Cál cu cull o de áreas y vol vol úmen ene es por por i n te tegr gral ale es dob dobll es Docente: H el ga Kell Kell y Qui r oz Chavil
Integrantes:
A dri dr i ana B auti aut i sta B alcá al cázar. ar . Anali An ali Guer Guer r er o Vi ll oslada oslada.. A n yel yel M oral or ale es Saavedr aavedra. a. E n i d Reye Reyess U r upeque. upeque.
Curso: M atemá atemáti ca I I .
Tema: Cál cul cu l o de d e vol úmenes men es de sól sól i dos do s y ár eas de r egiones gi ones planas pl anas por i nte nt egració gr ación n doble dobl e.
E scuel cuel a prof pr ofe esi onal : I n gen gen i er ía de M i n as
Cicl Ci clo/ o/ Se Secci cci ón : I I I - “A”
2014
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Introducción Para la comprensión adecuada de las integrales múltiples de deben saber los siguientes puntos:
Métodos de integración Geometría analítica Superficies Coordenadas polares Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. En este informe se estudiaran las aplicaciones de las integrales dobles para hallar áreas y volúmenes. Se ha tratado de hacerlo de la manera más explicativa posible para el mejor entendimiento de resolución de problemas. Además se ha incluido cambio de orden de integración, Integrales Dobles Mediante Coordenadas Polares, Integrales Iteradas en coordenadas polares, Jacobiano polares, Jacobiano de una función de d e n variables, Cambio de d e variables va riables en las integrales dobles, Aplicaciones de la integral doble en la que se incluye centro de masa de una lámina y momento de inercia de una lámina
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Introducción Para la comprensión adecuada de las integrales múltiples de deben saber los siguientes puntos:
Métodos de integración Geometría analítica Superficies Coordenadas polares Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. En este informe se estudiaran las aplicaciones de las integrales dobles para hallar áreas y volúmenes. Se ha tratado de hacerlo de la manera más explicativa posible para el mejor entendimiento de resolución de problemas. Además se ha incluido cambio de orden de integración, Integrales Dobles Mediante Coordenadas Polares, Integrales Iteradas en coordenadas polares, Jacobiano polares, Jacobiano de una función de d e n variables, Cambio de d e variables va riables en las integrales dobles, Aplicaciones de la integral doble en la que se incluye centro de masa de una lámina y momento de inercia de una lámina
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Cál cu cull o de áreas y vol úmen es po porr i n t egr al es dobles : Cál cu cull o de volú vol úmenes por i n tegr tegral ale es doble dobl es
Considerando la función , continua sobre la región cerrada , D. el volumen del solido S bajo la superficie z=f(x,y), que tiene como base la región Des dado por la expresión:
Ejemplos:
1) Encontrar el volumen de la región acotada acotada por los tres planos coordenados y el plano x+2y+3z=6 Solución: Usando integrales dobles y proyectando la región sobre el plano xy tenemos:
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Usando integrales dobles y proyectando la región sobre el plano yz
tenemos:
2) Hallar el volúmen del cuerpo limitado por los planos coordenados y el plano
Solución:
4
. / . / . /, . / . / 0 . /1 , -
3) Hallar el volúmen del cuerpo limitado por los planos coordenados, los planos x=4 e y=4 y el paraboloide de revolucion
Solución:
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Cálculo de áreas por integral es dobles
Consideremos la función tal que: f(x,y)=1, dado por:
Ejemplos:
, continua en la región cerrada D, , entonces el área de la región plana D es
√ √
1) Hallar el área por integración doble de la región limitada por las parábolas Solución:
, y la recta x=4
6
√ √ √ √ √ √ √
2) Hallar el área de la región R limitada por las curvas
Solución:
7
Luego la región R es dado por.
* ⋀ +
Luego el área es dado por:
3) Calcular el área de la región comprendida por D: por integración doble. Solución:
,
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√ ∬ ∫∫ ∫ (√ ) . /
Cambio de orden de integración: En muchos casos una integral iterada puede evaluarse más fácilmente si se invierte el orden de las variables en la integración. Esto se obtiene conociendo perfectamente la región.
Ejemplos: 1) Calcular
∫ ∫ √
* + Solución: Sea
Graficando la región de integración D se tiene.
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∫ √ , ∫ ∫ 2) Calcular la integral doble Solución: Sea
graficando la región D.
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√ √
3) Evaluar la integral Solución:
Sea
∫ ∫√
graficando la región D.
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√
I ntegrales Dobles M ediante Coordenadas Polares.
En esta sección veremos cómo se realiza el cambio de variables de una función f(x,y) de las coordenadas (x,y) a las coordenadas polares (r, ).
Consideremos una región D R² acotada por decir:
y a
; es
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Trazando rectas a través del polo y círculos con centro en el polo, se obtiene una partición P de la región D, que viene a ser una red de “n” regiones llamadas rectángulos curveados.
||
A la norma de la partición representaremos por y es la longitud de la diagonal más grande de los rectángulos curveados.
̅ ̅ ̅ ̅ ̅
El área del i-ésimo rectángulo curveado áreas de los sectores circulares, es decir:
Donde
es igual a la diferencia de las
Consideremos una función f: D R² R continua sobre D y sea ( i, punto en la i-ésima sub región con de Riemann se tiene:
i ,
i-1
Tomando límite cuando
i)A(ri)
=
i,
i)
i.
un
luego formando la suma
∑ ∫̅ ̅|| ∑ ∫̅ ̅ ̅ i,
i )
ri.
i
0 se tiene
|| ̅ || ̅ ̅ 13
∬ ̅ ̅ | |
A este límite denotaremos por
, es decir
Observación: sobre la región D en el plano coordenado polar situaremos la superficie donde f: D R² R es una función continua sobre D con , en D.
Luego el sólido comprendido en la región D y la superficie tiene un volumen V dado por:
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I ntegrales I teradas en coordenadas polares: Consideremos dos casos para el cálculo de las integrales mediante coordenadas polares.
1er caso: consideremos la región polar D dado por
* +
y sea f: D R² R, una función
continua sobre D.
Luego la integral en coordenadas polares es:
* + 2do caso: consideremos la región polar D dado por
y sea f: D R² R, una función continua sobre D.
Luego la
integral doble
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en coordenadas polares es:
Observación: para pasar de una integral doble en coordenadas cartesianas a una integral doble en coordenadas polares se tiene la relación:
∬ , por lo tanto:
Ejemplos:
1) Calcular la integral doble cuarte parte del círculo cuadrante. Solución:
, donde D es la
, que se halla en el primer
Sea
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2) Calcular la integral doble encerrada por la cardiode Solución:
∬
, donde D es la región , sobre el eje X.
2 Sea
Ahora calculamos la integral doble, mediante coordenadas polares:
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, -
Jacobiano de una función de n variables
Sea una función transformación continuamente diferenciable dado por F(u,v)=(x,y), donde x=x(u,v), y=y(u,v).
El Jacobiano de F es dado por:
Ejemplo:
La función que transforma coordenadas polares coordenadas cartesianas esta dado por donde entonces el Jacobiano de F es:
en
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Consideremos una función g definida en un conjunto cerrado D, es decir Supongamos que , es una función continuamente diferenciable y uno a uno en un conjunto abierto U. Si S es un conjunto cerrado contenido en U tal que g es la imagen de F es S; es decir:
* +
Como las funciones coordenadas son
entonces el Jacobiano
de F es:
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Ejemplo:
Sea
una transformación definida por donde Jacobiano de F es:
, entonces el
Cambio de variables en las integrales dobles: En las integrales ordinarias el método de sustitución nos permitirá calcular integrales complicadas, transformándola en otras más sencillas, es decir:
( ) ∬ ∬
En forma similar existe un método para las integrales dobles, es decir, que se transforman una integral doble de la forma
, extendida
en una región D del plano XY en otra integral doble extendida a una región S del plano uv.
Para esto se verá la relación entre las regiones D y S y los integrandos f(x,y) y F(u,v).
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El método de sustitución en las integrales dobles es más laborioso que en las integrales simples, puesto que en lugar de una función ahora se tiene dos funciones X e Y que relacionan a x,y con u,v en la forma siguiente x=x(u,v), y(y(u,v).
Geométricamente, puede considerarse que las dos ecuaciones definen una aplicación que hace corresponder a un punto (u,v) del plano uv, el punto imagen (x,y) del plano XY y que la aplicación puede expresarse mediante una función vectorial.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
En el plano trazamos el radio vector que une el origen (0,0) con el punto (x,y) de la región D, el vector depende de u y v, y se puede considerar como una función vectorial de dos variables definidas por la ecuación:
esta ecuación se llama ecuación vectorial de la aplicación. Como (u,v) recorre puntos de S, el vector describe puntos de D. La fórmula para la transformación de integrales dobles puede escribirse así:
| |
Donde el factor J(u,v) es el Jacobiano de la aplicación.
Ejemplo:
Sea R la región triangular del plano XY limitado por: x = 0, y =0, x+y = 1, encontrar el valor de
∬
dy dx
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Solución Transformaremos la región R: x=0, y=0, x+y = 1 Sea
Para x = 0 = x + y = v = 1
v = -u ; y = 0 =
v=1
v=u
D = {(u,v)/v = -u, v = u, v = 1
Calculando el Jacobiano J(u,v) =
se tiene:
| | 22
Calcular la integral doble
∬
, donde D es la región
limitada por las parábolas y= Solución: Transformando la región D: y= esto se hacemos el cambio de variable siguiente:
para
+
Por lo tanto la región D se transforma en la región R. donde R={(u,v)
Graficand o las regiones se tiene:
Ahora calculamos el Jacobiano:
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| | , - [ ] , ,Apli caciones de la integral doble:
1ro. Centr o de masa de una L ámi na:
Consideremos una lámina que tiene la forma de una región cerrada R en el plano XY, y sea la medida de la densidad de área de la
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lámina en cualquier punto (x,y) de R, donde función continua sobre R. Entonces la masa total de la lámina R esta dado por:
es una
̅ ̅ ∬∬ ∬∬
El momento de masa de una lámina R con respecto al eje X es:
El momento de masa de una lámina R con respecto al eje Y es:
Luego el centro de una masa de la lámina es el punto donde:
2do. M omento de inercia de un a lámina:
Consideremos una partícula de masa m que se encuentra a una distancia d unidades de una recta L, entonces llamaremos momento de inercia de la partícula respecto a L al número.
I=
El momento de masa de partícula, usualmente se llama el primer momento y momento de inercia al segundo momento de la partícula respecto a L.
Consideremos un sistema de n partículas de masas situados a distancia de respectivamente desde una recta L, tiene un momento de inercia I que se define como la suma de los momentos de la partícula individuales.
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El momento de inercia de una lámina que tiene la forma de una región plana S y una función densidad continua, puede encontrarse respecto a cualquier recta L. En particular, los momentos de inercia de la lámina respecto a los ejes X e Y están dados por:
El momento polar de inercia alrededor de origen O está dado por:
, -
Observación: consideremos en el plano XY una lámina S que tiene una densidad continua , entonces los primeros momentos de S respecto a las rectas x=a , y=b, están dadas respectivamente por:
Observación: los momentos de inercia de la lamona S respecto a las rectas son respectivamente.
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Observación: el radio de giro de un objeto respecto de un eje L es el numero R definido por
donde I es el momento de inercia respecto
de L y M es la masa total del objeto.
Ejemplos: 1) Encontrar la masa y el centro de masa de la lámina en la forma de una región rectangular acotada por las rectas x=3, y=2 y los ejes coordenados. Si la densidad de área en cualquier punto es Solución:
sea
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̅ ̅ ̅
Luego el centro de masa es
2) Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región acotada por 4y=3x , x=4 y el eje X, correspondiente al eje Y, si la densidad de área es Solución:
∬ donde
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