Aproximaciones y Errores de Redondeo

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO NUMÉRICO

UNIDAD TEMÁTICA I: SOLUCIÓN DE ECUACIONES Aplicarr los diferente diferentess métodos métodos de resoluc resolución ión de ecuaci ecuacione oness no lineal lineales es y OBJETIVO DIDACTICO: Aplica sistemas de ecuaciones lineales, a problemas matemáticos estableciendo errores que se cometen en cada aproximación

I.1.- APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO OBJETIVO DIDACTICO: Conocer las diferentes fuentes de errores que suelen aparecer en el proceso de resolución de problemas científicos. Entender el concepto de ERROR es importante para usar de manera efectiva los método métodoss numéri numéricos cos.. Estos Estos método métodoss numéri numéricos cos son el corazó corazón n de la Unidad Unidad Curric Curricula ular r Cálculo Numérico, ya que la misma gira en torno al aprendizaje de los mismos para la formulación formulación de problemas problemas matemáticos. matemáticos. El análisis numérico estudia cómo un problema es resuelto numéricamente, parte de este proceso es considerar los errores que aparecen en estos cálculos, si son de redondeo o de otra fuente. Aunque con la técnica numérica se puede obtener una aproximación a la solución exacta analítica, existe cierta discrepancia o error, debido a que los métodos numéricos son sólo una aproximación. Pocas veces, somos afortunados al disponer de la solución analítica y calcular el error en forma exacta. Pero para muchos problemas de aplicación no se puede obtener una solución analítica, por lo tanto no podremos calcular con exactitud los errores asociados con nuestros métodos numéricos. En esos casos debemos resolver por aproximación o estimar los errores. Pero ante este panorama vale la pena preguntarse ¿qué nivel de error se presenta en los cálculos y qué tan tolerable es? Para ello es necesario estudiar la información referente a la cuantificación de errores; los errores más comunes: el de redondeo y el de truncamiento, entre otros.

Definiciones de Error : los errores errores numéricos son aquellos que se generan generan con el uso de aproximaciones aproximaciones para representar las cantidades y operaciones matemáticas. Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos. La primera es el error de truncamiento y la segunda es el error de redondeo. El error de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo. Los errores de redondeo se asocian con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una computadora. Cifras significativas: Son aquellas que llevan la información real a cerca del tamaño del número aparte de su porción exponencial. Aunque, por lo común, determinar las cifras significativas de un número es un procedimiento sencillo, en algunos casos genera cierta confusión. Por ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal. Ejemplos: 8632574 redondeado a (4cs) es 8633000 • 3,1415926 redondeado a (5d) es 3,14159 • • 8,5250 redondeado a (2d) es 8,53 1,6750 redondeado a (2d) es 1,68 • 4,53 x 104 tiene 3 cifras significativas • 4,530 x 104 tiene 4 cifras significativas • • 4,5300 x 104 tiene 5 cifras significativas El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos:

1

•

Como ya se ha mencionado, los métodos numéricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se deben desarrollar criterios para especificar qué tan confiable son dichos resultados. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas.

•

Aunque ciertas cantidades como los números irracionales π , e, ó representan cantidades específicas, no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos, las computadoras retienen sólo un número

Licda. ALEXANDRA NOGUERA, MSc – Departamento de Física y Matemática UNEFM 2010


finito de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión del resto de cifras significativas es lo que hemos llamado error de redondeo.

Para minimizar el error de redondeo en cifras se utiliza el siguiente proceso: Sea a 1, a2, a3, a4, a5, ... an Para redondear a “n” decimales es decir cortar hasta a n: a) Si el número an+1 > 5, entonces a n+1 (a n se incrementa en uno) b) Si el número a n+1 < 5, entonces a n queda igual c) Si el número a n+1 = 5, estudiar la naturaleza de na(como se muestra en C1 y C2) C1) si a n es par, este queda igual : a n C2) si a n es impar, se le suma uno: a n+1 d) Si a n+1 = 4 y a n+2 >5, entonces a n+1 = a n+1+1, luego se aplica c)

• • •

EJEMPLOS: • 0,283049 redondeado a (4d) es 0,2830 (el cero se toma como un número par) 0,283049 redondeado a (4CF) es 0,283 • 0,523149 redondeado a (4d) es 0,5232 (Observa que luego de 0,5231 tenemos 49 lo que pudiera redondearse a 5 y como antes de él está 1, que es impar, se aplica C2) 0,314156739 redondeado a (4d) es 0,3142 redondeado a (5CF) es 0,3142 3,216545 redondeado a (4d) es 3,2165

Exactitud y Precisión: los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Para poder disminuir los errores cometidos en las aproximaciones numéricas, es necesario aumentar tanto la exactitud como la precisión de manera simultánea para poder llegar a la solución requerida, es decir, se deben ir comparando las diferentes aproximaciones obtenidas entre sí y a la vez con la solución exacta del problema. Para los dos tipos de errores antes mencionados, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por:

Valor verdadero (Vv) = Aproximación + Error

(1)

Reordenando la ecuación (1) se encuentra que el error verdadero o absoluto es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:

Ev = Vv – aproximación

(2)

Un defecto de esta definición es que no toma en consideració consideración n el orden de magnitud del valor que se está probando. probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir magnitudes de las cantidades que se están evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en el error relativo Error Re lativo

Ev =

Vv

(3)

Si este error se multiplica por el 100% se obtiene el porcentaje de Error relativo el cual se expresa como:

ER

Ev =

Vv

*100%

(4) (Aquí ER representa el % de error)

Para los métodos numéricos, el valor verdadero sólo se conocerá cuando se hable de funciones que pueden resolverse analíticamente. Por lo general éste no será el caso cuando se estudie el comportamiento teórico de una técnica en particular. Sin embargo, en muchas aplicaciones no es posible obtener soluciones analíticas; por lo tanto, no se puede calcular con exactitud los errores en nuestros métodos numéricos. aproximaciones o estimaciones a los errores , siendo una alternativa, normalizar el En estos casos, debemos usar error usando la mejor estimación posible del valor verdadero; esto es, para la aproximación misma como en

2



Ea

Error Aproximado =

(5)

*100 %

Valor Aproximado

Donde el subíndice “a” significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Uno de los retos a que se enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia del conocimiento de valores verdaderos. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular resultados. En tales casos se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces o de forma iterativa para calcular en forma sucesiva más y mejores aproximaciones. En tales casos el error aproximado se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el porcentaje de error está dado por Ea

=

Aproximaci ón Actual - Aproximaci ón Anterior * 100 100 % Aproximació n Actual

(6)

En numerosos cálculos numéricos, es probable que un procedimiento se detenga cuando cierto valor tiene a cero (por ejemplo una diferencia en un problema de convergencia). Sin embargo es difícil obtener un valor exactamente nulo por los proble problemas mas de aproxi aproximac mación ión y de imprec imprecisi isión ón en los cálcul cálculos. os. Para Para remedi remediar ar est esto o se suele suele detene detenerr los los procedimientos cuando el valor es sumamente pequeño. Este valor lo denotaremos como ε (epsilon), también conocido como tolerancia. Los signos de las ecuaciones (2) – (6) pueden ser positivos o negativos. A menudo cuando se realizan los cálculos pueden no importar mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que la tolerancia prefijada e. Por lo tanto, con frecuencia resulta útil emplear un valor absoluto en las ecuaciones (2) – (6). En tales casos los cálculos se repiten hasta que

|Ea| <

ε

(7)

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable previamente fijado. Es conveniente relacionar también estos errores con el número de cifras significativas en la aproximación, se puede demostrar que ε =

(0,5 x 102 –n )%

(8 )

donde n es el número de cifras significativas. En este caso se tiene que la aproximación que se obtenga con un margen de error fijado por esta ecuación, será exacta en el número de cifras significativas con las que se ha calculado previamente dicha tolerancia ( ε ).

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Supóngase Supóngase que se quiere quiere medir medir la longitud longitud de un puente puente y de un remache, remache, obteniéndos obteniéndose e 9.999 y 9 cm respectivamente. Si los valores verdaderos son 10.000 y 10 cm, calcule: a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero de cada caso. e

2. Sea la función exponencial

x

=

1+ x +

x

2

2

x

+

3

3!

+

... +

x

n

! (llamada expansión por serie de Maclaurin).

n

Empezando con el primer término e =1 y agregando un término a la vez, estímese el valor de e 0.5. Después que se agregue cada término, calcule los errores relativos porcentuales y aproximados, Agréguese términos hasta que el valor absoluto del error aproximado sea menor a 10 -3.

3

x



23

x

e

x

e 1x .

3. Evalúe e

-8.3

. 2 3 ! usando la siguiente siguiente aproximació aproximación n y

−x

=

1 e

x

1

=

1+ x +

x

2

2

x

+

3

3!

+

... . Compare el valor

verdadero de 2.485160x10-4 y comente los resultados.

Fuentes de Error Error : los resultados numéricos están influenciados por muchos tipos de errores. Algunas fuentes de error son difíciles de eliminar; otros se pueden reducir y hasta eliminar mediante, por ejemplo, rescribiendo las fórmulas o haciendo cambios en la sucesión de cálculos. a) b) c) d) e)

4

Errores en los datos iniciales: apreciación de los aparatos de medición, entre otros. Errores de redondeo redondeo en los los cálculos cálculos Error Error de trunca truncació ción n Simplificación del modelo matemático: posturas asumidas no necesariamente ciertas. Errores “humanos” “humanos”:: equivocaciones equivocaciones en la manipulación manipulación de equipos. equipos. Estos se pueden erradicar erradicar o disminuir.


Aproximaciones y Errores de Redondeo

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