Apuntes Dinamica de Sistemas

Apuntes de DINÁMICA DE SISTEMAS

Daniel Olivares Caballero

Contenido

Unidad 1 Introducción a la Modelación de Sistemas .................................................................. 5 1.1 Conceptos preliminares ...................................................................................................... 5 1.1.1 Sistemas ....................................................................................................................... 5 1.1.2 Señales ......................................................................................................................... 5 1.1.3 Modelos........................................................................................................................ 5 1.1.4 Construcción de los Modelos Matemáticos ................................................................. 5 1.1.5 Clasificación de los Modelos Matemáticos .................................................................. 6 1.1.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo........................... 6 1.2 Modelado de Sistemas Físicos............................................................................................. 6 1.2.1 Circuitos Eléctricos ....................................................................................................... 6 1.2.2 Sistemas traslacionales ................................................................................................ 6 1.2.3 Sistemas rotacionales ................................................................................................... 6 1.2.4 Sistemas fluídicos o hidráulicos.................................................................................... 6 1.2.5 Sistemas térmicos ........................................................................................................ 6 1.2.6 Sistemas híbridos ......................................................................................................... 6 1.3 Linealización de modelos matemáticos no lineales ........................................................ 6 1.4 Analogías ......................................................................................................................... 6 Unidad 2 Marco Matemático ...................................................................................................... 7 2.1 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia ............................................................................ 7 2.1.1 Ecuaciones Diferenciales .............................................................................................. 7 2.1.2 Ecuaciones Diferenciales con Diferencias .................................................................... 7 2.1.3 Definición de ecuación de diferencias (primera diferencia progresiva de la función) 7 2.1.4 Ecuaciones de Diferencias Finitas ................................................................................ 7 2.1.5 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencias Lineales ..................................................... 7 2.2 Transformada Laplace y Transformada Z ............................................................................ 7 2.2.1 Definiciones .................................................................................................................. 7 2.2.2 Propiedades.................................................................................................................. 8 2.2.3 Parejas de Transformadas ............................................................................................ 9 2.2.4 Utilización de la tabla de parejas de transformadas .................................................. 10 2.2.5 Transformadas Inversas por Expansión de Fracciones Parciales en dominio Z ......... 10 2.2.6 Transformadas Inversas por Desarrollo de una serie infinita de Potencias en dominio Z ........................................................................................................................................... 10 2.3 Solución de E.D. Lineales mediante transformadas Z ....................................................... 10

Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales ..................................................................................... 11 3.1 Sistemas Dinámicos y E.D. ................................................................................................. 11 3.2 Funciones de Transferencia .............................................................................................. 11 3.3 Diagramas de Bloques ....................................................................................................... 11 Diagramas de blocks................................................................................................................ 11 3.4 Diagramas de Flujo de Señal ............................................................................................. 17 4.1.1 Regla de Mason .............................................................................................................. 17 Fórmula de Mason .................................................................................................................. 17 3.5 Teorema de muestreo ....................................................................................................... 25 3.6 Retenedores y Sujetadores ............................................................................................... 25 3.7 Ecuación característica ...................................................................................................... 25 3.8 Filtros Digitales .................................................................................................................. 25 Respuesta de Sistemas de primer y segundo orden ................................................................... 26 4.1 Señales de prueba: impulso, escalón, rampa, parábola y senoidal ...................................... 26 4.1.1 Caso Discreto .............................................................................................................. 26 4.1.2 Caso Continuo ............................................................................................................ 26 4.2 Respuesta de Sistemas de Primer Orden (continuos y discretos) .................................... 26 4.3 Respuesta de Sistemas de Segundo Orden (Continuos y discretos) ................................. 26 4.3.1 Región de Estabilidad ................................................................................................. 26 4.3.2 Región de Tiempo máximo de asentamiento ............................................................ 26 4.3.3 Región de Frecuencia máxima de Oscilación ............................................................. 26 4.3.4 Región de sobrepico máximo ..................................................................................... 26 4.4 Localización de polos y ceros, polos dominantes. ............................................................ 26 4.4.1 Caso continuo ............................................................................................................. 26 4.4.2 Caso discreto .............................................................................................................. 26 Análisis y simulación en la frecuencia de sistemas lineales invariantes en tiempo .................... 27 5.1 Análisis de Bode ................................................................................................................ 27 5.1.1 Graficas de magnitud y de fase .................................................................................. 27 5.1.1.1 Polos y ceros en el origen ........................................................................................ 27 5.1.1.2 Polos y ceros de primer orden ................................................................................ 27 5.1.1.3 Polos y ceros de segundo orden ............................................................................. 27 5.1.1.4 De cualquier función de transferencia .................................................................... 27 Práctica 1 ..................................................................................................................................... 28 Práctica 2 ..................................................................................................................................... 29 Example: DC Motor Speed Modeling ...................................................................................... 29

1. Transfer Function ............................................................................................................ 30 Physical Setup.......................................................................................................................... 30 System Equations .................................................................................................................... 31 1. Transfer Function ............................................................................................................ 32 Simulación de un Tanque ............................................................................................................ 33

Unidad 1 Introducción a la Modelación de Sistemas

1.1 Conceptos preliminares 1.1.1 Sistemas

Sistema: Es un conjunto de elementos que interactúan entre sí para conseguir un objetivo común. Ejemplos de Diferentes tipos de sistemas: Eléctricos, Mecánicos, Hidráulicos, Neumáticos, Poblacionales, Biológicos, Financieros, etc.

Computacionales,

Clasificación de sistemas  Por el tipo de variables: continuos, discretos, híbridos.  Por las ecuaciones que lo describen: lineales y no lineales.  Por su relación entrada-salida: Estáticos, dinámicos  Por la su comportamiento en el tiempo: variantes en el tiempo, invariantes en el tiempo.  Por su control: no retroalimentados (lazo abierto) y retrolimentados (lazo cerrado). 1.1.2 Señales

Definición de señal Tipos de señales 1.1.3 Modelos

Definición de modelo: Aplicaciones de los modelos matemáticos:  Investigación y desarrollo: Determinar los mecanismos y parámetros que afectan al proceso a partir de datos provenientes de plantas de laboratorio, determinar las condiciones óptimas de operación y control, apoyar en el proceso de determinación de las especificaciones de los componentes de la planta.  Diseño: Explorar el tamaño y disposición de los equipos del proceso, estudiar las interacciones de varios elementos del proceso, evaluar estructuras y estrategias alternativas del proceso y del control, simular situaciones de arranque, paro y emergencia, así como las estrategias para estos eventos.  Operación de la planta: Resolución de problemas de control y de procesamiento, ayudar en el entrenamiento del operador, 1.1.4 Construcción de los Modelos Matemáticos

Pasos:

1. Bases: Conocimiento de las leyes físicas que intervienen en el sistema a modelar, por ejemplo leyes de Kirchhoff para circuitos eléctricos, termodinámica para sistemas térmicos, conservación de movimiento para sistemas mecánicos, etc. 2. Suposiciones 3. Congruencia matemática de las ecuaciones 4. Solución de las ecuaciones 5. Validación Leyes físicas: 1.1.5 Clasificación de los Modelos Matemáticos

Clasificaciones de modelos: Lineales, no lineales diferenciales, función de transferencia, variables de estado experimentales, teóricos, mixtos continuos, discretos, híbridos. 1.1.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo

Definición de linealidad, consecuencias de la linealidad Definición de no lineal Definición de variancia e invariancia en el tiempo.

1.2 Modelado de Sistemas Físicos 1.2.1 Circuitos Eléctricos 1.2.2 Sistemas traslacionales 1.2.3 Sistemas rotacionales 1.2.4 Sistemas fluídicos o hidráulicos 1.2.5 Sistemas térmicos 1.2.6 Sistemas híbridos 1.3 Linealización de modelos matemáticos no lineales 1.4 Analogías

Unidad 2 Marco Matemático

2.1 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia 2.1.1 Ecuaciones Diferenciales 2.1.2 Ecuaciones Diferenciales con Diferencias 2.1.3 Definición de ecuación de diferencias (primera diferencia progresiva de la función) 2.1.4 Ecuaciones de Diferencias Finitas 2.1.5 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencias Lineales 2.1.5.1 Linealidad 2.1.5.2 E.D. Lineales 2.1.5.3 Métodos de solución de E.D. Lineales

2.2 Transformada Laplace y Transformada Z 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Considere f(t) definida para t0, se define 

F ( s)  L[ f (t )]   f (t ) e st dt 0

Donde s es una variable compleja, s = +j.

f (t )  e  at

Ejemplo:

F ( s) 

Ejemplo:

1 sa

L[ (t )]  1

, si Re(s) >Re(-a) (Región de convergencia)

Antitransformada de Laplace

f (t ) 

1

2 j 

c  j c  j

F ( s)e st ds

Fracciones Parciales

F ( s) 

N ( s) N ( s)  D( s) ( s  a )( s  b) 2 D( s)

Método de Residuos

F ( s)  k 0 

ka k b1 kb2    (terminos debidos a las raices de D( s) s  a s  b ( s  b) 2

k 0  F ()

k a  F ( s)( s  a) sa

kb 2  F ( s)( s  b) 2

k b1 

2.2.1.2 Transformada Z 2.2.2 Propiedades

Propiedades:

s b

d  F ( s)( s  b) 2  ds s b

1. Linealidad: L[a f (t )  b g(t )]  a L[ f (t )]  b L[ g(t )]  a F ( s)  bG( s) 2. Traslación. L[ f (t  T )]  e  T s F ( s) 3. Teorema del valor final

lim f (t )  lim sF ( s) t 

s0

4. Teorema del valor inicial lim f (t )  lim sF ( s) t 0

s

d  L f (t )   sF ( s)  f (0)  dt  d2  L 2 f (t )   s 2 F ( s)  sf (0)  f  dt 

5. Diferenciación

 t  1 L f (t )dt   F ( s)  0  s

6. Integración

2.2.3 Parejas de Transformadas

Tabla de Transformadas de Laplace

𝒇(𝒕)

𝑭(𝒔)

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝑢 𝑡

1 𝑠

𝑅𝑎𝑚𝑝𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 𝑡 𝑢 𝑡

1 𝑠2

𝑡 𝑛 −1 , (𝑛 = 1,2,3 … ) 𝑛−1 !

1 𝑠𝑛

𝑒 −𝑎𝑡

1 𝑠+𝑎

𝑡 𝑒 −𝑎𝑡

1 (𝑠 + 𝑎)2

𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑡)

𝑠2

𝜔 + 𝜔2

(1)

(0)

𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑡)

𝑠 𝑠2 + 𝜔2

𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑡 + 𝜃)

𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠2 + 𝜔2

𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑡 + 𝜃)

𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠2 + 𝜔2

𝑒 −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ∙ 𝑡)

𝜔 (𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔 2

𝑒 −𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔 ∙ 𝑡)

𝑠+𝑎 (𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔 2

2.2.4 Utilización de la tabla de parejas de transformadas 2.2.5 Transformadas Inversas por Expansión de Fracciones Parciales en dominio Z 2.2.6 Transformadas Inversas por Desarrollo de una serie infinita de Potencias en dominio Z

2.3 Solución de E.D. Lineales mediante transformadas Z

Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales

3.1 Sistemas Dinámicos y E.D. 3.2 Funciones de Transferencia 3.3 Diagramas de Bloques

Diagramas de blocks Los diagramas de blocks son una representación gráfica de las ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema. Esta representación puede ser simplificada mediante el siguiente álgebra de blocks. Transformación

Ecuación

Diagrama original

Diagrama equivalente

w  G1 z Blocks en cascada

z  G2 y

x

y

G3

z

G2

w

G1

x

G3 G2 G1

w

x

G1  G2

y

y  G3 x x

Blocks en paralelo

y  G1 x  G2 x

x

Blocks en retroalimentación

+

z  G1 ( x  y)

y

y

G1



y  G1 ( x  G2 y) x

Desplazamiento de un punto de

y

G1 +  G2

x

G1 1  G1 G2

y

x

G1 +  G1

z

G2 +

G1

z



y

suma después de un block x

Desplazamiento de un punto de

z  G1 x  y

y

G1 + 

z

x

+

y

1 G1

suma antes de un block x

Desplazamiento de un punto de toma después de un block

y  G1 x

x

G1

y

x x



G1 1 G1

z

G1

y

x

x

y

y  G1 x

Desplazamiento de un punto de

y

G1

y

G1

y

G1

toma antes de un block x

w

+



y

w xyz

Cambio de puntos de suma

+

x



z

z

x

w xyz

y

+

+

-

-

G2

G1



+

w

x



G3

H1

y

+

C(s)

+

G4 H2

R(s)

+

+

-

-

G3  G4

G1G2

C(s)

H1 H2

R(s)

+ -

G1G2 1  G1G2 H1

G3  G4 H2

w

+



z

Ejemplo: Simplificar el diagrama de blocks R(s)



y

z

Separación de un punto de suma

+

C(s)

+



+



w

R(s)

G1G2 (G3  G4 ) 1  G1G2 H1

+ -

C(s)

H2

G1G2 (G3  G4 ) 1  G1G2 H1 G G (G  G4 ) 1 1 2 3  H2 1  G1G2 H1

R(s)

R(s)

C(s)

G1G2 (G3  G4 ) 1  G1G2 H1  G1G2 (G3  G4 ) H 2

C(s)

Ejemplo:

H3 R(s) + -

G1

+ -

+

-

G2

G3

C(s)

H2 H1

H3 R(s) + -

G1

+ -

+

-

G2 H2

H1

G3 1 G3

C(s)

H3 R(s)

G1

+

+

-

-

-

+

H2 H1

G1

R(s)

G1

-

H2 G1 H1

G2 G3 1  G2 G3 H3

+ -

H2  G1 H1

R(s)

G1

C(s)

1 G3

+

G1

1 G3

G2 G3 1  G2 G3 H3

+ +

R(s)

C(s)

G2 G3

+ -

C(s)

1 G3

G2 G3 1  G2 G3 H3

C(s)

H2  G1 H1 G3

R(s)

G1

G2 G3 1  G2 G3 H3 G2 G3 H  G1 H1 1  2 1  G2 G3 H3 G3

C(s)

G1G2 G3 1  G2 G3 H3  G2 ( H2  G1 H1 )

R(s)

C(s)

Ejemplo

H3 R(s) +

G1

-

-

+

+

G2

-

H1

+

G2

G1

-

1 G4

H3

-

+

C(s)

H2

1 G1 R(s)

G4

G3

H1

+ -

G3

G4

C(s)

H2 H3 G1G4

R(s)

+

-

+ -

G1G2

G3G4 1  G3G4 H2

C(s)

G3G4 1  G3G4 H2

C(s)

H1

H3 G1G4 R(s)

+

-

G1G2 1  G1G2 H1

H3 G1G4 R(s)

+

R(s)

R(s)

-

G1G2 G3 G4 (1  G1G2 H1 )(1  G3 G4 H2 )

G1 G2 G3 G4 (1  G1 G2 H1 )(1  G3 G4 H 2 ) G1 G2 G3 G4 H3 1  (1  G1 G2 H1 )(1  G3 G4 H 2 ) G1 G4

G1 G2 G3 G 4 (1  G1 G2 H1 )(1  G3 G 4 H 2 )  G2 G3 H 3

C(s)

C(s)

C(s)

3.4 Diagramas de Flujo de Señal 4.1.1 Regla de Mason

Fórmula de Mason N X SAL    K K X ENT K 1 

X SAL : Vértice de salida. X ENT : Vértice de entrada.

K:

Ganancia del k-ésimo camino directo.

:

1 - [Suma de las ganancias de todos los lazos] + [Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos] - [Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos] + ...

K :

Se obtiene aplicando la ecuación para  a la parte del diagrama que sea disjunto al késimo camino directo.

Lazos disjuntos: Lazos que no tienen vértices en común. Diagrama disjunto: Parte del diagrama que no tiene vértices en común con el camino directo que se está analizando.

Ejemplo: Hallar la función de transferencia x 5 x1

G24

 G44 G12

x2

G23

x3 G34

x1

G45

x5

x4  G32

G43

G25 n = 3 caminos directos 3 x5       2 2   33  k k  1 1 x1 k 1  

Camino directo #1: G24

G12

x2

x3

G45

x4

x1

 1  G12 G24 G45

1  1

x5

Porque no existe parte del diagrama que sea disjunto a

este

camino

Camino directo #2:

G44 G12

x2

x3

G34

x1

G45

x5

G43 G25

 2  G12 G25

Camino directo #3

 2  1  [(G34 G43 )  (G44 )]  0 ...  1  G34 G43  G44

G12

x2

G23

x3 G34

G45

x4

x1

 3  G12 G23 G34 G45

3  1

x5

Porque no existe parte del diagrama que sea

disjunto

a este camino

Lazos: G24

G44

x2

G23

x2

x3 G34

x3 x4

x4 G32

G43

G32

G43

  1  [(G32 )(G23 )  (G34 )(G43 )  (G44 )  (G32 )(G24 )(G43 )]  [(G32 )(G23 )(G44 )]

x5 G12 G24 G45  (G12 G25 )(1  G34 G43  G44 )  G12 G23 G34 G45  x1 1  [( G32 )(G23 )  (G34 )(G43 )  ( G44 )  ( G32 )(G24 )(G43 )]  [( G32 )(G23 )( G44 )]

x5 G12 G24 G45  G12 G25  G12 G25 G34 G43  G12 G25 G44  G12 G23 G34 G45  x1 1  G32 G23  G34 G43  G44  G32 G24 G43  G32 G23 G44

Ejemplo: Simplificar el siguiente diagrama de flujo

G6 G1

G2

x2

x1

G3

x3

G4

x4

H1

G5

x5

1

x6

x6

H2

H3

n = 2 caminos directos 2 x6      22  k k  1 1 x1 k 1  

Camino directo #1 G6 G1

x1

x2

x6 H2

 1  G1G6

Camino directo #2

1

G4

1  1  [G4 H2 ]  1  G4 H2

x6

G1

G2

x2

x1

G3

x4

x3

 2  G1G2 G3 G4 G5

G4

G5

x5

1 x6

x6

2  1

Lazos: G2

x2

x3 H1

G2

G4

x4

x5 H2

x2

G3

x3

x4 H3

  1  [(G2 H1 )  (G4 H2 )  (G2 G3 G4 H3 )]  [(G2 H1 )(G4 H2 )]

  1  G2 H1  G4 H2  G2 G3 G4 H3  G2 G4 H1 H2

(G1G6 )(1  G4 H2 )  (G1G2 G3 G4 G5 ) x6  x1 1  G2 H1  G4 H2  G2 G3 G4 H3  G2 G4 H1 H2

x6 G1G6  G1G6 G4 H2  G1G2 G3 G4 G5  x1 1  G2 H1  G4 H2  G2 G3 G4 H3  G2 G4 H1 H2 Simplificar el siguiente diagrama de flujo:

G4

x5

G7 H2 G2

G1

x1

x2

G3 x 4 G4

G5

x5

x3

x7

G6 x7

x6

H3

G8

H1

H4 n = 4 caminos directos 4 x7       2 2   33   4  4  k k  1 1 x1 k 1  

Camino directo #1

G7

G5

G1

x1

x2

 1  G1G7 G5 G6

x7

G6

x5

x6

x7

1  1

Camino directo #2

G7

x7

G1

x1

x2

x7

x5 G8

 2  G1G7 G8

Camino directo #3

2  1

G2

G1

x1

x2

G3 x 4 G4

x7

G6

x5

x3

 3  G1G2 G3 G4 G5 G6

G5

x7

x6

3  1

Camino directo #4

G2

G1

x1

x7

G3 x 4 G4

x2

x7

x5

x3

G8

 4  G1G2 G3 G4 G8

4  1

Lazos: G2

x2

G3 x 4 G4

G5

x5

x3 1

x6

x7

2 H4

H1

3

G6

H2

G3 x 4 G4

x3

G5 5

x5

H3

x6

x7

G8

4

H4

G7 H2

G3 x 4

6 x2

G7

x3 H1

x5 x 2

7 H1

x4

G5

x5

G6

x6 H4

x7

G7

x2

8 H1

x4 x7

x5

G8

H4

Lazos disjuntos: 1 y 5

x x

7



1  [(  G G H )  (  G G G H )  (  G G H )  (  G G H )  (  G H )  ( G G H H )  ( G G G H H )  ( G G H H )]  [(  G G H )(  G H )] 2 3 1 4 5 6 4 3 4 2 4 8 4 5 3 7 3 1 2 7 5 6 1 4 7 8 1 4 2 3 1 5 3

1

x x

7 1

( G G G G ) (1)  ( G G G ) (1)  ( G G G G G G ) (1)  ( G G G G G ) (1) 1 7 5 6 1 7 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 8



G G G G G G G G G G G G G G G G G G 1 7 5 6 1 7 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 8 1G G H G G G H G G H G G H G H G G H H G G G H H G G H H G G G H H 2 3 1 4 5 6 4 3 4 2 4 8 4 5 3 7 3 1 2 7 5 6 1 4 7 8 1 4 2 3 5 1 3

3.5 Teorema de muestreo 3.6 Retenedores y Sujetadores 3.7 Ecuación característica 3.8 Filtros Digitales

Respuesta de Sistemas de primer y segundo orden

4.1 Señales de prueba: impulso, escalón, rampa, parábola y senoidal

4.1.1 Caso Discreto 4.1.2 Caso Continuo

4.2 Respuesta de Sistemas de Primer Orden (continuos y discretos) 4.3 Respuesta de Sistemas de Segundo Orden (Continuos y discretos) 4.3.1 Región de Estabilidad 4.3.2 Región de Tiempo máximo de asentamiento 4.3.3 Región de Frecuencia máxima de Oscilación 4.3.4 Región de sobrepico máximo

4.4 Localización de polos y ceros, polos dominantes. 4.4.1 Caso continuo 4.4.2 Caso discreto

Análisis y simulación en la frecuencia de sistemas lineales invariantes en tiempo

5.1 Análisis de Bode 5.1.1 Graficas de magnitud y de fase 5.1.1.1 Polos y ceros en el origen 5.1.1.2 Polos y ceros de primer orden 5.1.1.3 Polos y ceros de segundo orden 5.1.1.4 De cualquier función de transferencia

Práctica 1

Circuito RC Circuito RLC

Práctica 2

Example: DC Motor Speed Modeling

Physical setup and system equations Un actuador común en los sistemas de control es el motor de DC. Este proporciona directamente movimiento rotatorio y, junto con ruedas o poleas y cables, puede proporcionar un movimiento de traslación. El circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran en la siguiente figura:

Para este ejemplo, vamos a asumir los siguientes valores para los parámetros físicos: * moment of inertia of the rotor (J) = 0.01 kg.m^2/s^2 * damping ratio of the mechanical system (b) = 0.1 Nms * electromotive force constant (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp * electric resistance (R) = 1 ohm * electric inductance (L) = 0.5 H * input (V): Source Voltage * output (theta): position of shaft * The rotor and shaft are assumed to be rigid The motor torque, T, is related to the armature current, i, by a constant factor Kt. The back emf, e, is related to the rotational velocity by the following equations:

In SI units (which we will use), Kt (armature constant) is equal to Ke (motor constant). From the figure above we can write the following equations based on Newton's law combined with Kirchhoff's law:

1. Transfer Function

Using Laplace Transforms, the above modeling equations can be expressed in terms of s.

By eliminating I(s) we can get the following open-loop transfer function, where the rotational speed is the output and the voltage is the input.

Example: Modeling DC Motor Position Physical Setup System Equations Design Requirements Matlab Representation and Open-Loop Response

Physical Setup

A common actuator in control systems is the DC motor. It directly provides rotary motion and, coupled with wheels or drums and cables, can provide transitional motion. The electric circuit of the armature and the free body diagram of the rotor are shown in the following figure:

For this example, we will assume the following values for the physical parameters. These values were derived by experiment from an actual motor in Carnegie Mellon's undergraduate controls lab. * moment of inertia of the rotor (J) = 3.2284E-6 kg.m^2/s^2 * damping ratio of the mechanical system (b) = 3.5077E-6 Nms * electromotive force constant (K=Ke=Kt) = 0.0274 Nm/Amp * electric resistance (R) = 4 ohm * electric inductance (L) = 2.75E-6 H * input (V): Source Voltage * output (theta): position of shaft * The rotor and shaft are assumed to be rigid System Equations

The motor torque, T, is related to the armature current, i, by a constant factor Kt. The back emf, e, is related to the rotational velocity by the following equations:

In SI units (which we will use), Kt (armature constant) is equal to Ke (motor constant). From the figure above we can write the following equations based on Newton's law combined with Kirchhoff's law:

1. Transfer Function

Using Laplace Transforms the above equations can be expressed in terms of s.

By eliminating I(s) we can get the following transfer function, where the rotating speed is the output and the voltage is an input.

However during this example we will be looking at the position, as being the output. We can obtain the position by integrating Theta Dot, therefore we just need to divide the transfer function by s.

Simulación de un Tanque

El contenido de agua de un tanque cilíndrico abierto se ve afectado por una demanda variable q2(t) controlada por la apertura de una válvula, un flujo de llenado q1(t) también variable, así como por una demanda q3(t) producida por una bomba. El radio de la base es de 5 ft. En condiciones normales de operación el tanque se mantiene lleno hasta 7 ft. de altura estando la válvula abierta un 50%. Se considera que la bomba produce un flujo constante de 30 gpm. El comportamiento de la válvula está dado por

q(t )  vp(t ) Cv

 gh(t ) 144 g c G

Nótese que el término P(t) en la ecuación de flujo se reduce a  g h(t) / 144 gc debido a que, por estar abierto el tanque, la presión que ejerce el medio sobre el líquido es la misma que hay en la salida de la válvula, que está abierta al aire (Cv.=57.404 gpm/psi1/2). Además se hace la suposición de que la presión que ejerce la columna de agua sobre la bomba no afecta el flujo que ésta produce.

q1 (t )

h(t ) q 2 (t )

q 3 (t )

a) Analice el efecto que producen variaciones en el flujo de entrada y en la apertura de la válvula sobre la altura del agua en el tanque, obteniendo el modelo del sistema en variables absolutas. b) Obtenga el modelo del sistema en variables de desviación. c) Compare en una gráfica la función original de respuesta de la válvula, flujo vs altura, con la función linealizada. Basado en esta gráfica, determine un intervalo de valores de h(t) para los cuales la aproximación lineal es válida. d) Simule el comportamiento del sistema original para cambios escalón en las variables de entrada, de una magnitud adecuada para que h(t) permanezca dentro del intervalo elegido en c). e) Repita la simulación utilizando ahora el sistema linealizado y grafique junto con los resultados de d). f) Grafique el error de aproximación, es decir, la diferencia entre los dos resultados anteriores. Cuál es el máximo valor del error (expresado en porciento de la salida del sistema original). g) Obtenga aproximadamente los rangos de variación en las variables de entrada para mantenerse en un rango de error de aproximación del 5%. h) Haga los comentarios que considere pertinentes en cada punto.