APLIKASI INTEGRAL UNTUK MENGHITUNG VOLUME MENGGUNAKAN METODE KULIT TABUNG Paper ini dibuat untuk melengkapi nilai Ujian Tengah Tengah Semester mata kuliah Kalkulus Dosen pangempu : Ni Luh Yulianti, STP., .Si.
Disusun oleh: !. +. &. %. (.
" Putu #bhiseha Krisna urti " u usti Pu Putu #n #ngga -i -ira Da Dananjaa " ade Praseta /andra #ndika " Putu as Pradna -iba0a ede Teguh Sigmara0an
$!%!!&'('')* $!%!!&'('+!* $!%!!&'('+(* $!%!!&'('+)* $!%!!&'('&!*
JURUSAN TEKNIK PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS UDAYANA BALI 2015
KATA PENGANTAR
Segala puja dan pji penulis panjatkan ke hadapan "da Sanghang -idi -asa, Tuhan ang aha 1sa, karena atas petunjuk dan karunia2Na penulis dapat menelesaikan paper ini, dengan judul 3 Aplikasi Integral untuk Menghitung Volume Menggunakan Metode Kulit Tabung ”.
Penulis menadari sepenuhna bah0a berhasilna penulisan paper ini tidak terlepas dari pihak ang telah memberikan bantuan kepada penulis. 4antuan baik berupa bimbingan, petunjuk, sarana, serta 5asilitas ang berguna bagi penulis. 6leh karena itu pada kesempatan ini penulis mengu7apkan terimakasih ang sebesar2besarna kepada : !. "buk Ni Luh Yulianti, S.TP., .Si, selaku pengampu mata kuliah kalkulus pada Program Studi Teknik Pertanian, 8akultas Teknologi Pertanian, Uni9ersitas Udaana. +. Semua pihak ang telah membantu dalam penelesaia paper ini ang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. #khir kata penulis menadari bah0a dalam penulisan paper ini masih jauh dari sempurna. 6leh sebab itu kritik dan saran sangat penulis harapkan. Semoga paper ini berman5aat untuk kita semua.
imbaran,;+'!(
Penulis
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR..............................................................................................i DAFTAR ISI...........................................................................................................ii
BAB I PENDAHULUAN
!.!................................................................................................Latar 4elakang ......................................................................................................................! !.+...........................................................................................
+.!. 4angun Tabung........................................................................................... & +.+. #plikasi "ntegral untuk enghitung =olume dengan etode kulit tabung.........................................................................................................% +.&. /ontoh Perhitungan....................................................................................> BAB III PENUTUP
&.!. Kesimpulan................................................................................................. )
DAFTAR PUSTAKA
2
BAB I PENDAHULUAN 1.1.
Latar B!a"a#$
Kalkulus $4ahasa Latin: 7al7ulus, artina ?batu ke7il?, untuk menghitung* adalah 7abang ilmu matematika ang men7akup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk meme7ahkan persamaan serta aplikasina. Kalkulus memiliki aplikasi ang luas dalam bidang2bidang sains, ekonomi, dan teknik @ serta dapat meme7ahkan berbagai masalah ang tidak dapat dipe7ahkan dengan aljabar elementer . Kalkulus memiliki dua 7abang utama, kalkulus di5erensial dan kalkulus integral ang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainna ang lebih tinggi, ang khusus mempelajari 5ungsi dan limit, ang se7ara umum dinamakan analisis matematika. "ntegral adalah kebalikan dari proses di5erensiasi. "ntegral ditemukan menusul ditemukanna masalah dalam di5erensiasi di mana matematika0an harus berpikir bagaimana menelesaikan masalah ang berkebalikan dengan solusi di5erensiasi. Lambang integral adalah
"ntegral terbagi dua aitu integral tak tentu dan integral tertentu.
4edana adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas ba0ah. "ntegral tertentu biasana dipakai untuk men7ari 9olume benda putar dan luas. #da tiga metode ang digunakan dalam men7ari 9olume aitu metode 7in7in, kulit tabung dan 7akram.
1.2.
R%&%'a# Ma'a!a( 4erdasarkan latar belakang diatas, dapat diketahui rumusan masalahna
aitu bagaimana aplikasi integral dalam menghitung 9olume benda putar dengan menggunakan metode kulit tabung beserta 7 ontoh perhitunggannaA
1.).
T%*%a#
1
4erdasarkan rumusan masalah diatas, dapat diketahui tujuan penulisan paper ini aitu untuk mengetahui aplikasi integral dalam menghitung 9olume benda putar dengan menggunakan metode kulit tabung beserta 7ontoh perhitungganna.
2
BAB II PEMBAHASAN
2.1.
Ba#$%# Ta+%#$
Dalam kehidupan sehari2hari sering kita temui benda di sekitar kita ang berbentuk tabung, misalna drum minak tanah, kaleng susu, beduk, dan masih banak laina. #pabila kita perhatikan, ternata bagian atas dan bagian ba0ah tabung berbentuk lingkaran. Tabung atau disebut juga silinder adalah prisma ang alasna berupa daerah lingkaran dan sisi tegakna ang berbentuk bidang lengkung. 4angun ini dapat dianggap sebagai prisma ang banakna sisi tegak tak terhingga. Tabung memiliki & sisi dan + rusuk. Tabung memiliki dua sisi berbentuk lingkaran dan satu sisi lengkung berbentuk persegi panjang.
4angun tabung memiliki 7iri27iri sebagai berikut.
• Tabung merupakan bangun ruang berupa prisma tegak dengan alas dan tutup berupa lingkaran,
• Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titik pusat lingkaran atas,
• 4idang tegak tabung berupa lengkungan ang disebut selimut tabung, • aring2jaring tabung tabung berupa + buah lingkaran dan ! persegi panjang.
3
Untuk men7ari luas permukaan tabung dapat menggunakan jaring2jaring tabung. aring2jaring tersebut terdiri dari :
• Selimut tabung ang berupa persegi panjang dengan panjang B keliling alas tabung B +Cr dan lebar B tinggi tabung B t, Luas B +Crt.
• Dua buah lingkaran $alas dan tutup* berjari2jari r. Luas B+Cr Dengan demikian, luas selimut tabung dapat ditentukan dengan 7ara berikut : Luas selimut tabung B keliling alas $p* E tinggi tabung $l* B +Cr E t B +Crt Luas alas dan tutup tabung B Cr F Cr B +Cr Luas permukaan tabung BLuas alas F tutup F luas selimut tabung Luas permukaan tabung B +CrF+Crt B +Cr$rFt*
2.2.
A,i"a'i I#t$ra! %#t%" &#$(it%#$ -!%& /#$a# &#$$%#a"a#
&t/ "%!it ta+%#$.
etode berikut sebagai alternati5 lain dalam perhitungan 9olume benda putar ang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode 7akram. 4enda putar ang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari2 jari
kulit luar dan dalamna berbeda, maka 9olume ang akan
4
dihitung adalah 9olume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut. Pandang tabung dengan jari2jari kulit dalam dan kulit luar berturut2turut r! dan r+, tinggi tabung h.
h V=2
rhΔr
Sebuah kulit tabung adalah sebuah benda ang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak ang sumbu simetrina berhimpit. apabila jari2jari tabung dalam adalah r! dan jari2jari luar adalah r+, sedangkan tinggi tabung adalah h!, maka 9olume kulit tabung adalah: = B Luas alas G Tinggi = B $Luas alas luar H luas alas dalam* G Tinggi = B $Cr luar 2 Cr dalam* G h = B C $r luar 2 r dalam* $r luar F r dalam*
(
2 π
=B
r luar −r
2π ×
=B
2
dalam
)(
h r luar −r dalam
)
jari− jari rata− rata× tinggi ×tebal
2 πrh∆r
=B
4ila daerah ang dibatasi oleh B 5$E*, B ', E B a dan E B b diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bah0a jari2jari r B E , ∆r = ∆ x
dan tinggi tabung
h B 5$E*. 6leh karena itu 9olume benda putar B
b
∫
V = +π xf ( x )dx a
5
y = f ( x ) , y = g ( x ){ f ( x ) ≥ g ( x ) , x ∈ [ a, b]}
isal daerah dibatasi oleh kur9a
,EB
a dan E B b diputar mengelilingi sumbu Y. aka 9olume benda putar B b
∫
V = +π x[ f ( x ) − g ( x ) ]dx a
4ila daerah dibatasi oleh gra5ik ang dinatakan dengan EB0$* EB', B 7 dan B d diputar mengelilingi sumbu G, maka 9olume B d
∫
V = +π y[ w( y ) ]dy c
Sedang
untuk
daerah
ang
dibatasi
oleh
x = w( y ) , x = v( y ) { w( y ) ≥ v( y ) , y ∈ [ c, d ]}
, B 7 dan B d diputar mengelilingi sumbu G. aka 9olume benda putar B
d
∫
V = +π y[ w( y ) − v( y ) ]dx c
2.). #t( ,r(it%#$a# !. Iitunglah 9olume benda putar ang terjadi jika daerah ang dibatasi kur9a
B E+ , garis E B +, dan sumbu E diputar mengelilingi sumbu sejauh &>'J Langkah penelesaian: !. ambarlah daerahna +. 4uatlah sebuah partisi &. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. %. #proksimasi 9olume partisi ang diputar, jumlahkan, ambil limitna, dan natakan dalam bentuk integral. Penelesaian : Diketahui : Y B G + GB+ Sudut putar B &>''
6
Ditanakan : =B;A Iitungan :
= y x
y
y 4 3 2 x 1 x2 x 0x1 2
4 3 2 1 1 2 01 2
x
#proksimasi 9olume partisi ang diputar, jumlahkan, ambil limitna, dan natakan dalam bentuk integral
∆= ≈ +πrh∆E ∆= ≈ +π$E*$E+*∆E = ≈ ∑ +πE&∆E +
∫
V = +π x & dx '
= B lim ∑ +πE&∆E +
V = +π [ !% x % ] V = )π '
7
+. Iitung 9olume benda putar bila daerah D ang dibatasi oleh B ! 2 E+ , sumbu G dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis E B ! a0aban :
8
&. Daerah ang di arsir pada gambar di ba0ah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar &>'°. ika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral ang menatakan 9olume benda putar tersebut adalah .... a0aban :
∆ = ≈ +πE√E ∆E V
4
=
2π ∫ x
x dx
0
9
BAB III PENUTUP ).1. K'i&,%!a# !. Kalkulus $4ahasa Latin: 7al7ulus, artina ?batu ke7il?, untuk menghitung*
adalah 7abang ilmu matematika ang men7akup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. "ntegral tertentu biasana dipakai untuk men7ari 9olume benda putar dan luas. +. #da tiga metode ang digunakan dalam men7ari 9olume aitu metode 7in7in, kulit tabung dan 7akram. &.
2 πrh∆r
.
10
DAFTAR PUSTAKA
#nonim. +'!+. Kulit Tabung. Tersedia pada : http:sharematika.blogspot.7om+' !+'9olume2benda2putar2metode2kulit2tabung.html. diakses tanggal !M #pril +'!( #nonim. +'!%. etode Kulit Tabung. Tersedia pada http:hidupmatematika blogspot.7om+'!%'&materi2menentukan29olume2dengan2metode.html. diakses pada !> #pril +'!(
11
