ALGEBRA LINEAL (E-LEARNING) (E-LEARNING)
Unidad 3: Tarea Tarea 3 - Espacios vectoriales
Tutor: EDGAR ANTONIO DEL RIO
Estudiante: Samuel Rivero Ballesta
Códio: 1.02.0!1."11
Gr!po: 200!"#!$!
%NI&ERSIDAD NA'IONAL ABIERTA ( A DISTAN'IA. %NAD ES'%ELA DE 'IEN'IAS BASI'AS INGENIERIA INGENIERIA DE TELE'O)%NI'A'IONES TELE'O)%NI'A'IONES
Actividades a desarrollar
2 Dados: a) X = < 1,3,5 > ; Y = < 2,4,5>; 2,4,5>; Z= <1,0,2> vectores vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, e!uestre el a"io!a n#!ero 2 eno!inao $e% con!utativa e la su!a e vectores& Solución:
'u!ar los ele!entos en las posiciones que coincian
() 'ieno % * varia(les varia(les escalares, escalares, e!uestre e!uestre el s+pti!o s+pti!o % octavo a"io!a para espacios vectoriales usano los vectores el espacio vectorial V el punto anterior& se valores e 3 % 4 para % * respectiva!ente& -X . Y . Z) = X . Y. Z -/ri!era le% istri(utiva) - . *)X = X . * X -'euna le% istri(utiva)
'olucin = 3 *=4 X= ".3%.5 Y = 2".4%.5 2".4%.5 Z= ".2
e!ostrar el s+pti!o % octavo a"io!a para los espacios vectoriales
'+pti!o a"io!a /ropiea istri(utiva el proucto e un escalar con respecto a la su!a e vectores si es cualquier nu!ero real % X % Y son vectores V, entonces -".%) = " . %
-X . Y . Z) = X . Y. Z 3-".3%.5 . 2".4%.5 . ".2) = 3-".3%.5) .3 -2".4%.5) . 3 - ".2) 3". % .15 .6" .12% . 15 .3" . 6 =3".%.15.6".12%.15.3".6 12" .21%.36 = 2".21%.36
7ctavo a"io!a /ropiea istri(utiva el proucto e un escalar por un vector con respecto a la su!a e escalares si % * son cualquiera par e escalares % X es cualquier vector V, entonces - . *)8X = 8X . *8X&
- . *)8X = 8X . *8X - 3 . 4) -".3%.5) = 3-".3%.5) . 4 -".3%.5) 9".21%.35 = 3".%.15.4".12%.20 9".21%.35 = 9".21%.35
Ejercici Ejercicio o 3. Demost Demostrac racione iones s matemá matemática ticas s a partir partir del uso uso de conjuntos generadores y combinación lineal. a) Dado el conjunto
Demostrar &ue
) donde
S genera
a
!"#$) y
!%3#%2).
2
R
Solución: ': ': n con conun unto to ao ao,, ' en este este eer eerci cici cio, o, ene enera ra un espa espaci cio o vectorial si toos los ele!entos el espacio vectorial pueen ser e"presa esaos
co! co!o
una
co!(inaci acin n
lineal eal
el
con conun unto&
icional!ente, es necesario que toos los ele!entos el conunto sean parte el espacio vectorial& /ara e!ostrar e!ostrar que el conun conunto to e!o e!ostr strar ar que que
puee puee enerar enerar
se intentar intentar
pue puee e ser e"p e"pre resa sao o co!o co!o una co! co!(i (ina naci cin n
lineal eal e lo los ve vecto ctores
%
& tese tese que ic? ic?os vec vecto torres,
e"pr "presa esao o en t+r!i t+r!ino nos s e coor coore ena naa as, s, perte pertene nece cen n a
, e
!anera que %a se cu!ple una e las coniciones& ?ora (ien, si %
eneran
un vector ar(itrario
, con coorenaas i % , e(e
poer e"presarse co!o co!(inacin lineal e
%
@"presao en t+r!inos e co!ponentes, 7 (ien,
@sto puee ser e"presao en un siste!a e ecuaciones
@l pro( pro(le le!a !a a?or a?ora a se reuc euce e a eter eter!i !ina narr si el sist siste! e!a a es cons consis iste tent nte e par para a los los valo valorres e
%
& /ar /ara a ell ello o la la !at !atri ri e e
coeAi coeAicie ciente ntes, s, el siste! siste!a a e ecuaci ecuacion ones es prop propue uesto sto,, e(e e(e ser inverti(le % por tanto su eter!inante iAerente e cero& 'ea la !atri e coeAicientes ,
/uesto que el eter!inante e e"iste, e"iste un conunto e valores valores
%
que satisAacen el siste!a e ecuaciones, ecuaciones, % por tanto
e"ist e"isten en valor valores es e
%
, que que per! per!ite iten n e"pr e"presa esarr el conu conunto nto
co!o una co!(inacin lineal e eneran al espacio vectorial
b) Dados los vectores
& /or tanto, los vectores
&
y
'es correcto
a(irmar &ue el vector es una combinación lineal de u y v *usti(icar la respuesta
'olucin Vea!os si el vector se puee escri(ir co!o co!(inacin lineal e los otros os vectores, pri!ero colocare!os los vectores e la Aor!a -a,() para !a%or co!presin
=-B6,) , V= -B1,) % C= -B11,)
7(serve!os si el vector se puee escri(ir co!o co!(inacin lineal e % V& V& e ser asD entonces
-B11,) = E-B6,). *-B1,)
B6EB*=B11 -1)
⇒
E.*= -2)
'u!a!os la ecuacin 2 con veces la ecuacin 1
E.* B54EB*= B B45E= B0
⇒
E= B0:B45 = 2
⇒
'ustitu%o en -1)
B682B*=B11 *=B12.11= B1
Fo!pro(a!os
-B11,) = 28-B6,). B18-B1,) ⇒ ⇒
-B11,) = -B12.1,1GB) -B11,) = -B11,) Forrecto
/or lo tanto la aAir!acin es correcta la co!(inacin lineal es
28-B6,). B18-B1,)
Ejercicio + Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango de una matri,# dependencia e independencia lineal escripcin el eercicio 4 e la siuiente !atri que arupa a tres vectores e un espacio vectorial, calcule
a) () c) )
eter eter!i !inan nante te Hano Iatri Iatri escalona escalonaa a usano usano Jauss Jauss Koran Koran KustiAique ese ese caa proceso proceso si ?a% epenencia epenencia o inepenencia lineal& e) eter eter!i !inan nante te
Solución:
Es una matri, independiente linealmente
() -ango
Solución:
Heucir !atri en su Aor!a escalonaa por renlones
Es una matri, linealmente dependiente
g) atri, atri, escalonada escalonada usando usando /auss *ordán *ordán Solución:
Es una matri, linealmente dependiente
Ejerc Ejercic icio io " Demos Demostr trac acio ione nes s ma mate temá máti ticas cas a pa part rtir ir del del uso uso de dependencia e independencia lineal Descripción del ejercicio " eter!ine inepenencia lineal e los siuientes conuntos e vectores& a& V1= -0,2,2)& -0,2,2)& V2= -3,3,3)& -3,3,3)& V3= -0,0,4)& -0,0,4)& (& V1= -6 ,B2, G )& V2= V2= -1:2, 4, 0) & V3= V3= -B10, 6, 2)& V4=-2,1,4)& V4=-2,1,4)& Solución: -eescribimos la ecuación vectorial en la (orma de matri, y la resolvemos por el m0todo de /auss
0 3 0 2 3 0 2 3 4
ca!(ie!os e luares 1B+si!o % 2B+si!o
2 3 0 0 3 0 2 3 4
ivia!os 1B+si!o por 2
1 1& 5
0
0
0
2
3 3
4
e 3 Ailas sustraia!os la 1 lDnea, !ultiplicaa respectiva!ente por 2
1 1& 5
0
0 3
0
0
0
4
ivia!os 2B+si!o por 3
1 1& 5
0
0
0
0
1 0
4
e 1 Ailas sustraia!os la 2 lDnea, !ultiplicaa respectiva!ente por 1&5
1 0 0 0 1 0 0 0 4
ivia!os 3B+si!o por 4
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Hesultao @l siste!a e vectores ao -el siste!a e vectores lineal!ente inepeniente), asD que toas "i = 0
b. 1$ !#%2# !#%2# ). 12 !$42# !$42# +# 5). 13 !%$5# !%$5# # 2). 1+ !2#$#+). Heescri(i!os la ecuacin vectorial en la Aor!a e !atri % la resolve!os por el !+too e Jauss
6 B2
1:2 B 10 4
6
G
0
2
0
0
0
2 1 4 0
ivia!os 1B+si!o por 6
1 B2
1:1 B 2 5:3
1:3
4
6
1
G
0
2
4
0
0
0
0
e 2; 3 Ailas sustraia!os la 1 lDnea, !ultiplicaa respectiva!ente por B2; G
1 1:1 2
B5:3 1:3
0 25: 6
G:3
5:3
0 B2:3 46: 3 0
0
4:3
0
0
ivia!os 2B+si!o por 25:6
1 1:1 2 0
16:2 5
1
0 B2:3 0
1:3
B5:3
0
2:5 4:3
46:3 0
0
e 1; 3 Ailas sustraia!os la 2 lDnea, !ultiplicaa respectiva!ente por 1:12; B2:3 1 0 B 43:25 0 1 16:25 0 0 34:2 5 0 0
0
3:1 0 2:5 G:5 0
ivia!os 3B+si!o por 34:25
1 0 B 43:25
3:10
0 1 16:25 2:5
0 0 0 0
20:1 9
1 0
0
e 1; 2 Ailas sustraia!os la 3 lDnea, !ultiplicaa respectiva!ente por B43:25; 16:25
1 0 0 1G9:3 4 0 1 0 66:19 0 0 1 20:19 0 0 0
0
Hesultao @l siste!a e vectores ao no es una (ase -el siste!a e vectores $ineal!ente epeniente), asD que e"isten "i L 0 Ejercici Ejercicio o . Demost Demostrac racione iones s matemá matemática ticas s a partir partir del uso uso de a6iomas# propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales Descripción del ejercicio e!ostrar lo siuiente 'i A % 7 son !atrices, e!uestre las siuientes propieaes % co!pro(ar !eiante ee!plo a& Hano -M)= rano -M t t ) tena presente presente el oren oren e las !atrices& (& 'i A no es una !atri cuaraa, los vectores Aila o los vectores e colu!na e A sern lineal!ente epenientes&
Solución: a) -ango !A7) -ango -ango !7tAt) !7tAt) /ara resolver este eercicio asu!a!os que la raD M es tal que
M = !"1 tMt = 1"! e !oo que porDa!os aAir!ar que la Aila e rano es iual a la colu!na e rano, e !oo que @l rano e una !atri sie!pre es iual al rano e su !atri traspuesta&
b. Si A no es una matri, cuadrada# los vectores (ila o los vectores de columna de A serán linealmente dependientes.
'i , es una !atri cuaraa, puee llear a esta(lecerse un siste!a e ecuaciones e una sola solucin e tal !oo que se valie la inepenencia lineal a !is!a, pues se tiene la !is!a cantia e ele!entos que e relaciones -Ailas % colu!nas), en ca!(io si la cantia e soluciones es !enor o !a%or irecta!ente sern epenientes las Ailas entre si