Apostila - Teoria Das Estruturas 1

TEORIA DAS ESTRUTURAS I

ENGENHARIA CIVIL

PROFESSOR RAFAEL JANSEN

SUMÁRIO 1.

DEFINIÇÕES DE ESTRUTURA ESTRUT URA .......................................................................................................... 1 1.1. 1.2.

2.

INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 1 REQUISITOS IMPORTANTES ................................................................................................................ 2

1.2.1.

Processo de Projeto de Estruturas ...................................................................................... 2

1.2.2.

Estruturas de Edificações ................................................................................................... 2

ELEMENTOS ESTRUTURAIS ESTRUTUR AIS ............................................................................................................ 3 2.1.

INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3

2.1.1.

2.2.

Estruturas lineares ............................................................ .............................................................................................................. .................................................. 4

2.2.2.

Estruturas de superfície ...................................................................................................... 7

2.2.3.

Estruturas de volume........................................................................................................ 10

Modelo estrutural (ME) .............................................................. .................................................................................................... ...................................... 17

3.5.2.

Diagrama de corpo livre (DCL) .............................................................. ......................................................................................... ........................... 17

DETERMINAÇÃO DOS VALORES DAS AÇÕES ......................................... ................................................. 18

3.6.1.

Determinação da ação do vento ........................................................... ........................... 18

3.6.2.

Determinação das ações permanentes e das ações variáveis verticais ........... ................ 19

3.7.

FORMA DE DISTRIBUIÇÃO DAS AÇÕES NA ESTRUTURA ............................................................. ................ 20

3.7.1.

Carga concentrada ..................................................................... ...................................... 20

3.7.2.

Carga distribuída ........................................................................ ...................................... 21

FENÔMENOS FÍSICOS ................................................................................................................... 23 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

ESTRUTURA .................................................................................................................................. 23 CAMINHO DAS FORÇAS ......................................................... ........................................................... 24 GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS ......................................................................................... 25 TIPOS DE FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS ....................................................... ........................... 26

4.4.1.

Cargas permanentes ........................................................................................................ 27

4.4.2.

Cargas acidentais .................................................. ........................................................... 27

EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS ESTRU TURAS ..................................................................................................... 28 5.1. 5.2.

6.

CORPO RÍGIDO ................................................................................................... ........................... 14 FORÇAS QUE ATUAM SOBRE OS CORPOS RÍGIDOS .................................................................................. 14 CLASSIFICAÇÃO DAS CARGAS ............................................................. ................................................ 15 AÇÕES EXTERNAS ................................................................................................ ........................... 16 DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS EXTERNAS ............................................................................................. 17

3.5.1.

3.6.

5.

NOMENCLATURA PARA OS ESFORÇOS ............................................................................................ ..... 11 SEQUENCIA DE VERIFICAÇÃO ............................................................. ................................................ 12 CONVERSÃO DE UNIDADES MAIS USUAIS ............................................................................. ................ 13

ESTÁTICA DOS CORPOS COR POS RÍGIDOS ................................................................................................. 14 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

4.

TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS ............................................................ ........................................ 3

2.2.1.

2.3. 2.4. 2.5. 3.

Definições Básicas .............................................................................................................. 3

EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS ..................................................................... ...................................... 28 ESTATICIDADE ............................................................................................................................... 28

5.2.1.

Equilíbrio e stático exte rno .......................................................... ................................................................................................ ...................................... 30

5.2.2.

Vínculos ........................................................................... ................................................. 32

CONCEITO GERAL DE ESTRUTURAS .............................................................................................. 36 6.1.

DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA .................................................................................... ........................... 36

6.1.1.

Conceitos Específicos de Estruturas.................................................................................. 36

SUMÁRIO 1.

DEFINIÇÕES DE ESTRUTURA ESTRUT URA .......................................................................................................... 1 1.1. 1.2.

2.

INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 1 REQUISITOS IMPORTANTES ................................................................................................................ 2

1.2.1.

Processo de Projeto de Estruturas ...................................................................................... 2

1.2.2.

Estruturas de Edificações ................................................................................................... 2

ELEMENTOS ESTRUTURAIS ESTRUTUR AIS ............................................................................................................ 3 2.1.

INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3

2.1.1.

2.2.

Estruturas lineares ............................................................ .............................................................................................................. .................................................. 4

2.2.2.

Estruturas de superfície ...................................................................................................... 7

2.2.3.

Estruturas de volume........................................................................................................ 10

Modelo estrutural (ME) .............................................................. .................................................................................................... ...................................... 17

3.5.2.

Diagrama de corpo livre (DCL) .............................................................. ......................................................................................... ........................... 17

DETERMINAÇÃO DOS VALORES DAS AÇÕES ......................................... ................................................. 18

3.6.1.

Determinação da ação do vento ........................................................... ........................... 18

3.6.2.

Determinação das ações permanentes e das ações variáveis verticais ........... ................ 19

3.7.

FORMA DE DISTRIBUIÇÃO DAS AÇÕES NA ESTRUTURA ............................................................. ................ 20

3.7.1.

Carga concentrada ..................................................................... ...................................... 20

3.7.2.

Carga distribuída ........................................................................ ...................................... 21

FENÔMENOS FÍSICOS ................................................................................................................... 23 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

ESTRUTURA .................................................................................................................................. 23 CAMINHO DAS FORÇAS ......................................................... ........................................................... 24 GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS ......................................................................................... 25 TIPOS DE FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS ....................................................... ........................... 26

4.4.1.

Cargas permanentes ........................................................................................................ 27

4.4.2.

Cargas acidentais .................................................. ........................................................... 27

EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS ESTRU TURAS ..................................................................................................... 28 5.1. 5.2.

6.

CORPO RÍGIDO ................................................................................................... ........................... 14 FORÇAS QUE ATUAM SOBRE OS CORPOS RÍGIDOS .................................................................................. 14 CLASSIFICAÇÃO DAS CARGAS ............................................................. ................................................ 15 AÇÕES EXTERNAS ................................................................................................ ........................... 16 DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS EXTERNAS ............................................................................................. 17

3.5.1.

3.6.

5.

NOMENCLATURA PARA OS ESFORÇOS ............................................................................................ ..... 11 SEQUENCIA DE VERIFICAÇÃO ............................................................. ................................................ 12 CONVERSÃO DE UNIDADES MAIS USUAIS ............................................................................. ................ 13

ESTÁTICA DOS CORPOS COR POS RÍGIDOS ................................................................................................. 14 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

4.

TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS ............................................................ ........................................ 3

2.2.1.

2.3. 2.4. 2.5. 3.

Definições Básicas .............................................................................................................. 3

EQUILÍBRIO DAS ESTRUTURAS ..................................................................... ...................................... 28 ESTATICIDADE ............................................................................................................................... 28

5.2.1.

Equilíbrio e stático exte rno .......................................................... ................................................................................................ ...................................... 30

5.2.2.

Vínculos ........................................................................... ................................................. 32

CONCEITO GERAL DE ESTRUTURAS .............................................................................................. 36 6.1.

DEFINIÇÃO DE ESTRUTURA .................................................................................... ........................... 36

6.1.1.

Conceitos Específicos de Estruturas.................................................................................. 36

6.2.

ESFORÇOS OU AÇÕES........................................................... ........................................................... 37

6.2.1.

6.3.

OBJETIVO DA ANÁLISE ESTRUTURAL ............................................................. ...................................... 39

6.3.1.

6.4.

Forças Aplicadas .................................................................................... ........................... 38 Estruturas Reticuladas ................................................................ ...................................................................................................... ...................................... 39

EQUILÍBRIO ESTÁTICO ............................................................................... ...................................... 40

6.4.1.

Grandezas Fundamentais ...................................................................... ........................... 41

6.4.2.

Esforços Simples .................................................... ........................................................... 41

6.4.3.

Equações do Equilíbrio Estáti co ............................................................. ........................................................................................ ........................... 41

6.5. 6.6. 6.7.

ESQUEMAS E SIMPLIFICAÇÕES DE CÁLCULO .................................................................................... ..... 42 REPRESENTAÇÕES DAS FORÇAS APLICADAS (CARREGAMENTO ) ................................................................. 42 VÍNCULOS ............................................................... ................................................................. ..... 44

6.7.1.

Apoios (ligações) ................................................... ........................................................... 44

6.7.2.

Representação dos Apoios ............................................................................................... 44

6.7.3.

Representação dos Apoios: .............................................................................................. 45

6.7.4.

Representação de sistemas isostáticos: ........................................................................... 47

6.8.

REAÇÕES DE APOIO ............................................................................................. ........................... 47

6.8.1.

6.9.

Sequência para obtenção das reações de apoio: ............................................................. 48

CONVENÇÃO DE SINAIS POSITIVOS : ......................................................................... ........................... 48

7.

LISTA DE EXERCÍCIOS: .................................................................................................................. 49

8.

ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES – E.I.S ................................................................................. 51 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13.

9.

DEFINIÇÃO.............................................................. ................................................................. ..... 51 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS .......................................................................................... 52 ESQUEMATIZAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS ....................................................................................... 52 REPRESENTAÇÃO ...................................................... ................................................................. ..... 53 CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS ......................................................................................................... 53 CONVENÇÃO DE SINAL .............................................................................. ...................................... 55 DIAGRAMA DOS ESFORÇOS – LINHAS DE ESTADO .......................................................................... ........ 56 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS PARA O TRAÇADO DOS DIAGRAMAS – MÉTODO DAS EQUAÇÕES .................... 57 RESUMO DOS ESFORÇOS .................................................................................................................. 58 VIGAS GERBER .............................................................................................................................. 58 VIGAS INCLINADAS ......................................................................................................................... 59 CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS AO LONGO DAS PROJEÇÕES .............................................................. ..... 60 CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS AO LONGO DA VIGA INCLINADA ............................................. ................ 62

PÓRTICOS PLANOS ...................................................................................................................... 64 9.1. 9.2. 9.3.

10.

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 64 PÓRTICOS SIMPLES ................................................................................... ...................................... 64 PÓRTICOS COMPOSTOS .................................................................. ................................................. 66 PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS CUR VAS ............................................................................................ 69

10.1. 10.2. 10.3. 11.

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 69 EIXOS CURVOS – ARCOS ....................................................................................... ........................... 69 CLASSIFICAÇÃO DOS ARCOS ................................................................................... ........................... 71 TRELIÇAS PLANAS .................................................................................................................... 73

11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 73 LEI DE FORMAÇÃO DAS TRELIÇAS SIMPLES ................................................................. ........................... 76 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE DAS TRELIÇAS ...................................... ................................................. 77 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM TRELIÇAS SIMPLES ISOSTÁTICAS – MÉTODOS DE ANÁLISE ........................ 82

11.4.1.

Método de Ritter .............................................................. ................................................ 82

11.4.2.

Método dos Nós ......................................... ...................................................................... 86

11.4.3.

Método de Maxwell-Cremona.......................................................................................... 87

11.5. 12.

OBSERVAÇÕES GERAIS SOBRE AS TRELIÇAS ........................................................................................... 91 FORÇAS MÓVEIS ...................................................................................................................... 93

12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7.

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 93 LINHA DE INFLUÊNCIA ..................................................................................................................... 93 TREM-TIPO ........................................................................................................ ........................... 94 PRINCÍPIO DE MÜLLER-BRESLAU (PROCESSO CINEMÁTICO) ..................................................................... 94 LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA TRELIÇAS .......................................................... ...................................... 96 MÉTODO DO AUMENTO-DIMINUIÇÃO .......................................................... ...................................... 97 VALORES MÁXIMOS PARA CARGAS MÓVEIS .......................................................................................... 97

12.7.1.

Momento máximo ............................................................................................ ................ 98

12.7.2.

Cortante máximo .............................................................................................................. 99

APÊNDICE A.

ETAPAS DO PROJETO ESTRUTURAL ............................................................................................ 101 A.1. LANÇAMENTO E DISCRETIZAÇÃO ...................................................................................................... ...... 101 A.2. SIMULAÇÃO DA VINCULAÇÃO ................................................................................................................ 102 A.3. VERIFICAÇÃO DA ESTATICIDADE ....................................................................................................... ...... 103 A.4. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS .............................................................................................. 103 A.5. COMPOSIÇÃO DO CARREGAMENTO .......................................................................................... .............. 103 A.6. DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO ...................................... .......................................................... 103 A.7. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES ............................................................. .............. 103 A.8. VERIFICAÇÃO DA CAPACIDADE RESISTENTE DOS ELEMENTOS ........................................................................ 103 A.9. DETALHAMENTO DA ESTRUTURA ....................................................................... .................................... 103

B.

DETERMINAÇÃO DAS CARGAS ATUANTES ................................................................................. 104 B.1. CARGAS ATUANTES EM LAJES ....................................................................................... ......................... 104 B.1.1. Carga Permanente - g (peso próprio – PP) ............................................................................ 104 B.1.2. Carga acidental – q (sobre carga – SC) .................................................................................. 104 B.1.3. Carga total ............................................................................................................................. 105

B.2. CARGAS ATUANTES NAS EXTREMIDADES DAS LAJES ................................................................................. ... 105 B.2.1 Método dos Quinhões ............................................................................................................. 106

B.3. CARGAS ATUANTES EM VIGAS ...................................................... ......................................................... 107 B.3.1. Cargas permanentes distribuídas .......................................................................................... 107 B.3.2. Carga Permanente - g (peso próprio – PP) ............................................................................ 107 B.3.3. Peso das paredes ................................................................................................................... 108 B.3.4. Carga concentrada ................................................................................................................ 108 B.3.5. Cargas acidentais ................................................................................................................... 108

13.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ................................................................................................. 111

ECV 0107 – Teor ia das Estru tur as I – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB)

1

1. DEFINIÇÕES DE ESTRUTURA 1.1. Introdução Estrutura é sistema de diversos elementos conectados para suportar uma ação ou conjunto de ações.

Figura 1.1: Exemplos de estruturas.

•

Projeto de Edificações:



Projeto Arquitetônico;



Projeto Estrutural;



Projeto de Fundações;



Projeto de Instalações;



Projetos Complementares.

•

Estrutura:



Parte Resistente da Edificação: Vigas, Pilares e Lajes.

Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen


2

1.2. Requisitos Importantes 

Segurança;



Estética;



Comportamento em Serviço;



Economia;



Durabilidade;



Aspectos Ambientais.

1.2.1. Processo de Projeto de Estruturas ▪ Concepção da Estrutura; ▪ Pré-Dimensionamento; ▪ Análise estrutural; 

Modelos teóricos da estrutura (ou modelos estruturais);



Ações;



Propriedades dos materiais;



Vinculações;



Resultados;

▪ Modificações.

1.2.2. Estruturas de Edificações As edificações se desenvolveram ao longo da história, partindo de abrigos rudimentares feitos com galhos de árvores, adobe e pedra até chegar às construções atuais, construídas em concreto, aço, madeira, vidros e outros materiais. Na evolução da tecnologia da construção permaneceu constante a presença de algum tipo de sistema estrutural capaz de suportar as forças da gravidade, do vento, terremotos entre outras forças. Os sistemas estruturais podem ser definidos como conjuntos estáveis de elementos projetados e construídos para suportar e transmitir cargas, sem exceder os esforços resistentes dos elementos. Apesar das formas e dos materiais terem evoluído conforme os avanços tecnológicos e culturais, e nas lições aprendidas dos inúmeros colapsos estruturais, os sistemas estruturais são fundamentais para existência de todas as edificações, independente de sua escala, contexto ou uso.



3

2. Elementos Estruturais 2.1. Introdução Os elementos estruturais são classificados como: lineares, de superfície e de volume.

Figura 2.1 – Elementos estruturais: linear, superfície e volume.

2.1.1. Definições Básicas As estruturas, também denominadas de sistemas estruturais, devem ser entendidas como disposições racionais e adequadas de diversos elementos estruturais. Classificam-se como elementos estruturais os corpos sólidos deformáveis com capacidade de receber e de transmitir solicitações em geral. Estes elementos, em função das suas três dimensões externas principais, podem ser divididos em três categorias: • Quando duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e bem menores que a

terceira dimensão, tem-se o elemento estrutural linear, cujo mais comum é o denominado barra (retas ou curvas), são vigas, colunas, pilares, escoras, tirante, nervuras etc., ditos elementos unidimensionais; • Quando duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e bem maiores que a

terceira dimensão, tem-se o elemento estrutural de superfície. Dentre os existentes, podem ser mencionados os elementos de superfície denominados folha, placa, chapa e casca; • Quando as três dimensões são da mesma ordem de grandeza, isto é, sem a

predominância de uma dimensão sobre as outras, tem-se o elemento estrutural de volume, também denominado bloco.

2.2. Tipos de Elementos Estruturais Quanto às dimensões e às direções das ações os elementos estruturais podem ser classificados em unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais.



4

2.2.1. Estruturas lineares • Unidimensionais (ou reticulares):

Estruturas reticuladas são estruturas compostas por elementos unidimensionais, ou seja, em que o comprimento prevalece sobre as outras duas dimensões.

Figura 2.2 – Estruturas reticulares formadas por elementos unidimensionais.

As estruturas formadas por uma ou mais barras são denominadas de estruturas lineares. Destacam-se entre elas: 

Vigas;



Pilares;



Treliças;



Arcos;



Pórticos;



Grelhas.

Nas estruturas de concreto armado dos edifícios corrente, as vigas são elementos estruturais que suportam as ações oriundas das lajes e das paredes, e são apoiadas nos pilares que transmitem as referidas ações às fundações. As treliças consistem em outro tipo de estrutura linear, e são usualmente construídas com madeira, aço ou alumínio. São largamente empregadas em coberturas, em pontes e em passarelas. As estruturas lineares podem ser bidimensionais ou tridimensionais, dependendo do arranjo das barras, São analisadas segundo hipóteses estabelecidas na Resistência dos Materiais e na Estática das Estruturas observando-se, naturalmente, os aspectos peculiares de cada uma. Definições de alguns elementos estruturais e das principais estruturas lineares: ▪ Eixo de uma barra: trajetória do centro de gravidade da figura geradora de uma barra. ▪ Seção transversal de uma barra: seção da barra, resultante da sua intersecção por um plano

normal ao seu eixo. ▪ Barra reta e barra curva: barras com eixos retilíneo e curvilíneo, respectivamente. ▪ Barra prismática: barra reta de seção transversal constante.



5

2.2.1.1. Elementos lineares → Tirantes:

→ Vigas: São estruturas lineares, dispostas horizontalmente ou inclinadas, com um ou mais apoios. Os principais tipos de vigas são:

▪ Viga em balanço: viga com um só apoio, necessariamente um engaste fixo.


ECV 0107 – Teor ia das Estru tur as I – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB) ▪ Viga simplesmente apoiada: viga com um apoio fixo e um apoio móvel.

→ Vigas: elementos lineares submetidos a momentos fletores e esforços cortantes.

→ Vigas: aplicações em diversos tipos de estrutura como edifícios, estádios, pontes, etc...


6


7

→ Pilares: elementos lineares submetidos à compressão e a momentos fletores.

Aplicações em diversos tipos de estruturas como edifícios, estádios, pontes, etc...

2.2.2. Estruturas de superfície • Bidimensionais:

Estruturas bidimensionais são aquelas que duas de suas dimensões prevalecem sobre a terceira. Exemplos de estruturas bidimensionais: laje, parede, cascas. As lajes e as paredes, embora geometricamente semelhantes, recebem denominações deferentes em função da direção das ações. Nas lajes as forças atuantes são perpendiculares ao plano da estrutura e nas paredes as forças atuantes permanecem ao plano da estrutura. Como a maioria das forças que atuam nas edificações advém da ação da gravidade sobre os corpos, as lajes são elementos estruturais horizontais ou inclinados e as paredes são elementos estruturais verticais.

Figura 2.3 – Estruturas bidimensionais.



8

As estruturas de superfície, também conhecidas como estruturas laminares, ficam definidas quando se conhecem a sua superfície média e a lei de variação da sua espessura. Dentre as estruturas laminares, destacam-se as placas, as chapas e as cascas. As cascas são amplamente empregadas em coberturas de grandes vãos e em reservatórios, enquanto que as placas litóides (lajes) aparecem muito frequentemente em pisos de edifícios e tabuleiros de pontes. ▪ Definições de estruturas de superfície, bem como seus principais esquemas geométricos

e de carregamento:

2.2.2.1. Elementos de superfície → Placas: carga perpendicular ao plano, exemplo: lajes de edifícios.


ECV 0107 – Teor ia das Estru tur as I – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB) → Chapas: cargas dentro do plano, exemplo: paredes em alvenaria estrutural,

reservatórios, viga parede, etc..

→ Cascas: carga perpendicular ao plano e dentro do plano, exemplo: membranas.


9


10

2.2.3. Estruturas de volume • Tridimensionais:

São estruturas maciças em que as três dimensões se comparam. Exemplos de estruturas tridimensionais: blocos de fundações, blocos de coroamento de estacas e estruturas de barragens. As estruturas de volume (bloco) são elementos comumente empregados em fundações das construções, com a finalidade de transmitir ao solo as ações da supraestrutura.

Figura 2.4 – Estruturas tridimensionais.

2.2.3.1. Elementos de volume Blocos de fundações, barragens, muros de contenção, sapatas, etc...



2.3. Nomenclatura para os esforços Os esforços são classificados em: Esforço normal, esforço cortante e momento fletor.

a) Esforço Normal (N):

Tração

Compressão

b) Esforço Cortante (V):

c) Momento Fletor (M):


11


12

2.4. Sequencia de verificação

Carregamento (Ações externas e reações)

Estrutura

▪ Força Normal

Propriedades dos Materiais

Esforços internos

▪ Força Cortante ▪ Momento Fletor ▪ Momento Torsor

Tensões e Deformações

Resistência

Rigidez

Os elementos estruturais, assim como toda e qualquer estrutura, devem apresentar as propriedades de resistência e de rigidez, isto é, serem capazes de resistir cargas, dentro de certos limites, sem se romperem e sem sofre grandes deformações ou variações de suas dimensões originais. Os conceitos de resistência e rigidez são importantes e devem ser bem compreendidos. Resistência é a capacidade de transmitir as forças internamente, molécula por molécula, dos pontos de aplicação aos apoios, sem que ocorra a ruptura da peça. Para analisar a capacidade resistente de uma estrutura é necessária a determinação: • dos esforços solicitantes internos – o que é feito na Análise Estrutural ou Estática das

Construções; • das tensões internas – o que é feito na Resistência dos Materiais.

Rigidez é a capacidade de não deformar excessivamente, para o carregamento previsto, o que comprometeria o funcionamento e o aspecto da peça. O cálculo das deformações é feito na Resistência dos Materiais.



13

2.5. Conversão de unidades mais usuais

1 Kgf = 9,8 N (Newtons) ≈ 10 N 1 Pa (Pascal) = 1 N/m 2 1 KN = 100 Kgf = 0,1 tf 1 MPa (Mega Pascal) = 10 Kgf/cm 2 O sistema internacional de unidades – SI – é o sistema oficial utilizado em todo o mundo. O sistema internacional, como todo sistema de unidade, baseia-se em um grupo de unidades básicos. Desse sistema as unidades que interessam às estruturas são: massa, comprimento e tempo. A unidade fundamental de medida de massa é o quilograma (Kgf), de comprimento, o metro (m) e de tempo, o segundo (s).

Figura 2.5 – Elementos estruturais.



14

3. Estática dos corpos rígidos 3.1. Corpo Rígido Corpo rígido pode ser considerado como sendo um conjunto de partículas que ocupam posições fixas relativas umas às outras, ou seja, um conjunto de pontos materiais. Diz-se que os corpos rígidos são indeformáveis, ou seja, não se deformam sob ação de forças externas. O que não é absolutamente verdadeiro, pois os corpos nunca são absolutamente rígidos, deformando-se sob a ação das cargas a que são submetidos. No entanto, estas deformações são tão pequenas em relação às dimensões dos corpos, que sequer podem ser vistas ou percebidas, e não alteram as condições de movimento global dos corpos rígidos, não sendo consideradas na determinação das condições de estaticidade. São importantes, no entanto, no estudo da resistência dos materiais. Os elementos estruturais são considerados corpos rígidos, pois as forças que atuam nas formas arquitetônicas têm diferentes pontos de aplicação.

3.2. Forças que atuam sobre os corpos rígidos As forças que atuam sobre corpos rígidos são classificadas em forças externas e forças internas. Forças externas: são decorrentes de ações de agentes externos sobre os corpos em análise. São inteiramente responsáveis pelo comportamento externo dos corpos rígidos, causando-lhes movimento ou os mantendo em repouso. As forças externas, para efeito de determinação, são divididas em forças ativas e forças reativas. Forças internas: são os esforços provenientes das tensões desenvolvidas pelos materiais que constituem os corpos rígidos. As forças internas são responsáveis por manterem unidos os vários pontos materiais que constituem um corpo rígido. Forças externas ativas: as estruturas arquitetônicas sempre são construídas com a finalidade de fechar e delimitar espaços, para torná-los úteis às diversas funções humanas, como abrigo, proteção, trabalho, cultos e lazer, entre outros. Finalidades diferentes exigem espaços diferentes; porém todos estão sujeitos à ação de diversos fenômenos físicos impostos pela Natureza (gravidade, ventos, temperatura, abalos sísmicos e neve, entre outros), aos quais atribuímos o nome de cargas e, sem restrições, as estruturas devem absorvê-las, resistir a elas e transmiti-las de um ponto a outro até que cheguem ao solo. As interações entre os corpos também são consideradas forças externas ativas. Um dos maiores problemas para arquitetos e engenheiros é determinar com precisão a atuação das cargas nas formas arquitetônicas. São vários os fatores que alteram as condições de atuação das cargas: tipo de projeto, materiais e local de construção são alguns deles. Contudo, as cargas atuam apenas de duas formas: de forma estática e de forma dinâmica, que são subdivididas de acordo com a origem dos fenômenos naturais.



15

3.3. Classificação das cargas 

Cargas estáticas: são as cargas mais importantes que atuam nas formas arquitetônicas. Por não sofrerem mudanças bruscas, suas variações acontecem em longos períodos de tempo. Constituem a base para projeto estrutural. Podem ser classificadas em permanentes, acidentais, excepcionais e térmicas .



Cargas permanentes: são cargas fixas, aquelas cuja estrutura está submetida o tempo todo, como também o seu próprio peso e quaisquer dispositivos fixos que fizerem parte da estrutura ou que compõem o espaço arquitetônico. Muitas vezes, a estrutura tem como principal fator a considerar, no cálculo estrutural. Um dos grandes desafios dos especialistas em cálculo estrutural é projetar com o mínimo de material possível. Para determinar essas cargas, é necessário que se conheçam as dimensões dos elementos estruturais e as características dos materiais estruturais, mais especificamente, o seu peso específico. A fim de simplificar a determinação dessas cargas, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), pela NBR 6120, regulamentou os valores dos pesos específicos a serem considerados.



Cargas acidentais: Também conhecidas como cargas de utilização, são incertas e incluem todos os pesos móveis que fazem parte ou que compõem o espaço construído, peso de pessoas, animais, máquinas, carros, móveis, acessórios, etc. a fixação dos valores dessas cargas para o cálculo estrutural, a exemplo das cargas permanentes, é feita mediante códigos de edificações já criados e regulamentados pela NBR 6120, da ABNT. A classificação foi feita de acordo com o uso a que o espaço é destinado.



Cargas excepcionais: dependem do clima da região onde as formas arquitetônicas são construídas. O vento, a neve e os abalos sísmicos, são exemplos de cargas excepcionais. Os critérios e os valores, a serem adotados para determinação dessas cargas, também são regulamentadas por códigos preestabelecidos em normas técnicas. Essas cargas variam de região para região. No Brasil, as cargas devido à ação dos ventos são regulamentadas pela BNR 6123, da ABNT. Esses valores, por se referirem a agentes da Natureza, são, de tempos em tempos, avaliados e corrigidos, se necessário/ muitas vezes, essas cargas são determinantes no projeto estrutural, principalmente em edifícios de grande altura.



Cargas térmicas: estão relacionadas com a variação das dimensões provocadas por dilatação ou contração, decorrentes das trocas bruscas de temperatura que acontecem do dia para a noite, ou mesmo com os ciclos mais prolongados das estações do ano. Dependendo da região, as temperaturas podem variar de 0˚C a 30˚C em apenas 24 horas.



Cargas dinâmicas: todas as cargas consideradas até aqui mudam lentamente com o tempo, quer dizer, não sofrem mudanças de intensidade e, portanto, atuam estaticamente, exceção feita às cargas excepcionais, que, dependendo da situação, podem ser consideradas cargas



16

dinâmicas, caso da ação dos ventos. As cargas cujos valores mudam com rapidez e se aplicam a formas bruscas são denominadas cargas dinâmicas e podem ser muito perigosas se não forem consideradas com atenção pelo projeto estrutural. As cargas dinâmicas são subdivididas em dois tipos de carga: cargas de impacto e cargas ressonantes. Em uma grande variedade de casos práticos, os efeitos das cargas dinâmicas são iguais ao dobro dos efeitos causados por cargas estáticas.



Cargas de impacto: são provocadas por um golpe instantâneo e produzem forças sumamente grandes, chegando, muitas vezes, a valores destrutivos. Um golpe de martelo e a explosão de uma bomba são exemplos de cargas de impacto. As cargas de impacto se caracterizam por um tempo de aplicação prolongado e rítmico.



Cargas higroscópicas: são cargas provenientes da expansão da água quando congelada. Essas cargas são verificadas em estruturas que, pelas características do material que as compõem, absorvem umidade. As cargas higroscópicas só são consideradas em locais onde as estruturas atingem temperaturas abaixo de zero.



Forças externas reativas: são as forças que atuam nas posições vinculares, ou seja, nos pontos de união entre os elementos estruturais e nos pontos de ligação da estrutura com o solo. São as forças que reagem às forças externas ativas, de modo a manter o corpo rígido em equilíbrio. As forças externas reativas agem sobre os corpos rígidos, impedindo movimentos de translação e de rotação. Muitas vezes, é desejável impedir certos movimentos da estrutura e liberar outros. Para tanto, usam-se dispositivos que possibilitam o controle dos movimentos da estrutura como um todo e de cada uma de suas partes. Esses dispositivos são chamados de vínculos.

3.4. Ações externas 

Peso da estrutura e dos elementos fixos; ▪ Peso próprio dos elementos;



Cargas de utilização (carga acidental): ▪ Peso de pessoas, móveis, carros, máquinas;



Ações ambientais: ▪ Força do vento; ▪ Pressão de líquidos e do terreno (solo); ▪ Variação da temperatura.



17

3.5. Determinação das forças externas A solução de problemas relacionados ao equilíbrio dos corpos rígidos passa, em primeiro lugar, pela análise do modelo estrutural proposto. A partir da análise do modelo estrutural, é necessário que todas as forças que atuam sobre ele sejam representadas. Qualquer força que não esteja diretamente envolvida deve ser omitida. O primeiro passo para a solução dos problemas é traçar, a partir do modelo estrutural, um Diagrama de Corpo Livre (DCL).

3.5.1. Modelo estrutural (ME) É um esquema gráfico em que são apresentados os elementos estruturais envolvidos no sistema em análise, dispositivos que, porventura, estejam atuando sobre os elementos e os vínculos com outros elementos ou com o solo, todos devidamente determinados no espaço.

Figura 3.1 – Modelo estrutural (ME)

3.5.2. Diagrama de corpo livre (DCL) É um diagrama em que estão representados:   

O contorno do elemento estrutural em estudo; Todas as forças externas, ativas e reativas, que atuam diretamente sobre o elemento, completamente definidas (ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido); e As dimensões do elemento.

O primeiro passo para traçar um DCL é destacar o elemento escolhido para análise de qualquer outro elemento e do solo, representando o contorno do elemento isolado.

Em seguida, todas as forças externas, ativas e reativas devem ser representadas, e completamente definidas. O ponto de aplicação, a intensidade, a direção e o sentido das forças devem ser mostrados no DCL.


– Departamento ECV 0107 – Teor Teor ia das Estru Estru tur as I Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen Jansen (ECV/CCT/FURB) (ECV/CCT/FURB)

18

3.6. Determinação dos valores das ações As ações empregadas nas estruturas usuais podem ser estimadas com suficiente precisão com auxílio das normas técnicas específicas. Para estruturas especiais, tais como plataformas de exploração de petróleo, é praxe a confecção de modelos em escala reduzida, os quais são ensaiados para um estudo mais preciso de seu comportamento entre as ações. Também é recomendável a análise de modelos reduzidos em túneis de vento, quando se tratar de estrutura de formato pouco usual. Algumas ações específicas, como pesos de perfis metálicos e de telhas, podem ser obtidas diretamente de catálogos c atálogos do fabricante.

Figura 3.2 – Ensaio de modelo reduzido em túnel de vento.

3.6.1. Determinação da ação do vento É feita segundo a Norma Brasileira NBR – 6123:1997. Aplicação dessa Norma parte da determinação da velocidade básica do vento (V 0), a qual consiste na velocidade de uma rajada de três segundos, que pode ser excedida, em média, uma vez a cada cinquenta anos, a dez metros de altura e sobre um terreno plano e sem obstruções. O valor da velocidade básica é fornecido pela Norma, para todas as regiões do país, através de curvas chamadas de “isopletas”.

Figura 3.3 – Velocidade básica do vento V 0 (m/s)

Departamento de Engenharia Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen Jansen


19

A partir da velocidade básica do vento, é determinada a velocidade característica V k, através dos fatores estatísticos S 1, S2 e S3: Vk = V0 . S1 . S2 . S3 Os fatores que permitem transformar a velocidade básica em velocidade característica consideram a influencia da topografia (S 1), da rugosidade do terreno, das dimensões da edificação e de sua altura sobre o terreno (S 2) e do grau de segurança e vida útil requerida para a edificação (S3). A velocidade característica do vento é transformada em pressão dinâmica através da seguinte relação, obtida da mecânica dos fluidos:

    

A determinação da força a ser considerada na análise levará em conta ainda outras particularidades, através de coeficientes relacionados à forma e à parte da edificação em estudo. Cabe destacar que o vento, em determinadas estruturas, tais como edifícios altos, pavilhões industriais ou torres, é a ação predominante.

3.6.2. Determinação das ações permanentes e das ações variáveis verticais A Norma Brasileira NBR 6120:1980 estabelece valores mínimos das cargas a serem consideradas no projeto de estruturas de edificações, excetuando-se ações previstas em Normas específicas, como é o caso da ação do vento e sismos. Como exemplo, apresentam-se na Tabela 3.1 pesos específicos de alguns materiais de construção. Tabela 3.1 – Peso específico de materiais de construção (NBR – 6120:1980) Material Peso específico aparente (KN/m3) Concreto Armado 25 Concreto simples 24 Aço 78,5 Pinho e Cedro 5 Tijolos Furados 13 Tijolos maciços 18 Mármore e Granito 28 Lajotas cerâmicas 18 Argamassa de cal, cimento e areia 19 Argamassa de cimento e areia 21

As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos são supostas uniformemente distribuídas (por metro quadrado de piso). Alguns valores mínimos de cargas verticais constam na Tabela 3.2.


– Departamento ECV 0107 – Teor Teor ia das Estru Estru tur as I Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen Jansen (ECV/CCT/FURB) (ECV/CCT/FURB) Tabela 3.2 – Valores mínimos de cargas verticais (NBR – 6120:1980) Local Edifícios residenciais (dormitórios, sala, copa e banheiro) Escritórios Escolas (corredores e salas de aula) Arquibancadas Bibliotecas (salas com estantes de livros) Escadas com acesso ao público Forros sem acesso ao público

20

Carga (KN/m2) 1,5 2 3 4 6 3 0,5

Ainda na mesma Norma técnica podem ser encontrados o peso específico aparente e o ângulo de atrito interno de diversos materiais de armazenagem, como produtos agrícolas e materiais de construção.

3.7. Forma de distribuição das ações na estrutura Quanto à forma de distribuição, as ações podem ser classificadas como concentradas ou distribuídas.

3.7.1. Carga concentrada É aquela que se distribui em uma área muito reduzida relativamente à área do elemento. Neste caso, considera-se a carga como concentrada no centro de gravidade da área de contato. A figura 3.4 ilustra a parte de uma estrutura composta por elementos unidimensionais. A decomposição dessa estrutura espacial em vigas e pilares isolados resulta, de forma simplificada, no esquema ilustrado para as vigas V 2 e V3, para o qual tanto a ação (FV1) como as reações (R) são consideradas concentradas.

Figura 3.4 – Cargas concentradas: esquema estático correspondente às vigas V 2 e V3.


ECV 0107 – Teor ia das Estru tur as I – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB) 

21

Exemplos de cargas concentradas:

Figura 3.5 – Carga concentrada: kgf, kN, tf.

3.7.2. Carga distribuída É a que incide numa área com dimensão da mesma ordem de grandeza da estrutura ou do elemento em análise. Neste caso, pode-se transformar a carga distribuída em uma carga concentrada equivalente, chamada de “resultante”. A resultante somente será equivalente à

carga original se ambas provocarem a mesma tendência de translação e de rotação. 

Exemplos de cargas distribuídas:

Figura 3.6 – Carga distribuída por metro: kgf/m, kN/m, tf/m.



2

2

22

2

Figura 3.7 – Carga distribuída por metro quadrado (kgf/m , kN/m , tf/m ).

O valor da resultante é determinado como sendo igual à área compreendida entre a linha que define o carregamento e o eixo da barra (área da carga). Seu ponto de aplicação deve passar pelo centro de gravidade do carregamento. 

Alguns exemplos de carga distribuída e de sua resultante:

Figura 3.8 – Exemplos de cargas distribuídas e suas resultantes: carga uniformemente distribuída (a); carga triangular (b).

Cargas uniformes ou de variação linear, como as ilustradas na Figura 3.8, reproduzem a pressão de um líquido sobre o fundo e as paredes de um reservatório, respectivamente. Como exemplo de ações concentradas e distribuídas, a Figura 3.9 ilustra composição das cargas para uma sacada, de acordo com as prescrições da NBR – 6120:1980. Segundo essa Norma, além do carregamento uniforme (de mesma intensidade que o do ambiente com a qual se comunica), devem ser aplicadas ao longo do parapeito uma carga horizontal P 1 de intensidade 0,8 kN/m e uma carga vertical mínima P2 de 2 kN/m. Ao se considerar o peitoril como um elemento sem função estrutural, deve-se substituí-lo por seus efeitos sobre a estrutura.

Figura 3.9 – Composição do carregamento para uma sacada.



4. Fenômenos físicos 4.1. Estrutura O que é estrutura? No caso de edificações, a estrutura é um conjunto de elementos: 

Lajes;



Vigas;



Pilares.

Que se inter-relacionam: 

Laje apoiando em viga;



Viga apoiando em pilar.

Para desempenhar uma função: 

Criar um espaço em que pessoas exercerão diversas atividades.


23


24

4.2. Caminho das forças O caminho natural que as forças gravitacionais, ou seja, os pesos dos objetos e das pessoas tendem a tomar, é o da vertical. QUAL A MELHOR SOLUÇÃO ESTRUTURAL? 

Uma estrutura com poucos ou muitos caminhos?

Suponha-se que, em uma praça qualquer, se queira apoiar uma estátua sobre uma estrutura adequada.

Uma primeira proposta poderia ser a criação de um único pedestal sob a estátua. Esta solução resolve o problema de maneira bastante simples e direta.

Mas supondo-se que, além de apoiar a estátua, a estrutura deve permitir a passagem de pessoas sob ela, a solução do pedestal único torna-se inviável.

Caso o espaço sob a estátua devesse ser o mais amplo possível.



25



Uma solução poderá ser econômica no consumo de materiais, mas poderá ser feia e de execução demorada.



Outra poderá ser bonita, mais cara e difícil de ser executada.



Pode acontecer que se exija que a solução estrutural seja: - econômica; - bonita; - fácil execução.

4.3. Geometria dos elementos estruturais Bloco:

O bloco é um elemento estrutural em que as três dimensões apresentam a mesma ordem de grandeza. Quais as possibilidades e o comportamento de um bloco no sistema estrutural? Como vencer vãos utilizando elementos aparentemente tão limitados?



26

Barra:

A barra é um elemento estrutural em que uma de suas dimensões, o comprimento, predomina em relação às outras duas, largura e altura da seção transversal. A barra, ao contrário do bloco, pode ser utilizada isoladamente. É um elemento estrutural de uso mais amplo. Utilizada para pendurar cargas, como um cabo, para apoiar cargas, como um pilar, ou vencer vãos, como uma viga. As barras podem ser associadas, criando sistemas estruturais mais complexos capazes de vencer grandes vãos, como as que compõem a estrutura de uma treliça.

4.4. Tipos de forças que atuam nas estruturas É necessário que as forças que atuam nas edificações sejam conhecidas, na sua intensidade, direção, sentido e ponto de aplicação, para que a concepção estrutural seja coerente com o caminho que essas forças devem percorrer até o solo e para que os elementos estruturais sejam adequadamente dimensionados.



27

4.4.1. Cargas permanentes São cargas cuja intensidade, direção e sentido podem ser determinados com grande precisão, pois as cargas permanentes são devidas exclusivamente as forças gravitacionais, ou pesos: 

Peso próprio da estrutura (dimensão e peso específico);



Revestimentos (contrapisos, cerâmicas);



Paredes (peso específico).

4.4.2. Cargas acidentais São mais difíceis de serem determinadas com precisão e podem variar com o tipo de edificação. Essas cargas são definidas por normas (ABNT NBR) que podem variar de país para país, no Brasil as normas são: NBR 6120 e NBR 6123.



Peso das pessoas;



Peso do mobiliário;



Peso de veículos;



Força de frenagem de veículos;



Peso de equipamentos;



Força do vento.



28

5. Equilíbrio das estruturas 5.1. Equilíbrio das estruturas Um corpo está em equilíbrio quando a soma de todas as forças que atuam sobre ele é igual a zero. Se uma estrutura ou parte dela é considerada em equilíbrio sob a ação de um sistema de carga, ela deve satisfazer as seis equações de equilíbrio estático. Usando o sistema cartesiano x, y e z de coordenadas, as equações de equilíbrio estático podem ser escritas como: ( Caso Geral ).

Para fins de análise e de projeto, a grande maioria das estruturas pode ser considerada como de estruturas planas sem que haja perda de precisão. Para essas estruturas, que normalmente são admitidas no plano xy , a soma das forças nas direções x e y e a soma dos momentos em torno do eixo perpendicular ao plano devem ser iguais a zero (Caso Plano).

5.2. Estaticidade Quando o número de reações de apoio (incógnitas do problema) é igual ao número de condições de equilíbrio (equações), conduz à resolução de um sistema determinado. No entanto, nem sempre essa relação será observada. Assim, a determinação das reações de apoio de uma estrutura deve ser precedida pela classificação desta com relação à quantidade e à disposição dos vínculos ou, em outras palavras, à estaticidade. Segundo essa classificação, uma estrutura pode ser designada como hipostática, isostática ou hiperestática. Quando todos os esforços da estrutura podem ser determinados a partir das equações de equilíbrio a estrutura é estaticamente determinada (isostática). Quando há mais esforços desconhecidos do que equações de equilíbrio a estrutura é estaticamente indeterminada ( hiperestática).





29

Para estrutura planas: 

R < 3n, hipostática



R = 3n, isostática



R > 3n, hiperestática

Onde R é o número de reações e n é o número de partes da estrutura

a) Estrutura hipostática: (R < 3.n) número de reações de apoio < número de equações de equilíbrio Há menos vínculos que o necessário, existindo, portanto, movimentos possíveis da estrutura. Se houver equilíbrio, ele é instável. O número de equações é superior ao número de incógnitas (reações).

b) Estrutura isostática: (R = 3.n) número de reações de apoio = número de equações de equilíbrio

Os vínculos estão dispostos em números e de tal forma que todos os movimentos estão restritos. É aquele cujo número de apoios (vínculos) é o estritamente necessário, isto é, o número de equações é igual ao número de incógnitas (reações).

c) Estrutura hiperestática: (R > 3.n) número de reações de apoio > número de equações de equilíbrio

A estrutura hiperestática possui vínculos com maior número que o estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis. O equilíbrio é dito “mais que estável ”. O grau hiperestático (gh) de cada estrutura indica quantas reações a estrutura possui além do número de equações de equilíbrio. Estas reações adicionais devem ser determinadas pela imposição de condições relativas à deformabilidade da estrutura, gerando as chamadas “equações de compatibilidade de deslocamentos ”.

O número de reações de apoio (incógnitas) a serem determinadas é superior ao número de equações.

Cabe observar que, nas estruturas hipostáticas, a relação entre número de reações e número de equações (R – EQ) é condição suficiente para que se defina a estaticidade, ao passo 



30

que, para as estruturas isostáticas e hiperestáticas, esta relação aponta apenas uma condição necessária. A classificação da estrutura implica também o estudo da disposição dos vínculos, os quais devem garantir que todos os movimentos sejam efetivamente impedidos. Apesar do número de vínculos serem igual ou superior ao necessário, não existe restrição ao movimento horizontal. Logo, ambas são hipostáticas, pois o equilíbrio é instável.

5.2.1. Equilíbrio estático externo A ação da gravidade sobre sua massa provoca o aparecimento da força peso. Sob a ação dessa força a barra tende a se deslocar na vertical, em direção ao centro da terra.

Uma maneira de evitar que a barra se desloque na vertical é a criação de um dispositivo que exerça uma reação contrária à força peso, equilibrando-a. Não há equilíbrio. A barra tende a girar em torno do seu suporte.



31

Para evitar o giro foi criado outro suporte. A barra não irá movimentar-se na vertical e nem girar. A força na horizontal poderá deslocá-la nessa direção. O equilíbrio estático da barra não está garantido.

Para evitar o movimento horizontal pode ser colocado num dos suportes uma trava. O equilíbrio estático no seu plano é condição necessária que ele não se desloque na vertical, na horizontal e nem gire.



32

Se for acrescentado à barra mais um suporte, estará em condições de equilíbrio estático, acima das condições mínimas necessárias.

Uma estrutura que se encontra em condições mínimas necessárias de estabilidade é denominada isostática. Quando as condições de estabilidade estão acima das mínimas, a estrutura é denominada hiperestática. Quando as condições de estabilidade estiverem abaixo das mínimas, a estrutura é dita hipostática.

5.2.2. Vínculos São dispositivos estruturais que têm por função restringir certos movimentos e permitir outros. Os vínculos são classificados de acordo com o grau de liberdade (gl) que possibilitam. ▪ São vínculos:



A ligação entre uma laje e uma viga;



Uma viga e um pilar;



Uma viga com outra viga;



A ligação entre as barras que formam uma malha estrutural.

Os vínculos podem ou não permitir movimentos relativos entre os elementos por eles unidos.



33

Um vínculo que permite giro e deslocamento relativos é denominado vínculo articulado móvel (ou apoio móvel). Articulado porque permite o giro, móvel porque permite o deslocamento em uma direção, normalmente a horizontal.

O vínculo que permite apenas o giro relativo e impedem dois movimentos de translação é denominado vínculo articulado fixo (ou rótula).

O vínculo que impede o giro e os deslocamentos (dois de translação e um de rotação) é denominado engaste.



34

Exemplo de vínculos em uma estrutura:

Com um apoio articulado móvel, as dilatações térmicas não influenciam os pilares, sem aplicar forças horizontais aos pilares.



35

Alterando um vínculo, pode-se aumentar ou diminuir os graus de liberdade de movimento relativo entre as partes ligadas.



36

6. CONCEITO GERAL DE ESTRUTURAS 6.1. Definição de estrutura As estruturas são sistemas físicos capazes de receber e transmitir esforços como em pontes, edifícios, torres, antenas etc. Um dos principais objetivos da análise de estruturas é relacionar, em idealizações simplificadoras desses sistemas e utilizando propriedades de material determinadas experimentalmente, as ações externas atuantes com os deslocamentos, reações de apoio e tensões (ou suas resultantes), de maneira a poder identificar eventual deficiência de comportamento do material constituinte e/ou de comportamento da estrutura como um todo e/ou de suas partes. Isso, para elaborar um projeto de uma nova estrutura a ser constituída ou estudar o comportamento de uma estrutura já existente. A idealização de uma estrutura conduz a um modelo de análise, regido por equações matemáticas, cujos resultados devem expressar comportamento próximo ao da estrutura. A execução de uma construção, como a de uma ponte, de um edifício, de uma residência ou mesmo um simples muro de contenção, implica necessariamente, em alguma das fases da obra, na construção de uma estrutura suporte, que necessita, por sua vez, de projeto, planejamento e execução própria. Portanto, a estrutura em uma construção tem como função prioritária garantir a forma espacial idealizada para a mesma assegurar sua integridade pelo período de tempo que for julgado necessário.

6.1.1. Conceitos Específicos de Estruturas Em um prédio em construção pode-se claramente distinguir alguns dos elementos estruturais que compõem a parte resistente, ou estrutura, do prédio: vigas, lajes, paredes, pilares, sapatas e blocos, estes dois últimos sendo parte integrante das fundações. Estes elementos podem ser executados de materiais diversos, sendo, entretanto, os mais utilizados: concreto armado, concreto protendido, aço e madeira.

Figura 6.1 – Estrutura Típica.

A definição do sistema estrutural é selecionada de acordo com aspectos funcionais e arquitetônicos desde que sejam estruturalmente e economicamente viáveis. A transmissão interna das forças, do ponto de aplicação aos apoios, através de diferentes sistemas estruturais pode ser observada na figura 6.2.



37

Figura 6.2 – Transmissão das forças aos apoios através de: A) ponto, B) elemento tracionado, C) elemento comprimido, D) treliça, E,F,G H) pórticos diversos.

O estudo da análise estrutural demanda o conhecimento de alguns conceitos básicos: • Análise estrutural: estudo de esforços e deslocamentos em estruturas; • Estrutura: elementos unidos estre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto

estável; • Conjunto estável: conjunto capaz de receber solicitações externas absorvê-las e transmiti-las até seus apoios, onde encontrarão seu sistema estático equilibrante.

6.2. Esforços ou Ações Os esforços ou ações classificam-se da seguinte forma: Esforços Externos Solicitantes, Esforços Internos Solicitantes e Esforços Resistentes. O objetivo do projetista é garantir, por meio do cálculo estrutural, que os esforços internos resistentes sejam maiores que os esforços internos solicitantes.

                              Figura 6.3 – Classificações das solicitações.



38

6.2.1. Forças Aplicadas As forças aplicadas às estruturas são também denominadas ações externas solicitantes ativas, cargas externas, carregamentos ou simplesmente cargas. Nas estruturas as forças a serem consideradas no projeto dependem do fim a que se destinam as estruturas, sendo, em geral, regulamentadas por normas. No Brasil, as normas brasileiras são elaboradas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Estas normas são identificadas pelas letras maiúsculas NBR, seguidas de números associados aos assuntos abordados. A norma brasileira que regulamenta as cargas para o Cálculo de Estruturas de edificações é a NBR – 6120, a NBR – 6123 regulamenta as ações de Forças devidas ao vento em edificações. As cargas podem ser classificadas quanto à posição, à distancia, à duração, à forma de aplicação e à variação com o tempo. Segundo esta classificação as cargas podem ser: • Quanto à posição

Fixas: cargas que não mudam de posição, ou que podem ser consideradas como tal. As cargas normalmente consideradas nas edificações podem ser dadas como exemplos. Móveis: cargas que mudam de posição. As ações dos veículos nas pontes e viadutos são exemplos de cargas móveis. • Quanto à duração

Permanentes: ações permanentes sobre estruturas, tais como o seu peso próprio. Acidentais: são as provenientes de ações que podem ou não agir sobre as estruturas. Exemplos: sobrecarga (peso de pessoas, móveis etc., em uma residência) e a aço do vento. • Quanto à forma de aplicação

Concentradas: quando se admite a transmissão de uma força, de um corpo a outro, através de um ponto. A força concentrada não existe, sendo uma simplificação de cálculo. Distribuídas: quando se admite a transmissão de uma força de forma distribuída, se ao longo de um comprimento (simplificação de cálculo) ou, através de uma superfície. • Quanto à variação do tempo

Estáticas: são aquelas que, para efeito do comportamento estrutural, podem ser consideradas como não variando com o tempo. Dinâmicas: quando a variação da ação ao longo do tempo tem que ser considerada. Exemplos: as ações do vento, de correntes marítimas, de explosões, de impacto e de terremotos. Pseudo-estáticas: algumas ações dinâmicas podem ser convenientemente consideradas por meio de análises pseudo-estáticas; é o que ocorre muitas vezes com a ação do vento em estruturas que permitam um cálculo simplificado desta ação.



39

Figura 6.4 – Representação esquemática de ações externas diretas e indiretas.

Cargas

            

Figura 6.5 – Classificação das cargas.

6.3. Objetivo da Análise Estrutural Uma vez conhecida a estrutura e determinadas as ações estáticas e/ou dinâmicas que sobre ela atuam, os objetivos da análise estrutural são: 1. Determinação dos Esforços Internos Solicitantes: necessária para o dimensionamento dos elementos estruturais (concreto armado, concreto protendido, aço e madeira); 2. Determinação das reações de apoio: necessário para a consideração da ação mútua entre os diversos elementos estruturais; 3. Determinação dos deslocamentos: necessário para a resolução da estrutura, verificação do limite de flecha.

6.3.1. Estruturas Reticuladas As estruturas reticuladas são constituídas por elementos unidimensionais, simplesmente denominados elementos ou barras, cujos comprimentos prevalecem em relação às dimensões da seção transversal.



40

As barras (ou elementos) são definidas por um nó inicial e um nó final. As barras podem ser de eixo reto ou de eixo curvo e de seção transversal constante ou variável. Os nós que permitem rotação relativa de elementos a eles conectados são denominados nós articulados, e os que não permitem rotação relativa são denominados nós rígidos.

Figura 6.6 – Barras e nós em estruturas reticuladas.

6.4. Equilíbrio Estático O estudo da estática compreende a ação de força exterior sobre um corpo rígido em posição de repouso. As forças agrupam-se em sistemas que recebem denominações segundo a posição relativa que guardam entre si. Todo e qualquer sistema pode ser substituído pela ação de duas forças que, em relação a um ponto qualquer, venha a produzir o mesmo efeito que o sistema dado. Estes efeitos são a resultante e o momento resultante. A resultante é a soma vetorial das projeções das forças do sistema e capaz de produzir translações, segundo a direção do seu suporte. O momento resultante é a soma vetorial do momento das forças do sistema, portanto capaz de produzir rotação.



Uma força

⃗

41

⃗

quando aplicada a um corpo rígido impõe a este uma tendência

deslocamento linear, ou translação. Um momento quando aplicado a um corpo rígido impõe a este uma tendência de deslocamento angular, ou rotação. O momento é sempre produzido em torno de um eixo normal ao plano em que se encontram as forças. Exemplo: para termos momento em torno do eixo x , é preciso que as projeções das forças estejam contidas no plano y O z e definido pelos eixos y e z. Para equilibrar um sistema, torna-se necessária a introdução de um sistema equivalente ao primeiro, mas de sinal contrário, ficando nulas as ações da resultante e do momento resultante.

6.4.1. Grandezas Fundamentais Força e momento é uma grandeza vetorial e, portanto para ser completamente caracterizada é necessário conhecer: • Direção; • Sentido; • Intensidade; •Ponto de aplicação.

6.4.2. Esforços Simples Um sistema de forças quaisquer, que satisfaça as equações universais da Estática, atuando sobre um corpo rígido, provocará nele o aparecimento de esforços que, analisados segundo seu eixo e uma seção que lhe é perpendicular, poderão ser definidos como esforços simples e classificados como: • Esforço Normal: que age no sentido de comprimir ou tracionar a seção; • Esforço Cortante: que age no sentido de cortar ou cisalhar a seção; • Momento Torsor: que age no sentido de torcer ou girar a seção em relação ao eixo; • Momento Fletor: que age no sentido de envergar ou flexionar o eixo ou, afastar o plano da seção do ângulo de 90˚ que forma com o eixo.

6.4.3. Equações do Equilíbrio Estático O que impede que as estruturas se desloquem quando submetidas a forças ativas são os apoios, capazes de gerar forças reativas nas direções dos deslocamentos impedidos. As forças e momentos reativos (reação de apoio) formam com as forças e momentos ativos (aplicados à estrutura) um sistema de forças (externas) em equilíbrio. O equilíbrio das forças e momentos do sistema, nas direções X, Y e Z, fornece, para uma estrutura espacial, as seguintes equações de equilíbrio estático.



42

Figura 6.7 – Equilíbrio Estático.

6.5. Esquemas e Simplificações de Cálculo O esquema de cálculo, ou modelo matemático, algumas simplificações tornam-se necessárias, as quais estão, em geral, associadas: • à geometria: representação da barra por meio do sei eixo; • ao sistema de forças: forças e momentos concentrados e distribuídos; • à análise numérica a ser efetuada: planas e espaciais; • à representação dos apoios.

6.6. Representações das forças aplicadas (carregamento) As cargas em uma estrutura podem ser reais ou aproximadas, classificadas, quanto ao tipo, em forças e momentos; e quanto à forma de aplicação em concentradas e distribuídas por unidade de comprimento e por unidade de área.

Figura 6.8 – Representações de forças atuantes em uma estrutura.



43

Figura 6.9 – Aproximações sucessivas num problema técnico.

Figura 6.10 – Modelagem da estrutura de um telhado.

Tabela 1.2 – Modelos e carregamentos distribuídos e resultantes para estruturas isostáticas:



44

6.7. Vínculos As equações traduzem as condições de equilíbrio, constituindo dois sistemas de forças equivalentes e opostos. Os vínculos terão a finalidade de localizar este sistema de forças que vai impedir os movimentos de translação e rotação.

6.7.1. Apoios (ligações) As restrições aos movimentos de uma estrutura se dão por meio dos apoios ou vínculos. Os apoios ou vínculos são classificados em função do número de graus de liberdade impedidos. Nos apoios, nas direções dos elementos impedidos, surgem a s forças reativas ou reações de apoio.

6.7.2. Representação dos Apoios

A) Apoio simples (de primeiro gênero ou “charriot”): › Impede a translação na direção perpendicular à impedida; › Permite a translação na direção perpendicular à i mpedida; › Permite a rotação (em torno de Z).

B) Rótula (apoio de segundo gênero ou articulação): › Impede as translações nas duas direções (X e Y); › Permite a rotação (em torno de Z).

C) Engaste (apoio de terceiro gênero): › Impede as translações nas duas direções (X e Y); › Impede a rotação (em torno de Z).



45

6.7.3. Representação dos Apoios:

Figura 6.11 – Representação dos apoios.

A. Apoio Móvel

Figura 6.12 – Vínculo de primeiro gênero: impedem uma translação deixando livre a outra translação e a rotação em torno de um eixo normal ao plano das cargas.



46

B. Apoio Fixo

Figura 6.13 – Vínculos de segundo gênero: impedem as translações deixando livre a rotação em torno do um eixo normal ao plano das cargas.

C. Engaste

Figura 6.14 – Vínculos de terceiro gênero: impedem os três movimentos, as duas translações e a rotação em torno de um eixo normal ao plano das cargas.

Figura 6.15 – Representação dos vínculos em elementos estruturais.



47

6.7.4. Representação de sistemas isostáticos:

Pelo fato de ter sido introduzida uma ligação de segundo gênero que liberta o sistema, segundo uma direção, criando mais uma equação, os triarticulados e as vigas articuladas são sistemas isostáticos.

6.8. Reações de Apoio As reações de apoio resultam da trajetória das ações para o meio exterior. Sua determinação é feita como emprego das equações de equilíbrio (equações universais da estática). Cabe destacar que, se um ponto da estrutura estiver em equilíbrio, todos os demais pontos também estarão. Essa condição permite, como se verá, não apenas a determinação das reações, como também a verificação dos valores calculados para essas reações. É importante enfatizar que, para a aplicação das equações de equilíbrio, forças ou momentos que atuam num mesmo sentido devem ser computados como mesmo sinal. É usual que, durante o somatório, se considere como sentidos positivos aqueles coincidentes com os sentidos positivos dos eixos coordenados. Para estruturas plana carregadas no próprio plano, a Figura 6.16 ilustra os sentidos correspondentes (a convenção ilustrada é conhecida como “ Convenção de Grinter”).

Uma vez conhecidos os apoios em uma estrutura submetida a um sistema de forças, as reações de apoio podem ser calculadas. As reações de apoio são forças ou momentos, com pontos de aplicação e direção conhecidos e de intensidades e sentidos tais que equilibrem o sistema de forças ativas aplicado à estrutura. Os sistemas de forças externas, formados pelas forças ativas e reativas, têm que estar em equilíbrio.



48

6.8.1. Sequência para obtenção das reações de apoio: a) Retirar os apoios e introduzir reações correspondentes (modelo estrutural – ME);

b) Traçar o diagrama de corpo livre (DCL) e fixar arbitrariamente um sentido para as reações; c) Estabelecer uma convenção de sinais para os sentidos dos esforços (sistema de referência – SR); d) Montar o sistema de equações de equilíbrio de acordo com as condições de equilíbrio da mecânica geral;

e) Resolver o sistema;

f) Manter o sentido das reações positivas e inverter o sentido das reações negativas.

6.9. Convenção de sinais positivos: Sistema de referência – SR:

Eixo Y (Esforços Verticais)

Momento fletor (giro)

+ Eixo

X (Esforços Horizontais)

Figura 6.16 – Convenção usual para o equilíbrio de forças e momentos (Grinter)



49

7. Lista de exercícios: 1. Determine o grau de estaticidade das estruturas dadas, e sugira duas alternativas de modificações da mesma, para torná-la em estruturas isostáticas, caso necessário:

2. Determinar as reações de apoio das estruturas apresentadas abaixo:



2. Determinar as reações de apoio das estruturas apresentadas abaixo:


50


51

8. Esforços internos solicitantes – E.I.S 8.1. Definição Todos os corpos rígidos, ao serem submetidos a forças externas ativas (cargas) e reativas (reações de apoio), apresentam mudança da forma geométrica (deformações). No momento em que um corpo deforma, entra em estado de tensão. Recordando: tensão é o estado que a matéria assume decorrente de uma deformação. As forças se transmitem internamente de um ponto a outro, em um determinado elemento estrutural, por meio das tensões. A capacidade de transmissão de cargas está associada às tensões admissíveis dos materiais de que são compostos os elementos estruturais. Isso significa que, dependendo do material de que é constituído determinado elemento estrutural, maior ou menor será a sua capacidade de transmissão de cargas. Para o cálculo de reações de apoio (equilíbrio das forças externas), não foi considerada a capacidade de resistência dos elementos, ou seja, partiu-se do pressuposto de que a estrutura efetivamente possuía capacidade de transmitir as ações ao meio exterior. O objetivo da análise da estrutura consiste justamente em permitir o dimensionamento dos elementos para propiciar essa transmissão. Partindo do princípio de que a deformação da estrutura será muito pequena, pode-se utilizar a configuração inicial na análise. Essa deformação, efetivamente, deverá ser limitada com o objetivo de garantir a perfeita utilização da estrutura ao longo de toda a sua vida útil, evitando, entre outros efeitos:   

A ocorrência de danos aos elementos não estruturais (tais como fissuração das alvenarias e mau funcionamento de esquadrias); A sensação de insegurança quanto à estabilidade da estrutura (decorrente de vibrações perceptíveis ou deslocamentos visíveis); O comprometimento do perfeito funcionamento (como a drenagem de água em coberturas e varandas).

Determinar os esforços internos implica, em última análise, determinar o estado de tensão a que o elemento está submetido. Solicitação é todo esforço ou conjunto de esforços que devido às ações se exerçam sobre uma ou mais seções de um elemento da estrutura. Provocam nas estruturas: 

Tensões Normais; • Compressão; • Tração;



Tensão de Cisalhamento.



52

8.2. Determinação dos esforços internos A determinação dos esforços internos independe das características dos materiais: depende somente da forma geométrica e dos esforços externos ativos e reativos. É um problema que pode ser resolvido pela mecânica estática. A determinação dos esforços internos é de fundamental importância para o dimensionamento correto dos elementos estruturais. Determinados os esforços internos, muitas das decisões de projeto são tomadas. Por exemplo, a escolha do material mais adequado para execução do sistema estrutural e as dimensões mais adequadas dos elementos que compõem o sistema, entre outras.

8.3. Esquematização dos esforços internos

Figura 8.1 – Esforços internos.

As forças internas geralmente são distribuídas de forma complexa sobre as seções, mas, no entanto, as condições de equilíbrio são satisfeitas para cada parte separadamente. Isto significa que a resultante das forças internas na seção genérica S, pode ser obtida tanto na parte esquerda quanto na direita do corte imaginário.

Figura 8.2 – Resultantes de forças internas.



53

8.4. Representação

Figura 8.3 – Representação dos esforços: normal, cortante e momento fletor.

8.5. Classificação dos esforços Cada componente de força interna é chamada de esforço ou solicitação e está associada à deformação do trecho da estrutura. Como hipótese, é suposto que a seção, originalmente plana, permanece plana após a deformação.



N (Esforço Normal) – Tende a promover a variação na distancia entre duas seções paralelas entre si, mantendo-as paralelas. Também conhecido como esforço axial , já que as forças atuam na direção do eixo do elemento (e, portanto, normal à seção transversal).

Quando as seções tendem a se afastar, diz-se que o trecho está tracionado e convenciona-se como esforço normal positivo (tração). Em caso de aproximação das seções, o trecho estará comprimido (esforço normal negativo – compressão).



54

V (Esforço Cortante) – Tende a fazer uma seção deslizar em relação à outra. Também conhecido com esforço cisalhante. A figura representa a convenção usual para sentido positivo do esforço cortante, na qual o binário formado pelas componentes de V gira no sentido horário.

O efeito da força cortante está representado pelo escorregamento das seções transversais em que ela atua.



M (Momento Fletor) – Tende a provocar a rotação da seção em torno de um eixo situado em seu próprio plano, produzindo forças de tração (alongamento) em uma face e de compressão (encurtamento) na face oposta. Na figura, é representado um momento fletor positivo, segundo a convecção usual, na qual a face tracionada é a face inferior.



T (Momento Torsor) – Tende a promover a rotação relativa entre duas seções em torno de um eixo que lhes é perpendicular. Segundo a convenção usualmente empregada, o momento torsor é positivo empregando a regra da mão direita.



55

8.6. Convenção de Sinal Independente do caminho adotado para o cálculo dos esforços solicitantes, estaremos sempre somando forças e momentos. Por isso é conveniente adotar uma convenção de sinais:



Análise à esquerda da seção:



Análise à direita da seção:

Figura 8.4 – Convenção de sinal para os esforços à esquerda e à direita da seção S.



56

Procedimento padrão para determinação dos esforços internos solicitantes – Método das seções. 

Passo 1: caracterizar na barra pontos de descontinuidades, seja cargas externas, seções ou materiais diferentes; cada ponto de descontinuidade será identificado por um letra; Passo 2: serão constituídos trechos entre pontos de descontinuidades; por exemplo, três pontos constituirão dois trechos, quatros pontos, três trechos, e assim por diante; Passo 3: os esforços internos solicitantes na barra, serão analisados por trecho, pois em cada trecho teremos esforços diferentes. Ou seja, teremos de efetuar a análise para cada trecho distintamente; Passo 4: para isso, analisamos, no trecho escolhido, uma seção genérica distante de “ x ” da extremidade direita ou esquerda. Ou seja, o lado considerado fica a critério do analista, já que o resultado da análise deverá ser o mesmo para qualquer que seja o lado escolhido.

8.7. Diagrama dos esforços – Linhas de estado Para que a estrutura resista às ações a que estiver submetida, é imprescindível que a capacidade resistente de nenhuma seção seja superada. Assim, é necessário o conhecimento dos esforços não apenas em algumas seções. Ao invés disso, deve-se efetuar a determinação, para cada tipo de solicitação, da forma como esta varia ao longo da estrutura, bem com o maior valor do esforço e do ponto onde este ocorre. Com esse objetivo e visando ao correto dimensionamento da estrutura, é efetuado o traçado dos diagramas de esforços. Os diagramas de esforços solicitantes, também chamados de linhas de estado, representam a variação de uma determinada solicitação ao longo da estrutura. É efetuado o traçado de um diagrama específico para cada esforço. Para isso, cada valor calculado é marcado a partir de uma linha representativa do eixo de cada elemento. Esses valores de esforços são desenhados perpendicularmente à linha, com efeitos positivos e negativos representados de lados opostos do eixo, segundo a convenção adotada.


57


Particularmente com relação à convenção usual para traçado de diagrama de momentos fletores, é importante destacar que os valores traçados estarão sempre representados na face tracionada do elemento. assim, por exemplo, para elementos de concreto armado, nos quais a função de resistir aos esforços de tração é atribuída essencialmente ao aço, é direta a correspondência entre a posição da armadura longitudinal e o diagrama de momentos fletores, como se pode observar na figura, para uma viga com um trecho em balanço e submetida a um carregamento uniformemente distribuído. De forma análoga, a quantidade de aço a ser disposta no sentido longitudinal em cada seção é proporcional ao momento fletor nesse ponto. Cabe destacar que a situação ilustrada na figura consiste numa simplificação, na qual não foram consideradas, entre outras, as armaduras de cisalhamento, as ancoragens e as armaduras construtivas.

Figura 8.5 – Viga de concreto armado (simplificação): correspondência entre momento fletor e disposição da armadura longitudinal.

Com relação ao esforço cortante, as armaduras correspondentes (chamadas de estribos) são dispostas na direção transversal ao eixo do elemento.

8.8. Determinação dos esforços para o traçado dos diagramas Método das equações

–

Para a obtenção das informações necessárias ao traçado dos diagramas, uma forma bastante direta e eficiente consiste na determinação de equações que representem a variação dos esforços ao longo da estrutura. Esse procedimento, conhecido como Método das Equações, pode ser descrito pelas seguintes etapas: 1) Verificar a estaticidade; 2) Calcular as reações de apoio; 3) Separar a estrutura em trechos característicos, limitados por mudanças na distribuição do carregamento ou incidência de carga concentrada (força ou momento);



58

4) Calcular as equações de variação dos esforços para cada trecho, usando as equações de equilíbrio estático e a convenção de sinais; 5) Traçar os diagramas de variação dos esforços (linhas de estado), marcando os valores perpendicularmente ao eixo do elemento. O método trabalha com seções variáveis ao longo da estrutura, sendo que uma única seção em cada trecho é capaz de representar qualquer das infinitas seções desse mesmo trecho.

8.9. Resumo dos esforços

8.10. Vigas Gerber As vigas Gerber recebem este nome em homenagem a Heinrich Gerber (1832 – 1912). Conforme representação simplificada na figura, estas vigas surgiram por duas razões: 

Estruturais: permitir deformações, evitando o surgimento de esforços internos devidos a recalques diferenciais nos apoios;



Construtivas: permitir o lançamento de vigas pré-moldadas em vãos sobre leitos de rio ou difícil acesso.



59

Os dentes Gerber nada mais são do que rótulas (M rot = 0) convenientemente introduzidas na estrutura de forma a, manter a sua estabilidade, torná-la isostática. As vigas Gerber podem, portanto, ser consideradas como uma associação de vigas simples (biapoiadas, biapoiadas com balanços ou engastadas e livres), de maior complexidade, porém, igualmente isostáticas. Nestas, elementos sem estabilidade própria apoiam-se em outros elementos com estabilidade própria, de modo a formar um conjunto estável. A transmissão das ações externas de um trecho a outro se dá através de rótulas.

Como uma rótula constitui um ponto de momento nulo (ou seja, não transmite tendência de giro de um elemento para outro elemento adjacente), essa informação pode ser empregada como uma equação adicional na verificação das condições necessárias ao equilíbrio. A verificação da estabilidade não é efetuada de forma tão direta como para vigas simples, devendo-se, para tanto, analisar inicialmente as vigas sem estabilidade própria, de modo a verificar se estas podem efetivamente transmitir aos trechos estáveis as forças necessárias ao seu equilíbrio e, portanto, ao equilíbrio do conjunto. Dessa forma, verificadas as condições necessárias, procede-se ao estudo da estabilidade. Por exemplo, para a estrutura anterior:

8.11. Vigas inclinadas A análise de vigas inclinadas também é efetuada de forma análoga à das vigas simples. No entanto, possui a particularidade de que, para efeito de cálculo dos momentos fletores, a viga comporta-se como tendo comprimento igual à projeção do carregamento. Nas vigas inclinadas surge, em geral, a necessidade de se trabalhar com dois sistemas de eixos referenciais: um global (para a determinação das reações de apoio) e um local (para a



60

determinação dos esforços internos solicitantes). No estudo das vigas inclinadas é de fundamental importância que se observe:    

A direção da viga inclinada, expressa pelo ângulo α que a viga faz com a horizontal; As orientações dos apoios e das respectivas forças reativas; A direção dos carregamentos aplicados; A forma de representação do carregamento distribuído; • Ao longo das projeções horizontais L h e/ou verticais Lv ou; • Ao longo do comprimento inclinado L da viga.

Observar que o sistema local pode ser utilizado para determinação das reações de apoio, mas os esforços internos solicitantes são, obrigatoriamente, referidos aos sistemas locais.

8.12. Carregamentos distribuídos ao longo das projeções 

Horizontal (LH):

Figura 8.6 – Viga inclinada com carregamento vertical distribuído q ao longo da projeção horizontal L H.



61

Figura 8.7 – Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local ) e outra na direção perpendicular ao eixo (direção y-local ).

Figura 8.8 – Diagrama dos esforços internos solicitantes.



Vertical (LV):

Figura 8.9 – Viga inclinada com carregamento horizontal distribuído q ao longo a projeção vertical L V.



62

Figura 8.10 – Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local) e outra na direção perpendicular ao eixo ( direção y-local ).

8.13. Carregamentos distribuídos ao longo da viga inclinada O carregamento distribuído ao longo da viga inclinada pode ser apresentado com direções diferentes. Em geral, o carregamento distribuído é aplicado na direção vertical, correspondente à ação da gravidade, ou aplicado perpendicular ao eixo da viga. O exemplo a seguir analisa uma viga inclinada submetida a carregamento vertical distribuído ao longo de todo o comprimento inclinado L da viga. Na figura esse carregamento é decomposto no sistema local para calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de E.I.S.

Figura 8.11 – Viga inclinada com carregamento vertical distribuído ao longo do comprimento inclinado L da viga.



63

Figura 8.12 – Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local ) e outra na direção perpendicular ao eixo ( direção y-local ).

Figura 8.13 – Diagramas dos esforços.



64

9. Pórticos planos 9.1. Introdução Os pórticos, ou quadros, assim como as vigas, podem consistir em estruturas simples ou na associação destas, gerando estruturas compostas. Os pórticos planos são estruturas formadas por elementos (ou barras) cujos eixos, com orientações arbitrárias. Pertencem todos a um único plano (plano da estrutura). O carregamento atuante pertence também ao plano da estrutura. Os nós que interconectam os elementos dos pórticos podem ser rígidos ou articulados. Nos nós rígidos há transmissão de momentos entre as barras. Os nós rígidos das estruturas deformadas apresentam rotação absoluta sendo, porém nula a rotação relativa entre os elementos conectados. Na estrutura indeformada, os ângulos entre os elementos, permanecem os mesmo após a aplicação do carregamento e a consequente deformação da estrutura. Nos nós articulados não há transmissão de momentos entre as barras. Os nós articulados permitem a rotação relativa entre os elementos conectados. O momento fletor na rótula é sempre nulo. Os pórticos são classificados em simples e compostos.

9.2. Pórticos simples Considerando a estrutura contida no plano XY, os graus de liberdade e, consequentemente, as equações de equilíbrio são os mesmos empregados na análise de vigas. Com relação aos esforços, a análise também recai no caso de vigas. No entanto, pelo fato de os elementos que concorrem num mesmo nó poderem possuir orientações distintas, os nós internos também devem ser associados a pontos de transição. Dessa forma, para efeito de análise podem-se isolar as barras do pórtico, desde que se apliquem nos nós intermediários os esforços atuantes, de modo a manter o equilíbrio de cada barra. Também a exemplo das vigas simples, a vinculação que pode resultar numa estrutura isostática é bastante limitada. Nesse contexto, os pórticos possíveis são: 

Biapoiado



Engastado e livre



Triarticulado



Biapoiado com articulação e tirante (ou escora)



65

A convenção de sinais para os esforços segue o que foi definido no início deste estudo. No entanto, necessitará ser complementada, para os elementos de eixo com orientação diferente da horizontal, por uma convenção que indicará como o pórtico de convenções será posicionado em relação ao eixo. A convenção adicional consiste em representar um tracejado em uma face do elemento e é inteiramente arbitrária, desde que, uma vez estipulada, seja mantida até o traçado dos diagramas correspondentes a esse elemento. no entanto, como orientação inicial, apresentase a seguinte sugestão: imagina-se um observador dentro do pórtico, desenhado o tracejado na face do elemento que estiver mais próxima do observador (face interna).

O posicionamento do tracejado em uma ou outra face de um elemento faz com que apenas os sinais dos momentos fletores sejam alterados. No entanto, independentemente da posição adotada, os momentos estarão sempre representados na face tracionada do elemento.



66

Quando houver mais de um pórtico fechado e, portanto, mais de um observador, prevalecerá o que estiver posicionado mais à direita.

As figuras seguintes apresentam alguns exemplos de posicionamento do tracejado, ilustrados nos demais pórticos simples, quais sejam, pórtico engastado e pórtico triarticulado (também chamado de trirotulado).

Pórtico engastado

Pórtico triarticulado

9.3. Pórticos compostos Os pórticos podem ser considerados como uma associação de pórticos simples com estabilidade própria e outros cuja estabilidade depende dos pórticos que os suportam (analogia com as vigas Gerber no caso das vigas).

Para resolução dos pórticos compostos deve-se:

1. Identificar os pórticos simples associados; 2. Verificar os que têm estabilidade própria e os que não têm estabilidade própria; 3. Resolver inicialmente os pórticos cuja estabilidade depende de outros pórticos a fim de determinar as ações daqueles sobre estes últimos; 4. O conhecimento de tais ações permite a resolução dos pórticos em estabilidade própria.



67

Figura 9.1 – Pórticos ou quadros compostos.

Um pórtico composto consiste na associação de pórticos simples, alguns com estabilidade própria e outros sem, formando um conjunto estável. Ou seja: Pórtico composto ↔ Pórtico simples Viga Gerber ↔ Viga simples Assim, pórticos compostos também serão decompostos em pórticos simples. Quando analisados separadamente, inicia-se a análise pelos menos estáveis. Pórticos superpostos: Nem todas as barras são rotuladas em um nó.



68

Pórticos múltiplos: Várias barras podem ser rotuladas em um nó. Como regra geral tem-se que, quando n barras rotuladas em um mesmo nó, a estrutura comporta-se como tendo n – 1 rótulas distintas neste nó (isto é, as rótulas fornecem n -1 equações). Alguns exemplos de verificação da estaticidade:

Número de reações = 10 Número de equações = 3 eq. de equilíbrio + 4.(2 – 1) + 1.(4 – 1) = 10 (Condição necessária atendida)



69

10.Pórticos com barras curvas 10.1. Introdução Nos pórticos simples podem ocorrer elementos ou barras com eixos curvos. A ocorrência de elementos curvos nos pórticos em nada altera a sua análise a não ser pelo fato dos sistemas locais das barras curvas terem, nas seções de análise, os eixos x (forças horizontais) tangentes e os eixos y (forças verticais) perpendiculares aos eixos das barras.

Figura 10.1 – Exemplos de pórticos com barras curvas

10.2. Eixos curvos – Arcos Este estudo terá início com exemplos simples de vagas curvas biapoiadas.

Semicírculo de raio R: Para a viga biapoiada definida por um semicírculo de raio R e submetida a uma força concentrada P, determinar os esforços internos em uma seção genérica S. a seção S é definida, em coordenadas polares, pelo raio R e pelo ângulo θ formado com a horizontal. A determinação dos E.I.S, em qualquer seção de uma barra de eixo curvo, fica bastante simplificada seguindo o seguinte procedimento: a) Determinar a ação das forças, à esquerda ou a direita da seção S, usando um sistema conveniente, em geral o global X-Y-Z, conforme indicado na figura, obtendo-se: 

Na direção Y (Vertical), a força: P/2



Na direção Z o momento:

   

b) A determinação desta ação referida ao sistema local x-y-z, fornecerá os esforços internos na seção S. como os eixos Z global e z local têm a mesma orientação, o momento fletor permanece o mesmo (M = M S). a convenção de sinais dos E.I.S deve ser respeitada. Nas barras de eixo curvo, para uma seção S qualquer no trecho 1ª da figura, tem-se:

   



70

       

Os diagramas dos E.I.S, marcados a partir do eixo curvo da barra, podem ser observado na figura a seguir:

Figura 10.2 – Diagramas dos E.I.S de vigas curvas.

Observar: Numa estrutura plana simétrica com carregamento simétrico os diagramas dos momentos fletores e dos esforços normais são simétricos e o dos esforços cortantes é assimétrico. O traçado dos diagramas dos esforços internos em barras curvas fica bastante simplificado se seus valores forem marcados a partir de uma linha reta (reta 1-2 ligando os extremos da barra) o diagrama obtido anteriormente, se marcado a partir da reta 1-2 seria convenientemente representado por uma função linear do valor (R-Rcos θ). Isto corresponde a uma mudança de eixos do sistema local onde x e y são tangentes e normais em cada ponto, correspondente às coordenadas polares R- θ, para um eixo x’-y’, com origem em 1, sendo x’ horizontal e obtido como: x’ = R (1 – cosθ)

Eixo da barra curva definido por uma função qualquer f(x):



71

Seja, por exemplo, a obtenção do DMF de uma barra curva definida por uma função qualquer y = f(x) e submetida a uma força concentrada unitária no nó 2. Considerando-se que: M = -1 . y O seu traçado a partir da reta 1-2 é imediato sendo este delimitado pelo próprio eixo da barra, conforme ilustrado na figura.

A determinação dos esforços internos em uma barra curva fica bastante simplificado quando decompõem-se os carregamentos em:  

Cargas verticais e momentos Cargas horizontais

Sendo os valores totais obtidos através da superposição, conforme ilustrado na figura.

Figura 10.3 – Superposição das cargas verticais e momentos e cargas horizontais.

10.3. Classificação dos arcos Quanto à forma, os arcos podem ser classificados em parabólicos e circulares, ambas as mais utilizadas, sendo também possível estabelecer formas em elipse ou catenária. Quanto ao esquema estático podem ser classificados em isostáticos ou hiperestáticos, valendo ainda as seguintes definições: 

Arcos Isostáticos: possuem dois apoios fixos com uma articulação (rótula) entre os apoios, ou seja, são triarticulados;



72

Arcos hiperestáticos: • Biengastado: possui dois engastes, em cada extremidade, e é três vezes

hiperestático.

• Biarticulado: possui dois apoios fixos, um em cada extremidade, e é uma vez

hiperestático.

• Atirantado: possui um apoio fixo e um apoio móvel, ambos ligados por uma barra

tracionada (tirante); é uma vez hiperestático (internamente).

• Com uma articulação: biengastado com uma articulação intermediária; é duas vezes

hiperestático.



73

11.Treliças planas 11.1. Introdução As treliças são estruturas compostas de barras ou elementos retos, com orientações quaisquer, interligados por nós rotulados ou articulados. Podem se estruturas planas, quando todas as barras e as forças aplicadas pertencem a um mesmo plano, ou espaciais.

Para efeito de cálculo consideram-se satisfeitas as seguintes condições:  

Os elementos são interconectados por nós perfeitamente articulados, isto é, rotação relativa liberada; Os eixos dos elementos são retos e coincidentes com os eixos que conectam os nós em suas extremidades, isto é, não há excentricidade das barras em relação aos nós.

Considere-se, inicialmente, a estrutura isostática anteriormente designada como um pórtico triarticulado e ilustrada figura seguinte. Pelo fato de os apoios duplos não restringirem a rotação dos elementos que concorrem nesses pontos, o mesmo pórtico é redesenhado, de forma equivalente, como trirotulado.

Como as barras são rotuladas nos nós (pontos de momento fletor nulo), tem-se que: MA = MB = MC = 0 Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen


74

Sendo as cargas aplicadas apenas nos nós, tem-se das relações diferenciais que o momento fletor varia linearmente ao longo de cada elemento. em consequência, os momentos nulos nos nós resultam em momentos nulos em toda a estrutura. Lembra-se ainda que:

  

Ou seja, os momentos fletores nulos em toda a estrutura permitem constatar que também não existem esforços cisalhantes nos elementos. Em função dessas considerações e tratando-se de uma estrutura plana com carregamento aplicado no mesmo plano, resulta que os elementos estarão submetidos apenas a esforços normais (tração e compressão). A estrutura da figura constitui o modelo de treliça. Uma treliça ideal pode ser definida como uma estrutura constituída por ligações rotuladas, cargas aplicadas apenas nos nós e indeformável (executando-se a variação de comprimento dos elementos). Como resultado da presença de esforços unicamente axiais, as treliças constituem formas estruturais bastante eficientes, sendo empregadas particularmente na presença de grandes vãos ou de cargas elevadas. Exemplos clássicos de treliças são as tesouras de telhado, as torres de transmissão de energia e as estruturas de guindastes, entre outras. A eficiência de uma treliça esta diretamente relacionada à forma como seus elementos estão associados, buscando reduzir o caminho das cargas atuantes até os apoios. No entanto, a determinação da melhor configuração para cada situação não constitui tarefa simples, pois pode existir um número virtualmente ilimitado de configurações possíveis para um mesmo objetivo. Como referencia, algumas configurações usuais de treliça podem ser empregadas.



75

Dependendo de sua disposição na treliça, os elementos constituintes são designados como banzos, diagonais e montantes.

Os materiais normalmente empregados nas estruturas treliçadas são aço e a madeira, já que cada um destes apresenta características mecânicas semelhantes, quando submetidos tanto a forças de tração como de compressão. Com relação às uniões das barras da treliça, sabe-se que não existe rótula perfeita. Porem, caso os elementos sejam dispostos com seus eixos concorrentes em um mesmo ponto, a união comporta-se como rótula. Dessa forma, os elementos poderão ser parafusados, rebitados ou mesmo soldados em um chapa de ligação (chapa Gusset ), uma vez que as forças aplicadas nesses pontos não tenderão a produzir rotação relativa entre as barras da treliça.

O arranjo dos elementos da treliça deve ser efetuado de modo a constituir uma estrutura indeformável, executando-se, como já frisado, a variação no comprimento de cada elemento. Nesse sentido, cabe observar que o único polígono fechado indeformável é o triângulo.

O triângulo constitui uma forma estável ou internamente isostática. Assim, de maneira simplificada, tem-se a obtenção de uma treliça internamente isostática pela associação de triângulos.



76

11.2. Lei de formação das treliças simples Retomando o pórtico triarticulado referenciado no início deste capitulo, sabe-se que essa estrutura está adequadamente vinculada ao meio exterior, atendendo às condições necessárias e suficientes ao equilíbrio. Observa-se que a estrutura (a qual, por definição, é uma treliça ideal), será igualmente estável se, ao liberar o deslocamento horizontal de um de seus nós extremos, a função de restringir o deslocamento desse nó for atribuída a um novo elemento, como ilustrado na figura a seguir.

Cabe destacar que a estrutura resultante é constituída de um triângulo (polígono indeformável) biapoiado. Ambas as formas ilustradas constituem treliças isostáticas e são designadas como configurações fundamentais , pois a partir delas podem ser geradas treliças de maior complexidade. A lei de formação básica das treliças planas estabelece que: se a qualquer treliça básica isostática (sistema indeformável isostático) acrescenta-se um nó (duas equações) e interliga-se este nó a dois nós indeslocáveis entre si por meio de duas novas barras (duas incógnitas), a nova estrutura continua a ser uma treliça plana isostática simples. Este procedimento pode ser repetido várias vezes e segundo a imaginação d projetista. Os nós indeslocáveis podem ser nós de apoio ou os nós inicial e final de uma barra de treliça já existente. Esta lei de formação pode ser estendida às treliças espaciais, considerando-se a interligação de um novo nó (três equações) a três nos, indeslocáveis entre si, através de três novas barras (três incógnitas). Esta lei de formação é fundamental para a análise da estabilidade das treliças simples.

Figura 11.1 – Lei de formação das treliças planas simples.



77

11.3. Estaticidade e estabilidade das treliças Estruturas que possuem quadros ou polígonos fechados têm sua estaticidade determinada não apenas pela vinculação externa (número e disposição dos vínculos), mas também em função do número e disposição dos elementos, uma vez que os esforços nesses quadros fechados constituem incógnitas adicionais. Essa estaticidade interna é verificada pelo atendimento à lei de deformação de treliças simples isostáticas , segundo a qual: uma treliça será internamente isostática se puder ser obtida, a partir de uma forma estável, pela adição de barras duas a duas, partindo dos nós existentes para novos nós (um nó para cada duas novas barras). Essa forma estável pode ser tanto uma das configurações fundamentais com um triângulo qualquer. De uma forma mais geral, uma treliça será isostática (condição necessária) se o número de barras e de vínculos externos for o mínimo necessário à estabilidade. Considerando que as barras estarão submetidas somente a esforço axial (e, portanto, um único esforço na barra), o numero de incógnitas será constituído do somatório do número total de barras e de reações de apoio. Uma vez que os eixos das barras são concorrentes nos nós e as cargas também são aplicadas apenas nos nós, o equilíbrio de cada nó fornece apenas as equações relativas ao somatório de forças. Os conceitos de estaticidade e estabilidade estão sempre associados. Uma estrutura só pode ser classificada como isostática ou hiperestática se for estável. A estaticidade estrutural é calculada comparando-se o número total de incógnitas com o número total de equações de equilíbrio disponíveis. Tem-se, portanto, que a condição necessária a ser atendida por uma treliça plana seja isostática pode ser escrita como:

2n = b + r onde: n = número de nós (número de equações disponíveis por nó); b = número de barras que compõem a treliça, que é igual ao numero de esforços normais N (incógnitas internas); r = número de reações de apoio (incógnitas externas). Assim, por exemplo, se 2n > b + r, então a estrutura é hipostática (número insuficiente de elementos e/ou de vínculos externos). Já, se 2n = b + r, a condição necessária para que a estrutura seja isostática é atendida. Resta ainda verificar a condição suficiente à disposição dos vínculos externos e elementos (verificação do atendimento à lei de formação).

Seguem alguns exemplos de verificação de treliças planas quanto à estaticidade:




78


79

Como observado, o atendimento à lei de formação consiste na condição suficiente para que a estrutura seja classificada quanto à estaticidade. No entanto, o contrário nem sempre é verdadeiro. Dessa forma, pode-se proceder a uma classificação adicional da estrutura com relação à lei de formação, definido a treliça como simples, composta ou complexa (destaca-se que, para efeito de análise computacional, esta classificação torna-se sem efeito). Uma treliça pode ser classificada como simples quando obedece à lei de formação. Já a treliça composta, consiste na união de duas treliças simples, internamente isostáticas, através de três barras, nem paralelas nem concorrentes entre si, ou de um nó e uma barra. Em ambos os casos, a condição necessária é atendida. Exemplos de treliças compostas:

Uma treliça complexa não se enquadra em nenhum dos casos anteriores. Apesar de atender à condição necessária, a determinação analítica dos esforços não é efetuada de maneira simples. Podem ser analisadas pelo método de Henneberg, o qual consiste na troca de posição de uma barra de modo a transformar a treliça complexa em simples.



80

Atenção Estaticidade e estabilidade As condições expressas por 2n = b + r e 2n < b + r são condições n ecessárias, mas não suficientes para que as treliças sejam classificadas como isostáticas e hiperestáticas, respectivamente. Em ambos os casos, a condição necessária da estabilidade tem que ser satisfeita. A instabilidade das estruturas pode ser oriunda:   

De formas geométricas críticas, isto é, barras da treliça arranjadas de forma inadequada; De posicionamentos incorretos dos apoios, isto é, forças reativas formando sistemas de forças paralelas ou concorrentes; De instabilidade parcial em decorrência de trechos hiperestáticos e hipostáticos na estrutura. Exemplos de treliças instáveis podem ser observados na figura abaixo. A instabilidade

devido à forma crítica nem sempre é de fácil identificação. A observação da regra básica de formação das treliças é fundamental para a estabilidade das treliças.




81


82

11.4. Determinação dos esforços em treliças simples isostáticas – Métodos de análise A obtenção dos esforços em uma treliça isostática pode ser efetuada tanto pelo equilíbrio de uma seção (conhecido como Método de Ritter) como pelo equilíbrio de seus nós (Método dos Nós). Em qualquer um destes, é mantida a mesma convenção para os sentidos positivos dos esforços que já vinha sendo empregada para outros modelos estruturais, porém, simplificada pela presença unicamente de esforço axial:

A resolução de uma treliça ideal consiste na determinação dos esforços normais N em todos os seus elementos. A análise das treliças pode ser feita estabelecendo-se o equilíbrio:  

De parte da estrutura: através do Método das Seções (ou Método de Ritter ); ou De seus nós: através do Método dos Nós. O Método de Cremona é um método gráfico de equilíbrio dos nós. Os métodos de análise das treliças baseiam-se nas seguintes hipóteses:

 

Seus nós são rotulados; e As cargas são aplicadas nos nós.

Estas hipóteses conduzem ao conceito de Treliça Ideal, a qual é uma simplificação para efeito de cálculo. Na prática, os nós das treliças, de aço, madeira ou qualquer outro material, são aparafusados, soldados, ou rebitados (não mais empregados) não sendo, portanto, rótulas perfeitas. Em geral, pequenas cargas (peso próprio e outras) encontram-se também aplicadas ao longo de seus elementos. No entanto, para efeito de cálculo, as hipóteses acima conduzem a resultados suficientemente precisos. Na prática, todos os nós das treliças são projetados através de ligações, de forma que todos os eixos das barras que se conectam num nó sejam convergentes num único ponto. Para efeito de cálculo, as barras submetidas somente a esforços normais N, formam um sistema de forças concorrentes em equilíbrio.

11.4.1. Método de Ritter Também conhecida como método das seções , trata-se de um procedimento análogo ao aplicado às demais estruturas estudadas. Ou seja, uma vez equilibrada a estrutura, efetua-se uma seção no ponto da estrutura onde se deseja conhecer os esforços, aplicando as equações de equilíbrio a uma das partes. Como particularmente tem-se o fato de que, uma vez cada barra possui apenas um esforço como incógnita (e não três como é o caso geral), a seção de corte pode interceptar até três barras, desde que estas não estejam nem paralelas nem concorrentes num mesmo nó. Assim, para um elemento de viga ou pórtico, tem-se:



83

Enquanto, para uma treliça:

Cabe destacar que as seções podem ter formas quaisquer, desde que sejam contínuas e atravessem a treliça, de modo a separá-la efetivamente em duas partes. O Método de Ritter permite a fácil obtenção dos esforços em barras situadas num ponto qualquer da estrutura. No entanto, quando se busca a obtenção dos esforços em todos os elementos da treliça, torna-se bastante trabalhoso, por exigir um número grande de seções de corte.

Observar: 

   

Arbitrando-se todos os esforços normais como de tração, os sinais obtidos das equações de equilíbrio conduzem a: • Sinal positivo (+) → tração; • Sinal negativo (-) → compressão. O método das seções apresenta a vantagem de não transpor erros de uma parte da estrutura a outras, como ocorre com o método do equilíbrio dos nós; O método das seções é particularmente útil quando se deseja determinar os esforços normais em algumas barras. Tantas seções, quantas forem necessárias, devem ser consideradas quando se deseja determinar os esforços normais em todas as barras; Na resolução das treliças, o mais conveniente é utilizar dois métodos: das seções e dos nós. Recomenda-se, entretanto, dar preferencia ao método das seções, utilizando o método dos nós somente para conclusões localizadas dos cálculos.



84

Exemplo: Determinar os esforços nas barras da treliça interceptadas pelas seções S1 e S2 indicadas na figura:

Estaticidade:

Reações de apoio:


ECV 0107 – Teor ia das Estru tur as I – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB) ΣFH = 0 → ΣFV = 0 → ΣMA = 0 →

Portanto: RVA + RVB = Ou: ΣMB = 0 → Verificação:

ΣMC = 0 →

Esforços nas seções:





Seção S1:

ΣFV = 0 → ΣMD = 0 → ΣFH = 0 → Verificação:

ΣMC = 0 →


85


86

- Seção S2:

ΣME = 0 → ΣMF = 0 → ΣFH = 0 → Verificação:

ΣFV = 0 →

11.4.2. Método dos Nós Consiste no estudo do equilíbrio de cada nó, iniciado e prosseguindo pelos nós só possuam duas incógnitas a determinar (esforços ou reações), até abranger todos os nós. A limitação a duas incógnitas deve-se ao fato de, no equilíbrio do nó, apenas as forças aplicadas nesse nó serem computadas (e, portanto, o somatório de momentos com relação a esse nó não fornecer nenhuma informação). Assim, apenas o equilíbrio de forças, não de momento, pode ser empregado, o que faz com que nenhuma verificação possa ser efetuada até que se finalize o cálculo dos esforços em todos os elementos. Uma vez que o método emprega os valores obtidos no equilíbrio dos nós anteriores, qualquer engano cometido, por exemplo, no sentido de um esforço, faz com que o erro se reflita em todo o restante da análise. Assim, é interessante que, uma viga equivalente de alma cheia, de modo que se possa antever, se não a magnitude dos esforços, ao menos o sinal destes. Este método consiste em estabelecer o equilíbrio em todos os nós da estrutura baseandose na premissa de que se a estrutura, como um todo, está em equilíbrio, todas as partes que a constituem, no presente caso os nós, devem estar também em equilíbrio.



87

Em um nó de treliça os membros que nele convergem introduzem somente forças concentradas, não produzindo momentos. Assim sendo, em cada nó, as duas equações de equilíbrio disponíveis são:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 Por consequência, para determinar os esforços normais das barras que convergem no nó é necessário que não se tenha mais do que duas incógnitas por nó. Na resolução das treliças através do método do equilíbrio dos nós deve-se:

  

Determinar as reações de apoio; Iniciar a determinação dos esforços normais nas barras a partir de um nó que apresente duas forças desconhecidas (em geral, nós dos apoios); Prosseguir estabelecendo o equilíbrio de outros nós onde todas as forças, a menos de duas, tenham sido anteriormente determinadas. Observar:





A determinação dos esforços normais em algumas barras exige o cálculo dos esforços em outras barras. O método dos nós apresenta o inconveniente de transmitir erros de um nó para os seguintes; Quando o objetivo é determinar os esforços normais em apenas alguns elementos recomenda-se utilizar o método das seções. O Método dos Nós e das seções podem, e devem ser usados intercalados.

O Método dos Nós possui uma forma gráfica de resolução, em crescente desuso, conhecida como Método de Maxwell-Cremona.

11.4.3. Método de Maxwell-Cremona O método de Maxwell-Cremona nada mais é do que um processo gráfico de resolução das treliças baseado no método de equilíbrio dos nós. A representação gráfica de um sistema de forças em equilíbrio forma um polígono fechado. Observar que na grafostática as forças tem que ser representadas em escala. Para que uma estrutura esteja em equilíbrio todas as suas partes devem também estar em equilíbrio. Assim sendo: Um nó em equilíbrio → todos os nós em equilíbrio → a estrutura em equilíbrio. Na aplicação do Método deve-se observar:

 

A notação de Bow, que consiste em identificar por meio de letras as regiões delimitadas pelas forças externas (ativas e reativas) e internas (normais N nas barras). Iniciar o traçado por um nó no qual se tenha somente duas forças desconhecidas;


ECV 0107 – Teor ia das Estru tur as I – Departamento de Engenharia Civil da FURB Prof. Rafael F. Jansen (ECV/CCT/FURB)   

88

Escolher um sentido de giro (horário ou anti-horário) que será mantido ao longo de todo o traçado; Iniciar sempre o traçado pelas forças conhecidas, observando as direções e os sentidos das forças, obedecendo sempre uma escala convenientemente escolhida; Identificar as forças pelas letras das regiões que ela delimita, obedecendo ao sentido de giro adotado (exemplo ab se a força delimita as regiões A e B).

Vantagens dos Métodos Gráficos:

Fornecem facilmente os esforços normais em todas as barras permitindo uma visão global da estrutura e visualizando o equilíbrio (polígono fechado). Desvantagem:

A precisão depende do cuidado na elaboração gráfica. Conclusão:

Com o advento e a ampla disponibilidade de equipamentos computacionais, esses Métodos são pouco utilizados hoje em dia.

Exemplo: Empregando o Método dos Nós, determinar os esforços nas barras da treliça:

Estaticidade:

Adicionalmente, atende à lei de formação de treliças simples isostáticas (condição suficiente). Logo, a estrutura é isostática. Sendo assim, as 10 incógnitas podem ser determinadas apenas com equações de equilíbrio de nó. Observa-se, no entanto que, ao determinar as reações de apoio, restam sete Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen


89

incógnitas e, portanto, três equações excedentes e que poderão, ao final, permitir a verificação dos esforços calculados.

Reações:

ΣFH = 0 → ΣFV = 0 → ΣMA = 0 →

Portanto: RVA + RVB = Ou: ΣMB = 0 →

Verificação: ΣMB = 0 →

Esforços nas seções:

 Departamento de Engenharia Civil – DEC/ECV/FURB Prof. Rafael Jansen


Nó A:

ΣFV = 0 → ΣFH = 0 →



Nó C:

ΣFV = 0 → ΣFH = 0 →



Nó D:

ΣFV = 0 → ΣFH = 0 →


90


91

Nó B:

ΣFV = 0 → ΣFH = 0 →



Nó E (verificação):

ΣFV = 0 → ΣFH = 0 →

11.5. Observações gerais sobre as treliças a) Observando-se o equilíbrio de cada nó (método dos nós), pode-se identificar, com facilidade, barras com esforços normais nulos, denominadas barras inativas. Por exemplo, conforme ilustrado na figura, em nós sem forças aplicadas em que convergem três barras, sendo suas barras colineares, o esforço normal na barra não colinear é nulo; b) No caso apresentado na figura abaixo, em que os ângulos formados pelas barras são de 90°, mesmo que haja força aplicada ao nó, o esforço normal na barra não colinear é facilmente obtido, tendo em vista o equilíbrio na direção da barra não colinear. No caso representado na figura: N2 = + 10 kN (sentido OK → tração);



92

c) A sensibilidade de como variam os esforços normais nos elementos de uma treliça (banzos e bielas) pode ser obtida através da analogia com vigas:

Figura 11.1 – Analogia das treliças com as vigas



Os banzos comprimidos e tracionado formam binários (C e T) que absorvem os momentos fletores (M = T . h) acarretando, portanto, esforços normais crescentes em direção ao meio do vão, onde os momentos fletores nas vigas são maiores.



As bielas (elementos verticais ou inclinados) absorvem, com as componentes verticais, os esforços cortantes acarretando, portanto esforços normais crescentes em direção aos apoios, onde os esforços cortantes nas vigas são maiores. As componentes horizontais das bielas inclinadas participam no equilíbrio das forças na direção horizontal.



93

12.Forças móveis 12.1. Introdução As ações externas ativas ou ações atuantes nas estruturas (forças, variações de temperatura e deformações prévias) foram classificadas anteriormente, em permanente, acidentais e excepcionais. As ações permanentes são as que atuam ao longo de toda a vida útil da estrutura; as acidentais são as que atuam esporadicamente; e as excepcionais são as de duração extremamente curta, grande intensidade e muito baixa probabilidade de ocorrência. Entre as acidentais, têm-se as forças móveis provenientes de veículos, equipamentos e aglomerações que se deslocam sobre a estrutura, como em passarelas, em pontes rodoviárias, ferroviárias e rolantes, e em viadutos. Diferentemente do peso das pessoas que se deslocam nos edifícios usuais, as forças móveis nas estruturas de transposição provocam reações de apoio e esforços seccionais da mesma ordem de grandeza ou até maiores do que aqueles provocados pelas ações permanentes. E a questão que agora se coloca é a determinação dos efeitos devido às forças móveis em suas posições mais desfavoráveis, para que o dimensionamento da estrutura possa ser feito com garantia de resistência a essas forças, juntamente com as ações permanentes. Uma linha de influência expressa certo efeito elástico (reação, esforço seccional ou deslocamento) em determinado ponto de uma estrutura, devido a uma força unitária móvel. Já, um trem-tipo é uma combinação de forças móveis usualmente estabelecidas em normas de projeto. E com a suposição de comportamento linear, é válido o princípio da superposição, de maneira que o efeito elástico de um trem-tipo em atuação em determinada posição é obtido através da soma dos produtos de suas forças pelas correspondentes ordenadas da linha de influencia do efeito elástico em estudo, sendo necessário, contudo, identificar as posições do trem-tipo que conduzem aos máximos e mínimos efeitos.

12.2. Linha de influência À medida que uma carga em movimento passa por uma estrutura, as forças internas em cada ponto da estrutura variam. Intuitivamente, recorremos que uma carga concentrada aplicada em uma viga em meio vão produz tensões de flexão e deflexão muito maiores do que a mesma carga aplicada perto de um apoio.



94

O diagrama de um esforço seccional em uma estrutura expressa a variação desse esforço ao longo dos eixos das barras, devido a um conjunto de ações externas. Já a linha de influência (LI) de determinada reação ou de certo esforço seccional, relativamente a uma seção de barra ou ponto de referencia da estrutura, expressa essa reação ou esse esforço neste ponto, quando uma força unitária adimensional percorre a estrutura ou parte de suas barras . Se uma estrutura deve ser projetada com segurança, devemos dimensionar suas barras e nós de modo que a força máxima em cada seção, produzida pela sobrecarga e pela carga permanente, seja menor ou igual à capacidade admissível da seção. Para estabelecer as forças de projeto máximas nas seções críticas, produzidas por cargas que se movem, frequentemente construímos linhas de influência.

12.3. Trem-tipo Um trem-tipo é um conjunto de forças móveis, concentradas e/ou distribuídas, de valores constantes e de distancias relativas fixas entre si, que representam a combinação prevista mais desfavorável de veículos e de pessoas que atravessarão a estrutura, usualmente definida em norma de projeto. No Brasil, essas forças são estabelecidas pela Norma NBR 7188:2013 – Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras estruturas e pela Norma NBR 7189:1985 – Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias. E o nome tremtipo é alusão às obras ferroviárias para as quais E. Winkler apresentou o conceito de linhas de influência. O trem-tipo é função da classe da estrutura de transposição e representa as inúmeras combinações de veículos e de aglomerações que possam vir a percorrê-la durante a sua vida útil.

Figura 12.1 – Caminhões e carretas de uso corrente no Brasil.

12.4. Princípio de Müller-Breslau (processo cinemático) O princípio de Müller-Breslau fornece um procedimento simples para estabelecer o formato das linhas de influência para as reações ou para as forças internas (cortante e momento) em vigas. As linhas de influência qualitativas, que possibilitam se esboçadas rapidamente, podem ser usadas das três maneiras a seguir: 1. Para verificar se o aspecto de uma linha de influência, produzida pelo movimento de uma carga unitária em uma estrutura, está correto.



95

2. Para estabelecer onde se deve posicionar a carga móvel em uma estrutura para maximizar uma função específica, sem avaliar as ordenadas da linha de influencia. Uma vez estabelecida a posição crítica, fica mais simples analisar diretamente certos tipos de estruturas para a carga móvel especificada do que desenhar a linha de influência. 3. Para determinar a localização das ordenadas máximas e mínimas de uma linha de influência, para que apenas algumas posições da carga unitária precisem ser consideradas quando as ordenadas da linha de influência forem calculadas. O princípio de Müller-Breslau declara: A linha de influência de qualquer reação ou força interna (cortante, momento) corresponde à forma defletida da estrutura produzida pela retirada da capacidade da estrutura de suportar essa força, seguida da introdução na estrutura modificada (ou liberada) de uma deformação unitária correspondente à restrição retirada. A deformação unitária refere-se a um deslocamento unitário para reação, um deslocamento unitário relativo para o cortante e uma rotação unitária relativa para o momento.

Figura 12.2 – Linha de influência qualitativa para a reação no apoio da esquerda.

As linhas de influência das reações da esquerda e da direita da viga abaixo são desenhadas de modo semelhante:



96

Como terceiro exemplo, é analisada a linha de influência do momento fletor na seção 1-1 da viga. Esse diagrama pode ser obtido cortando-se a viga no ponto em questão e aplicando-se momentos imediatamente à esquerda e imediatamente à direita da seção de corte.

12.5. Linhas de influência para treliças As barras de uma treliça normalmente são projetadas para força axial, por isso suas seções transversais são relativamente pequenas devido ao uso eficiente de material em tensão direta. Como a barra de uma treliça com seção transversal pequena flete facilmente, cargas transversais aplicadas diretamente na barra, entre suas extremidades, produziriam deflexões de flexão excessivas. Portanto, se as barras da treliça precisam suportar somente força axial, as cargas devem ser aplicadas somente nos nós. As cargas podem ser transmitidas para as treliças através dos nós superiores ou inferiores. Se a carga é aplicada nos nós da corda superior, a treliça é conhecida como treliça de estrado superior . Alternativamente, se a carga é aplicada nos nós da corda inferior, é denominada treliça de ponte.



97

12.6. Método do aumento-diminuição Este método consiste em incluir a maximização de uma função quando a carga móvel consiste em um conjunto de cargas concentradas cuja posição relativa é fixa. Tal conjunto de cargas poderia representar as forças exercidas pelas rodas de um caminhão ou de um trem. No método do aumento-diminuição, posicionamos o conjunto de cargas na estrutura de modo que a carga dianteira esteja localizada na ordenada máxima da linha de influência.

12.7. Valores máximos para cargas móveis Para projetar uma estrutura que suporte cargas móveis o engenheiro deve determinar onde colocar as cargas de modo que sejam originadas as forças máximas nos vários pontos da estrutura. Se alguém puder colocar as cargas nas posições onde ocorrem as forças máximas, não será preciso ter preocupação com qualquer outra posição que as cargas possam ocupar na estrutura. Se uma estrutura for carregada com uma carga uniformemente distribuída variável e não mais do que uma carga ou duas cargas concentradas móveis, as posições críticas das cargas ficarão evidentes com o traçado das linhas de influência. Entretanto, se a estrutura precisar suportar uma série de cargas concentradas de vários valores, como grupos de caminhões ou de rodas de trens, o problema não ficará tão simples. A linha de influência fornece uma indicação das posições aproximadas para a colocação das cargas, porque é razoável admitir



98

que as cargas mais altas devam estar agrupadas em um local próximo às maiores ordenadas do diagrama.

Figura 12.2 – Viga biapoiada com várias cargas aplicadas.

12.7.1. Momento máximo 

Caso 1. Carga única concentrada:

Uma única carga atuando em uma viga produz um diagrama triangular de momentos cuja ordenada máxima ocorre diretamente sob a carga. À medida que uma carga concentrada se move por uma viga com apoios simples, o valor do momento máximo diretamente sob a carga aumenta de zero, quando a carga está em um dos dois apoios, até 0,25PL, quando a carga está no meio do vão. A linha tracejada, denominada envelope do momento, representa o valor máximo absoluto do momento de carga móvel produzido pela carga concentrada que pode se desenvolver em cada seção da viga com apoios simples.

Figura 12.3 – Envelope do momento de uma carga concentrada sobre uma viga com apoios simples.



99

Caso 2. Série de cargas de roda

O método do aumento-diminuição fornece um procedimento para estabelecer o momento máximo em uma seção arbitrária de uma viga, produzido por um conjunto de cargas em movimento. Para usar esse método, devemos primeiro construir a linha de influência do momento na seção onde o momento deve ser avaliado. Embora reconheçamos que o momento máximo produzido por um conjunto de cargas de roda vai ser maior para seções no meio do vão ou próximas dele do que para seções localizadas perto de um apoio.

Figura 12.4 – Posição d da Resultante das cargas.

12.7.2. Cortante máximo O valor máximo do cortante em uma viga (com apoios simples ou contínua) normalmente ocorre adjacente a um apoio. Em uma viga com apoios simples, o cortante na extremidade será igual à reação; portanto, para maximizar o cortante, posicionamos as cargas de forma a maximizar a reação. A linha de influência da reação indica que a carga deve ser colocada o mais próximo possível do apoio e que o vão inteiro deve ser carregado. Se uma viga simples suporta um conjunto de cargas em movimento, o método do aumento-diminuição pode ser usado para estabelecer a posição das cargas no membro para maximizar a reação. Para maximizar o cortante em uma seção B-B específica, a linha de influência indica que a carga deve ser colocada somente em um lado da seção e no lado mais distante do apoio. Por exemplo, se a viga suporta uma carga móvel uniformemente distribuída de comprimento variável, para maximizar o cortante na seção B, a carga móvel deve ser colocada entre B e C.

Figura 12.5 – Cortante máximo em uma viga com apoios simples: (a) sentido positivo do cortante em B; (b) linha de influência de RA; (c) linha de influência do cortante na seção B.



100

Se uma viga com apoios simples suporta uma carga móvel uniforme de comprimento variável, talvez o projetista queira estabelecer o cortante de carga móvel crítico nas seções ao longo do eixo da viga, construindo um envelope do cortante máximo. Um envelope aceitável pode ser produzido passando-se uma linha reta entre o cortante máximo no apoio e o apoio é igual a wL/2 e ocorre quando o vão inteiro está carregado. O cortante máximo em meio vão é igual a wL/8 e ocorre quando a carga é colocada em uma das metades do vão.

Exemplo 1: Determine (a) os valores máximos absolutos do cortante e do momento produzidos pelas cargas de roda na viga e (b) o valor de momento máximo quando a roda do meio está posicionada no centro da viga.



101

A. Etapas do projeto estrutural A.1. Lançamento e discretização De posse do projeto arquitetônico, definem-se o sistema estrutural e a disposição dos elementos, modelando a estrutura de acordo com os instrumentos disponíveis e da precisão desejada. Considerando, a título de ilustração, uma edificação simples, têm-se como possíveis modelos estruturais:



Pórtico espacial:



Pórticos planos:



Grelha e pilares:



Vigas e pilares:

102

A.2. Simulação da vinculação Busca a reprodução com maior fidelidade possível do comportamento da união entre elementos, a qual é efetuada essencialmente em função de suas rigidezes relativas.



103

A.3. Verificação da estaticidade Verificar se a estrutura em análise é isostática ou hiperestática.

A.4. Pré-dimensionamento dos elementos Efetuado em função da experiência do profissional e/ou baseado em critérios obtidos da literatura técnica).

A.5. Composição do carregamento Incluindo o peso próprio dos elementos.

A.6. Determinação das reações de apoio Cálculo das reações de apoio.

A.7. Determinação dos esforços internos solicitantes Incluindo o traçado dos diagramas dos esforços internos.

A.8. Verificação da capacidade resistente dos elementos Onde será constatada a necessidade de aumentar ou a possibilidade de manter (ou reduzir) as seções. No caso de alteração significativa das seções, a influência dessa alteração é computada no carregamento e a análise, refeita. Cabe destacar que, em estruturas hiperestáticas, a alteração nas dimensões de um único elemento provoca a redistribuição dos esforços.

A.9. Detalhamento da estrutura Dimensionamento da seção transversal, detalhamento das armaduras (perfis metálicos) e disposições construtivas.



104

B. Determinação das cargas atuantes B.1. Cargas atuantes em lajes As lajes são elementos estruturais usados na criação de espaços horizontais. São classificados como elementos estruturais de massa bidimensionais, que dizer, são elementos que transferem cargas em duas direções até o ponto de apoio, geralmente vigas. Normalmente, salvo raras exceções, as cargas atuantes nas lajes se resumem em cargas permanentes (peso próprio) e cargas acidentais (cargas decorrentes do uso do espaço). A carga total atuante será o somatório dessas duas cargas.

B.1.1. Carga Permanente - g (peso próprio – PP) É determinada pelo produto do volume do elemento pelo peso específico do material de que é constituído.



V – volume, unidade m 3; 3

ɣ – peso específico, unidade kN/m ;

   

B.1.2. Carga acidental – q (sobre carga – SC) É determinada, dependendo do uso, pelo valor unitário constante na ABNT, NBR 6120:1980 – tabela 2, multiplicado pela área do espaço horizontal definida pela laje.



CA – carga acidental definida por Norma, unidade kN/m2; A – área do espaço horizontal, unidade m 2;

  



105

B.1.3. Carga total É obtida pela soma: carga permanente + Carga acidental, PP + SC (g + q).

Exemplo 1: Determinar a carga total e a carga total por unidade de medida de área de uma laje quadrada de lado 10 m, sabendo-se que:

- O espaço será utilizado como sala de aula; - A laje será executada em concreto armado ( ɣ = 25 kN/m3); - A espessura da laje é 10 cm.

B.2. Cargas atuantes nas extremidades das lajes Como já foi visto, as lajes são elementos estruturais de massa bidimensionais (elementos que transferem cargas em duas direções). Normalmente, essas cargas são transmitidas até outros elementos, geralmente vigas (elementos responsáveis pela delimitação do espaço horizontal). Assim, é muito importante que se conheçam os valores das cargas atuantes nas extremidades das lajes. É importante ressaltar que a carga chega às extremidades de forma distribuída, ou seja, por unidade de medida linear.

Para determinar o valor de carga correspondente a cada extremidade, existem dois métodos: o Método dos Quinhões e o Método de Ruptura. Nesse momento, será usado apenas o Método dos Quinhões , por ser um método mais simples de ser compreendido. A análise do Método de Ruptura será feita futuramente, em disciplinas específicas.



106

B.2.1 Método dos Quinhões O método dos quinhões está fundamentado na área de abrangência que cabe a cada extremidade. A área de abrangência é determinada graficamente de forma muito semelhante à determinação de águas de um telhado. Tomando-se como exemplo uma laje maciça de forma retangular, traça-se uma linha central paralela à maior dimensão da laje, em seguida, traçam-se linhas diagonais a partir dos cantos até encontrar a linha central, conforme ilustra a figura a seguir. (Observar NBR 6118:2007 item: 14.7.6.1).

A área de abrangência de cada extremidade é dada pela área da figura geométrica formada, no caso, trapézio (1 e 2) e triângulo (3 e 4). Os ângulos α e β são dados de acordo com o tipo de vinculação da laje com os pontos de apoio. Se as vinculações forem iguais nos quatro lados, os ângulos serão iguais, portanto, 45°. Se dois lados forem engastados em dois apoios simples, então, do lado engastado, o ângulo será de 60°, e o do lado simplesmente apoiado será de 30°. Outra forma de observar os ângulos formados com os tipos de vinculações seria identificando as disposições de fissuras que apareceriam, se a laje estivesse com insuficiência, ou carecesse de armação para uma dada carga.



Alguns exemplos de tipo de contorno:



107

Exemplo 2: Determinar o valor de carga nas extremidades de uma laje de forma retangular, executada em concreto armado, sabendo-se que será utilizada como sala de aula. - O espaço será utilizado como sala de aula; - A laje será executada em concreto armado ( ɣ = 25 kN/m3); - A espessura da laje é 10 cm; - Condição de apoio = 4 lados engastados.

B.3. Cargas atuantes em vigas Vigas são elementos estruturais de massas unidimensionais usados para a delimitação dos espaços horizontais. Sua principal característica estrutural é a transmissão de cargas verticais no sentido horizontal, ou seja, as vigas absorvem todas as cargas verticais que chegam até ela e as transferem até os pontos de apoio, geralmente pilares. Normalmente, as vigas estão sujeitas a cargas permanentes e a cargas acidentais. A atuação dessas cargas pode ser de forma distribuída e/ou de forma concentrada. A carga total é determinada pelo somatório das cargas distribuídas mais as cargas concentradas. No diagrama de corpo livre, devem aparecer todas as cargas envolvidas no elemento.

B.3.1. Cargas permanentes distribuídas São oriundas do seu próprio peso e das paredes que atuam sobre ela. Essas cargas geralmente atuam de forma distribuída. Cargas permanentes concentradas são aquelas decorrentes de dispositivos que atuam pontualmente sobre as vigas. Ex.: vigas que se apoiam em vigas.

B.3.2. Carga Permanente - g (peso próprio – PP) A carga permanente (peso próprio) é determinada pelo produto do volume do elemento pelo peso específico do material de que é constituído.





108



   

B.3.3. Peso das paredes A carga permanente oriunda das paredes é determinada pelo produto do volume da parede pelo peso específico do material de que é constituída.





   

B.3.4. Carga concentrada A carga concentrada é determinada a partir dos elementos ou dispositivos que atuam pontualmente na viga.

B.3.5. Cargas acidentais São oriundas dos planos horizontais (lajes) que usam as vigas como apoio. Essas cargas atuam sobre as vigas de forma distribuída. É a carga distribuída atuante na extremidade da laje que se apoia na viga.

Exemplo 3: Determinar a carga total atuante em uma viga de concreto armado, sobre a qual se apoia uma parede de tijolos furados e sobre uma laje, cuja carga distribuída na borda é de 10 kN/m



109

Exemplo 4: Considere-se o teto-tipo, conforme ilustrado, correspondente a uma sala de aula. Cabe observar que, num projeto arquitetônico, a visualização é efetuada no sentido inverso ao do estrutural.

Na planta acima (planta de formas), a numeração dos elementos é efetuada da esquerda para a direita e de cima para baixo, conforme normatização específica. As dimensões das seções transversais das vigas incluem a espessura das lajes.



110

A contribuição das alvenarias no enrijecimento da estrutura normalmente é desprezada, sendo computado apenas o seu peso. No presente exemplo, são considerados os seguintes dados: - Distância entre pisos igual a 3,40 m; - Espessura da parede (tijolo maciço) e = 15 cm; - Considerar paredes sobre todas as vigas (sem reboco). - Revestimento das lajes, tacos – (0,70 kN/m2); - Reboco nas lajes (parte interna) e = 1,5 cm; - Considerar ângulos de 45° em todas as extremidades.


Apostila - Teoria Das Estruturas 1

Recommend Documents