En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales. fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Secciones cónicas. Clásicamente las cónicas fueron estudiadas como secciones de un cono por un plano arbitrario. La posición del plano con respecto al cono determina el tipo de cónica que aparece. En general se tiene: - Si el ángulo que forma el plano con el eje del cono es superior al ángulo que forman las generatrices del cono con el eje, entonces aparece una elipse. - Si el ángulo que forma el plano con el eje del cono es igual al ángulo que forman las generatrices del cono con el eje, entonces aparece una parábola. - Si el ángulo que forma el plano con el eje del cono es inferior al ángulo que forman las generatrices del cono con el eje, entonces aparece una hipérbola.
Elipse La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. α < β <90º
La elipse es una curva cerrada.
Circunferencia La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º
La circunferencia es un caso particular de elipse.
Parábola La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
Hipérbola La hipérbola es la sección
producida en una superficie
cónica de revolución por formando con él un ángulo
un plano oblicuo al eje, menor al que forman eje y
generatriz, por lo que
incide en las dos hojas de la
superficie cónica. α>β
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.
Rotación de ejes Las matrices de rotación definen algebraicamente lo que es una rotación en un espacio 3D considerando un Angulo en el que está girando. Las matrices de rotación tienen unas propiedades que son importantes de notar:
Sus ejes de coordenadas son vectores ortogonales (forman un Angulo de 90 grados entre ellos)
Su determinante es 1
Si se saca la normal de cualquier vector perteneciente a la matriz el resultado es 1 por lo que es una matriz unitaria
Al ser una matriz ortogonal su transpuesta es igual a su inversa
La matriz de rotación se denota de la siguiente manera:
En la siguiente imagen se ejemplifica lo que hace una matriz de rotación, una vez proporcionado un Angulo hace que el objeto rote la cantidad de grados dado en una dirección.
Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuación de este tipo.
Definición Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma
donde
y
son funciones reales, se llama ecuación diferencial lineal.
Observación: una ecuación diferencial lineal de orden
donde los coeficientes cuando
tiene la forma
son funciones reales y
. Note que
tenemos que
Ecuaciones diferenciales de segundo orden Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma
Si se llama Ecuación homogénea, como, por ejemplo
Si se llama Ecuación no homogénea, como, por ejemplo
Solución de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Teorema 2.1 Si las funciones y 1 , y 2 ,... , y n son n soluciones en el intervalo I de la ecuación lineal homogénea y n) + a1( x )y n−1) + ··· + an−1( x )y 0 + an( x )y = 0 ,
(3)
entonces, toda función de la forma C 1y 1 + C 2y 2 + solución de la ecuación.
+ C ny n , donde C 1 , C 2 ,... , C n
···
R , también es
∈
Esto es, toda combinación lineal de soluciones de una ecuación lineal homogénea es también solución de dicha ecuación. Sean y 1 , y 2 ,. .. , y n n soluciones en el intervalo I de la ecuación y n) + a1( x )y n−1) + ··· + an−1( x )y 0 + an( x )y = 0 , y sea x 0 ∈ I. Entonces: 1.
y 1 , y 2 , ... , y n son linealmente dependientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x 0 se anula.
2.
y 1 , y 2 , ... , y n son linealmente independientes en I si y sólo si su wronskiano en el punto x 0 no se anula.
Definición de Wronskiano en un conjunto de funciones En matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 1812 por el matemático polaco Józef Hoene-Wroński (1776-1853) y nombrado en 1882 por el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934). Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente. Dado un conjunto de n funciones que son (n-1)-veces derivables, f 1, ..., f n, el wronskiano W(f 1 , ..., f n ) está dado por:
Prueba del wronskiano para la independencia lineal Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que --> C1f1(x) +
C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. El wronskiano es una función llamada así por el matemático polaco Józef Hoene-Wroński,
especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Dado un conjunto de n funciones, f1, ..., fn, el wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por:
El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental. El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado: Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo. Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son independientes, quizás podamos usar el wronskiano. Note que si el wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente independientes. Si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, esto implica obligatoriamente que el wronskiano correspondiente es uniformemente cero en el intervalo, pero lo segundo no implica lo primero. Una malinterpretación común (desafortunadamente promulgada en muchos textos) es que si W = 0 en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - lo que es incorrecto.
Aplicación de espacios vectoriales en la ingeniería
¿COMO SE APLICAN LOS ESPACIOS VECTORIALES EN LA INGENIERÍA? Por ejemplo en cualquier estudio de modelización por medio de la teoría de elementos finitos o modelización por medios continuos se aplica dicha teoría.
Un ejemplo, en física los campos eléctricos y electromagnéticos son campos vectoriales.
En Mecánica de fluidos el fluido, bajo ciertas condiciones, se modeliza como un medio continuo (lo mismo se hace en Suelos, estructuras, etc.) y así se definen magnitudes cuyas identidades son precisamente CAMPOS VECTORIALES, así definimos en su seno el campo de velocidades el campo de aceleraciones el campo de flujos el campo de potencias etc. Y en estas modelizaciones aplicamos plenamente la teoría de espacios vectoriales.
En las estructuras (en la mecánica estructural) modelizamos las tensiones en el seno del material como espacios vectoriales, como el tensor de tensiones o el tensor de deformaciones; algunos incluso llegan a ser conservativos bajo ciertas hipótesis permitiendo el desarrollo de leyes muy útiles en el cálculo estructural.. de hecho, los programas informáticos actuales entregan al ingeniero una representación muy precisa de dichos campos indicando direcciones y magnitudes.
¿Como podemos aplicar el espacio y subespacio? ¿Cuales podrían ser las aplicaciones de espacio y subespacio vectorial en ciencia y tecnología? El saber que algo es un espacio vectorial permite saber qué reglas cumplen sus elementos,y cómo se relacionan entre sí.Por ejemplo,sabes que si sumas vectores saldrá otro vector,otro elemento,que también cumple las mismas reglas que los originales.O puedes descomponer una onda en "elementos" que son a su vez ondas. El descomponer un espacio vectorial en subespacios permite centrarte en conjuntos más simples de elementos,en lugar de en todo el espacio.Puedes encontrar qué elementos básicos del espacio vectorial son los que dan lugar por combinación lineal a cualquier otro elemento. Por ejemplo,las vibraciones de un edificio, pueden descomponerse en "modos de vibración", que no dejan de ser las bases del espacio vectorial de todas la posibles vibraciones (las vibraciones se suman linealmente). Los movimientos en el espacio ndimensional pueden descomponerse en una serie de operaciones básicas (dilataciónes,rotaciones,...), cada una correspondiente a un subespacio del espacio ndimensional. Esto se usa por ejemplo para posicionar en el espacio las piezas por parte de un robot. Las deformaciones de un sólido también se describen mediante un espacio vectorial,como combinación de distintas "bases" de deformaciones.
