APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Aplikasi persamaan diferensial Dalam teori persam persamaan aan difer diferensial ensial,, masal masalah ah utama yang dihada dihadapi pi adalah mengetahui mengetahui adanya penyelesaian persamaan diferensial (adanya suatu fungsi terdiferensialkan dan memenuhi persamaan diferensial). Oleh karena itu, diperlukan teorema yang menjamin adanya suatu penyelesaian (Siswanto, 199). !ersamaan diferensial eksak yang merupakan "agian dari persamaan diferensial memiliki penyelesaian se"agai "erikut# 1.
F ( x, x, y y)) $ % $ c !ilih se"arang titik ( x&, y y&) se'ara "ijaksana pada daerah dimana fungsifungsi M fungsifungsi M , N , turunan turunan parsial parsial M dan N M y dan N y kontinu. itik ( x x&, y y&) diperoleh se'ara "ijaksana, tetapi hal terse"ut tidaklah mudah (*ini+io dan adas, 19--).
.
!engelompokan /enyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan mengelompokkan kem"ali sukusukunya, harus har us dik diketa etahui hui "ah "ahwa wa mas masing ingma masin sing g kel kelomp ompok ok adal adalah ah dif difere erensi nsial al tot total al dar darii sua suatu tu fun fungsi gsi (Ayres, 19-1).
0.
F ( x, x, y y)) $ % c( y) y) c( y) y) $ (oss, 19-2) Dari ketiga 'ara penyelesaian persamaan diferensial eksak, 'ara ketiga merupakan 'ara yang sistematik (*ini+io dan adas, 19--). Ditam"ahkan oss (19-2), 'ara ketiga merupakan 'ara yang standar dalam menyelesaikan persamaan diferensial eksak. !eny nyeelesaian
persam amaaan
diferensial
eksak
dengan
mengg ggu una nak kan
rumus
standar F standar F ( x, x y)$% , y)$% c( y) y) atau F atau F ( x, x y) , y) $ % c( x). x). 3ika dikaji dari langkah langkah pengerjaannya,
maka peneliti tertarik agar rumus penyelesaian persamaan diferensial eksak disederhanakan sehingga langkahlangkah penyelesaian soalsoal persamaan diferensial eksak le"ih sederhana. 4ksistensi suatu rumus untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak merupakan hal yang esensial untuk di"uktikan dan dijelaskan. 5agi yang awam tentang matematika, persoalan ini "ukan merupakan pemikiran "agi mereka, artinya mereka hanya menggunakan hasil penyederhanaan terse"ut tanpa pernah mun'ul pertanyaan dalam pikirannya mengapa penyelesaian itu 'aranya "er"eda. Sementara "agi orang matematika hal terse"ut harus dapat di"uktikan dan dijelaskan. 5erdasarkan uraianuraian yang telah dipaparkan, peneliti akan mengadakan penelitian dengan judul# 6!enyederhanaan penyelesaian persamaan diferensial eksak.7
5atasan /asalah !ada penelitian ini pem"ahasan diferensial eksak di"atasi yaitu# 1.
!ersamaan diferensial tingkat satu dan derajat satu untuk dua 8aria"el dengan "entuk umum persamaan diferensial M ( x, y) dx % N ( x, y) dy $ 0
.
= M ( x, y), = N ( x, y) dan =
0.
umus penyelesaiannya adalah F ( x, y)$% c( y) atau F ( x, y) $ % c( x)
1.
umusan /asalah 5erdasarkan latar "elakang dan "atasan masalah, peneliti merumuskan masalah se"agai "erikut# 5agaimana 'ara menyederhanakan rumus F ( x, y) $ % c( y) dan F ( x, y) $ % c( x), sehingga c( y) $ % c dan c( x) $ % c.
.
ujuan !enelitian
!ada prinsipnya penelitian ini "erusaha untuk menjawa" masalahmasalah yang dipaparkan pada latar "elakang dan rumusan masalah yaitu untuk menyederhanakan penyelesaian persamaan diferensial eksak. 0.
/anfaat asil !enelitian asil penelitian ini diharapkan dapat "ermanfaat se"agai "erikut#
1.
Dari peneliti, manfaat yang dapat diam"il adalah untuk mengem"angkan pengetahuan yang ada pada peneliti.
.
Dalam kaitannya dengan pengem"angan pendidikan tinggi di :ndonesia, penelitian ini diharapkan dapat mem"erikan tinjauan "aru dalam teori persamaan diferensial eksak.
0.
:nformasi yang di"erikan dalam penelitian ini akan mem"uka peluang diadakan penelitian le"ih lanjut dengan meli"atkan "entuk"entuk persamaan diferensial yang lain.
!4SA/AA; D:*44;S:A !ersamaan diferensial pada matematika diskrit khususnya adalah !ersamaan suatu fungsi matematika yang memiliki satu 8aria"el atau le"ih, dimana fungsi terse"ut saling "erhu"ungan antara fungsi itu sendiri dan turunanya. Selain dalam matematika diskrit, !ersamaan diferensial ini juga digunakan dalam ilmu hitung lainya "aik dari ilmu fisika, ekonomi dan ilmu lainya !ersamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak diketahui nilai dari satu atau "e"erapa 8aria"el yang saling "erhu"ungan, nilainilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari "er"agai operasi matematika. !ersamaan diferensial memainkan peran penting dalam aplikasi matematika pada "idang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.!ersamaan diferensial kerap mun'ul dalam "anyak "idang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya setiap kali terdapat hu"ungan deterministik yang meli"atkan "e"erapa elemen yang terus menerus "er8ariasi (dapat di"uat model matematika dengan menggunakan fungsi) dan tingkat peru"ahan elemenelemen terse"ut dalam ruang dan < atau waktu (dinyatakan se"agai turunan). al ini kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digam"arkan oleh posisi dan ke'epatan yang dipengaruhi oleh waktu. ukum ;ewton memungkinkan seseorang (mengingat posisi, ke'epatan, per'epatan dan "er"agai kekuatan "ertindak pada tu"uh) untuk
menyatakan 8aria"el8aria"el dinamis se"agai persamaan diferensial untuk posisi yang tidak diketahui tu"uh se"agai fungsi waktu. Dalam "e"erapa kasus, persamaan diferensial (dise"ut persamaan gerak) dapat dipe'ahkan =ontoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan ke'epatan "ola jatuh melalui udara, jika 8aria"el yang digunakan hanya gra8itasi dan ham"atan udara. !er'epatan "ola ke arah tanah dihiung dari per'epatan gra8itasi dikurangi perlam"atan karena ham"atan udara. Diasumsikan gra8itasi dianggap konstan, dan ham"atan udara dapat dimodelkan se"agai "er"anding lurus dengan ke'epatan "ola. al ini mengindikasikan per'epatan "ola, yang merupakan turunan dari fungsi ke'epatannya, yang tergantung pada ke'epatan. /en'ari ke'epatan se"agai fungsi atas waktu mem"utuhkan peme'ahan se"uah persamaan diferensial. !ersamaan diferensial se'ara matematis dipelajari dari perspektif yang "eranekaragam, se"agian "esar mereka peduli dengan solusihimpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya "erupa perkem"angan ilmu). anya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula se"uah formula eksplisit. ;amun, "e"erapa sifatsifat dari solusi dari persamaan diferensial yang di"erikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari peme'ahan persamaan diferensial terse"ut. 3ika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi se'ara numerik menggunakan komputer. eori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang
telah
dikem"angkan
untuk
menentukan
solusi
dengan
tingkat
galat
tertentu.
!ersamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari "anyak 8aria"el "e"as, dan persamaan terse"ut juga meli"atkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial "iasa, namun klasifikasi le"ih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiper"olik, dan para"olik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. 5aik persamaan diferensial "iasa maupun
parsial
dapat
digolongkan
se"agai
linier
atau
nonlinier.
>lasifikasi lain adalah tergantung pada "anyaknya fungsifungsi yang tidak diketahui.3ika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah 'ukup. Akan tetapi jika terdapat dua atau le"ih fungsi yang tidak diketahui maka se"uah sistem dari persamaan diperlukan. ?ntuk 'ontohnya, persamaan otka@olterra atau predatorpray adalah 'ontoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. !ersamaan terse"ut mempunyai "entuk# d
3.
/enurut derajat# derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Se"agai 'ontoh# ( d0y
persamaan
diferensial
"iasa,
orde
tiga,
derajat
dua.
!enerapan persamaan diferensial pada kehidupan seharihari dan /atematika diskrit Dalam penerapanya !ersamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pen'arian nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain ilmu yang dipengaruhi oleh !ersamaan diferensial ini adalah :lmu *isika misal dalam hukum newton, !er'epatan dan >e'epatan, !erhitungan adio ;uklir dan masih "anyak lagi.
