´ VARIAVEIS COMPLEXAS
Prof. Prof . Daniel Dani el Brand˜ Bra nd˜ ao ao
2010
Sum´ ario 1 N´ umeros umeros Complexos
1.1 1.1 1.2 1.3 1.3 1.4 1.5 1.5 1.6 1.6 1.7 1.8 1.8 1.9 1.10 1.1 0 1.11 1.1 1
2
Intr Introdu odu¸c˜ c¸ao a˜o . . . . . . . . . . . . . . . ´ A Algebra dos N´ umeros umeros Complexos Complexos . Vari´ ari´ aveis aveis Complexas . . . . . . . . . Regras Regras para para o Conju Conjugado gado Complex Complexoo . Propri Proprieda edades des do M´ odulo odulo . . . . . . . A Repres Represen enta¸ ta¸ c˜ cao a˜o Polar . . . . . . . . Formula o´rmula de Euler . . . . . . . . . . . O Teor Teorema ema de Moiv Moivre re . . . . . . . . . Ra´ Ra´ızes de N´ umeros umeros Complexos Complexos . . . . As n-´esimas esi mas Ra´ızes ıze s da d a Unid U nidade ade . . . Exerc´ Exe rc´ıcios ıci os . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Fun¸ c˜ coes, o ˜es, Limites e Continuidade
2.1 2.1 2.2 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.6
9
Fun un¸c˜ c¸oes o˜es Complexas . . . . . . . . . Limi Limites tes de uma uma Fun Fun¸c˜ c¸˜ao ao Complexa . Disco Discoss Aberto Abertoss . . . . . . . . . . . Limite Limitess Envo Envolv lvendo endo Infinit Infinitoo . . . . Contin Con tinuid uidade ade . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios ıcios . . . . . . . . . . . . . .
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3 As Fun¸ c˜ coes o ˜es Derivadas Derivada s e Anal´ Anal´ıtica
3.1 3.2 3.3 3.3 3.4 3.4 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7
2 2 3 4 4 5 5 6 6 6 7 9 10 11 11 12 12 14
A Deriv Derivada ada Definid Definidaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regras Regras para Diferen Diferencia¸ cia¸ c˜ao ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . As Regr Regras as do Prod Produto uto e do do Quocie Quocien nte . . . . . . . . . . . . As Equa Equa¸c˜ c¸oes o˜es de CauchyCauchy-Riemann Riemann . . . . . . . . . . . . . . A Repres Represen enta¸ ta¸ c˜ cao a˜o Polar das Equa¸c˜ coes o˜es de CauchyCauchy-Riemann Riemann . Fun un¸c˜ c¸oes o˜es Harmˆonicas onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Inte Integr gra¸ a¸ c˜ c˜ ao ao Comp Co mple lexa xa
14 15 15 16 16 17 17 19
4.1 O Teore Teorema ma de de Cauc Cauchy hy-Go -Gours ursat at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Dom´ Dom´ınios Simplesmente e Multiplamente Multiplamente Conexo . . . . . . . . . . 4.1.2 4.1.2 Teorema eorema de Cauchy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Teorema de Cauchy-Goursat Cauchy-Goursat para Dom´ Dom´ınios Multiplamente Conexos 4.2 Formulas o´rmulas Integrais de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. 4.2.11 Prim Primei eira ra F´ ormula ormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. 4.2.22 Segu Segund ndaa F´ ormula ormula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
21 21 21 22 25 25 25
5 S´ eries er ies e Res R es´ ´ıduos ıdu os
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.5
5.6
27
Sequˆ Seq uˆencias enc ias e S´eries eri es . . . . . . . . . . . . . S´eries eri es de Potˆencia enc ia . . . . . . . . . . . . . . S´erie erie de Taylor Taylor . . . . . . . . . . . . . . . S´erie erie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . Zero Zeross e P´ olos olos . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. 5.5.11 Class Classifi ifica¸ ca¸c˜ cao ˜ao de pontos singulares . 5.5. 5.5.22 Zero Zeross . . . . . . . . . . . . . . . . . Res´ Res´ıduos e o Teorema do Res´ıduo ıduo . . . . .
2
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27 29 30 32 34 34 34 35
Cap´ıtulo 1 Numeros u ´ meros Complexos 1.1
Introdu odu¸ c˜ ao
Nos primeiros dias da Matem´atica atica moderna, moderna, as pessoas pessoas ficav ficavam perplexas perplexas diante diante de equa¸c˜ coes o˜es como esta: x2 + 1 = 0. 0. A equa¸c˜ c˜ao ao parece bastante bastante simples, simples, mas no s´eculo eculo sexto as pessoas n˜ ao faziam faz iam id´eia eia de como resolvˆe-la. e-la. Isso se dava dava porque, p orque, para par a a mente do senso comum, a solu¸ c˜ao ao parecia n˜ao ao ter sentido: 1. x =
±√ − √ Por esta raz˜ ao, ao, os matem´aticos aticos chamaram −1 de um n´ umero umero imagin´ario a rio.. abreviamos escrevendo “i” em seu lugar, ou seja: √ i = −1.
1.2
N´ os os o
´ A Algebra dos N´ umeros umeros Complexos
N´umeros umeros complexos mais gerais podem ser simplificados. Na verdade, usando os n´ umeros umeros reais a e b n´os os podemos formar um n´ umero umero complexo: complexo: c = a = a + + bi. bi. N´os os chamamos a chamamos a de de parte real(Re real(Re((c)) do n´ umero umero complexo e b e b de de parte imagin´aria(I aria(I m(c)) de c. Os N´umeros umeros a e b s˜ao a o n´ umeros umeros reais ordin´arios. arios. Agora, sejam c = a = a + + ib = m + + in dois n´ umeros umeros complexos. complexos. ib e k = m in dois Podemos encontrar a soma e a diferen¸ ca ca de dois n´ umeros complexos adicionando (subumeros traindo) suas partes reais e imagin´aria aria independentemente: c + k + k = = (a + ib + ib)) + (m ( m + in + in)) = (a + m + m)) + i + i((b + n + n)) c
+ ib)) − (m + in + in)) = (a − m) + i + i((b − n) − k = (a + ib
Para multiplicar dois n´ umeros umeros complexos, n´os os simplesmente multiplicamos as partes reais e imagin´arias arias termo a termo e usamos i2 = 1, depois agrupamos as partes real e imagin´aria: aria: ck = ck = (a + ib + ib)( )(m m + in + in)) = (am bn) bn) + i + i((an + an + bm bm))
− −
3
Para dividir dois n´ umeros complexos e escrever o resultado na forma de c = a + ib umeros + ib,, n´os os vamos precisar de um novo conceito, chamado conjugado complexo. N´os os encontramos o conjugado complexo de qualquer n´ umero complexo fazendo i fazendo i i. Usamos c¯ para indicar o conjugado de um n´ umero umero complexo c. Ent˜ao ao
→ −
c¯ = a = a
− ib
Da defini¸c˜ c˜ao, ao, segue que:
• c = a = a ⇒ ¯c = a ¯ = a = a ¯ = −ib = • c = ib = ib ⇒ ¯c = ib = ib ib = −c • c¯ = a −¯ ib = ib = a a + + ib ib = = c c = a + b • cc¯ = a 2
2
Chamamos a quantidade cc¯ de m´odulo odulo de c de c e escrevemos 2
|c|
= c¯ c c¯
O m´odulo o dulo de um n´ umero complexo tem significˆ umero ancia ancia geom´etrica etrica como veremos mais a frente. Agora, Podemos encontrar o resultado de c/k, c/k, desde que k = 0. Temos:
c am + am + bn bn bm an ck = 2 + i = k m + n2 m2 + n2 k2
−
||
Dizemos que dois n´ umeros umeros complexos s˜ao ao iguais se, e somente se, suas partes reais e imagin´arias arias forem iguais. Isto ´e, e, c = a = a + + ib = m + + in ao iguais se, e somente se: ib e k = m in s˜ao a = m = m e b = n. = n.
1.3
Vari´ aveis aveis Complexas
O primeiro passo na dire¸c˜ cao a˜o de um c´ alculo alculo baseado em n´ umeros umero s complex c omplexos os ´e a abstr a bstra¸ a¸c˜ cao a˜o da no¸c˜ cao a˜o de um n´ umero complexo numa vari´ umero avel avel complexa. N´os os usaremos z usaremos z para para representar uma vari´ avel avel complexa. Suas partes real e imaginaria s˜ ao representadas pelas vari´ ao aveis aveis reais x reais x e y, y , respectivamente. Assim, n´os os escrevemos escrevemos z = x = x + + iy. iy. O conjug c onjugado ado complexo comple xo ´e, e, ent˜ ao ao z z¯ = x
− iy.
Se z ´ omio com coeficientes reais, ent˜ ao ao z ta mb´em em ´e uma um a raiz ra iz do z ´e raiz de um polinˆomio z¯ tamb´ polinˆomio. omio. O m´odulo odulo da vari´avel avel complexa z ´ ´e dado da do por po r 2
|z |
= x 2 + y 2
⇒ |z | = 4
x y
+ 2
N´os os podemos plotar n´ umeros complexos no plano xy umeros plano xy,, que chamaremos de plano complexo. O eixo y ´e o eixo eix o imagin ima gin´ ario a´rio e o eixo x ´e o eixo eix o real. rea l. z = x + x + iy iy pode ser descrito como um vetor, no plano complexo, com comprimento r dado pelo seu m´ odulo: odulo: r = z = x2 + y 2 .
||
Cuidaremos Cuidar emos tamb´em em do angulo θ aˆngulo θ que este vetor faz com o eixo real. O conjugado complexo ´e um vetor refletido ao longo do eixo real.
1.4 1.4
Regr Regras as par para a o Con Conju juga gado do Com Compl plex exo o
Sejam z Sejam z = x + x + iy iy e w = u = u + + iv iv duas duas vari´aveis aveis complexas. Ent˜ao ao +¯ w = = z z¯ + + w¯ • z + w zw = ¯ = z z¯ ¯ w ¯ • zw • ¯ = z w
z¯ w ¯
Exemplo Exemplo 1.4.1. 1.4.1. Encontre o conjugado complexo, a soma, o produto e o quociente dos
n´ umeros complexos z = = 2
− 3i e w = 1 + 1i1i.
Exemplo 1.4.2. Mostre que
Re((z ) = Re
z + + z z¯ 2
I m(z ) =
z ¯z z 2i
e
/i = Exemplo 1.4.3. Demonstre que 1/i =
1.5 1.5
−
−i
Prop Propri ried edad ades es do M´ odulo odulo
O operador de valor absoluto satisfaz v´arias arias propriedades. propriedades. Sejam z 1 , z 2 ,...,z n , n´umeros umeros complexos. Ent˜ao ao
• |z z | = |z ||z | • |z z ...z | = |z ||z |...|z | 1 2 1 2
1
n
2
1
2
n
5
• = || || z1 z2
z1 z2
Uma rela¸c˜ cao a˜o chamada de desigualdade triangular merece aten¸ c˜ao ao especial:
+ z | ≤ |z ||z | • |z + z • |z + z + z + ... + ... + + z z | ≤ |z | + |z | + ... + ... + |z | • |z + z + z | ≥ |z | − |z | • |z − z | ≥ |z | − |z |
1.6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
n
1
2
n
A Repre epressenta enta¸ ¸ c˜ ao Pol Po lar
Usando coordenadas polares, n´ os podemos fazer uma representa¸ os c˜ cao ˜ao polar equivalente de um n´ umero umero complexo. complexo. Para escrever a representa¸c˜ c˜ao ao polar po lar,, n´ n ´os os come c ome¸¸caremo car emoss com c om a defin d efini¸ i¸ c˜ cao a˜o das coordenadas polares (r, (r, θ ): x = r = r cos θ e y = r sin θ Sabendo que
r = |z | = x + y 2
2
Podemos ent˜ ao ao escrever z escrever z = x + x + iy iy como: como:
z = x + iy + iy = = r r cos θ + ir + ir sin θ = r(cos θ + i + i sin θ) O valor de θ para um dado n´ umero umero complexo ´e chamado de argumento ar gumento de z ou o u arg z .
1.7
F´ ormula ormula de Euler
A f´ormula ormula de Euler nos permite escrever a express˜ ao a o cos θ + i + i sin θ em termos de uma exponencial exponencial complexa. complexa. eiθ = cos θ + i + i sin θ e−iθ = cos θ
− i sin θ
Essas f´ormulas ormulas podem ser invertidas usando-se a algebra a´lgebra para se obter as seguintes rela¸c˜ coes: o˜es: eiθ + e−iθ cos θ = 2 eiθ e−iθ sin θ = 2i Essas rela¸c˜ c˜oes o es nos permitem escrever um n´ umero umero complex complexoo na forma forma exponenci exponencial al complexa, complexa, ou mais comumente, comumente, na forma polar. Esta ´e dada por: p or:
−
z = re r eiθ Como os exponenciais s˜ ao muito simples de se trabalhar, essa forma pode nos ajudar ao em alguns c´ alculos, alculos, tais como: 6
i(θ +φ)
zw = = r rρe ρe • zw • = e • z = r e r e− • z z¯ = re z w
r i(θ φ) rho
n
−
n inθ iθ
= cos x cosh y Exemplo 1.7.1. Demonstre que cos z = r eiθ . Exemplo 1.7.2. Demonstre que eln z = re
1.8 1.8
− i sin x sinh y.
O Teore eorema ma de Moiv Moivre re
Sejam z Sejam z 1 = r 1 (cos θ1 +i sin θ1 ) e z e z 2 = r = r 2 (cos θ2 +i sin θ2 ). Usando Usand o identidades identidad es trigonom´ trigon om´etricas etric as e alguma algebra a´lgebra n´ os podemos demonstrar que os
• z z = r r (cos(θ (cos(θ + θ + θ ) + i + i sin(θ sin(θ + θ + θ )) (cos(θ − θ ) + i + i sin(θ sin(θ − θ )) • = (cos(θ 1 2
z1 z2
1 2
r1 r2
1
1
2
2
1
1
2
2
A f´ormula ormula de De Moivre ´e a seguinte: z n = [r(cos θ + i + i sin θ)]n = r n (cos nθ + nθ + i i sin nθ) nθ)
1.9
Ra´ Ra´ızes de N´ umeros umeros Complexos
Um m´ umero ume ro ´e dito dit o uma ra´ız ız n-´esima esi ma de um n´ umero umero complexo complexo z se wn = z , e escrevemos w = z = z 1/n . Do teorema de De Moivre podemos mostrar que, se n se n ´e um inteiro positivo, pos itivo, z 1/n =
1/n
{r(cos θ + i + i sin θ)}
= r 1/n
θ + 2kπ 2 kπ cos n
+ i sin
θ + 2kπ 2 kπ n
k = 0, 1, 2,...,n
− 1.
donde se segue que existem n valores diferentes para z 1/n , ist´o ´e, e, n difere dif erentes ntes ra´ızes ıze s n´esimas esimas de z, desde que z que z = 0.
1.10
As n-´ n -´ esimas esi mas Ra R a´ızes da Unidad Un idade e
Considere a equa¸c˜ cao a˜o z n = 1 onde n ´e um inteiro positivo. pos itivo. As en´esimas esi mas ra´ızes ıze s da unidad uni dadee s˜ ao ao dadas por z n = cos cos 2kπ/n + kπ/n + i i sin2kπ/n sin2kπ/n = = e e 2kπi/n , k = 0, 1, 2,...,n Se w = e = e 2πi/n, ent˜ao ao as n ra´ıze ız es s˜ao ao 1, w , w 2 ,...,wn−1 . quarta s ra´ ra´ızes de 2. Exemplo 1.10.1. Encontre as quartas E ncontre todas as ra´ ra´ızes c´ ubicas de i. Exemplo 1.10.2. Encontre 7
− 1.
1.11
Exerc´ Exerc´ıcios
1. Reduza a forma a + bi + bi cada cada uma das express˜ oes oes dadas abaixo
√ − 2i) − i[2 − i(√ 3 + 4)] 3i) b. (1 + )(− + 3i c. 7 − 2i(2 − ) a. ( 3
1 3
6 5 2i 5
3i)2 d. (2 + 3i e.
f. g. h.
3 i 2i 1 4 3i i 1 1 (1+i (1+i)2
− − − −
1+i 1+i 30 1 i
−
n=0 n 2. Mostre que N i = 1, 1 + i, i ou zero, conforme o resto da divis˜ ao a o de N N por 4 seja zero, 1, 2 ou 3, respectivamente.
3. Mostre que (x (x + iy + iy))2 = x 2 4. Mostre que (x (x
yi) − yi)
2
= x 2
2
2ixy.. − y + 2ixy ixy . − y − 2ixy.
5. Mostre que (x (x + iy + iy))2 (x
2
2
= (x2 + y 2 )2 .
n
= (x2 + y 2 )n .
iy ) − iy) 6. Mostre que (x (x + iy + iy)) (x − iy) iy ) n
√
−i 2 = 1. 7. Mostre que 1√ 2+i 2+i 2
8. Mostre que Re Re[[ i(2
− − 3i) ] = −12.
9. Mostre que I m
√ − √ −
(1 i 3)2 i 2
=
√
2(1+2 3 5
1+i tan θ 10. Mostre que 11+i cos 2θ + i + i sin2θ sin2θ. −i tan θ = cos
11. Nos itens abaixo, reduza os n´ umeros umeros z 1 e z 2 a` forma polar e determine as formas polares de z 1 z 2 e z 1 /z 2. Represente esses quatro n´ umeros umeros num gr´ afico. afico.
√ 3 + 3i3i, z = − √ . √ + i 3. b. z = 1 − i, z = −1 + i a. z 1 =
3 i 3 2
2
1
2
2i, z 2 = 2 + i + i.. c. z 1 = 1 + 2i 12. Prove que cos3θ cos3θ = cos3 θ
− 3cos θ sin
2
θ e sin3θ sin3θ =
− sin
3
θ + 3 cos cos2 θ sin θ.
√ = 2√ 2. − √ 13. Mostre que − √ = e 14. Supondo que |z | > |z |, prove que z |z | z |z | e . ≤ ≤ z + z + z |z | + |z | z − z |z | − |z | 2+i 2+i 2 i 3
2
( 3+i 3+i)(1 3i) 5
5 7
2
3
1
2
1
3
2
1
3
8
2
1
3
2
3
√ 15. Prove que |z | ≤ |x| + |y | ≤ 2|z |, onde z = x = x + + iy iy.. 16. Prove que |z | − |z | ≤ |z − z |, quaisquer que sejam os n´ umeros umeros complexos complexos z z 1
2
1
2
1
17. Reduza a` forma r = e = e iθ cada um dos n´ umeros complexos dados abaixo: umeros + i a. 1 + i
− i√ + i 3 c. 1 + i √ d. − 3 − i b. 1
e.
i 1+i 1+i
f.
1+i 1+i 3 3 i
√ √ −
18. Estabele¸ca ca as f´ ormulas ormulas de Euler: eiθ + e−iθ eiθ e−iθ cos θ = e sin sin θ = 2 2i
−
19. Sendo z = re r eiθ , prove que eiz = e = e −r sin θ .
| |
9
e z 2 .
Cap´ıtulo 2 Fun¸ c˜ coes, o ˜es, Limites e Continuidade 2.1
Fun¸ c˜ coes o ˜es Complexas
N´os os definimos uma fun¸c˜ c˜ao ao de uma vari´avel avel complexa w = f ( f (z ) como sendo uma regra que atribui a cada z cada z C um C um n´ umero umero complexo w. Se a fun¸c˜ c˜ao ao for definida somente somente para um conjunto restrito S restrito S , ent˜ao w ao w = = f f ((z ) atribuir´ atribuir´ a a cada z S o n´ umero umero complexo w e n´os os chamare cham aremos mos S de de dom´ınio ıni o da fun¸ func˜ c¸˜ao. ao. O valor da uma fun¸c˜ cao a˜o em z = a = a ´ ´e indicada indica da escrevendo-s escr evendo-see f(a). f(a) .
∈ ∈
∈ ∈
= 1 + i. Exemplo 2.1.1. Considere a fun¸c˜ cao f ao ˜ f ((z ) = z 3 e calcule seus valores para z z = i, z = f (z ) = z 2z z¯ . Encontre f (1 f (1 + i + i)). Exemplo 2.1.2. Suponha que f ( dom´ınio de defini¸c˜ c˜ ao para f ( f (z ) = Exemplo 2.1.3. Qual o dom´
1 . 1+z 1+z 2
Da mesma forma que um n´ umero complexo, podemos escrever uma fun¸c˜ umero c˜ao ao complexa em termo das partes real e imagin´ aria. aria. Podemos escrever f ( f (z ) = f ( f (x + iy + iy)) = u( u (x, y ) + iv + iv((x, y ). A parte real de f ´ f ´e dada da da p or Re((f ) Re f ) = u( u (x, y ). E a parte imagin´ aria aria de f ´ f ´e dada da da por po r I m(f ) f ) = v( v (x, y ). Note que podemos simplificar o conjugado complexo de uma fun¸c˜ c˜ao. a o. Co Com m f ( f (z ) = f ( f (x + iy + iy)) = u( u (x, y ) + iv + iv((x, y ), o conjugado complexo ´e dado por f ( f (¯z ) = f ( f ¯(x + iy + iy)) = u( u (x, y ) ´ f´acil E acil provar que u(x, y ) = e v (x, y ) =
− iv( iv(x, y )
f ( f (z ) + f ( f (¯z ) 2 f ( f (z )
f (¯z ) − f (
2i
. f (z ) = 1/z ? ? Exemplo 2.1.4. Qual o conjugado complexo de f ( 10
ao as partes real e imagin´ aria de f ( f (z ) = z + + (1 ( 1/z ) Exemplo 2.1.5. Quais s˜ N´os os apredemos que um n´ umero umero complexo complexo z = x + iy pode iy pode ser escrito na representa¸c˜ cao a˜o iθ polar z polar z = re r e . O mes m esmo mo ´e v´ valido a´lido para as fun¸c˜ c˜oes oes comple c omplexas. xas. Isto ´e, e, n´ nos o´s podemos po demos escrever escrever f ( f (z ) = f ( f (re iθ ). A fun¸c˜ cao a˜o tamb´ tamb´ em em pode ser escrita escrita em termos termos das partes partes real e imagin imagin´ aria ´ que s˜ao ao fun¸c˜ c˜oes oes das vari´ aveis aveis reais r reais r e θ. θ . Isto ´e feito como segue: f ( f (re iθ ) = u( u (r, θ) + iv + iv((r, θ). cao c˜ ˜ f ( f (z ) = z + + z1 na representa¸c˜ c˜ ao polar polar.. Qua Quais is s˜ ao as Exemplo 2.1.6. Escreva a fun¸
partes real e imagin´ aria da fun¸c˜ c˜ ao?
2.2 2.2
Limi Limite tess de de uma uma Fun¸ un¸ c˜ c˜ ao Com ompl ple exa
Nossa primeira incurs˜ao ao na aplica¸c˜ cao a˜o do c´ alculo alculo a fun¸c˜ c˜oes oes de uma vari´avel avel complexa se d´a com o estudo dos limites. Considere um ponto no plano complexo z complexo z = a e a e que f que f ((z ) seja definida e de valor unico u´nico em alguma vizinhan¸ca ca em torno de a. A vizinhan¸ca ca pode incluir o ponto a, ou podemos omitir a, em cujo caso n´os os diremos que a fun¸c˜ c˜ao ao ´e definida e de valor unico u´nico numa vizinhan¸ca ca excl ex clu u´ıda de a. O limite L de f ( f (z ) com z a ´ a ´e
→ →
lim f ( f (z ) = L
z
→a
Formalmente, ormalmente, o que isso significa ´e que para qualquer qualquer n´ umero umero > 0 n´os os podemos encontrar um δ > 0 tal que f ( f (z ) L < sempre que 0 < 0 < z a < δ . Para que o limite exista, ele dever´a ser independente da dire¸c˜ cao ˜ao em que nos aproximamos de z = a = a.. Note que um limite s´o existe se ele for independente da maneira que nos aproximarmos do ponto em quest˜ ao. ao. Os limites, na teoria das vari´aveis aveis complexas, satisfazem as mesmas propriedades que os limites do caso real. Especificamente, lim f ( f (z ) = A e lim g(z ) = B
|
− |
z
Ent˜ao, ao, o seguinte segui nte ´e v´ alido: alido:
| − |
→a
z
→a
lim f ( + g((z ) = lim f ( f (z ) + g f (z ) + lim g (z ) = A + A + B B
{ } → → lim {f ( f (z ) − g (z )} = lim f ( f (z ) − lim g(z )A − B → → → lim {f ( f (z ) + g + g((z )} = { lim f ( f (z )}{ lim g (z )} = AB = AB → → → f ( f (z ) lim → f ( f (z ) A lim = = se B =0 → g (z ) lim → g( g (z ) B
z
→a
z
a
z
a
z
a
z
a
z
a
z
a
z
z
a
a
z
z
a
z
a
a
Os limites podem ser calculados em termos das partes real e imagin´aria. aria. 11
Seja f = u + u + iv iv,, z = x + x + iy iy,, z 0 = x 0 + iy + iy0 e w0 = u 0 + v + v0 . Ent˜ao ao lim f ( f (z ) = w 0
z
→a
Se, e somente se, lim u(x, y ) = u 0 e lim v (x, y ) = v 0
z
2.3
→a
z
→a
Disc iscos Aber Aberto toss
Frequentemente na an´ alise alise complexa, n´os os queremos considerar uma regi˜ ao ao circular no plano complexo. N´os os chamamos tal regi˜ ao ao de disco. Suponha que o raio seja a. Se os pontos pontos na borda do disco, disco, isto ´e, e, os pontos pontos que se encontram na curva circular que define a borda do disco n˜ ao estiverem estiver em inclu´ıdos ıdos na regi˜ao ao considerada, considerada, n´ os os diremos que o disco ´e aberto. Consid Con sidere, ere, por exempl exemplo, o, um disco disco de raio 1, centrado centrado na origem. origem. N´ os o indicamos escrevendo z < 1. < 1. Se o disco de raio r estiver centrado, ao inv´ es, es, num ponto a, ent˜ao a o n´ os os escrevemos z a < r.
| |
| − |
Exemplo 2.3.1. Calcule limz →3 (iz
− 1)/ 1)/2 no disco aberto |z | < 3 < 3
)(z + i + i)). Exemplo 2.3.2. Calcule limz →i (z 2 )(z z/z z/z n˜ ao existe. Exemplo 2.3.3. Demonstre que o limite limz→0 ¯
2.4
Limite Limitess Env Envolvend olvendo o Infinit Infinito o
Um limite lim z →a f ( f (z ) colapsa ou tende para o infinito limz →a f ( f (z ) =
∞ se, e somente se,
1 = 0. z →a f ( f (z ) lim
O limite a medida que z tende tende para o infinito ´e igual a L se, e somente se, lim f (1 f (1/z /z ) = L
z
→0
Se a equa¸c˜ cao a˜o acima for verdadeira, ent˜ ao ao n´ os os podemos escrever limz →∞ f ( f (z ) = L. L . Finalmente, lim z f ( f (z ) = se, e somente se,
→ → ∞
∞
1 =0 z →0 f (1 f (1/z /z ) lim
Exemplo 2.4.1. Demonstre que
z + + 5 = z →−2 z + + 2 lim
∞
.
12
2.5 2.5
Con Contin tinuida uidade de
Uma fun¸c˜ cao f a˜o f ((z ) ´e cont co nt´´ınua, ınu a, em um ponto po nto z = a,, se as seguintes condi¸c˜ coes o˜es s˜ao ao satisfe sat isfeita itas: s: z = a f (z ) existir; • lim → f ( f (a) existe; • f ( • lim → f ( f (z ) = f ( f (a). z
a
z
a
Exemplo 2.5.1. Suponha que 2
f ( f (z ) =
z para z = i 0 para z = i = i
Demonstre que a fun¸c˜ c˜ ao n˜ ao ´e con cont´ınua. ua . f (z ) = z 3 ´e con co nt´ınua em z = i. i . Exemplo 2.5.2. Demonstre que f (
2.6
Exerc´ Exerc´ıcios
1. Determine as partes real e imagin´ aria de cada uma das fun¸c˜ aria c˜oes oes abaixo: = z 2 a. w = z b. w = c. w = d. e.
+ 3 − 5z +
3 z 5 z+2 z 2 z 4i z +3i +3i
−
− w = − 3iz¯ w = z− z −i
= e z (z f. w = e
− i)
2. Calcule os limites das fun¸c˜ coes o˜es de vari´aveis aveis complexas complexas abaixo: a. limz→3i (z 2
− 5z )
7 z 2 +1 4z +i 5i i z +1 = 1+i 1+i 2
b. limz→i c. limz→
+ 1/z 1 /z + 7 d. limz→∞ z + e. limz→0 z 2 / z 2
||
z¯ f. limz →0 z 2 /z
Re(z )/z z¯ g. limz →0 Re(
)]2 /z h. limz→0 [I m(z )] i. limz→i j.
6z +7 2z 3
− 3 27 limz →i zz− −3
l. limz→0
(1+z (1+z )1/4 1 z 3
−
−
13
3. Sendo a e b n´umeros umeros complexos constantes, prove que lim (az + b + b)) = az 0 + b + b e lim (az 2 + bz + c + c)) = az 02 + bz 0 + c. + c.
z >z0
z >z0
−
−
4. Determine se as seguintes fun¸c˜ c˜oes oes s˜ao ao cont co nt´´ınuas ınu as em z 0 = 0 f (z ) = z z¯ 2/z 2 se z = 0 e f (0) f (0) = 0. 0. a. f ( f (z ) = b. f (
[sin(x [sin(x)y ] x
c. f ( f (z ) = (ez
+
i[1+cos(y [1+cos(y )] y
se z = 0 e f (0) f (0) = i. = i.
1)/z se z 1. − 1)/z = 0 e f (0) f (0) = 1.
14
Cap´ıtulo 3 As Fun¸ c˜ coes o ˜es Deriv Derivada adass e Anal Anal´ıtic ıtica a 3.1 3.1
A Deri Deriv vada ada Defin Definid ida a
Considere um ponto z ponto z 0 no plano complexo que f ( f (z ) seja uma fun¸c˜ cao a˜o tal que seu dom´ dom´ınio contenha uma vizinhan¸ca ca de z 0 . A derivada de f ( f (z ) no ponto z 0 ´e definida definid a pelo limite f ( f (z ) z →z0 z
f (z 0 ) = lim
f (z ) − f ( − z 0
0
• Se esse ponto existir para todos os pontos p ontos num dom´ınio ınio D, n´os os diremos que f ( f (z ) ´e diferenci´ avel em D.
os diremos que f que f ((z ) ´e dife di fere renc nci´ i´avel avel no ponto z ponto z . • No ponto dado, se o limite existir, n´os Podemos reescrever esse limite, fazendo h fazendo h = = z z − z e h → 0, da seguinte forma f ( f (z + h + h)) − f ( f (z ) f (z ) = lim 0
0
0
0
0
h
h
→0
f (z ) ´e dife di ferenc renci´ i´ avel em uma vizinhan¸ca ca do ponto z 0 . Defini¸ c˜ c˜ ao ao 3.1. 3. 1.1. 1. Suponha que f ( Isto Is to ´e, e, n´ os definimos definim os o dom´ dom´ınio D tal que z z 0 < para qualquer > 0. 0 . Se f (z ) existir para todo z D, D , ent˜ ao n´ os dizemos que f ( f (z ) ´e e ana an al´ıtic ıt icaa no ponto z 0 . Se f ( f (z ) for anal´ anal´ıtica em todo o plano complexo, complexo, ent˜ ao n´ os diremos que a fun¸c˜ c˜ ao f ( f (z ) ´e inteira e inteira..
| | − |
∈ ∈
f (z ) = z 2 , encontre sua derivada em qualquer ponto z . Exemplo 3.1.1. Sendo f ( Tendo em vista a defini¸c˜ cao a˜o de derivada, quando f quando f (z ) existe, temos lim [f ( f (z 0 + ∆)
∆
→0
f ( f (z + ∆) − f ( f (z ) − f ( f (z )] = lim lim ∆z = 0 → → ∆z 0
0
∆
0
0
∆
0
Assim, f ´e necessaria neces sariamente mente cont´ cont´ınua em todo to do ponto z 0 onde sua derivada existe. A continuidade continuid ade da fun¸c˜ cao, a˜o , p or´em, em , n˜ao ao implica na derivabilidade da mesma, como por 2 exemplo a fun¸c˜ cao a˜o f ( f (z ) = z . Ela ´e cont´ cont´ınua em todos os pontos, mas sua derivada s´ o existe no ponto z = 0.
| |
15
3.2 3.2
Regr Regras as para para Dife Difere renc ncia ia¸ ¸ c˜ ao d dz
• a = 0, onde a ´e uma constante complexa; af (z ) = af (z ); ); • af ( • z = nz − g ) = f + g + g • (f + g) f (z ) = ∞ a z , ent˜ao f ao f (z ) = ∞ na z − • Se f ( d dz
d n dz
n 1
d dz
n=0
n
n
n
n=1
n 1
f (z ) = 5z 2 + 3z 3z Exemplo 3.2.1. Encontre a derivada de f (
• • • • •
d z e dz
= e z
d sin dz
z = = cos z
d cos dz
z = =
− sin z
d sinh z = = dz
cosh z
d cosh z = = dz
sinh z
3.3 3.3
− 2.
As Reg Regra rass do Prod Produt uto o e do Quoc Quocie ien nte
As regras do produto e do quociente quociente tamb´ tamb´em em se mantˆ mantˆem em para o caso de vari´ aveis complexas. Temos:
• •
d (f g ) dz d dz
= f + g + g
= f g
f g g f g2
−
de f ((z ) = Exemplo 3.3.1. Encontre as derivadas de f
z +1 . 2z +1
f (z ) e g (z ) duas fun¸c˜ c˜ oes anal´ıticas ıticas no ponto z 0 . Ent Entao, ˜ desde Teorema 3.3.1. Sejam f ( que g (z 0 ) = 0, se f ( f (z 0 ) = g( g (z 0 ) = 0, ent˜ ao
f ( f (z ) = lim z →z0 g (z ) z →z0 lim
f (z ) g (z )
Exemplo 3.3.2. Encontre o seguinte limite
lim z
→i z 2 −
z i z + + 1 + i
−
16
3.4
As Equa¸ c˜ coes o ˜es de Cauchy-Riemann
f (z ) de uma fun¸c˜ c˜ ao f ao f = u + iv existe iv existe num ponto z ponto z , ent˜ ao Teorema 3.4.1. Se a derivada f as derivadas parciais de primeira ordem, em rela¸ cao c˜ ˜ a x e y, de cadas uma das partes u e v , existem nesse ponto e satisfazem as a`s condi¸c˜ c˜ oes de Cauchy-Riemann: ∂u ∂v ∂u = e = ∂x ∂y ∂y
∂v − ∂x .
Tam Ta mb´em, f (z ) ´e dada em termos dessas derivadas par parciais ciais pela f´ omula: f (z ) =
∂u ∂v ∂u + i = ∂x ∂x ∂y
− i ∂v ∂y
u(x, y ) e v( v (x, y ),fun¸c˜ c˜ oes cont´ cont´ınuas ınua s com der deriva ivadas das parciais parciai s cont´ cont´ınuas ınu as Teorema 3.4.2. Sejam u( para todo (x, y ). Logo,se ogo,se estas fun¸ coes c˜ ˜ satisfazem as equa¸c˜ c˜ oes de Cauchy-Riemann para todo (x, y ), ent˜ ao a fun¸c˜ caoo ˜ f ( f (z ) = u( u (x, y ) + iv + iv((x, y ) ´e anal´ıtica. ca. coes ˜ s˜ ao anal´ an al´ıticas: ıti cas: Exemplo 3.4.1. Verifique se as seguintes fun¸c˜ a. f ( f (z ) = z 2
f (z ) = Re( Re (z ) b. f ( f (z ) = z 2 c. f (
| |
f (z ) = e¯z d. f (
3.5 3.5
A Repr Repres esen enta ta¸ ¸ c˜ c˜ ao ao Polar Polar das das Equa Equa¸ ¸ c˜ coes o ˜es de CauchyRiemann
Em muitos muitos casos, ´e convenien conveniente te trabalhar-se trabalhar-se com a representa¸ representa¸ c˜ao a o polar de uma fun¸c˜ cao a˜o iθ complexa, complexa, onde escrevemos escrevemos z na na forma z = e = e . Assim f ( f (z ) = u( u (r, θ) + iv + iv((r, θ ) Nesse caso, as equa¸c˜ coes o˜es de Cauchy-Riemann assumem a forma ∂u 1 ∂v ∂v 1 ∂u = e = ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ Essas Equa¸c˜ c˜oes oes se mant´em em v´ alidas, alidas, desde que f ( f (z ) esteja definida em toda uma viziθ0 inhan¸ca ca de um ponto z 0 = r0 e diferente de zero, e as derivadas parciais de primeira ordem ur , vr , uθ , e vθ , existam e xistam e sejam cont´ cont´ınuas em toda a vizinhan¸ ca ca .
−
f a fun¸c˜ cao ˜ quadrada principal f ( f (z ) = Exemplo 3.5.1. Seja f
√ z com z = re
iθ
definido
de tal forma que r > 0 e π < θ < π. π . Essa fun¸c˜ c˜ ao ´e anal´ na l´ıtica ti ca? ?
− −
f (z ) = 1/z existe? exis te? Se sim, quem ´e e f f (z ) na forma polar? Exemplo 3.5.2. A derivada de f ( cao ˜ f ( f (z ) n˜ ao seja anal´ anal´ıtica em algum ponto z 0 , Defini¸ c˜ c˜ ao ao 3.5. 3. 5.1. 1. Suponha que uma fun¸c˜ mas seja anal´ıtica ıtica em e m uma vizinhan¸ vizinh an¸ca ca que contenha z z 0 . Nesse caso, dizemos que z z 0 ´e uma singularidade ou um ponto singular de f ( f (z ). 17
Sejam f Sejam f ((z ) e g(z ) duas fun¸c˜ c˜oes oes anal ana l´ıticas ıti cas,, em algum alg um dom´ınio ınio D. Ent˜ao: ao:
• f ± ± g ta tamb´em s˜ao ao anal ana l´ıticas ıti cas em D. • f ( f (z )g (z ) ´e ana an al´ıtic ıt icoo em D. • Se g(z ) = 0 para todo ponto de D, ent˜ao ao f ( f (z )/g( /g (z ) ser´ se r´a anal´ an al´ıtic ıt icoo em D. cao a˜o de duas fun¸c˜ coes o˜e s anal´ an al´ıtic ıt icas as g (f ( )) ou f ( )) ´e anal´ na l´ıtic ıt icaa em D. • A composi¸c˜ f (z )) f (g (z )) Se f (z ) = 0 em toda a parte par te de um dom´ınio D ınio D,, ent˜ao f ao f ((z ) dever´ a ser constante em • Se f D.
cao f ao ˜ f ((z ) = (z 3 +1)/ +1) /[(z [(z +2)( +2)(z z 2 +3)] ´ +3)] ´e ou nao ˜ anal´ an al´ıtica ıt ica Exemplo 3.5.3. Determine se a fun¸c˜ e determine suas singularidades.
3.6
Fun¸ c˜ coes o ˜es Harmˆ onicas onicas
Uma importante classe de fun¸c˜ c˜oes oes conhecidas como fun¸c˜ c˜oes oes harmˆ onicas desempenham um onicas importante papel em muitas areas a´reas da matem´ atica, atica, f´ısica e engenharia aplicadas. Dizemos que uma fun¸c˜ c˜ao u ao u((x, y ) ´e uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao a˜o harmˆonica onica se ela satisfizer a equa¸c˜ c˜ao ao de Laplace em algum dom´ dom´ınio do plano x-y: ∂ 2 u ∂ 2 u + =0 ∂x 2 ∂y 2 Aqui, n´os os presuminos que u(x, y ) tem a primeira e segunda derivadas parciais cont´ cont´ınuas, tanto em rela¸c˜ cao a˜o a x quanto a y. Vˆe-se e-se que as equa¸c˜ coes o˜es de Cauchy-Riemann podem nos ajudar a encontrar fun¸ c˜ coes o˜es harmˆonicas, onicas, como o pr´oximo oximo teorema ilustra. f (z ) = u( u (x, y ) + iv( iv (x, y ) seja uma fun¸c˜ c˜ ao anal ana l´ıtica ıti ca em um Teorema 3.6.1. Suponha que f ( dom´ınio D. Segue-se que u(x, y ) e v (x, y ) s˜ ao fun¸c˜ coes ˜ harmˆ onicas. v sejam duas fun¸c˜ coes ˜ harmˆ onicas oni cas em um dom´ınio ıni o D. Defini¸ c˜ c˜ ao ao 3.6. 3. 6.1. 1. Suponha que u e v Se suas derivadas parciais de primeira ordem satisfazem as equa¸c˜ c˜ oes de Cauchy-Riemann, ent˜ ao diremos que v ´e o conjugado conjug ado har harmˆ mˆ onico de u. c˜ ao f ( f (z ) = u(x, y ) + iv( iv (x, y ) ser´ a anal´ anal´ıtica se, e somente se, Teorema 3.6.2. Uma fun¸c˜ v (x, y ) for o conjugado harmˆ onico de u(x, y ). c˜ ao u(x, y ) = e −y sin x ´e uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao ˜ harmˆ onica? Se sim, escreva Exemplo 3.6.1. A fun¸c˜ uma fun¸c˜ c˜ ao anal´ an al´ıtica ıt ica f ( f (z ) tal que u seja a parte real.
3.7
Exerc´ Exerc´ıcios
1. Mostre que o produto de duas fun¸c˜ coes o˜e s anal´ an al´ıtic ıt icas as f f e g ´e uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao a˜o anal ana l´ıtica, ıti ca, com derivada (f (f g) = f = f g + f + f g . 2. Prove que o quociente de duas fun¸c˜ c˜oes oe s anal´ an al´ıtic ıt icas as f f e g num ponto z ponto z , onde g onde g((z ) = 0, 2 ´e func˜ c¸˜ao ao anal ana l´ıtica ıti ca e (f /g) /g ) = (gf f g )/g .
−
3. Calcule as derivadas das fun¸c˜ coes o˜es dadas abaixo: 18
2
f (z ) = 1 a. f (
5
4iz − z + 4iz f (z ) = (z − i) (iz + + 1) b. f ( 2
f (z ) = c. f (
f (z ) = d. f (
2
2
z 3i z +3i +3i 1 z
−
4. Use as equa¸ equa¸c˜ c˜oes oes de Cauchy-Riemann Cauchy-Riemann para verificar, verificar, no caso de cada uma das fun¸ c˜oes oes dadas abaixo. Em caso positivo, calcule a derivada f (z ). ). = z 3 a. w = z b. w = e¯z
z¯ c. w = z ( ey d. w = (ey + e−y )sin x + (e = e y (cos x + i + i sin x) e. w = e
y
− e− )cos x
= e −y (cos x + i + i sin x) f. w = e
√ z = √ r[cos(θ/ [cos(θ/22 + i + i sin(θ/ sin(θ/2)] 2)],, 0 < θ < 2π 2 π + 2i) h. w = (z − 2i)/(z + = z (1 − secz ) i. w = z √ j. w = 4 − z √ k. w = 1/(z − 2 2) √ g. w =
4
2
2
l. w =
ez
19
Cap´ıtulo 4 Integra¸ c˜ ao Complexa extremos P e Q se existe uma C C ⊂ C ´e uma curva de extremos
Defini¸ c˜ c˜ ao ao 4.0. 4. 0.1. 1. Dizemos que
fun¸c˜ c˜ ao cont con t´ınua ın ua γ : [a, b]
→ C tal que
x (t) + iy + iy((t); t ∈ [a, [ a, b], γ (a) = P, P , γ (b) = Q } C = {γ (t) = x( Neste caso, γ (t) ´e dita dit a uma parametriza parametr iza¸c˜ c¸˜ ao de C de C e e a orienta¸c˜ cao ˜ da curva ser´ a aquela em que γ (t) est´ a sendo per percorrida, corrida, isto ´e, e, de P P at at´e e Q. Por denotaremos a` mesma curva anterior com a diferen¸ca ca de ser percorrida em sentido cont´ ario, ario, isto ´e, e, de Q at at´e P , P , neste caso, podemos parametrizar esta curva da seguinte seguinte forma = γ 1 (t) = γ ( t); t [ b, a]
−C
−C { − ∈− − } parametriza¸ ametriza¸c˜ c˜ ao γ (t) ´e e C ´e uma curva simples se alguma par Defini¸ c˜ c˜ ao ao 4.0. 4. 0.2. 2. Dizemos que C injetiva. injetiva. A curva ´e dita fechada fechada se seus extremos extremos coincidem. oincidem. A curva ser´ a dita fechada simples se for fechada e a parametriza¸c˜ c˜ ao γ (t) : [a, b] → C for injetiva em [a, b]. cos(t)e ; t ∈ [0, [0, 4π + π/ π /2} n˜ ao ´e simple sim ples s • A curva C C = {γ (t) = cos(t Exemplo 4.0.1. it
nem fechada.
it
• A curva C C = {γ (t) = e ; t ∈ [0, [0 , 2π]} ´e fechada fecha da simple sim ples. s. [0 , 4π]} ´e fechada fecha da mas n˜ ao ´e simp si mples les.. • A curva C C = {γ (t) = e ; t ∈ [0, it
De acordo com um teorema famoso devido a Jordan, toda curva fechada simples divide o plano complexo em duas regi˜oes oes tendo como fronteira, uma regi˜ ao ao interior, Ω, ¯ ilimitada. limitada e outra exterior, C Ω, ilimitada. Al´ em em disso, ambas as regi˜ oes oes s˜ao ao conexas, mais ainda, a regi˜ao ao interior interio r ´e conexo cone xo simples. simple s.
C
C
−
e conexo simples se o interior de Defini¸ c˜ c˜ ao ao 4.0. 4. 0.3. 3. Dizemos que um conjunto conexo w ´ toda curva fechada inscrita em Ω est´ a contida em Ω. Isto ´e, e, Ω ´e um conexo que n˜ ao cont´ con t´em em buraco bu racos. s. Defini¸ c˜ c˜ ao ao 4.0. 4. 0.4. 4. Seja γ : I
→ C, onde I I ´e um intervalo da reta.
Dizemos que γ (t) ´e e diferenci´ avel por partes em I , se for cont´ cont´ınua e γ (t) for cont´ cont´ınua exceto num n´ umero finito de descontinuidades descontinuidades t1 , .. ...t .tn , e em cada descontinuidade, os limtes γ (ti+ ) = lim+ γ (t), γ (t− i ) = lim γ (t) t
→ti
t
−
→ti
existem. 20
Seja γ Seja γ ((t) = x( x (t) + iy + iy((t), t [a, [ a, b] uma curva no plano complexo. Definimos a integral de curva como sendo
∈
b
b
b
γ (t)dt := dt :=
a
x(t)dt + dt + i i
a
y (t)dt
a
Ent˜ao a o s˜ao a o v´alidas alidas as seguintes seguintes propriedades: propriedades: se γ (t), ζ (t) s˜ao ao duas fun¸c˜ coes o˜es definidas no intervalo [a, [a, b] e c ´e uma constante const ante complexa, compl exa, ent˜ ao ao b a
b a
b a
dt + ζ (t)dt + ζ (t)dt = dt = γ (t)dt + • γ (t) + ζ • cγ (t)dt = dt = c c γ (t)dt • γ (t)dt ≤ |γ (t)|dt C uma curva contida em Ω Ω ⊂ C de extremos P P e Q Q parametrizada Defini¸ c˜ c˜ ao ao 4.0. 4. 0.5. 5. Seja C por z (t) = x(t) + iy( iy (t), a ≤ t ≤ b, diferenci´ avel por partes, com extremos z (a) = P e z (b) = Q. Ent˜ Ent˜ ao a integral complexa de uma fun¸c˜ cao ˜ complexa comple xa cont´ cont´ınua ınu a f : Ω ∈ C → C C no sentido de P a Q ´e e ao longo de C b a
b a
b a
b a
Q
f ( f (z )dz =
b
f ( f (z )dz := :=
P
C
f ( f (z (t))z ))z (t)dt
a
f (z ) = u( u (x, y ) + iv + iv((x, y ), ent˜ ao Observa¸ c˜ c˜ ao ao 4.0. 4. 0.1. 1. Se f ( + iv)( )(dx + idy f ( f (z )dz = (u + iv dx + idy)) = udx vdy + vdy + i i((udy + udy + vdx vdx))
−
isto ´e, e,
f ( f (z )dz = = udx − vdy + vdy + i i udy + udy + vdx C C C C C Lembre-se que a defini¸c˜ c˜ ao de integral de d e linha ´e: e: C udx = udx = u(x(t), y (t))x ))x (t)dt. dt.
b a
it
[0 , 2π ]}, calcule as integrais: C = {z (t) = e ; t ∈ [0,
Exemplo 4.0.2. Sendo a. b.
1 z
C dz C z dz . n
Teorema 4.0.1. Se f : Ω
cont´ınua ınu a e possui possu i uma primiti pri mitiva va F : Ω → C, isto is to ´e, e, → C ´e cont´
∈ C, ent˜ ao para toda curva F (z ) = f ( f (z ) para todo z todo z ∈ curv a cont´ cont´ınua ınu a e C C 1 por partes de extremos
P e Q tem-se
Q
f ( f (z )dz = F ( F (Q)
P
− F ( F (P ) P )
Inde pendˆ encia enc ia de parame parametriz triza¸ a¸ c˜ cao: ˜ Seja z 1 (t), t Teorema 4.0.2. Independˆ
∈ [a, b] e supon-
hamos que t = t = h h((s) onde h : h : [c, d] [a, [ a, b] ´e crescente crescent e sobrejeti sob rejetiva va e com der deriva ivada da cont´ cont´ınua, ınua , denotaremos com z 2 (s) = z 1 (h(s)) assim )) assim
→
C = {z (t); t ∈ [a, [ a, b]} = {z (s); s ∈ [c, [ c, d]} 1
Ent˜ ao,
C
2
b
f ( f (z )dz =
a
b
f ( f (z 1 (t))z ))z (t)dt = dt = 1
21
a
f ( f (z 2 (s))z ))z 2 (s)ds.
As seguintes propriedades s˜ ao ao v´alidas alidas para a integra¸c˜ cao a˜o complexa:
f (z )dz + + C g( g(z )dz • C f ( f (z ) + g + g((z )dz = C f ( f (z )dz , para k ∈ C • C kf k f (z )dz = k C f ( f (z )dz f (z )dz = = − C f ( • −C f ( f (z )dz , para C = C∞ ∪ C∈ • C f ( f (z )dz + + C f ( e cont´ cont´ınua ınu a e possui possu i uma primiti pri mitiva va F : Ω → C, isto is to ´e, e, Teorema 4.0.3. Se f : Ω → C ´ ∈ Ω, F (z ) = f ( f (z ) para todo z todo z ∈ Ω , ent˜ ao para toda curva cur va cont´ cont´ınua e C C por partes de extremos ∞
∈
1
P e Q tem-se:
Q
f ( f (z )dz = F ( F (Q)
P
Exemplo 4.0.3. Calcule
F (P ) P ) − F (
C f ( f (z )dz onde:
• f ( f (z ) = sin(z sin(z ) C = segmento de reta de P = 0 a Q = i = i • f ( f (z ) = e , C =circunferˆ circun ferˆencia enci a unit´ uni t´ aria no sentido antihor´ ario. z
Exemplo 4.0.4.
= x a. Reta y = x
Calcule C ¯zdz zdz , de P = 0 a Q = i = i + + 1, 1, atrav´es es da curva curv a
abola y = x = x 2 . b. Par´ 1 + i + i a 1 + 2i 2i Exemplo 4.0.6.
−1 ≤ t ≤ 4. 4 . 4.1 4.1
2
2
C (x + iy )dz , onde C C ´e o contorno contorno que vai de 0 a 1 + i + i e de zdz onde o contorno C ´e defin Calcule C ¯zdz onde de finid idoo por x = 3t + it + it e y = t ,
Exemplo 4.0.5. Calcule
2
2
O Teo Teore rema ma de de Cauc Cauch hyy-Go Gour ursa satt
4.1.1
Dom´ Dom´ınios Simplesmente e Multiplamente Multiplamente Conexo
Na discuss˜ao ao que segue nos concentraremos em integrais de contorno onde o contorno ´e uma curva fechada simples com uma orienta¸ c˜ c˜ao ao positiva (sentido anti-hor´ ario). ario). Relembrando, Relembr ando, um dom´ dom´ınio D ´e dito simplesmen simplesmente te conexo se todo contorno contorno fechado fechado simples que se estende inteiramente inteiramente em D puder ser contra´ contra´ıdo em para um ponto sem deixar D. Em outras palavras, D n˜ao ao possui p ossui “buracos”. “bura cos”. Um dom do m´ınio que q ue possui p ossui “buracos”´ “bura cos”´e dito multiplamente conexo.
C
C
4.1. 4.1.2 2
Teore eorema ma de Cauc Cauch hy
Em 1825, o matem´atico atico francˆ francˆes es Cauchy Cauchy provou provou um dos mais importantes importantes teoremas em an´alise alise complexa. O teorema de Cauchy diz: “Suponha que uma fun¸c˜ c˜ ao f f seja se ja anal´ıtica ıtica em um dom´ dom´ınio simplesmente simple smente conexo D e que f seja sej a cont´ cont´ınua ınu a em D. Entao, ˜ para ara todo todo contorno ontorno fecha fechado do simple simples s em D, f (z )dz = 0.” C f ( Em 1883, o matem´atico atico francˆ francˆes es Edouard Goursat demonstrou demonstrou o teorema de Cauchy Cauchy sem a considera¸c˜ cao a˜o da continuidade de f . A ves˜ao ao modificada resultante do teorema de Cauchy ´e conhecida como Teorema de Cauchy-Goursat:
C
22
Suponhaa que uma fun¸ func˜ c¸˜ ao f anal´ıtica ıtica em um dom´ dom´ınio simplesmente simples mente Teorema 4.1.1. Suponh
conexo D. Ent˜ ao, para todo contorno C simples C simples fechado em D, C f ( f (z )dz = 0. z
Exemplo 4.1.1. Calcule
C e dz onde onde C ´ ´e a curva mostrada na figura abaixo.
Exemplo 4.1.2. Calcule
C
4.1.3
dz , z2
onde ´e a elip el ipse se (x
C C
− 2)
2
2 + (y−45) = 1.
Teorema de Cauchy-Goursat Cauchy-Goursat para Dom´ Dom´ınios Multiplamente Multiplamente Conexos
or anal´ıtica ıtica em um dom´ dom´ınio multiplamente multiplam ente conexo cone xo D, ent˜ao ao podemos concluir que SeC f ( f f ff ( for z )dz = = 0 para todo contorno fechado simples C em D. 23
Para come¸car, car, suponha que D que D seja seja um dom do m´ınio duplame d uplamente nte conexo co nexo e que C que C e C 1 sejam contornos simples fechados de modo que C 1 cerque o “buraco” no dom´ dom´ınio e seja interior a C .
Sup onhaa tamb´em Suponh em que f seja anal´ anal´ıtica em cada contorno contorno e em cada ponto interior de C , mas exterior a C 1 . Quando introduzimos o corte AB corte AB apresentado apresentado na figura anterior (b), a regi˜ ao ao limitada pelas pel as curvas ´e simples s implesmente mente conexa. conex a. Agora, a integral de A de A a att´e B tem um valor oposto ao da integral de B de B para A para A,, e assim f ( f (z )dz = = 0 ou C 1
f ( f (z )dz =
C
f ( f (z )dz
C 1
O ultimo ul timo resultado resul tado ´e alguma a lgumass vezes veze s chamado cha mado de princ´ p rinc´ıpio ıpio de deforma¸ defor ma¸ c˜ao ao de contornos. contornos. pois podemos pensar o contorno C 1 como uma deforma¸c˜ c˜ao ao cont co nt´´ınua ınu a de C . Exemplo 4.1.3. Calcule
dz , z i C onde C ´ ´e o contorno exterior indicado na figura:
−
24
Exemplo 4.1.4. Calcule
5z + + 7 dz, 2 2z 3 C z + 2z
−
onde C ´ ´e o c´ırcu rc ulo z
| − 2| = 2
Se C , C 1 e C 2 forem os contornos fechados simples (como na figura abaixo) e se f for anal´ anal´ıtica em cada c ada um dos trˆes es contornos, bem b em como em cada ponto interior a C mas exterior tanto a C 1 como a C 2 , ent˜ao ao introduzindo cortes, obtemos a partir do Teorema de Cauchy-Gours Cauchy-Goursat at que C f ( f (z )dz + + C 1 f ( f (z )dz + + C 2 f ( f (z )dz = = 0. Logo,
f ( f (z )dz =
C
f ( f (z )dz + +
C 1
f ( f (z )dz
C 2
O proximo teorema resumir´ a o resultado geral para um dom´ dom´ınio multiplamente conexo com n “buracos”: cao ˜ Teorema 4.1.2. Considere C, C 1 ,...,C n curvas fechadas simples com uma orienta¸c˜ positiva de modo que C, C , C 1 ,...,C n sejam interiores a C po C por´ r´em em as regi˜ regioes ˜ interiores a cada C k , k = 1,..n, ,..n, n˜ ao tenham pontos em comum. Se f fo f forr anal´ıtica ıtica em cada contorno e em cada ponto interior a C por´ C por´em em exterio exte riorr a todos C k , k = 1,..n, ,..n, ent˜ ao
C
Exemplo 4.1.5. Calcule
n
f ( f (z )dz = f ( f (z )dz. k=1
C k
dz 2 C z + 1
onde C ´ ´e o c´ırcu rc ulo z = 3.
| |
25
4.2
F´ ormulas Integrais de Cauchy ormulas
J´a vimos a importˆancia ancia do teorema de Cauchy-Goursat no c´ alculo das integrais de conalculo torno. Nesta se¸c˜ cao, a˜o, examin examinarem aremos os diversa diversass outras outras conseque consequenci ncias as do Teorema eorema de Cauchy Cauchy-Goursat.
4.2. 4.2.1 1
Prim Primei eira ra F´ ormula ormula
Iniciaremos Iniciaremos pela f´ ormula ormula integral integra l de Cauchy. A id´eia eia para p ara o pr´ oximo oximo teorema teor ema ´e a seguinte: segui nte: se f se f for anal´ıtica ıtica em um dom´ dom´ınio simplesmente simple smente conexo cone xo e z 0 ´e qualquer qualqu er ponto de D de D,, ent˜ao ao o quociente f ( f (z )/(z z 0 ) n˜ao ao ´e anal´ na l´ıtic ıt icoo em D. Ent˜ao, ao, a integral de f ( f (z )/(z z 0 ) n˜ao ao ´e necessaria nece ssariamente mente zero, zero , por´em em tem, conforme confo rme veremos, o valor 2πif 2πif ((z 0 ).
−
− −
f anal´ an al´ıtica ıti ca em e m um dom´ınio ıni o simple sim plesmen smente te conexo D, e seja C um Teorema 4.2.1. Seja f contorno fechado simples localizado inteiramente no interior de D. Se z 0 for qualquer ponto dentro de C , ent˜ ao 1 f ( f (z ) f ( f (z 0 ) = dz 2πi C z z 0 ou f ( f (z ) = f ((z 0)2πi )2πi dz = f z 0 C z
−
−
Exemplo 4.2.1. Calcule
2
z − 4z + + 4 z + + 1
C
dz
onde C ´ ´e o c´ırcu rc ulo z = 2
| |
Exemplo 4.2.2. Calcule
z dz 2 +9 z C
onde C ´ ´e o c´ırcu rc ulo z
| − 2i| = 4.
4.2. 4.2.2 2
Segu Segund nda a F´ ormula ormula
Podemos agora, usar o Teorema anterior para demontrar que uma fun¸ c˜ c˜ao ao anal ana l´ıtica ıti ca possu po ssuii derivadas de todas to das as ordens; orde ns; isto ´e, e, se f for anal´ıtica ıtica em um ponto z ponto z 0 , ent˜ao f ao f , f , f ,...,f (n),... e assim por diante s˜ao ao tamb´ ta mb´em em anal´ an al´ıtic ıt icas as em z 0 . Al´em em disso, os valores das derivadas f (n) (z 0 ), n = 1, 2, 3,... s˜ao a o definidos por uma f´ormula ormula silimar a do teorema anterior. f anal´ nal´ıtica ıti ca em e m um dom´ınio ıni o simplesm simp lesmente ente conexo D, e C um Teorema 4.2.2. Considere f a contorno fechado simples localizado inteiramente dentro de D. Se z 0 for qualquer ponto interior a C , ent˜ ao n! f (z 0 ) = 2πi (n)
f ( f (z ) dz. z 0 )n+1 C (z
26
−
Exemplo 4.2.3. Calcule
z + + 1 dz, 4 4z 3 C z + 4z
onde C ´ ´e o c´ırcu rc ulo z = 1.
| |
Exemplo 4.2.4. Calcule
z 2 + 3 dz, i)2 C z (z
onde C ´ ´e o contorno da figura abaixo:
−
27
Cap´ıtulo 5 S´ eries e Res´ıduos 5.1
Sequˆ Seq uˆ encia enciass e S´ erie eriess
Uma sequˆ seq uˆenci en cia a z n ´e uma um a fun¸ fu n¸c˜ c˜ ao cujo cuj o dom´ınio ıni o ´e o conjunto conjun to de inteiros int eiros Defini¸ c˜ c˜ ao 5. 5 .1.1. .1 . Uma
{ }
positivo positivos; s; em outras outras palavr palavras, as, para para cada inteiro inteiro n = 1, 2, 3,... designamos um n´ umero complexo z n . Por exemplo, exemp lo, a sequˆencia encia 1 + i + in ´e
{
}
1 + i, + i,
0,
↑
↑
1
− i, ↑
2,
↑
1 + i, ...
↑
n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 ... Se limn→∞ z n = L, L , dizemos dizemo s que a sequˆencia encia z n ´e convergente. Em outras palavras, z n converge para todo n´ umero umero L se, para cada n´ umero umero positivo , um N N puder ser determinado de modo que z n L < sempre que n que n > N . Confome indicado indicado na figura abaixo, abaixo, quando uma sequˆ sequˆencia encia z n converge para L, todos os termos da sequˆ sequˆencia encia (exceto um n´ umero finito) est˜ ao no interior de qualquer ao vizinhan¸ca ca de L de L..
{ }
Exemplo 5.1.1.
{ }
| − |
{ }
A sequˆ seq uˆenci en cia a converge, pois in+1 n
in+1 lim = 0. n→∞ n Conforme vemos
−1, − 2i , 13 ,... 28
e da figura figura 5.2, os termos termos das sequˆ sequˆ encia encia giram giram em formato formato espiral espiral em dire¸ dire¸ c˜ ao ao ponto z = 0. O seguinte segui nte teorema teor ema ´e intuitivo: Teorema 5.1.1. Uma Uma sequˆ seq uˆenci en cia a z n converge para um n´ umero complexo L complexo L se se e somente
{ { }
se Re Re((z n) convergir para Re Re((L) e I m(L) e I m(z n) convergir para I m(L). enc ia de Exemplo 5.1.2. Verificar a convergˆencia
ni n+2i +2i
erie erie infinita infinit a de n´ umeros complexos Defini¸ c˜ c˜ ao ao 5.1. 5. 1.2. 2. Uma s´
∞ z = z + z + z + z + z + z + z + ... + ... + + z z + ... + ... k
1
2
3
4
n
i=1
´e convergente se a sequencia de somas parciais S n , onde
{ { }
S n = z 1 + z + z 2 + ... + ... + + z z n , convergir. Se S n
diz emos que a soma som a da s´erie eri e ´e e L. → L quando n → ∞, dizemos
Defini¸ c˜ c˜ ao ao 5.1. 5. 1.3. 3. A s´erie
∞ az −
k 1
k=1
´e cham ch amad adaa s´erie er iess geom´etrica etr ica e converge conv erge para a 1
− z
quando z < 1 < 1 e diverge quando z
1 . | | ≥ 1.
| |
Exemplo 5.1.3.
∞ (1 + 2i2i)
k
k=1
∞ z ´e convergente, converge nte, ent˜ ao lim →∞ z = 0. divergen Se lim →∞ z = 0, ent˜ ao ∞ z ´e dive rgente. te.
Teorema 5.1.2. Se Teorema 5.1.3. Exemplo 5.1.4.
5k
k=1 k n
n
n
k=1 k
∞ k + 5i5i k
k=1
29
n
Uma s´eri er ie Defini¸ c˜ c˜ ao ao 5.1. 5. 1.4. 4. Uma
∞ z ´e absol ab solutam utamente ente convergente converge nte se ∞ k=1 k
k=1
|z | convergir. k
Assim como em C´alculo alculo real, convergencia absoluta implica em convergencia. Verifi que se a s´erie eri e Exemplo 5.1.5. Verifique
∞ (i /k ) ´e absolut abs olutamen amente te convergente. converge nte. k
k=1
2
Os dois teoremas a seguir s˜ao a o as vers˜oes o es complexas dos testes da raz˜ ao a o e da raiz encontrados no c´ alculo: alculo: Teorema 5.1.4. Supondo que
de modo que
∞ z sendo uma s´erie erie de termos complexos complexos n˜ ao nulos z lim = L. →∞ z k=1 k
n+1
n
n
1 , ent˜ 1. Se L < 1, ao a s´erie erie converge absoluta a bsolutamente. mente. 2. Se L > 1 ou L =
eri e diverge. div erge. ∞, ent˜ ao a s´erie
3. Se L = 1, o teste n˜ ao ´e conclus conc lusiv ivo. o. Teorema 5.1.5. Supondo que
de modo que
∞ z sendo uma s´erie erie de termos complexos complexos n˜ ao nulos lim = L. |z | = L. k=1 k
n
n
n
→∞
1 , ent˜ 1. Se L < 1, ao a s´erie erie converge absoluta a bsolutamente. mente. 2. Se L > 1 ou L =
eri e diverge. div erge. ∞, ent˜ ao a s´erie
3. Se L = 1, o teste n˜ ao ´e conclus conc lusiv ivo. o.
5.2 5.2
S´ erie eriess de Potˆ enci encia a
A no¸c˜ cao a˜o de uma s´erie erie de potˆ po tˆencias encia s ´e importante impo rtante no estudo estud o de fun¸c˜ coes ˜ anal´ıticas. ıtica s. Uma s´erie erie infinita infinit a da forma: forma :
∞ a (z − z ) = a + a + a (z − z ) + a + a (z − z ) + ... k
0
k
0
1
0
2
0
2
k=0
onde os coeficientes ak s˜ao ao constantes complexas, ´e chamada s´erie er ie de potˆ enci en cias as em z z 0 . A s´erie eri e de d e potˆ p otˆencias enc ias acima, aci ma, est´ esta´ centrada em z em z 0 , e o ponto complexo z complexo z 0 ´e refe re feri rido do ´ conveni como com o o centro cent ro da s´erie. eri e. E co nveniente ente tamb´em em defin d efinir ir (z (z z 0 )0 = 1 mesmo quando z quando z = z 0 . Toda od a s´erie erie de potˆencias encia s complexas comple xas tem um raio de convergˆencia encia R. An´alogo alogo ao conceito de um intervalo intervalo de convergˆ encia encia no c´ alculo alculo real, quando 0 < R < , uma s´erie eri e de potˆencias encia s complexas compl exas tem um c´ırculo ırcul o de convergˆencia encia definido defini do por z z 0 = R = R.. A s´erie erie de potˆencias encia s converge absolutamente absolu tamente para todo tod o z que que satisfaz z z 0 < R e diverge diverge para z z 0 > R. O raio R de convergˆencia encia pode po de ser:
−
−
∞ | − | | − − |
| − |
erie converge somente em z = z = z ). • zero (nesse caso a s´erie umero finito finito (nesse (nesse caso a s´ erie erie conve converge rge em todos os pon pontos tos interi interiores ores do • um n´umero c´ırculo |z − z | = R = R), ), ou 0
0
30
• ∞ (nesse caso a s´erie erie converge para todo z todo z ). ). En contre o raio de convergˆencia enci a da s´erie eri e Exemplo 5.2.1. Encontre
∞ (z
k+1
/k) /k)
k=1
. En contre o raio de convergˆencia enci a da s´erie eri e Exemplo 5.2.2. Encontre
∞ (−1) k=1
k+1
(z 1 k!
− − i)
k
. Exemplo 5.2.3. Encontre En contre o raio de convergˆencia enci a da s´erie eri e
∞ 6k + 1 (z − 2i)
k
k=1
2k + 5
.
5.3
S´ erie erie de Taylo Taylor r
A correspondˆencia encia entre um n´ umero umero complexo z dentr z dentroo do c´ırculo de convergˆencia encia e o ∞ k n´umero umero para o qual a s´erie erie k=1 ak (z z 0 ) converge tem valor unico. u´nico. Desse modo, uma s´erie erie de potˆencia encia define ou representa uma fun¸ c˜ao ao f ; f ; para um z especificado no interior do c´ırculo de convergˆ encia, encia, o n´ umero L para o qual a s´erie erie de potˆencias encias converge ´e definido como sendo o valor de f em z , isto is to ´e, e, f ( f (z ) = L. Vamos amos aprender agora alguns fatos importantes a respeito da natureza dessa fun¸ c˜ao ao f . f . Na se¸c˜ c˜ao ao anterior, anterio r, vimos que toda tod a s´erie erie de potˆencias encia s tem um raio de convergˆencia encia R. ∞ Consideraremos Consideraremos nas discurss˜ discurss˜ oes oes dessa se¸c˜ cao a˜o que uma s´erie eri e de potˆ po tˆencias enc ias k=1 ak (z z 0 )k tem um raio de convergˆencia encia R positivo ou infinito.
−
31
−
Os pr´oximos oximos trˆes es teoremas apresentar˜ ao alguns fatos importantes a respeito da naao tureza turez a de uma s´erie erie de potˆencias encia s dentro do seu c´ırculo de convergˆencia encia z z 0 = R, R = 0.
| − − |
∞ a (z −z ) representa uma fun¸c˜ ca˜ o cont´ co nt´ınua ın ua |z − z | = R f no f no interio inte riorr do seu c´ırculo de convergˆencia enc ia | = R,, R = 0. − z ) pode ser integrada termo a Uma Um a s´erie er ie de potˆenci en cias as ∞ a (z −
U ma s´erie er ie de potˆenci en cias as Teorema 5.3.1. Uma
k
k=1
0
k
0
Teorema 5.3.2.
k
k=1
0
k
termo no interior interi or do seu c´ırculo de convergˆ encia encia z z 0 = R, R = 0, para qualquer contorno C que se loc localize alize inteiramente dentro do c´ırculo de convergˆ encia. encia.
| | − − |
∞ a (z − z )
Uma s´erie er ie de potˆenci en cias as Teorema 5.3.3. Uma
k=1
k
pode ser diferenciada termo a z 0 = R = R,, R = 0.
k
0
termo no interior interio r do seu c´ırculo de convergˆ encia encia z
| | − |
Sup onha que uma s´erie Suponha erie de potˆencias encia s repres r epresente ente uma fun¸ c˜ao f ao f para para z z 0 < R, R = 0; isto ´e
|− |
∞ f ( f (z ) = a (z − z ) = a + a + a (z − z ) + a + a (z − z ) + a (z − z ) + ...(1) ...(1) k
0
k
0
1
0
2
0
2
3
0
3
k=0
As derivadas de f s˜ao ao f (z ) =
∞ ka (z − z ) − = a + 2a2a (z − z ) + 3a3a (z − z ) + ...(2) ...(2) k
0
k 1
1
2
0
3
0
2
k=1
∞ k(k − 1)a 1)a (z − z ) − = 2.1a + 3. 3 .2a (z − z ) + ... + ...(3) (3) ∞ f (z ) = k(k − 1)(k 1)(k − 2)a 2)a (z − z ) − = 3.2.1a + ... + ...(4) (4)
f (z ) =
k
k 2
0
2
3
0
k=2
k
0
k 3
3
k=3
e assim por diante. Cada uma das s´eries eries diferenci´ difer enci´ aveis aveis tem o mesmo raio de convergˆencia encia da s´erie erie original. origin al. Al´em em disso, como a s´erie erie de potˆencias encias original representa uma fun¸ c˜ao ao diferenci´ avel avel f dentro do seu c´ırculo de convergˆ encia, encia, concluimos que, quando R = 0, uma s´erie eri e de potˆencias enc ias representa represen ta uma fun¸c˜ c˜ ao anal ana l´ıtica ıti ca no interi int erior or do seu c´ırculo de convergˆencia. enci a. Existe uma rela¸c˜ c˜ao ao entre os coeficiente coe ficientess ak e as derivadas de f . f . Calcul Calculando ando (1), (1), (2), (3) e (4) em z em z = z 0 , obtemos
f ( f (z 0 ) = a 0 , f (z 0 ) = 1!a 1!a1, f (z 0 ) = 2!a 2!a2 e f (z 0 ) = 3!a 3!a3 respectivamente. em geral, f (n) (z 0 ) = n! n!an ou f (n) (z 0 ) an = ,n n!
0 .(5) ≥ 0.
Quando n Quando n = = 0, interpr i nterpretamo etamoss a zero-´ z ero-´esima esima derivada como c omo f f ((z 0 ) e 0! = 1. Substituindo (5) em (1), temos
∞ f f ( f (z ) =
(k)
k=0
(z 0) (z k! 32
k
− z ) .(6) 0
Esta Es ta s´erie er ie ´e deno de nomi mina nada da S´ para f centrada centrada em z em z 0 . erie er ie de Taylor Taylo r para f Vimos que uma s´erie erie de potˆencias encia s com raio de convergˆencia encia n˜ ao nulo representa uma fun¸c˜ c˜ao ao anal´ıtica. ıtica. Po Porr outro outro lado, lado, se nos for dada uma fun¸ c˜ao ao f f que seja anal´ıtica ıtica em algu al gum m dom do m´ınio ın io D, podemos represent´ a-la a-la por po r uma s´erie erie de potˆencias encia s da forma (6)? Como uma s´erie erie de potˆencias encias converge em um dom´ dom´ınio circular, e um dom´ dom´ınio D geralmente n˜ ao ao ´e circular, circu lar, a quest˜ questao a˜o se torna: podemos expandir f expandir f e em m uma u ma ou mais mai s s´eries eri es de potˆencia encia que sejam v´ alidas alidas em dom´ınios ınios circula c irculares, res, todos tod os contidos conti dos em D em D?? Esta quest˜ao ao ´e respondid resp ondidaa no pr´ oximo oximo teorema. f anal´ nal´ıtica ıti ca no interio inte riorr de um dom´ınio ıni o D e seja z 0 um ponto Teorema 5.3.4. Considere f a em D. Ent˜ ao f tem f tem uma representa¸c˜ c˜ ao em s´erie er ie
∞ f f ( f (z ) =
(k)
(z 0 ) (z k!
k=0
k
− z ) (7) 0
v´ alida para o maior c´ırculo C com C com centro em z 0 e raio R que se localiza inteiramente no interior de D. Uma s´erie erie de Taylor com centro z = z = z 0
∞ f f ( f (z ) =
(k)
k=0
(0) k z k!
´e referi ref erida da como com o s´ erie eri e de Maclau Mac laurin rin . ao em s´erie erie de Maclar Maclarin in de f ( f (z ) = Exemplo 5.3.1. Determine a expans˜ f (z ) = Exemplo 5.3.2. Expanda f (
5.4
1 em e m 1 z
−
1 (1 z )2
−
uma s´erie erie de Taylor com z 0 = 2i.
S´ erie erie de Laurent
Se uma fun¸c˜ cao a˜o complexa f complexa f n˜ao ao for anal´ anal´ıtica em um ponto z ponto z = = z z 0, ent˜ao ao esse ponto pont o ´e dito ser uma singularidade ou um ponto singular da fun¸c˜ cao. a˜o. Por exemplo, os n´ umeros umeros complexos z = 2i e z = 2i s˜ao ao singularidades da fun¸c˜ cao a˜o 2 s˜ao ao singularidades da fun¸c˜ cao a˜o f ( f (z ) = z/ z /(z + 4), pois f ´ f ´e descont´ des cont´ınua ınua em cada cad a um desses des ses pontos. Nesta se¸c˜ cao, a˜o, estamos interessados em um novo tipo de expans˜ ao ao em s´erie er ie de p otˆenci en cias as de f f em torno de uma singularidade erie erie envolver´ a p otˆenci en cias as singularidade isolada z 0 . Essa nova s´ inteiras negativas e n˜ ao ao negativas de z de z z 0.
−
−
Defini¸ c˜ c˜ ao ao 5.4. 5. 4.1 1 (Singularidades Isoladas). Suponha que z = z 0 seja uma singularidade
de uma fun¸c˜ cao ˜ complexa f . f . O ponto z = z 0 ser´ a uma singularidade isolada da fun¸c˜ c˜ ao f se existir alguma vizinhan¸ca ca retirada, ou disco aberto perfurado, 0 < z z 0 < R de z 0 para os quais f s f sej ejaa anal´ an al´ıtica. ıti ca.
| − − |
Por exemplo, vimos que z = 2i e z = 2i s˜ao ao singularidades de f ( f (z ) = z/( z/ (z 2 + 4). Tanto 2i como 2i s˜ao ao singul singulari aridade dadess isolad isoladas, as, pois f f ´e anal´ anal´ıtica em todo to do ponto po nto na vizinhan¸ca ca definida por z 2i 2i < 1 exceto em z = 2i e em todo ponto na vizinhan¸ca ca definida por z ( 2i) < 1 < 1 exceto em 2i.
− | − − | | − − |
−
−
33
Se z = z 0 for uma singularidade isolada de uma fun¸c˜ cao a˜o f , f , ent˜ao ao certamente f n˜ao ao pode po de ser expandida expan dida em uma s´erie erie de potˆencias encia s com c om z z 0 como o seu centro. Entretanto, Entretanto, em torno de uma singularidade singularidade isolada isolada z = z 0 ´e p oss os s´ıvel ıve l rep r epre rese sent ntar ar f f por um novo tipo ti po de s´erie erie envolvendo potˆencias encia s inteiras i nteiras negativas negat ivas e n˜ ao negativas de z z 0 ; isto ´e a−2 a−1 f ( f (z ) = + + + a0 + a + a1 (z z 0 ) + a + a2 (z z 0) + (z z 0 )2 (z z 0) Utilizando a nota¸c˜ cao a˜o de somat´orio, o rio, a ultima u ´ ltima express˜ao ao pode ser escrita como a soma de dua duass s´eries eri es ∞ ∞
−
···
−
−
−
f ( f (z ) =
−
···
a− (z − z )− + a (z − z ) (1) k
k
0
k
k=1
0
k
k=0
As duas s´eries eries no lado direito de (1) possuem p ossuem nomes especiais. e speciais. a parte par te com co m potˆ p otˆencias encias negativas de z z 0 , isto is to ´e, e,
−
∞ a− (z − z )− = ∞ k
k
0
k=1
k=1
a−k (z z 0 )−k
−
´e denominada denom inada parte part e princip p rincipal al da s´erie erie (1) e convergir´ c onvergir´ a para [1/ [1/(z z 0 )] < )] < r , ou de modo equivalente, para z z 0 > 1 > 1/r /r = r = r A parcela parce la constitu const itu´´ıda pelas pel as potˆencias encia s n˜ ao ao negativas de z z 0 ,
| − |
−
∗
−
∞ a (z − z ) k
0
∗
k
k=1
´e denominada denom inada parte anal´ıtica ıtica da s´erie erie (1) e convergir´ convergira´ para z z 0 < R. Po Porta rtant nto, o, a soma dessas partes converge converge quando z quando z tanto tanto z z 0 > r como z z 0 < R, isto ist o ´e, e, quando qua ndo z for for um ponto p onto de um dom do m´ınio anular definido por r < z z 0 < R. Somando sobre os inteiros negativos e n˜ a o negativos, (1) pode ser escrita de modo ao compacto como
| − − | | − | | − |
| − |
∞ a (z − z ) . k
0
k
k=
−∞
Uma representa¸c˜ c˜ao ao em s´erie eri e de uma fun¸ fun ¸c˜ cao a˜o f que tenha a forma indicada em (1) ´e chamada s´ f . erie eri e de Laurent Lau rent ou uma express exp ress˜ ˜ ao ao de Laurent Laur ent de f . Teorema 5.4.1 (Teorema de Laurent). Seja f analitica f analitica no interior do dom´ dom´ınio anular
D definido por r < z
| − z | < R. Assim, f tem f tem uma representa¸c˜ cao ˜ em s´erie er ie ∞ f ( f (z ) = a (z − z ) 0
k
0
k
k=
−∞
v´ alida para r < z
| − z | < R. Os coeficientes a 0
k
s˜ ao definidos por
1 f ( f (z ) ds,k = ds,k = 0, 1, 2, 3,... 2πi C (s z 0 )k+1 onde C C ´e uma curva fechada simples que se loc localiza aliza inteiramente inteiramente dentro de D e tem z 0 em seu interior. ak =
± ± ±
−
f (z ) = Exemplo Exemplo 5.4.1. 5.4.1. Expanda f (
1 z (z 1)
em uma s´erie erie de Laurent Laurent v´ alida para (a) 0 < 1 < 1 < 1,, (d) 1 < z 1 .
|z | < 1 < 1,, (b) 1 < |z |, (c)0 (c)0 < |z − |
f (z ) = Exemplo Exemplo 5.4.2. 5.4.2. Expanda f ( 0 < z
| − 1| < 2 < 2,, (b) 0 < |z − 3|2.
−
| − |
1 em (z 1)2 (z 3)
−
−
34
uma s´erie erie de Laurent Laurent v´ alida para (a)
5.5
Zeros e P´ olos olos
Suponha que z = z = z 0 seja um singularidade isolada de uma fun¸c˜ cao f a˜o f e e que
∞ ∞ ∞ f ( f (z ) = a (z − z ) = a− (z − z )− + a (z − z ) k
0
k
k=
k
k
0
k
k=1
−∞
0
k
k=0
seja a representa¸c˜ c˜ao ao em s´erie erie de Laurent de f v´alida alida para o disco aberto perfurado 0 < z z 0 < R. Vimos Vimos na na se¸c˜ c˜ao ao anterior que uma s´erie erie de Laurent ´e constituida por duas partes. parte s. A parte pa rte da s´erie erie com potˆencias encia s negati n egativas vas de z z 0 , ou seja,
| − − |
−
∞ a− (z − z )− k
k
0
k=1
´e a parte principal princ ipal da s´erie. erie. Na discus˜ discu s˜ ao que segue, apresentaremos nomes diferentes para ao a singularidade isolada z = z 0 de acordo com o n´ umero de termos da parte principal. umero
5.5. 5.5.1 1
Clas Classi sific fica¸ a¸ c˜ c˜ ao ao de pontos po ntos singulares singul ares
A um ponto singular isolado z = z 0 de uma fun¸c˜ c˜ao ao complexa f ´ f ´e dado uma classifica¸ classi fica¸c˜ cao a˜o que depende de se a parte principal da sua expans˜ao ao de d e Laurent La urent cont´em em zero, ze ro, um n´ numero ´ finito, ou um n´ umero infinito de termos. umero 1. Se a parte parte princi principal pal for nu nula, la, isto isto ´e, e, todos os coeficien coeficientes tes a−k forem nulos, ent˜ao ao z = z 0 ´e deno de nomin minad adoo singu si ngular larida idade de remov rem ov´ ´ıvel . 2. Se a parte principal contiver um n´ umero finito de termos n˜ umero ao ao nulos ent˜ao ao z = z 0 ´e denominado p´ u ´ ltimo coeficiente for a for a −n , n 1, ent˜ao ao dizemos olo olo. Se, neste caso, o ultimo que z = z 0 ´e um p´ olo olo de ordem 1, ent˜ao ao olo o lo de ordem n . Se z = z 0 for um p´ a parte principal principal cont´ cont´em em exatamente exatamente um termo com coeficiente coeficiente a−1 . Um p´ p´olo o lo de ordem 1 ´e comumente chamado chamad o p´ polo o´lo simples. simples.
≥
3. Se a parte principal contiver infinitos termos n˜ ao ao nulos, ent˜ao ao z = z 0 ´e deno de nomi mina nado do singularidade essencial. eries eries de Laurent Laurent que exemplificam exemplificam cada tipo de Exemplo 5.5.1. Abaixo temos algumas s´ singularidade: 1. Singularidad Singula ridadee remov´ remov´ıvel: a0 + a + a1 (z
2
+ a (z − z ) + . . . − z ) + a 2. P´ olo de ordem n: − + − + · · · + − + a + a + a + a (z − z ) + · · · 3. P´ oloo S´ımpl ol ım ples es:: − + a + a + a (z − z ) + a + a (z − z ) + . . . 4. Singularidad Singularidadee Essencial: · · · + − + − + a + a + a + a (z − z ) + a + a (z − z ) a−n (z z0 )n
a−1 (z z0 )
0
0
a−(n−1) (z z0 )n−1 1
0
a−1 (z z0 )
0
2
a−2 (z z0 )2
5.5.2
2
0
0
a−1 (z z0 )
1
0
2
0
1
0
2
0
2
+ . . .
Z e r os
Recorde que z 0 ´e um zero de uma fun¸c˜ cao a˜o f se f ( f (z 0 ) = 0. c˜ ao anal´ an al´ıtica ıt ica f f tem um zero de ordem n em z = z 0 se Defini¸ c˜ c˜ ao ao 5.5. 5. 5.1. 1. Uma fun¸c˜ f ( f (z 0 ) = 0, f (z 0 ) = 0, f (z 0 ) = 0,
(n 1)
· · · , f 35
− (z 0 ) = 0, mas f (n)(z 0 ) = 0
(5.1)
Por exemplo, para f ( f (z ) = (z 5) 3 temos f (5) f (5) = 0, f (5) = 0, f (5) = 0, por´em em f (5) = 6. Logo, z = = 5 ´e um zero de ordem 3. Se a fun¸ c˜ao ao anal´ an al´ıtic ıt icaa f tiver f tiver um zero de ordem n em z = z 0, decorre da equa¸c˜ cao a˜o acima que a expans˜ ao ao em s´erie erie de Taylor de f centrada em z 0 tem que ter a forma
− −
f ( f (z ) = an (z z 0 )n + an+1 (z z 0)n+1 + an+2 (z z 0 )n+2 + = (z z 0 )n[an + a + an+1 (z z 0 ) + a + an+2 (z z 0 )2 + ]
−
−
− −
−
−
···
···
(5.2) (5.3)
onde an = 0.
olos olos de ordem n ordem n)). Se as fun¸c˜ coes ˜ f e g forem f orem anal ana l´ıticas ıti cas em z = z = z 0 e f Teorema 5.5.1 (P´ tiver um zero de ordem n em z = z 0 e g(z 0 ) = 0, ent˜ ao a fun¸c˜ cao ˜ F ( F (z ) = g(z )/f ( /f (z ) ter´ a um p´ olo de ordem n em z = z 0 .
5.6
Res´ Res´ıduos e o Teorema do Res´ Res´ıduo
Vimos na se¸c˜ cao a˜o anterior que se a fun¸c˜ cao a˜o complexa f tiver f tiver uma singularidade isolada no ponto z = z = z 0 , ent˜ao ao f possui f possui uma representa¸c˜ c˜ao ao em s´erie erie de Laurent Laure nt
∞ f ( f (z ) = a (z − z ) = · · · + k
0
k
k=
−∞
a −2 a −1 + + a0 + a + a1 (z (z z 0 )2 (z z 0 )
−
−
− z ) + · · · 0
que converge para todo z todo z em em torno de z de z 0 . Mas precisamente, a representa¸c˜ ca˜o ´e valida a´lida em alguma vizinhan¸ca ca retirada de z 0 , ou disco aberto perfurado, 0 < z z 0 < R. Nest Nestaa se¸c˜ cao, ˜ao, nosso foco estar´ a no coeficiente a−1 e sua importˆancia ancia no c´ alculo alculo de integrais de contorno.
| − − |
erie erie de Laurent Laurent indicada anteriDefini¸ c˜ c˜ ao ao 5.6. 5. 6.1. 1. O coeficiente a−1 de 1/(z z 0 ) na s´ ormente orm ente ´e cha chamad madoo res´ c˜ ao f f na singularidade isolada z 0 . Utiliz Utilizar aremo emoss a res´ ıduo da fun¸c˜
− −
nota¸c˜ cao ˜ a−1 = Res = Res((f ( f (z ), z 0) para represent rep resentar ar o res´ res´ıduo ıdu o de f em z 0. c˜ ao f ( f (z ) = z 2 sin(1/z sin(1/z ) tem uma singularidade isolada em 0. DeExemplo 5.6.1. A fun¸c˜ terminemos termine mos o res´ res´ıduo desta fun¸c˜ cao ˜ em 0. Repr epresent esentando ando a fun¸c˜ cao ˜ na sua s´erie eri e de d e Laurent, Lauren t, temos ∞ ( 1)n 1 2 f ( f (z ) = z sin(1 = z = z ) = (2n (2n + 1)! z 2n−1 n=0
−
Onde concluimos que Res( Res(f ( f (z ), 0) = (−3!1) . Mais adiante nesta se¸c˜ cao, a˜o, veremos porque o coeficiente a−1 ´e tao a˜o importante. Enquanto isso, examinaremos maneiras de obter esse n´ umero complexo quando z umero quando z 0 for um p´olo olo de uma fun¸c˜ cao a˜o f sem f sem a necessidade de expandir f em f em uma s´erie erie de Laurent Laur ent em z 0 . Iniciaremos com res´ res´ıduos em um p´ olo olo simples. (R es´´ıduo em um p´ olo olo simples). Se f f tiver um p´ olo simples em z = z 0 , Teorema 5.6.1 (Res ent˜ ao Res( Res(f ( f (z ), z 0) = lim (z z
→z0
36
− z )f ( f (z ) 0
0
(R es´´ıduo em um p´ olo olo de ordem n). Se f tiver f tiver um p´ olo de ordem n em Teorema 5.6.2 (Res z = z 0, ent˜ ao Res( Res(f ( f (z ), z 0 ) = cao ˜ f ( f (z ) = Exemplo 5.6.2. A fun¸c˜
1 (n
−
dn−1 (z 1)! z →z0 dz n−1 lim
n
− z ) f ( f (z ). 0
1 tem (z 1)2 (z 3)
um p´ olo simples em z = 3 e um p´ olo de ordem 2 em z = 1. Utilize os teoremas teoremas acima par paraa obter os res´ res´ıduos.
−
−
Vamos apresentar agora a raz˜ ao ao da importˆancia ancia do d o conceito conc eito de res´ res´ıduo. O pr´ oximo oximo teorema declara que, sob algumas condi¸ c˜ coes, o˜es, podemos p odemos calcular integrais complexas complexas C f ( f (z )dz somando os res´ res´ıduos nas singularidades isoladas de f dentro fechado C .. f dentro do contorno fechado C
Res´ıduo). Considere D um dom´ dom´ınio simplessimple sTeorema 5.6.3 (Teorema de Cauchy do Res´ mente conexo, e C C um contorno fechado simples localizado inteiramente em D. Se uma fun¸c˜ c˜ ao f f for anal´ anal´ıtica ıtica em e no interior interior de C , exceto em um n´ umero finito de pontos singulares z 1 , z 2 , z 3,...,z n dento de C , ent˜ ao C
n
Res( f ( f (z )dz = 2πi Res(f ( f (z ), z ). k
k=1
Exemplo 5.6.3. Calcule
C
(z
−
1 1)2(z
− 3) dz,
onde (a) o contorno C C ´e o retˆ retˆ angulo definido por x = 0, x = 4, y = contorno C ´ ´e o c´ırcu rc ulo z = 2.
| |
Exemplo 5.6.4. Calcule
2z + + 6 C
z 2 + 4
onde o contorno C ´ ´e o c´ırcu rc ulo z
| − i| = 2.
37
dz,
−1, y = 1, e (b) o
