UNIDAD I: NUMEROS COMPLEJOS. COMPETENCIA ESPECÍFICA A DESARROLLAR: Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.
1.1
DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Un número, en ciencia, es un concepto que expresa una cantidad en relación a su unidad. También puede indicar el orden de una serie (números ordinales). También, en sentido amplio, indica el carácter grafico que sirve para representarlo; dicho signo grafico de un numero recibe el nombre de numeral o cifra. El que se escribe con un solo guarismo se llama digito.
NATURALES
ENTEROS
CERO
RACIONALES REALES
FRACCIONARIOS
COMPLEJOS
ENTEROS NEGATIVOS
IRRACIONALES IMAGINARIOS
Son los números que se pueden escribir con anotación decimal, incluyendo a aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos negativos, todos los fraccionarios y todos los números irracionales. Son los números que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero. Ejemplos:
5 =
103 = .
Los números enteros abarcan a los números naturales, incluyendo al cero y a los números negativos. Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal. Los números fraccionarios se forman al plantear una división entre dos números naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser diferente de cero. Son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos
1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Es cualquier número distinto cuyo valor es menor que cero.
∞..,4,3,2,1
Son los números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Para dar de los números imaginarios una definición, podríamos decir que es un número cuya potenciación es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo.
EJEMPLOS
a)
b)
c)
+= += = √ 4= 4 = 411 = √ 4 √ 1 =2= 2√ 1=2√ 1=2√ 1= 1 = = √ 1= 1 = 111√ √ 1 √ 1=1√ 1=1 √ 1= 1 = 1=5√ 1= 1 = √ = 252511 = √ 2525 √ 1=5
Los números enteros abarcan a los números naturales, incluyendo al cero y a los números negativos. Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal. Los números fraccionarios se forman al plantear una división entre dos números naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser diferente de cero. Son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos
1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Es cualquier número distinto cuyo valor es menor que cero.
∞..,4,3,2,1
Son los números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Para dar de los números imaginarios una definición, podríamos decir que es un número cuya potenciación es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo.
EJEMPLOS
a)
b)
c)
+= += = √ 4= 4 = 411 = √ 4 √ 1 =2= 2√ 1=2√ 1=2√ 1= 1 = = √ 1= 1 = 111√ √ 1 √ 1=1√ 1=1 √ 1= 1 = 1=5√ 1= 1 = √ = 252511 = √ 2525 √ 1=5
Describe la suma de un número real y un número imaginario, son una extensión de los números reales, representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana.
= + ,, = = +== + + +==
Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para presentar las ondas electromecánicas y la corriente eléctrica.
+ ;;
Considerando que un número complejo puede considerarse como el punto de un plano de coordenadas donde es una parte real y es la parte imaginaria. Los números reales se representan en el eje de las abscisas (eje real) y a lo números complejos imaginarios puros sobre el eje de las ordenadas (eje imaginario).
+
Podemos expresar a los números complejos de 4 formas. Si lo expresamos de la forma se denomina forma normal o binomial. Si lo expresamos se denomina forma de par ordenado donde la primer componente es la parte real y la segunda es la parte imaginaria. El punto se denomina a fijo de z.
;;
;;
Si observo la siguiente figura al fijar el punto z queda determinada un triángulo rectángulo o a z del que se conocen las medidas de sus catetos a y b y se puede calcular su hipotenusa hipotenusa por el teorema de Pitágoras. A la medida de esta le designaremos con r y la llamaremos modulo del vector o del número complejo. Entonces
= √ +
El vector forma un ángulo con el semejante positivo de las abscisas tomando el sentido anti horario dicho ángulo se denomina argumento del vector.
1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS Para sumar dos números complejos, se suman separadamente sus partes reales e imaginarias. FORMULA:
EJEMPLOS
1)
2)
3)
+ + + + + = + +
6+8 9+3 + 4+6 4+6 + 38 4+6 3 8 = 38 53 5 3 + 8+9 8 +9 + 79 7 9 + 15+2 15+2 = 6+3 6 + 3 8+7 8 +7 = 87 6+4 6+4 53 5 3 = + 5+3 + 5245+891014= = 5 2 4+5 52 4 +5 + 89 8 9 10+14 10+14
FORMULA: 4)
5)
6)
= 1
Para multiplicar con números complejos se opera con ellos como si se tratara de polinomios, teniendo en cuenta que . FORMULA:
7)
5 +63 +9
8)
8343
9)
3+283
EJEMPLOS
5+6 ×3+9 15+1845+54 15+63 + 54 15+63 + 54 1 15+63 54 + 83 ×4324+9 3212 32+12 + 9 32+12 + 9 1 329+12 + 3+2 ×8396 24+16 24+25 6 24+25 6 1 24+6+25 +
Para dividir dos números complejos, se multiplican dividiendo y divisor por el complejo conjugado del divisor, multiplicando numeradores y denominadores entre sí.
68 10+4 5+3 1215 6+8
NÚMEROS COMPLEJOS
6+8 104 53 12+15 68
CONJUGADO
FORMULA:
10)
11)
12)
+ 4+16 = = 8 + 5+3 22 × 10+6 2+2+10+6 × 44 2+2+44 44 10+16 + 6 + + 15+8 10+3 174+35 174 35 = × = = + 103 .10+3+. 109 109 109 = 15+8 103 × 150+80 10+345+24 ×10+3 10030 +30 9 1009 150+35 + 24 + + 5+8 7+3 11+71 11 71 = × = = + = 73.7+3 58 58 58 +. 5+8 73 × 35+56 7+3+15+24 ×7+3 4921 +21 9 49+9 35+71 + 24 +
EJERCICIOS 1)
+ 8+20 2+5 116 = × = 8+2025 2+5 2925= × 1640 2+5 ×2+5 4+10 +40 + 100 10 25 16+100 425
2)
+ = 8+4 ++ 32 324 32 4 × = = + = 3+2 32 13 13 13 .8+4+.3+2 × 24+12 32168 ×32 9 +6 6 4 2448 94 + 1.3 POTENCIAS DE COMPLEJO.
“i” ,
MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z. Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
+
El valor absoluto o módulo de un número complejo está definido por:
EJEMPLOS
1) 2) 3) 4) 5)
+ | +| = + =√ =. | | = + =√ +=√ =. + | +| = + =√ +=√ =. || = + =√ +=√ =. || = + =√ +=√ =.
1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO.
+
Un número complejo se representa generalmente en forma rectangular, es decir, en la forma de . De esta forma, es considerada como el ancho del rectángulo, y como la altura del mismo. Sin embargo, los números complejos también pueden expresarse en forma polar o exponencial. La forma polar se expresa como y generalmente es leído en un ángulo .
EJEMPLOS
+ = =5 +4 =√ 25+16=√ 41 − = =√ −∟.(45)=38. 65980825° 1)
+ = 3 +5 =√ 9 +25=√ 34 − (35 )=54.0362° = ° =120.96637565 ° 54.0362√ ° +180 ∟.°
2)
= 5 +5 =√ 2 5+25=√ 50 − (55)=45.00° = ° =275 ° 45.00√ ° +180 ∟° 3)
= 6 +3 =√ 3 6+9=√ 45 − (36)=26.56505118° = ° +360° =333.4° 349488 ° 26.56505118 √ ∟. 4)
EJERCICIOS
= 6 +3 =√ 3 6+9=√ 45 − (36)=26.56505118° = ° +180° =206.5°650512 ° 26.56505118√ ∟. 1)
= 5 +8 =√ 25+64 =√ 8 9 − (85)=57.99461659° = ° +360° =302. ° 57.99461659 0 053 √ ∟.°
2)
3)
+ =√ 8 1+36=√ 117 = =9−+6(6)=33. ° 6 9006753 9 √ ∟.°
+ =√ 1 44+9=√ 153 = =12− ( +33 )=14. ° 0 3624347 12° +180° =165.°963757° 14.03624347 √ ∟.
4)
12=√ 2 5+144=√ 1 69=13 = = 5 +12 − ( 5 )=67.38013505° 67.38013505∟.° +360° =292.° 61986° 5)
+ =√ 125∟63.4349488° ° √ . °+ . ° = + =√ 145∟311.633539° √ . °+ . °= √ =√ 89∟237. 9 94617 .° + .° = + 15+9 32 633 = × = = + 15+3+2 32 13 3+2 × 45+27 323018 ×32 9+6 6 4 94 453 18 63 + = = 159 +9 =√ 225+81=√ 306 =− (15)=30.96375653° + = = 32+2 =√ 9 +4=√ 13 =− (3)=33.69005753° 06∟30.69005753 963756°° =4.85164524∟357.2736885° √ √ 133∟33. 4.85164524cos357.2736885° + 357.2736885°=.. EJEMPLOS
1)
2)
3) 4)
1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO.
Si en algún momento deseas encontrar el cuadrado de un número complejo, en otras palabras, realizar la multiplicación de dos números complejos, los cuales son de hecho iguales, entonces obtendríamos algo como:
×=
cos+ ×cos+ =cos2 + 2
Estoces, por la multiplicación de los módulos obtenemos . Sin embargo, ahora escribimos el número complejo en su forma polar y realizamos la operación de multiplicación, entonces obtendríamos algo así:
De la misma forma, al aumentar el número complejo al exponente tres, tendríamos que realizar la operación de multiplicación en los números complejos, los cuales son iguales. Estoces obtenemos términos como los siguientes:
××= cos+ ×+ ×+ =cos3+ 3 Y para la forma polar, los términos serían:
Y esto se sigue repitiendo. Todo lo que podemos decir es que existe un patrón fijo el cual se puede notarse con claridad por los ejemplos anteriores, al elevar un numero complejo a algunos exponentes, estamos de hecho elevando el término módulo de ese exponente y el componente angular es, incluso, multiplicado por el número de ese exponente . En forma breve podemos concluir que:
FORMULA:
Llamamos a este teorema, el teorema De Moivre. Este teorema es usualmente utilizado para la determinación de las potencias de cualquier número complejo, ya que permite de manera fácil cumplir con el propósito sin la necesidad de hacer ningún tipo de cálculo complejo.
