UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER SANTANDER
UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS En álgebra se emplean letras para representar números. Mediante letras y símbolos matemáticos las proposiciones verbales se reducen a proposiciones algebraicas muy cortas. Ejemplo: Siete veces un numero restado del mismo numero es igual a seis veces dicho numero 7n n 6n , es decir, 7 equivale a “siete veces un numero”. Pasar las proposiciones verbales a algebraicas es de suma importancia en la modelación matemática, a continuación continuación se enuncian algunas palabras que denotan operaciones. n
ADICIÓN: ADICIÓN : suma, mas, ganar, aumentar, elevar, expansionar, más que, mayor que, más grande que, agrandar, crecer e i ncrementar. ncrementar. SUSTRACCIÓN: SUSTRACCIÓN : diferencia, menos, perder, disminuir, bajar, más bajo que, menos que, menor que, más pequeño que, acortar, depreciar y decrecer MULTIPLICACIÓN: MULTIPLICACIÓN : multiplicado por, veces, producto, dos veces, doble, triple, cuádruple y quíntuplo. DIVISIÓN: DIVISIÓN: divido por, razón, cociente y mitad.
Expresiones algebraicas: Es una combinación de números y letras relacionados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división y a veces también por medio de potenciación, radicación, y logaritmación. 2 x 4 xy; 7 a b b; 2
2
2 x y
2
;
c3 b
Dos o más expresiones algebraicas unidas con un signo + ó – reciben el nombre de términos. términos. Dos o más expresiones algebraicas unidas por una multiplicación reciben el nombre de factores. factores. Ejemplo: 3ab − (a b)(a 3ab)
Primer término Tres factores
segundo término dos factores
Todo término presenta las siguientes partes: Coeficiente: Coeficiente: El que precede a la parte literal. Parte Literal: Literal: Está representada por una o varias letras. letras. Exponente: Exponente: Indica cuantas veces se toma como factor f actor la parte literal.
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Exponente
3 x5 Parte literal Coeficiente De acuerdo al número de términos las expresiones algebraicas pueden ser: 2 2 x y 2 4 MONOMIO : tiene un término Ej. 5 x y z ; ab 5 BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 xy y ; p q Ej. x 3x 5 2
TRINOMIO : tiene tres términos POLINOMIO: tiene más de dos términos
Ej. 3 x 2 x x12 3
2
Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (−). Grado de un término Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo:
En el término término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x) En el término 4x 2y3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma suma de los exponentes)
Grado de una expresión Es el grado mayor de sus distintos términos. Ejemplo:
En la expresión 3x 3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino) En el término 4x 2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término)
Términos semejantes: semejantes: Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo exponente, por ejemplo los términos 2 x3 y 5 x3 son semejantes, este concepto se puede extender a 2 3 términos que tienen más de una variable, como por ejemplo: ½ x2 y3 ; 6x2 y3 ; 3 x y ; x2 y3 son términos semejantes Reducción de términos semejantes. Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes numéricos de todos los términos semejantes y a continuación se escribe la parte literal común. 3 x 2 xy xy x 4 xy 6 xy 21 2
Ejemplo:
3 1
2
2
x 2 6
2
2
xy1 4
Reduciendo: 2 x2 4 xy 5 xy2 21
x y 21
2
Se llama término independiente a aquel que no contiene la variable. En el ejemplo anterior −21 es el término independiente Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el anterior.
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAÍCAS Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más de ellas. 1. Suma y Resta En Álgebra, a la hora de efectuar las operaciones de adición y sustracción es de particular importancia la identificación de los llamados términos semejantes.
Cuando es una suma de monomios
Ejemplo:
5 x 2 y 7 x
Sumar:
5 x 2 7 x 5 x 2 7 x
Solución:
Observa que, como los términos no son semejantes la suma se deja indicada
Cuando es una suma de polinomios
Ejemplo: Sumar:
3 4
x 2
1 3
y
7 8
x 3 x 2
1 7 3 Solución: x 2 x 2 3x 3 8 4
3 4
x 2
1 3
7
x 2 3x 8
3 2 7 2 1 x x 3x 8 3 4 3 7 1 x 2 3 x 8 3 4
Luego el polinomio resultante es:
Indicamos la operación de los dos binomios agrupando cada uno entre paréntesis Eliminamos los paréntesis, como el signo que los precede es positivo, no se afecta ningún término
Agrupamos los términos semejantes Extraemos la variable con su respectivo exponente como factor dejando los coeficientes dentro del paréntesis. Observe que estos nos indican una suma de fracciones con diferente denominador
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13 2 1 x 3x 8 3
Cuando es una resta de polinomios Ejemplo
Sea A
3 5
x 6 x 2
7
1
1
5
2
y B x 3 x 2
4
x
5
x
1
determinar: A – B
6
3 2 7 3 1 2 1 5 A B x 6 x x x x 5 4 5 2 6
Si eliminamos el paréntesis: A B
3 5
x 6 x 2
7 4
x3
1 5
2
2
x
5 6
Agrupamos los términos semejantes: 1 3 2 1 2 x x 6 x 5 2 5
A B
7 5 4 6
x x 3
Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes y ordenando el polinomio en forma descendente, tenemos: A B x 3
4 5
x 2
11 2
x
31 12 12
2. Multiplicación Para multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los sigui entes pasos: 1º 2º 3º
Multiplicar los signos ( ley de los signos signos para la multiplicación ) Multiplicar los coeficientes numéricos. Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base). base).
Estos pasos son válidos para todos los casos de m ultiplicación en álgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios Ejemplos:
monomios por monomios
5 4
2
( -4a b )•( 12ab )= 6 6
–48 a b
monomios por polinomios
polinomios por polinomios
2a 3b3a 7b 4
3
3
7 a b • ( 2 a – a b + 5 b )= 7
5 2
4 4
14 a b – – 7 a b + 35 a b
2
2
6a –14ab – –9ab + 21b = 2
2
6a –23ab +21b
5 -3 -4
-1 2
( 6 m n p ) • ( 5 mn p )=
2 2a 3 5 a 1 5 5a m m m 2 5 4
6 –4 –2
30 m n p
1 2
3 4 2 3 a b ab 4 3
1 5 4 a b 2
m
3a 4
m
3
2
2
x +2x +4x – 2 –2x x
7 a 3
3
x
4x – 8= 8= – 4x
– 8
2 2 3 2 m 2mn 8n m 3m 2
( a x + b y – – c z ) • ( − − x y )= 2
x 2 x2 2 x 4
2
– ax y – – bxy + cxyz
¡Hazlo tú!
3. División Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Los polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus potencias de mayor a menor. menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a la división numérica. Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se
debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo: Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:
3 x 10 x 4 x x 6 2
3
5
x 1 2 x 2
Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con coeficiente cero (0) la potencia faltante. f altante.
4 x 0 x 10 x 3 x x 6
2 x 2x 1
Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del divisor
4 x 0 x 10 x 3 x x 6
2 x 2x 1
Para efectuar esto se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base.
4 x 0 x 10 x 3 x x 6
5
4 x
x
2
5
4 x 1 x
2
5
4
5
3
4
5
2
3
4
2
3
2 x 2x 1
2
4 x
3
Este es el primer término del cociente 4 x5 2 4 x3
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del del divisor, a estos productos se les cambia el signo y se ordenan debajo del dividendo según el exponente de la variable. Estos productos se resta del dividendo
4 x 0 x 10 x 3 x x 6 x 2x 1 5
4
3
2
4 x5 8 x4 4x3
2
4 x
3
4 x 0 x 10 x 3 x x 6 x 2x 1 5
4
4 x5 8 x4 4x3
3
2
2
4 x
3
8 x 14 x 3 x x 6 4
Se repite todo el procedimiento considerando que ahora el primer término del nuevo dividendo es 8x4 8 x
x
4
2
8 x
4
1 x
2
8 x4 2 8 x2
3
2
4 x 0 x 10 x 3 x x 6 x 2x 1 5
4
3
2
2
3 2 4 x5 8 x4 4x3 4 x 8x 4 3 2 8 x 14 x 3 x x 6 8 x4 16 x3 8x2 3 2 2 x 5 x x 6
Continuamos ahora dividiendo los demás términos 4 x 0 x 10 x 3 x x 6 x 2x 1 5
4
3
2
2
3 2 4 x5 8 x4 4x3 4 x 8 x 2x 1 4 3 2 8 x 14 x 3 x x 6 8 x4 16 x3 8x2 3 2 2 x 5 x x 6 2 x3 4 x2 2 x x2 3x 6 2 x 2 x 1 5x 7 3 El cociente de la división es : 4 x 8 x2 2x 1
Y el residuo: 5x 7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)
VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas i ndicadas en la expresión para determinar su valor final. Veamos un ejemplo: Hallar el valor numérico de la expresión: 5 x2 y 8 xy2 9 y3 considerando x = 2; y = –1 No olvidar:
1º 2º 3º 4º
Reemplazar cada variable por el valor asignado. Calcular las potencias indicadas Efectuar las multiplicaciones y divisiones Realizar las adiciones y sustracciones
Veamos el ejemplo propuesto: 5 x2 y 8 xy2 9 y3
2
3
5 x y 8 xy 9 y 5 2 1 8 2 1 9 1 2
2
3
2
5 4 (1) 8 2 1 9 (1)
=
20 16 9 27
=
Es el valor numérico
UNIDAD 3 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES NOTABLES PRODUCTOS NOTABLES NOTABLES
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables. notables. Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación. Los productos notables se repiten con mucha frecuencia en el cálculo algebraico, por lo que resulta muy conveniente conocer su resultado de memori a para poder operar con rapidez. Algunos de ellos son los siguientes: 1. Cuadrado de un Binomio Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. binomio. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomios siempre tiene la misma estructura. Tenemos dos casos. El cuadrado de la suma de dos cantidades El cuadrado de la diferencia de dos cantidades
En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término ”
La estructura que representa esta fórmula es: ( a b ) a 2ab b 2
2
2
Algunos ejemplos: 2 p 2 b
2
p 2( p)(2 b) 2 b p 4 pb 4 b 2
2
2
2
2
2
5 x y 5 x 2(5 x)( y) y
25 x 10 10 xy y 2
2
2. Producto de la suma suma por la diferencia de dos cantidades Consideremos el producto de la suma de dos términos “ a b ” por su diferencia “ a b ”. Al
desarrollar el producto podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente: ( a b )( a b ) a b 2
2
Es decir, la suma de dos términos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue: “El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo ”
Algunos ejemplos: 5
4
5
4
5 2
4 2
10
( 2 p 6 q )( 2 p 6 q ) (2 p ) (6 q ) 4 p 2
36 q8
2 1 1 1 2 1 2 2 3 3 3 9 4x x x x 16 4 4 4
3. Cubo de un binomio Consideramos también dos casos:
Cubo de la suma de dos cantidades Cubo de la diferencia de dos cantidades
En ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cubo de un binomio: “El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo más(o menos) el cubo del segundo término ”
La estructura que representa esta fórmula es: ( a b ) a 3a b 3a b b 3
3
2
2
3
Algunos ejemplos:
5a b 3a 2
3
3
2
(5a2b)3 3(5a2 b)2 (3a3 ) 3(5a2 b) 3a3 (3a3 )3
= 125a6b3 225a7b2 135a8b 27a9 3
2 x y 2
3
2
2 x 3(2 x)2 ( y2 ) 3(2 x) y ( y2 )3 =
8 x 12 x y 6 xy y 3
2
2
2
6
4. Multiplicación de Binomios con un Término Común
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ a b ” por “ a c ”.
Al desarrollar el producto se observa que la estructura es la siguiente:
a b a c a 2 b ca bc La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue: “Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos ”
Ejemplos:
x 3 x 2
2 2 x 3 2 x 3(2) x 5 x 6 ,
a 8 a 7 a2 8 7 a 8(7)
2 a a 56 ,
observa que
3 2 5 3 2 6
observa
que
8 (7) 1 8 (7) 56
COCIENTES NOTABLES Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues sus respuestas son conocidas Definición: Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.
a. Primer caso: a n b n a b En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar. Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 5 + y5) ÷ (x + y) Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x5-1 = x 4 A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x 3), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y. Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se irá incrementando el grado del exponente del segundo término. (x5 + y5) ÷ (x + y) = x 4 -x3y + x2y2 -xy3 +y4
b. Segundo caso: a n b n a b En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número par o impar. Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 6 - y6) ÷ (x - y) La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir deci r todos los signos serán más). (x6 + y6) ÷ (x + y) = x 5 +x4y + x3y2 +x2y3 +xy4+y5
c. Tercer caso: a n b n a b
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par. Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 4 - y4) ÷ (x + y) Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero baj ándole un grado, es decir, por x4-1 = x3 A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x 2), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2y Para los demás términos de la l a respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.
(x4 - y4) ÷ (x + y) = x 3 -x2y + xy2 -y3
