Métodos Quantitativos Aplicados à Administração
Nome da Professora: Prof.ª Bruna D. Silva
Sumário RELAÇÕES E FUNÇÕES ______________________________ _____________________________________________________________4 _______________________________4 Relação entre grandezas grandezas variáveis variáveis ________________________________ _________________________________________________________ _________________________ 4 Função como uma relação especial ____ _______________________________ ____________________________________________________ _____________________ 5 O conceito matemático matemático de função __________________________________________ __________ _______________________________________________ _______________ 5 Atividades ____________________________________________________________________________ 5
Gráficos e Tabelas ____________________________ ______________________________________________________________ ____________________________________7 __7 Tabelas ______________________________________________________________________________ 7 Gráficos ______________________________________________________________________________ 7
_____________________________________________________________________ ___________________________________ ____________________________________________8 __________8 Atividades ___________________________________________________________________________ 10
Juros, capitalização, descontos. ______________________________ _____________________________________________________12 _______________________12 Juros _______________________________________________________________________________ 12 Taxas proporcionais ________________________________ ________________________________________________________________ ___________________________________ ___ 13 Montante ___________________________________________________________________________ 13 Desconto Simples _____________________________________________________________________ 13 Taxa de juro efetiva____________________________________________________________________ 14 Juros Composto_______________________________________________________________________ 15 Tábua financeira ______________________________________________________________________ 15 Cálculo do Capital _____________________________________________________________________ 16 Desconto composto ________________________________ ________________________________________________________________ ___________________________________ ___ 16
Series de pagamentos ______________________________ ____________________________________________________________17 ______________________________17 Valor Presente (PV) _____________________________ _____________________________________________________________ _______________________________________ _______ 17
Intervalos de confiança. ___________________________________________ ___________________________________________________________37 ________________37 Tábua Financeira _____________________________ _______________________________________________________________ ___________________________________38 _38
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RELAÇÕES E FUNÇÕES
As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções. Pode notar-se que as palavras: função; mapeamento; mapear; e transformar são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso, funções podem ocasionalmente ser referidas como funções bem definidas ou função total. O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de: uma equação, um relacionamento gráfico; diagramas representando os dois conjuntos; uma regra de associação; uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente independente x.
Relação entre grandezas variáveis Há diversas maneiras de representar uma relação entre duas grandezas. Veja abaixo algumas situações: A tabela abaixo mostra as tarifas praticadas pelo correio brasileiro para o envio não comercial e cartão-postal. CARTA NÃO COMERCIAL E CARTÃOA partir da tabela, podemos responder a POSTAL – NACIONAL perguntas como: (PREÇOS EM REAIS) - Qual o valor a ser pago por uma carta que ―pesa‖ PESO (GRAMAS) VALOR BÁSICO 62 g? Até 20 0,27
Função como uma relação especial
As três relações que vimos anteriormente anterior mente têm duas características em e m comum: A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável variá vel dependente. Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da variável dependente. As relações que têm essas características são chamadas funções. Dizemos que: - A tarifa postal é dada em função do ―peso‖ da carta. - A taxa de desemprego é dada em função do mês. - A área do quadrado é dada em função da medida do se lado. Em toda função, destacamos dois conceitos importantes: o domínio e a imagem. Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente. Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente.
O conceito matemático de função Dado dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesian cartesiano o
Produto cartesiano
(indica-se: A ×B de A por B o conjunto conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B. A×B={(x,y)|x є A e y є B}
Dado os conjuntos A= {1, 2, 3} e b {2,4}, vamos construir um novo conjunto a partir de A e B, formado por todos os pares ordenados , onde o primeiro elemento de cada par pertença ao conjunto A e o segundo elemento pertença ao B.
6 1. A população brasileira é a quinta maior do mundo e vem aumentando a cada ano, sendo que no decorrer do século passado essa população foi praticamente multiplicada por 10. Atualmente, segundo o IBGE, o Brasil possui mais de 190 milhões de habitantes. Evolução da população população brasileira do século XX Ano População (em milhões de habitantes) 1900 17,4 1920 30,6 1940 41,2 1960 71 1970 94,5 1980 121,2 1991 146,9 2000 169,6 Fonte: www.sidra.ibge.gov.br. Acesso em: 16 jun. 2009. a) Na tabela, quais as variáveis que se relacionam? b) Qual era a população brasileira no ano de 1980? c) A cada ano apresentado na tabela estão est ão associadas mais de uma quantidade de habitantes? 2. Uma locadora de automóveis anuncia uma promoção de aluguel de veículos na qual o locatário deve pagar uma taxa fixa de R$ 39,90 mais uma quantia proporcional á quantidade d de quilômetros rodados. Nessa promoção, para calcular a quantia Q a ser paga pelo aluguel de
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Gráficos e Tabelas
Tabelas A produção de tabelas deve seguir algumas regras sobre os elementos que compõem este tipo de texto. Título - indica o assunto tratado ou pode ser apenas ter a função de chamar a atenção do leitor. Subtítulo ou texto explicativo - explicita o tema da tabela e contextualiza a situação. Cabeçalho e colunas indicadoras correspondem aos títulos dos conteúdos das colunas e linhas, respectivamente. Corpo - os dados da tabela. Fonte - que possui a mesma função que nos gráficos e que usualmente aparece no rodapé da tabela.
Gráficos O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.
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Histograma
O histograma consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área igual à e freqüência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a q u altura de cada retângulo é denominada densidade de e freqüência ou simplesmente densidade definida pelo n c quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns autores i utilizam a freqüência absoluta ou a porcentagem na a 5 ||- 6 6 ||- 7 7 ||- 8 8 ||- 9 9 | -1 -1 0 construção do histograma, o que pode ocasionar Notas distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. F r
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
20
Notas obtidas na disciplina de programação I
Notas obtidas na disciplina de programação I
F 18 r 16 e 14 q 12
Polígono de freqüências
Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das classes.
u 10 e
8
n
6
c
4
i
2
a
0 5 ||-6
6 ||-7
7 | -8
8 ||-9
9 ||-10
Notas
Gráfico de ogiva
Apresenta uma distribuição de freqüências acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente utilizando
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.
Cartograma. É representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com as áreas geográficas ou polí políticas. ticas.
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Atividades 1. Dependendo da informação procurada é preciso uma leitura diferente da tabela: a) Em qual faixa etária as pessoas possuem mais computadores no Brasil? b) Se nos perguntarmos, jovens ou idosos têm maior acesso à internet?
11 4.
Numa cidade de 20000 habitantes fez-se um inquérito sobre os meios de transporte utilizado diariamente para se deslocarem para o emprego. Foram interrogadas 2500 pessoas e os resultados foram registados no seguinte gráfico, construa uma tabela com a frequência relativa de cada um dos transportes.
CAPÍTULO III – JUROS, CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO S
Juros, capitalização, descontos.
Juros Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital. Na prática, o valor do juro é determinado por meio de uma taxa percentual, referida a um intervalo de tempo, t empo, denominada taxa de juro. Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração desse capital durante um intervalo de tempo que denominamos período financeiro ou período de Capitalização. Capitalização Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro. Há dois regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto. No regime de capitalização a juro composto , o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando esse montante a render juro no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados. Já no regime de capitalização a juro simples, por convenção, apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa t axa não é incorporado ao capital para também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados. Juros Simples Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
Cálculo do juro simples
Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de
CAPÍTULO III – JUROS, CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO S
Taxas proporcionais Duas taxas são proporcionais proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os temos a elas referidos, reduzidos á mesma unidade. Exemplo Calcule a taxa mensal proporciona a 30% ao ano. Resolução: Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos: i= isto é: 2,5% a.m Atividades 3. Calcule a taxa mensal proporcional a: a. 9 % a.t. b. 24 % a. s. c. 0,04 % a.d. 4. Calcule a taxa anual proporcional a: a. 1,5 % a.m. b. 8 % a. s. c. 0,05 % a.d.
Montante Já vimos que o montante (ou valor nominal) é igual á soma do capital inicial (ou valor atual) com o juro relativo ao período de aplicação, isto é: Montante = capital inicial + juro Ou Valor nominal = valor atual + juro Assim, designando o montante por M, temos:
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Valor atual comercial
O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por: A =N – d Daí:
Exemplo
Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 454 dias paro o vencimento do título, determine: a. O valor do desconto comercial; b. o valor atual comercial. Resolução: Temos: N = 6.000 n = 45d i = 2,1% a.m. = 0,021 a.m. = 0,0007 a.d a. Sabemos que: Logo:
,
isto é, o desconto comercial comercial é de: R$ 189 b. Como:
Atividades
15 dr = Valor do Desconto Racional ( por dentro ): Ar = Valor Valor Atual Racional Racional ou Valor Descontado Descontado Racional
Valor do Desconto Racional Valor Atual Racional:
Exemplo Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado a taxa de 2,1% ao mês faltando 45 dias para o vencimento. Determine: a) o vvalor alor do desconto racional ( dr = R$ 183,23 ) b) o valor atual racional ( Ar = R$ 5.816,77 5.816,77 ) Atividades 8. Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.000, disponíveis dentro de 40 dias, á taxa t axa de 3% ao mês.
Juros Composto Juros composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Que nos permite escrever, para o enésimo período:
16 Localizamos, inicialmente, a tabela corresponde a i =20%. Na primeira coluna procuramos o valor 5 de n .O valor de (1 + 0,2) 5 é aquele que se encontra na intersecção da quinta linha com a segunda coluna: 2, 48832. Logo: (1 + 0,2) 5 = 2,48832 Atividades 9. Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestados, a juro de 3 % ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 10. Calcule o montante de R$ 20.000 a juros composto de 3,5% ao mês durante durante 36 3 6 meses.
Cálculo do Capital
Exemplo Calcule o capital inicial que, no no prazo de 5 meses, meses, a 3% ao mês, produziu o montante montante de R$ 4.058. C = R$ 3.500 Atividades 11. Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, á taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475, calcule esse capital.
Desconto composto O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento vencimento.. Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo.
CAPÍTULO IV – SERIES DE PAGAMENTOS
Series de pagamentos
Genericamente, entende-se por Série de Pagamentos uma seqüência de embolsos (entradas) e/ou desembolsos (saídas) de capitais que são distribuídos periodicamente, um após o outro, em uma linha de tempo. Chamaremos esses embolsos e desembolsos de prestações prest ações (PMT ). ). O estudo das séries de pagamentos envolve basicamente três conceitos: o Valor Presente (PV ) , , que é a somatória das parcelas na data zero; o Valor Futuro (FV ) , , que é a somatória das parcelas em data futura, em data igual ou após o vencimento da ultima prestação; e a Equivalência Equivalência prestaçõ es em uma data qualquer. de Capitais, que é a somatória das prestações Abordaremos cada um dos pontos acima, porém, antes, é preciso classificar os tipos de séries, ou seja, a forma como co mo se comportam os fluxos monetários ao longo do tempo, haja vista os diversos formatos que eles podem assumir: assu mir: Quanto à Periodicidade das Prestações: • Periódica: Ocorrem em intervalos
regulares do tempo. Por exemplo : prestações mensais,
anuais, semestrais e etc.; • Não Periódica: Não obedece a uma regularidade temporal. Quanto ao Valor das Prestações: • Constante: Quando eles são iguais. • Variáve l: Quando eles não são iguais. Quanto ao Número de Prestações: • Finita: Quando a quantidade for conhecida; • Perpétua: Quando a quantidade não for conhecida.
Quanto ao Início do Pagamento da Primeira Prestação:
• Antecipada: Quando a primeira prestação for efetivada no ato da operação financeira;
Postecipada: Quando a primeira prestação for efetivada depois de decorrido um período da
CAPÍTULO V – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO
Sistemas de amortização.
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. No Brasil, existe a amortização contábil, cujo conceito não se restringe à diminuição de dívidas, mas também à direitos intangíveis classificados no ativo (conta de balanço), derivado da teoria de dimensão económico dos fundos contábeis. Assim, associa-se o termo amortização contábil, à depreciação contábil (redução de bens tangíveis) e à exaustão contábil (recursos naturais). naturais). Com o desenvolvimento econômico, toda relação econômica passou a ter um componente financeiro como parte da negociação de bens e serviços, determinando o surgimento de dívidas. A Matemática Financeira trata o pagamento dessas dívidas, principalmente no médio e longo prazo, pelos sistemas de amortização de empréstimos, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. Os contratos firmados entre credor e devedor ou mutuário estabelecem as condições de se amortizar a dívida contraída. Nos financiamentos imobiliários, alguns sistemas de amortização desapareceram e, mais tarde, voltaram a ser usuais, como é o caso do Sistema de Amortização Constante (SAC). A capitalização composta está presente em todos os sistemas de concessão de crédito. Além do SAC, hoje, os dois outros modos de cálculo mais usados em financiamentos imobiliários novos são a Tabela Price e o Sistema de Amortização Crescente (SACRE).
1. Sistema de Amortização Constante
A diferença está no índice de correção – a taxa referencial (TR) – , que entra nos cálculos posteriormente, alterando a amortização constante e tornando-a variável. Se a Taxa Referência estiver em declínio constante, a amortização do saldo devedor será decrescente, não crescente.
3. Sistema de Amortização Francês - Tabela Price A prestação pela Tabela Price Price é obtida por uma uma fórmula fórmula de prestações
iguais:
A correção monetária do saldo devedor pode fazer com que uma prestação, que, no início do contrato, comprometa 25% da renda do mutuário, com o passar do tempo, passe a comprometer 30%, 40% ou mais mais de sua renda. Além disso, o sistema obriga, durante durante a maior parte do contrato, que, primeiro, sejam pagos, essencialmente, os juros, não o principal da dívida, pois os juros são calculados sobre o saldo devedor que, no início, é maior. A parcela cobrada a título de juros não reduz o contrato, a amortização do saldo é muito pequena, aumentando à medida que passam os períodos. A amortização só se torna possível porque as prestações são cada vez mais altas Para melhorar a compreensão do sistema francês o exemplo abaixo. • Valor do empréstimo: $ 10.000,00 • Taxa de juros: 36% ao ano • Prazo: 10 meses
Juros do 1o. período = 10.000,00 x 0,025955 = 259,55 Juros do 2o. período = 9.111,32 x 0,025955 = 236,48 Amortização do 1o. período = 1.148,23 – 259,55 = 888,68 Amortização do 2o. período = 1.148,23 – 236,48 = 911,75
4. Comparações entre os Sistemas: PRICE x SACRE e SAC O banco pode oferecer ao cliente três tipos de Sistemas de amortização para estabelecer o valor da prestação do financiamento: tabela t abela Price (Sistema Francês de Amortização), tabela t abela SACRE (Sistema de Amortização Crescente), exclusiva da Caixa Econômica Federal, e tabela SAC (Sistema de Amortização Constante). Digamos que você tenha essas três opções, qual escolher? Para fazer essa comparação, vamos imaginar que a correção monetária dos contratos de financiamento foi extinta pelo governo federal (a extinção da correção monetária já está sendo estudada pelo pelo governo).O governo).O valor da prestação corresponde apenas ao pagamento da amortização dívida e dos juros sobre a dívida. Considerando a ausência de correção das prestações, no Sistema de Amortização Francês (tabela Price), a prestação inicial é menor e constante durante todo o contrato. Nos Sistemas de Amortização Constante e Crescente (tabelas SAC e SACRE), a prestação inicial é maior, mas
A tabela acima oferece informações importantes: • Observando a coluna de valor da prestação da SACRE, a primeira é de $ 715,28, chega ao
5. Mais uma comparação - SAC x Tabela Price Vamos comparar dois financiamentos de mesmo valor (R$ 150.000,00), mesma taxa de juros (0,9489% ao mês) e mesmo prazo de amortização (15 anos), variando apenas o Sistema de Amortização (SAC ou Tabela Price). Veja, nos gráficos abaixo, os valores das prestações mensais ao longo do tempo (linhas azuis) e como essas prestações se decompõem em quotas de amortização (linha verde) e quota de juros
(linha vermelha) Fonte: . Acesso em: 28/09/06. Observe que as linhas azuis que representam as prestações prest ações indicam que: a) no financiamento pelo SAC – as prestações são decrescentes, começam em R$ 2.256,65 e terminam em R$ 841,24;
CAPÍTULO VII – MEDIDAS ASSOCIATIVAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS QUANTITATIVAS E QUALITATIVAS
Gráficos e distribuição de frequência.
Distribuição de Frequência Definição – é um sumário tabular de dados que mostra a frequência (ou o número) de observações em cada uma das diversas classes não sobrepostas. Exemplo: Exemplo: Dados de uma amostra de 24 compras de refrigerantes
Tabela 1: Distribuição de frequência das compras de refrigerantes r efrigerantes
Onde f – – frequência absoluta simples
24
Dados Quantitativos Quantitativos - se referem a números no no sentido de quantidade quantidade e podem se dividir em discretos e contínuos. Passos para construção da D.F. em classes: 1. determinar o número número de classes classes não sobrepostas;
2. determinar o tamanho de cada cada classe, amplitude amplitude de classe(h); H= maior – menor valores
25 No eixo x, colocam-se as classes e no eixo y, a freqüência absoluta simples ou a relativa simples.
Distribuição de Freqüência por ponto – indicado para variáveis discretas, com pouca variabilidade entre os valores. Exemplo: Nº de irmãos na Turma Tur ma 126
CAPÍTULO VII – MEDIDAS ASSOCIATIVAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS QUANTITATIVAS E QUALITATIVAS
Medidas Associativas a Variáveis Quantitativas e Qualitativas.
Ao trabalhar com dados em uma pesquisa, precisamos ter conhecimento das possíveis variáveis que podem estar relacionadas. A principal divisão ocorre entre variáveis quantitativas e qualitativas. Variáveis quantitativas são aquelas cujos dados são valores numéricos que expressam quantidades, como idade e estatura das pessoas. Elas podem po dem ser classificadas em: a) Variáveis quantitativas discretas – são aquelas em que os dados somente podem apresentar determinados valores, em geral, números inteiros. Por exemplo: número de filhos nascidos vivos, número de obras catalogadas. b) Variáveis quantitativas contínuas – são aqueles cujos dados podem apresentar qualquer valor dentro de um intervalo de variação possível. Por exemplo: como valor de 1,67 cm de altura. A distinção entre uma variável contínua e uma discreta é que nesta não existe a possibilidade, mesmo teórica, de se observar um valor fracionário. fracionário . Variáveis qualitativas (ou variáveis categóricas ou atributos) são as que fornecem dados de natureza não-numérica, como o sexo de um paciente pacient e e estado civil. Mesmo que os dados possam ser codificados numericamente (masculino = 1, feminino = 2), os números aqui são apenas símbolos sem valor quantitativo. Essas variáveis podem ter dois níveis de mensuração: a) Nível nominal – nesse nível diferencia-se uma categoria de outra somente por meio da denominação da categoria. Por exemplo: sexo de um sujeito, masculino ou feminino, ou um paciente psicótico ou neurótico. neurótico. b) Nível ordinal – nesse nível não é possível identificar diferentes categorias nem reconhecer graus de intensidade entre elas, o que possibilita uma ordenação das várias categorias. É necessário, no entanto, que a gradação seja inerente à variável e não imposta por conveniência do pesquisador.
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Mediana (Me) A mediana é outra medida de tendência central, Assim, dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será: • o número que ocupar a posição central se n for ímpar; • a média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.
Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, l, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7. Em ordem crescente, temos: 0,0, 1,2, 2,2, 3, 3, 3,4,4,5,5,7,7 7valores Me 7valores Como 15 é Impar, o termo médio é o 8º. Logo, a mediana é 3, Simbolicamente, Me = 3. As Idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e l7anos. Para determinar a mediana desses valores, colocamos Inicialmente na ordem crescente (ou decrescente): 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17 As duas posições centrais Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termo. Logo, a mediana é dada por:
Simbolicamente, Me = 15 anos.
28 Como a medida de tendência central não é suficiente para caracterizar o grupo C, é conveniente utilizar medidas que expressem o grau de dispersão de um conjunto de dados. As mais usadas são a variância e o desvio padrão. Variância Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um. A idéia básica de variância é tomar os desvios dos valores x, em relação à média aritmética (xi — MA). Mas a soma desses desvios é igual a 0 (por uma propriedade da média). Uma opção e expressar a possível, então, é considerar o total dos quadrados dos desvios variância (V) como a média dos quadrados dos desvios, ou seja:
∑
∑
Exemplo: Vamos descobrir a variância nos grupos A, B e C citados anteriormente: • Grupo A (20; 20; 20; 20; 20; 20)
MA = 20 Desvios: 20 - 20 = 0; todos iguais a 0. V=0 Quando todos os valores são iguais, dizemos que não houve dispersão e, por isso, a variância é 0. • Grupo B (22; 23; 18; 19; 20; 18)
MA = 20
2 Observações: 1) Quando todos os valores da variável são iguais, iguais, o desvio padrão é 0. 2) Quanto mais mais próximo de O é o desvio padrão, padrão, mais homogênea homogênea é a distribuição dos valores da variável. 3) O desvio desvio padrão é expresso na na mesma unidade da variável
CAPÍTULO VIII – DIAGRAMA DE DISPERSÃO E MEDIDAS M EDIDAS DE CORRELAÇÃO.
Diagrama de dispersão e medidas de correlação.
DIAGRAMA DE DISPERSÃO O diagrama de dispersão fornece uma representação visual da relação existente entre duas variáveis, consiste em uma nuvem de pontos. Dessa forma, o diagrama de dispersão é usado para se verificar uma possível relação de causa e efeito. Isto não prova que uma variável afeta a outra, mas torna claro se a relação existe e em que intensidade. O diagrama de dispersão é construído de forma que o eixo horizontal represente os valores medidos de uma variável e o eixo vertical represente as medições da segunda variável. Um diagrama de dispersão típico possui o seguinte aspecto: Dentre vários benefícios da utilização de diagramas de dispersão como ferramenta da qualidade, um de particular importância é a possibilidade de inferirmos uma relação causal entre váriáveis, ajudando na determinação da causa raiz de problemas. pro blemas. O diagrama de dispersão é também utilizado como ferramenta de qualidade. Um método gráfico de análise que permite verificar a existência ou não de relação entre duas variáveis de natureza quantitativa, ou seja, variáveis que podem ser medidas ou contadas, tais como: sinergia, horas de treinamento, intenções, número de horas em ação, jornada, intensidades, velocidade, tamanho do lote, pressão, temperatura, etc... •Desta forma, o diagrama de dispersão é usado para se verificar uma possível relação de causa
CAPÍTULO IX – ESTUDO DA PROBABILIDADE
Estudo da probabilidade.
Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado PE imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Não saberemos se cairá ―cara‖ ou ―coroa‖. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais). Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer.
Espaço amostral e evento Chamamos de espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento. Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado evento certo. Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível.
1.
Exemplo Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser branca? Solução:
Probabilidade da união de dois eventos
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Probabilidade Condicional A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que se sabe que um evento B ocorreu, é chamada probabilidade condicional do evento A dado B. Ela é denotada por
e calculada por:
( )
Esta expressão pode ser reescrita como:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade pro babilidade de a primeira ser vermelha e a segunda segu nda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos idependentes Dizemos que E1 e E 2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e
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q= p=
Probabilidade de sair o numero 3 em 4, das 5 jogadas:
() () () () () () ( ) ()
CAPÍTULO X – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA.
Inferência estatística.
O objetivo principal da inferência estatística é fazer afirmações sobre características de uma população baseando-se em resultados de uma amostra. Na inferência estatística está sempre presente. No entanto, se o experimento foi feito de acordo com certos princípios essa incerteza pode ser medida. Uma função da estatística é fornecer um conjunto de técnicas para pa ra fazer inferências e medir o grau de incerteza destas inferências. A incerteza é medida em termos de probabilidade pr obabilidade..
Exemplo Suponha que em um celeiro existam 10 milhões de sementes de flores brancas ou flores vermelhas. Deseja-se a seguinte informação: que proporção, dessas 10 milhões de sementes, produzirá flores brancas? Não é de interesse plantar todas as sementes para verificar a cor das flores produzidas. Vamos plantar algumas poucas e com base nas cores dessas poucas, fazer alguma afirmação sobre a proporção das (10 milhões) que produzirá flores brancas. Não podemos fazer esta generalização com certeza, mas podemos fazer uma afirmação probabilística, se selecionarmos as sementes á amostra de forma adequada. Suponha que foi retirada uma amostra aleatória (ao acaso) composta de 200 sementes da população acima. Observou-se que dessas sementes 120 eram de flores brancas e 80 de flores vermelhas. A proporção de flores brancas encontradas na amostra de 60%. Como poderíamos utilizar o resultado de uma amostra para estimar a verdadeira proporção
35
CAPÍTULO XI – CURVA NORMAL GAUSS.
Curva normal Gauss. Para entender o que é distribuição normal, é necessário, primeiramente, definir evento aleatório. Trata-se de evento cuja ocorrência individual não obedece a regras ou padrões que permitam fazer previsões acertadas, como, por exemplo, exemplo, qual face de um dado lançado cairá para cima. cim a. A estatística mostra que, apesar de a ocorrência individual destes eventos aleatórios serem imprevisível objetivamente, é possível tirar algumas conclusões a partir de um conjunto suficientemente grande deles. Muitos dos conjuntos de eventos aleatórios apresentam padrões que não são identificáveis em cada evento isoladamente, como a tendência de os eventos se concentrarem próximos a uma posição que representa uma média matemática deles. Assim, a quantidade de eventos diminui constante e gradativamente à medida que nos afastamos da média. Um levantamento das estaturas de homens adultos, em uma amostragem significativa, tende a posicionar a maioria das medidas na chamada estatura mediana, entre 1,70 e 1,80m. Já as estaturas entre 1,40 e 1,50m e entre entr e 2,00 e 2,10m tendem a apresentar poucas ocorrências. Distribuição normal Eventos aleatórios que seguem este padrão enquadram-se na chamada "distribuição normal", representada pela curva também conhecida como Curva de Gauss ou Curva do Sino Sino (Bell Curve).
CAPÍTULO XII – INTERVALOS DE CONFIANÇA.
Intervalos de confiança.
Um método usual de especificar a precisão é determinar um intervalo de confiança para o parâmetro da população. Exemplo: pode- se dizer que ℓ1 e ℓ2 são, respectivamente, os limites inferior e superior de um intervalo de con fiança de 95% para a média μ. Um engano conceitual comum é supor que, no exemplo citado, há 95% de probabilidade de a média estar entre os limites ℓ1 e ℓ2. Considerando a população estável, a média é fixa, ou seja, ela
só pode estar dentro ou fora de um intervalo e, portanto, esse conceito não é válido. Desde que intervalos de confiança são calculados a partir de amostras, o correto é dizer que, na repetição de amostras dessa população, em 95% dos casos a média μ estará entre os valores calculados ℓ1 e ℓ2.
O intervalo de confiança só tem interesse se as percentagens em causa são de uma amostra seleccionada aleatoriamente de uma população mais vasta. Por exemplo, suponhamos que a nossa base de dados "Experiência" (5 elementos em que 3 são homens e 2 são mulheres) representa uma amostra de todos os utentes dum serviço de saúde. Nesta amostra poderemos dizer que existem 60% (3/5=0,6) de homens e 40% (2/5=0,4) de mulheres. Mas será que as percentagens de cada sexo, em toda a população de utentes, são também estas? Nunca o saberemos ao certo com estes dados. No entanto, aplicando a prova que o EpiInfo aplica, poderemos acreditar com uma confiança de 95% que a percentagem de homens na população estará algures entre 14,7% e 94,7% e a percentagem de mulheres entre 5,3% e 85,3% [1]. Repare-se que neste caso os intervalos de confiança são muitíssimos dilatados, atendendo que a amostra em causa conta com apenas 5 elementos, e lementos, pelo que o erro de amostragem é enorme. É evidente que quanto maior for a nossa amostra, mais pequeno será o intervalo de confiança e por isso, mais provável será obtermos extrapolações precisas das verdadeiras percentagens da população. Mas atenção: mesmo este intervalo não é uma certeza, pois se tem uma confiança de 95%, ou
Tábua Financeira n
0,5% (1+i)n
1%
1,5%
2%
(1+i)-n
n
(1+i)n
(1+i)-n
n
(1+i)n
(1+i)-n
n
(1+i)n
(1+i)-n
N
2,5% (1+i)n
3% (1+i)-n
n
(1+i)n
(1+i)-n
1 2 3 4 5
1.00500 1.01003 1.01508 1.02015 1.02525
0,99502 0,99007 0,98515 0,98025 0,97537
1 2 3 4 5
1.01000 1.02010 1.03030 1.04060 1.05101
0,99010 0,98030 0,97059 0,96098 0,95147
1 2 3 4 5
1.01500 1.03023 1.04568 1.06136 1.07728
0,98522 0,97066 0,95632 0,94218 0,92826
1 2 3 4 5
1.02000 1.04040 1.06121 1.08243 1.10408
0,98039 0,96117 0,94232 0,92385 0,90573
1 2 3 4 5
1.02500 1.05063 1.07689 1.10381 1.13141
0,97561 0,95181 0,92860 0,90595 0,88385
1 2 3 4 5
1.03000 1.06090 1.09273 1.12551 1.15927
0,97087 0,94260 0,91514 0,88849 0,86261
6 7 8 9 10
1.03038 1.03553 1.04071 1.04591 1.05114
0,97052 0,96569 0,96089 0,9561 0,95135
6 7 8 9 10
1.06152 1.07214 1.08286 1.09369 1.10462
0,94205 0,93272 0,92348 0,91434 0,90529
6 7 8 9 10
1.09344 1.10985 1.12649 1.14339 1.16054
0,91454 0,90103 0,88771 0,87459 0,86167
6 7 8 9 10
1.12616 1.14869 1.17166 1.19509 1.21899
0,88797 0,87056 0,85349 0,83676 0,82035
6 7 8 9 10
1.15969 1.18869 1.21840 1.24886 1.28009
0,86230 0,84127 0,82075 0,80073 0,78120
6 7 8 9 10
1.19405 1.22987 1.26677 1.30477 1.34392
0,83748 0,81309 0,78941 0,76642 0,74409
11 12 13 14 15
1.05639 1.06168 1.06699 1.07232 1.07768
0,94661 0,94191 0,93722 0,93256 0,92792
11 12 13 14 15
1.11567 1.12683 1.13809 1.14947 1.16097
0,89632 0,88745 0,87866 0,86996 0,86135
11 12 13 14 15
1.17795 1.19562 1.21355 1.23176 1.25023
0,84893 0,83639 0,82403 0,81185 0,79985
11 12 13 14 15
1.24337 1.26824 1.29361 1.31948 1.34587
0,80426 0,78849 0,77303 0,75788 0,74301
11 12 13 14 15
1.312209 1.34489 1.37851 1.41297 1.44830
0,76214 0,74356 0,72542 0,70773 0,69047
11 12 13 14 15
1.38423 1.42576 1.46853 1.51259 1.55797
0,72242 0,70138 0,68095 0,66112 0,64186
16 17 18 19 20
1.08307 1.08849 1.09393 1.09939 1.10489
0,92330 0,91871 0,91414 0,90959 0,90506
16 17 18 19 20
1.17258 1.18430 1.19615 1.20811 1.22019
0,85282 0,84438 0,83602 0,82774 0,81954
16 17 18 19 20
1.26899 1.28802 1.30734 1.32695 1.34686
0,78803 0,77639 0,76491 0,75361 0,74247
16 17 18 19 20
1.37279 1.40024 1.42825 1.45681 1.48595
0,72845 0,71416 0,70016 0,68643 0,67297
16 17 18 19 20
1.48451 1.51262 1.55966 1.58965 1.63862
0,67362 0,65720 0,64117 0,62553 0,61027
16 17 18 19 20
1.60471 1.62585 1.70243 1.75351 1.80611
0,62317 0,60502 0,58739 0,57029 0,55368
21 22 23 24 25
1.11042 1.11597 1.12155 1.12716 1.13280
0,90056 0,89608 0,89162 0,88719 0,88277
21 22 23 24 25
1.23239 1.24472 1.25716 1.26973 1.28243
0,81143 0,80340 0,79544 0,78757 0,77977
21 22 23 24 25
1.36706 1.38756 1.40838 1.24950 1.45095
0,73150 0,72069 0,71004 0,69954 0,68921
21 22 23 24 25
1.51567 1.54598 1.57689 1.60844 1.64061
0,65978 0,64684 0,63416 0,62172 0,60953
21 22 23 24 25
1.67958 1.72157 1.76461 1.80873 1.85394
0,59539 0,58086 0,56670 0,55288 0,53939
21 22 23 24 25
1.86029 1.91610 1.97359 2.03279 2.09378
0,53755 0,52189 0,50669 0,49193 0,47761
26 27 28 29 30
1,13846 1,14415 1,14987 1,15562 1,16140
0,87838 0,87401 0,86966 0,86533 0,86103
26 27 28 29 30
1,29526 1,30821 1,32129 1,33450 1,34785
0,77205 0,76440 0,75684 0,74934 0,74192
26 27 28 29 30
1,47271 1,49480 1,51722 1,53998 1,56308
0,67902 0,66899 0,65910 0,64936 0,63976
26 27 28 29 30
1,67342 1,70689 1,74102 1,77584 1,81136
0,59758 0,58586 0,57437 0,56311 0,55207
26 27 28 29 30
1,90029 1,94780 1,99650 2,04641 2,09757
0,52623 0,51340 0,50088 0,48866 0,47674
26 27 28 29 30
2,15659 2,22129 2,28793 2,35657 2,42726
0,46369 0,45019 0,43708 0,42435 0,41199
n 1 2 3 4 5
3,5% (1+i)n 1.03500 1.07123 1.10872 1.14752 1.18769
0,96618 0,93351 0,90194 0,87144 0,84197
n 1 2 3 4 5
4% (1+i)n 1.04000 1.08160 1.12486 1.16986 1.21665
0,96154 0,92456 0,88900 0,85480 0,82193
n 1 2 3 4 5
4,5% (1+i)n 1.04500 1.09203 1.14117 1.19252 1.24618
6 7 8 9 10
1.22926 1.27228 1.31681 1.36289 1.41060
0,81350 0,78599 0,75941 0,73373 0,70892
6 7 8 9 10
1.26532 1.31593 1.36857 1.42331 1.48024
0,79031 0,75992 0,73069 0,70259 0,67556
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
1.45997 1.51107 1.56396 1.61870 1.67535
0,68495 0,66178 0,63940 0,61778 0,59689
11 12 13 14 15
1.53045 1.60103 1.66507 1.73168 1.80094
0,64958 0,62460 0,60057 0,57748 0,55526
16 17 18 19 20
1.73399 1.79468 1.85749 1.92250 1.98979
0,57671 0,55720 0,53836 0,52016 0,50257
16 17 18 19 20
1.87298 1.94790 2.02582 2.10685 2.19112
21 22 23 24 25
2.05943 2.13151 2.20611 2.28333 2.36325
0,48557 0,46915 0,45329 0,43796 0,42315
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
2,44596 2,53157 2,62017 2,71188 2,80679
0,40884 0,39501 0,38165 0,36875 0,35628
26 27 28 29 30
(1+i)-n
0,95694 0,91573 0,87630 0,83856 0,80245
n 1 2 3 4 5
5% (1+i)n 1.05000 1.10250 1.15763 1.21551 1.27628
1.30226 1.36086 1.42210 1.48610 1.55237
0,76790 0,73483 0,70319 0,67290 0,64393
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
1.62285 1.69588 1.77220 1.85195 1.93528
0,61620 0,58966 0,56427 0,53997 0,51672
0,53391 0,51337 0,49363 0,47464 0,45639
16 17 18 19 20
2.02237 2.11338 2.20848 2.30786 2.41171
2.27877 2.36992 2.46472 2.56330 2.66584
0,43883 0,42196 0,40573 0,39012 0,37512
21 22 23 24 25
2,77247 2,8837 2,99870 3,11865 3,24340
0,36069 0,34682 0,33348 0,32065 0,30832
26 27 28 29 30
(1+i)-n
0,95694 0,90703 0,86384 0,82270 0,78353
n 1 2 3 4 5
5,5% (1+i)n 1.05500 1.11303 1.17424 1.23883 1.30696
1.34009 1.40710 1.47746 1.55133 1.62889
0,74622 0,71068 0,67684 0,64461 0,61391
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
1.71034 1.79586 1.88565 1.97993 2.07893
0,58468 0,55684 0,53032 0,50507 0,48102
0,49447 0,47318 0,45280 0,43330 0,41464
16 17 18 19 20
2.18287 2.29202 2.40662 2.52695 2.65330
2.52024 2.63365 2.75217 2.87601 3.00543
0,39679 0,37970 0,36335 0,34770 0,33273
21 22 23 24 25
3,14068 3,28201 3,42970 3,58404 3,74532
0,31840 0,30469 0,29157 0,27902 0,26700
26 27 28 29 30
(1+i)-n
0,95694 0,89845 0,85161 0,80722 0,76513
n 1 2 3 4 5
6% (1+i)n 1.06000 1.12360 1.19102 1.26248 1.33823
0,95694 0,89000 0,83962 0,79209 0,74726
1.37884 1.45468 1.53469 1.61909 1.70814
0,72525 0,68744 0,65160 0,61763 0,58543
6 7 8 9 10
1.41852 1.50363 1.59385 1.68948 1.79085
0,70496 0,66506 0,62741 0,59190 0,55839
11 12 13 14 15
1.80209 1.90121 2.00577 2.11609 2.23248
0,55491 0,52598 0,49856 0,47257 0,44793
11 12 13 14 15
1.89830 2.01220 2.13293 2.26090 2.39656
0,52679 0,49697 0,46884 0,44230 0,41727
0,45811 0,43630 0,41552 0,39573 0,37689
16 17 18 19 20
2.35526 2.48480 2.62145 2.76565 2.91776
0,42458 0,40245 0,38147 0,36158 0,34273
16 17 18 19 20
2.54035 2.69277 2.85434 3.02560 3.20714
0,39365 0,37136 0,35034 0,33051 0,31180
2.78596 2.92526 3.07152 3.22510 3.38636
0,35894 0,34185 0,32557 0,31007 0,29530
21 22 23 24 25
3.07823 3.24754 3.42615 3.61459 3.81339
0,32486 0,30793 0,29187 0,27666 0,26223
21 22 23 24 25
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0,29416 0,27751 0,26180 0,24698 0,23300
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0,28124 0,26785 0,25509 0,24295 0,23138
26 27 28 29 30
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0,24856 0,23560 0,22332 0,21168 0,20064
26 27 28 29 30
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0,21981 0,20737 0,19563 0,18456 0,17411
(1+i)-n
(1+i)-n
(1+i)-n
6,5%
7%
7,5%
8%
n
(1+i)n
(1+i)-n
n
(1+i)n
(1+i)-n
n
(1+i)n
(1+i)-n
n
(1+i)n
1 2 3 4 5
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1 2 3 4 5
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1 2 3 4 5
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1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
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6 7 8 9 10
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0,66634 0,62275 0,58201 0,54393 0,50835
6 7 8 9 10
1,54330 1,65905 1,78348 1,91724 2,06103
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11 12 13 14 15
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0,50021 0,46968 0,44102 0,41410 0,38883
11 12 13 14 15
2,10485 2,25219 2,40985 2,57853 2,75903
0,47509 0,44401 0,41496 0,38782 0,36245
11 12 13 14 15
2,21561 2,38178 2,56041 2,75244 2,95888
16 17 18 19 20
2,73901 2,91705 3,10665 3,30859 3,52365
0,36510 0,34281 0,32189 0,30224 0,28380
16 17 18 19 20
2,95216 3,15882 3,37993 3,61653 3,86968
0,33873 0,31657 0,29586 0,27651 0,25842
16 17 18 19 20
3,18079 3,41935 3,67580 3,95149 4,24785
8,5%
10%
(1+i)-n
n
(1+i)n
(1+i)-n
n
(1+i)n
(1+i)-n
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1 2 3 4 5
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1 2 3 4 5
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6 7 8 9 10
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6 7 8 9 10
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0,63017 0,58349 0,54027 0,50025 0,46319
6 7 8 9 10
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11 12 13 14 15
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11 12 13 14 15
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0,42888 0,39711 0,36770 0,34046 0,31524
11 12 13 14 15
2.85312 3.13843 3.45227 3.79750 4.17725
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16 17 18 19 20
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16 17 18 19 20
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0,29189 0,27027 0,25025 0,23171 0,21455
16 17 18 19 20
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11% (1+i)n
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(1+i)-n
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
12% (1+i)n
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(1+i)-n
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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(1+i)-n
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
18% (1+i)n
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(1+i)-n
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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(1+i)-n
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
25% (1+i)n
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(1+i)-n
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
30% (1+i)n 1.30000 1.69000 2.19700 2.85610 3.71293 4.82681 6.27485 8.15731 10.6045 13.7858 17.9216 23.2981 30.2875 39.3738 51.1859 66.5417 86.5042 112.455 146.192 190.050
(1+i)-n
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
35% (1+i)n
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(1+i)-n
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40% (1+i)n
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(1+i)-n
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