APLICACIONES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS: Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria ω para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bao un !n"ulo constante #$
OBSERVACIN: -ecuerde que el !n"ulo entre dos curvas queda determinado por el !n"ulo que forman las rectas tan"entes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersecci&n$
Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea # un !n"ulo dado$ Se desea determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un !n"ulo constante # con cada una de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0$ %a que que F(x, F(x, y, C) = 0 es conoc conocida ida,, se pued puede e deter determin minar ar la ecuac ecuaci&n i&n difer diferenc encial ial asociada a dic'o 'a, por medio del proceso de eliminaci&n de constantes arbitrarias de un 'a de curvas$ Sea f(x, y, y)= 0 dic'a ecuaci&n diferencial$ Consid*rese una curva F + perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T + , a un !n"ulo #, tal que se cortan en un punto (x, y) (ver Fi"ura +)
Sea . el !n"ulo que forma la recta tan"ente a la curva F +(x, y, C +) = 0, en el punto (x, y), con el ee x/ sea el !n"ulo que forma la recta tan"ente a la curva T +(x, y, 1+) = 0, en el punto (x, y), con el ee x$ Sea # el !n"ulo entre ambas rectas (ver Fi"ura 2)$
3 cada cada punto de la curva F +(x, y, C+) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y, y), y), donde y = t" . es la pendiente de la recta tan"ente a la curva F + en el punto (x, y)$ 3 cada punto de la curva T +(x, y, k +) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y), donde y= t" es la pendiente de la recta tan"ente a la curva T + en el punto (x, y)$
OBSERVACIN: 3 fin de evitar confusi&n confusi&n con respecto respecto a si la terna (x, y, y), est! referida a los puntos de la curva F +, o a los puntos de la curva T +, s&lo a efectos de la demostraci&n se escribir! (u, v, v ) para 'acer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T+$ 5n el punto (x, y) y) exactamente se tendr! que6 x = u , y = v , y = t" . , v = t" Se debe a'ora establecer una relaci&n entre las derivadas y = t" . , v = t" $ ara ello, se trasladar! la recta tan"ente a F +(x, y, C+) = 0 en el punto (x, y), 'asta el punto de corte de la recta tan"ente a T +(x, y, k+) = 0 en el punto (x, y) con el ee x (ver Fi"ura 4)$
Sea . el !n"ulo que forma la recta tan"ente a la curva F +(x, y, C +) = 0, en el punto (x, y), con el ee x/ sea el !n"ulo que forma la recta tan"ente a la curva T +(x, y, 1+) = 0, en el punto (x, y), con el ee x$ Sea # el !n"ulo entre ambas rectas (ver Fi"ura 2)$
3 cada cada punto de la curva F +(x, y, C+) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y, y), y), donde y = t" . es la pendiente de la recta tan"ente a la curva F + en el punto (x, y)$ 3 cada punto de la curva T +(x, y, k +) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y), donde y= t" es la pendiente de la recta tan"ente a la curva T + en el punto (x, y)$
OBSERVACIN: 3 fin de evitar confusi&n confusi&n con respecto respecto a si la terna (x, y, y), est! referida a los puntos de la curva F +, o a los puntos de la curva T +, s&lo a efectos de la demostraci&n se escribir! (u, v, v ) para 'acer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T+$ 5n el punto (x, y) y) exactamente se tendr! que6 x = u , y = v , y = t" . , v = t" Se debe a'ora establecer una relaci&n entre las derivadas y = t" . , v = t" $ ara ello, se trasladar! la recta tan"ente a F +(x, y, C+) = 0 en el punto (x, y), 'asta el punto de corte de la recta tan"ente a T +(x, y, k+) = 0 en el punto (x, y) con el ee x (ver Fi"ura 4)$
7e la Fi"ura 4 se deduce que6 . = 8 #$ or identidades tri"onom*tricas t" . = t" ( 8 #) =
t"φ 9 t" ω + + t"φ t" ω
7e acuerdo a lo indicado en la observaci&n t" . = y, t" = v, entonces al sustituir en la ecuaci&n anterior, resulta que6 v : 9 t" ω y= + + v : t" ω 5sta ;ltima ecuaci&n permite establecer una relaci&n entre las derivadas de las curvas F+(x, y, C +) = 0 y T +(x, y, k+) = 0 en el punto (x, y)$ %a que f(x, y, y) = 0 es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas F(x, v : 9 t" ω y, C) = 0, entonces sustituyendo en dic'a ecuaci&n diferencial y por , se obtiene + + v : t" ω una nueva ecuaci&n diferencial f(x, y ,
v : 9 t" ω + + v : t" ω
)=0
5sta es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene un !n"ulo #, con la familia F(x, y, C) = 0$ -esolviendo la nueva ecuaci&n diferencial se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias # a la familia dada F(x, y, C) = 0$
OBSERVACIN: ?a ecuaci&n diferencial f(x, y,
v : 9 t" ω + + v : t" ω
) = 0
tiene sentido siempre y cuando # @ <0, ya que t" <0 se indetermina$
Si # = <0 entonces las rectas tan"entes a ambas curvas en los puntos de inte inters rsec ecci ci&n &n son son perp perpen endi dicu cula lare res$ s$ or or "eom "eomet etr> r>a, a, se sabe sabe que, que, si dos dos rect rectas as son son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es i"ual a 9+, esto es6 (t" .) (t" ) = 9+ Como t" . = y, t" = v, resulta que6 y = 9
+
v:
or lo tanto, si la ecuaci&n diferencial
asociada a la familia de curvas dada + F(x, y, C) = 0 es f(x, y, y) = 0, entonces sustituyendo y por 8 se obtiene una nueva v + ecuaci&n diferencial f (x, y, − ) = 0, que es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de v: trayectorias que mantienen un !n"ulo de <0 con la familia dada$ 3l resolver esta nueva ecuaci&n diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cual representa la familia de trayectorias a <0 de la familia dada$ ara este caso, cuando # = <0, las trayectorias se denominan, trayectoria! orto"o#a$e!%
OBSERVACIN: -ecuerde que solo para efecto de la demostraci&n, se utili& ( u, v, v ) para 'acer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(x, y, k) = 0$
PASOS A SE&UIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZ DE CURVAS DADO +$ Si la ecuaci&n del 'a de curvas no est! dada en forma expl>cita, debe determinarse$ Sea F(x, y, C) = 0 la ecuaci&n del 'a dado$ 2$ 7ebe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada al 'a F(x, y, C) = 0$ Sea f(x, y, y) = 0 la ecuaci&n diferencial que resulta$ 4$
Si las trayectoria a buscar son a un !n"ulo # @ <0, debe sustituirse y, en la y : − t"ω ecuaci&n diferencial que se obtuvo en el paso 2, por + + y : t"ω / as> se obtiene la y : − t"ω ecuaci&n diferencial f(x, y, + + y : t"ω ) = 0$ Si las trayectorias a determinar son orto"onales (# = <0), se debe sustituir y, en la
+
ecuaci&n diferencial que se obtuvo en el paso 2, por − / as> se obtiene la y : ecuaci&n diferencial f(x, y, −
+ y:
) = 0$
A$ Se resuelve la ecuaci&n diferencial obtenida en el paso 4$ B$ ?a soluci&n "eneral de la ecuaci&n diferencial resuelta en el paso A, representa la familia de trayectorias que mantiene un !n"ulo # con la familia de curvas dada$ (en el caso en que # = <0, recuerde que las trayectorias se denominan trayectorias orto"onales)$
E'ERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN( A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS )% La ec*aci+# y, - C. /C *#a co#!ta#te ar0itraria1 2e3i#e *#a 3a4i$ia 2e 5ar60o$a!% O0te#"a $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e!% SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas y 2 = Cx (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$
7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta 2yy = C
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ 7ebe recordarse que una de las caracter>sticas de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias$ or lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$ y2 = Cx 2yy : = C 3qu> basta con sustituir la ecuaci&n (2) en la ecuaci&n (+), resultando y2 = 2yyx
(4)
?a ecuaci&n (4) representa la ecuaci&n difer*ncial asociada a la familia de par!bolas y = Cx$ 2
na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia y 2 = Cx$ ara ello, basta con sustituir y en la ecuaci&n (4) por
multiplicando por y Dy2
+ − , resultando y : + y 2 = 2y − x y :
−
y =
x
2
y
%a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene x dy = − 2 dx (A) y 5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables basta con multiplicar la ecuaci&n (A) por y y dy = 8 2 x dx equivalentemente y dy E 2x dx = 0 inte"rando
∫ ∫ ∫ ∫ y dy + 2
= C+
x dx
(B)
3mbas inte"rales son inmediatas
y dy
y2
=
2
x2
x dx =
2
E k+
E k2
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (B) y2 E x 2 = 1 2 ultiplicando por
+ 1
, y2 21
+
x2 1
= +
(G)
?a ecuaci&n (G), que es la ecuaci&n de una familia de elipses con centro en el ori"en y ee mayor paralelo al ee y, representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de par!bolas y 2 = Cx
OBSERVACIN: Hbserve que la constante arbitraria utiliada en la ecuaci&n de las trayectorias, no es la misma constante del 'a de curvas dado$
,% E#c*e#tre $a! trayectoria! orto"o#a$e! 2e $a 3a4i$ia y7 - C., SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas y 4 = Cx2 (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta 4y2y = 2Cx
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
y4 = Cx2 2 4y y : = 2Cx 3qu> basta con despear C de la ecuaci&n (2) y sustituir en la ecuaci&n (+), resultando 4 y: x y= (4) 2 ?a ecuaci&n (4) representa la ecuaci&n difer*ncial asociada a la familia y 4 = Cx2$ na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia y 4 = Cx 2$ ara ello, basta con sustituir y en la ecuaci&n (4) por
+ − , resultando y : + y = 4 − 2 y :
x
equivalentemente, y =
−
4x 2y
%a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene 4x dy = − dx (A) 2y 5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables basta con multiplicar la ecuaci&n (A) por 2y
2 y dy = 9 4x dx inte"rando
∫ ∫ ∫ ∫
2
y dy
= −4
x dx
(B)
3mbas inte"rales inte"rales inmediatas inmediatas son inmediatas inmediatas
=
y dy
x dx
=
y2 2
x2 2
E k+
E k2
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (B) 2 ultiplicando por
+ 4k
y2 2
= −4
x2 2
E k
, y2 4k
+
x2 2k
=+
(G)
?a ecuaci&n (G), que es la ecuaci&n de una familia de elipses con centro en el ori"en y ee mayor paralelo al ee y, representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas y 4 = Cx2
7% E#c*e#tre e$ 8a$or 2e $a co#!ta#te a( 2e ta$ 3or4a 9*e $a! 3a4i$ia! y7 - C) . ( ., a y, - C, !ea# orto"o#a$e! SOLUCIN: Como Como aqu> aqu> se tienen tienen dos curv curvas, as, se debe deber!n r!n denot denotar ar de maner manera a difer diferent ente e las derivadas de cada una de ellas/ sean6 y la derivada de la curva y 4 = C+ x I la derivada de la curva x 2 Eay2 = C2 7e acuerdo con la definici&n de curvas orto"onales, para que estas curvas sean orto"onales debe satisfacerse que el producto de de las derivadas sea i"ual a 9+, esto es6 y$ I = 9+ (+) 7erivando impl>citamente impl>citament e respecto de x, la curva 4 y2 y = C+
y 4 = C+ x
(2) (4)
?a constante C + debe eliminase del sistema que se forma con las ecuaciones (2) y (4)
y4 = C+ x 2 4y y : = C+ Sustituyendo (4) en (2) se tiene y = 4 y x 7espeando y y =
y
(A)
4x
7erivando impl>citamente respecto de x, la curva x 2 E ay2 = C2 2 x E 2 a y I: = 0
(B) (G)
7espeando I : de la ecuaci&n (G) I: =
−
x
(J)
ay
Sustituyendo las ecuaciones (A) y (J) en la ecuaci&n (+)
y x − ay 4 x
= 9+
Simplificando y despeando la constante a a =
+ 4
;% Deter4i#ar $a! trayectoria! trayectoria! orto"o#a$e! 5ara $a 3a4i$ia 3a4i$ia y - < . = ) C) e. SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas y = 9 x 8 + E C + ex (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta y = 9 + E C+ ex
(2)
Como la ecuaci& ecuaci&n n (2) a;n contien contiene e la constant constante e arbitra arbitraria ria C +, dic'a ecuaci&n no represen representa ta la ecuaci& ecuaci&n n diferenc diferencial ial asociada asociada$$ or lo tanto, tanto, la constan constante te arbitra arbitraria ria C debe debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
y = − x − + + C+ e y : = −+ + C+ ex
x
7espeando C + ex de la ecuaci&n (2) C+ ex = y E +
(4)
Sustituyendo (4) en la ecuaci&n (+), resulta y = 9 x E y
(A)
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia dada y = 9 x 8 + E C + ex na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferen diferencial cial asociad asociada a a las trayecto trayectorias rias orto"ona orto"onales les a dic'a dic'a familia$ familia$ ara ara ello, ello, basta basta con + sustituir y en la ecuaci&n (A) por − , resultando y : y= 8xE
−
y : +
equivalentemente, y =
−
+
x+y %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y y dx, sustituyendo y y se tiene + dy = 9 dx (B) x+y
?a ecuaci ecuaci&n &n (B) es la ecuac ecuaci&n i&n difere diferenc ncial ial asoci asociad ada a a la famil familia ia de tray trayect ectori orias as x orto"onales a la curva y = 8 x 8 + E C + e ?a ecuaci&n diferencial diferencial (B) no es una ecuaci&n ecuaci&n de variables variables separables, separables, pero puede escribirse de la forma dx E (x E y) dy = 0 (G) resultando una ecuaci&n diferencial reducible a exacta ( pues, (x,y) dx E K(x,y) dy = 0, y ∂ ∂K ≠ )$ ∂y ∂x
5n efecto, si (x, y) = + y K(x, y) = x E y
entonces
∂ =0 ∂y
y
ecuaci&n no es exacta pero puede que admita un factor inte"rante de la forma
∂K = +/ lue"o la ∂x
e
Si v = y entonces
∫
" ( v ) dv
L (x,y) =
con "(v) =
∂v ∂v =0 = +/ ∂x ∂y
∂ ∂K ∂ y − ∂x ∂v ∂v K − ∂x ∂y
sustituyendo en "(v) resulta6
"(v) =
−1 −1
= +
3s>,
∫
" ( v ) dv =
L (x, y) = e
ev = ey
or lo tanto el factor inte"rante es L (x, y) = e y ultiplicando la ecuaci&n diferencial (G) por el factor inte"rante ey dx E ey (x E y) dy = 0
(J)
?a ecuaci&n (J) se puede escribir ey dx E x ey dy = 8 y ey dy
(M)
5l t*rmino iquierdo de la ecuaci&n (M) es la diferencial total de ( x e y ), esto es, ey dx E x ey dy = d ( x e y ) 3s>, la ecuaci&n (M) se transforma en d ( x e y ) = 8 y ey dy Nnte"rando
∫ ∫ ∫ d ( x ey ) =
-esolviendo las inte"rales
−
y e y dy
(<)
d ( x e y ) = x e y E 1+
∫
y e y dy se resuelve por el m*todo de inte"raci&n por partes6
∫
u dv
=
uv
−
∫
v du , donde
u = y dv = eydy
du = dy v
= ey
∫
y e y dy = y ey
−
∫
e y dy = y ey 8 ey = ey (y 8 +) E 12
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en (<) x ey E 1+ = 8 ey (y 8 +) E 12 o equivalentemente x ey = ey (+ 8 y) E 1 multiplicando por e 8y x = (+ 8 y) E 1 e 8y o tambi*n (x E y 8 +) e y = 1
(+0)
?a ecuaci&n (+0), representa la ecuaci&n de la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas y = 8 x 8 + E C + ex
>% O0te#"a $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a $a 3a4i$ia y - /. = C)1, SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas y = (x 8 C +)2 (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta y = 2 ( x 8 C + )
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C +, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C + debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
y = ( x − C +) 2 y : = 2 ( x − C+) 7espeando ( x 8 C + ) de la ecuaci&n (2) y:
( x 8 C+ ) =
2
Sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (+) 2
y =
y: 2
equivalentemente Ay = ( y) 2
(4)
esto es, y = y
2
(A)
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de par!bolas y = ( x 8 C+ )2 na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia y = ( x 8 C + )2 ara ello, basta con sustituir y en la ecuaci&n (A) por 2
y =
−
y=
−
+
+ − , resultando y :
+ y:
equivalentemente, 2
y
%a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene + dy = − dx (B) 2 y 5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables y basta con multiplicar la ecuaci&n (B) por y dy = inte"rando
−
+ 2
dx
∫ ∫
y dy
= −
+ 2
∫
dx
3mbas inte"rales son inmediatas
4
2 y dy = y E k+ 4
2
∫
dx = x E k2
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G) 4
y 2 4
2
=
−
+ x E k 2
(G)
ara despear y, primero se multiplica por
3 a ambos lados de la i"ualdad y lue"o se 2
eleva a 2 3
y= −
2 3 3 3 x + K 4 2
=
3
− 3x + 6K 2 4
equivalentemente y=
4
( k − 4x ) 2 +G
(J)
?a ecuaci&n (J), representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de par!bolas y = ( x 8 C+ )2
?% O0te#"a $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a $a 3a4i$ia C ) . , y , - ) SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas C + x 2 E y 2 = + (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta 2 C+ x E 2 y y = 0
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C +, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C + debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
C+ x 2 + y 2 = + 2 C+ x + 2 y y : = 0 7espeando C + de la ecuaci&n (2) C+ =
−
y y: x
Sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (+)
− equivalentemente
y y: x2 E y 2 = + x
(4)
8 yy x E y
2
= +
(A)
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n difer*ncial asociada a la familia C+ x 2 E y 2 = + na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia C + x 2 E y 2 = + ara ello, basta con sustituir y en la ecuaci&n (A) por 8 y
−
x y : +
E y
2
+ − , resultando y :
= +
equivalentemente, xy
= + 8 y 2
y:
7espeando y xy
=
y:
+− y 2 %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene xy dy = dx (B) +− y 2 5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables basta con multiplicar la ecuaci&n (B) por
+− y 2 y
+− y 2 y inte"rando
dy = x dx
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +− y 2 y
=
dy
x dx
(G)
3mbas inte"rales son inmediatas +− y 2 y
dy =
+ y
dy
−
x dx =
y dy = ln O y O x2 2
E k2
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G)
−
y2 2
E k+
ln O y O
y2
−
=
2
x2 2
Ek
multiplicando por 2 2 ln O y O = x
2
E y2 E 21
aplicando propiedades de lo"aritmo ln y2 = x 2 E y2 E 21 aplicando e a ambos lados de la ecuaci&n
2 2 y 2 = C x + y e
(J)
?a ecuaci&n (J), representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas C+ x E y 2 = + 2
@% Deter4i#e $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a$ a 2e c*r8a! , ., y, - C SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas 2 x 2 E y 2 = C (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta A x E 2 y y = 0
(2)
Como la ecuaci&n (2) no contiene la constante arbitraria C, dic'a ecuaci&n representa la ecuaci&n diferencial asociada al 'a de curvas dado$ na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia 2 x 2 E y 2 = C ara ello, basta con sustituir y en la ecuaci&n (2) por Ax E 2y
+ − y :
+ − , resultando y :
= 0
equivalentemente, 2 x y 8 y = 0 7espeando y y 2x %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene y:
=
dy =
y dx 2x
(4)
5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables 2 basta con multiplicar la ecuaci&n (4) por y 2 dy = y inte"rando
∫ ∫ ∫ +
2
y
+ dx x
∫
+
=
dy
x
dx
(A)
3mbas inte"rales son inmediatas
+ y
+ x
dy = ln y E k+
dx = ln x E k2
Sustituyendo los resultados de la inte"rales en la ecuaci&n (A) 2 ln O y O = ln O x O E k4 aplicando propiedades de lo"aritmo ln y2 9 ln O x O = k4 esto es ln
y2 x
= k4
aplicando e a ambos lados de la ecuaci&n y2=kx
(B)
?a ecuaci&n (B), representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas 2x E y 2 = C 2
% Deter4i#ar $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a$ a 2e c*r8a! y - eC. SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas y = eCx (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta y = C eCx
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
y = e C x y: = C e C x 7espeando C de la ecuaci&n (+) ln y
C =
(4)
x
Sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (2) ln y y y = x
(A)
na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia y = e Cx ara ello, basta con sustituir y en la ecuaci&n (A) por
−
+ y:
=
+ − , resultando y :
y ln y x
equivalentemente, y =
−
x
y ln y %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene x dy = − dx (B) y ln y ?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables basta con multiplicar la ecuaci&n (B) por (y ln y) y ln y dy = 9 x dx inte"rando
∫
y ln y dy
ara resolver la inte"ral
∫
= −
∫
x dx
y ln y dy se aplica el m*todo de inte"raci&n por partes
(G)
∫
u dv
=uv −
∫
v du / donde
u = ln y dv = y dy
du = v
=
+ y
dy
y2 2
as>
∫
y ln y dy =
y2 2
ln y
−
∫
y 2 + dy = 2 y
∫
x dx
=
y2
ln y
2 x2 2
−
∫
y
2
dy =
y2 2
ln y
−
y2 A
E k+
E k2
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G) y2 ln y 2
−
y2 = A
−
x2 + k 2
multiplicando por A 2 y 2 ln y − y 2 = 8 2 x 2 E A k equivalentemente y2 ( ln y2 9 + ) E 2 x2 = C+
(J)
?a ecuaci&n (J), representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas Cx
y=e
% O0te#"a $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a $a 3a4i$ia 2e c*r8a! y a - C) .0 2o#2e a y 0 !o# co#!ta#te! co#oci2a!% SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas y a = C+ x b (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta a y a 8 + y = C+ b x b 8 +
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C +, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C + debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
y a = C+ x b a −+ a y y: = C+ b x b − +
7espeando C + de la ecuaci&n (+) C+ =
ya
(4)
xb
Sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (2) a y
a8+
ya
y =
b x b8+
xb
(A)
na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia y a = C+ x b ara ello, se sustituye y en la ecuaci&n (A) por a y
a8+
−
y : +
−
, resultando y : +
ya
= b
x
7espeando y y =
−
a x
b y
%a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene a x dy = − (B) dx b y 5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables basta con multiplicar la ecuaci&n (B) por (b y) b y dy = 9 a x dx inte"rando b
∫
= −a
y dy
3mbas inte"rales son inmediatas
∫ ∫
y dy
x dx
= =
∫
x dx
y2 2 x2 2
E k+
E k2
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G)
(G)
by2 2 ultiplicando por
= −
ax2 2
+
k
+ k
y2 2K b
+
x2 2K a
=1
(M)
?a ecuaci&n (M), representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas y = C+ x b a
)% Deter4i#e $a ec*aci+# 2e $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a$ a 2e c*r8a! y =
+ +−
+
C+ x C+ x
SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de + + C+ x curvas y = (+) + − C+ x 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta C+ ( + − C+ x ) + C+ ( + + C+ x ) y = ( + − C+ x ) 2 desarrollando y simplificando y =
2 C+
( + − C+ x ) 2
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C +, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C + debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
y = + + C+ x + − C+ x 2 C+ y: = ( + − C+ x ) 2
7espeando C + de la ecuaci&n (+)
⇒
C+ =
Sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (2) y − + 2 ( y + + ) x y = y − + + − ( y + + ) x
2 x
y ( + 8 C+ x ) = + E C+ x
y −+
( y ++) x
(4)
desarrollando y simplificando 2 y =
x
y − + y + +
=
A
( y − + ) ( y + +) 2x
( y ++) 2 de aqu> resulta que y 2 −+
y =
y
=
(A)
2x
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada + + C+ x + − C+ x
na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n + + C+ x diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a dic'a familia y = $ ara ello, + − C+ x basta con sustituir y en la ecuaci&n (A) por
−
+ y:
+ − , resultando y : y 2 −+
=
2x
despeando y y =
−
2x
2x
= y 2 −+ +− y 2 %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene 2x dy = dx (B) +− y 2 5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables basta con multiplicar la ecuaci&n (B) por ( + 8 y 2 )
(+8y inte"rando
2
) dy = 2 x dx
∫
( + − y 2 ) dy
=
2
∫
x dx
(G)
3mbas inte"rales son inmediatas
∫
∫ ∫ ∫
( + − y 2 ) dy =
dy
y 2 dy = y
−
x dx =
x2 2
−
y4 4
E k+
E k2
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G) y−
y4 4
=
x2
+k
multiplicando por 4 4 x2 E y 4 8 4 y = C
(J)
?a ecuaci&n (J), representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas + + C+ x y= + − C+ x
))% Deter4i#e $a ec*aci+# 2e$ a 2e trayectoria! orto"o#a$e! a $a 3a4i$ia 2e c*r8a! , ., y , - ; C . SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas 2 x2 E y2 = A C x (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta A x E 2 y y = A C simplificando 2 x E y y = 2 C
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
2 x 2 + y2 = A C x 2 x + y y: = 2 C 7espeando C de la ecuaci&n (2) C=
2 x + y y:
(4)
2
Sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (+) 2 x + y y: 2 x2 E y2 = A 2
x
desarrollando y simplificando 2 x2 E y2 = A x2 E 2 x y y equivalentemente y2 8 2 x2 = 2 x y y
(A)
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada 2 x E y2 = A C x 2
na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia 2x 2 E y2 = A Cx $ ara ello, se sustituye y en la ecuaci&n (A) por
+ − , resultando y : + 2 2 y 8 2 x = 2 x y − y :
despeando y y =
2xy
2x 2 − y 2 %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene dy =
2 x y 2x 2 − y 2
dx
equivalentemente 2 x y dx E ( y2 8 2 x2 ) dy = 0
(B)
?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial 'omo"*nea, con "rado dos de 'omo"eneidad$ Sacando factor com;n x 2 en la ecuaci&n (B) ( x @ 0) 2
x
2y y 2 dx + − x x
2
dy =
0
ultiplicando por
+ x2
y efectuando el cambio de variable
t = y ⇒ y = x t x dy = x dt + t dx
2 t dx E ( t 2 8 2 ) ( x dt E t dx ) = 0 7esarrollando y sacando factor com;n dx t4 dx E ( t2 9 2) x dt = 0
(G)
?a ecuaci&n (G) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables basta con multiplicar a ambos lados de la ecuaci&n por el factor , as> resulta xt4 + x inte"rando l
+
dx
t2
− t
2
4
dt
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + dx x
t2
+
t
−2
=
0
dt
4
=
C+
(J)
3mbas inte"rales son inmediatas
+ x
∫
t2 t
−2 4
dt
dx = ln O x O E k+
+ dt t
=
+
−2
t
dt = ln O t O E
4
+ t2
E k2
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (J) + ln O x O E ln O t O E 2 = k t aplicando propiedades de lo"aritmo ln O x t O E
+
7evolviendo el cambio de variables ( t = ?n O y O E
= k
t2
y ) x x2 y2
= k
3plicando e 2 x y = C+ y e
(M)
?a ecuaci&n (M), representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas 2 x E y2 = A C x 2
),% O0te#er $a! trayectoria! orto"o#a$e! 2e $a 3a4i$ia 2e c*r8a! ; y . , ) C) e ,y - SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas A y E x 2 E + E C+ e 2y = 0 (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta A y E 2 x E 2 C + y e2y = 0
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C +, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C + debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
A y + x 2 + + + C+ e 2y = 0 A y: + 2 x + 2 y: C+ e 2y = 0 7espeando C + de la ecuaci&n (2) C+ =
−
Ay:
+ 2x
(4)
2 y: e 2 y
Sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (+) A y E x
2
E + E
−
Ay: 2 y:
+ 2x 2y 2y e e
= 0
simplificando ( Ay E x 2 E + ) y 8 2 y E x = 0 sacando factor com;n y (Ay E x2 8 +) y E x = 0
(A)
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada A y E x 2 E + E C+ e 2y = 0
na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a dic'a familia$ ara ello, se + sustituye y en la ecuaci&n (A) por − resultando y : (Ay E x2 8 +)
+ − E y :
x = 0
despeando y + − Ay − x2 y = x %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene dy =
+ − Ay − x2 x
dx
esto es ( x 2 E A y 9 + ) dx E x dy = 0
(B)
?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial reducible a exacta$ ara resolverla, debe determinarse un factor inte"rante de la forma
"(v) =
Si v = x
∂ ∂K − ∂x y ∂ / ∂v ∂v K − ∂x ∂y
∂v = + ∂x ∂v =0 ∂y
/
∂ =A ∂y
(x, y) = x
∂K = +, ∂x
/
e ∫
" ( v ) dv
L=
2
E Ay 9 + /
entonces "(v) =
, donde
K(x, y) = x
4 K
=
4 x
=
4 v
or lo tanto, el factor inte"rante es L=
3
dv = e4 lnO v ∫ e v
O
= v4 = x4
ultiplicando la ecuaci&n (B) por el factor inte"rante ( x 2 E A y 9 + ) x 4 dx E x
A
dy = 0
(G)
?a ecuaci&n (G) es una ecuaci&n diferencial exacta$ 5sto quiere decir que existe una funci&n F(x,y) = 1, tal que ∂F (J ) = x B+ A x 4 y − x 4 ∂x ∂F =xA (M ) ∂y
Nnte"rando la ecuaci&n (M) parcialmente respecto de y ( x se asume constante ) y
∫
∫
∂F ∂y = ∂y
x A dy
x ctte$
resolviendo las inte"rales F( x, y ) = x
A
y E '(x)
(<)
7erivando la ecuaci&n (<) parcialmente respecto de x d '( x ) ∂F = A x 4 y E dx ∂x
(+0)
Comparando las ecuaciones (J) y (+0) resulta d '( x ) dx
x B E Ax4 y 9 x 4 = A x 4 y E simplificando d '( x ) dx
= xB 9 x4
d '( x ) dx
%a que la diferencial de '(x) es d'(x) =
dx, sustituyendo
d '( x ) dx
d'(x) = ( x B 8 x4 ) dx inte"rando
∫
d ' (x)
=
∫
( xB − x4 ) dx
(++)
3mbas inte"rales son inmediatas
∫
d ' ( x ) = '(x) E k+
∫
(x
B
−x
4
) dx =
xG
−
G
xA A
+ k2
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (++) xG
' (x ) =
G
xA
−
A
+
k
Sustituyendo '(x) en la ecuaci&n (<) F( x, y ) = x
A
y E
xG G
−
xA A
+
k
7e aqu> resulta que, la familia de trayectorias orto"onales a la familia 2
y E x E + E C+ e 2y = 0 es
A
x
xG
y E
xA
−
G
+
A
A
k = 0
)7% Deter4i#ar $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a$ a 2e c*r8a! )
)
. 7
y 7
C)
SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas
+
x 4
+y
+ 4
(+)
= C+
7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta + ( −2 4 + ( −2 x + y 4 y:= 0 4 4
(2)
Como la ecuaci&n (2) no contiene la constante arbitraria C +, dic'a ecuaci&n representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia dada$ ara obtener la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia, basta con sustituir y en la ecuaci&n (2) + por − , resultando y : + 4
multiplicando por
4
y: x
x
( −2 4 )
+
+
y
4
( −2 4 )
−
= y : +
0
( 24 ) ( 24 ) y
y y ( 4 2
8 x( 4 2
= 0
7espeando y
x y = y
2
4
%a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene dy =
x y
2
4
dx
(4)
5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables basta con multiplicar la ecuaci&n (4) por
y inte"rando
y
( 24
∫ y
2
( 24
dy =
4
dy
x
( 24
∫
=
dx
2
x 4 dx
(A)
3mbas inte"rales son inmediatas
∫ ∫
B
2
y 4 dy
=
y 4 B
+
k+
+
k2
4
B
2
x 4 dy
=
x 4 B
4
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (A) B
4y B
4
B
=
4x 4 B
+k
ultiplicando por (BD4) y elevando a las (4DB) y=
( B 4 ) x +
C
4
B
(B)
?a ecuaci&n (B), representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas +
x 4
+y
+ 4
= C+
);% O0te#"a $a c*r8a 5erte#ecie#te a $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a$ a 2e c*r8a! . y - C) ey 9*e 5a!a 5or e$ 5*#to /( >1 SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas x E y = C+ ey (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta + E y = C+ ey y
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C +, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C + debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
x + y = C+ e y + + y : = C+ e y
y:
7espeando C + de la ecuaci&n (+) C+ =
x+ y ey
(4)
Sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (2) x + y y e y + E y = y e desarrollando y simplificando ( x E y 8 + ) y = +
(A)
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada x E y = C + ey na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia x E y = C + ey ara ello, basta
, resultando y : + ( x E y 8 + ) − = + y :
con sustituir y en la ecuaci&n (A) por
−
+
despeando y y = + 8 x 8 y %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y se tiene dy = ( + 8 x 8 y ) dx equivalentemente ( x E y 8 + ) dx E dy = 0 (B) ?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial reducible a exacta (tambi*n lineal en y)$ Sea (x, y) = x E y 9 + / K(x, y) = + /
∂ ∂K =+ / = 0 / la ecuaci&n (B) admite un ∂y ∂x
factor inte"rante de la forma L = e ∫ " ( v ) dv , donde
∂ ∂K − ∂x ∂ y ∂v ∂v K − ∂x ∂y
"(v) =
Si v = x ,
∂v =+ ∂x
∂v =0 ∂y
,
entonces sustituyendo en "(v), se tiene +− 0 K (+) − ( 0)
"(v) =
=
+ K
=+
?ue"o, el factor inte"rante es
∫
" ( v ) dv
L= e
∫
dv
= e
= ev
= ex
ultiplicando la ecuaci&n (B) por el factor inte"rante L = e x ex ( x E y 9 + ) dx E e x dy = 0
(G)
5sta ecuaci&n (G) es exacta, ya que si (x, y) = e x ( x E y 9 + ) y P(x, y) = e x ∂ x ∂P x =e = =e $ resulta ∂y ∂x or definici&n, que la ecuaci&n (G) sea exacta, si"nifica que existe una funci&n ∂F ∂F dx + F(x, y) = 1 tal que, la diferencial total de F(x, y) dF(x, y) = ∂x ∂y dy es
(
dF(x,y) =
( x, y ) dx + P ( x, y ) dy = 0
)
es decir,
∂F = ( x, y ) = ex ( x + y − +) ∂x ∂F = P ( x, y ) = e x ∂y
(J)
(M)
Nnte"rando la ecuaci&n (M) parcialmente respecto de y
∫
y
∫ ∫
∂F ∂y = ∂ y
y
P ( x, y ) dy
=
x =ctte
3mbas inte"rales son inmediatas
∂F dy = F (x, y) ∂ y
∫
ex dy
x =ctte
(<)
∫
e x dy = ex y E '(x)
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (<) F (x, y) = e x y E '(x) derivando la ecuaci&n (+0) parcialmente respecto de x ∂F x d'( x ) =e y+ dx ∂x
(+0) (++)
Comparando las ecuaciones (J) y (++) x ex ( x E y 8 + ) = e y
+
d'( x ) dx
simplificando d'( x ) dx
= ex ( x − + )
%a que la diferencial de la funci&n '(x) es d'(x) =
d'( x ) dx , sustituyendo dx
d ' (x) dx
d'(x) = e x ( x − + ) dx inte"rando
∫ ∫ ∫ d' ( x ) =
-esolviendo las inte"rales
e x ( x − + ) dx
(+2)
d' ( x ) = ' ( x )
?a inte"ral
∫ ∫
e x ( x − + ) dx se resuelve por el m*todo de inte"raci&n por partes
u dv
∫
=uv −
∫
e x ( x − + ) dx = ( x 8 + ) e x
v du
−
donde
u = ( x − +) ⇒ dv = ex dx ⇒
du = dx v
= ex
∫
ex dx = ( x 8 + ) ex 8 ex E C = ( x 8 2 ) e x E C
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (+2) ' (x) = ( x 8 2 ) e x E C Sustituyendo la ecuaci&n (+2) en la ecuaci&n (+0)
(+2)
F (x,y) = e x y E ( x 8 2 ) e x E C 7e aqu> que, ex y E ( x 8 2 ) e x E C = 0 es la familia de trayectorias orto"onales a la familia x E y = C + ey
(+4)
ara obtener la curva perteneciente a la familia e x y E ( x 8 2 ) e x E C = 0 que pase por el punto (0, B), se sustituye en la ecuaci&n (+4) x = 0, y = B e0 B E (092) e 0 E C = 0 ⇒ C = 8 4 este valor obtenido para C, se sustituye en la ecuaci&n (+4) ex y E ( x 8 2 ) e x = 4 (+A) ?a ecuaci&n (+A) es la ecuaci&n de la curva perteneciente a la familia e y E ( x 8 2 ) e x E C = 0 que pasa por el punto (0,B) y permanece orto"onal a las curvas de la familia x E y = C + ey x
)>% O0te#"a $a c*r8a 5erte#ecie#te a $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a$ a 2e c*r8a! y - . C) e . 9*e 5a!a 5or e$ 5*#to /7(1 SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas y = x E C+ e − x (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta y = + 8 C+ e − x
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C +, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C + debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
y = x + C+ e − x y: = + − C+ e − x 7espeando C + de la ecuaci&n (2) C+ = ( + 8 y ) ex sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (+) y = x E ( + 8 y ) e x e 9x simplificando y = x E + 8 y
(4)
(A)
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada y = x E C+ e − x
na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia dada y = x E C + e − x $ ara ello, se sustituye y en la ecuaci&n (A) por
+ − , resultando y : y=xE+E
+ y:
despeando y + y − x −+
y =
%a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y + dy = dx y − x −+ multiplicando por ( x E + 8 y ) dx E ( x E + 8 y ) dy = 0
(B)
?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial reducible a exacta$ ara resolverla, debe determinarse un factor inte"rante de la forma
e
"(v) =
Si v = y
∂ ∂K − ∂x y ∂ ∂v ∂v K − ∂x ∂y
∂v = 0 ⇒ ∂x ∂v = + ∂y
/
∂ =0 ∂y
/
/
∫
" ( v ) dv ,
L=
donde
(x, y) = + / K(x, y) = x E + 8 y
∂K = +, ∂x
entonces "(v) =
−+ −+ = =+ − −+
or lo tanto, el factor inte"rante es L = e ∫ dv = e v = e y ultiplicando la ecuaci&n (B) por el factor inte"rante e y dx E e y ( x E + 8 y ) dy = 0
= e y
(G)
?a ecuaci&n (G) es una ecuaci&n diferencial exacta, ya que si (x,y) = e y y P(x,y) ∂ y ∂P y =e = = e $ ( x E + 8 y ) , entonces ∂y ∂x
or definici&n de funci&n exacta existe una funci&n F(x,y) = 1, tal que la diferencial total de F(x,y) ( dF = = 0) es dF =
∂F dx + ∂F dy = (x,y) dx E P(x,y) dy x y ∂ ∂
7e aqu> resulta que,
= ey dx E e y ( x E + 8 y ) dy = 0
∂F y =e ∂x ∂F y = e ( x + +− y ) ∂y
(7) (8)
Nnte"rando la ecuaci&n (J) parcialmente respecto de x ( y se asume constante ) x
∫
∂F ∂x = ∂x
∫
e y dx
(<)
y ctte$
3mbas inte"rales son inmediatas
∫
∂F ∂x ∂x
= F(x, y)
x
∫
e y dy = x ey E '(y)
y =ctte
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (<) F( x, y ) = x e y E '(y)
(+0)
derivando la ecuaci&n (+0) parcialmente respecto de y ∂F d '( y ) = x e y E dy ∂y
(++)
Comparando las ecuaciones (M) y (++) resulta d '( y ) ( x E + 8 y ) e y = x e y E dy despeando
d '( y ) dy d ' (y) = ( + 8 y ) ey dy
%a que la diferencial de '(y) es d'(y) =
d '( y ) dy
d'(y) = (+ 8 y ) ey dy inte"rando
dy, sustituyendo
d ' (y) dy
∫
d ' (y)
-esolviendo las inte"rales
=
∫
( + − y ) e y dy
(+2)
∫
d' ( y ) = ' ( y )
?a inte"ral
∫
∫ ∫
ey (+ − y ) dy se resuelve por el m*todo de inte"raci&n por partes6
u dv
=uv−
∫ ∫
ey (+ − y ) dy = ( + 8 y ) e y E
v du $
Sea
u = (+ − y ) ⇒ dv = e y dy ⇒
du = − dy v
= ey
ey dy = ( + 8 y ) ey E ey E C = ( 2 8 y ) e y E C
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (+2) ' (y) = ( 2 8 y ) ey E C sustituyendo la ecuaci&n (+4) en la ecuaci&n (<) F (x, y) = x ey E ' (y) = ( 2 8 y ) ey E C por lo tanto, ( x E 2 8 y ) ey E C = 0 es la ecuaci&n de la familia de trayectorias orto"onales a la familia y = x E C + e − x ara obtener la curva perteneciente a la familia ( x E 2 8 y ) e el punto (4, 0), se sustituye en la ecuaci&n (+A) x = 4, y = 0 4 e0 E (2 9 0) e 0 E C = 0 ⇒ C=8B
y
(+4)
(+A)
E C = 0 que pase por
?ue"o, ( x E 2 8 y ) e y = B es la curva perteneciente a la familia ( x E 2 8 y ) e y E C = 0 que pasa por el punto (4,0) y es orto"onal a cada una de las curvas de la familia y = x E C+ e − x
)?% O0te#"a $a c*r8a 5erte#ecie#te a $a 3a4i$ia 2e trayectoria! orto"o#a$e! a$ a 2e c*r8a! y - C t",. ) 9*e 5a!a 5or e$ 5*#to ( π M , 0 SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas y = C t"2x E + (+) 7ic'o 'a posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuaci&n del 'a se deriva solo una ve$ 7erivando impl>citamente la ecuaci&n (+) respecto de x resulta y = 2 C sec22x
(2)
Como la ecuaci&n (2) a;n contiene la constante arbitraria C, dic'a ecuaci&n no representa la ecuaci&n diferencial asociada$ or lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)$
y = C t" 2x + + y: = 2 C sec 2 2x despeando C de la ecuaci&n (2) y:
C =
=
2
2 sec 2x sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (+)
y : cos2 2x
(4)
2
y : cos2 2x t" 2x E + 2
y = simplificando y =
y : cos 2x sen 2x 2
+
+
(A)
?a ecuaci&n (A) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C t" 2x E + na ve obtenida la ecuaci&n diferencial del 'a dado, debe determinarse la ecuaci&n diferencial asociada a las trayectorias orto"onales a la familia y = C t" 2x E +$ ara ello, se + sustituye y en la ecuaci&n (A) por − , resultando y : y=
− + y :
cos 2x
sen 2x
+
2
+
despeando y y =
− cos 2x
sen 2x 2 ( y − +)
%a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y − cos 2x sen 2x dy = dx 2 ( y − +) multiplicando por 2 ( y 8 + ) cos 2x sen 2x dx E 2 ( y 8 + ) dy = 0
(B)
?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial de variables separadas$ Nnte"rando
∫
cos 2x sen 2x dx
3mbas inte"rales son inmediatas
+
2
∫
( y − + ) dy
=
C+
(G)
∫
cos 2x sen 2x dx = 1 2 sen2x cos 2x dx = 1 sen2x d( sen2x) 2 2
∫
∫
∫
( y − + ) dy
=
( y
=
sen 2 2x 2
− + )2 2
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G) resulta sen 2 2x 2
+(
y
− + ) 2 = C+
(J)
?a ecuaci&n (J) representa la familia de trayectorias orto"onales a la familia de curvas y = C t"2x E +$ ara obtener la curva perteneciente a la familia de trayectorias orto"onales sen2 2x
+(
y
− + )2
2 familia x = π M , y = 0
= C + que pasa por el punto
[ ( M )]
sen 2 2 π 2
( πM ,0
, se sustituye en la ecuaci&n de la
+ ( 0 − + ) 2 = C+
esto es, C+ = sen2
(
)
π A
2
+ + =
2 2 2
2 +
=
+
+ A
++ =
B A
Sustituyendo el valor obtenido de C + en la ecuaci&n (J) sen2 2x 2
+ ( y − +) 2 =
5 4
(M)
?a ecuaci&n (M) representa la ecuaci&n de la curva perteneciente a la familia sen2 2x
+(
y
− + ) 2 = C +
que pasa por el punto
2 curvas de la familia y = C t"2x E +
( πM,0
y es orto"onal a cada una de las
)@% O0te#"a $a! trayectoria! a ;> 2e $a 3a4i$ia 2e c*r8a! ., - C) y SOLUCIN:
Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada x 2 = C+ y (+) 5l 'a de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola ve$ 7erivando impl>citamente respecto de x 2x = C+ y (2) %a que la ecuaci&n (2) a;n posee la constante arbitraria C + no representa la ecuaci&n diferencial$ ?a constante C + debe eliminarse del sistema que se forma con las ecuaciones (+) y (2)
x 2 = C+ y 2x = C+ y : despeando C + de la ecuaci&n (2) 2x
C+ =
y:
(4)
sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (+) x2
=
2xy y:
multiplicando por y x2 y = 2 x y
(A)
?a ecuaci&n (A) es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada x = C+ y $ ara obtener la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a AB y :− t" AB y : −+ = debe sustituirse en la ecuaci&n (A) y por + + y : t" AB ++ y : 2
x2
y : − + = 2 x y + + y :
multiplicando por ( + E y ) x2 y 8 x2 = 2 x y E 2 x y y sacando factor com;n y ( x2 8 2 x y ) y = 2 x y E x2
(B)
?a ecuaci&n (B) es la ecuaci&n difer*ncial asociada a la familia de trayectorias a AB de la familia x2 = C+ y$ 7espeando y de la ecuaci&n (B) y:
=
2xy + x2 x2
− 2xy
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y
dy = multiplicando por ( x 2 8 2xy ) (2xy E x
2
2 x y + x 2 2 x − 2 x y
dx
) dx E ( 2 x y 9 x
2
) dy = 0
(G)
?a ecu ecuaci& aci&n n (G) es una ecuac uaci&n dife iferenc rencia iall 'omo omo"*ne "*nea a con "ra "rado 2 de 2 'omo"eneidad$ Sacando factor com;n x en la ecuaci&n (G)
y 2 y − + dy = + + 2 + dx x 2 x x
( x ≠ 0)
0
(J)
v = y x y = v x ⇒
1 multiplicando por 2 y efectuando el cambio de variable x
la ecuaci&n (J) se transforma en ( 2 v E + ) dx E ( 2 v 8 + ) (v dx E x dv ) = 0 desarrollando y sacando factor com;n dx ( 2 v E + E 2 v 2 8 v ) dx E x ( 2 v 8 + ) dv = 0 simplificando ( 2 v 2 E v E + ) dx E x ( 2 v 8 + ) dv = 0
dy
= v dx + x dv
(M)
?a ecuaci&n (M) es una ecuaci&n diferencial diferencial de variables variables separables$ ara separar las + variables, se multiplica la ecuaci&n (M) por el factor x 2 v 2 + v ++
(
+ x inte"rando
dx
+
( 2v − + )
( 2v
∫ ∫ ∫ + x
dx
+
2
+ v ++
)
( 2v − + )
)
dv
( 2 v 2 + v ++ )
=
dv
0
=
C2
(<)
-esolviendo las inte"rales
+ x
5n la inte"ral
∫ (
( 2 v − +)
2v
2
+ v ++)
dx = ln O x O E C4
dv , debe observarse que el polinomio del denominador
del inte"rando no tiene ra>ces reales, por lo que no se puede factoriar Completando cuadrados en (2 v 2 E v E +)
2 + + v + 2 A v + 2 2 + + 2 + 2 + 2 v + 2 v + − + A A A 2 + 2 + + + 2 J + = 2 v + + 2 v + − A +G 2 A +G + 2 ( Av + +) 2 v + J J A +G + + = + + J J M M +G +G ( Av + +) 2 2 J J Av + + +G ++ = + + J M M J +G
2 v2 E v E + = 2
=
=
=
=
v 2 + v + + 2 2
=2
Sustituyendo en la inte"ral
∫ (
( 2 v − +)
2v
2
+ v ++)
dv =
∫
( 2 v − +)
dv
2 J Av + + + + M J
M = J
∫
( 2v − +)
Av + + 2 + + J
dv
5sta inte"ral se resuelve aplicando la sustituci&n tri"onom*trica
Av + + = t" θ J
⇒
v
=
dv
=
J t" θ
−+
A J A
sec 2 θ
Sustituyendo el cambio de variable en la ecuaci&n (+0)
∫
( 2 v − +)
( 2v
2
+ v ++)
dv = M J
2
∫
− +
J t" θ − + A t"2θ + +
ero t" 2 . E + = sec 2 ., desarrollando y simpliicando
J A
sec 2 θ d θ
(+0)
∫ (
( 2 v − +)
2v
2
+ v ++)
dv =
2
J J
∫
J 2
t" θ
= ln O sec . O
−
4 2
d θ =
4 J
−
4 J J
∫
dθ
θ
J
7evolviendo el cambio de variable efectuado
∫
t" θ d θ −
A v ++ J
= t" θ =
cat op cat ady
J + ( A v + + )2
Av E +
J sec θ =
'ip cat ady
J + ( A v ++)
=
2
y
. = arct"
−
4 J
J
A v + + J
or lo tanto
∫ (
( 2 v − +)
2v
2
+ v ++)
J + ( A v ++)
dv = ln
2
J
J
A v + + J
arct"
E CA
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (<)
ln O x O E ln
J + ( A v + + )2 J
−
4 J J
A v + + J
arct"
Falta devolver el primer cambio de variable variable efectuado v =
2
ln O x O E ln
desarrollando
y J + A + + x J
−
4 J J
= C
y x
y A + + x arct" J
= C
Jx 2
+ ( Ay + x ) 2 x2 J
ln O x O E ln
−
4 J J
Ay + x x arct" J
= C
realiando operaciones ln O x O E ln
J x2
+ +G y 2 + M x y + x 2 J x
−
4 J J
arct"
Ay + x J x
= C
aplicando propiedades de lo"aritmo ln
x
+G y 2
+ M x y + M y 2 Jx
−
4 J
−
4 J
J
arct"
A y + x J x
= C
arct"
A y + x J x
= C
simplificando
ln
+G y 2
+ M x y + M y2 J
J
(++)
?a ecuaci&n (++) representa la ecuaci&n de la familia de trayectorias a AB de la familia x = C+ y 2
)% O0te#"a $a! trayectoria! a ;> 5ara $a 3a4i$ia 2e c*r8a! y - C) . SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C + x (+) 5l 'a de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola ve$ 7erivando impl>citamente respecto de x y = C+ (2) %a que la ecuaci&n (2) a;n posee la constante arbitraria C +, est! debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (+) y (2)$ y = C+ x
y : = C+
Sustituyendo la ecuaci&n (2) en la ecuaci&n (+) resulta y = y x
(4)
?a ecuaci&n (4) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C+ x
ara obtener la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a AB debe y :− t" AB y : −+ = sustituirse en la ecuaci&n (4) y por ++ y : t" AB ++ y : y=
y : − + x + + y :
multiplicando por ( + E y ) y E y y = x y 9 x sacando factor com;n y ( y 9 x ) y E y E x = 0
(A)
?a ecuaci&n (A) es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a AB de la familia y = C+ x$ 7espeando y de la ecuaci&n (A) y:
=
+y x−y
x
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y x + y dy = dx x y − multiplicando por ( x 8 y ) (x E y) dx E (y 9x ) dy = 0
(B)
?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial 'omo"*nea con "rado + de 'omo"eneidad$ Sacando factor com;n x en la ecuaci&n (B) ( x @ 0 ) y y x + + dx + − + dy = 0 (G) x x multiplicando por
+ x
y efectuando el cambio de variable
v = y x y = v x ⇒
dy = v dx + x dv
la ecuaci&n (G) queda ( + E v ) dx E ( v 8 + ) (v dx E x dv ) = 0 7esarrollando y sacando factor com;n dx ( + E v E v2 8 v ) dx E x (v 8 + ) dv = 0 simplificando ( + E v2 ) dx E x ( v 8 + ) dv = 0
(J)
?a ecuaci&n (J) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables, basta con multiplicar la ecuaci&n (J) por el factor x ++ v 2
(
)
+ x inte"rando
( v − +)
dx +
( ++ v
∫ ∫ +
dx
x
+
2
dv
=
0
dv
=
C2
)
v−+
++ v
2
(M)
3mbas inte"rales son inmediatas
∫
+
dx = ln O x O E C4
x
∫
v−+
∫ ∫
dv = ++ v 2
++ v 2
+ 2
= =
v
+ 2
dv 8
2v
∫ ∫
+
++ v 2
dv 8 2 ++ v
dv
+
++ v
2
dv
ln + + v 2 8 arct" v E CA
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (M) + ln + + v 2 8 arct" v = C ln O x O E 2
(<)
ultiplicando por 2 y aplicando las propiedades de lo"aritmo, la ecuaci&n (<) se transforma en
(
2 2 ln x + + v
)
9 2 arct" v = 2C
7evolviendo el cambio de variable x
ln
y 2 + + x
2
9 2 arct"
y = 2C x
desarrollando y simplificando ln
x2
+ y2
9 2 arct"
y x
= 2C
aplicando e
(x
2
+y
2
)
− 2 arct" y x = 1 e
(+0)
?a ecuaci&n (+0) representa la familia de trayectorias a AB a la familia de curvas y = C+ x
)% O0te#"a $a! trayectoria! a ;> 5ara $a 3a4i$ia 2e c*r8a! ., y, - C) . SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada x 2 E y2 = C+ x (+) 5l 'a de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola ve$ 7erivando impl>citamente respecto de x 2 x E 2 y y = C + (2) %a que la ecuaci&n (2) a;n posee la constante arbitraria C + est! debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (+) y (2)$
x 2 + y 2 = C+ x 2 x + 2 y y : = C+ Sustituyendo la ecuaci&n (2) en la ecuaci&n (+) resulta x 2 E y 2 = ( 2 x E 2 y y ) x desarrollando y simplificando y2 8 x2 = 2 x y y
(4)
?a ecuaci&n (4) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada x E y = C+ x 2
2
ara obtener la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a AB debe y :− t" AB y : −+ = sustituirse y en la ecuaci&n (4) por + + y : t" AB ++ y : y2 8 x2 = 2 x y
y : − + + y : +
multiplicando por ( + E y ) ( y2 8 x2 ) E ( y2 8 x2 ) y = 2 x y y 8 2 x y sacando factor com;n y ( y2 8 x2 8 2 x y ) y E y2 8 x2 E 2 x y = 0
(A)
?a ecuaci&n (A) es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a AB de la familia x2 E y2 = C+ x 7espeando y de la ecuaci&n (A) y:
=
y2 − x2
+ 2xy x2 − y 2 + 2xy
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y resulta
dy
=
y2 − x2
+ 2xy x2 − y 2 + 2xy
dx
multiplicando por ( x 2 8 y2 E 2xy ) (y2 8 x2 E 2 x y) dx E (y 2 8 x2 8 2 x y ) dy = 0
(B)
?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial 'omo"*nea con "rado 2 de 'omo"eneidad$ Sacando factor com;n x 2 en la ecuaci&n (B) ( x ≠ 0)
multiplicando por
+ x2
y 2 y 2 y y − + + 2 dx + − + − 2 dy = 0 x x x x 2 x v = y y efectuando el cambio de variable x y = v x ⇒ dy = v dx + x dv
(G)
la ecuaci&n (G) queda ( v2 E 2v 8 +) dx E ( v2 8 2v 8+ ) (v dx E x dv ) = 0 desarrollando y sacando factor com;n dx (v2 E 2v 8 + E v 4 8 2v2 9 v ) dx E x (v 2 8 2v 8 + ) dv = 0 simplificando ( v4 8 v2 E v 8 + ) dx E x ( v 2 8 2v 8 + ) dv = 0
(J)
?a ecuaci&n (J) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables, se multiplica la ecuaci&n (J) por el factor x v4 − v 2 + v − +
(
+ x
dx +
2
− 2v − +) dv = 4 2 ( v − v + v − +) (v
)
0
inte"rando
∫ ∫ ∫ + dx E x
2
− 2v − +) dv 4 2 ( v − v + v − +) (v
= C2
-esolviendo las inte"rales
+ x
5n la inte"ral
∫
dx = ln O x O E C4
2
− 2v − +) dv 4 2 ( v − v + v − +)
sustituyendo en la inte"ral
(v
, factoriando el denominador
v4 8 v2 E v 8 + = ( v 8 + ) ( v 2 E + )
(M)
∫
∫
2
− 2v − +) dv 4 2 ( v − v + v − +) (v
v2
− 2v − + dv ( v − +) ( v 2 + +)
=
5l inte"rando se descompone como suma de fracciones simples v 2 − 2v − + ( v − +) ( v 2 + +)
=
3 ( v − +)
+
Qv + C v2 + +
=
( 3 + Q)v 2
+ (C − Q) v + ( 3 − C) ( v − +) ( v 2 + +)
(<)
Comparando los numeradores v2 8 2v 8 + = ( 3 E Q ) v 2 E ( C 8 Q ) v E ( 3 8 C ) por i"ualdad entre polin&mios 3 + Q = +
C − Q = −2 3 − C = −+
resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene 3 = 8 + Q=2 C=0 sustituyendo los valores obtenidos para 3, Q y C en la ecuaci&n (<)
∫
v2
− 2v − + = − 2 ( v − +) ( v + +)
∫
+ v −+
dv +
∫ v
2v 2
++
dv
(+0)
3mbas inte"rales son inmediatas
∫ ∫
+
v −+
2v
v
2
++
dv = ln O v 8 + O
dv = ln O v2 E + O
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (+0)
∫
v2
− 2v − + ( v − +) ( v 2 + +)
= 8 ln O v 8 + O E ln O v 2 E + O
aplicando las propiedades de lo"aritmo y devolviendo el cambio de variable
∫
v2
− 2v − + = ( v − +) ( v 2 + +)
v2 + + ln E CA = ln v −+
y 2 + + x y − + x
E CA = ln
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (M) ln O x O E
ln
y2 + x2 x (y − x)
= CB
y2 + x2 x (y − x)
E CA
3plicando las propiedades de lo"aritmo ln
x 2+ y 2 = CB y−x
aplicando e ( x2 E y2 ) = C ( y 8 x )
(++)
?a ecuaci&n (++) representa la familia de trayectorias a AB a la familia de curvas x 2 E y = C+ x
2
,% O0te#"a $a c*r8a 2e $a 3a4i$ia 2e $a! trayectoria! a ? 2e $a 3a4i$ia 2e c*r8a! ., y, - C)( 9*e 5a!a 5or e$ 5*#to
1 2
,
3 2
SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada x 2 E y2 = C+ (+) 5l 'a de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola ve$ 7erivando impl>citamente respecto de x 2 x E 2 y y = 0 equivalentemente x E y y = 0 (2) %a que la ecuaci&n (2) no posee la constante arbitraria C +, est! representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada x 2 E y2 = C+ ara obtener la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a G0 debe y :− t" G0 y:− 4 = sustituirse y en la ecuaci&n (2) por + + y : t" G0 ++ 4 y : xEy multiplicando por ( + E
y : − 4 ++ 4 y :
= 0
4 y )
xE
4 x y E y y 8
4 y = 0
sacando factor com;n y ( 4 x E y ) y E x 8
4 y=0
(4)
?a ecuaci&n (4) es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a G0 de la familia x 2 E y 2 = C+ 7espeando y de la ecuaci&n (4) y:
=
−x x+y
4y 4
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y resulta
dy = multiplicando por
4x
−x 4x+y 4y
dx
+y (x8
4 y ) dx E ( 4 x E y ) dy = 0
(A)
?a ecuaci&n (A) es una ecuaci&n diferencial 'omo"*nea con "rado + de 'omo"eneidad$ Sacando factor com;n x en la ecuaci&n (A) ( x ≠ 0)
+ − x multiplicando por
+ x
y dy = x
y dx + x
4 +
4
0
v = y x y = v x ⇒
y efectuando el cambio de variable
(B)
dy = v dx + x dv
la ecuaci&n (B) queda (+8
4 v ) dx E ( 4 E v ) (v dx E x dv ) = 0
7esarrollando y sacando factor com;n dx (+ 8
4 v E
2
4 v E v ) dx E x (
4 E v) dv = 0
simplificando ( + E v2 ) dx E x ( 4 E v) dv = 0
(G)
?a ecuaci&n (G) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables, se multiplica la ecuaci&n (G) por el factor x ++ v2
(
+ x
dx +
4
+v 2
(++ v )
dv
)
=
0
inte"rando
∫ ∫ ∫ + x
dx E
4 + v ++ v2 dv
3mbas inte"rales son inmediatas
+ x
dx = ln OxO E C4
= C2
(J)
∫
4 + v ++ v2 dv
= =
∫
4 ++ v2
+
dv
+ 2
∫
2v
++ v2
dv
1 ln O + E v 2 O E CA 2
4 arct" v E
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (J) ln O x O E
4 arct" v E
1 ln O + E v 2 O = CB 2
(M)
devolviendo el cambio de variable ln O x O E
4 arct"
y 1 E ln x 2
y 2 + + x
= CB
x 2 + y2 2 x
= 2 CB
multiplicando por 2 y efectuando las operaciones 2 ln O x O E 2
4 arct"
y E ln x
aplicando las propiedades de lo"aritmo
2 x 2 + y 2 E 2 ln x 2 x
4 arct"
y = 2CB x
aplicando e ( x2 E y2 )
y x = 1
2 4 actr"
e
(<)
?a ecuaci&n (<) representa la familia de trayectorias a G0 a la familia de curvas x 2 E y = C+
2
ara obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuaci&n (<), que
+ 4 , se sustituye en dic'a ecuaci&n x = + , y = 4 $ 2 2 2 2 + 2 4 2 π + e2 4 arct" 4 = + + 4 e 2 4 4 = 2 44 π A A 2 2 e
pasa por el punto
1=
5ste valor de 1 se sustituye en la ecuaci&n (+0) 2
2
( x E y ) multiplicando por
− e
2 4 actr"
2 y = x e
4 π 4
y − π x 4 = +
e
2 4 π 4 2
2
( x E y )
e
2 4 actr"
(+0)
?a ecuaci&n (+0), es la ecuaci&n de la curva perteneciente a la familia de trayectorias a G0 del 'a de curvas x 2 E y2 = C+, que pasa por el punto
+ , 2
4 2
,)% O0te#"a $a c*r8a 2e $a 3a4i$ia 2e $a! trayectoria! a )7> 2e $a 3a4i$ia 2e c*r8a! y - C e −2x SOLUCIN: Se debe comenar por determinar la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C e92x E 4x (+) 5l 'a de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola ve$ 7erivando impl>citamente respecto de x y = 9 2 C e − 2 x E 4 (2) %a que la ecuaci&n (2) a;n posee la constante arbitraria C +, esta deber! eliminarse del sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (+) y (2)
y = C e − 2x + 4 x y : = − 2C e−2 x + 4 despeando C e − 2 x de la ecuaci&n (+), C e − 2 x = y 8 4x sustituyendo la ecuaci&n (4) en la ecuaci&n (2) y = 8 2 ( y 8 4x ) E 4
(4) (A)
?a ecuaci&n (A) es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas dada y = C e − 2 x E 4x ara obtener la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a +4B debe y :− t" +4B y : ++ = sustituirse y en la ecuaci&n (A) por ++ y : t" +4B +− y : y : ++ +− y :
= 82y E Gx E 4
multiplicando por ( + 8 y ) y E + =82y E Gx E 4 8 y (82y E Gx E4) sacando factor com;n y (8 2y EGx E A ) y = 82y E Gx E 2
(B)
?a ecuaci&n (B) es la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de trayectorias a +4B de la familia y = C e − 2 x E 4x
7espeando y de la ecuaci&n (B) − 2y + G x + 2 y: = − 2y + G x + A
=
− y + 4x + + − y + 4x + 2
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y − y + 4x + + dy = dx y 4 x 2 − + + multiplicando por (4x 8 y E 2) ( 4x 8 y E + ) dx E (84x E y 8 2) dy = 0
(G)
?a ecuaci&n (G) es una ecuaci&n diferencial reducible a una de variable separable, ya que las funciones involucradas, 4x 8 y E + = 0 , 8 4 x E y 8 2 = 0 representan ecuaciones de rectas paralelas (ambas tienen pendiente 4)$ ara resolver la ecuaci&n diferencial (G) se efect;a el cambio de variable v = 4 x − y
= − y 4x v ⇒
dy
= 4 dx − dv
sustituyendo el cambio de variable en (G) ( v E + ) dx E ( 8 v 8 2 ) ( 4 dx 8 dv ) = 0 desarrollando y sacando factor com;n dx ( v E + 8 4v 8 G ) dx E ( v E 2 ) dv = 0 simplificando (82v 8 B ) dx E ( v E 2 ) dv = 0
(J)
?a ecuaci&n (J) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables, se multiplica la ecuaci&n (J) por el factor ( − 2v − B ) dx 8 inte"rando
v + 2 2v + B
dv
= 0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ dx 8
v + 2 dv = 2v + B
C2
(M)
3mbas inte"rales son inmediatas
dx = x E C4
∫
v + 2 dv = 2v + B =
+ 2
2v + B − + dv = + 2 2v + B
v − + ln 2 2 +
2v
+ B E CA =
dv − dv 2v + B + v − + ln 2v + B 2 E CA A +
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (M) + + x 8 v − ln 2v + B = CB A 2 multiplicando por A y devolviendo el cambio de variable Ax 8 2 (4x 8 y) E ln O 2( 4x 8 y ) E B O= A C B efectuando las operaciones 8 2x E 2y E ln O Gx 8 2y E B O = A C B aplicando e e 2 ( y 8 x ) ( Gx 8 2y E B ) = 1
(<)
?a ecuaci&n (<) representa la familia de trayectorias a +4B a la familia de curvas y = C e − 2 x E 4x
E'ERCICIOS PROPUESTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS +$ Hbten"a las trayectorias orto"onales para cada una de las familias de curvas a) y = C+ x b) 4x E Ay = C+ c) y = C + x2 d) y = C + e 8 x e) y2 = C+ x4
f) y =
x + + C+ x
R: x2 E y2 = k A x +k 4 2 2 R: y + x = 1 k 2k 2 R: y = 2 (x E k) 2 2 R: y + x = 1 2k 3k
R: y =
R: x4 E y4 = k
") x2 E y2 = 2 C+ x
R: y2 E x2 = k y
') y2 8 x2 = C+ x4
R: x2 E 4 y2 = k y
C+
R: (x E +)2 8 y2 = k
i) y =
++ x
+ ) y = ln ( C+ x )
R: 2 y4 8 4 x2 = k
k) y = ln (t"x E C +)
A k + 2x + sen2x
R: y = ln
l) y = C + senx
R: y2 = ln cos2x E k
m) x2 = C y E y2
R: x(x2 E 4 y2) = k
n) x y = k
R: y2 8 x2 = k
2$ 7etermine las trayectorias a las familias se";n el !n"ulo indicado # = AB
R: y = 4x E k
b) x E y = C
# = G0
R: x2 E y2 = k
c) y = C e x
# = AB
R: (y E +)2 = k exEy
a) x 8 2y = C
2
d) y =
2
C
# = +4B
−2
y x
4 arct"
e
R: y2 8 2x2 8 2xy 8 Ax 8 2y 8 2= k
++ x
e) x y = C
# = G0
R:
f) 4x E Ay = C
# = +4B
R: y = 9 Jx E k
") y = C+ x
# = G0
4 (y2 8 x2) E 2xy = k
R: x E y = k 2
2
2
e
3
y x
arctg
4$ Ralle el miembro de la familia de trayectorias orto"onales al 'a 4xy 2 = 2 E 4 C +x que pasa por el punto (0,+0)
R: y = +0 e x 4 A$ Hbten"a la curva de la familia de trayectorias orto"onales al 'a x por el punto (2,+)
2
E C y 2 = + que pasa
2 2 R: A e x + y − B = x 2
B$ 7etermine la curva de la familia de trayectorias orto"onales al 'a x 2 = Cy E y 2 que pasa por (4,+) R: x (4y2 E x2) = 4G
G$ 7etermine la curva de la familia de trayectorias orto"onales al 'a y 2 = C ( + E x 2) que pasa por (8 2, B) 2 2 R: x2 e x + y − 29 =4G
J$ Hbten"a la curva de la familia de trayectorias a AB del 'a y =
R: x = ln
+ 4
ln
y− 4 y+ 4
−y
+ + C e A x 2 + − C e A x
EC
M$ uestre que las familias de curvas x 2 E Ay2 = C+ / y / C2 x A son trayectorias orto"onales una de la otra$
Y
F( x, y ) = 0 L n
( x, y )
L t
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS GUE INVOLUCRAN A LA RECTA TAN&ENTE Y LA RECTA NORMAL Cuando un problema "eom*trico est! enunciado en t*rminos de la recta tan"ente o la recta normal, los puntos de corte de estas con los ees coordenados quedan expresados en funci&n de la derivada y el modelo matem!tico que se obtiene va a representar una ecuaci&n diferencial, ya que las pendientes de las rectas tan"ente y normal a una curva en un punto, se pueden expresar en t*rminos de sus derivadas$ Consid*rese una curva F(x, y) = 0 y un punto (x, y) de ella (ver Fi"ura +)$
?a recta tan"ente a dic'a curva en el punto (x, y) es aquella recta, cuya intersecci&n con la curva es solo el punto (x, y)$ ?a recta normal a la curva F(x, y) = 0en el punto (x, y), es aquella recta perpendicular a la recta tan"ente y que pasa por el punto (x, y) (ver Fi"ura 2)$
OBSERVACIN: Como se est! indicando con (x, y) un punto "en*rico de la curva F(x, y) = 0, para poder diferenciar se indicar! con (, %) las coordenadas de cualquier punto de la recta tan"ente o de la recta normal$ 5n el punto (x, y), resulta que6 =x
%=y
or c!lculo diferencial, se sabe que la pendiente de la recta tan"ente a una curva en un punto es i"ual a la derivada de la curva evaluada en dic'o punto$ or lo tanto, la pendiente de la recta tan"ente ? t a la curva F(x, y) = 0 en el punto (x, y) es m t = y$ 7e aqu> que, la ecuaci&n de la recta tan"ente es6 ?t6 % 8 y = y ( 8 x ) %a que la recta normal pasa por el mismo punto (x, y) y es perpendicular a la recta tan"ente, por "eometr>a anal>tica se sabe que$ 5l producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es i"ual a 8+, esto es, m t mn = 8+/ de aqu> que la pendiente de la recta
1
normal es mn = 8 y' or lo tanto, la ecuaci&n de la recta normal es6 ?n 6 % 8 y = 8
1 y' ( 8 x )
?os puntos de corte de cada una de estas rectas con los ees coordenados, quedar!n expresados en funci&n de x, y, y (ver Fi"ura 4)
5l punto 3 (ax, ay) es el punto de intersecci&n entre la recta tan"ente y el ee x$ or ser 3 un punto en el ee x, resulta a y = 0$ ara determinar a x, se sustituye en la ecuaci&n de la recta tan"ente, = a x y % = ay = 0 8 y = y ( ax 8 x ) despeando a x y ax = x 8 y: or lo tanto, las coordenadas del punto 3 son
y x − , 0 y:
5l punto Q (b x, by) es el punto de intersecci&n entre la recta tan"ente y el ee y$ or ser Q un punto en el ee y, resulta b x = 0$ ara determinar b y, se sustituye en la ecuaci&n de la recta tan"ente, = b x = 0 y % = by by 8 y = y (8 x ) despeando b y by = y 8 x y or lo tanto, las coordenadas del punto Q son
( 0, y − x y: )
5l punto C (c x, cy) es el punto de intersecci&n entre la recta normal y el ee x$ or ser C un punto en el ee x, resulta c y = 0$ ara determinar c x, se sustituye en la ecuaci&n de la recta normal, = c x y % = cy = 0 + 8 y = − ( cx 8 x ) y : despeando c x cx = x E y y
or lo tanto, las coordenadas del punto C son
( x + y y: , 0)
5l punto 7 (d x, dy) es el punto de intersecci&n entre la recta normal y el ee y$ or ser 7 un punto en el ee y, resulta d x = 0$ ara determinar d y, se sustituye en la ecuaci&n de la recta normal, = d x = 0 y % = dy + dy 8 y = − ( 8 x ) y: despeando d y dy = y E
x y:
or lo tanto, las coordenadas del punto 7 son
0,
y
+
x y:
Ray dos se"mentos a los cuales se 'ace referencia en muc'o de estos problemas "eom*tricos, estos son6 la subtan"ente y la subnormal$
SUBTAN&ENTE ?a subtan"ente es el se"mento de recta comprendido entre la proyecci&n del punto (x, y) sobre un determinado ee coordenado y el punto de corte de la recta tan"ente con dic'o ee coordenado (ver Fi"ura A)$
SUBNORMAL ?a subnormal es el se"mento de recta comprendido entre la proyecci&n del punto (x, y) sobre un determinado ee coordenado y el punto de corte de la recta normal con dic'o ee coordenado (ver Fi"ura B)$
E'ERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN( A PROBLEMAS GUE INVOLUCRAN A LA RECTA TAN&ENTE Y LA RECTA NORMAL )% Deter4i#ar to2a! $a! c*r8a! 5$a#a!( ta$e! 9*e $a recta ta#"e#te e# ca2a 5*#to /.(y1 5a!e 5or e$ 5*#to /<)( )1 SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta tan"ente a una curva en un punto (x, y) es % 8 y = y ( 8 x )
(+)
%a que la recta tan"ente debe pasar por el punto (8+, +), se tiene que las coordenadas de dic'o punto satisfacen la ecuaci&n (+) Sustituyendo = 8+ , % = + en la ecuaci&n (+) + 8 y = y ( 8+ 8 x )
(2)
?a ecuaci&n (2) representa la ecuaci&n diferencial asociada a la familia de curvas cuya recta tan"ente pasa por el punto (8+, +)$ ?ue"o, para obtener la ecuaci&n de esa familia de curvas, basta con resolver la ecuaci&n diferencial (2) 7espeando y de la ecuaci&n (2) y =
y −+ x ++
Como la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y
y − + dx x + +
dy = equivalentemente
( + 8 y ) dx E ( x E +) dy = 0
(4)
?a ecuaci&n (4), es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables debe multiplicarse la ecuaci&n (4) por el factor ( x + +) (+ − y ) + + dx + dy = 0 x ++ +− y inte"rando
∫
+
dx +
x ++
∫
+
+− y
dy = C+
(A)
3mbas inte"rales son inmediatas
∫
+
x ++
∫
+
+− y
dy = −
dx = ln O x E +O E C 2
∫
+
y −+
dy = 8 ln O y 8 +O E C 4
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (A) ln O x E + O 8 ln O y 9 + O = C aplicando las propiedades de lo"aritmo x ++ ln = C y −+ aplicando e x ++
=
1
=
y
−
+
+
+
=
y
y −+ multiplicando por ( y 8 + )
+ k x ++ 1
despeando y x ++ 1 reordenando la ecuaci&n y
=
+ 1
x
+ + 1 + 1
(B)
?a ecuaci&n (B) es la ecuaci&n de una familia de rectas de pendiente en el ori"en
1 + + $ 5sta familia satisface la condici&n que la 1
+ 1
y ordenada
recta tan"ente en cualquiera
de sus puntos pasa por el punto (8+,+)
,% La recta #or4a$ a *#a c*r8a 2a2a e# ca2a 5*#to /.( y1 !o0re 2ica c*r8a( 5a!a a tra8! 2e$ 5*#to /,( 1% Si e$ 5*#to /,( 71 5erte#ece a 2ica c*r8a( e#c*#tre!e !* ec*aci+#% SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta normal a una curva en un punto cualquiera (x, y) de la misma es6 ?n 6 % 8 y =
+ − ( 8 x ) y :
(+)
5sta recta normal pasa por el punto (2, 0), esto quiere decir que las coordenadas de dic'o punto satisfacen la ecuaci&n (+) Sustituyendo = 2, % = 0 en la ecuaci&n (+) + 8 y = − ( 2 8 x ) y : ultiplicando por
−
y:
y y =
2 − x y
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y 2 − x dy = dx y
(2)
5sta es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables, se multiplica la ecuaci&n (2) por el factor ( y ) ( x 8 2 ) dx E y dy = 0 inte"rando
∫
( x − 2) dx E
3mbas inte"rales son inmediatas
∫
y dy = C+
(4)
∫
( x − 2) dx =
( x − 2) 2 E C 2 2
∫
2 y dy = y E C4 2
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (4)
( x − 2) 2 E y 2 = C 2
2
multiplicando por 2 ( x 8 2 )2 E y2 = 1
(A)
?a ecuaci&n (A) es la ecuaci&n de una familia de circunferencias con centro en (2,0) y radio variable$ ara determinar la curva de dic'a familia que pasa por el punto (2,4), se sustituyen x = 2, y = 4 en la ecuaci&n (A), obteni*ndose 1 = <$ 5ste valor que se obtuvo para 1 se sustituye en la ecuaci&n (A) ( x 8 2 ) 2 E y2 = < (B) ?a ecuaci&n (B) es la ecuaci&n de la circunferencia de centro (2,0) y radio 4 que pasa por el punto (2,4)$
7% E#c*#tre#!e to2a! $a! c*r8a! 5$a#a! 5ara $a! 9*e e$ ee y 0i!eca $a 5arte 2e $a ta#"e#te co45re#2i2a e#tre e$ 5*#to 2e ta#"e#cia y e$ ee . SOLUCIN: Sea (x, y) el punto de tan"encia, 3 (a x, ay) el punto de intersecci&n entre la recta tan"ente y el ee x, Q (b x, by) el punto de intersecci&n entre la recta tan"ente y el ee y$
7e acuerdo con el enunciado, el ee y biseca al se"mento comprendido entre el punto de tan"encia y el ee x/ esto si"nifica que el ee y divide en dos partes i"uales a dic'o se"mento$ Se";n puede observarse en la "r!fica anterior, esto equivale a decir que el punto Q es el punto medio del se"mento comprendido entre el punto y el punto 3$ Si las coordenadas de los puntos son6 (x, y), 3 (a x , ay ) y Q ( b x , by) entonces, por conocimientos de "eometr>a anal>tica, se deben satisfacer las si"uientes relaciones entre las coordenadas de dic'os puntos x + ax bx = (+) 2 y + ay (2) by = 2 Sea ?t 6 % 8 y = y ( 8 x ) la ecuaci&n de la recta tan"ente a una curva en el punto (x, y) ara determinar las coordenadas del punto 3, debe primero observarse que por ser un punto del ee x, se tiene que a y = 0$ or otra parte, este punto 3 (a x, ay) = (ax, 0) tambi*n pertenece a la recta tan"ente, por lo tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuaci&n de dic'a recta$ 3s>, sustituyendo = a x y % = 0, en la ecuaci&n ? t, 8 y = y ( ax 8 x ) despeando a x y ax = x 8 y:
3s>, el punto 3 tiene coordenadas ( x 8
y ,0) y:
ara determinar las coordenadas del punto Q, debe primero observarse que por ser un punto del ee y, se tiene que b x = 0$ or otra parte, este punto Q (b x, by) = (0, b y) tambi*n pertenece a la recta tan"ente, por lo tanto, sus coordenadas satisfacen la ecuaci&n de dic'a recta$ 3s>, sustituyendo = 0 y % = b y, en la ecuaci&n ? t, by 8 y = y ( 8 x) despeando b y by = y 8 y x 3s>, el punto Q tiene coordenadas ( 0, y 8 y x ) na ve que las coordenadas de los puntos involucrados se 'an expresado en funci&n de x, y , y, a'ora se procede a sustituir las coordenadas de dic'os puntos en las ecuaciones (+) y (2) Sustituyendo a x = x 8
y y:
, bx = 0 en la ecuaci&n (+)
0=
x
+ x −
y y:
2
=
2 x y: − y 2 y:
multiplicando por 2 y 2 x y 8 y = 0
(4)
Sustituyendo a y = 0 , by = y 8 y x en la ecuaci&n (2) y y 8 y x = 2 multiplicando por 2 y simplificando 2 x y 8 y = 0
(A)
Comparando las ecuaciones (4) y (A) resulta que son la misma ecuaci&n$ or lo tanto, la ecuaci&n diferencial asociada al problema planteado es 2 x y 8 y = 0$ 7espeando y y y:= 2x %a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y y dx dy = 2x
(B)
?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables, se multiplica la ecuaci&n (B) por el factor y + dy 8 y inte"rando
+ dx 2x
=0
∫ ∫ + dy 8 y
+ dx = C+ 2x
3mbas inte"rales son inmediatas
∫ ∫
+ y
+
2x
dy = ln O y O E C2
dx =
+ 2
ln x E C4
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G) + ln x = C ln O y O 8 2 multiplicando por 2 y aplicando propiedades de lo"aritmo
(G)
ln
y2 x
=C
aplicando e y2 = 1 x
(J)
?a ecuaci&n (J) es la ecuaci&n de la familia de curvas para las que el ee y biseca el se"mento de la recta tan"ente comprendido entre el punto de tan"encia y el punto de corte con el ee x$ ?a ecuaci&n (J), es la ecuaci&n de una familia de par!bolas, de v*rtice en el ori"en, con ee focal el ee x$
;% La 5e#2ie#te 2e $a recta ta#"e#te e# c*a$9*ier 5*#to / .( y1 2e *#a c*r8a e! ) $a c*r8a 5a!a 5or e$ 5*#to /)( )1( e#c*e#tre !* ec*aci+#%
y x
% Si
SOLUCIN: Sea y = f(x) una curva cualquiera$ 7e acuerdo con la interpretaci&n "eom*trica de la derivada, la pendiente de la recta tan"ente a una curva en un punto cualquiera (x, y) es la derivada y de la ecuaci&n de la curva evaluada en el punto de tan"encia$ or lo tanto, de acuerdo con el enunciado y = + E
y x
(+)
Como se debe encontrar la curva que pase por el punto (+,+), entonces 'ay que resolver la ecuaci&n diferencial (+) sueta a la condici&n y (+) = + %a que la diferencial de la variable y est! dada por dy = y dx, sustituyendo y y dy = + + dx x multiplicando por x x dy = ( x E y ) dx a"rupando los t*rminos a un solo lado de la i"ualdad ( x E y ) dx 9 x dy = 0
(2)
?a ecuaci&n (2) es una ecuaci&n diferencial 'omo"*nea con "rado + de 'omo"eneidad$ Sacando factor com;n x, en la ecuaci&n (2) (x @ 0) y x + + dx − dy = 0 x + multiplicando por y efectuando el cambio de variable x
v = y x y = v x ⇒ dy = v dx + x dv
( + E v ) dx 8 ( v dx E x dv ) = sacando factor com;n dx ( + E v 8 v ) dx 8 x dv = 0
simplificando dx 8 x dv = 0
(4)
?a ecuaci&n (4) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables se multiplica la ecuaci&n (4) por el factor x + dx 8 dv = 0 x inte"rando
∫ ∫ ∫ ∫ + dx 8 x
dv = C+
(A)
3mbas inte"rales son inmediatas + x
dx = lnO x O E C2
dv = v E C4
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (A) lnO x O 8 v = C devolviendo el cambio de variable lnO x O 8
y = C x
multiplicando por x x lnO x O 8 y = x C despeando y y = x
[C +
ln x
]
(B)
?a ecuaci&n (B) es la ecuaci&n de la familia de curvas para las que la pendiente de la y recta tan"ente en cualquiera de sus puntos es + + x ara obtener la curva de esta familia que pasa por el punto (+, +), se sustituye en la ecuaci&n (A) x = +, y = + + = + [ C + ln + ] ⇒ C = + 5ste valor conse"uido para C se sustituye en la ecuaci&n (B) y = x [+
+
ln x
]
(G)
?a ecuaci&n (G) es la ecuaci&n de la curva cuya pendiente de la recta tan"ente es y i"ual a + + y tal que pasa por el punto (+, +) x
>% E#c*e#tre *#a ec*aci+# 5ara $a 3a4i$ia 2e c*r8a! ta$ 9*e $a 5e#2ie#te 2e $a recta ta#"e#te e# c*a$9*ier 5*#to e! $a !*4a 2e $a 4ita2 2e $a or2e#a2a y 2o! 8ece! $a a0!ci!a 2e$ 5*#to% SOLUCIN: ?a pendiente de la recta tan"ente a una curva en un punto cualquiera de esta, de acuerdo con la interpretaci&n "eom*trica de la derivada, es i"ual a la derivada de la ecuaci&n de la curva evaluada en el punto de tan"encia$ Si el punto tiene coordenadas (x, y) entonces la abscisa es x, la ordenada es y$ or lo tanto, matem!ticamente el enunciado de este problema se traduce en la si"uiente ecuaci&n diferencial6 + y = y E 2x (+) 2 %a que la derivada de la variable y es dy = y dx, sustituyendo la ecuaci&n (+) resulta + y + 2 x dx dy = 2 multiplicando por 2 y a"rupando todos los t*rminos a un lado de la i"ualdad ( y E A x ) dx 8 2 dy = 0 (2) ?a ecuaci&n (2) no es una ecuaci&n diferencial ni de variables separables, ni 'omo"*nea$ Sean ( x, y ) = y + A x , K ( x, y ) = −2 ; calculando las derivadas parciales ∂ ( x, y ) ∂ K ( x, y ) =+ =0 y ∂y ∂x Hbserve que las derivadas parciales son diferentes, por lo que la ecuaci&n diferencial (2) no es exacta$ ?a ecuaci&n diferencial (2) ser! reducible a exacta si es posible obtener un factor inte"rante de la forma U (x, y) =
∫
" ( v ) dv
e
(4)
donde
"(v) =
∂ ( x, y ) − ∂ K ( x, y ) ∂ y ∂ x K ( x, y ) ∂ v ( x, y ) ∂ v ∂ x − ∂ y
(A)
Sea v = x entonces
∂v = 0 $ Sustituyendo los datos en la ecuaci&n ∂y +− 0 + = − 2 − 2 ( +) − ( y + A x ) ( 0 )
∂v =+ ∂x
"(v) =
y
(A) (B)
la ecuaci&n (B) se sustituye en la ecuaci&n (4) 1 − 1 v − 1 x U (x, y) = ∫ − 2 dv 2 2 e =e =e ultiplicando la ecuaci&n (2) por el factor inte"rante U (x, y) =
− 1 x ( y E A x ) 2 e
x 8 2
− 1 x 2 e
− 1 x dy 2 e
= 0
(G) ?a ecuaci&n diferencial (G) debe ser exacta$ 5n efecto, si 1 − 1 x (x,y) = − 2 x ( y E A x ) y P (x,y) = 8 2 2 e e entonces 1 − 1 x ∂ M (x,y) − 2 x ∂ N ( x , y ) =e = e 2 ∂y ∂x ?as derivadas parciales resultaron i"uales por lo que la ecuaci&n diferencial (G) es exacta$ 5sto si"nifica que existe una funci&n F(x, y) = C, tal que − 1 x ( y E A x ) dx 8 2 − 1 x dy = 0 dF(x, y) = (x, y) dx E P(x, y) dy = 2 2 e e (J) como la diferencial total de la funci&n F (x, y) es ∂ F ( x, y) ∂ F ( x, y ) dx + dy dF(x,y) = ∂x ∂y comparando las ecuaciones (J) y (M) ∂ F ( x, y ) 1 = (x,y) = − 2 x ( y E A x ) ∂x e
∂ F ( x, y ) dy = ∂y
P (x,y) = 8 2
− 1 x e 2
(M)
(<) (+0)
inte"rando la ecuaci&n (+0) parcialmente respecto de y
y − 1 x ∂ F(x, y) dy 2 ∂y = − 2e ∂ y x ctte x ctte y
∫
3mbas inte"rales son inmediatas
∫
(++)
y
∫
∂ F ( x, y ) ∂y = F ( x, y) y ∂
x ctte
y
− 1 x 1 x E '(x) − 2e 2 dy = 8 2 y − 2 e
∫
x ctte sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (++) 1 F (x,y) = 8 2 y − 2 x E '(x) e derivando la ecuaci&n (+2) parcialmente respecto de x − 1 x d h(x) ∂ F(x,y) = y e 2 + dx ∂x comparando las ecuaciones (+4) y (<) 1 − 1 x ( y E A x ) = y e − 2 x + d h(x) 2 e dx desarrollando y simplificando − 1 x d h(x) 2 = 4xe dx %a que la diferencial de la funci&n '(x) es d '(x) = d '( x) =
d ' ( x ) dx, sustituyendo dx
(+2)
(+4)
d'( x ) dx
− 1 x dx 2 4xe
inte"rando
∫ d h(x) = 4∫ -esolviendo las inte"rales
− 1 x dx x e 2
∫
d ' ( x ) = '( x )
− 1x se resuelve por el m*todo de inte"raci&n por partes x e 2
∫
∫
u dv
= uv −
∫
v du
donde
du = dx ⇒ u= x 1x 1 x − − dv = e 2 ⇒ 2 v = −2 e
(+A)
1 x 1 x − − − 1 x = x e 2 − 2 x e 2 − − 2 e 2 dx
∫
∫
=
− 1 x + 2 2 −2xe
=
− 1 x − 2 x e 2 −
− 1 x e 2 dx
∫
− 1 x E 4 e 2
C+
sustituyendo los resultados de las inte"rales en (+A) − − 1 x 8 1x E A C+ '(x) = − 8 x e 2 16e 2 5sta funci&n '(x) obtenida se sustituye en la ecuaci&n (+2) 1 − − 1 x 8 1 x E A C+ F (x,y) = 8 2 y − 2 x 2 2 −8 xe 16 e e 3s>, la soluci&n "eneral de la ecuaci&n diferencial (2) es 1 − − 1 x E 1 x = 1 2 y − 2 x E 2 2 8xe 16 e e multiplicando por
+ + x e 2 2 y E A x E M =
1
e
2
+x 2
despeando y y = 8A (xE 2) E
1 2
e
+x 2
(+B)
?a ecuaci&n (+B) representa la ecuaci&n de la familia de curvas para las que la pendiente de la recta tan"ente en cualquier punto es la suma de la mitad de la ordenada m!s el doble de la abscisa$
?% E# i#terce5to co# e$ ee y( 2e $a recta #or4a$ a *#a c*r8a e# c*a$9*iera 2e !*! 5*#to!( e! i"*a$ a ,% Si $a c*r8a 5a!a 5or e$ 5*#to /7( ;1( e#c*e#tre !* ec*aci+#% SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta normal a una curva en un punto cualquiera (x, y) es + ?n 6 % 8 y = − ( 8 x ) y : 5l intercepto de la recta normal con el ee y se obtiene sustituyendo = 0 en la ecuaci&n de dic'a recta + % 8 y = − ( 0 8 x ) y :
despeando % % = y E
x y:
(+)
?a ecuaci&n (+) representa el intercepto de la recta normal con el ee y$ 7e acuerdo con el enunciado del problema, este intercepto debe ser i"ual a 2$ N"ualando la ecuaci&n (+) a2 x y E = 2 y: multiplicando poy y y y E x = 2 y sacando factor com;n y ( y 8 2 ) y E x = 0 (2) ?a ecuaci&n (2) es la ecuaci&n diferencial asociada al problema planteado y la misma debe resolverse sueta a la condici&n y (4) = A 7espeando y de la ecuaci&n (2) y =
x − y 2 −
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y x dy = − dx y 2 −
(4)
?a ecuaci&n (4) es una ecuaci&n diferencial de variable separable$ ara separar las variables, se multiplica la ecuaci&n (4) por el factor ( y 92 ) x dx E ( y 8 2 ) dy = 0 inte"rando
∫ ∫ ∫ ∫ +
x dx
( y − 2 ) dy = C+
(A)
3mbas inte"rales son inmediatas
x dx
(y
=
x2 2
− 2 ) dy =
+ C2 ( y − 2)2 2
+
C4
sustituyendo los resultados de las inte"rales en (A) x2 2
E
( y−2) 2 = C 2
multiplicando por 2 x2 E ( y 8 2 )2 = 1
(B)
?a ecuaci&n (B) representa la ecuaci&n de una familia de circunferencias con centro en (0,2) y radio 1 ara determinar la ecuaci&n de esta familia que pasa por el punto (4,A), se sustituyen x = 4, y = A en la ecuaci&n (B) ⇒ 1 = +4 (4) 2 E (A 8 2) 2 = 1 5l valor conse"uido para 1, se sustituye en la ecuaci&n (B) x 2 E ( y 8 2 ) 2 = +4
(G)
?a ecuaci&n (G) es la ecuaci&n de la curva cuyo intercepto de la recta normal con el ee y es i"ual a 2 y que pasa por el punto (4,A)
@% E$ i#terce5to e# e$ ee y 2e $a recta ta#"e#te a *#a c*r8a e# c*a$9*iera 2e !*! 5*#to!( e! !ie45re i"*a$ a $a 5e#2ie#te 2e $a recta ta#"e#te e# e!e 5*#to% Si $a c*r8a 5a!a 5or e$ 5*#to /,()1( e#c*e#tre !* ec*aci+#% SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta tan"ente a una curva en un punto cualquiera (x, y) es ?t 6 % 8 y = y ( 8 x ) ?a pendiente de esta recta est! dada por la derivada y de la curva evaluada en el punto de tan"encia$ 5l intercepto de la recta tan"ente con el ee y, se obtiene sustituyendo = 0 en la ecuaci&n de dic'a recta y despeando %$ 3s> % 8 y = y ( 0 8 x ) despeando % % = y 8 y x (+) 7e acuerdo con el enunciado la ecuaci&n (+), que representa el intercepto de la recta tan"ente con el ee y, debe ser i"ual a la pendiente y de la recta tan"ente y 8 y x = y sacando factor com;n y y 8 ( x E + ) y = 0 despeando y y y: = x ++ %a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustiuyendo y y dx dy = x + +
(2)
?a ecuaci&n (2) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables, se multiplica la ecuaci&n (2) por el factor y + y inte"rando
+ dx x + +
dy 8
∫ ∫ ∫ ∫ + y
= 0
+ dx x + +
dy 8
= C+
(4)
3mbas inte"rales son inmediatas
+ y
dy = ln O y O E C 2
+ dx = x + +
ln O xE+O E C4
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (4) ln O y O 8 ln O xE+ O = C aplicando las propiedades de lo"aritmo y ln =C x ++ aplicando e y x ++
= 1
despeando y y=1 (xE+)
(A)
?a ecuaci&n (A) es la ecuaci&n de la familia cuyo intercepto de la recta tan"ente con el ee y coincide con la pendiente de dic'a recta y representa una familia de rectas$ ara determinar la ecuaci&n de la curva de esta familia que pasa por el punto (2,+), se sustituyen x = 2 , y = + en la ecuaci&n (A) ⇒ 1= + +=1(2E+) 4 5l valor obtenido para 1, debe sustituirse en la ecuaci&n (A) + y= (xE+) 4
(B)
?a ecuaci&n (B) es la ecuaci&n de la curva cuyo intercepto de la recta tan"ente con el ee y es i"ual a la pendiente de dic'a recta tan"ente y que adem!s pasa por el punto (2,+)$
% La $o#"it*2 2e$ !e"4e#to 2e $a recta #or4a$ e#tre e$ 5*#to 2e ta#"e#cia y e$ 5*#to 2e corte 2e 2ica recta co# e$ ee . e! !ie45re i"*a$ a *#a co#!ta#te a J % M*e!tre 9*e $a c*r8a e! *#a circ*#3ere#cia 2e ra2io a%
SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta normal a una curva en un punto cualquiera (x, y) es + ?n 6 % 8 y = − ( 8 x ) y :
(+)
Sea 3 (a x, a y) el punto de corte de la recta normal con el ee x$ %a que el punto esta sobre el ee x se tiene que, a y = 0$ Raciendo % = ay = 0 en la ecuaci&n (+) + − y = ( 8 x) y : despeando = x E y y = a x 3s>, el punto de
corte de la recta normal
con el ee x es 3 (x E y y, 0)
?a lon"itud del se"mento de la recta normal comprendido entre el punto de tan"encia y el punto de corte de dic'a recta con el ee x, se obtiene calculando la distancia que 'ay entre los puntos ( x, y ) y 3 ( x E y y, 0 ) d(, 3) =
[ x − ( x − y y : ) ] 2 + ( y − 0 ) 2 =
( y y: ) 2 + y2
=a
5levando al cuadrado
y2 ( y ') 2 + y 2 = a 2 3"rupado los t*rminos a un solo lado de la i"ualdad y2 ( y) 2 E (y2 8 a2) = 0 despeando y a2
y =
−y2 y
Como la diferencial de y esta dada por dy = y dx, sustituyendo y a2
dy =
−y2 y
dx
(2)
?a ecuaci&n (2) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separara las y variables, se con multiplica la ecuaci&n (2) por el factor a2 − y2 dx inte"rando
−
y
∫ ∫ dx
dy = 0
a2 −y2 y
−
a
2
−y
2
dy
= C+
(4)
-esolviendo las inte"rales
∫
dx = x E C2
ara resolver la inte"ral
∫
∫
y a
2
−y
2
dy , se efect;a el si"uiente cambio de variables
u2 = a2 − y 2 2 u du = − 2 y dy ⇒ − u du = y dy y a2
− y2
dy =
∫
−u u
du = −
∫
du = 8 u E C4 = 8
a2
− y2
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (4) x
− −
a2 − y 2
= C
equivalentemente
−
a2 − y 2 = x 8 C
elevando al cuadrado a 2 8 y2 = ( x 8 C ) 2 ordenando los t*rminos de la ecuaci&n ( x 8 C ) 2 E y2 = a2
(A)
?a ecuaci&n (A) es la ecuaci&n de familia de circunferencia con centro (C, 0) y radio a
% E#c*e#tre $a ec*aci+# 2e *#a c*r8a 9*e 5a!a 5or e$ 5*#to /)()1 co# $a 5ro5ie2a2 2e 9*e $a $o#"it*2 2e$ i#terce5to 2e $a recta ta#"e#te co# e$ ee .( e! i"*a$ a $a $o#"it*2 2e$ i#terce5to 2e $a recta #or4a$ co# e$ ee y SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta tan"ente a una curva en un punto cualquiera (x,y) es ?t 6 % 8 y = y ( 8 x ) 5l intercepto de la recta tan"ente con el ee x es el se"mento comprendido entre el ori"en del sistema de coordenadas y el punto de corte de dic'a recta con el ee x$ Sea 3 (a x, ay) las coordenadas del punto de corte de la recta tan"ente con el ee x$ or estar el punto 3 sobre el ee x, a y = 0$ ara determinar a x, se sustituyen en la ecuaci&n de la recta tan"ente = a x , % = a y = 0 8 y = y ( ax 8 x ) despeando a x y ax = x 8 y:
or lo tanto, el punto 3 tiene coordenadas ( x 8
y
, 0 ) y: ?a lon"itud del intercepto de la recta tan"ente con el ee x, viene dada como la lon"itud del se"mento H3, es decir, la distancia entre el ori"en H del sistema de coordenadas y el punto 3 de corte de la recta tan"ente con el ee x
x −
d(H, 3) = O H3 O =
2
y y:
=
x
−
y y:
(+)
?a ecuaci&n de la recta normal a una curva en un punto cualquiera (x, y) es + ?n 6 % 8 y = − ( 8 x ) y: 5l intercepto de la recta normal con el ee y es el se"mento comprendido entre el ori"en del sistema de coordenadas y el punto de corte de dic'a recta con el ee y$ Sea Q (b x, b y) las coordenadas del punto de corte de la recta normal con el ee y$ or estar el punto Q sobre el ee y, b x = 0$ ara determinar b y, se sustituyen en la ecuaci&n de la recta normal = b x = 0 , % = b y + by 8 y = − (8 x) y: despeando b y x by = y E y: x or lo tanto, el punto Q tiene coordenadas ( 0, y E ) y: ?a lon"itud del intercepto de la recta normal con el ee y, viene dada como la lon"itud del se"mento HQ, es decir, la distancia entre el ori"en H del sistema de coordenadas y el punto Q de corte de la recta normal con el ee y
y +
d(H, Q) = O HQ O =
2
x
= y:
y
+
x y:
7e acuerdo con el enunciado las ecuaciones (+) y (2) son i"uales x −
y y:
=
y+
x y:
(se trabaa sin el valor absoluto) multiplicando por y x y 8 y = y y E x sacando factor com;n y ( x 8 y ) y = x E y despeando y x + y y = x − y
(2)
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y dy =
x + y dx − x y
multiplicando por (x 8 y) y a"rupando todos los t*rminos a un solo lado de la i"ualdad ( x E y ) dx E ( y 8 x ) dy = 0
(4)
?a ecuaci&n (4) es una ecuaci&n diferencial 'omo"*nea$ Sacando factor com;n x
y y + + x dx + x − + dy = 0 v = y x ( x @ 0) y efectuando el cambio y = vx ⇒ x
multiplicando por
+ x
dy
= v dx + x dv
( + E v ) dx E ( v 8 + ) ( v dx E x dv) = 0 desarrollando y sacando factor com;n dx ( + E v E v2 8 v ) dx E x ( v 8 + ) dv = 0 Simplificando ( + E v2 ) dx E x ( v 8 + ) dv = 0
(A)
?a ecuaci&n (A) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables se multiplica la ecuaci&n (A) por el factor x ( + + v2 ) + dx E x inte"rando
v − + dv = 0 2 + + v
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + x
dx E
v − + dv = C+ + + v 2
3mbas inte"rales son inmeditas
+ x
v − + dv 2 + + v
=
=
+
2
+
dx = ln O x O E C2
2v dv 2 + + v
ln + + v 2
8
∫
+ dv 2 + + v
8 arct" v E C4 2 sustituyendo los resultados de las inte"rales en (B) + ln + + v 2 8 arct" v = C ln O x O E 2
(B)
devolviendo el cambio de variable ( v =
y ) x 2
+ y ln + + ln O x O E 2 x
8 arct"
y x
= C
8 2 arct"
y x
= 2C
multiplicando por 2 y efectuando operaciones 2 ln O x O E ln
x2
+
y2
x2
aplicando propiedades de lo"aritmo ln
x
2
x 2 + y 2 x2
= 2C E 2 arct"
y x
simplificando y aplicando e ( x2 E y2 ) = 1
y 2 arct" x e
(G)
?a ecuaci&n (G) es la ecuaci&n de la familia de curvas para las que la lon"itud del intercepto de la recta tan"ente con el ee x, es i"ual a la lon"itud del intercepto de la recta normal con el ee y$ ara obtener la curva de esta familia que pasa por el punto (+,+), se sustituye en la ecuaci&n (G) x = + , y = + ( +2 E +2 ) = 1 e [ 2 arct"+ ] 2 = 1 eπ ⇒ 1 = 2 e− π 5l valor obtenido para 1 se sustituye en la ecuaci&n (G) ( x2 E y2 ) = 2 e − π
y 2 arct" x e
aplicando propiedad del producto de potencias de i"ual base ( x2 E y2 ) = 2
y − π 2 arct" x e
(J)
?a ecuaci&n (J) es la ecuaci&n de la curva buscada
)% E# ca2a 5*#to P/.(y1 2e *#a c*r8a( $a $o#"it*2 2e$ !e"4e#to 9*e $a recta ta#"e#te i#terce5ta e# e$ ee y e! i"*a$ ,.y, Ha$$ar $a c*r8a !o$*ci+# SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta tan"ente es ?t 6 % 8 y = y ( 8 x ) 5l se"mento que la recta tan"ente intercepta en el ee y, es el se"mento comprendido entre el ori"en del sistema de coordenadas y el punto de corte de la recta tan"ente con el ee y$ Sea 3 (a x, ay) el punto de corte de la recta tan"ente con el ee y$ or estar el punto 3 en el ee y, resulta que a = ax = 0 , % = a y
x
= 0$ ara obtener a y basta con sustituir
ay 8 y = y ( 0 8 x ) despeando a y ay = y 8 x y or lo tanto, el punto de corte de la recta tan"ente con el ee y es 3 ( 0, y 8 x y ) ?a lon"itud del se"mento que la recta tan"ente intercepta en el ee y, esto es la lon"itud del se"mento H3, es i"ual a la distancia del punto H( 0, 0 ) al punto 3 ( 0, y 8 x y ) l H3 l = d (H,3) =
( y − x y: ) 2 = y − x y:
7e acuerdo con el enunciado esta distancia es i"ual a 2 x y 2 y 8 x y = 2 x y 2 despeando y y:
=
y − 2xy2 x
=
y x
−
2y 2
(+)
?a ecuaci&n (+) es una ecuaci&n diferencial de Qernoulli, pues puede escribirse de la forma6 y E (x) y = K(x) y n$ 5n efecto + y − y = 8 2 y2 (2) x ara resolver la ecuaci&n diferencial (2) se multiplica por el factor ( y + −+ y y 92 − y = 82 x
Se efect;a el cambio de variable
= y −+ : = − y −2 y:
⇒
y − 2 y:
sustituyendo el cambio de variable en la ecuaci&n (4) + 8 8 = 8 2 x multiplicando por (8 +) + E = 2 x despeando
1 x
= 2 8 %a que la diferencial de la variable es d = dx, sustituyendo + d = 2 − dx x esta ecuaci&n puede escribirse
92
)
= − :
(4)
+ dx x
d E
= 2 dx
(A)
?a ecuaci&n (A) es una ecuaci&n diferencial lineal pues es de la forma d E (x) dx = P(x) dx + donde (x) = y P(x) = 2$ ara resolverla, debe determinarse un factor inte"rante x
µ (x) = e
∫
( x ) dx
∫
+
µ (x) =
x
dx =
e lnx = x
e multiplicando la ecuaci&n (A) por el factor inte"rante x d E dx = 2 x dx
(B)
%a que, el t*rmino iquierdo de la ecuaci&n (B) es i"ual a la diferencial total del producto entre el factor inte"rante y la variable , esto es, x d E dx = d (x ), sustituyendo en la ecuaci&n (B) d ( x ) = 2x dx inte"rando
∫ ∫ ∫ ∫ d ( x) = 2
3mbas inte"rales son inmediatas
x dx
(G)
d ( x) = x E C+ 2 x dx = x + C2 2
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G) x = x2 E C devolviendo el cambio de variables = y 8 + x y 8 + = x2 E C multiplicando por el factor ( x 2 E C ) y x y= x 2 + C+
(J)
?a ecuaci&n (J) es la ecuaci&n de la familia de curvas para las que la lon"itud del se"mento que la recta tan"ente intercepta en el ee y es i"ual a 2 x y 2
))% E# ca2a 5*#to P/.( y1 2e *#a c*r8a $a $o#"it*2 2e $a !*0ta#"e#te e! 5ro5orcio#a$ a$ c*a2ra2o 2e $a a0!ci!a 2e 2ico 5*#to% Ha$$ar $a c*r8a 9*e 5a!a 5or e$ 5*#to /)( e1 SOLUCIN:
?a ecuaci&n de la recta tan"ente a una curva en un punto cualquiera (x, y) es ?t 6 % 8 y = y ( 8 x ) ?a subtan"ente es el se"mento de recta comprendido entre la proyecci&n del punto (x,y) sobre el ee x, esto es el punto x(x, 0) y el punto de corte de la recta tan"ente con el ee x$ Sea 3(ax, ay) el punto de corte de la recta tan"ente con el ee x$ or estar el punto 3 en el ee x resulta a y = 0$ ara obtener a x, basta con sustituir en la ecuaci&n de la recta tan"ente = ax % = ay = 0 8 y = y ( ax 8 x ) despeando a x y ax = x 8 y: or lo tanto, las coordenadas del punto 3 son ( x 8
y y:
, 0)
?a lon"itud de la subtan"ente, es i"ual a la distancia entre los puntos
l 3x l = d (3, x) =
y 2 x − x − y: =
y y:
x
y 3 (+)
?a abscisa del punto de tan"encia (x,y) es x 7e acuerdo con el enunciado del problema la lon"itud de la subtan"ente es proporcional al cuadrado de la abscisa, es decir, y y:
= 1 x
2
(2)
siendo 1 la constante de proporcionalidad/ multiplicando por y y = 1 x2 y despeando y y y = 1 x2 %a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y queda y dy = dx (4) 1 x2 ?a ecuaci&n (4) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables se multiplica la ecuaci&n (4) por el factor y + + dy 8 dx = 0 y 1 x2 inte"rando
∫
+ y
∫
+
dy 8
+
1
x
dx = C+
2
(A)
3mbas inte"rales son inmediatas
∫ ∫ ∫
+ y
+
dy = ln l y l E C2
x −2dx =
= x2
x−+ E C4 = −+
−
+ E C4 x
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (A) ln l y l
−
+
= CA equivalentemente
1x
ln l y l =
+ 1x
E CA
aplicando e y sus propiedades y =
+ 1x
e
C e A
equivalentemente y=C
+
e
(B)
1x
?a ecuaci&n (B) es la ecuaci&n de la familia de curvas para las que la lon"itud de su subtan"ente es proporcional al cuadrado de la abscisa del punto de contacto$ ara obtener la curva de la familia que pasa por el punto (+, e), se sustiutye en la ecuaci&n (B) x = +, y = e e = multiplicando por
− e
+ 1 C e
+
1
C= e
− + + − 1 = e e
+ 1
Sustituyendo este valor de C en la ecuaci&n (B) y=
e
( + − +1 )
+ 1 x = e
?a ecuaci&n (G) es la curva buscada$
+ − e
+ 1
+
( 1 − +) x + + = 1 x e 1x +
(G)
),% Ha$$ar $a 3a4i$ia 2e c*r8a! 5ara $a! 9*e $a $o#"it*2 2e $a 5arte 2e $a recta ta#"e#te e#tre e$ 5*#to 2e co#tacto P/.( y1 y e$ ee y( e! i"*a$ a $a $o#"it*2 2e$ !e"4e#to i#terce5ta2o e# e$ ee y 5or $a recta ta#"e#te% SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta tan"ente a una curva en un punto cualquiera (x, y) es ?t 6 % 8 y = y ( 8 x ) Sea 3 (a x, a y) el punto de corte de la recta tan"ente con el ee y$ or estar el punto en el ee y resulta que a x = 0$ ara determinar a y basta con sustituir, en la ecuaci&n de la recta tan"ente = a x = 0 y % = ay ay 8 y = y (8 x ) despeando a y ay = y 8 y x 3s>, las coordenadas del punto 3 son (0, y 8 y x)$ ?a lon"itud de la parte de la recta tan"ente entre el punto de contacto (x,y) y el ee y es i"ual a la distancia entre el punto y el punto 3 d(, 3) =
x2
+ [ y − ( y − xy: ) ] 2
=
x2
+ x 2 ( y: ) 2
= l x l
+ + ( y: ) 2
(+)
?a lon"itud del se"mento interceptado por la recta tan"ente es el ee y es i"ual a la lon"itud del se"mento comprendido entre el ori"en del sistema de coordenada y el punto 3, es decir, la distancia entre el punto H(0,0) y el punto 3(0, y 8 y x) d (H,) =
( y − y : x ) 2 = y − y: x
(2)
7e acuerdo con el enunciado del problema, d (,3) = d(H,3)/ por lo tanto, i"ualando las ecuaciones (+) y (2) lxl
+ + ( y: ) 2 = y − y: x
elevando al cuadrado x2 V + E (y) 2 W = ( y 8 y x ) 2 desarrollando x2 E x2 ( y ) 2 = y2 8 2 x y y E x2 (y)2 simplificando x2 8 y2 E 2 x y y = 0 despeando y y =
y 2 − x2 2xy
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y y2 − x2 dy = dx 2xy multiplicando por el factor ( 2 x y ) y a"rupando todos los t*rminos a un lado de la i"ualdad ( x2 8 y2 ) dx E 2 x y dy = 0 (4)
?a ecuaci&n (4) es una ecuaci&n diferencial 'omo"*nea con "rado dos de 'omo"eneidad$ Sacando factor com;n x 2 x
2
y 2 y + − 2 dx + 2 dy = 0 x x +
multiplicando la ecuaci&n anterior por
(x @ 0), y efectuando el cambio de variables
x2 y
v = x y = vx ⇒ dy = v dx + x dv se obtiene
( + − v2
dx + 2 v ( v dx + x dv ) = 0
7esarrollando y sacando factor com;n dx ( + 8 v2 E 2 v2 ) dx E 2 v x dv = 0 simplificando ( + E v2 ) dx E 2 v x dv = 0
(A)
?a ecuaci&n (A) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las + variables se multiplica la ecuaci&n (A) por el factor , resultando x + + v2
(
+ dx x inte"rando
2v
+
∫ ∫ ∫ ( ∫ + x
dx
dv
++ v2 2v
+
+ + v2
)
=
dv
0
= C+
(B)
3mbas inte"rales son inmediatas6 + x
dx = ln x
2v
++ v
2
dv
+ C2
= ln + + v 2 ) + C4
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (B) ln l x l E ln l + E v 2 l = C devolviendo el cambio de variable ln l x l E ln
2 y + + x
= ln l x l E ln
x2
+ y2 x2
aplicando propiedades de lo"aritmo, desarrollando y simplificando
=C
ln l x l E ln
x2
+ y2 x
2
= ln
x 2 + y 2 x x 2
= ln
x2
+ y2 x
= C
aplicando e
x2 + y2 =1 x
(G)
?a ecuaci&n (G) representa la ecuaci&n de la familia de curvas para las que la lon"itud del se"mento de la recta tan"ente entre el punto de contacto y el ee y, es i"ual a la lon"itud del se"mento interceptado por la recta tan"ente en le ee y
)7% Deter4i#a $a ec*aci+# 2e $a 3a4i$ia 2e c*r8a! 5ara $a! 9*e $a recta #or4a$ e# *# 5*#to c*a$9*iera P/.(y1 y $a recta 9*e *#e e$ ori"e# co# e!e 5*#to( 3or4a *# tri6#"*$o i!+!ce$e! 9*e tie#e e$ ee . co4o 0a!e% SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta normal a una curva en un punto cualquiera (x,y) es + ?n 6 % 8 y = − ( 8 x ) y: Sea 3 (a x, ay) el punto de corte de la recta normal con el ee x$ %a que 3 es un punto en el ee x se tiene que a y = 0$ ara determinar a x basta con sustituir en la ecuaci&n de la recta tan"ente = a x , % = a y = 0 + 8 y = − ( ax 8 x ) y: despeando a x ax = x E y y 3s>, las coordenadas del punto 3 son ( x E yy , 0) 7e acuerdo con el enunciado del problema el tri!n"ulo is&sceles tiene como v*rtices los puntos H (0,0), (x,y) y 3(x E y y , 0)$ 3dem!s, se dice que la base esta en el ee x, lo que si"nifica que la base del tri!n"ulo es el se"mento H3$ 5l tri!n"ulo ser! is&sceles si los lados distintos de la base tiene i"ual lon"itud, esto es lHl = l3l$ Calculando las lon"itudes de los lados lHl = d (H,) = l3l = d (3,) =
x2
+ y2
[ ( x + y y: ) − x ] 2 + y 2
N"ualando las ecuaciones (+) y (2) x2
+ y2
=
[ ( x + y y: ) − x ] 2 + y 2
elevando al cuadrado
x2 + y2 = y2 ( y')2 + y2
(+) (2)
simplificando x2 = y2 ( y')2 tomando ra> a ambos lados x = y y despeando y y =
x y
%a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y x dy = dx (4) y ?a ecuaci&n (4) es una ecuaci&n de variables separables$ ara separar las variables se multiplica la ecuaci&n (4) por el factor ( y ) x dx 8 y dy = 0 inte"rando
∫ ∫ ∫ ∫ x dx 8
y dy = C+
(A)
3mbas inte"rales son inmediatas
2 x dx = x E C2 2 2 y y dy = E C4 2
Sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (A) x2 2
−
y2 2
=C
ultiplicando por 2 x2 8y2 = 1
(B)
?a ecuaci&n (B) es la ecuaci&n de la familia de curvas para las que la recta normal en un punto cualquiera (x, y) y la recta que une el ori"en con el punto (x, y) forma un tri!n"ulo is&sceles que tiene como base el ee x
);% E$ !e"4e#to 2e $a recta #or4a$ traa2a e# *# 5*#to c*a$9*iera P/.( y1 2e *#a c*r8a( c*yo! e.tre4o! !o# e!te 5*#to y e$ 2e i#ter!ecci+# co# e$ ee .( e! corta2o e# 2o! 5arte! i"*a$e! 5or e$ ee y% SOLUCIN: ?a ecuaci&n de la recta normal a una curva en un punto cualquiera (x, y) es
?n 6 % 8 y =
−
+ ( 8 x ) y:
Sea 3 (a x, a y) las coordenadas del punto de corte de la recta normal con el ee x$ or estar el punto 3 en el ee x, resulta a y = 0$ ara determinar a x basta con sustituir, en la ecuaci&n de la recta normal, = a x , % = ay = 0 + 8 y = − ( ax 8 x ) y: despeando a x ax = x E y y 7e aqu> que las coordenadas del punto 3 son (x E y y, 0) Sea Q (b x, b y) las coordenadas del punto de corte de la recta normal con el ee y$ or estar el punto Q en el ee y, resulta b x = 0$ ara determinar b y basta con sustituir, en la ecuaci&n de la recta normal, = b x = 0 , % = by + by 8 y = − ( 8 x ) y: despeando a y by = y E
x y:
7e aqu> que las coordenadas del punto Q son ( 0, y E
x ) y:
7e acuerdo con el enunciado del problema el se"mento de la recta normal comprendido entre el punto de tan"encia y el ee x, esto es el se"mento 3, es cortado en dos partes i"uales por el ee y$ 5sto equivale a decir que el punto Q, punto de corte de la recta normal con el ee y, es el punto medio del se"mento 3$ atem!ticamente esto se expresa por medio de las ecuaciones x + ax bx = (+) 2 y + ay (2) by = 2 Sustituyendo en la ecuaci&n (+) a x = x E y y , bx = 0 x + x + y y: ⇒ 2 x + y y: = 0 0= 2 Sustituyendo en la ecuaci&n (2) a y = 0 , by = y E y
+
x y:
=
y 2
⇒
2 y y:
+
2x
=
y y:
(3)
x y:
⇒
2x
+
y y:
=
0
(4)
Hbserve que las ecuaci&n diferencial obtenida en la ecuaci&n (4) es la misma que la obtenida en la ecuaci&n (A)$ 7e aqu> que la ecuaci&n diferencial asociada al problema es 2x E yy = 0 despeando y 2x y = − y %a que la diferencial de la variable y es dy = y dx, sustituyendo y 2x dy = − dx y
(B)
?a ecuaci&n (B) es una ecuaci&n diferencial de variables separables$ ara separar las variables se multiplica la ecuaci&n (B) por el factor ( y ) y dy E 2 x dx = 0 inte"rando
∫ ∫ ∫ ∫ y dy E 2
x dx = C+
(G)
3mbas inte"rales son inmediatas
2 y dy = y E C2 2
2 x dx = x E C4 2
sustituyendo los resultados de las inte"rales en la ecuaci&n (G) y2 2
E 2
x2 = C 2
multiplicando por 2 y2 E 2 x2 = 1
(J)
?a ecuaci&n (J) representa la ecuaci&n de la familia de curvas para las que el ee y divide en dos partes i"uales al se"mento de la recta normal entre el punto de tan"encia y el punto de corte de dic'a recta con el ee x
E'ERCICIOS PROPUESTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS GUE INVOLUCRAN A LA RECTA TAN&ENTE Y LA RECTA NORMAL
+$ Hbten"a la ecuaci&n de la familia de curvas tales que, la lon"itud del se"mento interceptado por la recta normal en cualquiera de sus puntos en el ee de las ordenadas, es i"ual a la distancia desde el punto de contacto 'asta el ori"en 2 1 R: x 2 + y 2 − y = k & x2 = y + 2 2$ 7etermine la familia de curvas para la cual la suma de los se"mentos que resultan de la intersecci&n de la recta tan"ente, en un punto cualquiera de la curva, con cada uno de los ees coordenados es i"ual a A Ak R: y = k x E k −+ 4$ Ralle la familia de curvas para las cual la suma de las lon"itudes de la subtan"emte y la subnormal (ambas, respecto al ee x) en un punto (x, y) cualquiera de la curva, es i"ual a la abscisa de dic'o punto$ 2y2
R:
x± e
2 2 2 x − 4y
x ± x2 − 4y2 = K 2 A$ Hbten"a la familia de curvas para la cual el cuadrado de la lon"itud de la subnormal (respecto del ee y) en un punto (x, y) cualquiera de la curva es i"ual al producto de las coordenadas de dic'o punto$ R: xX4D2 8 y4D2 = k B$ 7etermine la familia de curvas para la que el ori"en del sistema de coordenadas es el punto medio del se"mento que en el ee y determinan los puntos de corte de la recta tan"ente y la recta normal en un punto cualquiera$ 2 + R: x2 = y + k 2k G$ Ralle la ecuaci&n de la familia de curvas para las cuales la suma de las distancias de los puntos (2,0) y (8 2 , 0) a la recta tan"ente sea siempre i"ual a 2 R: y = kx E k 2 + + J$ Hbten"a la familia de curvas tales que la suma de la lon"itud del se"mento que la recta tan"ente intercepta en el ee x, con la lon"itud de la subnormal referida al ee x, es i"ual a + k ( x − +) R: y = 2 +− k M$ 7etermine la ecuaci&n de la familia de curvas, tal que la lon"itud de la recta normal desde cualquier punto de la curva 'asta el ee y es siempre i"ual al producto de las coordenadas del punto de contacto$
R: <$ Ralle la ecuaci&n de la familia de curvas para la cual la lon"itud de la perpendicular traada desde el ori"en 'asta la recta tan"ente es i"ual a la abscisa del punto de contacto$ R: x2 E y2 = 1x +0$ Hbten"a la ecuaci&n de la familia tal que la lon"itud de la subnormal en cualquiera de sus puntos sea i"ual a la lon"itud de la subtan"ente (ambas, referida al ee x) m!s la abscisa del punto de contacto$
