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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Resumo ´ Um Apanhado Historico Surgimento da Matriz de Leontief 1
Matrizes de Insumo - produto ´ do de Con ˜ da Matriz de Insumo-Produto Meto etodo Const stru ruc c¸ ao
2
Modelo Fechado ou Input-Output Caracter´ Caracter´ısticas ısticas ˜ nao-trivial ˜ Soluc¸ ao
3
˜ de Leontief Mod elo Abe Modelo Aberr to de Prod Produc uc¸ao ˜ Descric¸ ao ˜ Positiva para o Modelo Aberto Soluc¸ ao Demonstra Demonstrando ndo que a matriz e´ sempre invers´ invers´ıvel ıvel
4
ˆ Apendice ´ Um exemplo numerico ˜ do sistema homogeneo ˆ Abrindo Abrin do as contas da solucao
Apˆendice Ap ˆ
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Resumo ´ Um Apanhado Historico Surgimento da Matriz de Leontief 1
Matrizes de Insumo - produto ´ do de Con ˜ da Matriz de Insumo-Produto Meto etodo Const stru ruc c¸ ao
2
Modelo Fechado ou Input-Output Caracter´ Caracter´ısticas ısticas ˜ nao-trivial ˜ Soluc¸ ao
3
˜ de Leontief Mod elo Abe Modelo Aberr to de Prod Produc uc¸ao ˜ Descric¸ ao ˜ Positiva para o Modelo Aberto Soluc¸ ao Demonstra Demonstrando ndo que a matriz e´ sempre invers´ invers´ıvel ıvel
4
ˆ Apendice ´ Um exemplo numerico ˜ do sistema homogeneo ˆ Abrindo Abrin do as contas da solucao
Apˆendice Ap ˆ
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Apˆendice Ap ˆ
Resumo
Resumo
ˆ Uma ferramenta macro-economica de medida de fluxos de bens e servic ser vic¸ os, produzidos em cada setor da economia, destinados a servir de insumos a outros setores e para atender a demanda final e´ denominada matriz de insmo-produto . Esta e´ proveniente da metodologia de Wassily Leontief para o sistema de contas nacionais. ˆ ˜ Neste trabalho demonstramos existencia e unicida unicidade de de soluc¸ ao ˜ nao-negativa para o sistema de insumo-produto para ambos os ˜ modelos:: Fechado e aber modelos a berto to de produc p roduc¸ao. ˜ e´ baseada no estudo detalhado da Serie ´ A de demo mons nstr trac ac¸ao de Neumann associda a` matriz de Leontief.
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Resumo
Resumo
ˆ Uma ferramenta macro-economica de medida de fluxos de bens e servic¸os, produzidos em cada setor da economia, destinados a servir de insumos a outros setores e para atender a demanda final e´ denominada matriz de insmo-produto . Esta e´ proveniente da metodologia de Wassily Leontief para o sistema de contas nacionais. ˆ ˜ Neste trabalho demonstramos existencia e unicidade de soluc¸ao ˜ nao-negativa para o sistema de insumo-produto para ambos os ˜ modelos: Fechado e aberto de produc¸ao. ˜ e´ baseada no estudo detalhado da Serie ´ A demonstrac¸ao de Neumann associda a` matriz de Leontief.
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Resumo
Resumo
ˆ Uma ferramenta macro-economica de medida de fluxos de bens e servic¸os, produzidos em cada setor da economia, destinados a servir de insumos a outros setores e para atender a demanda final e´ denominada matriz de insmo-produto . Esta e´ proveniente da metodologia de Wassily Leontief para o sistema de contas nacionais. ˆ ˜ Neste trabalho demonstramos existencia e unicidade de soluc¸ao ˜ nao-negativa para o sistema de insumo-produto para ambos os ˜ modelos: Fechado e aberto de produc¸ao. ˜ e´ baseada no estudo detalhado da Serie ´ A demonstrac¸ao de Neumann associda a` matriz de Leontief.
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´ Um Apanhado Historico
´ Um Apanhado Historico
O interesse humano em compreender os complexos processos ˆ ˆ seculares. Diversas teses que movem o sistema economico sao e teorias sobre o assunto j a´ foram elaboradas. ` publicac¸ oes ˜ que serviram como base para a Nos deteremos as ˜ da matriz de insumo-produto, objeto de estudo deste criac¸ao trabalho.
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´ Um Apanhado Historico
´ Um Apanhado Historico
O interesse humano em compreender os complexos processos ˆ ˆ seculares. Diversas teses que movem o sistema economico sao e teorias sobre o assunto j a´ foram elaboradas. ` publicac¸ oes ˜ que serviram como base para a Nos deteremos as ˜ da matriz de insumo-produto, objeto de estudo deste criac¸ao trabalho.
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´ Um Apanhado Historico
Franc¸ois Quesnay publicou, em 1758, a obra Tableau ´ economique , na qual apresentou um modelo estat´ıstico aplicado ´ aos setores agr´ıcola, industrial e de proprietarios de terras, ˜ grafica ´ ˜ e apropriac¸ao ˜ da permitindo a constatac¸ao da gerac¸ao ´ do produto agr´ıcola, apresentando os conceitos riqueza atraves de fluxo circular da economia e interdepend ˆ encia econ ˆ omica .
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Apˆendice
´ Um Apanhado Historico
Em 1874 Leon Walras, na obra intitulada Elements d’economie ˜ lineares politique pure , apresentou um sistema de equac¸oes ˆ integrado por parametros que representam a quantia de insumos ˜ o setor provenientes das diversas empresas que compoe ´ ˜ de uma unidade de produto produtivo necessarios a` produc¸ao ˜ final da empresa em questao. ˆ ˜ de coeficientes de Tais parametros receberam a denominac¸ao ˜ , e o metodo ´ ˜ simultanea ˆ produc¸ao permitia a determinac¸ao dos prec¸os dos bens produzidos.
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´ Um Apanhado Historico
Em 1874 Leon Walras, na obra intitulada Elements d’economie ˜ lineares politique pure , apresentou um sistema de equac¸oes ˆ integrado por parametros que representam a quantia de insumos ˜ o setor provenientes das diversas empresas que compoe ´ ˜ de uma unidade de produto produtivo necessarios a` produc¸ao ˜ final da empresa em questao. ˆ ˜ de coeficientes de Tais parametros receberam a denominac¸ao ˜ , e o metodo ´ ˜ simultanea ˆ produc¸ao permitia a determinac¸ao dos prec¸os dos bens produzidos.
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Apˆendice
´ Um Apanhado Historico
´ Esses metodos foram amplamente utilizados e aprimorados ao ˜ russa de 1917, longo do tempo, especialmente ap´os a revoluc¸ao ˜ do modelo socialista de economia planificada pois a implantac¸ao ´ exigia do governo russo o planejamento estrategico de toda a ˜ do pa´ıs, realizado atraves ´ dos chamados Planos produc¸ao Quinquenais . No mundo capitalista ainda vigorava a pol´ıtica do liberalismo ˆ economico ( laissez-faire ) criada por Adam Smith e ˜ ˜ do Estado na regulac¸ ao ˜ dos caracterizada pela nao-intervenc ¸ ao mercados e que vigorou ate´ 1929, ano em que ocorreu uma crise ˜ catastroficas ´ de dimensoes na economia americana que se ˜ da URSS. espalhou pelo mundo, com excec¸ao
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´ Um Apanhado Historico
´ Esses metodos foram amplamente utilizados e aprimorados ao ˜ russa de 1917, longo do tempo, especialmente ap´os a revoluc¸ao ˜ do modelo socialista de economia planificada pois a implantac¸ao ´ exigia do governo russo o planejamento estrategico de toda a ˜ do pa´ıs, realizado atraves ´ dos chamados Planos produc¸ao Quinquenais . No mundo capitalista ainda vigorava a pol´ıtica do liberalismo ˆ economico ( laissez-faire ) criada por Adam Smith e ˜ ˜ do Estado na regulac¸ ao ˜ dos caracterizada pela nao-intervenc ¸ ao mercados e que vigorou ate´ 1929, ano em que ocorreu uma crise ˜ catastroficas ´ de dimensoes na economia americana que se ˜ da URSS. espalhou pelo mundo, com excec¸ao
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´ Um Apanhado Historico
Para superar as deficiencias da teoria de A. Smitt surge o New Deal , fruto da teoria de John Maynard Keynes e apresentada em sua obra The general theory of employment, interest and money , ˜ economica ˆ que consistia em um plano de ac¸ao caracterizado ˜ do Estado na vida econ omica, ˆ pela intervenc¸ao visando regular os mercados e coibir os abusos praticados pelas grandes ˜ que dominavam a economia. corporac¸oes A crise gerou descrenc¸a no sistema de capitalismo liberal, ˆ exigindo providencias por parte dos governos, especialmente dos ˜ global ao EUA, por se tratar do pa´ıs mais interessado na adesao sistema capitalista.
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´ Um Apanhado Historico
Para superar as deficiencias da teoria de A. Smitt surge o New Deal , fruto da teoria de John Maynard Keynes e apresentada em sua obra The general theory of employment, interest and money , ˜ economica ˆ que consistia em um plano de ac¸ao caracterizado ˜ do Estado na vida econ omica, ˆ pela intervenc¸ao visando regular os mercados e coibir os abusos praticados pelas grandes ˜ que dominavam a economia. corporac¸oes A crise gerou descrenc¸a no sistema de capitalismo liberal, ˆ exigindo providencias por parte dos governos, especialmente dos ˜ global ao EUA, por se tratar do pa´ıs mais interessado na adesao sistema capitalista.
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´ Um Apanhado Historico
˜ dos mercados exigia o amplo conhecimento dos A regulac¸ao ´ fluxos reais e monetarios de todos os setores que compunham a ˆ economia, bem como o conhecimento do grau de importancia de ˆ cada setor dentro do sistema econ omico do pa´ıs por parte dos ´ formuladores de pol´ıticas publicas, ´ gerando consideravel investimento estatal em pesquisas para o desenvolvimento de ´ ˜ desses dados. metodos eficazes de mensurac¸ao
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Apˆendice
Surgimento da Matriz de Leontief
Surgimento da Matriz de Leontief ´ Foi em meio a essa atmosfera de interesses que, na decada de 30, o economista Wassily Leontief, nascido na Russia, ´ doutorado na Alemanha e radicado nos EUA, desenvolve a Teoria Geral da ˜ , metodo ´ Produc¸ao composto por tabelas em formato matricial ˆ que demonstram os graus de dependencia direta e indireta de ˜ a todos os demais setores. cada setor da economia em relac¸ao ´ A tecnica, utilizada inicialmente de forma bastante agregada, ˜ de matriz input-output , recebeu originalmente a denominac¸ao matriz de insumo-produto , ou matriz de dupla entrada , e com o ˜ eletronica ˆ desenvolvimento da computac¸ao foi poss´ıvel uma ˜ dos setores, permitindo assim o alcance cont´ınua desagregac¸ao ˆ de elevado grau de detalhamento da estrutura economica.
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Surgimento da Matriz de Leontief
Surgimento da Matriz de Leontief ´ Foi em meio a essa atmosfera de interesses que, na decada de 30, o economista Wassily Leontief, nascido na Russia, ´ doutorado na Alemanha e radicado nos EUA, desenvolve a Teoria Geral da ˜ , metodo ´ Produc¸ao composto por tabelas em formato matricial ˆ que demonstram os graus de dependencia direta e indireta de ˜ a todos os demais setores. cada setor da economia em relac¸ao ´ A tecnica, utilizada inicialmente de forma bastante agregada, ˜ de matriz input-output , recebeu originalmente a denominac¸ao matriz de insumo-produto , ou matriz de dupla entrada , e com o ˜ eletronica ˆ desenvolvimento da computac¸ao foi poss´ıvel uma ˜ dos setores, permitindo assim o alcance cont´ınua desagregac¸ao ˆ de elevado grau de detalhamento da estrutura economica.
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Apˆendice
Surgimento da Matriz de Leontief
ˆ Nesse trabalho demonstraremos a existencia e unicidade de ˜ positiva para o sistema de de insumo-produto, para soluc¸ao ambos os modelos - fechado e aberto - usando conceitos de ´ algebra linear. ˜ 1 revisamos O trabalho esta´ assim dividido: Na Sec¸ao ˜ da matriz de insumo-produto. Na brevemente a construc¸ao ˜ 2 a existencia ˆ ˜ positiva para o modelo fechado Sec¸ao de soluc¸ao de economia. No Lema 1 provamos que o modelo fechado ˆ ˜ 3 equivale a resolver um sistema linear homogeneo. Na Sec¸ao ˜ 3.1 estudamos o modelo aberto de economia. Na Subsec¸ao ˆ ˜ para o sistema de provamos a existencia e unicidade de soluc¸ao ˜ 3.2 provamos que a soluc¸ao ˜ e´ positiva. Leontief. Na Subsec¸ao ˜ 4 apresentamos algumas conclusoes ˜ e trabalhos Na Sec¸ao futuros.
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Apˆendice
Surgimento da Matriz de Leontief
ˆ Nesse trabalho demonstraremos a existencia e unicidade de ˜ positiva para o sistema de de insumo-produto, para soluc¸ao ambos os modelos - fechado e aberto - usando conceitos de ´ algebra linear. ˜ 1 revisamos O trabalho esta´ assim dividido: Na Sec¸ao ˜ da matriz de insumo-produto. Na brevemente a construc¸ao ˜ 2 a existencia ˆ ˜ positiva para o modelo fechado Sec¸ao de soluc¸ao de economia. No Lema 1 provamos que o modelo fechado ˆ ˜ 3 equivale a resolver um sistema linear homogeneo. Na Sec¸ao ˜ 3.1 estudamos o modelo aberto de economia. Na Subsec¸ao ˆ ˜ para o sistema de provamos a existencia e unicidade de soluc¸ao ˜ 3.2 provamos que a soluc¸ao ˜ e´ positiva. Leontief. Na Subsec¸ao ˜ 4 apresentamos algumas conclusoes ˜ e trabalhos Na Sec¸ao futuros.
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Modelo Fechado
˜ matrizes compostas por Matrizes de insumo-produto s ao ˜ entradas nao-negativas que podem ser utilizadas para determinar as estruturas de prec¸o de equil´ıbrio e de n´ıvel de ˜ necessarios ´ produc¸ao para satisfazer uma dada demanda. ´ ˜ Utilizando-se de parˆametros (coeficientes tecnicos de produc¸ao) ˜ industriais e´ poss´ıvel que descrevem as inter-relac¸oes ˜ necessarios ´ ˜ de determinar os n´ıveis de produc¸ao a` satisfac¸ao ˆ ˜ do metas economicas, permitindo o planejamento e estimulac¸ao ˆ crescimento economico.
Apˆendice
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Modelo Fechado
ˆ Por apresentar um esquema detalhado da estrutura economica, essa ferramenta permite: ˜ dos setores que apresentam potenciais n´ıveis de A identificac¸ao ˜ de investimentos, gerando aumento da renda e multiplicac¸ao emprego; ˜ dos padroes ˜ de produc¸ ao ˜ que se fazem Constatac¸ ao ´ ´ necessarios em cada setor, para suprir a demanda intermedi aria e final de cada setor analizado, otimizando dessa forma, os ˜ n´ıveis de produc¸ ao;
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Apˆendice
Modelo Fechado
ˆ Por apresentar um esquema detalhado da estrutura economica, essa ferramenta permite: ˜ dos setores que apresentam potenciais n´ıveis de A identificac¸ao ˜ de investimentos, gerando aumento da renda e multiplicac¸ao emprego; ˜ dos padroes ˜ de produc¸ ao ˜ que se fazem Constatac¸ ao ´ ´ necessarios em cada setor, para suprir a demanda intermedi aria e final de cada setor analizado, otimizando dessa forma, os ˜ n´ıveis de produc¸ ao;
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Modelo Fechado
ˆ Por apresentar um esquema detalhado da estrutura economica, essa ferramenta permite: ˜ dos setores que apresentam potenciais n´ıveis de A identificac¸ao ˜ de investimentos, gerando aumento da renda e multiplicac¸ao emprego; ˜ dos padroes ˜ de produc¸ ao ˜ que se fazem Constatac¸ ao ´ ´ necessarios em cada setor, para suprir a demanda intermedi aria e final de cada setor analizado, otimizando dessa forma, os ˜ n´ıveis de produc¸ ao;
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Apˆendice
˜ Projetar impactos sobre o mercado, causados pela implantac¸ao ˆ ´ de pol´ıticas economicas (subs´ıdios, carga tributaria, barreiras ´ alfandegarias, etc); ˜ de exaustao ˜ de Projetar impactos ambientais e previsoes recursos oriunda da atividade industrial; ˜ e comparac¸ao ˜ , com elevado grau de precisao, ˜ das Constatac¸ ao ˜ economicas ˆ reais condic¸oes dos diversos pa´ıses que se utilizam ´ ˜ das contas nacionais do metodo para a demonstrac¸ao
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Apˆendice
˜ Projetar impactos sobre o mercado, causados pela implantac¸ao ˆ ´ de pol´ıticas economicas (subs´ıdios, carga tributaria, barreiras ´ alfandegarias, etc); ˜ de exaustao ˜ de Projetar impactos ambientais e previsoes recursos oriunda da atividade industrial; ˜ e comparac¸ao ˜ , com elevado grau de precisao, ˜ das Constatac¸ ao ˜ economicas ˆ reais condic¸oes dos diversos pa´ıses que se utilizam ´ ˜ das contas nacionais do metodo para a demonstrac¸ao
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˜ Projetar impactos sobre o mercado, causados pela implantac¸ao ˆ ´ de pol´ıticas economicas (subs´ıdios, carga tributaria, barreiras ´ alfandegarias, etc); ˜ de exaustao ˜ de Projetar impactos ambientais e previsoes recursos oriunda da atividade industrial; ˜ e comparac¸ao ˜ , com elevado grau de precisao, ˜ das Constatac¸ ao ˜ economicas ˆ reais condic¸oes dos diversos pa´ıses que se utilizam ´ ˜ das contas nacionais do metodo para a demonstrac¸ao
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
˜ (ou adaptac¸oes) ˜ ´ Existem diversas variac¸oes desse metodo, como o modelo fechado ou Input-Output e o modelo aberto ˜ ´ (modelo de produc¸ao), que consistem em modelos estaticos. ˜ envolvem a teoria de sistemas de Outras formulac¸oes ˆ ´ insumo-produto dinamicos. Estas derivam dos modelos estaticos ˜ dos n´ıveis de estoques e produc¸ao ˜ como e permitem a avaliac¸ao ˜ do tempo. func¸ao Ao longo desse estudo, nos deteremos a` abordagem dos ´ modelos estaticos.
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˜ (ou adaptac¸oes) ˜ ´ Existem diversas variac¸oes desse metodo, como o modelo fechado ou Input-Output e o modelo aberto ˜ ´ (modelo de produc¸ao), que consistem em modelos estaticos. ˜ envolvem a teoria de sistemas de Outras formulac¸oes ˆ ´ insumo-produto dinamicos. Estas derivam dos modelos estaticos ˜ dos n´ıveis de estoques e produc¸ao ˜ como e permitem a avaliac¸ao ˜ do tempo. func¸ao Ao longo desse estudo, nos deteremos a` abordagem dos ´ modelos estaticos.
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˜ (ou adaptac¸oes) ˜ ´ Existem diversas variac¸oes desse metodo, como o modelo fechado ou Input-Output e o modelo aberto ˜ ´ (modelo de produc¸ao), que consistem em modelos estaticos. ˜ envolvem a teoria de sistemas de Outras formulac¸oes ˆ ´ insumo-produto dinamicos. Estas derivam dos modelos estaticos ˜ dos n´ıveis de estoques e produc¸ao ˜ como e permitem a avaliac¸ao ˜ do tempo. func¸ao Ao longo desse estudo, nos deteremos a` abordagem dos ´ modelos estaticos.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
´ Metodo de Construc¸ ˜ ao da Matriz de Insumo-Produto
´ ˜ da Matriz de Insumo-Produto Metodo de Construc¸ao
Nesse trabalho consideraremos n setores da economia. Denote por C = [ c ij ] ,
i , j ∈ {1, 2, · · · , n }
a matriz que relaciona as quantidades de insumos provenientes ´ do setor i e utilizadas no setor j , em valor monetario. Seja x = (x 1 , · · · , x j , · · · , x n )T , j = 1, · · · , n ˜ do setor j , em valor o vetor coluna que apresenta toda a produc¸ao ˜ monet´ario, distribuida entre os n setores que compoem a economia. Desta forma, x j > 0 para todo j ∈ {1, · · · , n }.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
´ Metodo de Construc¸ ˜ ao da Matriz de Insumo-Produto
˜ a matriz dos coeficientes t ´ Com esta notac¸ao, ecnicos e´ definida por A = [a ij ]
onde
a ij =
c ij x j
.
(1)
˜ matricial Em notac¸ao
a a A= . ..
11 21
a n 1
a 12 a 22 .. . a n 2
. . . a 1n . . . a 2n ..
.
...
.. . a nn
=
c 11 x 1 c 21 x 1
.. .
c n 1 x 1
c 12 x 2 c 22 x 2
... ...
.. .
..
c n 2 x 2
...
.
c 1n x n c 2n x n
.. .
c nn x n
.
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´ Metodo de Construc¸ ˜ ao da Matriz de Insumo-Produto
˜ a matriz dos coeficientes t ´ Com esta notac¸ao, ecnicos e´ definida por A = [a ij ]
onde
a ij =
c ij x j
.
(1)
˜ matricial Em notac¸ao
a a A= . ..
11 21
a n 1
a 12 a 22 .. . a n 2
. . . a 1n . . . a 2n ..
.
...
.. . a nn
=
c 11 x 1 c 21 x 1
.. .
c n 1 x 1
c 12 x 2 c 22 x 2
... ...
.. .
..
c n 2 x 2
...
.
c 1n x n c 2n x n
.. .
c nn x n
.
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Apˆendice
´ Metodo de Construc¸ ˜ ao da Matriz de Insumo-Produto
´ e´ conhecida como Matriz de Leontief , A matriz A = [a ij ] tambem ˜ total da j-esima ´ onde a ij e´ a frac¸ao industria (setor produtivo) que ´ ´ e´ comprada pela i-esima ind´ustria, denominado coeficiente ´ tecnico de produc¸ ˜ ao.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Modelo Fechado ou Input-Output
O modelo fechado e´ concebido para atender as seguintes ˜ condic¸oes: O total de gastos e´ equivalente ao total dos recebimentos (toda a ˜ e´ completamente consumida dentro do per´ıodo produc¸ao analizado); n setores, produzindo n bens indexados por i = 1, 2, . . . , n , onde cada setor produz um u´ nico e exclusivo bem; Setores diferentes produzem bens diferentes.
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O modelo fechado e´ concebido para atender as seguintes ˜ condic¸oes: O total de gastos e´ equivalente ao total dos recebimentos (toda a ˜ e´ completamente consumida dentro do per´ıodo produc¸ao analizado); n setores, produzindo n bens indexados por i = 1, 2, . . . , n , onde cada setor produz um u´ nico e exclusivo bem; Setores diferentes produzem bens diferentes.
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Modelo Fechado ou Input-Output
O modelo fechado e´ concebido para atender as seguintes ˜ condic¸oes: O total de gastos e´ equivalente ao total dos recebimentos (toda a ˜ e´ completamente consumida dentro do per´ıodo produc¸ao analizado); n setores, produzindo n bens indexados por i = 1, 2, . . . , n , onde cada setor produz um u´ nico e exclusivo bem; Setores diferentes produzem bens diferentes.
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Apˆendice
Caracter´ısticas
Modelo Fechado Assim, as caracter´ısticas do modelo fechado implicam que: x j > 0, ∀ j = 1, 2,..., n (todos os prec¸os s˜ao positivos); ˜ a ij ≥ 0, ∀ i , j = 1, 2,..., n (todos os coeficientes t´ecnicos sao ˜ nao-negativos); ˜ ha´ demanda externa, e assim, iii) Nao i) ii)
n
x j :=
∑ c ij
(2)
j =1
iv) Por (iii ), temos que, n
∑ a ij = 1 , i =1
j = 1, 2, . . . , n .
(3)
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Caracter´ısticas
Para o modelo fechado temos que A x = x . De maneira equivalente A x = I x
⇒
I x − A x = 0
⇒
(I − A) x = 0 ,
ou seja, o modelo fechado corresponde a um sistema linear ˆ homogeneo. ´ O primeiro passo em nossa analise para o modelo fechado e´ ˜ x nao-trivial. ˜ mostrar que esse modelo admite uma soluc¸ao Isso equivale a mostrar que det (I − A) = 0.
Apˆendice
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Caracter´ısticas
Para o modelo fechado temos que A x = x . De maneira equivalente A x = I x
⇒
I x − A x = 0
⇒
(I − A) x = 0 ,
ou seja, o modelo fechado corresponde a um sistema linear ˆ homogeneo. ´ O primeiro passo em nossa analise para o modelo fechado e´ ˜ x nao-trivial. ˜ mostrar que esse modelo admite uma soluc¸ao Isso equivale a mostrar que det (I − A) = 0.
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Caracter´ısticas
Para o modelo fechado temos que A x = x . De maneira equivalente A x = I x
⇒
I x − A x = 0
⇒
(I − A) x = 0 ,
ou seja, o modelo fechado corresponde a um sistema linear ˆ homogeneo. ´ O primeiro passo em nossa analise para o modelo fechado e´ ˜ x nao-trivial. ˜ mostrar que esse modelo admite uma soluc¸ao Isso equivale a mostrar que det (I − A) = 0.
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Soluc¸ ˜ ao n ˜ ao-trivial
Para o modelo fechado det (I − A) = 0
De (iv ), temos que n
a i 2 = 1 −
∑ =2 j =1 j
a ij
para
i = 1, · · · , n
Apˆendice
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Soluc¸ ˜ ao n ˜ ao-trivial
Para o modelo fechado det (I − A) = 0
De (iv ), temos que n
a i 2 = 1 −
∑ =2 j =1 j
a ij
para
i = 1, · · · , n
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Apˆendice
Soluc¸ ˜ ao n ˜ ao-trivial
˜ Isolando a primeira coluna de (I − A) e substituindo na equac¸ao, temos:
−(1 − a 11 − a 13 − · · · − a 1n ) − a 13 · · · − a 1n = −1 + a 11 .. .
.. .. . . −(1 − a n 1 − a n 3 − · · · − a nn ) − a n 3 · · · 1 − a nn = a n 1 Assim, temos que a soma das colunas 2, 3,..., n e´ igual a menos a primeira coluna de (I − A). Portanto os vetores coluna de ˜ linearmente dependentes. (I − A) sao Logo, det(I − A) = 0 .
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Soluc¸ ˜ ao n ˜ ao-trivial
˜ Isolando a primeira coluna de (I − A) e substituindo na equac¸ao, temos:
−(1 − a 11 − a 13 − · · · − a 1n ) − a 13 · · · − a 1n = −1 + a 11 .. .
.. .. . . −(1 − a n 1 − a n 3 − · · · − a nn ) − a n 3 · · · 1 − a nn = a n 1 Assim, temos que a soma das colunas 2, 3,..., n e´ igual a menos a primeira coluna de (I − A). Portanto os vetores coluna de ˜ linearmente dependentes. (I − A) sao Logo, det(I − A) = 0 .
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Descric¸ ˜ ao
˜ de Leontief Modelo Aberto de Produc¸ao
˜ consiste de uma O chamado modelo aberto de produc¸ao ˜ do modelo fechado, complementada pela inserc¸ao ˜ do aplicac¸ao setor demanda externa. ˜ de determinada industria ˜ sera´ Sendo assim, a produc¸ao ´ nao completamente utilizada como insumo do setor produtivo, ou seja, sera´ parcialmente destinada a` demanda externa. Tendo os n´ıveis de prec¸os fixados, vamos utilizar a matriz para ˜ necessarios ´ determinar os n´ıveis de produc¸ao para satisfazer a demanda externa de todos os produtos.
Apˆendice
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Descric¸ ˜ ao
˜ de Leontief Modelo Aberto de Produc¸ao
˜ consiste de uma O chamado modelo aberto de produc¸ao ˜ do modelo fechado, complementada pela inserc¸ao ˜ do aplicac¸ao setor demanda externa. ˜ de determinada industria ˜ sera´ Sendo assim, a produc¸ao ´ nao completamente utilizada como insumo do setor produtivo, ou seja, sera´ parcialmente destinada a` demanda externa. Tendo os n´ıveis de prec¸os fixados, vamos utilizar a matriz para ˜ necessarios ´ determinar os n´ıveis de produc¸ao para satisfazer a demanda externa de todos os produtos.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Descric¸ ˜ ao
˜ de Leontief Modelo Aberto de Produc¸ao
˜ consiste de uma O chamado modelo aberto de produc¸ao ˜ do modelo fechado, complementada pela inserc¸ao ˜ do aplicac¸ao setor demanda externa. ˜ de determinada industria ˜ sera´ Sendo assim, a produc¸ao ´ nao completamente utilizada como insumo do setor produtivo, ou seja, sera´ parcialmente destinada a` demanda externa. Tendo os n´ıveis de prec¸os fixados, vamos utilizar a matriz para ˜ necessarios ´ determinar os n´ıveis de produc¸ao para satisfazer a demanda externa de todos os produtos.
Apˆendice
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Matrizes de Insumo - produto
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Descric¸ ˜ ao
˜ Usaremos a seguinte notac¸ao: ´ ˜ do j-esimo ´ x j = valor monetario da produc¸ao setor produtivo; ´ y j = valor monetario da demanda externa por produtos oriundos ´ do j-esimo setor produtivo; ´ ˜ da i-esima ´ ´ a ij = valor monetario da produc¸ao industria necessaria ´ ˜ de uma unidade de valor monet ario ´ a` produc¸ao do produto da c ´ j-esima industria, onde a ij = xj ij . ´
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Descric¸ ˜ ao
˜ Usaremos a seguinte notac¸ao: ´ ˜ do j-esimo ´ x j = valor monetario da produc¸ao setor produtivo; ´ y j = valor monetario da demanda externa por produtos oriundos ´ do j-esimo setor produtivo; ´ ˜ da i-esima ´ ´ a ij = valor monetario da produc¸ao industria necessaria ´ ˜ de uma unidade de valor monet ario ´ a` produc¸ao do produto da c ´ j-esima industria, onde a ij = xj ij . ´
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Descric¸ ˜ ao
˜ Usaremos a seguinte notac¸ao: ´ ˜ do j-esimo ´ x j = valor monetario da produc¸ao setor produtivo; ´ y j = valor monetario da demanda externa por produtos oriundos ´ do j-esimo setor produtivo; ´ ˜ da i-esima ´ ´ a ij = valor monetario da produc¸ao industria necessaria ´ ˜ de uma unidade de valor monet ario ´ a` produc¸ao do produto da c ´ j-esima industria, onde a ij = xj ij . ´
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Descric¸ ˜ ao
˜ Usaremos a seguinte notac¸ao: ´ ˜ do j-esimo ´ x j = valor monetario da produc¸ao setor produtivo; ´ y j = valor monetario da demanda externa por produtos oriundos ´ do j-esimo setor produtivo; ´ ˜ da i-esima ´ ´ a ij = valor monetario da produc¸ao industria necessaria ´ ˜ de uma unidade de valor monet ario ´ a` produc¸ao do produto da c ´ j-esima industria, onde a ij = xj ij . ´
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Desc De scri ric c¸ ˜ ao
onde: ˜ positivos); x j > 0, ∀ j = 1, 2,..., n (todos (to dos os prec pre c¸ os sao ´ ˜ a ij ij ≥ 0, ∀ i , j = 1, 2,..., n (todos os coeficientes t´ tecnicos sao ˜ nao-negativos); n n iii) e ∑i =1 a ij ij < 1 ∑ j =1 a ij ij < 1 ; ´ iv) y j > 0, ∀ j = 1, 2,..., n (valor monetario da demanda externa ´ por produtos da j-esima industria ´ e´ positivo). i) ii)
Logo: Para o modelo aberto temos Ax + y = x x ,, ou seja, a soma da ˜ da i-esima ´ parce pa rcela la da pro produ duc c¸ao ind´ustria utilizada como insum insumo o por cada um dos ”n ” setores produtivos mais a sua demanda ˜ total desse final externa corresponde, obviamente, a` produc¸ ao setor, para i = 1, 2,..., n
Apˆendice Ap ˆ
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Desc De scri ric c¸ ˜ ao
onde: ˜ positivos); x j > 0, ∀ j = 1, 2,..., n (todos (to dos os prec pre c¸ os sao ´ ˜ a ij ij ≥ 0, ∀ i , j = 1, 2,..., n (todos os coeficientes t´ tecnicos sao ˜ nao-negativos); n n iii) e ∑i =1 a ij ij < 1 ∑ j =1 a ij ij < 1 ; ´ iv) y j > 0, ∀ j = 1, 2,..., n (valor monetario da demanda externa ´ por produtos da j-esima industria ´ e´ positivo). i) ii)
Logo: Para o modelo aberto temos Ax + y = x , x , ou seja, a soma da ˜ da i-esima ´ parce pa rcela la da produ pro duc c¸ ao ind´ustria utilizada como insumo insumo por cada um dos ”n ” setores produtivos mais a sua demanda ˜ total desse final externa corresponde, obviamente, a` produc¸ ao setor, para i = 1, 2,..., n
Apˆendice Ap ˆ
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice Ap ˆ
Desc De scri ric c¸ ˜ ao
Ou seja: a 11 11 x 1 + a 12 12 x 2 + a 13 13 x 3 + . . . + a 1n x n n + y 1 = x 1 a 21 21 x 1 + a 22 22 x 2 + a 23 23 x 3 + . . . + a 2n x n n + y 2 = x 2 .. .. .. . . . a n n 1 x 1 + a n n 2 x 2 + a n n 3 x 3 + . . . + a nn nn x n n + y n n = x n n Logo, reescrevendo temos
(I − A)x = y .
(4)
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Descric¸ ˜ ao
Ou seja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1n x n + y 1 = x 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2n x n + y 2 = x 2 .. .. .. . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a nn x n + y n = x n Logo, reescrevendo temos
(I − A)x = y .
(4)
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Descric¸ ˜ ao
˜ fornecido, podemos Sendo assim, para um vetor produc¸ ao facilmente calcular a demanda final. Por´em, nosso objetivo e´ ˜ necessarias ´ encontrar as adaptac¸ oes ao setor produtivo para ` demandas projetadas pelos planejadores de pol´ıticas atender as ˆ ˜ invertendo a matriz (I − A) e multiplicando a` economicas, entao, ˜ pela inversa desta, esquerda os dois lados da equac¸ao chegamos a` identidade:
(I − A)−1 y = x , que nos permite calcular, partindo de uma ´ ˜ de cada demanda projetada, os n´ıveis necessarios de produc¸ao setor.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Descric¸ ˜ ao
˜ fornecido, podemos Sendo assim, para um vetor produc¸ ao facilmente calcular a demanda final. Por´em, nosso objetivo e´ ˜ necessarias ´ encontrar as adaptac¸ oes ao setor produtivo para ` demandas projetadas pelos planejadores de pol´ıticas atender as ˆ ˜ invertendo a matriz (I − A) e multiplicando a` economicas, entao, ˜ pela inversa desta, esquerda os dois lados da equac¸ao chegamos a` identidade:
(I − A)−1 y = x , que nos permite calcular, partindo de uma ´ ˜ de cada demanda projetada, os n´ıveis necessarios de produc¸ao setor.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Descric¸ ˜ ao
˜ do sistema de Leontief para o modelo abeto de A soluc¸ao ˜ levanta alguns questionamentos: produc¸ao ˜ para o mesmo, ou i) Sera´ que existe uma unica soluc¸ao ´ equivalentemente, (I − A) e´ invers´ıvel? ˜ e´ sempre positiva (nao ˜ e´ economicamente viavel ´ ii) A soluc¸ao ˜ negativa)? termos produc¸ao
˜ vamos provar que o sistema de Leontief possui Nessa sec¸ao ˜ positiva. Para tal faremos uso de algumas uma unica soluc¸ao ´ ˜ e teoremas conhecidos da algebra ´ definic¸oes Linear.
Apˆendice
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Descric¸ ˜ ao
˜ do sistema de Leontief para o modelo abeto de A soluc¸ao ˜ levanta alguns questionamentos: produc¸ao ˜ para o mesmo, ou i) Sera´ que existe uma unica soluc¸ao ´ equivalentemente, (I − A) e´ invers´ıvel? ˜ e´ sempre positiva (nao ˜ e´ economicamente viavel ´ ii) A soluc¸ao ˜ negativa)? termos produc¸ao
˜ vamos provar que o sistema de Leontief possui Nessa sec¸ao ˜ positiva. Para tal faremos uso de algumas uma unica soluc¸ao ´ ˜ e teoremas conhecidos da algebra ´ definic¸oes Linear.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Soluc¸ ˜ ao Positiva para o Modelo Aberto
˜ Positiva para o Modelo Aberto Soluc¸ao
Teorema ˜ do sistema aberto de produc¸ ao, ˜ (que sempre Seja x ∈ Rn a soluc¸ao ´ unica, existe e e como veremos a seguir) , com a ij e y j satisfazendo ii), ´ iii) e iv) . Ent ˜ ao, x j > 0, j = 1,.., n. ˜ e´ feita usando induc¸ao ˜ na dimensao ˜ de A. Prova: A demonstrac¸ao
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Soluc¸ ˜ ao Positiva para o Modelo Aberto
´ A de dimensao ˜ 1 × 1. Por construc¸ao ˜ P (1) : Seja A = [a 11 ], isto e, ´ ˜ a 11 < 1 e assim, 1 − a 11 > 0. Como por hipotese y > 0, entao (1 − a 11 )x = y implica x > 0.
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Apˆendice
Soluc¸ ˜ ao Positiva para o Modelo Aberto
˜ do sistema P (k +1) : Vamos mostrar que, se x e´ soluc¸ao
(I − A)(k +1)×(k +1) x = y ˜ x j > 0, para j = 1, · · · , k + 1. , com A satisfazendo ii) e iii), entao Suponha x j ≤ 0, para algum j ∈ {1, · · · , k + 1}. Como k
y i +
∑
a ij x j = (1 − a jj )x j
(5)
=i j =1, j
e (1 − a jj ) > 0 temos que (1 − a jj )x j < 0. ˜ ´ Assim, da Hipotese de Induc¸ ˜ ao e de iii) aplicados a` equac¸ao, segue que 0 ≤ y i + ∑ j k =1, j =i a ij x j = ( 1 − a jj )x j < 0. ˜ Logo x j > 0 para todo j = 1, · · · , k + 1. Uma contradicao.
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Apˆendice
Soluc¸ ˜ ao Positiva para o Modelo Aberto
˜ do sistema P (k +1) : Vamos mostrar que, se x e´ soluc¸ao
(I − A)(k +1)×(k +1) x = y ˜ x j > 0, para j = 1, · · · , k + 1. , com A satisfazendo ii) e iii), entao Suponha x j ≤ 0, para algum j ∈ {1, · · · , k + 1}. Como k
y i +
∑
a ij x j = (1 − a jj )x j
(5)
=i j =1, j
e (1 − a jj ) > 0 temos que (1 − a jj )x j < 0. ˜ ´ Assim, da Hipotese de Induc¸ ˜ ao e de iii) aplicados a` equac¸ao, segue que 0 ≤ y i + ∑ j k =1, j =i a ij x j = ( 1 − a jj )x j < 0. ˜ Logo x j > 0 para todo j = 1, · · · , k + 1. Uma contradicao.
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Apˆendice
Soluc¸ ˜ ao Positiva para o Modelo Aberto
˜ do sistema P (k +1) : Vamos mostrar que, se x e´ soluc¸ao
(I − A)(k +1)×(k +1) x = y ˜ x j > 0, para j = 1, · · · , k + 1. , com A satisfazendo ii) e iii), entao Suponha x j ≤ 0, para algum j ∈ {1, · · · , k + 1}. Como k
y i +
∑
a ij x j = (1 − a jj )x j
(5)
=i j =1, j
e (1 − a jj ) > 0 temos que (1 − a jj )x j < 0. ˜ ´ Assim, da Hipotese de Induc¸ ˜ ao e de iii) aplicados a` equac¸ao, segue que 0 ≤ y i + ∑ j k =1, j =i a ij x j = ( 1 − a jj )x j < 0. ˜ Logo x j > 0 para todo j = 1, · · · , k + 1. Uma contradicao.
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Soluc¸ ˜ ao Positiva para o Modelo Aberto
˜ do sistema P (k +1) : Vamos mostrar que, se x e´ soluc¸ao
(I − A)(k +1)×(k +1) x = y ˜ x j > 0, para j = 1, · · · , k + 1. , com A satisfazendo ii) e iii), entao Suponha x j ≤ 0, para algum j ∈ {1, · · · , k + 1}. Como k
y i +
∑
a ij x j = (1 − a jj )x j
(5)
=i j =1, j
e (1 − a jj ) > 0 temos que (1 − a jj )x j < 0. ˜ ´ Assim, da Hipotese de Induc¸ ˜ ao e de iii) aplicados a` equac¸ao, segue que 0 ≤ y i + ∑ j k =1, j =i a ij x j = ( 1 − a jj )x j < 0. ˜ Logo x j > 0 para todo j = 1, · · · , k + 1. Uma contradicao.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Demonstrando que a matriz e´ sempre sem pre invers´ıvel ıvel
˜ de Inversibilidade Condic¸ oes
ˆ Dizemos que a sequencia An , n ∈ N de matrizes converge para (ou se aproxima de, ou ainda tem como limite) a matriz A = [a ij ij ] (de mesma ordem) se os elementos das matrizes An se ´ aproximam dos elementos correspondentes da matriz A, isto e, (n )
limn →∞ a ij = a ij ij para i = 1, 2,..., r e j = 1, 2,..., s ˜ Neste caso usaremo usaremos s a notac¸ ao lim An = A
n →∞
ou An → A
Apˆendice Ap ˆ
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Demonstrando que a matriz e´ sempre sem pre invers´ıvel ıvel
˜ de Inversibilidade Condic¸ oes
ˆ Dizemos que a sequencia An , n ∈ N de matrizes converge para (ou se aproxima de, ou ainda tem como limite) a matriz A = [a ij ij ] (de mesma ordem) se os elementos das matrizes An se ´ aproximam dos elementos correspondentes da matriz A, isto e, (n )
limn →∞ a ij = a ij ij para i = 1, 2,..., r e j = 1, 2,..., s ˜ Neste caso usaremos usaremo s a notac¸ ao lim An = A
n →∞
ou An → A
Apˆendice Ap ˆ
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice Ap ˆ
Demonstrando que a matriz e´ sempre sem pre invers´ıvel ıvel
˜ acima, dizemos que a series ´ Pela Pela de defin finic ic¸ ao de matrizes (soma de infinitas matrizes) A1 + A2 + ... + An + An +1 + ... tem como soma ˆ uma matriz S e escrevemos S = A1 + A2 + ... se a sequencia B n n ´ n ∈ N, onde B n n = A1 + ... + An tem como limite a matriz S , isto e, lim B n n = S .
n →∞
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
ˆ Como o limite de uma sequencia de matrizes e´ formado pelos limites dos elementos, certas propriedades de limites de ˆ ´ sao ˜ validas ´ ˆ sequencias de numeros tambem para sequencias de ´ matrizes. Por, exemplo, constantes multiplicativas podem ser ˆ ´ colocadas fora do limite em sequencias numericas, isto ´ e,lim n →∞ K .a n = K . limn →∞ a n , o mesmo valendo para matrizes. ˜ matrizes constantes, entao ˜ Ou seja, se Q 1 e Q 2 sao lim (Q 1 .An ) = Q 1 .( lim An )
n →∞
n →∞
e lim (An .Q 2 ) = ( lim An ).Q 2 ,
n →∞
n →∞
˜ desde que sejam poss´ıveis as operac¸oes.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
ˆ Como o limite de uma sequencia de matrizes e´ formado pelos limites dos elementos, certas propriedades de limites de ˆ ´ sao ˜ validas ´ ˆ sequencias de numeros tambem para sequencias de ´ matrizes. Por, exemplo, constantes multiplicativas podem ser ˆ ´ colocadas fora do limite em sequencias numericas, isto ´ e,lim n →∞ K .a n = K . limn →∞ a n , o mesmo valendo para matrizes. ˜ matrizes constantes, entao ˜ Ou seja, se Q 1 e Q 2 sao lim (Q 1 .An ) = Q 1 .( lim An )
n →∞
n →∞
e lim (An .Q 2 ) = ( lim An ).Q 2 ,
n →∞
n →∞
˜ desde que sejam poss´ıveis as operac¸oes.
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
˜ em que, sob Os resultados que vem a seguir mostram situac¸oes ˆ certos aspectos, as sequencias de matrizes comportam-se como ˆ sequencias de numeros. ´ A primeira delas e´ que, dado um n umero ´ real ou complexo a , ˆ ˜ numeros com |a | < 1, as potencias de |a | sao cada vez mais ´ ´ ´ limk →∞ |a |k = 0, e portanto proximos de zero, isto e, ´ disso, se |a | > 1,limk →∞ a k nao ˜ e´ zero. limk →∞ a k = 0. Alem ˆ ˜ Se tivermos uma sequencia de numeros ´ que e´ uma progressao ´ ˜ a , com |a | < 1, entao ˜ a geometrica de primeiro termo 1 e razao ˜ e´ dada por soma dos termos (infinitos) desta progressao 2
k
1 + a + a + ... + a + ... =
1 1 − a
= (1 − a )−1
´ sao ˜ validos ´ ˜ Estes resultados tambem (com certas modificac¸oes) ˆ para sequencias de matrizes, como veremos.
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Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
˜ em que, sob Os resultados que vem a seguir mostram situac¸oes ˆ certos aspectos, as sequencias de matrizes comportam-se como ˆ sequencias de numeros. ´ A primeira delas e´ que, dado um n umero ´ real ou complexo a , ˆ ˜ numeros com |a | < 1, as potencias de |a | sao cada vez mais ´ ´ ´ limk →∞ |a |k = 0, e portanto proximos de zero, isto e, ´ disso, se |a | > 1,limk →∞ a k nao ˜ e´ zero. limk →∞ a k = 0. Alem ˆ ˜ Se tivermos uma sequencia de numeros ´ que e´ uma progressao ´ ˜ a , com |a | < 1, entao ˜ a geometrica de primeiro termo 1 e razao ˜ e´ dada por soma dos termos (infinitos) desta progressao 2
k
1 + a + a + ... + a + ... =
1 1 − a
= (1 − a )−1
´ sao ˜ validos ´ ˜ Estes resultados tambem (com certas modificac¸oes) ˆ para sequencias de matrizes, como veremos.
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Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
˜ em que, sob Os resultados que vem a seguir mostram situac¸oes ˆ certos aspectos, as sequencias de matrizes comportam-se como ˆ sequencias de numeros. ´ A primeira delas e´ que, dado um n umero ´ real ou complexo a , ˆ ˜ numeros com |a | < 1, as potencias de |a | sao cada vez mais ´ ´ ´ limk →∞ |a |k = 0, e portanto proximos de zero, isto e, ´ disso, se |a | > 1,limk →∞ a k nao ˜ e´ zero. limk →∞ a k = 0. Alem ˆ ˜ Se tivermos uma sequencia de numeros ´ que e´ uma progressao ´ ˜ a , com |a | < 1, entao ˜ a geometrica de primeiro termo 1 e razao ˜ e´ dada por soma dos termos (infinitos) desta progressao 2
k
1 + a + a + ... + a + ... =
1 1 − a
= (1 − a )−1
´ sao ˜ validos ´ ˜ Estes resultados tambem (com certas modificac¸oes) ˆ para sequencias de matrizes, como veremos.
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Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
˜ em que, sob Os resultados que vem a seguir mostram situac¸oes ˆ certos aspectos, as sequencias de matrizes comportam-se como ˆ sequencias de numeros. ´ A primeira delas e´ que, dado um n umero ´ real ou complexo a , ˆ ˜ numeros com |a | < 1, as potencias de |a | sao cada vez mais ´ ´ ´ limk →∞ |a |k = 0, e portanto proximos de zero, isto e, ´ disso, se |a | > 1,limk →∞ a k nao ˜ e´ zero. limk →∞ a k = 0. Alem ˆ ˜ Se tivermos uma sequencia de numeros ´ que e´ uma progressao ´ ˜ a , com |a | < 1, entao ˜ a geometrica de primeiro termo 1 e razao ˜ e´ dada por soma dos termos (infinitos) desta progressao 2
k
1 + a + a + ... + a + ... =
1 1 − a
= (1 − a )−1
´ sao ˜ validos ´ ˜ Estes resultados tambem (com certas modificac¸oes) ˆ para sequencias de matrizes, como veremos.
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Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
Teorema Seja A uma matriz quadrada n × n. Ent ˜ ao limk →∞ Ak = 0 (matriz nula n × n) se e somente se todos os autovalores de A t ˆ em m ´ odulo menor que 1. ´ Prova: Suponhamos que A seja diagonalizavel. Existe uma matriz invers´ıvel, Q , tal que
λ 0 A = Q . ...
1
0
0
...
λ2 ..
...
˜ os autovalores de A. , onde os λ j sao
0 .. .
.
λn
.Q − $ 1
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Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
˜ temos que Por induc¸ao, k 1
lim Ak
k →∞
λ = lim Q . ... → k
∞
0
... ...
0 .. . λk n
.Q −
1
k 1
λ = Q .( lim ... → k
∞
0
... ...
0 .. . λk n
Como |λ j | < 1 , j = 1, · · · , n , temos que limk →∞ λ j k = 0. Portanto, lim Ak = Q .0.Q −1 = 0
k →∞
˜ |λ j | < 1 para Vamos mostrar agora que, se limk →∞ Ak = 0, entao j = 1,..., n .
).
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Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
˜ temos que Por induc¸ao, k 1
lim Ak
k →∞
λ = lim Q . ... → k
∞
0
... ...
0 .. . λk n
.Q −
1
k 1
λ = Q .( lim ... → k
∞
0
... ...
0 .. . λk n
Como |λ j | < 1 , j = 1, · · · , n , temos que limk →∞ λ j k = 0. Portanto, lim Ak = Q .0.Q −1 = 0
k →∞
˜ |λ j | < 1 para Vamos mostrar agora que, se limk →∞ Ak = 0, entao j = 1,..., n .
).
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
Suponhamos, por absurdo, que um dos autovalores, por exemplo ´ o λ1 , tem modulo maior ou igual a 1. Ent˜ao, limk →∞ λk = 0. 1 Dessa forma k 1
lim Ak
k →∞
λ = Q ( lim ... → k
∞
0
... ...
0 .. . λk n
).Q −
1
=0
o que contradiz o fato inicial de que limk →∞ Ak = 0. Portanto, ´ todos os autovalores devem ter modulo menor que 1.
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
Teorema Seja A uma matriz quadrada n × n. Ent ˜ ao,limk →∞ Ak = 0 se e somente se I − A e´ uma matriz invers ´ıvel e I + A + A2 + ... + Ak + ... = ( I − A)−1 , onde I e´ a matriz identidade n × n. Prova: Suponha que limk →∞ Ak = 0. Pelo teorema anterior vemos que ˆ modulo ´ os autovalores de A tem menor que 1 e, portanto, o n´umero 1 ˜ e´ autovalor, o que implica det (A − 1.I ) nao = 0. Assim, I − A e´ invers´ıvel, cuja inversa denotamos por (I − A)−1 . Note que, vale a identidade
(I + A + A2 + ... + Ak )(I − A) = I − Ak +1 .
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
Aplicando o limite k → ∞ de ambos os lados e utilizando a ´ hipotese que limk →∞ Ak = 0 temos que lim (I + A + A2 + ... + Ak )(I − A) = I .
k →∞
˜ quadradas, temos que Como as matrizes sao lim (I + A + A2 + ... + Ak ) = ( I − A)−1 .
k →∞
Apˆendice
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
Reciprocamente, suponha que lim (I + A + A2 + ... + Ak −1 ) = (I − A)−1
k →∞
. Multiplicando esta igualdade de ambos os lados por (I − A) e usando propriedades de limite temos que lim (I + A + A2 + ... + Ak −1 )(I − A) = I
k →∞
Portanto, lim (I + A + A2 + · · · + Ak −1 − A − A2 − · · · − Ak ) = I
k →∞
Consequentemente, lim Ak = 0 .
k →∞
Apˆendice
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Demonstrando que a matriz e´ sempre invers´ıvel
Teorema Se A e´ uma matriz quadrada tal que ||A|| < 1, ent ˜ ao todos os seus autovalores t ˆ em m ´ odulo menor que 1. Prova: Temos ||A2 || = ||A.A| | ≤ | |A||.||A| | ≤ | |A||2 e, inditivamente, ||Ak | | ≤ | |A||k . Como ||A|| < 1, temos 0 ≤ limk →∞ ||Ak || ≤ limk →∞ ||A||k = 0 ou seja, limk →∞ ||Ak || = 0 e portanto limk →∞ Ak = 0. ˜ o teorema anterior, vemos que os autovalores de A Usando, entao, ˆ modulo ´ tem menor que 1.
Apˆendice
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Matrizes de Insumo - produto
´ Um exemplo numerico
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
´ Um exemplo numerico Para facilitar o entendimento, suponhamos uma economia ˜ onde: dividida em apenas 3 setores de produc¸ao, ´ ´ Setor - 1) Setor Prim ario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) ˜ 1000 u.d. PRODUC ¸ AO ´ ˜ Setor - 2) Setor Secund ario (industria de transformac¸ao) ˜ 2000 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ Setor - 3) Setor de Servic¸os (transportes, intermediac¸ oes financeiras) ˜ 800 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ e consumo externo aos setores Demanda externa (exportac¸oes produtivos)
Apˆendice
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
´ Um exemplo numerico Para facilitar o entendimento, suponhamos uma economia ˜ onde: dividida em apenas 3 setores de produc¸ao, ´ ´ Setor - 1) Setor Prim ario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) ˜ 1000 u.d. PRODUC ¸ AO ´ ˜ Setor - 2) Setor Secund ario (industria de transformac¸ao) ˜ 2000 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ Setor - 3) Setor de Servic¸os (transportes, intermediac¸ oes financeiras) ˜ 800 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ e consumo externo aos setores Demanda externa (exportac¸oes produtivos)
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
´ Um exemplo numerico Para facilitar o entendimento, suponhamos uma economia ˜ onde: dividida em apenas 3 setores de produc¸ao, ´ ´ Setor - 1) Setor Prim ario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) ˜ 1000 u.d. PRODUC ¸ AO ´ ˜ Setor - 2) Setor Secund ario (industria de transformac¸ao) ˜ 2000 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ Setor - 3) Setor de Servic¸os (transportes, intermediac¸ oes financeiras) ˜ 800 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ e consumo externo aos setores Demanda externa (exportac¸oes produtivos)
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
´ Um exemplo numerico Para facilitar o entendimento, suponhamos uma economia ˜ onde: dividida em apenas 3 setores de produc¸ao, ´ ´ Setor - 1) Setor Prim ario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) ˜ 1000 u.d. PRODUC ¸ AO ´ ˜ Setor - 2) Setor Secund ario (industria de transformac¸ao) ˜ 2000 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ Setor - 3) Setor de Servic¸os (transportes, intermediac¸ oes financeiras) ˜ 800 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ e consumo externo aos setores Demanda externa (exportac¸oes produtivos)
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
´ Um exemplo numerico Para facilitar o entendimento, suponhamos uma economia ˜ onde: dividida em apenas 3 setores de produc¸ao, ´ ´ Setor - 1) Setor Prim ario (agricultura, pecuaria, estrativo, etc...) ˜ 1000 u.d. PRODUC ¸ AO ´ ˜ Setor - 2) Setor Secund ario (industria de transformac¸ao) ˜ 2000 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ Setor - 3) Setor de Servic¸os (transportes, intermediac¸ oes financeiras) ˜ 800 u.d. PRODUC ¸ AO ˜ e consumo externo aos setores Demanda externa (exportac¸oes produtivos)
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
Uso ˜ Produc¸ao Setor 1 Setor 2 Setor 3 Total
Setor 1
Setor 2
Setor 3
Demanda Externa
˜ Total Produc¸ ao
200 500 200 900
400 300 300 1000
100 400 100 600
300 800 200
1000 2000 800
´ Vamos montar a matriz de coeficientes tecnicos: Onde a ij = ˜ Produc¸ao Setor 1 Setor 2 Setor 3
Setor 1 200/1000 500/1000 200/1000
c ij , x j
Setor 2 400/2000 300/2000 300/2000
ou seja: Setor 3 100/800 400/800 100/800
˜ Total Produc¸ao 1000 2000 800
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
Uso ˜ Produc¸ao Setor 1 Setor 2 Setor 3 Total
Setor 1
Setor 2
Setor 3
Demanda Externa
˜ Total Produc¸ ao
200 500 200 900
400 300 300 1000
100 400 100 600
300 800 200
1000 2000 800
´ Vamos montar a matriz de coeficientes tecnicos: Onde a ij = ˜ Produc¸ao Setor 1 Setor 2 Setor 3
Setor 1 200/1000 500/1000 200/1000
c ij , x j
Setor 2 400/2000 300/2000 300/2000
ou seja: Setor 3 100/800 400/800 100/800
˜ Total Produc¸ao 1000 2000 800
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
Uso ˜ Produc¸ao Setor 1 Setor 2 Setor 3 Total
Setor 1
Setor 2
Setor 3
Demanda Externa
˜ Total Produc¸ ao
200 500 200 900
400 300 300 1000
100 400 100 600
300 800 200
1000 2000 800
´ Vamos montar a matriz de coeficientes tecnicos: Onde a ij = ˜ Produc¸ao Setor 1 Setor 2 Setor 3
Setor 1 200/1000 500/1000 200/1000
c ij , x j
Setor 2 400/2000 300/2000 300/2000
ou seja: Setor 3 100/800 400/800 100/800
˜ Total Produc¸ao 1000 2000 800
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
˜ A igual: Entao Setor 1 Setor 2 Setor 3
Setor 1 1/5 1/2 1/5
Setor 2 1/5 3/20 3/20
Setor 3 1/8 1/2 1/8
Pela matriz Insumo-Produto, A.x + y = x , ou seja: . A . x =
1/5 1/2 1/5
1/5 3/20 3/20
1/8 1000 700 1/2 . 2000 = 1200 1/8
800
A.x +
.
y
600
=
x
700 300 1000 1200 + 800 = 2000 600
A.x
200
800
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
˜ A igual: Entao Setor 1 Setor 2 Setor 3
Setor 1 1/5 1/2 1/5
Setor 2 1/5 3/20 3/20
Setor 3 1/8 1/2 1/8
Pela matriz Insumo-Produto, A.x + y = x , ou seja: . A . x =
1/5 1/2 1/5
1/5 3/20 3/20
1/8 1000 700 1/2 . 2000 = 1200 1/8
800
A.x +
.
y
600
=
x
700 300 1000 1200 + 800 = 2000 600
A.x
200
800
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
˜ A igual: Entao Setor 1 Setor 2 Setor 3
Setor 1 1/5 1/2 1/5
Setor 2 1/5 3/20 3/20
Setor 3 1/8 1/2 1/8
Pela matriz Insumo-Produto, A.x + y = x , ou seja: . A . x =
1/5 1/2 1/5
1/5 3/20 3/20
1/8 1000 700 1/2 . 2000 = 1200 1/8
800
A.x +
.
y
600
=
x
700 300 1000 1200 + 800 = 2000 600
A.x
200
800
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
Supondo que a demanda externa do setor 1, receba um ´ acrescimo de 100un., vamos utilizar a matriz de insumo-produto ˜ que se fazem para calcular novos n´ıveis de produc¸ao ´ necessarios. ˜ (I − A)−1 .y = x . Temos que: A.x + y = x , entao
4/5 (I − A) = −1/2
−1/5 17/20 −1/5 −3/20
−1/8 −1/2 7/8
Apˆendice
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Matrizes de Insumo - produto
Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
Invertendo (I − A), temos:
(I − A)−1
=
300 y = 800 200
214 127 172 127 392 635
62 127 216 127 256 635
66 127 148 127 928 635
400 , y = 800 200
Apˆendice
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
´ Um exemplo numerico
Invertendo (I − A), temos:
(I − A)−1
=
300 y = 800 200
214 127 172 127 392 635
62 127 216 127 256 635
66 127 148 127 928 635
400 , y = 800 200
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
´ Um exemplo numerico
(I − A)−1 .y = x , ent a˜o :
(I − A)−1
=
214 127 172 127 392 635
62 127 216 127 256 635
66 127 148 127 928 635
400 1168, 50 . 800 = 2135, 43 200
861, 73
˜ necessaria para os n Dessa forma, podemos planejar a produc¸ao ˜ da demanda externa. setores, de acordo com as variac¸oes
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
Apˆendice
´ Um exemplo numerico
(I − A)−1 .y = x , ent a˜o :
(I − A)−1
=
214 127 172 127 392 635
62 127 216 127 256 635
66 127 148 127 928 635
400 1168, 50 . 800 = 2135, 43 200
861, 73
˜ necessaria para os n Dessa forma, podemos planejar a produc¸ao ˜ da demanda externa. setores, de acordo com as variac¸oes
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Apˆendice
´ Um exemplo numerico
(I − A)−1 .y = x , ent a˜o :
(I − A)−1
=
214 127 172 127 392 635
62 127 216 127 256 635
66 127 148 127 928 635
400 1168, 50 . 800 = 2135, 43 200
861, 73
˜ necessaria para os n Dessa forma, podemos planejar a produc¸ao ˜ da demanda externa. setores, de acordo com as variac¸oes
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Modelo Fechado ou Input-Output
Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
ˆ Abrindo as contas da soluc¸ ˜ ao do sistema homog eneo
˜ do sistema homogeneo ˆ Abrindo as contas da soluc¸ao
a 11 .. . a n 1
+a 12 + . . . +a n 1 = 1 .. . +a 21
+ . . . +a nn =
.. . 1
˜ Entao a 12 .. . a n 2
= 1 −a 11 −a 13 − . . . −a 1n .. .
= 1 −a n 1 −a n 3 − . . .
.. . −a nn
Apˆendice
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ˆ Abrindo as contas da soluc¸ ˜ ao do sistema homog eneo
˜ do sistema homogeneo ˆ Abrindo as contas da soluc¸ao
a 11 .. . a n 1
+a 12 + . . . +a n 1 = 1 .. . +a 21
+ . . . +a nn =
.. . 1
˜ Entao a 12 .. . a n 2
= 1 −a 11 −a 13 − . . . −a 1n .. .
= 1 −a n 1 −a n 3 − . . .
.. . −a nn
Apˆendice
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Modelo Aberto de Produc¸ ˜ ao de Leontief
ˆ Abrindo as contas da soluc¸ ˜ ao do sistema homog eneo
1 − a 11 .. (I − A) = . −a n 1
−a 12 −a 13 − . . . .. . −a n 2
−a n 1 .. .
−a n 3 − . . . 1 − a nn
Excluindo a primeira coluna e somando os elementos de cada linha temos:
−a 12 −a 13 1 − a 22 −a 23 .. . −a n 2
− − ..
−a n 3
... ...
−a 1n −a 2n
.
−
. . . 1 − a nn
(2)
Apˆendice
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ˆ Abrindo as contas da soluc¸ ˜ ao do sistema homog eneo
1 − a 11 .. (I − A) = . −a n 1
−a 12 −a 13 − . . . .. . −a n 2
−a n 1 .. .
−a n 3 − . . . 1 − a nn
Excluindo a primeira coluna e somando os elementos de cada linha temos:
−a 12 −a 13 1 − a 22 −a 23 .. . −a n 2
− − ..
−a n 3
... ...
−a 1n −a 2n
.
−
. . . 1 − a nn
(2)
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Apˆendice
ˆ Abrindo as contas da soluc¸ ˜ ao do sistema homog eneo
Substituindo (1) em (2), temos
−(1 − a 11 − a 13 − ... − a 1n ) −a 13 − . . . .. . −(1 − a n 1 − a n 3 − ... − a nn )
.. . −a n 3
−a 1n
= −1 + a 11
− . . . 1 − a nn =
˜ e´ igual a menos a coluna 1 da matriz (I − A), Mas a expressao ˜ L.D e det (I − A) = 0, ou seja logo os vetores de (I − A) sao (I − A)−1 .
.. . a n 1
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ˆ Abrindo as contas da soluc¸ ˜ ao do sistema homog eneo
Substituindo (1) em (2), temos
−(1 − a 11 − a 13 − ... − a 1n ) −a 13 − . . . .. . −(1 − a n 1 − a n 3 − ... − a nn )
.. . −a n 3
−a 1n
= −1 + a 11
− . . . 1 − a nn =
˜ e´ igual a menos a coluna 1 da matriz (I − A), Mas a expressao ˜ L.D e det (I − A) = 0, ou seja logo os vetores de (I − A) sao (I − A)−1 .
.. . a n 1