4.1. Fungsi Naik/Turun dan Nilai Ekstrim Suatu fungsi f(x) yang kontinu dan diferensiabel dapat dikatakan naik, turun pada suatu selang atau interval tertentu. Suatu fungsi f(x) dikatakan naik, turun, atau stasioner (nilai ekstrim) pada interval I, yaitu : 1. f(x) dikatakan NAIK pada interval tertentu jika f ‘(x) > 0, x ∈ I 2. f(x) dikatakan TURUN pada interval tertentu jika f ‘(x) < 0, x ∈ I 3. f(x) dikatakan mencapai nilai ekstrim atau titik stasioner jika f ‘(x) = 0 dengan mengetahui suatu fungsi akan naik pada interval tertentu dan akan turun pada interval tertentu, maka kita dapat membuat grafik dari fungsi tersebut dengan bantuan interval f(x) naik, interval f(x) turun serta koordinat titik stasioner.
Contoh : Diketahui f(x) = - x3 + 3x2 – 1 a). Tentukan titik stasionernya b). Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun c). Gambarkan sketsa grafiknya
Aplikasi Turunan
Hal : 50
a). Untuk mencapai titik stasioner, maka f ‘(x) = 0 diketahui fungsinya adalah f(x) = –x3 + 3x2 – 1, maka f ‘ (x) = –3x2 + 6x untuk mencapai titik stasioner, maka f ‘(x) = 0, maka diperoleh : ⇒ –3x2 + 6x = 0 ⇒ (–3x1 + 0)( x2 – 2) = 0 ⇒ diperoleh nilai x1 = 0 dan x2 = 2 sehingga titik stasionernya didapat : • x1 = 0
⇒ f(x1) = –x3 + 3x2 – 1 ⇒ f(0) = –(0)3 + 3(0)2 – 1 ⇒ f(0) = –1, jadi titik stasioner yang pertama (0, –1)
• x2 = 2
⇒ f(x2) = –x3 + 3x2 – 1 ⇒ f(2) = –(2)3 + 3(2)2 – 1 ⇒ f(2) = –8 + 12 – 1 ⇒ f(2) = 3, jadi titik stasioner yang kedua (2,3)
b). Interval fungsi naik dan fungsi turun dari jawaban a) diperoleh titik stasioner diperoleh jika x1 = 0 dan x2 = 2, artinya daerah asal x atau domain x (Df) terbagi menjadi 3 (tiga) interval yaitu : Interval I
0
Interval II
2
Interval III
Interval I = – ∞ < x < 0, Interval II = 0 < x < 2, Interval III = 2 < x < ∞
Aplikasi Turunan
Hal : 51
Uji Setiap Interval : 1. Uji Interval I Misalkan kita ambil salah satu nilai x yang ada di dalam interval I yaitu x = –1, kemudian kita subsitusikan ke dalam f ‘(x) = –3x2 + 6x diperoleh f ’(–1) = –3(–1)2 + 6(–1) = –9, atau nilai f ‘(x) < 0 artinya f(x) pada interval I TURUN kita beri tanda (–) -----------Interval I
0
Interval II
2
Interval III
2. Uji Interval II Misalkan kita ambil salah satu nilai x yang ada di dalam interval II yaitu x = 1, kemudian kita subsitusikan ke dalam f ‘(x) = –3x2 + 6x diperoleh f ’(1) = –3(1)2 + 6(1) = 3, atau nilai f ‘(x) > 0 artinya f(x) pada interval II NAIK kita beri tanda ( + ) -----------Interval I
++++++++ 0
Interval II
2
Interval III
3. Uji Interval III Misalkan kita ambil salah satu nilai x yang ada di dalam interval I yaitu x = 3, kemudian kita subsitusikan ke dalam f ‘(x) = –3x2 + 6x diperoleh f ’(3) = –3(3)2 + 6(3) = –9, atau nilai f ‘(x) < 0 artinya f(x) pada interval III TURUN kita beri tanda ( - ) -----------Interval I
++++++++ 0
Interval II
-----------2
Interval III
Kesimpulannya : • f(x) naik pada interval 0 < x < 2 • f(x) turun pada interval – ∞ < x < 0 dan 2 < x < + ∞
Aplikasi Turunan
Hal : 52
c). Grafik dari fungsi f(x) = –x3 + 3x2 – 1 dengan titik stasioner (0, –1) dan (2,3) adalah : Y 3
f(x) = –x3 + 3x2 – 1 •
0 2
X
-1•
Contoh : Diketahui f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 8 a). Tentukan titik stasionernya b). Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun c). Gambarkan sketsa grafiknya
a). Untuk mencapai titik stasioner, maka f ‘(x) = 0 diketahui fungsinya adalah f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 8, maka turunanya adalah f ‘(x) = 3x2 – 12x + 9 untuk mencapai titik stasioner, maka f ‘(x) = 0, maka diperoleh : ⇒ 3x2 – 12x + 9 = 0 ⇒ (3x1 – 3)(x2 – 3) = 0 diperoleh nilai x yaitu x1 = 1 dan x2 = 3 sehingga titik stasionernya didapat : • x1 = 1
⇒ f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 8 ⇒ f(1) = (1)3 – 6.(1)2 + 9.(1) – 8 ⇒ f(1) = – 4, jadi titik stasioner yang pertama (1,-4)
Aplikasi Turunan
Hal : 53
• x2 = 3
⇒ f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 8 ⇒ f(3) = (3)3 – 6.(3)2 + 9.(3) – 8 ⇒ f(3) = –8, jadi titik stasioner yang kedua (3, –8)
b). Interval fungsi naik dan fungsi turun dari jawaban a) diperoleh titik stasioner diperoleh jika x1 = 1 dan x2 = 3, artinya daerah asal x atau domain x (Df) terbagi menjadi 3 (tiga) interval yaitu : Interval I
Interval II
1
Interval III
3
Interval I = – ∞ < x < 1, Interval II = 1 < x < 3, Interval III = 3 < x < ∞
Uji Setiap Interval : 1. Uji Interval I Misalkan kita ambil salah satu nilai x yang ada di dalam interval I yaitu x = 0, kemudian kita subsitusikan ke f ‘(x) = 3x2 – 12x + 9 diperoleh f ’(0) = 3.(0)2 – 12.(0) + 9 = 9, atau nilai f ‘(x) > 0 artinya f(x) pada interval I NAIK kita beri tanda ( + ) ++++++++ Interval I
1
Interval II
3
Interval III
2. Uji Interval II Misalkan kita ambil salah satu nilai x yang ada di dalam interval II yaitu x = 2, kemudian kita subsitusikan ke f ‘(x) = 3x2 – 12x + 9 diperoleh f ’(2) = 3.(2)2 – 12.(2) + 9 = -3, atau nilai f ‘(x) < 0 artinya f(x) pada interval II TURUN kita beri tanda (– ) ++++++++ Interval I Aplikasi Turunan
----------1
Interval II
3
Interval III Hal : 54
3. Uji Interval III Misalkan kita ambil salah satu nilai x yang ada di dalam interval I yaitu x = 4, kemudian kita subsitusikan ke f ‘(x) = 3x2 – 12x + 9 diperoleh f ’(4) = 3.(4)2 – 12.(4) + 9 = 9, atau nilai f ‘(x) > 0 artinya f(x) pada interval III NAIK kita beri tanda ( + ) ++++++++ Interval I
----------1
++++++++
Interval II
3
Interval III
Kesimpulannya : • f(x) naik pada interval – ∞ < x < 1 dan 3 < x < + ∞ • f(x) turun pada interval 1 < x < 3 c). Grafik dari fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 8 dengan titik stasioner (1,-4) dan (3,-8) adalah : Y 1
-4
-8
Aplikasi Turunan
3 f(x)
(1,-4) •
X
• (3,-8)
Hal : 55
Soal Latihan 1: Diketahui fungsi sebagai berikut : 1). F(x) = (1/3)x3 + (1/2)x2 – 6x + 8 2). F(x) = x4 + 2x3 - 3x2 – 4x + 4 3). F(x) = x4 - 2x2 + 10 4). F(x) = x3 - 6x2 + 9x – 4 5). F(x) = x3 - 6x2 + 12x – 6 6). F(x) = (1/5)x5 - (5/3)x3 + 4x 7). F(x) = (3/5)x5 - 13x3 + 108x + 120 8). F(x) = x5 - (40/3)x3 + 8x – 50 9). F(x) = 3x4 - 10x3 – 12x2 + 18x - 7 10). F(x) = x3 - 6x2 + 9x – 8 11). F(x) = - x3 - 3x2 + 1 a). Tentukan titik stasionernya b). Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun c). Gambarkan sketsa grafiknya
Aplikasi Turunan
Hal : 56
4.2. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi Suatu fungsi f(x) mempunyai nilai ekstrim, yaitu nilai maksimum dan atau nilai minimum, untuk mencapai nilai maksimum atau minimum haruslah ada suatu nilai x yang jika disubsitusikan ke f(x) akan menyebabkan fungsi itu mencapai nilai maksimum atau minimum, nilai x itulah yang diperoleh dari f ‘(x) = 0 Hasil dari f ‘(x) = 0 dapat diperoleh : 1. Satu buah nilai x Jika hasil dari f ‘(x) = 0 hanya diperoleh satu buah nilai x, yaitu x = α, maka fungsi tersebut hanya mempunyai nilai maksimum saja atau nilai minimum saja, jenisnya diperoleh jika : → f ’’(α) > 0 (positif), maka f(x) mempunyai nilai Minimum yaitu f(α) → f ’’(α)< 0 (negatif), maka f(x) mempunyai nilai Maksimum yaitu f(α)
2. Dua buah nilai x Jika hasil dari f ‘(x) = 0 diperoleh dua buah nilai x, yaitu x1 = α dan x2 = β, maka fungsi tersebut mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum, jenisnya diperoleh jika : → f ’’(α) > 0 (positif), maka f(x) mempunyai nilai Minimum yaitu f(α) → f ’’(β)< 0 (negatif), maka f(x) mempunyai nilai Maksimum yaitu f(β) Secara grafik nilai maksimum atau nilai minimum dapat digambarkan sebagai berikut : f(x) mempunyai nilai Minimum Y
f(x) mempunyai nilai maksimum Y
f(a) a X f(a) f(a) nilai Minimum Aplikasi Turunan
a
X
f(a) nilai Maksimum Hal : 57
Contoh : Diketahui fungsi f(x) = 2x2 – 4x, tentukan nilai maksimum atau nilai minimumnya. • Nilai Maksimum atau Minimum diperoleh dari f ’(x) = 0. ⇒ f(x) = 2x2 – 4x ⇒ f ’(x) = 4x – 4 ⇒ f ’(x) = 0 ⇒ 4x – 4 = 0 ⇒x=1 Karena diperoleh satu buah nilai x yaitu x = 1, maka f(x) hanya mempunyai nilai maksimum saja atau nilai minimum saja. • Menentukan jenis nilai Maksimum atau Minimum : ⇒ f ’(x) = 4x – 4 ⇒ f ’’(x) = 4 jika x = 1 disubsitusikan ke f ’’(x) diperoleh f ’’(1) = 4 atau f ’’(x) > 0 (positif) artinya f(x) mempunyai nilai Minimum yaitu f(1) = 2(1)2 – 4(1) didapat f(1) = –2 jadi nilai Minimum untuk fungsi f(x) = 2x2 – 4x adalah –2.
Contoh : Diketahui fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 2, tentukan nilai minimum dan nilai maksimumnya. • Nilai Maksimum atau Minimum diperoleh dari f ’(x) = 0. ⇒ f(x) = x3 – 3x2 + 2 ⇒ f ‘(x) = 3x2 – 6x Aplikasi Turunan
Hal : 58
⇒ f ‘(x) = 0 ⇒ 3x2 – 6x = 0 ⇒ 3x (x – 2) = 0 Karena diperoleh dua buah nilai x yaitu x1 = 0 dan x2 = 2, maka f(x) mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. • Menentukan jenis nilai Maksimum atau Minimum : ⇒ f ‘(x) = 3x2 – 6x ⇒ f ’’(x) = 6x – 6 ► x1 = 0 disubsitusikan ke f ’’(x) = 6x – 6, diperoleh f ’’(0) = 6(0) – 6 f ’’(0) = –6 (negative), artinya f(x) mempunyai nilai Maksimum jika x1 = 0 disubsitusikan ke f(x) = x3 – 3x2 + 2 diperoleh : ⇒ f(0) = (0)3 – 3(0)2 + 2 ⇒ f(0) = 2 Jadi nilai Maksimum untuk f(x) = x3 – 3x2 + 2 adalah 2 ► x2 = 2 disubsitusikan ke f ’’(x) = 6x – 6, diperoleh f ’’(2) = 6(2) – 6 f ’’(2) = 6 (positif), artinya f(x) mempunyai nilai Minimum jika x2 = 2 disubsitusikan ke f(x) = x3 – 3x2 + 2 diperoleh : ⇒ f(2) = (2)3 – 3(2)2 + 2 ⇒ f(2) = 8 – 12 + 2 ⇒ f(0) = –2 Jadi nilai Minimum untuk f(x) = x3 – 3x2 + 2 adalah –2 Sehingga diperoleh jawaban bahwa fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 2 mempunyau nilai minimum = –2 dan nilai maksimumnya = 2.
Aplikasi Turunan
Hal : 59
Contoh : Diketahui fungsi f(x) = x2 + 16x -1, tentukan nilai maksimum atau minimum • Nilai Maksimum atau Minimum diperoleh dari f ’(x) = 0. ⇒ f(x) = x2 + 16x –1 ⇒ f ‘(x) = 2x – 16x –2 ⇒ f ‘(x) = 0 ⇒ 2x – 16x –2 = 0 ⇒ 2x = 16x –2 ⇒ x 3 = 16/2 ⇒x3=8 ⇒x =2 Karena diperoleh satu buah nilai x yaitu x = 2, maka f(x) hanya mempunyai nilai maksimum saja atau nilai minimum saja. • Menentukan jenis nilai Maksimum atau Minimum : ⇒ f ‘(x) = 2x – 16x –2 ⇒ f ’’(x) = 2 + 32x –3 jika x = 2 disubsitusikan ke f ’’(x) = 2 + 32x –3 diperoleh ⇒ f ’’(2) = 2 + 32(2) –3 ⇒ f ’’(2) = 4 + 32/8 ⇒ f ’’(2) = 8 Karena f ’’(2) > 0 (positif) artinya f(x) mempunyai nilai Minimum yaitu f(2) = (2)2 + 16(2)–1 didapat f(2) = 8 dengan x ≠ 0 jadi nilai Minimum untuk fungsi f(x) = x2 + 16x –1 adalah 8.
Aplikasi Turunan
Hal : 60
Contoh : Diketahui fungsi berikut : f(x) =
x2 + 40x + 400 x – 20
tentukan nilai minimum dan nilai maksimumnya. • Nilai Maksimum atau Minimum diperoleh dari f ’(x) = 0. ⇒ f(x) =
x2 + 40x + 400 x – 20
⇒ misalkan u(x) = x2 + 40x + 400, maka u’(x) = 2x + 40 dan v(x) = x – 20 , maka v’(x) = 1, sehingga f ’(x) diperoleh : u’(x).v(x) – u(x).v’(x) ⇒ f ‘(x) =
{v(x)}2 (2x + 40) (x – 20) – (x2 + 40x + 400)
⇒ f ‘(x) =
⇒ f ‘(x) =
(x – 20)2 x2 – 40x – 1200 (x – 20)2
⇒ f ‘(x) = 0 ⇒ x2 – 40x – 1200 = 0 ⇒ (x + 20)(x – 60) = 0, didapat x1 = –20 dan x2 = 60, Karena diperoleh dua buah nilai x yaitu x1 = –20 dan x2 = 60, maka f(x) mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.
Aplikasi Turunan
Hal : 61
• Menentukan jenis nilai Maksimum atau Minimum : ⇒ f ‘(x) =
x2 – 40x – 1200 (x – 20)2
⇒ misalkan u(x) = x2 – 40x –1200, maka u’(x) = 2x – 40 dan v(x) = (x – 20)2 , maka v’(x) = 2(x – 20), sehingga f ’’(x) diperoleh u’(x).v(x) – u(x).v’(x) ⇒ f ‘‘(x) =
{v(x)}2 (2x – 40).(x – 20)2 – (x2 – 40x –1200).2(x – 20)
⇒ f ‘‘(x) =
{(x – 20)2}2 3200
⇒ f ‘‘(x) =
(x – 20)3
► x1 = –20 disubsitusikan ke f ’’(x), diperoleh : 3200 ⇒ f ‘‘(–20) = ⇒ f ‘‘(–20) = ⇒ f ‘‘(–20) =
(–20 – 20)3 3200 (–40)3 3200 –64000
⇒ f ‘‘(–20) = –0,05 ( negatif) Artinya f(x) mempunyai nilai maksimum, jika x = –20 disubsitusikan ke f(x) yaitu diperoleh f(–20) = 0
Aplikasi Turunan
Hal : 62
► x2 = 60 disubsitusikan ke f ’’(x), diperoleh : 3200 ⇒ f ‘‘(60) = ⇒ f ‘‘(60) = ⇒ f ‘‘(60) =
(60 – 20)3 3200 (40)3 3200 64000
⇒ f ‘‘(60) = 0,05 ( positif) Artinya f(x) mempunyai nilai minimum, jika x = 60 disubsitusikan ke f(x) yaitu diperoleh f(60) = 160 Jadi nilai minimum = 160 dan nilai maksimum 0 dengan x ≠ 20
Contoh : Diketahui fungsi berikut : f(x) =
2x2 x+1
tentukan nilai minimum dan nilai maksimumnya. • Nilai Maksimum atau Minimum diperoleh dari f ’(x) = 0. ⇒ f(x) =
2x2 x+1
⇒ misal u(x) = 2x2, maka u’(x) = 4x dan v(x) = x + 1, maka v’(x) = 1, sehingga f ’(x) diperoleh : u’(x).v(x) – u(x).v’(x) ⇒ f ‘(x) =
Aplikasi Turunan
{v(x)}2
Hal : 63
(4x) (x + 1) – (2x2) (1) ⇒ f ‘(x) =
(x + 1)2 2x2 + 4x
⇒ f ‘(x) =
(x + 1)2
⇒ f ‘(x) = 0 ⇒ 2x2 + 4x = 0 ⇒ 2x(x + 2) = 0, didapat x1 = 0 dan x2 = –2 Karena diperoleh dua buah nilai x yaitu x1 = 0 dan x2 = –2, maka f(x) mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. • Menentukan jenis nilai Maksimum atau Minimum : ⇒ f ‘(x) =
2x2 + 4x (x + 1)2
⇒ misalkan u(x) = 2x2 + 4x, maka u’(x) = 4x + 4 dan v(x) = (x + 1)2, maka v’(x) = 2(x + 1), sehingga f ’’(x) diperoleh u’(x).v(x) – u(x).v’(x) ⇒ f‘‘(x) =
⇒ f‘‘(x) =
{v(x)}2 (4x + 4).(x + 1)2 – (2x2 + 4x).2(x + 1) {(x + 1)2}2 4
⇒ f‘‘(x) =
Aplikasi Turunan
(x + 1)3
Hal : 64
► x1 = 0 disubsitusikan ke f ’’(x), diperoleh : ⇒ f‘‘(0) =
4 (0 + 1)3
⇒ f ’’(0) = 4 (positif) Artinya f(x) mempunyai nilai minimum, jika x = 0 disubsitusikan ke f(x) yaitu diperoleh f(0) = 0 ► x1 = –2 disubsitusikan ke f ’’(x), diperoleh : ⇒ f‘‘(–2) =
4 (–2 + 1)3
⇒ f ’’(–2) = –4 (negative) Artinya f(x) mempunyai nilai maksimum, jika x = –2 disubsitusikan ke f(x) yaitu diperoleh f(–2) = –8 diperoleh nilai minimumnya adalah 0 dan nilai maksimumnya adalah –8 dengan x ≠ –1
Aplikasi Turunan
Hal : 65
4.3. Aplikasi Nilai Maksimum dan Minimum Jika fungsi yang akan dicari nilai maksimum atau minimumnya belum diketahui yaitu masih dalam berupa kalimat (soal cerita), maka yang terpenting dalam menentukan nilai maksimum atau nilai minimum yang terkandung dalam soal cerita, kita harus bisa membuat model matematika dari soal cerita tersebut. Model matematika tersebut merupakan suatu fungsi yang mewakili soal cerita tersebut. Secara rinci, langkah untuk menyelesaikan soal cerita adalah : 1. Tentukan fungsi matematika (model matematika) yang mewakili cerita tersebut dalam bentuk f(x) 2. Dalam menentukan fungsi matematika f(x), senantiasa dimisalkan dengan variable x atau y 3. Untuk mencapai nilai maksimum atau mnimum tentukan turunan dari fungsi tersebut yaitu f ’(x) = 0
Contoh : Jumlah dua bilangan positif adalah 20, tentukan dua bilangan positif tersebut supaya hasil kalinya maksimum 1. Mencari model matematikanya : misalkan dua bilangan itu adalah x dan y, maka dari kalimat matematika dari “Jumlah dua bilangan positif adalah 20 ” adalah : x + y = 20, sedangkan kalimat matematika “ hasil kalinya maksimum ” dapat ditulis : f(x) = xy agar kalimat matematika f(x) = xy hanya mengandung variable x saja, maka dari kalimat x + y = 20 diperoleh y = 20 – x, jika disubsitusikan ke dalam f(x) = xy, diperoleh : Aplikasi Turunan
Hal : 66
f(x) = x(20 – x) f(x) = 20x – x2 ini yang disebut Model Matematika 2. Mencari nilai maksimum untuk mencapai hasil kali maksimum, maka f ‘(x) = 0 diperoleh : ⇒ f(x) = 20x – x2 ⇒ f ‘(x) = 20 – 2x ⇒ f ‘(x) = 0 ⇒ 20 – 2x = 0 ⇒ x = 10 jika disubsitusikan ke x + y = 20 diperoleh y = 10 Artinya agar diperoleh nilai hasil kali maksimum dua bilangan positif, dengan jumlah 20, maka didapat bilangan ke 1 adalah 10 dan bilangan ke 2 adalah 10
Contoh : Andy mempunyai sebatang kawat yang panjangnya 100 cm, jika Andy ingin membuat segi empat dari sebatang kawat tersebut yang luasnya maksimum, berapa ukuran segi empat yang harus Andy buat ? 1. Mencari model matematikanya : Misal kawat tersebut adalah : 100 cm Dari kawat tersebut akan dibuat segi empat yang berbentuk seperti gambar di bawah ini :
x cm (50 – x) cm Aplikasi Turunan
Hal : 67
Misalkan lebar = l dan panjang = p , jika l = x cm, maka : p = (100 cm – 2x cm)/2 p = (50 – x ) cm Karena Luas = panjang x lebar, maka fungsi matematikanya : ⇒ L(x) = p . l ⇒ L(x) = (50 – x ) . x ⇒ L(x) = 50x – x2 ini yang disebut Model Matematika 2. Mencari nilai maksimum Untuk mencapai luas maksimum, maka L ‘(x) = 0 diperoleh : ⇒ L(x) = 50x – x2 ⇒ L’(x) = 50 – 2x ⇒ L’(x) = 0 ⇒ 50 – 2x = 0 ⇒ x = 25 artinya lebarnya harus 25 cm dan panjang juga 25 cm yang diperoleh dari p = (50 – x ) cm sehingga Luas maksimumnya = 25 cm x 25 cm = 625 cm2
Contoh : Kawat sepanjang 100 meter dipotong menjadi dua bagian, yang satu dibentuk lingkaran dengan jari-jari R dan yang lain dibentuk bujur sangkar, tentukan panjang masing-masing agar jumlah luas daerah lingkaran dan bujur sangkar tersebut maksimum ? ambil π = 22/7
Aplikasi Turunan
Hal : 68
1. Mencari model matematikanya : Misalkan kawat tersebut di bagi dua bagian, yaitu bagian I panjangnya x cm, maka bagian II panjangnya (100 – x)cm: (100 – x) cm
x cm
► Bagian I (x cm) dibentuk LINGKARAN dengan jari-jari R
R
⇒ Keliling Lingkaran = Panjang Kawat I ⇒2πR= x ⇒ R = x /(2π)
Sehingga Luas Lingkaran L(x) adalah : ⇒ L(x) = π R2 ⇒ L(x) = π { x /(2π) }2 ⇒ L(x) = π { x2 / (4π2) } ⇒ L(x) = x2 / (4π) ► Bagian II (100 – x ) cm dibentuk BUJUR SANGKAR ⇒ Sisi Bujur Sangkar (S) = Panjang Kawat II / 4 ⇒ Sisi Bujur Sangkar (S) = (100 – x ) / 4 (100 – x)/4
⇒ Sisi Bujur Sangkar (S) = 25 – x/4
Sehingga Luas Bujur Sangkar B(x) adalah : ⇒ B(x) = S2 ⇒ B(x) = (25 – x/4)2 ⇒ B(x) = 625 – 25x/2 + x2/16
Aplikasi Turunan
Hal : 69
Jumlah Luas Lingkaran dan Luas Bujur Sangkar misalkan F(x), maka diperoleh F(x) adalah : ⇒ F(x) = Luas Lingkaran + Luas Bujur Sangkar ⇒ F(x) = L(x) + B(x) ⇒ F(x) = x2/(4π) + 625 – 25x/2 + x2/16 ⇒ F(x) = (1/4π + 1/16)x2 – 25x/2 + 625 ini yang disebut Model Matematika 2. Mencari nilai maksimum untuk mencapai Jumlah Luas Maksimum, maka F ‘(x) = 0 diperoleh : ⇒ F(x) = (1/4π + 1/16)x2 – 25x/2 + 625 ⇒ F ’(x) = 2(1/4π + 1/16)x – 25/2 ⇒ F ’(x) = (1/2π + 1/8)x – 25/2 ⇒ F ’(x) = 0 ⇒ (1/2π + 1/8)x – 25/2 = 0 ⇒ x = 44 cx Jadi Kawat tersebut dipotong menjadi dua bagian, yaitu Bagian I dengan panjang 44 cm dan bagian II dengan panjang 56 cm, hal itu akan menyebabkan jumlah luas maksimum.
Aplikasi Turunan
Hal : 70
Soal Latihan 2: 1).
Hasil kali dua bilangan positif adalah 144, tentukan kedua bilangan itu agar jumlah kedua bilangan tersebut minimum
2).
Afnan mempunyai kawat dengan panjang 50 m, jika kawat tersebut akan dibentuk menjadi empat persegi panjang, berapa ukuran persegi panjang yang terbentuk agar luasnya maksimum
3).
Ada sehelai kertas karton dengan ukuran panjang 30 cm lebar 30 cm, dari karton itu akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang ke empat sudutnya, berapa ukuran kotak yang terbentuk agar volumenya maksimum ?
4).
Ada kawat panjang 20 meter dan tinggi 30 cm, kawat tersebut untuk membuat kandang itik yang berbentuk persegi panjang dengan sisi yang satunya tembok, berapa ukuran kandang itik itu agar luasnya maksimum ?
5).
Kawat yang panjangnya 16 m akan dipotong menjadi dua bagian, bagian pertama dibuat segitiga sama sisi dan bagian kedua dibuat bujur sangkar, tentukan ukuran segi tiga dan bujur sangkar yang terbentuk agar jumlah luasnya maksimum, sebagai catatan Luas segitiga sama sisi = (1/2) x Sisi x Sisi x Sin 60
6).
Sebuah jendela berbentu empat persegi panjang dan bagian atasnya berbentuk setengah lingkaran yang diameternya sama dengan lebar empat persegi panjang tersebut, jika keliling jendela itu 800 sm, tentukan ukuran jendela tersebut agar luasnya maksimum. Sebagai catatan keliling lingkaran = 2πR
7).
Pemda Bogor (B) akan membangun villa di desa Dadu (D) yang berjarak lurus 6 km ke arah utara dari kota Ciawi (C), jarak lurus dari kota Ciawi (C) ke Bogor (B) (dari timur ke barat) adalah 10 km, PT Telkom akan memasang jaringan telpon dengan membangun gardu
Aplikasi Turunan
Hal : 71
(G) diantara Bogor (B) – Ciawi (C), jika biaya pembangunan jaringan telpon dari Bogor (B) ke Gardu (G) adalah 5 Juta/km dan dari Gardu (G) ke desa Dadu (D) adalah 13 juta/km, dimana atau berapa kilometer dari Bogor (B) gardu (G) harus dibangun agar menghasilkan biaya yang minimum ? 8).
Budi dan Yanto membagi uang Rp. 1000, bila bagian Budi dan Yanto dikalikan akan mencapai nilai maksimum, berapa bagian masingmasing ?
9).
Sebuah balok dibuat dari selembar kertas karton dengan volumenya 72 m3, panjang = 2 kali lebar, tentukan ukuran balok (panjang, lebar dan tinggi) agar bahan yang digunakan sehemat mungkin ?
10). Sebuah kaleng susu berbentuk silinder, luas silinder tersebut adalah 924 cm2, tentukan ukuran silinder tersebut agar volume silinder tersebut sebanyak-banyaknya
Tugas Materi Aplikasi Turunan Kerjakan Soal Latihan 1 & Soal Latihan 2 Kirim via e-mail dengan nama
(Nama Anda_Aplikasi Turunan.Doc)
Aplikasi Turunan
Hal : 72
