Aplikasi Turunan
Mendeskripsikan grafik-grafik fungsi-fungsi Aturan turunan pertama dan kedua Masalah optimisasi Penggunaan turunan untuk bisnis dan ekonomi Menggambar grafik dan asimtot Teorema nilai rata-rata
Aplikasi Turunan: Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu: mendeskripsikan kecenderungan (naik, mendeskripsikan (naik, turun, mencapai maksimum/minimum) maksimum/mini mum) dari grafik fungsi dan menggunakannya menggunakannya untuk mencari titik kritis dan menentukan lokasi maksimum dan minimum menggunakan titik kritis dan tanda dari turunan pertama dan kedua untuk membuat sketsa dari grafik fungsi
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A a k i t a m e t a M
menggunakan turunan pertama untuk menentukan interval di mana fungsi naik dan turun menggunakan turunan kedua untuk menentukan kekonkafan dan titik belok menggunakan turunan pertama dan kedua untuk mengklasifikasi titik kritis
menggunakan turunan untuk menyelesaikan masalahmasalah optimisasi secara manual dan dengan bantuan
Aplikasi Turunan: Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu: mendeskripsikan kecenderungan (naik, mendeskripsikan (naik, turun, mencapai maksimum/minimum) maksimum/mini mum) dari grafik fungsi dan menggunakannya menggunakannya untuk mencari titik kritis dan menentukan lokasi maksimum dan minimum menggunakan titik kritis dan tanda dari turunan pertama dan kedua untuk membuat sketsa dari grafik fungsi
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A a k i t a m e t a M
menggunakan turunan pertama untuk menentukan interval di mana fungsi naik dan turun menggunakan turunan kedua untuk menentukan kekonkafan dan titik belok menggunakan turunan pertama dan kedua untuk mengklasifikasi titik kritis
menggunakan turunan untuk menyelesaikan masalahmasalah optimisasi secara manual dan dengan bantuan
Mendeskripsikan grafik fungsi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Misalkan diberikan suatu fungsi f fungsi f ( x ) dengan daerah asal I asal I . Maka kita akan menghadapi beberapa pertanyaan, antara lain, Apakah f ( x ) mempunyai nilai maksimum atau Apakah f minimum di I di I ? Jika Jika f f ( x ) mempunyai nillai maksimum atau minimum, dimanakah nilai itu dicapai? Jika ada, berapakah nilai maksimum maksimum atau minimum itu?
Mendeskripsikan grafik fungsi
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Definisi. Misalkan interval I adalah daerah asal Definisi. Misalkan fungsi f yang mengandung mengandung titik c. Kita katakan bahwa: maksimum global f pada I jika f(c) adalah nilai adalah nilai maksimum global f(c) f(x) f(x) untuk setiap x I; I; f(c) adalah nilai adalah nilai minimum global minimum global f pada I jika f(c) I; f(x) untuk setiap x I; f(c) adalah nilai adalah nilai ekstrim f ekstrim f pada I jika f(c) adalah nilai minimum atau nilai maksimum; fungsi yang ingin dimaksimumkan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi fungsi tujuan. tujuan.
Mendeskripsikan grafik fungsi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Apakah f ( x ) mempunyai niai maksimum atau Apakah f minimum di I di I ?
Mendeskripsikan grafik fungsi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Teorema. Eksistensi Maksimum-Minimum Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f mencapai nilai maksimum dan minimum pada [a, b].
Mendeskripsikan grafik fungsi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Di manakah nilai maksimum atau minimum dicapai?
Mendeskripsikan grafik fungsi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Teorema. Titik Kritis Misalkan fungsi f didefinisikan pada interval I yang mengandung c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim dari f, maka c haruslah merupakan titik kritis, yaitu c merupakan salah satu dari: titik-titik ujung I titik-titik stasioner dari f; yaitu titik dimana f’(c) = 0. titik-titik singular dari f; yaitu titik dimana f’(c) tidak ada.
Mendeskripsikan grafik fungsi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Carilah titik-titik kritis dari pada interval [-1, 3/2].
Penyelesaian Titik ujung dari interval adalah -1 dan 3/2 Titik stasioner
titik 0 dan 1 Jadi titik-titik kritis adalah -1, 0, 1, dan 3/2.
Mendeskripsikan grafik fungsi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh.Carilah titik-titik kritis dari pada interval [0, 9].
Penyelesaian Titik ujung dari interval adalah 0 dan 9. Titik stasioner
tidak ada nilai x dimana titik singular ada di x = 1. Jadi titik-titik kritis adalah 0, 1, dan 9.
Mendeskripsikan grafik fungsi
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Berapakah nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi ? Titik kritis. Cari titik-titik kritis f di I . (Titik ujung interval, titik stasioner, titik singular) Evaluasi nilai f pada setiap titik kritis. Nilai terbesar adalah nilai maksimum dan nilai terkecil adalah nilai minimum.
Mendeskripsikan grafik fungsi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Carilah nilai maksimum dan minimum dari pada interval [-1, 2].
Penyelesaian. Titik Kritis. titik stasioner x = 0 dan titik-titik ujung yaitu -1 dan 2. Evaluasi. f (-1) = 1, f (0) = 2, f (2) = -2 nilai maksimum adalah f (0) = 2 dan nilai minimum adalah f (2) = -2.
Aturan turunan pertama dan kedua a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Definisi. Kemonotonan Fungsi
Suatu fungsi f(x) disebut naik pada suatu interval I, jika untuk setiap di I,
Suatu fungsi f(x) disebut turun pada suatu interval I, jika untuk setiap di I,
Suatu fungsi f(x) disebut strik monoton pada suatu interval I, jika f naik saja atau turun saja di I.
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Grafik naik pada interval-interval
turun pada interval-interval
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Naik pada interval-interval turun pada interval-interval
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Teorema. Uji kemonotonan Suatu fungsi f(x) adalah naik pada interval I, jika pada I dan sama dengan nol hanya pada sejumlah berhingga titik. Suatu fungsi f(x) adalah turun pada interval I, jika pada I dan sama dengan nol hanya pada sejumlah berhingga titik.
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Aturan turunan pertama dan kedua . a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Carilah interval dimana fungsi
naik atau turun. Penyelesaian.
Titik pemisah x = -1, x = 0, dan x = 2
Interval x x +1 x -2
f ( x )
f turun
(-, -1) -
-
-
-
(-1, 0)
-
+
-
+
(0, 2)
+
+
-
-
turun
(2, )
+
+
+
+
naik
f naik : f
naik
Aturan turunan pertama dan kedua a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Turunan kedua dan kecekungan
Aturan turunan pertama dan kedua a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Definisi. Grafik fungsi f(x) disebut cekung ke atas pada interval I jika f’(x) naik di I, dan cekung ke bawah di I jika f’(x) turun di I. Titik pada gafik yang membedakan kecekungan disebut titik infleksi .
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
cekung ke atas
cekung ke bawah
Aturan turunan pertama dan kedua a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Teorema. Uji kecekungan Suatu fungsi f(x) adalah cekung ke atas pada interval I, jika pada I dan sama dengan nol hanya pada sejumlah berhingga titik. Suatu fungsi f(x) adalah cekung ke bawah pada interval I, jika pada I dan sama dengan nol hanya pada sejumlah berhingga titik. Titik infleksi muncul ketika dan f’’(x) berubah tanda, dan mungkin juga ketika f’’(x) tidak ada.
Aturan turunan pertama dan kedua a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Carilah interval dimana fungsi naik, turun, cekung ke atas, atau cekung ke bawah.
Penyelesaian. f naik pada:(-, 1] dan [3, ) f turun pada: [1, 3] f cekung ke atas pada [2, ) f cekung ke bawah pada (-,2] Titik x = 2 adalah titik infleksi.
Aturan turunan pertama dan kedua a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Ekstrim lokal
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Definisi. Suatu fungsi f(x) disebut mempunyai maksimum lokal ( relatif ) f(c) di x = c jika terdapat interval buka I yang mengandung c sedeikian sehingga untuk setiap x di I,
Suatu fungsi f(x) disebut mempunyai minimum lokal ( relatif ) f(c) di x = c jika terdapat interval buka I yang mengandung c sedeikian sehingga untuk setiap x di I,
f(c) adalah nilai ekstrim lokal f jika f(c) merupakan nilai minimum lokal atau maksimum lokal.
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Teorema. Uji turunan pertama Andaikan f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang mengandung titik kritis c. Jika f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk setiap x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal dari f. Jika f’(x) < 0 untuk setiap x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai minimum lokal dari f. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal dari f.
Aturan turunan pertama dan kedua a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Uji turunan pertama
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari
Penyelesaian
f (0) = 0 bukan nilai ektrim
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Teorema. Uji Turunan Kedua Seandainya f’’(x) kontinu pada interval buka yang mengadung titik c dimana f’(c) = 0, maka Jika f’’(c) < 0 maka f(c) adalah nilai maksimum lokal . Jika f’’(c) > 0 maka f(c) adalah nilai minimum lokal . Jika f’’(c) = 0 maka tidak ada kesimpulan yang dapat dibuat.
Aturan turunan pertama dan kedua a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari Penyelesaian
Titik kritis f: x = 0 dan x = 1.
Untuk x = 0, f’’ (0) =0. Untuk x = 0, f’’ (0) =0 tidak dapat disimpulkan Untuk x = 1, f’’ (1) = 12 > 0. maka f (1) = -1 adalah nilai minimum
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Masalah optimisasi Langkah-langkah menyelesaikan masalah optimisasi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Gambar. Buatlah gambar yang mengilustrasikan masalah dan lengkapi dengan data-data yang diketahui dan beri nama bagi peubah yang terlibat. Modelkan fungsi tujuan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan dalam peubah-peubah yang ada. Eliminasi peubah-peubah pada fungsi tujuan menggunakan kondisi pada masalah hingga tersisa satu peubah saja. Titik Kritis. Cari titik-titik kritis dari fungsi tujuan. Evaluasi nilai f pada setiap titik kritis. Nilai terbesar adalah nilai maksimum dan nilai terkecil adalah nilai minimum.
Masalah optimisasi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Misalkan ingin dibuat kaleng silindris dengan volume 125 m 3 dengan alas dan tutupnya dibentuk dari sepotong lempengan besi persegi dan selimutnya dibentuk dengan membengkokan lempengan besi persegi panjang sampai tepi – tepinya bertemu. Berapakah radius r dan tinggi h dari kaleng agar dapat meminimumkan total bahan yang diperlukan untuk dua persegi dan satu persegi panjang?
Masalah optimisasi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Gambar tutup dan selimut silender
r adalah jari – jari alas dan tutup silinder h adalah tinggi silinder.
Modelkan fungsi tujuan.
Masalah optimisasi
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Eliminasi.
Titik kritis.
Aturan turunan pertama dan kedua
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Evaluasi.
Minimum A(r)
Jadi kita meminimumkan bahan yang dibutuhkan dengan membuat kaleng berjari – jari 2,5 meter dan dengan tinggi
Penggunaan turunan untuk bisnis dan ekonomi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Biaya untuk memroduksi x barang (dalam ribu rupiah) diberikan oleh
Sedangkan fungsi harga diberikan oleh Hitunglah biaya marjinal, pemasukan marjinal, dan keuntungan marjinal saat 2500 barang terjual dan saat 7500 barang yang terjual. Asumsikan pabrik dapat menjual semua barang yang dihasilkan.
Penggunaan turunan untuk bisnis dan ekonomi a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Penyelesaian
Nilai fungsi marginal saat 2500 barang terjual
Nilai fungsi marginal saat 7500 barang terjual
Menggambar grafik dan asimtot
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Sketsalah grafik dari fungsi
Penyelesaian f fungsi ganjil, grafik simetris terhadap titik (0, 0) Perpotongan dengan sumbu- x :
Titik kritis -2, 0, dan 2 Interval f naik/turun
Menggambar grafik dan asimtot
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
nilai maksimum lokal
nilai minimum lokal
f cekung ke atas: f cekung ke bawah: Titik infleksi
Menggambar grafik dan asimtot
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Menggambar grafik dan asimtot
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Ringkasan metode menggambar grafik Prekalkulus.
Periksa daerah asal dan jangkauan dari fungsi untuk memeriksa apakah ada titik-titik yang tidak termasuk di dalamnya. Uji simetri terhadap sumbu-y dan titik asal (apakah fungsi ganjil atau genap) Cari perpotongan dengan garis sumbu.
Menggambar grafik dan asimtot
Kalkulus.
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Gunakan limit untuk mencari asimtot. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik kritis dan untuk mencari interval dimana fungsi naik atau turun. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum lokal. Gunakan turunan kedua untuk mencari interval di mana fungsi cekung ke atas atau ke bawah dan titik infleksi.
Plot beberapa titik termasuk titik-titik kritis dan titik infleksi. Sketsa grafik fungsi.
Menggambar grafik dan asimtot
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Gambarlah grafik fungsi
Prekalkulus. Daerah asal adalah (-, -1) (-1, ) Simetri. f (- x ) f ( x ) dan f (- x ) - f ( x ) sehingga f ( x ) tidak simetris terhadap sumbu y maupun titik asal. Perpotongan dengan sumbu- x :
Perpotongan dengan sumbu-y:
Menggambar grafik dan asimtot a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Kalkulus.
Diketahui bahwa x ≠ -1, maka periksa apakah x = - 1 adalah asimtot
x = - 1 adalah asimtot vertikal. Turunan pertama
Titik kritis x = 1 f ( x ) naik pada (-1, 1) dan turun pada (-,-1)(1,) f (1) = ¼ adalah nilai maksimum
Menggambar grafik dan asimtot a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Turunan kedua Titik infleksi pada x = 2 dengan f (2)=2/9 f ( x ) cekung ke atas pada: (2, ) dan cekung ke bawah pada: (-, -1) (-1, 2)
Teorema nilai rata-rata
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Teorema nilai rata-rata
a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Teorema. Teorema nilai rata-rata Jika f kontinu di interval tertutup [a, b] dan terturunkan pada titik dalamnya (a, b), maka pasti ada setidaknya satu titik c pada (a, b) dimana
atau
Teorema nilai rata-rata a i s e n o d n I s a t i s r e v i n U 1 A r a s a D a k i t a m e t a M
Contoh. Carilah c yang dijamin oleh teorema nilai rata-rata untuk f(x) = x 2 pada [0, 2]. Penyelesaian
Penyelesaian tunggal adalah c=1.
