Aplicaciones de Las Funciones Vectoriales

Universidad Nacional de Trujillo Aplicación de una función vectorial vectorial

Introducción:

El mundo real es tridimensional (sin entrar en consideraciones relativistas), así que gran cantidad de magnitudes del mundo real son vectoriales, y los vectores son absolutamente necesarios para poder modelar matemáticamente la realidad. La mayor parte de la física es vectorial desde el momento que el desplazamiento es vectorial, la mayor parte de magnitudes derivadas de él los son: velocidad, aceleración, fuerzas, etc. De esta forma mediante vectores podemos explicar cosas como: Cinemática: Simplemente conociendo movimientos de una sola dirección y haciendo combinaciones de ellos mediante vectores, podemos entender movimientos en dos y tres dimensiones como el tiro parabólico, fácilmente entendible haciendo una composición de movimientos en dos dimensiones mediante vectores. Dinámica: Las fuerzas son vectoriales, de forma que la acción de un conjunto de fuerzas sobre un cuerpo, no sólo va a depender del valor de las mismas, sino también de su punto de aplicación (una puerta se moverá de forma diferente si aplicas una fuerza cerca o lejos de su eje), dirección y sentido. Es decir hay que tener en cuenta el carácter vectorial de las fuerzas para poder saber el efecto que tendrán. Campos: Tanto el campo gravitatorio, como el eléctrico como el magnético tienen también carácter vectorial, con lo que la acción de varias cargas sobre otras, no sólo dependerá del valor de ellas, sino de cómo están colocadas respectivamente, lo que conlleva a considerar las direcciones entre ellas (carácter vectorial) Electricidad: Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones. di mensiones.

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Función vectorial Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de núm eros reales tales que su contra dominio es un conjunto de vectores. Las gráficas de estas funciones son curvas las cuales también puede representarse representarse mediante ecuaciones paramétricas. paramétricas. Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

 =   +  



 =   +   + ℎ   

Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:  =<  ,   >   =<   ,   , ℎ >

Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).

Y

2 

3 

1 

Figura 1.1

X

La curva en el plano

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) pun to (x, (t) coincide con el punto

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y) o (x, y, z) de la curva dada por las

Z 3  2   1 

Y

ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 1.2. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t . Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la la intersección de los dominios de las funciones f, g y h.

Figura 1.2 La curva C es trazada por el punto

X

final del vector posición r(t)

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes. R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizadas por 3 ecuaciones   

X = f(t) y = g(t) z = h(t)

Una función vectorial se expresa como: R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

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Aplicaciones de las funciones vectoriales A.

Medición de las escalas de impacto del movimiento de las placas tectónicas

Un campo donde se aplican las funciones vectoriales es en la medición de las escalas de impacto del movimiento de las placas tectónicas es decir de los temblores:

Si se analizara más a fondo los movimientos de las placas tectónicas y se identificaran lo epicentros será más fácil y más útil el hecho de analizar an alizar estos sismos: -

Y así se evitarían grandes catástrofes como la de 1985 en la ciudad de mexico:

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1. Campo vectorial de las placas tectónicas El objetivo para poder encontrar dicho movimiento consistiría en hallar un campo vectorial. En general, se denomina campo vectorial a una función vectorial de n variables y n componentes (es decir, n = m) Continuando con la misma idea del campo vectorial unidimensional, podemos representar un campo vectorial bidimensional para el movimiento de las placas tectónicas. Para ello utilizamos un plano, que corresponde a las variables independientes x e y, y en cada punto (x; y) dibujamos un vector (f1(x; y); f2(x; y)). Se puede representar análogamente un campo vectorial tridimensional. Por ejemplo podemos representar el campo gravitacional de la Tierra que es la fuerza que esta ejerce sobre una masa unidad situada en un punto r = (x; y; z), y si tomamos el origen de coordenadas en el centro de la Tierra, según la ley de Newton es

 = − .















3

 =   , ,   = − . 3

 , − . 3

, − . 3

 

Dónde:   

G es la constante universal de la gravitación M es la masa de la Tierra y  = ‖ ‖ es la distancia del punto considerado al centro de la tierra.

El movimiento de un fluido alrededor de un vórtice, en dos dimensiones, está dado aproximadamente por el campo de velocidades     ,   =  2 , −   + 2 2 + 2

2. Movimiento de las placas tectónicas Para hallar una funcione vectorial que indique el movimiento de las placas tectónicas se puede usar diferentes herramientas matemáticas para modelamiento de una función. En ingeniería existen diferentes modelos matemáticos para evaluar procesos naturales, las diferencias pueden atribuirse al alcance y a los métodos de modelación de estos. Los procesos pueden ser de naturaleza física, química o biológica, como la reproducción de especies biológicas, la degradación de especies bioquímicas, o descomposición de especies, la difusión, la dispersión, La absorción, las reacciones, cinéticas, los procesos termodinámicos, entre otros.

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El movimiento que nosotros vamos analizar es el movimiento de las placas tectónicas. En este trabajo se da una explicación de un modelo básico para el entendimiento de la posición, velocidad y aceleración, mediante el uso de modelos matemáticos utilizando Matlab como herramienta de simulación. Matlab es el nombre abreviado de laboratorio de Matrices (MATrix LABoratory). Es un programa que integra análisis numérico, matrices, procesamiento de señales y gráficas, es relativamente simple de utilizar con características más avanzadas, comparado a los lenguajes de programación como basic, pascal o C, con un gran desempeño para el cálculo numérico computacional y de visualización. Para ciertas operaciones es muy rápido, en algunas otras resulta bastante más lento que el código equivalente desarrollado en C/C++ o Fortran, que son los lenguajes en los cuales está basado este programa. Entorno de Matlab Al iniciar por primera vez Matlab, se obtiene una pantalla como la que se presenta en la figura 1, de ser diferente, eligiendo la opción View/Desktop Layout/Default, se puede regresar a la configuración inicial. Esta pantallapresenta la ventana de comandos (Comand Window), donde se ejecutan los comandos y funciones de MATLAB, escribiéndolos a continuación del cursor característico (prompt, >>), el cual indica que el programa está preparado para recibir instrucciones. La ventana denominada espacio de trabajo (Workspace), contiene información sobre todas las variables que se hayan definido en esta sesión. La ventana historia de comandos (Command History), muestra las últimas instrucciones ejecutadas en la ventana de comandos. La ventana directorio actual (Current Directory), muestra todos los ficheros del directorio activo, el cual en la parte superior presenta además la ruta de acceso al directorio de trabajo, eligiendo la opción mostrar por archivo (browse by folder), definido por el botón con tres puntos, se puede modificar fácilmente el directorio en el cual se quiere trabajar

Figura 1.3 Pantalla de inicio de MATLAB

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Otra ventana muy importante en MATLAB es la del editor que permite tanto crear y modificar programas de Matlab, así como ejecutarlos paso a paso para ver si contienen errores (proceso de depuración, Debug). Muestra con diferentes colores los diversos tipos o elementos constitutivos de los comandos (en verde los comentarios, en rojo las cadenas de caracteres, etc.). El conjunto de comandos o funciones (programas), creados en el editor son almacenados como archivos-M (Mfiles), los cuales son de tipo texto en formato ASCII. La importancia de estos archivos es que al teclear su nombre en la línea de comandos y pulsar intro, se ejecutan uno tras otro todos los comandos contenidos en dicho fichero. El poder guardar instrucciones y grandes matrices en un fichero permite ahorrar mucho trabajo de tecleado, y además, debido a que son archivo de tipo ascii, estos se pueden crear con cualquier editor de ficheros como Notepad, entre otros. Una opción interesante es que seleccionando varias líneas y presionando el botón derecho del ratón, se accederá a un menú contextual que permite, entre otras cosas, transformar estas líneas en comentarios, utilizando el carácter %.

Figura 1.4 Pantalla editor de comando

Velocidad y rapidez instantáneas & Aceleración Normalmente se conoce la velocidad de una partícula en un intervalo de tiempo finito, pero con frecuencia es necesario conocer la velocidad de una partícula en un instante de tiempo en particular, conocido como velocidad instantánea, x, el cual es igual al valor límite del cociente x/t, conforme t se acerca a cero  = 



 

=

 

La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero, lo cual indicara la dirección de esta respecto de un sistema de coordenadas, mientras que la rapidez instantánea de una partícula se define como la magnitud de su velocidad, sin considerar el signo de esta. La aceleración promedio de la partícula se define como el cambio en velocidad x, dividido entre el intervalo t durante el

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cual ocurre dicho cambio, mientras que la aceleración instantánea es el límite de la aceleración promedio cuando t se acerca a cero.  = 



 

=

 

A partir de estas expresiones podemos definir diferentes parámetros de la trayectoria, como la distancia en un intervalo de tiempo, la posición, la velocidad máxima alcanzada, la cual se obtiene a partir del cruce por cero de la aceleración, al igual que la máxima distancia alcanzada que se obtiene del cruce por cero de la velocidad. Para iniciar, se escribe la ecuación de la trayectoria de una partícula y se gráfica para conocer el movimiento realizado, partiendo de la expresión x=-2t +6t Se evalúa para una trayectoria de 0 a 4 segundos, donde x representa la posición en metros y t el tiempo transcurrido en segundos. Una vez que se encuentre en el directorio en el cual desee realizar sus programas, teclee edit en la ventana de comandos o presione el icono nuevo archivom, a continuación escriba los siguientes comandos clc t = 0:1e-2:4; x = -2*t.^3+6*t.^2; subplot(3 1 1) plot(t,x)

El primer comando se utiliza para limpiar la ventana de comandos, el segundo comando se utiliza para colocar comentarios que nos sirven para explicar el programa, el tercero define un vector t, cuyo límite inferior es 0 y el superior es % Posición 4, avanzando en 13-2 valores de t, es decir el primer dato será 0, el segundo 0.01, el tercero 0.02, etc., hasta llegar a 4, el cuarto comando define la ecuación tomando en cuenta que el símbolo ^, se utiliza para definir potencias y el punto antes de esta se debe a que trabajaremos con vectores, el comando subplot se utiliza para dividir la pantalla de presentación de graficas en la cantidad de líneas y columnas expresadas por los dos primeros números, el tercero indica la posición en la cual colocaremos la gráfica, así para el ejemplo dado, se tiene que habrán 3 líneas 1, columna y se utilizara la primera posición de tres posibles para la gráfica, por último el comando plot se utiliza para graficar los valores encontrados para x, respecto de t. La figura 3, presenta el resultado obtenido Una vez realizado lo anterior en la siguiente línea, a continuación del plot se excribe syms

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Ec_x = -2*t.^3+6*t.^2; Ec_V= diff(Ec_x) Ec_a= diff(Ec_x,2) tV= solve(Ec_a) tx= solve(Ec_V) Estos comandos servirán para obtener las ecuaciones de velocidad y aceleración, a partir de la ecuación de posición, el comando syms se utiliza para definir variables simbólicas en matlab, que a manera de ejemplo el número 2 puede representar una cantidad, en donde seria básicamente una variable numérica, mientras que si el 2 únicamente lo interpretamos como el símbolo, sin que exprese una cantidad entonces se define como variable simbólica, una vez realizado lo anterior el comando diff servirá para realizar la derivada de la ecuación Ec_x, siendo la primera derivada la velocidad y derivando nuevamente se obtiene la ecuación para la aceleración, la segunda derivada es realizada a partir del 2 que colocamos a continuación de Ec_x, por otro lado está el comando solve, este permite despejar la variable t, tanto de la ecuación de aceleración como de la ecuación de velocidad, lo que servirá para conocer el tiempo en que ambos cruzan por cero. El resultado encontrado por matlab es Ec_V = 12*t - 6*t^2 Ec_a = 12 - 12*t tV = 1 tx = 0 2 Lo anterior puede ser visualizado debido a que no se utilizó el punto y coma (;), al final del comando. Una vez que se conocen las ecuaciones para la velocidad y aceleración, se procede a escribir lo siguiente clear t; t=1; V = 12*t - 6*t.^2 t=2; x = -2*t.^3+6*t.^2

El primer comando se utiliza para limpiar la variable t, de esta forma ya no será simbólica y la podremos utilizar nuevamente como variable numérica, a continuación se evalúan los datos encontrados para t=1, tiempo en el cual la aceleración cruza por cero y para t=2, que es el tiempo en el cual la velocidad es cero. Obteniéndose V=6 y x=8 que son los valores para velocidad y posición máximos en la trayectoria de la partícula.

Por último se escribe

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t = 0:1e-2:4; V = 12*t - 6*t.^2; a =12-12*t; xlabel('tiempo (s)') ylabel('Posición (m)') subplot(3 1 2) plot(t,V,'g') xlabel('tiempo (s)') ylabel('Velocidad ylabel('Velocidad (m/s)') subplot(3 1 3) plot(t,a,'r') xlabel('tiempo (s)') ylabel('Aceleración ylabel('Aceleración (m/s^2)') El primer comando crea nuevamente el vector para t, se definen las ecuaciones de velocidad y aceleración, y por último lo graficamos. El resultado obtenido se presenta en la figura 4. Como extra se agregó el comando xlabel y ylabel que se utilizan para identificar identificar los ejes de cada la línea de la gráfica, definido por la letra inicial de su nombre en inglés, expresado entre apostrofes dentro del plot.

El manejo de herramientas de cómputo para la simulación de procesos puede ser de mucha utilidad para el entendimiento de métodos matemáticos, físicos, ambientales, etc., en este trabajo se presentó la simulación de la velocidad y aceleración de una partícula, evaluando y visualizando los datos a partir de diferentes comandos. Se determinó la máxima posición y velocidad alcanzada por la partícula a partir de las ecuaciones de velocidad y aceleración respectivamente. La habilidad de utilizar lenguajes de programación es además un auxiliar en la solución de problemas de diferente índole, razón por la cual se considera una herramienta a ser considerada.

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3. El vector velocidad y aceleración del movimiento de las placas tectónicas: Supongamos que una partícula se mueve en el espacio de 2 ó 3 dimensiones de modo que su posición en el instante t referida a un cierto sistema coordenado venga dado por un vector X(t). Cuando t varía en un intervalo de tiempo, el camino recorrido por la partícula es sencillamente la gráfica de X. Así pues, la función vectorial que hemos hallado anteriormente nos sirve como modelo matemático para describir el movimiento. A la función vectorial r(t) la llamamos función posición del movimiento. Los conceptos físicos tales como vector velocidad, velocidad, y vector aceleración pueden definirse en función de las derivadas de la función de posición. DEFINICIÓN. Consideremos Consideremos un movimiento descrito por una función vectorial r(t). La derivada r'(t) se llama vector velocidad en el instante t. La longitud del vector velocidad. La derivada segunda X"(t) del vector posición, se llama vector aceleración.

Así denotamos el vector posición por  =   +   +  

Se define el vector velocidad (vector tangente) y el vector aceleración en el instante t como:   =  ′  =  ′  +  ′   +  ′  =  ′′  =  ′′  +  ′′   +  ′′

De esta manera se podría hallar una curva que represente el movimiento de las pl acas tectónicas y una aproximación del lugar del contacto de entre ellas

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B. Lectura del recorrido orbital. A través de los años el ser humano a tratado de analizar la creación de nuestro de planeta pl aneta y no tan solo de nuestro planeta sino también de nuestro sistema solar; es por eso que los físicos de todas las épocas han hecho hasta lo imposible por tratar de descifrar los secretos que esconde el sistema solar. Un tema muy singular del cual se tiene más conocimiento por las grandes aportaciones de los físicos es la medida de las distancias entre los planetas, de sus anillos en algunos casos singulares, la medida de sus orbitas; entre muchos temas muy interesantes, a pesar de la basta información con la que se cuenta en la actualidad sobre estos temas los físicos y los matemáticos se han aliado para saber con exactitud las medidas de estas. Para este fin las funciones vectoriales y sus derivadas son y serán demasiado útiles, para la medición de las orbitas gravitacionales, ya que si estas no se midieran y se alteraron en alto grado lo que pasaría con los planetas es que llegaría un punto en el que colisionarían al ser atraídos por sus campos gravitacionales.

Además de esta aplicación a continuación detallo como se puede realizar el cálculo de dichos campos gravitacionales y de los recorridos gravitacionales de los planetas, a través de la radiación. Para llegar a una descripción de un campo vectorial f se considera un punto arbitrario k (x, y) y se define el vector de posición r = xi + yj de k (x, y), se ve que f (x, y) es ortogonal a r y por lo tanto, es tangente a la circunferencia de radio ||r|| con centro en el origen. Este hecho puede demostrarse probando que r. F (x, y) = 0, como sigue:

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R. F (x, y) = (xi + yj). (- yi +xj)= -xy + yx = 0. Además, || f (x, y) || = √y2 + x2 = || r ||

Por lo tanto, la magnitud de f (x, y) es igual al radio de la circunferencia. Esto implica que cuando el punto k (x, y) se aleja del origen, la magnitud de f (x, y) aumenta como sucede en el caso de la rueda giratoria. Definición: sea r = xi + yj + zk el vector posición de un punto k (x, y, z). Se dice que un campo vectorial f es un campo de variación inversa al cuadrado de la distancia si F(x, y, z) = c_ u || r ||2 Donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la misma dirección que r y está dado por u = 1_ = r. || r || Para el cálculo de trayectorias o del recorrido de las orbitas se aplican una serie de teoremas: Independencia de la trayectoria a una curva regular parte por parte con extremos a y b se

le llama a veces trayectoria de a a b. A continuación se class=”hiddenspell class=”hiddenspellerror” error” pre=”se independientee de la “>obtienen condiciones bajo las cuales una integral de línea es independient trayectoria en una región, en el sentido de que si a y b son puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valor para todas las trayectorias de a a b en esa región. Los resultados se demostrarán para integrales de línea en dos dimensiones. Las demostraciones para el caso de tres dimensiones son similares y se omiten. Si la integral de línea ∫c f (x, y) ds es independiente de la trayectoria, se denota a veces por ∫ba f (x, y)ds porque el valor de la integral depende sólo de los extremos a y b de la curva c. Una anotación similar se usa para ∫c f (x, y)dx y ∫c f ( x, y)dy y para las integrales de línea

en tres dimensiones.

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Teoremas Teorema de Green El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema general teorema de Stokes. Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva. Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.

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Teorema de Green Sea c una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea f(x;y) = (p;q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región d acotada por c. Entonces: Demostración del teorema de Green Notase que el teorema de Green quedará demostrado si se prueba que

Para demostrar la ecuación 1 expresemos d como una región tipo i:

Donde y derecho

son funciones continuas. Esto permite calcular la doble integral del lado de la ecuación 1 como sigue:

Donde en el último paso se sigue el teorema fundamental del cálculo. Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 1 descomponiendo como la unión de las cuatro curvas , , y como se muestra en la figura. En tomamos como el parámetro y escribimos las ecuaciones para-métricas como . Entonces:

y

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Observe que va de derecha a izquierda, pero va de izquierda a derecha, de modo que podemos escribir las ecuaciones para-métricas de

En

como

y

,

y

es constante, de modo tal que

. Por lo tanto:

y

Por lo tanto,

Comparando esta expresión con la de la ecuación 3, vemos que,

La ecuación 2 se puede probar en forma muy semejante al expresar d como una región tipo ii. Entonces sumando las ecuaciones 1 y 2, obtenemos el teorema de green. El teorema de green green se cumple aún para regiones que tengan uno o más hoyos, siempre que que cada cada parte de la frontera esté orientada de modo que quede siempre siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones ordinarias.

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Conclusiones

Para concluir con nuestro trabajo se puede adicionar que las funciones vectoriales son muy importantes ya que las utilizamos en muchas situaciones de la vida como para describir movimientos, velocidades de partículas ya sea en el plano o en el espacio.

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BIBLIOGRAFÍA 1. Milton Cortez, calculo III 2. D. M. Etter, Engineering problem solving with matlab, Ed. Prentice-Hall, USA, 1993, p. 434 3. Llopis, Gálvez, Rubio, López, curso teórico-práctico de fundamentos físicos de la ingeniería 4. Tom M. Apóstol, Francisco Vélez Cantarell, Volumen 1. Cálculo con funciones de una variable 5. Raymond A. Serway y Robert J. Beichner, Física para ciencias e ingeniería, Tomo I, Quinta edición, Editorial McGraw-Hill, México, 2002, p.705

WEB GRAFIA:

1. http://funcionvectorialvite.wordpress.com/2009/10/12/aplicaciones-de-lasfunciones-vectoriales-en-la-fisica-las-matematicas-y-la-vida-social/ 2. http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20100604152937AAletvX 3. http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/Grupo1B/curves.pdf

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Aplicaciones de Las Funciones Vectoriales

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