APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS CON CABRI Los números complejos naceron en el s!lo "#I$ en el con%e&%o al!e'raco (e la resol)c*n (e las ec)acones (el +, - ., !ra(os/ D)ran%e m0s (e (os s!los$ s)s prope(a(es 1)eron (esarrolla(as$ pero eran %ra%a(os como mons%r)os sn sen%(o$ sen%(o$ )sa(os con 2er!3en4a$ - acompa5a(os (e nom'res o1ens2os$ 6)e permaneceron 7as%a 7o- en n)es%ra nomencla%)ra como 8ma!naros9/ Solamen%e al pasar (el s!lo "#III para el s!lo "I"$ !racas a :essel$ :essel$ Ar!an( - Ga)ss$ se compreen(* 6)e 6)e los complejos no %enen na(a (e 8rreal9/ Son apenas los p)n%os ;o 2ec%ores< (el plano$ 6)e se s)man por composc*n (e %raslacones$ - 6)e 6)e se m)l%plcan por composc*n (e ro%acones 7omo%ecas/ Ac%)almen%e -a es 'as%an%e claro el papel cen%ral 6)e ejercen los números complejos en las ma%em0%cas$ as= como s)s nnúmeras )%l(a(es/ El 8secre%o9 es%0 en la m)l%plcac*n (e los complejos$ 6)e es esencalmen%e )na composc*n (e ro%acones/ Es por eso 6)e los complejos aparecen ne2%a'lemen%e en m)c7os pro'lemas 6)e en2)el2en ro%ac*n$ c=rc)lo$ 1)ncones 8crc)lares9;%r!onom>%rcas<$ mo2men%os per*(cos$ e%c/$ - en el es%)(o (e crc)%os el>c%rcos$ corren%e al%erna(a$ as%ronom=a mo%ores/ Pero$ pasa(os m0s (e (os s!los$ es%a 2s*n !eom>%rca %o(a2=a no se 7alla ncorpora(a a la ense5an4a/ Permanece como manera m0s común (e n%ro()cr los complejos el a'or(aje p)ramen%e al!e'raco - 1ormal? 8@n número complejo es )n o'je%o (e la 1orma a '$ '$ (on(e a - ' son reales$ F$ - permanecen man%en(as las le-es '0scas (el 0l!e'ra9/ Es%a (e1nc*n es correc%a - le perm%e al ncan%e empe4ar nme(a%amen%e a operar con complejos sn (1c)l%a($ pero en es%e en1o6)e se per(e la ma!n=1ca opor%)n(a( (e presen%ar los complejos nme(a%amen%e como en%es !eom>%rcos$ !eom>%rcos$ - la e&perenca (e clase nos m)es%ra 6)e m)c7as 2eces es%a opor%)n(a( no se rec)pera$ a)n6)e c)an(o$ m0s %ar(e$ aparece la 81orma %r!onom>%rca9/ El ncan%e permanece con )na 2s*n e&ces2amen%e 1ormal - al!e'ra4an%e$ - no se le oc)rre aplcar conocmen%os (e números complejos a pro'lemas (e Geome%r=a$ como se 7ace (es(e Ga)ss/ A(em0s$ la Geome%r=a Dn0mca a!re!* )n n)e2o 7or4on%e a la 2s)al4ac*n !eom>%rca (e los números complejos$ perm%en(o 2er1car prope(a(es$ %es%ar conje%)ras$ - ser2rse (e la 2en%aja (el mo2men%o o1rec(o por la anmac*n/ En el presen%e mnc)rso$ los números complejos complejos aparecen (e pron%o como p)n%os p)n%os ;o 2ec%ores< (el plano ;aH'<$ las operacones con complejos aparecen nme(a%amen%e en 1orma !eom>%rca$ se 7acen aplcacones a pro'lemas (e Geome%r=a - se )%l4a el 8Ca'r9 para l)s%rar prope(a(es - resol2er pro'lemas/ Los par%cpan%es rec'en )n %e&%o 6)e con%ene )na s)ces*n (e ejerccos$ para pos'l%ar el (esc)'rmen%o/ Los complejos como )n c)erpo (e números 7as%a a7ora$ 7emos (e1n(o$ en el conj)n%o C (e los números complejos$ las operacones (e a(c*n - m)l%plcac*n$ (e ac)er(o con las re!las? ;aH'< ;cH(< ;cH(< ;a ;a cH' c H' (< (< - ;aH'<
∙
;cH(< ;acF'(Ha( ;acF'(Ha( 'c< /
emos 2s%o %am'>n 6)e es%as operacones son asoca%2as - conm)%a%2asH la m)l%plcac*n es (s%r')%2a con respec%o a la a(c*nH ;H< es ne)%ro para la a(c*n$ ;H< es ne)%ro para la m)l%plcac*nH %o(o complejo 4 ;aH'< %ene sm>%rco K4 ;FaHF'< para la a(c*n -$ s es no n)lo$ %ene n2erso 4/ En el len!)aje (el 0l!e'ra$ es%o s!n1ca 6)e ;C$
∙
< e s )n c)erpo/
Son 20l(as para números complejos %o(as las prope(a(es )s)ales (e c)al6)er c)erpo$ - es n%eresan%e )sar Ca'r para l)s%rarlas$ como ( a ; b ) =( a − b ; 2 ab ) $ por 2
2
2
ejemplo/ Los complejos como extensión de los reales Cons(eran(o solamen%e los complejos s%)a(os en el eje " $ es%o es$ los (e la 1orma ;&H<$ se 2er1ca 6)e? ;aH< ;'H< ;a 'H < ;a 'H< ;aH<
∙
;'H< ;a'F$a'<;a'H< /
Se 2e p)es 6)e? ;< El eje " es cerra(o para las operacones (e a(c*n - m)l%plcac*n (e complejos/ ;< Los ne)%ros ;H<- ;H
%rco ;aH< (el complejo ;aH< (el eje " s!)e per%enecen(o al eje "/ ;2< El n2erso aH (el complejo no n)lo ;aH< (el eje " s!)e per%enecen(o al eje "/ Es%o s!n1ca 6)e el eje " es )n s)'c)erpo (e C / El 7ec7o (e 6)e ;aH< ;'H< ;a 'H< - ;aH<; 'H< ;a'H< s!n1ca 6)e para operar solo (en%ro (el eje "$ po(emos ol2(ar la se!)n(a componen%e ;6)e es sempre <$ %ra'ajar solo con el número real a en2>s (el complejo ;aHc%rcasc%rcos - 1=scos )san la le%ra j para la )n(a( ma!nara en 2e4 (e 6)e es%0 %=pcamen%e (es%na(a a la n%ens(a( (e corren%e/
El campo complejo es !)almen%e mpor%an%e en mec0nca c)0n%ca c)-a ma%em0%ca s)'-acen%e )%l4a Espacos (e l'er% (e (mens*n n1n%a so're C ; ℂ%rca (el espacoF%empo son m)c7o m0s smples s %omamos el %empo como )na 2ara'le ma!nara/ En ec)acones (1erencales$ c)an(o se es%)(an las sol)cones (e las ec)acones (1erencales lneales con coe1cen%es cons%an%es$ es 7a'%)al encon%rar prmero las ra=ces ;en !eneral complejas< (el polnomo carac%er=s%co$ lo 6)e perm%e e&presar la sol)c*n !eneral (el ss%ema en %>rmnos (e 1)ncones (e 'ase (e la 1orma? / Los 1rac%ales son (se5os ar%=s%cos (e n1n%a complej(a(/ En s) 2ers*n or!nal$ se los (e1ne a %ra2>s (e c0lc)los con números complejos en el plano/
Números Complejos$ Aplcacones E&ploramos las operacones '0scas (e los números complejos en el con%e&%o (el (')jo - la anmac*n en (os (mensones/ @samos el len!)aje (e pro!ramac*n Lo!o Lo!oE/ El (')jo (e )n a)%omo2l se p)e(e represen%ar como )n conj)n%o (e %ra4os/ Al 1nal (e ca(a %ra4o es necesaro le2an%ar el l0p4/ Ca(a %ra4o se p)e(e represen%ar por los p)n%os por (on(e pasa/ Ca(a p)n%o se p)e(e represen%ar como )n número complejo/ La s!)en%e es la presen%ac*n (el (')jo (e )n a)%o/ Ca(a l=nea (e c*(!o s!)en%e represen%a )n %ra4o? 7a4 a)%o U UUFV F.W UF F.W UFX W UFX .W UF XW UFV XW UF .W UF W UFV F.WW UU+ W U+ W U VW UV .W UF .W UFX W UFX W UF WW UUX W UX .W U XW UV XW U .W U W UV F.W U F.W UX WW UU W U W U. W UX VW UX W U WW UUF W UF. W UF. W UFX W UF WW UU+ W U+. W U+. VW U+ VWW UUFX W UX WW
UU W U+ WW W El prmer p)n%o (el prmero %ra4o es FVF.$ 6)e en Lo!oE se represen%a smplemen%e como UFV F.W/ @saremos el proce(men%o (')ja Tra4o para (')jarlos/ Prmero le2an%amos el l0p4 l)e!o$ 2amos pasan(o por ca(a )no (e los p)n%os (el %ra4o -a con el l0p4 a'ajo/ para (')jaTra4o ?p)n%os s)'elap4 paraca(a ?p)n%os U ponpos Y 'ajalap4W 1n Para (')jar el a)%o comple%o (e'emos (')jar 2aros %ra4os/ L)e!o (e (')jarlos ponemos la %or%)!a en el cen%ro (e la pan%alla$ para %ener )na re1erenca (e la posc*n ? 'orrapan%alla paraca(a ?a)%o U(')jaTra4o YW s)'elap4 cen%ro
L)ce mejor s oc)l%amos la %or%)!a? 'orrapan%alla oc)l%a%or%)!a paraca(a ?a)%o U(')jaTra4o YW
S a los p)n%os (el a)%o$ cons(era(os como números complejos$ les res%amos $ lo!ramos (espla4ar 7aca la 46)er(a el a)%o )n(a(es/ m)es%ra prmero ?a)%o UUFV F.W UF F.W UFX W UFX .W UF XW UFV XW UF .W UF W UFV F.WW m)es%ra prmero prmero ?a)%o UFV F.W m)es%ra res%acomp (s%a U W prmero prmero ?a)%o
UFV F.W m)es%ra mpon Ures%acomp (s%a U WW prmero ?a)%o UUFV F.W UF F.W UFX W UFX .W UF XW UFV XW UF .W UF W UFV F.WW m)es%ra mpon Umpon Ures%acomp (s%a U WWW ?a)%o UUUFV F.W UF F.W UFX W UFX .W UF XW UFV XW UF .W UF W UFV F.WW UUFVX W UFVX W UFX VW UFX. .W UF .W UFX W UFX W UF WW UUFZ W UFZ .W UFXX XW UFX. XW UFX .W UFX W UFX. F.W UFXX F.W UFZ WW UUF W UF W UFXV W UFX VW UFX W UF WW UUF W UF. W UF. W UFX W UF WW UUFVX W UFVV W UFVV VW UFVX VWW UUFX W UFZ WW UUFX W UFVX WW W 'orrapan%alla m)es%ra%or%)!a paraca(a mpon Umpon Ures%acomp (s%a U WWW ?a)%o U(')jaTra4o YW s)'elap4 cen%ro
Po(emos mo2er el a)%o 7or4on%almen%e s a ca(a número complejo le s)mamos )n número complejo (e la 1orma & $ (e %al manera 6)e & 2a-a (es(e F 7as%a en pasos (e en ? (es(e U& F W U 'orrapan%alla paraca(a mpon Umpon Us)macomp ls%a ;ls%a ?&
[ s con s)mas - res%as (e números complejos po(emos mo2er o'je%os en el plano car%esano/ Con m)l%plcacones po(emos a!ran(ar o empe6)e5ecer o'je%os/ Por ejemplo$ s a los números 6)e represen%an )n o'je%o les m)l%plcamos por )n número (e la 1orma & $ (e %al manera 6)e & 2a-a (es(e / 7as%a / en pasos (e / en /$ po(emos 7acer )n e1ec%o (e ma!n1cac*n?
7a4 7orm!a U UU. +VW U XW UX .W U.. .W UV +VW UV ..W U.. VW UX VW U W U. ..WW UUF +W U +W U. +VW U. ..W U .XW UF .XW UFX ..W UFX +VW UF +WW UUFX +VW UF+V XW UF.. XW UF.X +W UF .XW UF.. VW UF+ W UFX ..WW UUF. +VW UF. ..W UF.. ..W UF.. .W UF. +VWW UUF. W UF+ XW UF+ W UF +WW UUFV +W UFX W UFX XW U WW UUF. +W U .W UV XW U WW UUF.X .XW UFVX VW UF\ XWW UUF.. VW UF V.W UFV +VWW UU+V XW U+ .W U+V WW UU.X XW U.. +VW U.X .XWW UUX VW U .W U. XWW W (es(e U& / / /W U 'orrapan%alla paraca(a mpon Umpon Um)l%comp ls%a ;ls%a ?&
A con%n)ac*n mos%ramos los números complejos 6)e )samos en es%e e1ec%o (e ma!n1cac*n - s)s respec%2as ma!n%)(es - 0n!)los? H UReal Ima!naroW FF] UMa!n%)( An!)loW (es(e U& / /W Uescr'e ;ls%a ls%a ?& FF] recpol ls%a ?&
U/. W FF] U/. W U/ W FF] U/ W U/V W FF] U/V W U/\ W FF] U/\ W U/X W FF] U/X W U/Z W FF] U/Z W #emos 6)e la ma!n%)( es (>n%ca a la par%e real (e ca(a complejo/ Es%o no (e'er=a sorpren(ernos$ -a 6)e la par%e ma!nara es n)la en ca(a número/ Tam'>n 2emos el 0n!)lo sempre es / La ma!n%)( 2ar=a - el 0n!)lo es cons%an%e/ Po(emos 7acer lo con%raro$ es (ecr$ 2arar el 0n!)lo (e los números pero man%ener cons%an%e la ma!n%)(? H UMa!n%)( An!)loW ^FF UReal Ima!naroW (es(e Uan! FZ FW Uescr'e ;ls%a ls%a ?an! ^FF polrec ls%a ?an!
_C)al es la aplcac*n (e los números complejos en la 2(a realY Los números complejos son )sa(os en los mo(elamen%os ma%em0%cos (e procesos 1=scosH en%re esos procesos es%0 el an0lss (e corren%e el>c%rca - (e se5ales elec%r*ncas/ Es por eso 6)e se emplea en 1orma%os (e compres*n$ %ransms*n en 'an(a anc7a$ ampl1ca(ores (e se5ales$ procesamen%o (!%al (e se5ales$ %ransms*n el>c%rca$ cen%rales 7(roel>c%rcas/ Por s)s componen%es reales e ma!naras se )san para 1acl%ar el es%)(o (e car!as so're 2!as ;para los ar6)%ec%os e n!eneros c2les<$ es%)(o (e on(as ;para los 1=scos<$ a(em0s se emplea en los es%)(os concernen%es a la propa!ac*n (el calor/ En ss%emas (e con%rol$ como con%rol (e ro'o%s n()s%rales$ ss%ema (e na2e!ac*n (e ')6)es$ con%rol (e a2ones$ lan4amen%o (e co7e%es al espaco/ @na 7erramen%a 1)n(amen%al es la llama(a %rans1orma(a (e o)rer ;es%a 7erramen%a se emplea para las aplcacones an%erores< 6)e )sa n%ens2amen%e a los números complejos/ Los números complejos se )san en 2aras 0reas$ cosas %an com)nes como en compres*n (e m0!enes la jp! la )san$ an%es en la músca$ mp a7ora se )sa o%ra %>cnca$ en ro'*%ca$ aeron0)%ca$ %ermo(n0mca$ s) aplcac*n es 'as%an%e ampla/ Compres*n (e m0!enes/
FEn la música FSe )san en n!ener=a elec%r*nca - en o%ros campos para )na (escrpc*n a(ec)a(a (e las se5ales per*(cas 2ara'les/ FEs mpor%an%e en mec0nca c)0n%ca c)-a ma%em0%ca s)'-acen%e )%l4a Espacos (e l'er% (e (mens*n n1n%a so're C/ F En electricidad$ al )%l4ar crc)%os capac%2os -o n()c%2os$ la corren%e - la %ensn se (es1asan es (ecr no conc)er(an en s)s pcos - 2alles/ Es%os crc)%os$ son pos'les (e represen%ar - por en(e anal4arlos$ me(an%e números ma!naros$ resol2en(o (e es%a menera )n pro'lema %>cnco/
El Teorema Fundamental del Álgebra Como se 7a (c7o en la In%ro()cc*n$ los números complejos naceron en )n con%e&%o (e resol)c*n (e ec)acones polnomales ;%am'>n llama(as ec)acones al!e'racasrmnos (e sol)cones (e ec)acones/ Bas%a 2er el ejemplo (e la ec)ac*n & $ 6)e no %ene sol)c*n real ;en R $ )n c)a(ra(o no p)e(e ser ne!a%2o<$ - %ene sol)c*n en C/ Ser0 6)e$ en el conj)n%o (e los complejos$ 7a'r0 %am'>n al!)na ec)ac*n polnomal 6)e no %en!a sol)c*nY La resp)es%a es no$ como m)es%ra el Teorema )n(amen%al (el `l!e'ra? En el conj)n%o (e los números complejos$ %o(a ec)ac*n polnomal (e !ra(o pos%2o %ene sol)c*n/ Es%e %eorema$ a)n6)e -a 1)ese conoc(o - )%l4a(o an%es$ 1)e (emos%ra(o por Ga)ss$ en s) %ess (e (oc%ora(o$ c)an(o %en=a a5os$ en \ZZ/ A pesar (e llamarse Teorema )n(amen%al (el `l!e'ra$ s) (emos%rac*n en2)el2e concep%os (e An0lss ;como la noc*n (e con%n)(a(< -$ por es%o$ es sempre rele!a(a a c)rsos s)perores m0s a2an4a(os/ Sn em'ar!o$ la !eome%r=a (n0mca perm%e 2s)al4ar es%e %eorema (e mo(o a(mra'le/ La (ea presen%a(a a se!)r pro2ene (e )na c7arla pro1er(a en Ar!en%na por JeanF Mare La'or(e$ cra(or (el Ca'r/ La l)s%rac*n se 7ar0 con )n polnomo (e %ercer !ra(o$ pero el lec%or p)e(e perc'r 6)e la (ea ser=a la msma para c)al6)er o%ro !ra(o/
@n polnomo !en>rco (e %ercer !ra(o es (e la 1orma
P ( z ) = c 3 z + c 2 z + c 1 z + c 0 3
2
$
(on(e c+ / S)s ra=ces son las ra=ces (e la ec)ac*n
P ( z )= c 3 z
3
2
+ c z + c z + c = 0 $ 2
1
0
(on(e po(emos (2(r am'os los la(os por c +$ lo 6)e e6)2ale a s)ponerc+ / Se p)e(e %am'>n 2er1car 6)e$ 7acen(o en la ec)ac*n 4+ c 4 c 4 c el cam'o (e 2ara'le z =w −c $ el polnomo res)l%an%e en no %ene %>rmno en - %ene ra=ces 2
s - solo s p;4< lo %ene$ (e mo(o 6)e po(emos s)poner %am'>n c / Por es%o$ no 7a p>r((a (e !eneral(a( en %ra'ajar con p;4< 4+ c 4 c / #amos a s)poner c
≠
$ -a
6)e s c $ es e2(en%e 6)e ser=a ra=4 (e p;4%rco (e p;4< c)an(o 4 2ar=a/ A7ora %enemos la ma!en (e b por p;4< en el plano complejo ;2amos a llamarla (e p;b<
r 4 empe4a a a)men%ar s)1cen%emen%e a par%r (el 2alor r $ la c)r2a p;b< empe4a a 7acer la4os alre(e(or (el or!en/ En real(a($ anman(o 4$ se p)e(e o'ser2ar 6)e el 2ec%or p;4< %ene )na 2eloc(a( apro&ma(amen%e %rple (e la (el 2ec%or 4$ (an(o %res 2)el%as alre(e(or (el or!en$ en c)an%o 4 (a )na/ Es%o %ra()ce el 7ec7o (e 6)e c)an(o r %en(e a n1n%o$ p;4< se compor%a apro&ma(amen%e como 4 + $ 6)e %ene ar!)men%o %rple (el (e 4/ Recap%)lan(o? c)an(o r se apro&ma (e $ la c)r2a p;b< se enrosca alre(e(or (e c ;s)p)es%o (1eren%e (e cero$ como se (e'e recor(ar
La prmera es en an0lss (e re(es (on(e$ en los ar%1cos ma%em0%cos$ las corren%es n()c%2as - capac%2as se re%rasan so're la corren%es ress%2as$ se represen%an so're )n (a!rama car%esano ; &$j <$ la compleja se llama j para no con1)n(rla con el s=m'olo (e n%ens(a(/ Es rela%2amen%e senclla s) operac*n conocen(o el %eorema (e Mo2re/ O%ra aplcac*n es en 2ara'le compleja para 1*rm)las (e Bessel - a)%oma%smos con Laplace/ Son )n ns%r)men%o ú%l 6)e no nos complca la 2(a sno$ %o(o lo con%raro$ nos a-)(a a resol2er ss%emas 6)e sn ellos no ser=an pos'les/ La ma%em0%ca 7a- 6)e 2erla con esa con1an4a$ como smple ns%r)men%o/ Por o%ra par%e la !mnasa men%al 6)e 7aces en esos (os a5os $ %e sr2e - smpl1ca el res%o (e la carrera - 2(a pro1esonal/ Se aplcan en el an0lss (e crc)%os (e corren%e al%erna/ Descrpc*n? Los n!eneros 6)e (se5an el ss%ema el>c%rco (e )n e(1co o n()s%ra$ lo 7acen )san(o )na !ran can%(a( (e números complejos$ 6)e se aplcan en com)ncacones al0m'rcas e nal0m'rcas$ -a 6)e las sol)cones a las ec)acones en2)el2en números ma!naros/ E&%ras? Tam'>n sr2en para la amplac*n (el conocmen%o/ Ejemplo? (ar0 el msmo res)l%a(o 6)e la ra=4 c)a(ra(a (e F./ Son )%l4a(os en Aplcacones (e Elec%rc(a(/ E&presones complejas para #ol%aje - Corren%e/ E&presones complejas para Impe(ancas/ Calc)lo (e Po%enca Prome(o/ L*!ca (!%al - elec%r*nca/ Real4ac*n (e crc)%os en as=ncronos/ Me(c*n (e Ress%enca$ el %po (e capac%or a )sar$ - los n()c%ores (e las re(es el>c%rcas/ ;Con eso nos moles%an para co'rar la l)4n )n el>c%rco sa'e (e c)an%os amperes neces%a poner )n 'raer/ Por s)s componen%es reales e ma!naras se )san para 1acl%ar el es%)(o (e car!as so're 2!as;para los ar6)%ec%os e n!eneros c2les<$ es%)(o (e on(as;para los 1=scos<$ a(em0s se emplea en los es%)(os concernen%es a la propa!ac*n (el calor/ En ss%emas (e con%rol$ como con%rol (e ro'o%s n()s%rales$ ss%ema (e na2e!ac*n (e ')6)es$ con%rol (e a2ones$ lan4amen%o (e co7e%es al espaco/
@na 7erramen%a 1)n(amen%al es la llama(a %rans1orma(a (e o)rer;es%a 7erramen%a se emplea para las aplcacones an%erores< 6)e )sa n%ens2amen%e a los números complejos/ En 1=sca c)0n%ca la )n(a( ma!nara se )sa amplamen%e - perm%e smpl1car la (escrpc*n ma%em0%ca (e los es%a(os c)0n%cos 2ara'les en el %empo/ En %eor=a (e crc)%os - corren%e al%erna la )n(a( ma!nara se )sa amplamen%e para represen%ar cer%as ma!n%)(es como 1asores$ lo c)al perm%e )n %ra%amen%o al!e'raco m0s 0!l (e (c7as ma!n%)(es/ Los números complejos se aplcan en la In!ener=a? Se )%l4an para (esarrollar mo(elos - 1orm)las ma%em0%cas 6)e perm%an calc)lar las (s%n%as 2ara'les o 2alores (e (se5o con los 6)e se 2a a cons%r)r )n pro-ec%o$ como por ejemplo$ c0lc)los (e es%r)c%)ras$ ress%enca (e ma%erales a )%l4ar$ e%c/$ a 1n (e po(er o'%ener las espec1cacones - cos%o (e ese pro-ec%o/ Los números complejos son )%l4a(os como 7erramen%a (e %ra'ajo (el 0l!e'ra or(nara$ llama(a 0l!e'ra (e los números complejos$ as= como (e ramas (e las ma%em0%cas p)ras - aplca(as como 2ara'le compleja$ aero(n0mca elec%roma!ne%smo en%re o%ras (e !ran mpor%anca/ Tam'>n se aplcan en n!ener=a elec%r*nca$ en%re o%ros campos (e !)al mpor%anca/ Los números complejos se aplcan$ en%re o%ras cosas$ al es%)(o (el crecmen%o (e cer%as po'lacones 'ac%eranas$ en el (se5o (e las alas (e )n a2*n$ en la !enerac*n (e espec%ac)lares m0!enes 1rac%ales en la comp)%a(ora$ en el es%)(o (el mo2men%o 2'ra%oro$ las osclacones arm*ncas - o%ros 1en*menos on()la%oros 6)e$ por ejemplo$ es%0n en 'ase (e %o(a la %ecnolo!=a (e las %elecom)ncacones/ Es%os números perm%en resol2er (e )na 1orma mas r0p(a - con2enen%e al!)nos pro'lemas c)-o plan%eamen%o - sol)c*n 2enen (a(os en números reales/ Incl)so 7aejemplos 6)e no se po(r=an sol)conar sn la aplcac*n (e los números complejos/
