MATEMATIKA BISNIS Aplikasi Diferensial Dalam Ekonomi dan Bisnis
Oleh: Ir. Ginanjar Syamsuar, ME.
SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA PEBRUARI 2017
MATEMATIKA BISNIS Aplikasi Diferensial Dalam Ekonomi Teori diferensial amat lazim diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep nilai marjinal dan konsep optimasi. Berkaitan dengan konsep-konsep tersebut, pada sub-bab ini secara berurutan akan dibahas penerapan diferensial dalam penghitungan elastisitas, analisis marjinal dan analisis optimasi berbagai variabel ekonomi.
APLIKASI DIFERENSIAL SEDERHANA (UNIVARIATE) Pada Diferensial fungsi sederhana dapat digunakan untuk menghitung: 1. Elastisitas 1.1. Elastisitas Permintaan 1.2. Elastisitas Penawaran 1.3. Elastisitas Produksi 2. Analisis Marjinal (Marginal Analysis) 2.1. Biaya Marjinal 2.2. Penerimaan Marjinal 2.3. Utilitas Marjinal 2.4. Produk Marjinal 3. Analisis Profit Maksimum (Maximum Profit Analysis) 1. Elastisitas Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai: % = %
∆ ⁄ � � � � = � = ∗ ∆ ∆ → ( �� � � � ⁄ ) �
� �
=
∗
=
′
∗
Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol, dengan kata lain elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.
1.1. Elastisitas Permintaan Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta disebabkan karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permitan dinyatakan dengan Qd=f(p) maka elastisitas permintaannya : %∆ = %∆
= �
∆ →
∆
⁄
(∆ ⁄ )
=
� �
∗
=
∗
=
′
∗
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat : Elastis apabila | � | > yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.
Page | 1
Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang sama besar daripada persentase perubahan harganya. Inelastis apabila | � | < yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. Contoh: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qd = 25 – 3P². Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 5. =
=
−
′
= − ∗
′
=
∗
∗
→→
∗
′
= − −
∗
=
∗
=−
=
−
→
�
berarti bahwa apabila harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang � = diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3%.
1.2. Elastisitas Penawaran Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan disebabkan karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan Qs = f (P) maka elastisitas penawarannya : %∆ = %∆
= �
∆ →
∆
⁄
(∆ ⁄ )
=
� �
∗
=
∗
=
′
∗
Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat : Elastis apabila | � | > yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya. Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jika harga berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah) dengan persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan harganya. Inelastis apabila | � | < yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. Contoh: Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qs = -200 +7P² Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 10.
=−
+
=
′
∗
→→
′
=
=
Page | 2
=
∗
′
=
∗
∗
=
−
∗ +
∗
−
= .
+
→
�
= . berarti bahwa apabila harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%.
1.3. Elastisitas Produksi Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan Pr = f (x), maka elastisitas produksinya: �
%∆ = %∆
∆
= �
⁄
=
(∆ ⁄ )
∆ →
� �
∗
=
∗
=
′
∗
Produksi akan suatu barang dikatakan bersifat : Elastis apabila | � | > yang artinya jika jumlah input berubah sebesar tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan yang lebih besar daripada persentase perubahan inputnya. Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jumlah input berubah sebesar tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan yang sama besarnya daripada persentase perubahan inputnya. Inelastis apabila | � | < yang artinya jika jumlah input berubah sebesar tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan yang lebih kecil daripada persentase perubahan inputnya.
persentase persentase persentase persentase persentase persentase
Contoh: Fungsi produksi akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan P = 6x² - x³ Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit. �
=
�
=
�
=
∗
=
− ∗
′
− ∗
∗
=
′
→→
′
∗
−
=
∗
=
−
= =
∗
−
→
−
�� �
�� �
berarti jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebesar 1 %. �
Page | 3
2. Marginal Analysis 2.1. Biaya Marjinal (Marginal Cost) Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan suatu unit tambahan produk. Secara matematik fungsi biaya marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marjinalnya :
′
� =
Contoh:
=
Biaya total
: C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4
Biaya Marjinal
: MC = C’ = dC/dQ = Q - 6Q + 4
Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat. C , MC C 6
C
= Q³ -3 Q² + 4Q + 4
MC
= C’ = 3Q² - 6Q + 4 (MC)’ = C” = 6Q - 6
MC minimum jika (MC)’ = 0
4
(MC)’ = 0 → 6 Q – 6 = 0 → Q = 1
MC
Pada Q = 1 → MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1
1
C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6 Q 0
1
2.2. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total dan Q melambangkan jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :
� =
′
= Page | 4
Contoh: Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q, maka P, R, MR
R= 16Q- 2 Q² Penerimaan total : R = P*Q = f(Q) = 16Q – 2Q² Penerimaan marjinal : MR = R’ = – 4Q Pada MR = 0, Q = 4 P= 16 – 2(4) = 8 R =16(4) – 2(4)² = 32
32
16 8
P = 16 – 2Q Q
0
4
8
2.3. Utilitas Marjinal (Marginal Utility) Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :
�
Contoh:
=
U = f(Q) = 90Q – 5 Q² MU = U’ = – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0; Q = 9
′
= U maks = 90(9) – 5(9)² = 810 – 405 = 405
U, MU U = 90Q – 5Q²
405
90
0
MU = 90 – 10Q
9
18
Q Page | 5
2.4. Produk Marjinal (Marginal Product) Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan Pr = f(x) dimana Pr adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk marjinalnya
�
′
=
=
Contoh : Produksi total = Pr = f(x) = 9x² - x³ Produk marjinal = MPr = Pr’ = x – 3x² Pr maksimum pada Pr’ = yakni pada X = dengan Pr maks + 108. Pr berada pada titik belok dan MPr maks pada Pr” = MPr ’ = ; Yakni pada X = 3
Pr, MPr 108
Pr = f(x)
54 27
X 0
3
6
MPr
3. Analisis Profit Maksimum (Maximum Profit Analysis) Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum dapat disidik dengan pendekatan diferensial. Karena baik penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya (Cost, C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran (output) yang dihasilkan/terjual (Quantity, Q), maka di sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan π . Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit): 1. π’ = 0 2. π’’ < 0 dimana:
π=R–C
Page | 6
Contoh 1: R = – 2Q2 + 1000Q
Diketahui:
C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
Ditanyakan: a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum? b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum? c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum? d. Berapa harga jual per unit pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum? e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut? Penyelesaian: a. π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000) π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000 π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 Agar keuntungan maksimum: Syarat . π’ =
π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0 .
=
− ±√
−
(Rumus ABC)
Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan pemfaktoran) Syarat 2. π’’ < 0, (syarat maksimum) Q1 = , π’’ = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96
Q2 = 35, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96 (<0)
Karena syarat ke 2 untuk Q = 35 hasilnya < 0, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit. b. Biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum: C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000 C = 353 – 59.(352)+ 1315.(35) + 2000 C = 18.625 c. Besarnya pendapatan: R = – 2Q2 + 1000Q R = – 2.(352)+ 1000.(35) R = 32.550 d. Harga jual per unit: R = P.Q, maka P = R/Q P = 32550/35 = 930/unit e. Adapun besarnya keuntungan maksimum tersebut adalah: π = - (35)3 + 57 (35)2 – 315 (35) – 2000 = 13.925 atau: π=R–C π= . – 18.625 = 13.925 Page | 7
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK (MULTIVARIATE) 1. Diferensiasi Parsial 1.1. Derivatif dari derivatif parsial 1.2. Nilai ekstrim: maksimum dan minimum 2. Aplikasi Bisnis Ekonomi 2.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial 2.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan 2.3. Keseimbangan Konsumsi: Optimalisasi Bersyarat - Pengganda Lagrange Fungsi dengan dua variabel atau lebih variabel bebas ini sering kita jumpai dalam penerapan bidang ekonomi dan bisnis. Karena dalam kenyataannya, bila ditelusuri lebih mendalam biasanya suatu variabel terikat (dependent variable) akan dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas (independent variables). Namun, perlu diingat bahwa di antara variabel-variabel bebas ini ada yang saling mempengaruhi (interdependency), dan ada pula yang tidak saling mempengaruhi (independent) satu sama lainnya. Hal inilah yang perlu diperhatikan bilamana akan membuat suatu model ekonomi atau bisnis, agar dalam analisisnya nanti akan diperoleh hasil yang sesuai dan akurat. 1.
Diferensiasi Parsial Misalkan, kita mempunyai suatu fungsi dengan n variabel bebas, Y = f (X1,X2,..........................Xn) di mana variabel bebas X1,X2, dan seterusnya sampai Xn adalah tidak saling mempengaruhi (independent) satu sama lainnya. Jika variabel terikat Y berubah yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu varibel bebas yang sangat kecil (katakannlah X1), sedangkan variabel bebas lainnya katakanlah (X2,X3, ... , Xn) tidak berubah atau konstan, maka hal ini dapat disebut sebagai derivatif parsial dari Y terhadap X1. Selanjutnya , hal yang serupa bila variabel bebas X2 yang berubah-ubah dan variabel bebas lainnya konstan, maka kita sebut derivatif parsial dari Y terhadap X2. Dengan demikian, derivatif parsial dapat didefinisikan sebagai tingkat perubahan seketika dari variabel terikat Y yang diakibatkan oleh perubahan dari salah satu variabel bebas X, dimana variabel bebas X lainnya dianggap konstan. Simbol dari derivatif parsial adalah huruf kecil delta yaitu ∂ atau dengan huruf kecil d. Jadi, derivatif parsial Y terhadap X1, dapat ditulis menjadi, � �
atau
� �
atau
atau secara umum
�
Penulisan lain derivatif parsial dari suatu fungsi, Y = f (X1,X2,....Xn) adalah f1,f2, ..... fn Penulisan ini hampir sama dengan penulisan f’ X pada fungsi dengan satu variabel bebas. Namun, bilamana fungsi tidak ditulis dalam bentuk seperti di atas, melainkan fungsi ditulis dalam bentuk seperti, Y = f (U,V,W), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau ∂Y/∂U, atau ∂Y/∂V, dan ∂Y/∂W.
Jadi, penulisan derivatif parsial secara umum dari fungsi Y = f (X1,X2,....Xn) adalah,
=
�
di mana: i = 1,2,.....,n Page | 8
Proses untuk mencari derivatif parsial disebut diferensial parsial. Teknik diferensiasi parsial ini berbeda dengan aturan diferensiasi fungsi dengan satu variabel bebas. Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan yaitu : jika y = f (x) maka y’ = dy/dx. Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, atau jika suatu fungsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanyak n turunan. Jika y = f (x,z) maka akan ada y’ yaitu y’ = dy/dx dan y’ = dy/dz. Untuk membedakan turunan terhadap x dan z maka biasanya akan diberi notasi Fx untuk turunan terhadap x dan Fz untuk turunan terhadap z. Contoh: Y = 3x² - 8xz – 5 z² maka
Fx = dy/dx = 6x – 8z dan Fz = dy/dz = -8x –10 z
1.1. Derivatif dari derivatif parsial
Seperti halnya dengan fungsi dengan satu variabel bebas maka fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing-masing parsialnya masih mungkin diturunkan lagi, namun berapa banyak turunan dari turunan parsial dapat dibentuk tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut. Contoh : Y = X³ + 5 Z² - 4 X² Z – 6 XZ² + 8Z – 7 Turunan 1 Fx = dy/dx = 3 X² - 8 XZ – 6 Z²
Turunan 1 Fz = dy/dz = 10 Z - 4 X² – 12 XZ
Turunan 3 Fxxx = d³y/dx³ = 6 Fxxz = d²y/dx²dz = -8
Turunan 3 Fzxx = d³y/dzdx² = -8 Fzxz = d³y/dz²dx = -12
Fxzx = d³y/ dx²dz = -8 Fxzz = d³y/ dxdz² = -12
Fzzx = d³y/ dz²dx = -12 Fzzz = d³y/ dz³ = 0
Turunan 2 Fxx = d²y/dx² = 6 X – 8 Z Fxz = d²y/dxdz = -8 X – 12 Z
Turunan 2 Fzx = d²y/dzdx = -8 X – 12 Z Fzz = d²y/dz² = 10 – 12 X
Sekarang turunan-turunan parsial ketiga ini tidak dapat diturunkan lagi karena masingmasing hanya mengandung konstanta. 1.2. Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Nilai ekstrim dari (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya :
Untuk y = F (x,z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika : = = ��� = = (Turunan pertama) Serta: Y=F(x.z) akan Maksimum Jika = < ��� = Y=F(x.z) akan Minimum Jika =
>
���
=
<
>
(Turunan kedua) (Turunan kedua)
Page | 9
Contoh 2: Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini adalah titik maksimum atau titik minimum ? : p = 3q² – 18q + r ² – 8r + 50 Jawab: Fq = 6q – 18 Fr = 2r – 8 6q – 18 = 0 q=3 2r – 8 = 0 r=4 p = 3 (3)2 – 18(3) + 42 – 8(4) + 50 p = 27 – 54 + 16 – 32 + 50 p=7 Fqq = 6 > 0 Frr = 2 > 0 Karena Fqq dan Frr > 0, titik ekstrimnya adalah titik minimum dengan P min = 7 2. Aplikasi Bisnis Ekonomi Pendekatan deferensiasi parsial untuk diterapkan pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari suatu variabel bebas, dalam hal ini kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap variabel terikatnya. 2.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut. Dengan kata lain jika harga barang A dan barang B mempunyai hubungan pengunaan, maka; Qda = f (Pa’ Pb) dan Qdb = f (Pa’ Pb)
Derivatif, pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya, dimana: � � �
� � � � � �
� � �
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb
Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut, dapatlah dihitung elastisitas permintaan parsialnya. Ada 2 macam elastisitas permintaan, yaitu: a) Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga sendiri (elastisitas harga permintaan) b) Elatisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang lain (elstisitas silang permintaan) Page | 10
RUMUS ∈ = ∈ = ∈ =
∈ =
∈
∈
%∆ %∆
=
%∆ %∆
%∆ %∆
×
=
×
=
×
=
%∆ %∆
dan ∈
×
= elatisitas harga permintaan
dan ∈
= elatisitas silang permintaan
1. Jika ∈ dan ∈ keduanya negatif (∈ < dan ∈ < ) untuk Pa dan Pb tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah komplementer (saling melengkapi), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan kenaikan permintaan atas barang lainnya 2. Jika ∈ dan ∈ keduanya positif (∈ > dan ∈ > ) untuk Pa dan Pb tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah kompetitif/substitutif (saling menggantikan), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya. Contoh Soal: Fungsi permintaan barang A dan B masing-masing ditunjukkan oleh Qda . . – 1 = 0 dan Qdb . .Pb – 1 = 0. Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut? Jawab: Diketahui; Qda . . – 1 = 0 Qdb . .Pb – 1 = 0
Qda =
Qdb =
.
−
Qda = � � �
∈ =
∈ =
� � �
=−
×
×
−
.
= −
− −
=− =-
.
� � �
−
. − −
� � �
−
.
.
−
. −
×
×
− −
. −
. −
−
Qdb = =-
= -2
=−
−
−
−
. −
.
.
−
= -1 Page | 11
∈ =
∈ =
×
×
=−
=−
−
.
−
.
− −
. .
−
. −
= -3
−
. −
= -3
Barang A adalah barang elastis karena ∈ >
Barang B adalah barang unitary-elastic karena ∈ =
(Ingat dalam menafsirkan elastisitas harga permintaan cukup dengan melihat besarnya angka perhitungan. Tandanya tidak perlu diperhitungkan). Adapun hubungan antara A dan B adalah bersifat komplementer karena ∈ < dan ∈ <
2.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan
Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam produk itu merupakan biaya gabungan (joint production cost), maka keuntungan yang diperolehnya dapat diselesaikan dengan pendekatan deferensiasi parsial. Metode ini juga digunakan untuk menganilisis kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam produk yang biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan. Andaikan perusahaan memproduksi dua macam barang A dan B, dimana fungsi permintaannya akan masing-masing barang di cerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya produksinya C = f (Qa, Qd) maka: Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = f (Qa) Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = f (Qb) Penerimaan total: R = Ra + Rb = f (Qa) + f (Qb) Biaya Total: C = f (Qa, Qb) Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C = f (Qa) + f (Qb) - f (Qa, Qb) = g (Qa, Qb) ∏ maksimum bila ∏’ = ∏ Qa =
∏ Qb =
�∏ �
�∏ �
= 0 ........................... persamaan 1 = 0 ........................... persamaan 2
Dari persamaan (1) dan (2) nilai Qa dan Qb . Selanjutnya nilai ∏ bisa dihitung...
Contoh Soal: Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang, A dan B, ditunjukkan oleh C = + + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar keuntungan maksimum tersebut. Page | 12
Jawab: Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = 7 Qa Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = 20 Qb Penerimaan total: R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C
= 7 Qa + 20 Qb -
-
- Qa . Qb
∏ maksimum bila ∏’ = �∏
= 0 → 7 -2 Qa - Qb = 0 persamaan 1
�∏
= 0 → 20 -6 Qb – Qa = 0 persamaan 2
∏Qa = �
∏Qb = �
Dari (1) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3
Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C
= 7 Qa + 20 Qb -
+
+ Qa . Qb
= 7 (2) + 20 (3) – (2)2 - 3 (3)2 – (2) (3) = 37
Jadi keuntungan maksimum perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan sebesar 37. Kasus dimana perusahaan memproduksi lebih dari satu macam barang dengan biaya produksi gabungan, dapat pula diselesaikan melalui nilai-nilai marjinalnya yakni: -
Dengan memformulasikan penerimaan marjinal masing-masing barang yang sama dengan biaya marjinal barang yang bersangkutan. MR = MC Berkenaan soal diatas, ∏ maksimum akan diperoleh bila; MRa = MCa dan MRb = MCb R = 7 Qa + 20 Qb MRa = R’a = 7 MRb = R’b = 20
C= + + Qa . Qb. MCa = C’a = 2 Qa + Qb MCb = C’b = 6 Qb + Qa
MRa = MCa → 7 = 2 Qa + Qb
Page | 13
7 - 2 Qa - Qb = 0 ............. persamaan 1 MRb = MCb → 20 = 6 Qb + Qa 20 - 6 Qb - Qa = 0 ............. persamaan 2 Dari persamaan (1) dan (2) nilai Qa =2 dan Qb = 3 . Selanjutnya nilai ∏=
Latihan Soal: Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang, A dan B, ditunjukkan oleh C = + + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 15 sedangkan Pb = 32. Hitunglah berapa unit masingmasing harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar keuntungan maksimum tersebut. 2.3. Keseimbangan Konsumsi: Optimalisasi Bersyarat - Pengganda Lagrange Dalam kenyataan kita sering sekali harus mengoptimalkan suatu fungsi yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi, atau dengan kata lain hendak mengoptimumkan tetapi menghadapi kendala. Dalam kasus ekonomi hal ini banyak sekali terjadi, misalnya hendak mengoptimalkan kepuasan tetapi terbentur oleh pendapatan yang terbatas, atau ingin memaksimumkan laba tapi terbentur oleh terbatasnya jumlah produk yang dapat dihasilkan. Kepuasan konsumen dilambangkan dengan U Barang-barang dikonsumsi dilambangkan qi (i = 1,2,3...n), maka fungsi Utilitasnya U = f (q1, q2, q3....qn) Jika konsumen hanya mengkonsumsi dua barang, maka secara sederhana dapat dirumuskan sbb:
U = f (x,y) Untuk U = konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f (x,y) merupakan suatu persamaan kurva indeferensi (indefferrence curve) yaitu; -
Kurva yang menujukkan kombinasi barang X dan Y yang meberikan tingkat kepuasan yang sama.
Keseimbangan Konsumsi - Maksudnya suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum.
-
Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungan kurva indefernsi dengan garis anggaran konsumen (budget line)
Pengganda Lagrange Adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah diatas yaitu ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terbentur oleh adanya batasan (kendala).
Caranya: Page | 14
F = Fungsi yang akan dioptimumkan + λ fungsi kendala Kemudian cari nilai ekstrimnya dengan cara diferensiasi parsial pertama: Fx = 0 Fy = 0 Kemudian masukkan nilai ekstrim tersebut ke dalam fungsi kendala, sehingga diperoleh nilai variabel x dan variabel y. Barulah dimasukkan ke dalam fungsi yang hendak dioptimumkan. Contoh 1: Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan kendala x² + y² = 8 Jelaskan pula nilai ekstrimnya. Jawab : Fungsi Lagrange = F = x + y + λ x + y Agar ekstrim F’ =
= x+ y+x λ+y λ– λ
Fx = + xλ = diperoleh λ = -2/2x = - /x………………
Fy = + yλ = diperoleh λ = -2/2y = - /y………………
Berdasarkan (1) dan (2) : -1/x = -1/y atau x = y
Menurut fungsi kendala x² + y² = 8 jika x = y maka x² + x² = 8 2x² = 8 x² = 4 x = 2 berarti y = 2 karena x = y = 2 maka z = 2² + 2² = 8 penyidikan nilai ekstrim : untuk x = y = 2. maka = -1/x = -1/y =-1/2 Fxx = 2 = 2. –1/2 = -1 < 0
Fyy = 2 = 2. –1/2 = -1 < 0
karena Fxx dan Fyy < 0 maka nilai ekstrimnya adalah maksimum
Untuk x = y = -2 maka = -1/x = -1/y = ½ Fxx = 2 = 2. 1/2 = 1 > 0
karena Fxx dan Fyy > 0 maka nilai
Fyy = 2 = 2. 1/2 = 1 > 0
ekstrimnya adalah minimum
Contoh 2: Kepuasan seorang konsumen untuk mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan dengan fungsi utilitas U = x²y³. Jumlah pendapatan konsumen Rp. 1.000, harga X dan Y masingmasing per unit adalah Rp. 25 dan Rp. 50. Hitunglah kombinasi konsumsi x dan y yang memberikan kepuasan optimum, serta besarnya nilai kepuasan optimal tersebut. Page | 15
Jawab: Maksimalkan U = x²y³ dengan kendala 25X + 50Y = 1000 F= x y +λ X + Y – 1000) Fx = 2xy3 + λ Fy = 3 x²y2 + 50 λ 2xy3 + λ= λ = – 2xy3
�=
3 x²y2 +
−
λ=
λ = – 3 x²y2
�=
−
……………………………………………………………….………..
……………………………………………………………………….. 2) −
=
−
– 100 xy3 = – 75 x²y2 xy3 = ¾ x²y2 =
−
y=¾x x = 4/3 y Masukkan ke dalam fungsi kendala: 25X + 50Y = 1000 25X + 50 (¾ x ) = 1000 +
+
=
=
=
X = 16 Y=¾x Y = ¾ . 16 Y = 12 Kemudian masukkan ke dalam fungsi utilitas: U = x²y³ U = 162.123 U = 256.1728 U = 442368 Secara grafis gambarnya ditunjukan sebagai berikut:
Page | 16
Kurva Indiferen (Indifference Curve) (Tingkat Kepuasan)
72
IC: --> X2Y3=442368 Barang-Y
60 48 36 24 12 0 0
16
32
48
64
80
Barang-X
Page | 17
SOAL LATIHAN: A. Diferensiasi Univariat 1. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=16-2Q dengan Q jumlah barang (unit) dan P harga dalam jutaan rupiah. Berapakah besarnya penerimaan maksimum ? 2. Biaya total (TC) = g(Q) = Q3 – 3Q2 + 1.500Q + 400.000, dengan Q jumlah produk (ratusan unit) dan TC dalam rupiah. Pada tingkat produksi berapakah biaya marjinal minimum? Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut? 3. Diketahui fungsi biaya total TC = Q2–8Q +100 dengan Q unit produk dan TC dalam ratusan ribu. a) Tentukan jumlah produksi agar biaya minimal b) Tentukan fungsi biaya rata-rata dan besarnya biaya rata-rata (AC). c) Tentukan biaya marginal dan biaya rata-rata minimum. 4. Diketahui fungsi permintaan suatu barang � = − . dan fungsi biaya total �= − + + , dengan Pd harga dan Q unit produk. Tentukan a. Jumlah produksi agar biaya minimum; b. Biaya rata-rata minimum dan besarnya biaya rata-rata. c. Jumlah produksi agar keuntungan maksimum d. Besarnya keuntungan maksimum B. Diferensiasi Multivariat 1. Diketahui fungsi = − + �+ . � − . � dimana Q menyatakan jumlah penjualan barang, P harga barang, dan A menyatakan biaya iklan (promosi barang). Tentukan tingkat harga barang dan biaya iklan agar jumlah barang yang terjual maksimum. Berapakah jumlah barang maksimum yang terjual tersebut. 2. Seorang konsumen mengkonsumsi dua macam barang yakni A dan B. Fungsi kepuasan total TU = A1/3B2/3. Satu unit A berharga Rp8 dan satu unit B berharga Rp16. Total kepuasan mengkonsumsi A dan B adalah 10 unit kepuasan. Tentukan jumlah barang A dan B yang harus dikonsumsi supaya dicapai kepuasan maksimum!! 3. Kepuasan seorang konsumen untuk mengkonsumsi barang X dan Y dicerminkan dengan fungsi utilitas U = 4xy – x2 – 3y2. Jumlah pendapatan konsumen 45 dalam juta rupiah, harga X dan Y masing-masing per unit adalah 2 dan 3 dalam juta rupiah. Hitunglah kombinasi konsumsi x dan y yang memberikan kepuasan optimum, serta besarnya nilai kepuasan optimal tersebut.
Page | 18
