material radiactivo decae a una velocidad proporcion proporcional a su cantidad de material presente presente .Un bloque de ese material tiene originalmente una masa de 100 gr.y cuando se le observa despúes de 20 años , su masa ha disminuido a 80 grs.Encuentre una expresión para la masa de ese material como función del tiempo . Encuentre tambien la vida media del material.
SOLUCION Sea x (t ) radiactiva de sustancia en cualquier t la descripción matemática es
dx(t ) dt
kx(t )
Resolviendo la ecuación se tiene x(t ) Ae
kt
determinamos la
constante A , para para esto se tiene : Para t 0, x(t ) 100 gr . A 100, Luego reemplazando se tiene :
x (t ) 100e kt determinar emos la constante K para para esto de tiene : para para t 20 años , x(20) 80 80e
luego :
x(t ) 100e
t 5 ln 4
20
20t
k
5 ln 20 4 1
A P L I C A C I O N ES A C I R C U I T O S ELECTRICOS
V
L
i
i i
L
V
V
R
R
L C
Las cantidades R, L, C son generalmente constantes dependientes de los componentes específicos del circuito E puede ser constante o una función del tiempo. El principio fundamnetal que gobierna estos circuitos es la ley de los voltajes de kirchoff ." La suma algebraica de todas las caídas de voltaje en un circuito cerrado es cero" En los circuitos de las figuras anteriores : E R E L E 0 L
dI dt
RI E
E R E c E 0 RI
q C
E 0
PROBLEMA Una fem de 100 voltios se introduce en un circuito que contiene en serie una resistencia de 10 ohms y un condensado r no cargado cuya capacitancia es de 5 10 -4 faradios . Cuando se ha alcanzado el estado permanet perm anetee , se desconecta la f.e.m del circuito .Encontrar la corriente y la carga del condensador 0.01seg .despues dela desconexion de la f.e.m
SOLUCION 1 1 V RC RC q VC 1 e , i ( )e R
El estado permanente (cuando t ) q VC 0.05 Coulomb.i 0. En la segunda parte , cuando se desconecta la fuente en f.e.m V del circuito (t 0)se tiene : para t 0 q q0 0.05 coulomb. y la ecuacion para el circuito de acuerdo a la segunda ley de Kirchoff, con V 0 sera : Ri
q
q0
i
q c
0 es decir :
dq dt
1 RC
q 0, de donde
t q 1 RC dt ln q RC q q0 e q RC 0 0
dq
dq dt
1
q0 RC
t
t
e
RC
Problemademezclas Un tanque contiene un volumen de V litros de 0 salmuera con kg. Q0 de sal disuelta, luego se introduce salmuera con C kg. de sal por litro a E la rapidez de V E litros por minuto y la mezcla, bien agitada, sale del tanque con una rapidez de litros V S por minuto. Determinar en un instante t cualquiera: a) El volumen en el tanque. b) La concentración de sal contenida en el recipiente. c) La cantidad de sal contenida en el depósito en cualquier instante.
Esquema
V E C E
V 0 Q0 V S C S
Solución En un instante in stante cualquiera cualquiera t ,sean : Q(t) = Cantidad de soluto presente en el depósito. V(t) = Volumen en el depósito. C(t) = Concentración de soluto en el depósito. Luego, en un instante t, tenemos: dQ Q E dt QS dt
dQ dt
Q E QS .......... (1)
Además tenemos: C (t )
Q(t ) V (t )
C (t )
Q(t ) V 0 (V E V S )t
Reemplazando en (1): dQ Q E QS C E V E (
dQ dt
Q(t )
)V S V 0 (V E V S )t
V S V 0 (V E V S )t
Q C E V E
A partir de esta ecuación diferencial podemos calcular la cantidad Q de sal presente en el instante t, a partir parti r de la condición inicial
Ejemplo 1 : Un depósito de 3000 litros de capacidad contiene 400 litros de agua pura; pura; en un moment dado entrará agua que contiene sal a razón de 18 Kg./lt a la vez que saldrá por su parte parte inferior la nueva mezcla a razón de 4 lt/min; si la mezcla de agua con sal la hace a razón de 8 lt/min . Calcular : a) La cantidad de sal cuando la mezcla tenga 500 litros. b) La concentración al cabo de 60 minutos de iniciado el proceso proceso.. 8lt / min
C 18 Kg / lt V0 400lt C0 0 (agua pura)
Q0 V 0C 0 0
Vs 4lt/min , Cs ?
Solución : Sea Sea Q (t) la cantidad de sal, presen presente te en el depósito, en el instante t. Tenemos los siguientes datos : Sabemos que
dQ
Q E QS
dt Pero : Q E v E c E 8 x 18 1
QS vS cS 4cS
Pero cS ?
Se observa que la concentración de sal, con la cual sale la mezcla (CS ) en un instante dado es igual a la concentración de sal en ese mismo instante (c(t)). Luego :
c(t) cS
Cálculo de c(t) ?. Sabemos : c(t )
Q(t ) v(t )
donde c(t) es concentración en un instante cualquiera.
Pero v(t ) v0 (v E vS )t volumen en un instante cualquiera
v(t ) 400 (8 4)t 400 4t c(t )
Q(t )
cS 400 4t Q(t ) Q (t ) QS 4 400 4t 100 t dQ Q (t ) dQ Q(t ) Entonces : 1 1 Ec. lineal 100 t dt dt 100 t 1 1 Sea p(t) dt Ln(100 t ) P (t ) 100 t 100 t construimos el factor integrante :
e P (t ) e Ln (100 t ) 100 t
Multiplicamos la ecuación por el factor integrante, queda :
Q (t )(100 t )' 100 t Q (t )(100 t ) 100t 1 t 2 c 2
Q (t )
1 1 2 100 t t c 100 t 2
Cálculo de c : Para t 0 Q 0
Q (t ) a) Q Q1
0c 0
1 1 2 100 t t 100 t 2
? , cuando v 500 Sabemos que v(t) 400 4t , ´para t t1 v (t1 ) 500 400 4t 1 t 1 25minutos. 1 1 2 Q1 100 x 25 25 22.5 Kg . 125 2
b) c(60) ?
t1 60
Para c(60)
Q(60) 400 4(60)
Q(60) 640
Pero Q(60) 48.75
c(60)
48.75
640 c(60) 0.076kg/lt
Problema 4:
PROBLEMA: Considere un tanque usado en experimentos hidrodinámicos. Después de un experimento, el tanque contiene 200 litros de una solución entintada, con la concentración de 1 g/ g/llitro. Para preparar el siguiente experimento, el tanque se enjuagará con agua no contaminada a una razón de 2 litros/minuto, y la mezcla sale del tanque a la misma tas asa. a. Co Con nsi side derran and do ag agit itac ació ión n un unif ifor orme me,, ha hall lle e el tie iemp mpo o en que el tanque tendrá una concentración del 1% de su val alor or in inic icia ial. l.
Piden hallar el tiempo para el cual el tanque este con el 1% de concentración . No entra tinte adicional, hay agitación uniforme.
Tasa de salida del tinte: razón de salida del agua x concentración entre capacidad del tanque
Condiciones iniciales
Reemplazando las condiciones del problema: 1% (2g)
Donde t está expresado en minutos
Problema5 Un deposito de 3,000 litros de capacidad contiene 400 litros de agua pura; en un momento dado entrara agua que contiene sal a razón de 1/8 kg/litro ala vez que saldrá de su parte inferior la nueva mezcla a razón 4 litros/minutos; si la mezcla de agua con sal se hace a razón de 6 litros/minutos, calcular: -la cantidad de sal cuando la mezcla tenga 500 litros.
Kg/Lit it SIENDO: CI= 8lit/min; CII= Kg/L
C0= o(agua pura); Xo=
;Vs=4lit/min ;Vo=400
Solución Sea X la cantidad de sal presente en el depósito, en el instante t tenemos lo siguiente:
=Xe-Xs………… =Xe-Xs…………ecuación Pero : Xe=Ve.Ce=8*1/8=1 ……………………… (1) Xs=Vs.Cs=4 Cs…………………… (2) Se observar que la concentración de sal de la cual sale mezcla(Cs)en un instante dado es igual a la concentración de sal en ese mismo instante (C(t))
C(t)= Cs C(t)=
sabemos que :
………..(3)……concentración en un instante t
V(t)= V0+( Ve- Vs)t……..volumen →
V(t)=400+4t
Xs=
en un instante t
reemplazamos en (3) primero luego en (2) tenemos:
…………………………(4)
Reemplazando (4) y (1) en la ecuación tenemos lo siguiente:
+ Hacemos:
=1…………………… ..ECUACION x
+k (100t+
Resolviendo Tenemos :
Para t=0
LINEAL
→→→
X=0 →→→
(100t+
)
C=0
)
RESPUESTAS:-X=X1 cuando V=500
De la ecuación V(t)=400+t 500=400+4t →→→→t=25 minutos Reemplazando en la ecuación general tenemos: X=22.5 Kg
Dos tanq anques contie tienen cada ada uno v galo alones de agu agua empez pezand ando en el tiem iempo t=0 t=0, una solu soluci ció ón a lb/ lb/gal de un solv solve ente quím uímico ico fluy luye dentro tro del tanqu anque e I a la tasa asa de b gal/min . La mezcla luego entra y sale del tanque II a la misma tasa. Asum Asumie iend ndo o agit agitac ació ión n comp comple leta ta en ambo amboss tanq tanque uess mues muestr tre e que que la cantidad de químico en el tanque II después de un tiempo t>0 es
Considere un tanque usado en experimentos hidrodinámicos. Después de un experimento, el tanque contiene 200 litros de una solución entintada, con la concentración de 1 g /litro. Para preparar el siguiente experimento, el tanque se enjuagará con agua no contaminada a una razón de 2 litros/minuto, y la mezcla sale del tanque a la misma tasa. Considerando agitación uniforme, halle el tiempo en que el tanque tendrá una concentración del 1% de su valor inicial.
Piden hallar el tiempo para el cual el tanque este con el 1% de concentración . No entra tinte adicional, hay agitación uniforme. Tasa de salida del tinte: razón de salida del agua x concentración entre capacidad del tanque
Condiciones iniciales
Reemplazando las condiciones del problema: 1% (2g)
Donde t está expresado en minutos
Problema: Un tanque tanque esta lleno con 10 galones(gal) galones(gal) de agua salada en la cual estan disueltas 5 lb de Sal. Agua salada conteniendo conteniendo 3 lb de sal por gal entra al tanque tanque a 2 gal por minuto, minuto, y la Mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
Solución: Su tasa de cambio es A/dt Entra 2 gal/min conteniendo 3 lb/gal: Inicialmente hay 10 gal en el tanque en A libras En un tiempo t: Luego tenemos: Inicialmente A=5 en t=0
Ejemplo 2 Un tanque contiene originalmente 400 litros de agua limpia entonces se vierte en él agua que contiene 0,050 kg de sal por litro, a una velocidad de 8 lit/min y se deja que la mezcla salga con la misma rapidez .Despues de 10 minutos se detiene el proceso y se vierte agua limpia en qel tanque a la rapidez de 8 lit/min dejando salir la mezcla con la misma rapidez . Determine la cantidad de sal en el tanque despúes de 20 min.
SOLUCION
dq dt
8 400
q 0.4
t
u e
50
t
q( x)e
q(t ) 20 ce
50
dq
1 / 50 0.4
dt
t
0.4e dt c 50
t 50
condición inicial : t 0 q 0; c 20 t
q( x) 20 20e
50 1
para t 10 min q ( x) 20(1 e ) 50
dq dt dq q
8 400
dt 50
q 0
dq dt
0 Lnq
q 50
t 50
0 t
LnC q(t ) Ce t
50
1
condición inicial : t 0 q 20(1 e ) c 20(1 e ) 50
1
t
50 1
q(t ) 20(1 e )e para t 20 min q(20) 20(1 e )e 50
50
50
t 50
kg
Problema: Por un agujero circular de área Ao, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a , donde 0
PROBLEMA 1. Se cuelga un cable homogéneo entre los soportes de una estructura a una misma altura. Despreciando la velocidad del viento, determinar la ecuación de la curva que contiene el cable (catenaria).
I N G . C A R L O S R O J A S S E R N A U N I F I M
Solución: De la figura:
Desarrollando: Hallando la segunda derivada: Cambio de variable: Pero: Del sistema de ecuaciones:
Tenemos:
Hallando la ecuación:
Por lo tanto obtenemos:
{solución}
PROBLEMA 2. Antes tes del mediodía odía el cuerpo de una aparen rente victim ctima a de homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temp tempe eratur tura con consta stante nte a 70 70ºF ºF. Al me med diodí iodía a, la temp tempe eratur atura a de dell cue cuerpo rpo es 80ºF y a la 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75ºF. Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento del ase asesin sinato ato era 98,6º 8,6ºF F ¿Cu ¿Cuál fue la hor hora del ase asesin sinato? ato?
Solución: Sabemos por la Ley de enfriamiento de Newton: Para Para Para Hacemos:
(1)/(2)
Reemplazamos Reemplazamos en la ecuaci ón: Ahora, para Por lo tanto, la hora del asesinato fue:
.
VACIADO DE TANQUES
PROBLEMA
Suponga que el agua sale de un depósito por un orificio circular de área Ak en su fondo. Cuando el agua sale por el orif or ific icio io,, la fr fric iccció ión n y la con ontr trac acci ció ón de la cor orrrie ien nte ce cerrca de dell orif or ific icio io reduce cen n el volu lume men n de ag agu ua que sa sale le del de dep pósi sitto.. Determine la ecuación diferencial para la altura h del agua en el instante t para el depósito que se muestra a continuación. El radio del orificio es de 2 pulg y g= 32
Solución El volumen del agua en el tanque en el instante instante t es V w = Ah Con esa ecuación podemos plantear una diferencial entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua en el recipiente:
Hemos conseguido una ecuación diferencial en base a los parámetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, hay, a modo de condiciones iniciales iniciale s unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta ecuación
Usando
sustituyendo estos valores para las condiciones establecidas:
Hallar el tiempo en vaciar el cono de Radio “R” en la base con 3 agujeros de area “a” como se muestra en la figura
Finalmente hallamos el tiempo total=Tt=t1+t2+t3
Problema: Se tiene un recipiente recipiente recto recto cuya cuya sección transver transversal sal es como como semielse de semiejes a y b (a>b). (a>b). Su altura altura en H. tendido tendido en posición posición l recipiente en posición horizontal y base rectangular rectangular hacia arriba ) , se le llena de agua. Si en esa es a posición, en el fondo fondo presenta un orificio de de salida de sección sección transversal transversal A, calcule el tiempo de vaciado, sabiendo que su coeficiente de gasto es c.
Sean V(t) y h(t) el volumen y la altura de agua agua en el recipiente Por Torricelli: dV = -cA
dt ……………..(1)
Además Además:: dV = -A(h)d -A(h)dh h = -2xHdh ……………..(2) Pero (x;h )E elipse que tiene ecuación.
+
=1
Entonces x = En (2): dV = -2
dh = cA
dt
→-
t=
Para t = 0 → h= b, en (3): k = -
En (3): t =
-
Para h = 0 →
-
+ k ………(3)
PROBLEMA 3. Una esfera con radio R está llena de agua. Se hacen dos agujeros de área A en sus puntos más alto y más bajo para que entre el aire y salga el agua. Usando c=0.6, encontrar los valores de T1 y T2 en segundos, necesarios ios para que salga la mita itad y la tota otalidad dell agua, de agua, respe respectiv ctivame amente nte..
Solución: Datos: V(t) = volumen del agua en un instante t h(t) = altura del nivel de agua en un instante t Sabemos: (para vaciado de tanques)
Condiciones iniciales: t=0
h=2R
Para que salga la mitad del agua (T 1), hacemos h = R Para que salga la totalidad del agua (T 2), hacemos h = 0
PROBLEMA 4. Una 4. Una lancha se desplaza a la velocidad de v = 10 km/h, estando las aguas tranquilas. En plena marcha su motor fue desconectado. Al cabo de t=20 segundos, la velocidad de la lancha bajo hasta v 1 = 6 km/h. Considerando que la fuerza de resistencia del agua al movimiento de la lancha es proporcional a la velocidad de ésta, hallar la velocidad de la lancha a los 2 minutos de para el motor. Hallar también la distancia recorrida por la lancha durante un minuto después de parar el motor. I N G . C A R L O S R O J A S S E R N A U N I F I M
Solución: De la segunda ley de Newton: Tenemos:
Es la ecuación de la velocidad para cualquier instante.
Condiciones iniciales: t = 0 Para t = 20 seg
v = v0 = 10 km/h <> 25/9 m/s
v = 6 km/h <> 5/3 m/s
Para t = 2 min = 120 seg Ahora: La longitud recorrida se expresa de esta forma: Para t = 1 min = 60 seg Longitud recorrida por la lancha al minuto de apagar su motor: Velocidad de la lancha a los 2 minutos de apagar su motor:
I N G . C A R L O S R O J A S S E R N A U N I F I M
PROBLEMA 5 . Halle alle el númer úmeroo de calo aloría rías/ho s/horra que que pas pasa a tra través vés de 1m2 1m2 de la pared de una habitación frigorífica de 125 cm de espesor y K=0,0025, la temperatura en la cara interior es -5°C y en la cara exterior es 30°C según:
100 cm.
125 cm.
100 cm.
Solución: A 10000cm 10000cm2
100 cm. x=125 cm.
K 0,0025 x=0
100 cm.
De la ecuación:
Q KA
12 5
0
dT dx 5
Q KA 30
dT dx
Reemplazando:
Q(125) 25.(35) Q 7cal / s 25200cal / h
Problema: Se tiene un recipiente recipiente recto cuya sección transver transversal sal es como semielipse semielipse de semiejes a y b (a>b). Su altura en H. tendido en posición horizontal horizontal ( eje del recipiente en posición horizontal horizontal y base rectangular hacia arriba arriba ) , se le llena de agua. Si en esa posición, en el fondo presenta un orificio de salida de sección transversal transver sal A, calcule el tiempo de vaciado, vaciado, sabiendo que su coeficiente de gasto gasto es c.
Sean V(t) y h(t) el volumen y la altura de agua agua en el recipiente Por Torricelli: dV = - cA
dt ……………..(1)
Además: dV = -A(h)dh = - 2xHdh ……………..(2) Pero (x;h )E elipse que tiene ecuación.
+
=1
Entonces x = En (2): dV = -2
dh = cA
dt
→-
t=
Para t = 0 → h= b, en (3): (3): k = -
En (3): t =
-
Para h = 0 →
-
+ k ………(3)
PROBLEMA 6. Cierto producto químico se disuelve en agua a una velocidad proporcional a la cantidad aún no disuelta y la diferencia entr en tre e la con concent centrració ación n en una solu soluci ción ón satu saturrada ada y la con concent centrració ación n en una solución real. Se sabe que en 100g de una solución saturada, están disueltos 50 g de sustancia. Si se agitan 30 g de un producto químico con 100 gr. de agua, en 2 horas se disuelven 10 gr.
Solución:
Concentración saturada =50/100
30 gr.
t=0
Cantidad disuelta
30-x gr.
Cantidad no disuelta
x gr. t=t
Del enunciado:
dx dt
Concentración real:
k .( x).(C sat C r )
x 20 k .( x). dt 100
dx
dx k .dt x.( x 20) 100 100
30 x 100
Dato t = 2horas
20 gr .
Cantidad disuelta =10
1
20
30
x
.dx
20
30
1
x 20
.dx
Calculando k 20
20
ln x 30 ln x 20 30
k 5
k 20 30 ln 2. 5 40 50
ln x
2
k
5 .dt 0
2
.t 0
5 5 k . ln 2 6
5
k x ln .t x 20 30 5 0
x 3 ln k x 20 5 5 x 5 5 ln . .ln x 3 20 2 6 ln
x 12,2769
Cantidad disuelta=30-x =17.723 gramos
PROBLE PRO BLEMA MA 7. Hallar la curva cuya tangente forma con los ejes coor coord den enad ados os un triá triáng ngul ulo o de áre área cons consta tan nte S =2a =2a Solución:
(0,h)
Y=f(x)
(x,y)
h
(b,0)
b
Nos dicen: A
bxh bxh 2
S 2a
Es decir bxh=4a …..(1)
Pero
y '
También:
y '
y h x y
x b
h y y ' x
b x
y y '
Reemplazando en (1)
y x y y ' x 4a y '
xy' y y '
. y y ' x 4a
y y ' x 2 y '
4a y y ' x 4ay' 2
Sea:
y ' p y xp 4ap
Derivando (3)
y ' p xp'
1 2
1
4ap 2 4ap'
2a p' 0 x 4ap Si p=0 p
cte. c cte
En 3 : y xc 4ac soluci solución ón gene general ral
....(3)
Cálculo de la solución singular del sistema del sistema: si stema:
y xc 4ac x
2a
4ap
y
Eliminado “p”
obtenemos:
Rpta: curva
0
y
a x
a x
Después de perman manecer abier ierto por un tiempo lar largo el PROBLEMA 8. Des conmutador en el circuito de la figura se cierra para t=0 ¿En qué mom momento después de t=0 la magnitud tud de i(t) i(t) es máxima ima?
1µF
80mH
i(t) 200
200 300 t=0 +
-
30v
Solución: Al inicio: 1µF
80 mH i1
i2 i(t)
200
+ 300
18
t=0
-
+ -
30 v
200
i(t)= i2-i1
En el inductor la corriente es igual a 30/(200+300)=0,06 A En el capacitor la corriente es igual a (30-18)/200=0,06 A Para i1: vR 200
80 mH vl
i1
vl v R 0 0,08
di1 dt
di1 dt
200i1 0
2500i1 0
i1 k .e 2500 , k cte cte t
k: corriente inicial (t=0) Del sistema la corriente inicial (inductor) (i nductor) es 0,06
i1 0,06.e2500t ...(I )
Para i2: 1µF i2
vc
vR
200
v R
vc 0
1 i2 dt 0 c di 1 200 2 6 i2 0 dt 10 di2 5000i2 0 dt 200i2
i2
m.e 5000t , m cte.
m: corriente inicial (t=0) Del sistema la corriente inicial (capacitor) es 0,06 i2 0,06.e5000t ... II
i(t) = i2 i1 0,06.e 5000t 0,06.e 2500t it 0,06.e 5000t e 2500t di dt
0 0,06. 5000e 5000t 2500e 2500t
2500e 2500t 5000e 5000t
e 2500t 2 t
1 . ln 2 2500
t 0,277ms. Tiempo necesario=0,277 ms.
PROBLEMA 9. Según la ley de newton de enfriamiento la velocidad a la que se enfría una sustancia al aire libre, es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire 30ºC y la sustancia se enfría de 100ºC a 70ºC en 15 min. ¿Al cabo de qué tiempo la temperatura de la sustancia será 40ºC? Solución: dT T m k .(T T m ) T m :Temp. del medio (aire libre) dt
t 0 min T 100º C t 15 min T 70º C
dT dt
k .T 30k
k: cte. real fija
T (t ) C 1 .e kt 30
:30ºC
100 : C 1 30 C 1 70 t 0 T 100
4 ln 7 t 15 T 70 : 70.e15t 30 k 15 Nos piden el tiempo si T=40
4 7 t
ln
40 70.e
15
30
1 1 4 ln . ln .t t 52,158 7 15 7 Al cabo de 52,128 min. la temperatura de la sustancia será 40ºC
PROBLEMA 11. Bajo ciertas condiciones, la cantidad cte Q cal/s de calor que pasa a través de una pared esta dado por Q kA
dT dx
Dond onde K cond onductivid ivida ad tér térmica ica del mat material ial A (cm (cm2) es la superficie de una cara de la pared perpendicular a la dirección del flujo, T es la temp tempe eratur atura a a una dista istanc ncia ia x (cm) (cm) Halle la pérdida de calor por hora a través de una longitud de un metro de la tubería mostrada si la superficie interior es 200°C y la exterior 30°C, además el conducto de vapor de 20 cm. de diámetro está protegido ido por un recubrimie imien nto de 6 cm. de espesor y K=0,0003.
Solución:
A 2 . x.L
K=0,0003
Qdx K . A.dt Qdx 2 . x. K . L.dt 16
Q
dx
30
2 . x. K . L.dt
200 x 16 Q ln 2 . x. K . L.(170) 10 10
Q
2 .(0,0003).(100).(170) ln( ln(1,6)
Q 68,178 cal / s Q 245,44 kcal / h
Pérdida de calor: 245,44 kcal/h
cal / s
PROBLE PRO BLEMA MA 12. Un cuerpo de peso W cae partiendo del reposo. Si la
resis res iste tennci ciaa del ai aire re es pr prop opor orci cion onal al a la ve velloc ocid idad ad y la ve velo loci cida dad d lí lími mite te es de 52 m/s, hallar la distancia recorrida en la caída en un tiempo de 5 segundos (g = 10 m/s2).
Solución:
Segú Se gúnn la segu gunnda le leyy de New ewto ton: n: Obtenemos la ecuación diferencial lineal: Factor Fact or inte integrant grante: e:
Cond Co ndic icio ione ness in inic icia iale les: s: t= t=0 0 v=0 Velo Ve loci cida dad d li limi mite te (t ∞):
Para: t=0
Para t=5 seg.
x=0
{e. d. lineal}
PROBLEMA 13. Considere una población de peces P(t). Supongamos que
la población población inicial inicial es de 100 peces, estos peces son una combinación combinación de tr truc ucha has s ma madu dura ras s he hemb mbra ras s y ma mach chos os.. Pa Para ra ba bajo jos s ni nive vele les s de población y considerando los factores ambientales se sugiere que las fun unc cion one es que nor orm malizan la tasa de crecimien entto y pér érd dida poblacional son inversamente proporcionales a la raíz cuadrada de la población pobla ción presente presente en el inst instante ante t. Sob obrre la bas ase e de la de desc scrrip ipc ción ant nter erio ior, r, ob obte tene nerr un mo mode dello matem ma temát átic ico o pa para ra la pob pobla laci ción ón de pe pece ces s y en enco cont ntra rarr un una a so solu luci ción ón general para P(t). Dado que la población después de 6 meses será de 169peces, 169pece s, estimar estimar cuánt cuántos os peces estarán estarán en el estanq estanque ue después del primer año. Utilizando el mismo modelo, ¿cuál será el tamaño del la población después de cinco años?, y luego ¿qué puedes decir acerca de la exactitud del modelo matemático para los grandes tamaños de población?
Solución: Dado que las tasas de mortalidad y las de natalidad se normalizan, pode odemos mos escr escrib ibir ir la ecuac cuació ión n de balan alance ce como como
Don Donde B y D son las las funcione ones que normaliz lizan las las tasas respectiva ivas. Según el problema las funciones que normalizan las tasas del nacimiento y mortalidad son inversamente proporcionales a la raíz cuadrada del tamaño de la población ión, o Por lo tanto, la ecuación ión de balan lance de poblac lación se convier ierte en Donde k es constante. De este modo, el modelo matemático de este siste sistema ma es simp simple leme ment nte. e. Esta sta es un una a ecuac cuació ión n sep separa arable, ble, cuy cuya solu soluci ción ón se pue puede den n de des sarro arroll lla ar de la siguiente manera. En primer lugar rescribir la ecuación de bala balanc nce e como como
La integración de ambos lados da Y despejando la solución general para la población de peces se conv convie iert rte e en
Ahor Ah ora, a, apli aplica cand ndo o la cond condic ició ión n inic inicia iall da
por lo que
y la solución es La tasa de crecimie imien nto constante, k, se puede deter termin minar a partir de los datos que figuran en el problema. Sabemos que después de 6 meses, Eval Ev alu uand ando en (3) (3) par para t=6. t=6.
Con la tasa de crecimiento constante conocida, podemos utilizar l a ecuación (3) como un modelo predictivo. La evaluación de esta expresión en t = 1 año (12 meses) y de nuevo a los 5 años (60 meses) da
Así, vemos que la población de peces crece con bastante rapidez, sobre todo a mayores valores de P (ya que la tasa de camb ca mbio io de P es pr prop opor orci cion onal al a ). Este modelo, sin embargo, predice que en un tiempo ilimitado el crecimiento poblacional será excesivo, y esto no es físicamente posible para un estanque de tamaño finito y limitados suministros de alimentos. El modelo puede ser adecuado en un período de varios años, pero finalmente su naturaleza sin límites darí da ría a lu luga garr a gr gran ande dess er erro rore ress en un entorno real limitado. De la comparación del modelo predictivo y la capacidad real peri pe riód ódic ica a de po pobl blac ació ión n de pe pece cess se aler al erta ta al us usua uari rio o de la ne nece cesi sida dad d de modif mo dific icar ar el mo mode delo lo mat matem emáti ático co pa para ra este ecosistema. A la derecha tenemos la gr gráf áfic ica a de la est estim imac ació ión n de dell mo mode delo lo para distintos valores de k. En este caso su valor fue de 1.
I N G . C A R L O S R O J A S S E R N A U N I F I M
PROBLEMA 14. .- La fuerza de marea es un efecto secundario de la fuerza de PROBLEMA gravedad que es responsable de la existencia de las mareas. Es el resultado de la diferencia de potencial gravitacional que existe a lo largo del diámetro de un cuerpo. Suponiendo que inicialmente la forma del cuerpo más grande era una esfera, la fuerza de marea que tenderá a convertirla en un elipsoide. El Límite de Roche es la distan dis tancia cia mín mínima ima que pue puede de so sopor portar tar un cuer cuerpo po,, que man mantie tiene ne su es estru tructur ctura a únicamente por su propia gravedad y que orbita un cuerpo masivo, sin comenzar a I N G desintegrarse desintegrar se debido a las fuerzas de marea que genera el objeto principal. Esto . C es lo A R L que sucede con la tierra y la luna. Por último el ritmo de recesión es la velocidad O con S R O la que los cuerpos cuerpos cel celes este tess o las galaxia galaxiass se ale alejan jan entre si, y es inv invers ersame amente nte J A S S proporcional a la sexta potencia de la distancia. Calcular el tiempo que le tomo R E a la N A luna llegar a su posición actual act ual respecto de la tierra. Datos: U N I F I M
Solución: Hallando el valor de k
Reemplazando en (1) e integrando sería
Resolviendo tenemos
Donde sería la dista distancia ncia actual actual a la que se se encuentr encuentran an y sería la distancia distancia inicial inicial mínima mínima a la que que pudi pudier eron on esta estarr o en otr otras pala palabr bras as el Lími Límite te de Roche oche.. Ento Entonc nces es reemplazando valores en (2)
PROBLEMA 15. En mayo de 1993 la población mundial alcanzó alcanzó los 5.5 mil millones y a partir de entonces aumentó a la tasa de 250 mil personas por día. Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes. ¿Para cuando se esperaría una población mundial de 11 mil millones?
SOLUCIÓN Partimos de esta ecuación diferencial denominada ecuación de
crecimiento natural o exponencial:
dx dt
Integrando se obtiene: En nuestro problema:
x x(t) e .e c
kt
k . x
A.e kt
P(t) P 0 e kt
Donde: P (t)=: Población mundial en miles de millones t : en años
……..(1)
Datos: P O 5.5
En t = 0 (1993) El aumento significa:
P 'O 0.00025(365 365.25) 0.0913
dP
De la ecuación
dt
Lim t
P kP t
k
Donde: P: Número de individuos : Tasa de mortalidad : Tasa de natalidad Entonces obtenemos:
P 0' 0.0913 1 dP 0.0166 k . 5 . 5 P dt P t 0 0
De esto deducimos que la población en 1993 estaba creciendo a la tasa de 1.66 por ciento De la Ec (1):
11 P (t ) 5.5 e
0.0166T
T
Ln(11/ 5.) 0.0166
42 (años)
Corresponde al año 2035, suponiendo que las tasa de natalidad y mortalidad se mantuviesen constantes, la población mundial se estaría
PROBLEMA 16. Un espécimen de carbón vegetal encontrado en Stonehenge resultó contener 63% de de que una muestra de carbón carbón vegetal actual de de igual masa ¿Cuál es la edad de la muestra?
SOLUCIÓN Tomamos: t = 0 el instante de la muerte del árbol del cual el carbón de Stonehenge fue hecho N0: # de átomos de C14 que la muestra de Sstonehenge contenia contenia Ahora: De la Ec:
N 0.63N 0
k= 0.0001216
0.63 N 0 N 0 e kt
T
Ln(0.63) 0.0001216
3800 (años)
14
C
PROBLEMA 17. Una tina hemisférica hemisférica tiene un radio superior superior de 4 pies y en el instante t= 0 está completamente llena de agua. En ese momento, en el fondo de la tina se abre un agujero circular con diámetro de 1 pulg. ¿Cuánto tiempo tardará en salir toda el agua del tanque?
SOLUCIÓN Datos:
Ahora, y(0) = 4, asi que
g = 32.2 pies/s 2
t 72.
448 448 15
2150 s
esto es, casi 35 min 50s De esta manera el tanque se vaciará en un poco menos de 36 min
La ley de Newton del enfriamiento dice que la temperatura de un objeto cambia a una tasa prop pr opor orccio iona nall a la di differenc ncia ia de tem empe perratur uras as en enttre el objeto y su entorno. Suponga que la temperatura de una taza de agua caliente obedece la ley de enfriamiento. Si la taza tiene una temperatura de 200º F cuando le acaban de verter el agua y un minuto más tarde la temperatura de la taza ha bajado hasta 190ºF, en un cuarto de donde la temperatura es de 70ºF, determine t para cuando la temperatura de la taza es de 150ºF.
Siguiendo las indicaciones del problema, la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperaturas.
Condiciones iniciales
Segundo juego de condiciones
Resolviendo para T=150
Donde t está expresado en minutos
PROBLEMA
Antes del mediodía el cuerpo de una aparente victima de homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante a 70°F, a mediodía la temperatura del cuerpo es de 80°F y ala 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75°F. Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento del asesinato era de 98.6°F¿Cúal fue la hora del ases sesinato?
Para resolver este problema haremos con LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON:
Siendo: T: Temperatura de la sustancia que generalmente generalmente el que hay que hallar. : Temperatura del medio circundante. K: Constante de proporcionalidad.
RESOLUCIÓN: →→
==- dt
ahora pasamos a la respectiva integración en ambas partes :
Ln(T Ln(T-- )=-k )=-kt+ t+Ln Ln(C (C)) T=
C.
Sabemos que: por dato del problema. * Para t ̥ =0 =0 → T=98.6 °F C=28.6 °F ** Para t ̥ =t =t → T=80 °F 80=28.6. *** Para t ̥ =t+60 =t+60 → T=75 °F 75=28.6. De la ecuación **: -1.0508=-kt Ahora en la ecuación ***: -1.7439=-k(t+60) De la cual obtenemos: k=0.01155 De ahí reemplazamos en ** lo que nos da: t=90.9783min Entonces la hora del asesinato tenemos como tomamos el tiempo”t” para el medio día lo restamos los 90.9783 minutos lo l o que nos daría como resultado que el asesinato fue: 10:29 a.m