ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
TRABAJO FINAL DE GEOMETRÍA GRUPO 10 Ricardo Fonseca Fausto Moscoso Andrés Quituña N-1 1
2
2
TALLER 1
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. Son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a 90º. A cada ángulo se lo llama el complemento del otro. A D C B
ˆ C = 90º mA Bˆ D + mB D ÁNGULO SUPLEMENTARIO. Son dos ángulos cuya cuya suma de medidas es igual a 180º A cada ángulo se lo llama el suplemento del otro. E A
B
C
ˆ C = 180º mA Bˆ E + mB E ADYACENTES. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común.
CONSECUTIVOS. Son los ángulos que tienen un lado común y se forman siguiendo un sentido.
3
TALLER 2 a)
T) X=?
Demostración Algoritmo A 1) m1ˆ + 37 º = 180º m1ˆ = 143º
2) m2ˆ + 90º +126º = 360º m2ˆ = 144º
3) ˆ + m1ˆ + m2ˆ = 360º m X ˆ = 360º −143º −144º m X ˆ = 73º m X
Demostración Algoritmo B 1)
Demostración Algoritmo C 1) Paralelismo entre 37º y 1ˆ
m1ˆ + 37 º = 180º
1ˆ
1ˆ 2)
2) Ley de Giro
m2ˆ + 90 + 126 = 360º
m2ˆ
m2ˆ 3)
3) ˆ + m1ˆ + m 2ˆ = 360º m X
Ley de Giro
X
4
ˆ X
b)
T) X=?
Demostración Algoritmo A 1) m1ˆ + 90º +115º = 360º m1ˆ = 155º
2) 30º + m2ˆ + m1ˆ = 360º 30º +155º + m2ˆ = 360º 175º = m 2ˆ
3) ˆ + m2ˆ = 180º m X ˆ = 180º −175º m X ˆ = 5º m X
Demostración Algoritmo B 1)
Demostración Algoritmo C 1) Ley de Giro
m1ˆ + 90º +115º = 360º
1ˆ
m1ˆ 2)
2) Ley de Giro
30º + m 2ˆ + m1ˆ = 360º
m2ˆ
m2ˆ 3)
3) ˆ + m2ˆ = 180º m X
Paralelismo
ˆ X
5
ˆ X
TRIÁNGULOS
TALLER 3
Es la figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales.
ELEMENTOS
DESCRIPCIÓN O REPRESENTACIÓN
VÉRTICES
Son los puntos no colineales: A, B, C
LADOS
AB – AC – BC
ÁNGULOS INTERNOS
Son los ángulos que se forman entre los lados del triángulo, los ángulos son: α – β – δ
ÁNGULOS EXTERNOS
Son los ángulos que se forman entre un lado y la prolongación de otro siguiendo un mismo sentido: 1,2,3
ó
c–b–a
Ángulo externo: Es un ángulo de un triángulo formado por un lado y la prolongación de otro lado adyacente a este. Propiedad: La medida del ángulo externo es igual a la suma de los 2 ángulos internos no adyacentes.
T ) m1ˆ = m 2ˆ + m3ˆ D )
2ˆ + 3ˆ + 4ˆ = 180 º 4ˆ + 1ˆ = 180 2ˆ + 3ˆ + 4ˆ = 4ˆ + 1ˆ 2ˆ + 3ˆ = 1ˆ
6
ˆ + Bˆ + C ˆ = 180 º T ) A D ) CY ⊥⊥ AB
Construcci ón auxiliar
β = 1ˆ α = 2ˆ φ + α + β = 180 º
Clasificación
1ˆ + 2ˆ + φ = 180 º
Por sus lados:
Equilátero: Tiene los 3 lados iguales y sus ángulos internos de 60º
Isósceles: Tiene 2 lados iguales y sus ángulos opuestos son iguales
Escaleno: Tiene sus tres lados desiguales
Por sus ángulos:
Rectángulo: Tiene 1 ángulo de 90º
Acutángulo: Tiene sus tres lados agudos
Obtusángulo: Tiene 1 ángulo obtuso
7
TALLER 4
T) X = 45º −
ˆ C B A 4
Demostración Algoritmo A 1) ˆ ˆ = B X 2
2) ˆ A 2 ˆ A 2
+ Bˆ = 90º ˆ = 90º + 2 X
ˆ ˆ = 90º − A 2 X 2 ˆ ˆ = 45º − A X 4
Demostración Algoritmo B 1.
Demostración Algoritmo C 1. Ángulo formado por la bisectriz interna y externa de un triángulo
∆ ABC Bisectriz interna y externa
ˆ ˆ =B X 2
ˆ ˆ =B X 2
2.
2. ˆ A 2
+ Bˆ = 90º
∆ ABD Re ctángulo
ˆ A
complementarios
ˆ ˆ = 45º − A X 4
ˆ A ˆ X = 45º − 4 ˆ ˆ = 45º − A X 4
8
2
∧ Bˆ A y B son
Taller 5 Altura: Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del trián-
gulo al lado opuesto o su prolongación. Ortocentro (H): es el punto de intersección de las 3 alturas. ∆ ABC Escaleno Obtusángulo BF DB
Altura
BE
H= ortocentro ∆ ABC Isósceles Acutángulo AF DB
Altura
CE
H= ortocentro
∆ ABC Equilátero AE FB
Altura
CD
H= ortocentro
∆ ABC Rectángulo AH HC
Altura
HD
H= ortocentro
9
Bisectriz interna: Es el segmento que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida. Incentro (I): Es el punto de intersección de las 3 bisectrices internas y es el centro del círculo inscrito al triángulo. ∆ ABC Escaleno Obtusángulo AE DC
Bisectriz
BF
I= Incentro ∆ ABC Isósceles Acutángulo AE SC
Bisectriz
BF
I= Incentro
∆ ABC Equilátero AF DB
Bisectriz
CE
I= Incentro
∆ ABC Rectángulo AE FC
Bisectriz
BD
I= Incentro
10
Mediana: Es el segmento que une un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. Baricentro (G): Es el punto de intersección de las 3 medianas. ∆ ABC Escaleno Obtusángulo OB
Mediana
CN AM
G= Baricentro
∆ ABC Isósceles Acutángulo CO MA
Mediana
BN
G= Baricentro
∆ ABC Equilátero CM BO
Mediana
NA
G= Baricentro
∆ ABC Rectángulo CE FA
Mediana
BD
G= Baricentro
11
Mediatriz: Es la perpendicular trazada en el punto medio del triángulo Circuncentro (O): Punto de intersección entre las 3 mediatrices. ∆ ABC Escaleno Obtusángulo PE MN
Mediatriz
XZ
o= Circuncentro
∆ ABC Isósceles Acutángulo CO PE MA MN
Mediatriz Mediatriz
BN XZ
o= Circuncentro
∆ ABC Equilátero PE CM MN BO
Mediatriz
XZ NA
o= Circuncentro
∆ ABC Rectángulo PE MN
Mediatriz
XZ
o= Circuncentro
12
Bisectriz Externa: Es el segmento que divide a los ángulos extremos de un triángulo en 2 partes iguales. Excentro (Oa): Es el punto de intersección de una bisectriz interna y de 2 externas. ∆ ABC Escaleno Obtusángulo
AOa
Bisectrices Externas
BOa COa Bisectriz
Interna
Oa= Excentro ∆ ABC Isósceles Acutángulo AOa
Bisectrices Externas
BOa COa Bisectriz
Interna
Oa= Excentro
∆ ABC Equilátero AOa
Bisectrices Externas
BOa COa Bisectriz Interna
Oa= Excentro
∆ ABC Rectángulo AOa
Bisectrices Externas
BOa COa Bisectriz
Oa= Excentro
13
Interna
Taller 6 Dibujar el triángulo ABC y sus bisectrices internas, alturas y medianas
AE DC
AF
Bisectriz
AJ
AL
Altura
CK
Mediana
BM
BM
BM
I= incentro
H= ortocentro
G= Baricentro
14
Ortocentro
∆ ABC Isósceles obtusángulo punto G ortocentro
Incentro ∆ ABC Isósceles obtusángulo punto G incentro
Baricentro ∆ ABC Isósceles obtusángulo punto G Baricentro
Circuncentro
∆ ABC Isósceles obtusángulo punto G Circuncent ro
15
Taller 7 1. Los segmentos de rectas paralelas entre paralelas son congruentes
H) L1 L2 L3 L4 T) AB ≅ CD
Demostración Algoritmo 1) BD Construcción auxiliar
2. Si se determina segmentos congruentes en una transversal, determina segmentos congruentes en otra.
16
H) L1 L2 AB = BC
L3
T) DE = EF
Demostración Algoritmo 1)
construcción de DG Y EH ╨ T1 T1
AB=DG BC=EH
Propiedad de ╨
ˆ E = 1ˆ ˆ E = DG AB ˆ F = EH ˆ F = 1ˆ BC ˆ G = EF ˆ H = 2ˆ DE
Áng. corresp.
ˆ G = FE ˆH ∴ ED
∆EDG ≅ ∆FEH
(A.L.A )
⇒ DE = EF
3. Postulado de Semejanza Básica t1
B
L2
L3
H)
t2 D
A
L1
E
C
F
2 AB = BC DF = 24
T) DE = ?
Demostración Algoritmo 1) AB BC
=
DE EF
2) DE + EF = 24 EF = 24 − DE
17
Reemplazo en (1) AB
=
2 AB
DE
24 − DE
24 − DE = 2 DE 8 = DE
4. Postulados de Semejanza de triángulos
TRIÁNGULOS ESCALENOS 1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos congruentes.
∆ ABC ≈ ∆ A' B' C ' 2. Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, da origen a otro triángulo semejante con el primero.
∆ ABC ≈ ∆ BDE 3. Dos triángulos son semejantes si tienen lados respectivamente paralelos o perpendiculares. perpendiculares.
18
∆ ABC ≈ ∆ DEF 4. Si los lados correspondientes de dos triángulos son respectivamente proporcionales, los dos triángulos son semejantes.
Si
AB
=
DE
AC DF
Entonces:
=
BC EF
∆ ABC ≈ ∆ DEF
5. Si en dos triángulos, dos lados homólogos son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes, los triángulos son semejantes.
SI
AB DE
=
BC EF
∠ A ≅ ∠F
Entonces
∆ ABC ≈ ∆ DEF
19
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo correspondiente congruente.
SI triángulos rectángulos ∠ B ≅ ∠ E
Entonces
∆ ABC ≈ ∆ DEF
5. Demostrar
T) BH 2 = AH × CH
Demostración Algoritmo A 1) AC 2 = AB 2 + BC 2 AC = AH + CH
( AH + CH ) = AB 2
2
+ BC 2
AH 2 +CH 2 +2 AH ⋅ CH = AB 2 + BC 2
2) BC 2 =CH 2 + BH 2 AB 2 = BH 2 + AH 2
20
3) AH 2 +CH 2 +2 AH ⋅ CH = AB 2 +CH 2 + BH 2
AH 2 +2 AH ⋅ CH = AH 2 + BH + BH
2 AH ⋅ CH = 2 BH AH ⋅ CH = BH
2
2
2
2
Demostración Algoritmo B 1)
Demostración Algoritmo C 1) ∆ ABC Re ctángulo Pitágoras y suma de segmentos
∆ ABC Re ctángulo
AC 2 = AB 2 + BC 2
AH 2 +CH 2 +2 AH ⋅ CH = AB 2 + BC 2 AH 2 +CH 2 +2 AH ⋅ CH = AB 2 + BC 2
2)
2) BC 2 =CH 2 + BH 2 AB 2 = BH 2 + AH 2
2 Ecuaciones
3)
∆ ABH Re ctángulo ∆ BHC Re ctángulo 2 Ecuaciones
3) 2
AH 2 +CH 2 +2 AH ⋅ CH = AB 2 +CH 2 + BH
AH ⋅ CH = BH
Reemplazo 2 en 1
AH ⋅ CH = BH
2
21
2
Taller 8 H)
T) CE = ?
Demostración Algoritmo A 1) 4
Cos1ˆ = Sen1ˆ =
6
→ 1ˆ = 48,19º
BH
6
(0,74 × 6) = BH ∴ BH = 4,47
2) Sen1ˆ =
HD BH
→ HD = 3,33 Cos1ˆ =
HD HC
HC = 5
3) Cos1ˆ =
HE HD
HE = 0,66 × 3,33 HE = 2,22
4) EC = HC − HE EC = 5 − 2,22 EC = 2,78 u
22
Demostración Algoritmo B 1)
Demostración Algoritmo C 1) ∆ ABH Re ctángulo coseno y seno de 1ˆ
∆ ABH Re ctángulo
Cos1ˆ =
AH
Sen1ˆ =
BH
AB
1ˆ ∧ BH
→ 1ˆ
AB
1ˆ ∧ BH 2)
2)
∆ BHD Re ctángulo Sen1ˆ =
HD
Cos1ˆ =
HD
BH HC
∆ BHD Re ctángulo coseno y seno de 1ˆ
HD ∧ CH
→ HD → HC
HD ∧ CH 3)
3)
∆ EHD Re ctángulo Cos1ˆ =
HE
∆ EHD Re ctángulo coseno
HE
HD
HE 4)
4) Resta de segmentos
EC = HC − HE
EC
EC
23
Taller 9 H) H ortocentro AB = AC
ˆ C = 110º B A BC = 20
T) AH = ?
Demostración Algoritmo A 1) mA Bˆ F =
180º −110º 2
mA Bˆ F = 35º mH Bˆ F = mA Bˆ F + (90º −70º ) mH Bˆ F = 35º +20º mH Bˆ F = 55º
2) HF tan H Bˆ F = BF
tan 55º =
HF
10
HF = 14,28
3) AF tan A Bˆ F = BF
tan 35º =
AF
10
AF = 7
4) AH = HF − AF AH = 14,28 − 7 AH = 7,28
24
Demostración Algoritmo B 1)
Demostración Algoritmo C 1)
∆ ABC isóceles ∆ AHF rectángulo
∆ ABC isóceles ∆ AHF rectángulo
mA Bˆ F ∧ mH Bˆ F
mA Bˆ F ∧ mH Bˆ F
2)
2) HF tan H Bˆ F = BF
ˆ F en el ∆ BHF Tangente del ángulo H B
HF
HF
3)
3) ˆ F en el ∆ ABF Tangente del ángulo A B
AF tan A Bˆ F = BF
F
AF 4)
4) Resta de segmentos
AH = HF − AF
AH
AH
25
Taller 10 H)
T) BC 2 = AB × DB
Demostración Algoritmo A 1) Cuerdas que cortan arcos semejantes 2) 3) ˆ ˆ C = C B D
Demostración anterior
Bˆ común
∴ ∆ BDC ≈ ∆ ABC BC AB
=
DB BC
BC 2 = AB × DB
Demostración Algoritmo B 1)
Demostración Algoritmo C 1) Cuerdas que cortan arcos semejantes
2)
2) ángulos internos
3)
3)
∆ BDC ≈ ∆ ABC BC AB
=
Postulados de semejanza, teniendo a Bˆ como común 2 BC = AB × DB
DB BC
BC = AB × DB 2
26
27
El Círculo
Taller 1
Conceptos Básicos Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos en un plano que se encuentran a una misma distancia (radio) del centro Círculo: Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los puntos internos a la misma (superficie)
R= Radio O= Centro OG = OH = OJ = OI
Líneas Fundamentales
Cuerda: Segmento cuyos extremos son 2 puntos de la circunferencia. Cuerda HG Diámetro: Es la mayor de las cuerdas y contiene el centro del círculo Diámetro KN Secante: Recta que corta la circunferencia en 2 puntos JI es secante Tangente: Recta que interseca a la circunferencia en un punto llamado punto de tangencia TU tangente y N punto de tangencia
28
Arco: Parte de la circunferencia que está delimitada por los puntos de la cuerda. El arco subtendido por una cuerda es el menor, salvo que se indique lo contrario. Arco HG
Ángulos en un círculo Ángulo Central: Es el ángulo cuyo vértice es el centro del círculo y sus lados son radios.
• Un ángulo central se mide por el arco intersecado por sus lados.
Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyos lados son cuerdas del círculo y su vértice pertenece a la circunferencia.
Ángulo Ex inscrito: Está formado por una cuerda y la prolongación de otra.
29
Ángulo Interno: Es el ángulo formado por 2 cuerdas que se cortan.
Ángulo Externo: Es el ángulo cuyo vértice está fuera del círculo y sus lados pueden ser 2 secantes, 2 tangentes o una secante y una tangente.
Ángulo Semi-inscrito: Es el ángulo formado por una cuerda y una tangente, su vértice es el punto de tangencia
30
Taller 2 H) CE tan Ο (O, r ) T) DF
Demostración Algoritmo A 1) Ley de Cos ∆ AOF OD Construcción auxiliar 5 2 = 5 2 + AF 2 − 2 × 5 × AF Cos 25º 0 = AF 2 − 9,06 AF AF = 9,06
2) ∆OEC Re ct . 5 ⎞ ˆ = sen −1 ⎛ C ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ ˆ = 24,62º C ˆ C = 130,38º A D
3)
∆ ADC Ley de senos sen24,62º AD AD = 9,29
4)
=
sen130,38º
17
9,29 = 9,06 + FD FD = 0,23
31
Demostración Algoritmo B 1)
Demostración Algoritmo C 1)
Ley de Cos ∆ AOF OD Construcción auxiliar
Ley de Cos ∆ AOF OD Construcci ón auxiliar
OF 2 = AO 2 + AF 2 − 2 × AO × AF Cos 25º
AF
AF 2)
2)
∆OEC Re ct .
∆OEC Re ct .
OE ⎞ ˆ = sen −1 ⎛ C ⎜ ⎟ ⎝ OC ⎠
ˆ ∧ A Dˆ C C
ˆ ∧ A Dˆ C C 3)
3)
∆ ADC Ley de senos ˆ senC AD
=
ˆ C senA D
∆ ADC Ley de senos
AD
AC
AD 4)
4) Suma de segmentos AD
AD = AF + FD FD
FD
32
Taller 3 H)
A = (−5 ; 7)
B = (−6 ; 2) C = (−2 ; − 4) D = (10 ; 2)
T) ABCD Inscriptible
33
Demostración Algoritmo A 1) 2+4
mBC =
=−
3
2 −2−2 2−7 mAB = =5 −6+5
2) 5+
tan θ =
3
2 ⎛ 3 × 5 ⎞ 1+ ⎜− ⎟ 2 ⎝ ⎠ 13 2 ⎛ 15 ⎞
tan θ =
1− ⎜
⎟ ⎝ 2 ⎠
tan θ =
0,5
− 0,5
θ = 135º
3) mCD = mAD =
2+4 10 + 2 2−7
= 0,5
− 10 + 5
=−
1 3
4) 0,5 +
tan β =
1
3 ⎛ 1 ⎞ 1+ ⎜− ⎟ ⎝ 2 × 3 ⎠ 5
tan β = 6 5 6 tan β = 1 β = 45º 5) θ + β = 180º
ABCD es Inscriptible
34
Demostración Algoritmo B 1) mBC =
Demostración Algoritmo C 1) Encuentro las pendientes que conforman el ángulo θ
Y C − Y B X C − X B
mBC ∧ mAB
Y B − Y A
mAB =
X B − X A
mBC ∧ mAB mAB − mBC
2) tan θ =
2)
1 + mAB × mBC
Relación tangente del ángulo-
θ
Pendientes
3)
θ
3) mCD = mAD =
Y D − Y C
Encuentro las pendientes que conforman el ángulo β
X D − X C
mAB ∧ mCD
Y D − Y A X D − X A
mAB ∧ mCD 4) tan β =
4)
mCD − mAD
Relación tangente del ángulo-
1 + mCD × mAD
Pendientes
β 5)
β
5) La suma de los ángulos opuestos en un cuadrilátero es 180º ABCD es Ins-
θ + β = 180º
ABCD es Inscriptible
criptible
35
Taller 4
Ecuaciones de la recta • Punto Pendiente P = ( X 1 ; Y 1 ) O = ( X 2 ; Y 2 ) Y 2 − Y 1
m=
X 2 − X 1
Y − Y 1 =
Y 2 − Y 1
( X − X 1 )
X 2 − X 1
Y − Y 1 = m( X − X 1 )
m=tanα
• Pendiente ordenada en el origen P = (0 ; b ) y − b = m( X − 0) Y = mX + b
• Simétrica P1 = (a ; 0) P2 = (0 ; b ) Y 2 − Y 1
m=
X 2 − X 1
=
b
−a
− a(Y ) = b( X − a ) bX
+
aY
ab ab X Y a
+
b
=
ab ab
=1
36
• General bX + aY − ab = 0 b = A a = B − ab = C AX + BX + C = 0 • Verticales AX + BX + C = 0 Y = 0 AX + C = 0 X +
C A
6
y
5
4
3
2
1
=0
x
0 -7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
• Horizontales AX + BX + C = 0 X = 0 BY + C = 0 Y +
C B
6
y
5
4
3
2
1
=0
x
0 -7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
• Pasan por el origen AX + BX + C = 0 C = 0 AX + BY
6
y
5
4
3
2
1
x
0 -7
- 6
- 5
- 4
- 3
- 2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
37
1
2
3
4
Taller 5
1. Hallar la distancia de la recta 8 X + 15Y − 24 = 0 al punto P= (−2, − 3)
Demostración Algoritmo A 1) d =
− 2(8) + 15(−3) − 24 2
2
+ (8) + (15)
− 16 − 45 − 24 + 17 d = −5 d =
Demostración Algoritmo B
Demostración Algoritmo C 1) Ecuación para determinar la distancia de una recta a un punto Distancia del punto a la recta
1) d =
AX P + BY P + C
− A 2 + B 2
d
38
2. Hallar la distancia de la recta 6 X − 8Y + 5 = 0 al punto P= (−1, 7)
Demostración Algoritmo A 1) d = d =
− 1(6) + 7(−8) + 5 − (6 ) + (8) 2
2
− 6 − 56 + 5 − 10
d = 5,7
Demostración Algoritmo B
Demostración Algoritmo C 1) Ecuación para determinar la distancia de una recta a un punto Distancia del punto a la recta
1) d =
AX P + BY P + C
− A 2 + B 2
d
39
Taller 6 H) A= (5, 5) B= (2, 4) ∈ L D=3 Distancia de A a L
T) Ecuación de L
Demostración Algoritmo A 1) Y − Y 1 = m( X − X 1 )
A = m
Y − 4 = m( X − 2 )
B = −1
Y − 4 = mX − 2m
C = −2m + 4
mX − Y − 2m + 4 = 0
2) ± d =
AX A + BY A + C
± A 2 + B 2
⎛ m(5) + (−1)(5) + (−2m + 4) ⎞ 2 ⎟ (± 3) = ⎜ ⎜ ⎟ ± m 2 + (−1) 2 ⎝ ⎠ 9=
2
(3m − 1)2 m 2 + (−1) 2
9m 2 + 9 = 9m 2 − 6m + 1 6m = −8 m = −4
3
3) − 4 X − Y − − 4 2 + 4 = 0 3
3 20 ⎞
⎛ − 4 X − 3⎜ − Y + ⎟ = 0 3 ⎠ ⎝ 3 4 X + 3Y − 20 = 0
40
Demostración Algoritmo B 1) Y − Y 1 = m( X − X 1 )
Demostración Algoritmo C 1) Ecuación Punto pendiente con el punto dado Ecuación Normalizada 2) Distancia de un punto a una recta Pendiente de la ecuación
AX + BY + C = 0
2) ± d =
AX A + BY A + C
± A + B 2
2
m
3)
3) Normalización de la Ecuación de la recta
Y − Y 1 = m( X − X 1 )
Ecuación Normalizada de la
Ecuación Normalizada de la Recta
recta
41
Taller 7 Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados son: X + Y − 8 = 0
L1 L 2
2 X + Y − 14 = 0
L3
3 X + Y − 22 = 0
Demostración Algoritmo A 1) X + Y − 8 = 0
X + Y − 8 = 0
− 2 X − Y − 14 = 0 X 1 = 6 Y 1 = 2
− 3 X − Y + 22 = 0 X 2 = 7 Y 2 = 1 2 X + Y − 14 = 0
− 3 X − Y + 22 = 0 X 3 = 8 Y 3 = −2
2)
( X − h )2 + (Y − k )2 = r 2 (6 − h )2 + (2 − k )2 = r 2 (7 − h )2 + (1 − k )2 = r 2 (8 − h )2 + (− 2 − k )2 = r 2 3) 36 − 12h + h 2 + 4 − 4k + k 2 = 49 − 14h + h 2 + 1 − 2k + k 2 2h − 2k − 10 = 0 → h − k − 5 = 0 36 − 12h + h 2 + 4 − 4k + k 2 = 64 − 16h + h 2 + 4 + 4k + k 2 4h − 8k − 28 = 0 → h − 2k − 7 = 0 h − 2k − 7 = 0
k = −2
h − k − 5 = 0
h=3
4)
(6 − 3)2 + (2 + 2)2 = r 2 9 + 16 = r 2 25 = r 2
5)
( X − 3)2 + (Y + 2)2 = 25 X 2 + Y 2 + 4Y − 6 X − 12 = 0
42
4
y
3
2
1
x
0 -4
- 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Demostración Algoritmo B 1) X + Y − 8 = 0
2 X + Y − 14 = 0
Puntos del triángulo
3 X + Y − 22 = 0
Demostración Algoritmo C 1) Con las ecuaciones de los lados encuentro los puntos de intersección del triángulo X 1 ; Y 1 X 2 ; Y 2
Puntos del Triángulo
X 3 ; Y 3
2)
2)
(6 − h ) + (2 − k ) = r (7 − h )2 + (1 − k )2 = r 2 (8 − h )2 + (− 2 − k )2 = r 2 2
3)
2
2
Puntos del triángulo pertenecen a la ecuación del círculo
Sistema de Ecuaciones con 3 incógnitas
Sistema de Ecuaciones con 3 incógnitas 3)
h − 2k − 7 = 0
Resolución del Sistema de ecuaciones
C = ( h; k 1 )
h − k − 5 = 0
C = ( h; k 1 ) 4)
4)
(6 − h ) + (2 − k ) = r 2 2
2
Despejo el radio de cualquiera de la Radio ecuaciones
Radio
5)
5)
( X − h ) + (Y − k ) = r 2
2
2
Normalización de la Ecuación de la circunferencia Ecuación de la Cir-
Ecuación
de la Circunferencia
cunferencia
43
Taller 8 H) L1
2 X − 3Y + 21 = 0
L 2
3 X − 2Y − 6 = 0
L3
2 X + 3Y + 9 = 0
Ecuaciones de los lados de un triángulo
T) Ecuación de la circunferencia inscrita
Demostración Algoritmo A 1) Centro (h; k) 2h − 3k + 21
− 13 3h − 2k − 6 13 2h + 3k + 9
= r
= r
13
= r
2h − 3k + 21
=
3h − 2k − 6
− 13 13 − 2h + 3k − 21 = 3h − 2k − 6 5h − 5k + 15 = 0 h − k + 3 = 0 3h − 2k − 6 2h + 3k + 9 = − 13 13 5h + k + 3
2) h − k + 3 = 0
5h + k + 3 = 0 6h + 6 = 0 h = −1 k = 2
Centro (-1; 2) 3) 2( −1) − 3( 2) + 21
− 13
= − r
r = 13
( X + 1)2 + (Y − 2)2 = 13 X 2 + Y 2 + 2 X − 4Y − 8 = 0
44
y
14
12
10
8
6
4
2
x
0 - 14
- 12
- 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2
-4
-6
-8
Demostración Algoritmo B 1) 2h − 3k + 21
− 13 3h − 2k − 6 13 2h + 3k + 9 13
2)
= r
= r
Demostración Algoritmo C 1) El radio es igual a la distancia entre el centro y la recta tangente (recta del lado del triángulo) Sistema de 3 Ecuaciones con 3 incógnitas
Sistema de Ecuación con 2 incógnitas
= r
2) Resolución del sistema de Ecuaciones
h − k + 3 = 0
C = ( h; k 1 )
5h + k + 3 = 0
C = ( h; k )
3) 2h − 3k + 21
− 13
3) Hallar el radio y normalizar con C
= r
Ecuación de la circunferencia con centro C y de R
( X − h )2 + (Y − k )2 = R Ecuación de la circunferencia con centro h y k y de R
45
Taller 9 Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a: y que pasa por el punto 3 X − 4Y + 1 = 0
L1
4 X + 3Y − 7 = 0 Punto (2;3) L 2
Demostración Algoritmo A 1) Centro (h; k) 3h − 4k + 1
−5 4h + 3k − 7 5
= r
3h − 4k + 1
= r
−5 5 − 3h + 4k − 1 = 4h + 3k − 7 7h − 6 = k
( 2 − h) 2 + (3 − k ) 2 = r 2
=
4h + 3k − 7
2) 7h − 6 = k 3h − 4k + 1 ⎞ (h − 2) + (k − 3) = ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ − 5 ⎠ 2
2
2
2
⎛ − 25h + 25 ⎞ h − 4h + 4 + 49h − 84h + 36 − 42h + 36 + 9 = ⎜ ⎟ ⎝ − 5 ⎠ h 2 − 4h + 4 + 49h 2 − 84h + 36 − 42h + 36 + 9 = 25h 2 − 50h + 25 2
2
25h 2 − 80h + 60 = 0 5h 2 − 16h + 12 = 0 h=
16 ± 16 2 − (5)(4)(12) 10 h1 = 2
h2 = 1,2
k 1 = 8
k 2 = 2,4
3) Centro en (2; 8) R =
3( 2) − 4(8) + 1
=5 −5 ( X − 2)2 + (Y − 8)2 = 25
X 2 + Y 2 − 4 X − 16Y + 43 = 0
4) Centro en (1,2; 2,4) R =
3(1,2) − 4(2,4) + 1
=1 −5 ( X − 1,2)2 + (Y − 2,4)2 = 1
X 2 + Y 2 − 2,4 X − 4,8Y + 6,2 = 0
46
y
18
16
14
12
10
8
6
4
2
x
0 - 14
- 12
- 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2
-4
Demostración Algoritmo B 1) 3h − 4k + 1
−5 4h + 3k − 7
Demostración Algoritmo C 1) Radio es igual a la distancia entre el centro y la recta tangente (2 ecuaciones). Punto tiene la Ecuación de la circunferencia. Sistema de 3 Ecuaciones con 3 incógnitas
Sistema de Ecuación con 2 incógnitas
= r
= r 5 ( 2 − h) 2 + (3 − k ) 2 = r 2
2)
2) Resolución del sistema de Ecuaciones
7h − 6 = k 3h − 4k + 1 ⎞ (h − 2)2 + (k − 3)2 = ⎛ ⎜ ⎟
⎝
−5
C 1 = ( h1 ; k 1 )
2
C 2 = (h2 ; k 2 )
⎠
C 1 = ( h1 ; k 1 ) C 2 = (h2 ; k 2 ) 3) R1 =
3) Hallar el radio y normalizar con C1
3(h1 ) − 4( k 1 ) + 1
−5 2 2 ( X − h1 ) + (Y − k 1 ) = R1
Ecuación de la circunferencia con centro C1 y de R1
RADIO
Ecuación de la circunferencia con centro h1 y k1 y de R1 4) R2 =
3( h2 ) − 4( k 2 ) + 1
−5 ( X − h2 )2 + (Y − k 2 )2 = R2
4) Hallar el radio y normalizar con C2
Ecuación de la circunferencia con centro C2 y de R2
RADIO
Ecuación de la circunferencia con centro h2 y k2 y de R2
47
Taller 10 H) F= (3, 5) Directriz X = −5 T) Ecuación de la Parábola
Demostración Algoritmo A 1) V = (− 1; 5) a=4
GRAFICO
2) Parábola Horizontal
(Y − k )2 = 4a( X − h) (Y − 5)2 = 16( X + 1) Y 2 − 16 X − 10Y + 9 = 0 y
16
14
12
10
8
6
4
2
x
0 - 12
- 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-2
-4
-6
Demostración Algoritmo B 1) Por el Gráfico
Demostración Algoritmo C 1) Por el Gráfico El vértice y el parámetro
V = (h ; k ) a
2)
2) Normalización de la Ecuación de la Parábola (horizontal)
2
(Y − k ) = 4a( X − h )
Ecuación Normalizada
Ecuación Normalizada
48
Taller 11 H) Elipse F = (1;0)
P = ( 2;−1) D : 2 X − Y − 10 = 0
T) Ecuación de la Elipse Demostración Algoritmo A 1) PF PD
− −
= E 12 + (−1) 2 = E 2( 2) + 1 − 10 5 10
E =
5
2) −
( x − 1) 2 + y 2 10 = 2 X − Y − 10 5 5
X 2 + 2 X + 1 + Y 2 =
2 25
(4 X
2
+ Y 2 + 100 − 4 XY − 40 X + 20Y )
25 X + 50 X + 25 + 25Y 2 = 8 X 2 + 2Y 2 + 200 − 8 XY − 80 X + 40Y 2
17 X 2 + 8 XY + 23Y 2 + 30 X − 40Y − 175 = 0
49
y
7
6
5
4
3
2
1
x
0 -7
- 6
- 5
- 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
Demostración Algoritmo B 1) PF = E PD
Demostración Algoritmo C 1) PF PD
= E con los datos
E
E 2) PF PD
2) La distancia del foco a un punto (X, Y) dividido para la distancia del punto a la directriz es igual a E
= E
Ecuación Normalizada
( x − 1) + y = E 2 X − Y − 10 2
−
2
5
Ecuación de la Elipse
50
Taller 12 H) Hipérbola E =
4 X − 3Y − 24 = 0
Asíntotas
4 X + 3Y = 0
Demostración Algoritmo A 1) 4h − 3k = 24
4(3) − 3k = 24
4h + 3k = 0
− 3k = 12 k = −4
8h = 24 h=3
C = (3; − 4) 2) =
5
a 4 5a = 4c 2b 2 9
=
2 4b = 9a 5a = 4c a
2
4b 2 = 9a a2 + b2 = c2 16c 2 = 25a 2
16( a 2 + b 2 )25a 2 16a 2 + 16b 2 = 25a 2 16b 2 = 9a 2 4(9a) = 9a 2 a=4 b=3
3)
( y − k )2 a
2
( y + 4)2 16
−
( x − h )2 b
−
2
( x − 3)2 9
4
LR =
Eje Focal paralelo al Y T) Ecuación de la hipérbola
c
5
=1 =1
51
9 2
y
20
15
10
5
x
0 - 25
- 20
- 15
- 10
-5
0
5
10
15
20
25
30
3
-5
- 10
- 15
- 20
- 25
Demostración Algoritmo B 1) 4h − 3k = 24
Demostración Algoritmo C 1) Sistema de ecuaciones de las asíntopunto de intersección de tas
h ∧ k
4h + 3k = 0
las mismas (centro) C =
C = (h; k )
2)
(h; k )
2)
5a = 4c
Sistema de Ecuaciones con la excentricidad y el lado recto
a; b; c
4b 2 = 9a
a; b; c
a2 + b2 = c2
3)
3)
( y − k ) a2
2
−
( x − h ) b2
Formalización de la hipérbola
2
=1
Ecuación de la Hipérbola
Ecuación de la hipér-
bola
52
Taller 13 H) Hipérbola C = (3 ; 1)
F 2 = (7 ; 3) V = ( 2 ; 3)
T) Ecuación de la hipérbola
Demostración Algoritmo A 1)
(7 − 3)2 + (3 − 1) 2
CF 2 = c =
c = 16 + 4 =
20
2)
(2 − 3)2 + (3 − 1) 2
CV = b =
b = 1+ 4 =
5
3) c2 = a2 + b2 a 2 = 20 − 5 a = 15
4) mCF 2 =
3 −1
7−3 tan α = 0,5
= 0,5
α = 26,56
5) e=
c a
=
20 15
=
4 3
6) d =
7)
a e
=
15 20
Xd = 3 + d ⋅ cos α Xd = 3 +
15 20
cos 26,56
Xd = 6
Yd = 1 + d ⋅ senα Yd = 3 + Yd = 2,5
8) Y − Y 1 = m( X − X 1)
2 X + Y − 14,5 = 0
53
15 20
sen 26,56
9) PF PD
= E
( X − 7 )2 + (Y − 3) 2 2 X + Y − 14,5
=
2 3
5 2
2 2 ⎛ ⎜ 15 × ( X − 7 ) + (Y − 3) 2 ⎞⎟ = (2(2 X + Y − 14,5)) ⎝ ⎠
15( X 2 − 14 X + 49 + Y 2 − 6Y + 9 ) = 4(2 X + Y − 14,5)
2
15( X 2 − 14 X + Y 2 − 6Y + 58) = 4(4 X 2 + Y 2 + 210,25 + 4 XY − 29Y − 58 X ) 15 X 2 − 210 X + 15Y 2 − 90Y + 870 = 16 X 2 + 4Y 2 + 841 + 16 XY − 116Y − 232 X X 2 + 16 XY − 11Y 2 − 22 X − 26Y − 29 = 0
54
Demostración Algoritmo B 1) CF 2 = c
Demostración Algoritmo C 1) La distancia del foco al centro es c
c
c
2)
2) La distancia del centro al vértice imaginario es b
CV = b
b
b
3)
3) Ecuación de la excentricidad
c2 = a2 + b2
c
c
4)
4) Pendiente de la recta C F 2
mCF 2
α
α
5)
5) e =
Excentricidad es c / a
c
e
a
e 6)
6) d =
Directriz es a / e
a e
d
d 7)
7) Ecuaciones para hallar la coordenadas de un punto de la directriz
Xd = Cx + d ⋅ cos α
Xd ∧ Yd
Yd = Cy + d ⋅ senα
Xd ∧ Yd 8)
8) Y − Y 1 = m( X − X 1)
Ecuación Punto-Pendiente
Ecuación de la Directriz
Ecuación de la Directriz 9)
9) PF PD
La distancia del foco a un punto (X, Y) dividido para la distancia del punto a la directriz es igual a E
= E
Ecuación Normalizada
Ecuación Normalizada
55
Taller 14 H) Hipérbola Asíntotas
2 X − 3Y + 5 = 0
D1 : y = 6
2 X + 3Y − 25 = 0
D 2 : y = 4
T) Ecuación de la hipérbola
Demostración Algoritmo A 1) 2h − 3k + 5 = 0
C = (5; 5)
2h + 3k − 25 = 0 h=5 k = 5
2)
y = 6 y =
a e
+ k
6−5 =
a2 c
a2 = c
3)
2 X − 3Y + 5 = 0 m=−
A
=−
B 2b = 3a
2
−3
=
a b
4b 2 = 9a 2
4) c2 = a2 + b2
9
a4 = a2 + a = 1+ 2
a = 2
4
a2
b2 =
9
b2 =
4
13
9 × 13 16 117 16
4
5)
( y − k )2 a2
( y − 5)2 13 4
−
( x − h )2
−
( x − 5)2
b2
117
=1 =1
16
56
11
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
0 -3
- 2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1
Demostración Algoritmo B 1) 2h − 3k + 5 = 0
2h + 3k − 25 = 0
C = (h; k )
Demostración Algoritmo C 1) Sistema de ecuaciones de las asíntopunto de intersección de tas las mismas (centro)
C = ( h; k )
2)
2) y =
a e
Ecuación de la Directriz
a =c 2
+ k
3)
2 a =c
3) m =
Ecuación de la Asíntota
4b 2 = 9a 2
a b
a Pendiente =
4)
b
4) c = a +b 2
2
Ecuación de la excentricidad
a2 ∧ b2
2
5)
a2 ∧ b2 5)
( y − k ) a2
2
−
( x − h) b2
Formalización de la hipérbola
2
=1
Ecuación de la Hipérbola
Ecuación de la hipérbola
57
Taller 15 H)
A = (−6;6)
B = ( −3;−3)
P elemento de Y P punto de intersección de las diagonales T) Ecuación de
CD
Demostración Algoritmo A 1) m AB = m ⊥=
Y B − Y A
X B − X A
=
−3−6 −9 = = −3 3 −3+ 6
1 3
Y − Y A = m( X − X A ) Y − 6 = −3( X + 6)
3 X + Y + 12 = 0
2) Punto Medio AB = (−4,5;1,5) = J 3)
Y − Y J = m ⊥ ( X − X J )
3Y − 4,5 = X + 4,5 X − 3Y + 9 = 0 P = (0, k )
− 3k + 9 = 0 k = 3
4) m AJ =
Y J − Y A X J − X A
=
3−6 0+6
=
−3 6
=−
1 2
Y − Y B = m ⊥ ( X − X B )
3Y + 9 = X + 3
Y − Y A = m AJ ( X − X A )
X − 3Y − 6 = 0
2Y − 12 = − X − 6 X + 2Y − 6 = 0
5)
Y = 0
X − 3Y − 6 = 0
X = 6
X + 2Y − 6 = 0
C = (6;0)
6) m AB = m BC Y − Y C = m BC ( X − X C ) Y = −3 X + 18
3 X + Y − 18 = 0
58
9
y
8
7
6
5
4
3
2
1
x
0 -7
- 6
-5
- 4
-3
- 2
-1
0
-1
-2
-3
59
1
2
3
4
5
6
7
