Apuntes Para Metodos de Integraci%d3n

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO

EDUCACIÓN A DISTANCIA

2

f(x)

−5

Métodos de Integración −2

x

2

Ing. Ofelio Gónzalez Serrano Ing. Gerardo Montelongo Macias

1



MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Pág. INDICE PROLOGO …………………… ……………………………… …………………… …………………… …………………… ……………… …… 2 I.- UNIDAD FORMULAS SIMPLES DE INTEGRALES DIRECTAS ………………… 3 II.- UNIDAD SUSTITUCIO SUSTITUCIONES NES ALGEBRAICA ALGEBRAICAS S III.- UNIDAD INTEGRACIÓ INTEGRACIÓN N POR PARTES PARTES

…………………… ……………………………… ……………….. …….. 16

…………………… ……………………………… …………………… ………….. .. 22

IV.- UNIDAD INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGON TRIGONOMÉ OMÉTRI TRICAS CAS ………………… ………………………… ……………… ……………… ……………… …………. …... 30 V.- UNIDAD SUSTITUCIO SUSTITUCIONES NES TRIGONOMÉ TRIGONOMÉTRICA TRICAS S

…………………… ……………………………. ………..... .... 36

VI.- UNIDAD FRACCIONES FRACCIONES PARCIALES… PARCIALES…………… …………………… …………………… …………………… ……………… …… 46 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES INTEGRACIÓN POR MEDIO DEL MANEJO DE TABLAS INTEGRALES

BIBLIOGRAFÍA ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… …

72

2

f(x)

−5


x

2


2



MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Pág. INDICE PROLOGO …………………… ……………………………… …………………… …………………… …………………… ……………… …… 2 I.- UNIDAD FORMULAS SIMPLES DE INTEGRALES DIRECTAS ………………… 3 II.- UNIDAD SUSTITUCIO SUSTITUCIONES NES ALGEBRAICA ALGEBRAICAS S III.- UNIDAD INTEGRACIÓ INTEGRACIÓN N POR PARTES PARTES

…………………… ……………………………… ……………….. …….. 16

…………………… ……………………………… …………………… ………….. .. 22

IV.- UNIDAD INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGON TRIGONOMÉ OMÉTRI TRICAS CAS ………………… ………………………… ……………… ……………… ……………… …………. …... 30 V.- UNIDAD SUSTITUCIO SUSTITUCIONES NES TRIGONOMÉ TRIGONOMÉTRICA TRICAS S

…………………… ……………………………. ………..... .... 36

VI.- UNIDAD FRACCIONES FRACCIONES PARCIALES… PARCIALES…………… …………………… …………………… …………………… ……………… …… 46 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES INTEGRACIÓN POR MEDIO DEL MANEJO DE TABLAS INTEGRALES

BIBLIOGRAFÍA ………… ……………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ………… ……… …

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x

2


2



PRÓLOGO La integración habitual es tan solo la memoria de la derivación, los diversos trucos por los que se efectúa efectúa la integración integración son cambios, no de lo conocido a lo ignorado, ignorado, sino de formas formas en las que la memoria no nos es útil a otras que si lo es. Augustus De Morgan (1806-1871). (1806-1871).

Objetivo Pasa Pasarr revi revist staa a la lass regl reglas as de inte integr grac ació ión n de func funcio ione ness alge algebr brai aica cass y trascendentes. Tomando en cuenta la importancia que tiene el CÁLCULO INTEGRAL en el estudio de cualquier rama de la Ingeniería y de las Ciencias. Se han desarrollado estos apuntes como una recopilación de modelos, ejemplos y problemarios de diversos diversos libros de Cálculo Cálculo con el objeto de que los ejemplos contengan contengan el mayor número de artificios de Cálculo complementándolo con problemas afines a los ejemplos para que se ejercite el manejo de dichos artificios de Cálculo. La razón de estos apuntes es, el utilizarlos en los cursos de MÉTODOS DE

INTEGRACIÓN que se ofrecen a los alumnos del INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO, como parte del programa de apoyo y complemento a los cursos de MATEMÁTICAS I (Cálculo (Cálculo de una variable) y MATEMÁTICAS IV (Ecuaciones Diferenciales). Agradecemos de antemano las observaciones correcciones y recomendaciones que tengan a bien hacernos llegar al Centro de Matemáticas del INSTITUTO

TECNOL TECNOLÓGI ÓGICO CO DE DURANG DURANGO O EDIFIC EDIFICIO IO “D” 3er piso a nombre nombre del Ing. Ofelio González Serrano e Ing. Gerardo Montelongo Macías. Enero de 2004 2

f(x)

−5


x

2


3



UNIDAD 1

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I.- FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN En matemáticas existen operaciones que son mutuamente inversas como son: La adición y la sustracción, la potenciación y la radicación. En los siguientes ejemplos se muestran algunas funciones inversas. y = x 2 + 1

x = ± y + 1

y = a x

x = log a y

y = sen x

x = arc sen y ó sen-1 y

En el cálculo diferencial se ha estudiado el problema que, en términos generales, puede enunciarse como:

Dada una función f , hallar su derivada, f ’ . La derivada de una función dada, f , se indica como

d d x

( f ( x) ) = f ' ( x) ó

empleando la notación diferencial. El problema general del cálculo integral puede formularse de la siguiente manera: Dado el diferencial de una función, “ a ”. Cómo hallar una función f ( x) cuya derivada f ´( x) es conocida; Es decir, dada (1) f ' ( x) = ϕ ( x) o bien utilizando la notación de diferenciales se tiene: (2) df ( x) = f ' ( x)dx = ϕ ( x)dx la operación inversa: df ( x) = f ' ( x)dx = ϕ ( x)dx y enunciando el problema de cálculo integral como sigue: Dada la diferencial de una función hallar la función. La función resultante se llama: Integral de la expresión diferencial dada

∫

∫

Y el procedimiento de obtener la función se llama INTEGRACIÓN y se indica con el signo ∫ delante de la expresión diferencial dada. Ejemplo: (3)

∫ f ' ( x)dx = f ( x)

2

f(x)

−5


x

2


4



que se lee "LA INTEGRAL DE f ' ' ( x)dx ES IGUAL A f ( x)' ' . En general el símbolo se lee "integral o integral de:"; la diferencial indica cual es la variable independiente con respecto a la cual se ha de integrar.

∫

Ejemplos: f ´( x) dx = 2 xdx ;

a) Sí f ( x) = x 2 , entonces

b) Sí f ( x) = senx, entonces f ' ' ( x)dx = cos xdx ; y

∫ 2 xdx = x

y dx

∫ 1 + x

2

2

+ C

= arctgx + C

En los ejemplos anteriores, se ve que la diferenciación y la integración son operaciones, inversas, como a continuación se muestra: Diferenciando (3) tenemos: (4)

∫

d f ' ( x)dx = f ' ( x) dx

Sustituyendo en (3) el valor de f ' ( x)dx por df ( x) según (2) se obtiene: (5)

∫ df ( x) = f ( x) + C ∫

De esta manera se puede considerar que d / dx e dx como símbolos opuestos, son inversos el uno del otro, o si se emplea la notación con diferenciales son inversos el uno del otro. d e

∫

∫

Cuando d antecede a , como en (4), ambos signos se anulan mutuamente como en (5), eso en general no es cierto como se verá en la siguiente sección.

1.2 CONSTANTES DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA.-

∫

2 De la sección anterior se tiene que por ser: d ( x 2 ) = 2 xdx , se tiene que 2 xdx = x ; por ser

d ( x

2

∫

+ 2) = 2 xdx , se tiene que 2 x 2 dx = x 2 + 2 En general como: d ( x 2

+ C ) = 2 xdx

2

f(x)

−5


x

2


5



2 Siendo C una constante cualquiera, se tiene: ∫ 2 xdx = x + C

Donde la constante arbitraria “ C ”, se llama constante de integración y es un valor real independiente de la variable de integración puesto que “ C ” puede tomar cualquier valor. De esto, sí una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales que difieren solo en una constante por lo tanto: f ' ( x)dx = f ( x) + C

∫

Puesto que “ C ” es desconocida e indefinida, la expresión f ( x) + C , se llama Integral Indefinida de f ' ( x)dx . Es evidente que si ϕ ( x) , es una función cuya derivada es f ( x) entonces ϕ ( x) + C , siendo “ C ” una constante cualquiera, es igualmente una función cuya derivada es f ( x) , de aquí se deduce lo siguiente: a) TEOREMA. Si dos funciones difieren en una constante, entonces tienen la misma derivada. Sin embargo, no es obvio que, si ϕ ( x) es una función cuya derivada es f ( x) todas las funciones que tengan la misma derivada f ( x) , sean de la forma ϕ ( x) + C siendo “ C ” una constante, en otros términos se tiene que demostrar. b) TEOREMA RECIPROCO. Si dos funciones tienen una misma derivada entonces su diferencia es una constante. En todos los casos de funciones indefinidas el valor de la constante “ C ” puede determinarse en caso de que se conozca el valor de la integral para algún valor de la variable como se vera más adelante. En lo que sigue daremos por sentado que toda función continua tiene una integral indefinida, lo cual se puede comprobar si al diferenciar el resultado de la integración da la misma expresión que la diferencial dada.

REGLAS PARA DETERMINAR LAS FORMAS ELEMENTALES ORDINARIAS La integración es un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo se forman tablas de integrales conocidas, que se llaman tablas de integrales inmediatas. Para efectuar una integración cualquiera, se compara la expresión diferencial dada con las tablas, sí se encuentran registradas en ellas se sabe la integral y sino está registrada, se utilizan algunos métodos o artificios de cálculo. Como muchos de los métodos se sirven de artificios que solo la práctica y el sentido común pueden sugerir, la mayor parte del contenido de estos apuntes se tratarán y manejarán ejemplos sencillos pero significativos en donde se involucran algunos artificios muy útiles para cuando se presenten casos similares. 2

f(x)

−5


x

2


6



De todo resultado de diferenciación puede deducirse siempre una fórmula para integración. Las dos reglas siguientes son muy útiles para la reducción de expresiones diferenciales a integrales inmediatas. 1.- La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la suma algebraica de las integrales de esa suma.

∫

∫

∫

∫

(1) (du + dv − dw) = du + dv − dw

2.- Un factor constante puede escribirse adelante del signo de la integral o después de él.

∫

∫

(2) adu = a du A continuación se muestra un listado de integrales inmediatas o formulas elementales ordinarias.

∫

∫

∫

∫

∫

1.- du + dv − dw = du + dv − dw

∫

2.- adu = a du = au + C

∫

∫

u n+1

3.- dx = x + C

4.- u du =

5.- du = ln u + C = ln u + ln C = ln Cu

u 6.- a u du = a + C

∫

∫ u ∫

u du

−ln cos u 2

f(x)

−5

ctg

u

du


x

2

ln a

10.-

= −ctg u + C

= − csc u + C +C =ln sec u + C

13.- ∫ csc u

+ C

8.- sen u du = − cos u + C

9.- ∫ cos u du = sen u + C u + C 2

n +1

∫

7.- e u du = e u + C

11.- ∫ csc u + C

n

12.-

14.-

∫ sec

∫ sec u

tg

2

u du

u

du

∫ tg u Ing. Ofelio Gónzalez Serrano Ing. Gerardo Montelongo Macias

= tg

= sec

du

= 7



15.- ∫ ctg u u ) + C

du

= ln sen u

17.- ∫ csc u

du

= ln(csc u − ctg u) + C

∫ u

19.-

19(a).-

du 2

−a

∫ u

∫

21.-

∫

22.-

∫

a

2

23.-

∫ u

2

a2

2

−a

−u2

du u2

2a

du

du

20.-

1

=

2

± a2

2

=

ln

u+a

1 2a

ln

+ C

a+u a −u

(u 2

+ C ;

18.-

∫ u

du

du 2

+a

2

= ln(sec u + tg

1

u

a

a

= arc tg + C

> a2)

(u 2

< a2)

u a

= arc sen + C

= ln(u + u 2 ± a 2 ) + C

− u du =

u

± a du =

u

2

2

u−a

∫ sec u

16.-

+C

2

2

a

u

2

2

−u + 2

±a

2

a2 2

a2 2

arc sen

ln(u + u 2

u a

+ C

± a 2 ) + C

1.3 MANEJO DE LAS FÓRMULAS (3), (4), (5). Estos ejemplos muestran algunos artificios sencillos de reducción del problema en las fórmulas de integración directas (3), (4,), (5). EJEMPLOS: x 5+1 x 6 + C = x dx = 5 +1 6

∫

1.-

6

+ C

siendo u = x

y

n

=5

2

f(x)

−5


x

2


8



∫

2.-

dx

3.-

∫ x

4.-

∫

= ∫ x1 / 2 dx = x

x dx

= ∫ x dx =

5

ax dx

x −2

−2

= a ∫ x 5 dx =

+ C =

ax 6

6

u= x

+ C si

3/ 2

−3

3

3/ 2

1 2 x

+ C

2

y

n

u = x

si

= 1/ 2

y

n

=3

+ C

5.-

∫ (2 x

3

−5 x 2 −3 x + 4)dx = ∫2 x 3 dx − ∫ 5 x 2 dx − ∫3 xdx + ∫4dx = 2∫ x 3 dx −5∫ x 2 dx −3∫ xdx + 4∫dx

=

x 4

−

2

5 x 3 3

−

3 x 2 2

+ 4 x + C

6.-

 2a − b + 3c 3 x 2  dx = 2a x −1 / 2 dx − b x −2 dx + 3 c x 2 / 3 dx = 2a x 1 / 2 − b x −1 + 3 c x 5 / 3 + C ∫  x1 / 2 x 2 ∫ ∫ ∫  1/ 2 5/3 −1 = 4a

∫

7.-

(a 2

x

+ b + 9 c x 5 / 3 + C x

5

− 3a 4 / 3 x 2 / 3 + 3a 2 / 3 x 4 / 3 − x 2 ) dx = a 2 x −

9 4/3 5/3 a x 5

+

9 2/3 7/3 a x 7

−

1 3 x 3

+ C

Haciendo la separación de las integrales se llegó al resultado. 8.- ∫ [a + b 2

2

x

]

2 1/ 2

x dx

=

(a 2

3b 2

se desarrolla haciendo:

∫ [a

+ b x

2

2

]

2 1/ 2

x dx =

1 2b 2

+ b 2 x 2 ) 3 / 2 u

∫ [a

2

+ C

= a 2 + bx 2 ;

+ b x 2

2

1/ 2

n

= 12;

] [ 2b x dx] = 2

du

1 2b 2

= 2b 2 x dx =

∫ u

1/ 2

du =

u3/ 2 3b 2

+ C =

( a 2 + b 2 x 2 ) 3 / 2 3b 2

2

f(x)

−5


x

2


9

+ C



9.

∫ b

3axdx 2

+ c x 2

2

3a

=

2c

ln[b 2

2

+ c 2 x 2 ] + C

solución

∫b haciendo

3axdx 2

+ c x 2

2

= 3a ∫

xdx b + c x 2

2

2

=

3a 2c

2

2c 2 x dx

∫ b

2

+ c x 2

2

=

3a 2c

ln[b

2

+ c 2 x 2 ] + C

= b 2 + c 2 x 2

u

calculando

du

= 2c 2 x dx

PROBLEMAS 1.3 Verificar las siguientes integrales indefinidas 8.- ∫ x

2

∫

( x 3

−1) 4 dx

x 5

1. − x d x = 5 3. −

4

d 1 = − x x 2 x

∫

∫ (

+c

)

2. − x 3 + 2 d x

+c

∫

4. −

3

x 2 d x

3/ 2

5. −

d 3 x = 3 x 2 x

∫

(4 x 7. − ∫

2

−2 x

+c x

)dx

∫

6. − y 4 y d x =

2 x 2 − 4 x

+c

2

f(x)

−5


x

2


10



9.−

2

( 2t t 2t + 3 dt =

∫

10.−

2

x

∫ ( x

11.−

3

+ 3) 3/ 2 6

+c

2

− 1)

dx

∫ (5 −6 zdz 3 z ) 2

2

=

1 5 − 3z

2

+c

12.−

( 4 x + 6) 2 3 dx ( x + 3x + 7)

∫

∫ cos ax dx 2 = 16.− ∫ b − sen ax 14.− ( 9 − y ) y dy

 sec x  2 17.− ∫    1 − tan x  18.−

t dt 2 a + b t

∫

dx

b − sen ax a

+c

1 1 − tan x

+c

=−

ln (a + b t ) 2b 2

=

+c

ión de las integrales se llego  3 2 19.− ( x + 3x )dx

∫

t

2

f(x)

−5


x

2


11



1.4. MANEJO DE LAS FÓRMULAS (6), (7). Ejemplo:

∫ b a

2 x

ba

2 x

dx

=

dx

= b ∫ a 2 x dx

2 ln a

+c

solución

∫ b a

2 x

Expresión que se parece a la fórmula (6). Hágase u = 2x , du = 2 dx ; si ahora se introduce el factor 2 delante de dx y el factor 1/2 delante del signo para completar la diferencial se tiene que:

∫

b a

2 x

dx =

b

∫ 2

a

2 x

2dx =

b u  b au  2 ∫ a du = 2 ln a =

b

a ∫ 2

ba

2 x

d ( 2 x) =

2 x

2 ln a

+c

PROBLEMAS 1.4 Verificar las siguientes integraciones:

2

f(x)

−5


x

2


12



∫

1 . − 6 e dx 3. −

dx

∫ e

x

1 e

∫

x

∫

tgx

∫

x

+e 2

5 . − xe dx 7. − e

a

=

) dx

=

1

2

2

e

x

2

sec xdx

9 . − a e dx x

=

=

x

10

+c

ln 10

+c

− x

x

∫

x

x

2 . − 10 dx

3 x

=−

4 . − (e a

∫

= 2e + c

3 x

x

1 a

(e a

−e a )+c

∫

6. − e

+c

=e

a e

− x

x

x

2 ln a

tgx

+c

+c

8. −

senx

∫

cos xdx

= e senx + c

e dt = 2 e t

∫

10 . − a

2 x

dx

=

a

t

+c

2 x

2 ln a

+c

1.5 MANEJO DE LAS FÓRMULAS DE INTEGRALES TRIGONOMETRICAS FÓRMULAS DE LA (8) A (17). Las fórmulas de integrales trigonométricas se deducen inmediatamente de las fórmulas de diferenciación correspondientes, de manera que siguiendo el proceso inverso de la integral se obtiene la diferencial y el desarrollo de este tipo de integrales resulta muy simple, salvo en algunos casos en que la integral tenga ángulos de la forma de productos o cocientes donde se tiene que efectuar un cambio de variables sencillo para poner la integral en una forma simple como se ilustra en los ejemplos: EJEMPLO 1 Demostrar la siguiente integral

∫ sen 2 ax dx Solución: Se hace un cambio sencillo de variable u = 2ax ; du = 2a dx; y completando la diferencial se tiene la integral de la forma

∫ sen u du = −cosu +C 2

f(x)

−5


x

2


13



1 2a

∫

sen( 2ax ) (2adx ) = −

cos 2ax

+c

2a

Ejemplo 2 Demostrar la siguiente integral

∫ (tg 2 s −1)

2

ds

=1 / 2 tg 2 s + ln cos 2 s +C

Solución: Desarrollando el binomio al cuadrado (tg 2 s −1) 2

= tg 2 2 s − 2 tg 2 s +1 =− 2 tg 2 s

Por lo tanto sustituyendo la integral original, se tiene separando las integrales:

∫ (tg 2 s − 1) ds = ∫ sec

2 s

∫

ds − 2 tg 2 s ds = u haciendo el cambio de variables u = 2 s; 2

1

∫ (sec 2

=

2

2

∫

2 s)2ds − (tg 2 s)2ds =

1 2

du = 2ds

tg 2 s + ln cos 2 s + c

PROBLEMAS 1.5 Verificar las siguientes integrales

1.− ∫ cos mxdx =

1 sen mx + c m

2.− ∫ tg bx dx =

3.− ∫ sec ax dx =

1 ln(sec ax + tg ax) + c a

4.− ∫ csc u du = ln(cscu − c tg u) + c

2 1 c tg 3x + c 5.− ∫ csc 3 xdx = − 3

dx 7.− ∫ 1 + cos x

1 lnsec bx + c b

6.− ∫ x sec x dx = 2

2

3

1 3 tgx +c 3

= −c tg x + csc x + c

2

f(x)

−5


x

2


14



Sugerencia. Multiplicar el numerador y el denominador por 1- cos x y hacer las reducciones antes de integrar.

8.− ∫

sec2 θ d θ

= 1 − 2 tgθ + c

1 − 2 tgθ

Calcular cada una de las siguientes integrales y comprobar los resultados por diferenciación

9.− ∫ sen

2 x

11.− ∫ sec 13.− ∫

3 x

2 dt

10.− ∫

dx tg

x 2

dx

tg 5t

a dx cos2 bx

12.− ∫ e x c tg e x dx 14.− ∫

d θ sen 4θ 2

csc2 x dx

15.− ∫ 5 − 4 csc x

2

f(x)

−5


x

2


15



UNIDAD II SUSTITUCIONES ALGEBRAICAS En muchos problemas de la primera unidad se utilizó la sustitución u = g(x) para evaluar integrales. Por ejemplo: se reconoce como (1/2 ) ∫ eu du cuando se hace u = x 2 donde la diferencial de u , du = 2x dx Ahora se extenderá la idea de la sustitución con u para integrales que no sean de la forma precisa ∫ f(g(x) g’(x)) dx

∫ e

x 2

x dx

Ejemplo 1 Evaluar x 2 x +1 dx Solución: si se hace u = x + 1 igual x = u – 1 , d x=d u y x 2 = ( u - 1 ) 2 = u2 - 2u + 1 x + 1 = u 1/ 2 Así que: x 2

x + 1 dx

= ( u 2 − 2u + 1) u 1/ 2

du

= ∫ (u5/2 - 2u + 1 ) du = 2/7 u7/2 - 4/5 u5/2 + 2/3 u3/2 + c = 2/7 ( x + 1 ) 7/2 - 4/5 ( x + 1) 5/2 + 2/3 ( x + 1) 3/2 + c Se recomienda como ejercicio para el estudiante derivar el resultado para ver si da x 2 x + 1 La elección de la sustitución a emplear dado, el caso no siempre es obvio. Por lo general, si el integrando contiene una potencia de una función, es conveniente probar haciendo que u sea tal función o bien la propia potencia de la 2

f(x)

−5


x

2


16



función. En el ejemplo 1 la sustitución alternativa u = x + 1 ó u2 = x + 1 conduce a la integral diferente 2 ∫ (1 + u2 )u2 du. Esta última puede evaluarse desarrollando e integrando de cada término. Ejemplo 2

Evaluar

∫ x +dx x

Solución:

sea

u =√x de modo que x = u2 y dx = 2u du por lo tanto

∫ x

2u du

dx

+ x

= 2 ln u +1 +c = 2 ln(

x

= ∫

u

2

+ u

2 du

= ∫

u + 1

+1) +c

INTEGRADOS QUE CONTIENEN UNA EXPRESIÓN CUADRATICA Como se vió en la unidad primera. Sí un integrando tiene una expresión cuadrática ax 2 + bx + c , completar el cuadrado puede conducir a una integral que sea posible expresar como función trigonométrica inversa ó como función hiperbólica inversa, desde luego que integrales más complejas pueden dar lugar también a otras funciones. Ejemplo 3

Evaluar

∫ x

x + 4 2

+ 6 x + 18

dx

Solución Luego de completar el cuadrado, la integral dada puede escribirse como:

∫ x

+4 x +4 dx = dx ∫ 18 ( x + 3) 2 + 9 +6 x + x

2

Ahora bien si u = x + 3, despejando x tenemos x = u - 3 lo tanto:

y

dx = du por

2

f(x)

−5


x

2


17



∫ x

x + 4 2

+ 6 x + 18

1

∫u 2

=

1

=

ln

2

1

=

ln

2

2u

∫ u

[( x + )

2

3

( x

2

∫u

du +

9 +

2

u + 1

dx =

]

2

+ 9

du 9 +

2

1

∫u

du =

1

=

2

− 9 + tg + 1

1

(u

x + 3

3

)

ln

3

− 6 x + 18 + tg + 1

2

2

+ 9

)

∫u

du +

1

− 9 + tg + 1

3

du 2

u 3

+ 9 c +

c +

x + 3

3

u

3

c +

Ejemplo 4 2

∫

Evaluar

0 3

6 x + 1 3 x + 2

dx

Solución: Si u=3x + 2, entonces x =1/3(u - 2) y dx =1/3 du 6x + 1 = 2(u - 2) + 1 = 2u - 3 3

3 x + 2

= u1/ 3

Obsérvese ahora que cuando x = 0 , u = 2 y cuando x = 2 u = 8 . Por lo tanto, integrando en términos de la variable u, se obtiene

∫

6 x + 1

2

0 3

3 x + 2 5

2u 3 3 5 3

=

dx =

8

2u − 3 1

∫ u 2

1

− 1  2 13  du = ∫  u − u 3  du 2 3 3  

3

2

−

u 3 8 2 53 [ = u 2 2 5 3

−

3 2

8

2

8

u 3 ]2

-(2/5 .25/3 - 3/2 .2 2/3) = 34/5 - 2/5 .2 5/3 +

3/2 .22/3 =

7.9112

También puede ser útil recordar al llegar a éste punto, que la integración de cociente de dos funciones polinomiales P(x)/Q(x ) , se empieza usualmente efectuando la división si el grado de P es mayor o igual que al grado de Q. 2

f(x)

−5


x

2


18



2

f(x)

−5


x

2


19



PROBLEMAS 2

∫

∫

5. −

x 2

x 7. − (3 x

∫

2. − dx ( x − 1) 4

∫

x − 5 dx

9. − x

∫

2 x + 1 dx

11. −

3. − ( 2 x + 1) 4. − ( x 2 − 1) x 3

∫ x

13. −

6

t

∫ t

18. − 3

2

∫ e

19. −

dt

∫

9

∫

30. − 4

5 x + 4 dx

x − 1 dx 1 x +

( ∫ 1

33. − 1 − x 0

64

∫ x

36. − 1

x 2

3

1

)

50


x

2

x

w

∫ 1

25. − 0

x ∫

28. − 9

− 1

5 x

∫ x

31. − 2

dx

4

3

dx

∫ 1+ (

34. − 0

3

dx

+ 2

2

−5

d

∫ 1 −

22. −

37.- Obtenga el área bajo la gráfica de y = 1 / (x 1/3 + 1) en el intervalo [0, 1]. 38.- Halle el área limitada por la gráfica de y = x 3 x + 1 y el eje x en el intervalo [-1,1]. 39.- Obtenga el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo girar la región limitada por las gráficas de y = 1/( √ x + 1), x = 0, x = 4, y y = 0 , en torno al eje y. f(x)

2

∫ x

6 x − 1 24. − dx 4 x 2 + 4 x + 10 0

x 5

17. −

∫

∫

t

∫ t 5

21. − 1 − v dv

1

1

∫ x

1 +

27. − x

x

∫

14. −

dx

1 + 2 x + 1 16. − dx ∫ ( x + 7) 2 3

x

∫ x

1. − x ( x + 1) 3 dx


20



40.- Determinar el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo girar la región del problema 39 en torno al eje x.

UNIDAD III 2

f(x)

−5


x

2


21



INTEGRACIÓN POR PARTES Suponiendo que u = f(x) y v = g(x) son funciones diferenciables. Por la regla de la potencia se tiene que: d/dx [ f(x) g(x) ] = f(x) g '(x) + g(x) f '(x) La integración de

(3.1)

(3.1)

f(x) g(x) = ∫ f(x) g ' (x) dx + ∫ g(x) f '(x) dx Se tiene una fórmula: ∫ f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ∫ g(x) f'(x) dx

(3.2) (3.3)

Que es muy útil para integrar ciertos productos. Este procedimiento se le conoce como INTEGRACION POR PARTES. La idea básica contenida en (3.2) es evaluar la integral ∫ f(x)g '(x) por medio de la evaluación de otra integral ∫ g(x)f '(x)dx la cual se espera que sea más sencilla. La fórmula (3.2) se expresa usualmente en términos de las diferenciales du = f '(x) y dv = g'(x)dx dv=dx , como guía práctica. La elección dv es determinada por lo que suceda en la segunda integral de (3.3) se elige específicamente: Ejemplo 1 Integrar ∫ (x + 1)-1/2 x dx dv = (x + 1) -1/2 dx integrar

u = x derivar

Entonces v = 2 ( x + 1 ) 1/2

du = dx

Sustituyendo las funciones en

(3.3) se tiene

∫ x (x + 1)-1/2 dx = 2x (x + 1)-1/2 - 2 ∫ (x + 1)1/2 dx = = 2x (x + 1) -1/2 - (2)(2/3)(x + 1)3/2 + c = 2x (x + 1) -1/2 - 4/3 (x + 1) 3/2 + c Obsérvese que no es necesario una constante en la integración de dv . La constante agregada al final del problema es una constante que implica a todas las demás. El conocimiento de que se ha hecho la elección correcta" se basa en el 2

f(x)

−5


x

2


22



anális análisis is retrosp retrospect ectivo ivo pragmát pragmático ico ¿funci ¿funciono ono el procedim procedimien iento? to?.. Para ver que sucede cuando se hace una elección "incorrecta". Considérese el ejemplo 1

Ejemplo 1

∫ (x (x + 1)-1/2 x dx Si en esta ocasión se selecciona v = 1/2 x 2

Integrando se tiene:

du = - 1/2 (x + 1) -3/2 dx

Y diferenciando Aplicando

u = (x + 1)-1/2

dv = x dx

(3.3) en este caso resulta

∫ x(x x(x + 1)-1/2 dx = 1/2 x 2 (x + 1)-1/2 + 1/4 ∫ x x2 (x + 1)-3/2 dx El problema resulta evidente: La segunda integral ∫ v du es más complicada que la original ∫ u dv . La selección alternativa dv = dx también conduce a un callejón sin salida.

Ejemplo 2 Evaluar ∫ x tg -1 x dx solución: Eligiendo dv = x dx

u = tg -1 x

v = x 2 /2

du =

dv 1 + x 2

puede verse que 3,3 da:

∫ x tg x dx = x /2 tg x - 1/2 ∫ -1

2

-1

x2

1 + x 2

dx

∫ x para evaluar ∫ x2 dx / (1 + x 2 ), se efectúa la división por lo tanto, 2

f(x)

−5


x

2


23



∫ x tg -1 x dx = x 2 /2 tg -1 - 1/2 ∫ (1 −

1 1 + x 2

) dx

= x 2 /2 tg -1 x - 1/2 x + 1/2 tg -1 x + c

Ejemplo 3

∫ sec Evaluar ∫ sec 3 x dx Solución una inspección a la integral no revela ninguna elección obvia para dv . Sin embargo, escribiendo sec 3 x = sec x sec 2 x , se puede identificar: dv = sec 2 xdx v = tgx

u = sec x du = sec x tgx dx

De acuerdo con 3,3 y utilizando utilizando una identidad trigonométrica, trigonométrica, se tiene que:

∫ sec ∫ tg sec 3 xdx = sec x tg x - ∫ tg 2 x sec x dx ∫ (sec = sec x tg x - ∫ (sec 2 x - 1) sec x dx ∫ sec = sec x tg x - ∫ sec 3 x dx + ∫ sec sec x dx ∫ sec = sec x tg x + ln sec x + tg x  - ∫ sec 3 x dx Al llegar a este punto podría parecer que entra a un círculo vicioso, pero la realidad es que el problema está resuelto, despejando:

∫ sec sec 3 x de la última ecuación y se suma una constante constante de integración: ∫ sec 2 ∫ sec 3 x dx = sec x tg x + ln sec x + tg x  ∫ sec sec 3 x dx = 1/2 sec x tg x + 1/2 ln sec x + tg x  + c Ejemplo 4 Evaluar la ∫ x x 3 ln x dx Solución: Sean

dv = x 3 d x

u = ln x

2

f(x)

−5


x

2


24



x v=

4

du =

4

1 x

dx

Integrando luego por partes resulta:

∫ x

3

ln x dx

=

x 4 4

∫

ln x − 1 / 4 x dx = 3

x 4 4

ln x −

x 4 16

+c

Algunos problemas pueden requerir integración integración por partes en algunas ocasiones.

Ejemplo 5

∫ x Evaluar ∫ x2 e-x dx Sean dv = e-x dx v = - e -x

Solución:

u = x 2 du = 2x dx

En ∫ x e-x dx , se aplica integrando integrando por partes por segunda ocasión con: dv = e-x dx u = x -x v = -e Por lo tanto:

∫ x [-x x2 e-x dx = -x 2 e-x + 2 [ - x e-x + ∫ e-x dx ] | = -x 2 e-x - 2x e-x - 2e-x + c Por regla general, integrales de este tipo: x k (ln x)n dx , ∫ x x n ekn dx y ∫ x xn sen kx dx ∫ x donde n es entero positivo y k una constante; requerirán integración por por partes n veces.

Ejemplo 6 Evaluar ∫ x sen 3x dx Solución: La elección

dv = sen 3x dx v = -1/3 cos 3x

u = x du = dx

2

f(x)

−5


x

2


25



Conduce: ∫ x sen 3x dx = - 1/3 x cos 3x + 1/3 ∫ cos 3x dx = - 1/3 x cos 3x + 1/9 sen 3x + c

Ejemplo 7 Evaluar

∫ e2x cos 3x dx

Solución: sean

dv = e2x dx v = 1/2 e 2x

u = cos 3x du = - 3 sen 3x dx

Entonces:

∫ e2x cos 3x dx = 1/2 e 2x cos 3x + 3/2 ∫ e2x sen 3x dx Se aplica nuevamente la integración por partes en ∫ e2x sen 3x dx eligiendo: dv = e2x dx u = sen 3x 2x v = 1/2 e du = 3 cos 3x dx De esta manera la integral original se convierte

∫ e2x cos 3x dx = 1/2 e2x cos 3x + 3/2 [ 1/2 e2x sen 3x -3/2 ∫ e2x cos 3x dx ] = 1/2 e 2x cos 3x + 3/4 e2x sen 3x - 9/4 ∫ e2x cos 3x dx Despejando la integral original ∫ e2x cos 3x dx 13/4 ∫ e2x cos 3x dx = 1/2 e2x cos 3x + 3/4 e2x sen 3x

∫ e2x cos 3x dx = 2/13 e2x cos 3x + 3/13 e2x sen 3x + c INTEGRALES DEFINIDAS Una integral definida se puede evaluar aplicando la integración por partes de la siguiente manera:

∫

b

a

f ( x ) g ' ( x ) dx

= f ( x ) g ( x ) ]a − ∫ a g ( x ) f ' ( x )dx b

b

Ejemplo 8 2

f(x)

−5


x

2


26



Determinar el área bajo la curva y = lnx en el intervalo

[1 , e]

Solución: Trazar la gráfica para hacer el planteamiento Eligiendo

dv = dx v = x e

1

1

x

A = x ln x ] x e

Se tiene

u = ln x du =

1 x

dx

dx

e

= x ln x ]1 − ∫ 1 dx e

e

= x ln x ]1 − x ]1

= e ln e − ln 1 − e + 1 = 1unidad cuadrada Ya que ln e = 1 y ln 1 = 0 y y=ln x A 1

e

x

2

f(x)

−5


x

2


27



EJERCICIOS En los problemas 1-40 evalúe la integral dada, usando integración por partes. 1.

∫ − + ∫ ∫ − − ∫ ∫ ∫ − − ∫ − ∫ − + − − − ∫ − − ∫ − − ∫ − − x

3. 5. 7. 9.

11. 13.

3 dx

x

ln 4 x dx

4.

x ln 2 x dx ln x x

2

1

0

2

10.

dt

1

tan

1

17.

xe 3 x dx x

4

2

3

e

x

xe

2

14.

x

18.

dx

x / 2

12.

16.

x dx

3

(t l

dx 1)

x dx

sen

19.

ln x

8.

x ln ( x

0

x 1 /

x

(ln t ) 2

ln( x

6.

dx

15.

21.

2.

x

20.

2

x

2

e

5

22.

dx

En los problemas 41 y 42 a partes. 41.

4

0

tan

1

x

42

dx

2

f(x)

−5


x

2


28



UNIDAD IV

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Con el apoyo de identidades trigonométricas, es posible evaluar integrales del tipo:

∫ senm x cosn x dx Se distinguen dos casos:

CAS0 I.- m ó n es entero positivo impar. Supóngase primero que m es un entero positivo impar, obsérvese que el exponente k no necesita ser entero. Ejemplo 1: Evaluar ∫ sen3 x dx SOLUCIÓN:

∫ sen3 x dx = ∫ sen2 x senx dx = ∫ (1 - cos2 x) senx dx = ∫ senx dx + ∫ cos2 x (- senx) dx = - cosx + 1/3 cos 3 x + c

Ejemplo 2: Evaluar ∫ sen5 x cos2 x dx SOLUCIÓN:

∫ sen5 x cos2 x dx = ∫ cos2 x sen4 x senx dx = ∫ cos2 x (sen2 x)2 senx dx = ∫ cos2 x (1 - cos2 x)2 senx dx = ∫ cos2 x(1 - 2cos2 x + cos4 x) senx dx = - ∫ cos2 x (-senx) dx + 2 ∫ cos4 x (-senx) dx

2

f(x)

−5


x

2


29



= - ∫ cos6 x (-senx) dx = - 1/3 cos3 x + 2/5 cos 5 x - 1/7 cos7 x + c

Si n es un entero positivo impar, el procedimiento para la evaluación es el mismo excepto que se busca un integrando que sea una suma de potencias de sen x por cos x.

Ejemplo 3 Evaluar ∫ sen4 x cos3 x dx SOLUCIÓN:

∫ sen4 x cos3 x dx = ∫ sen4 x cos2 x cosx dx = ∫ sen4 x(1-sen2 x)cosx dx = ∫ sen4 x(cosx) dx - ∫ sen6 x(cosx) dx = 1/5 sen5 x - 1/7 sen7 x + c

CASO II.- Tanto m como n son enteros pares no negativos. Cuando ambos, m y n, son enteros pares no negativos, la evaluación de depende mucho de las identidades Sen x cos x = 1/2 sen 2 x, sen2 x =

1 −cos 2 x 2

,cos

2

1 +cos 2 x x = 2

Ya se han visto los casos especiales

∫ sen2 x dx y ∫ cos2 x dx varias veces.

Ejemplo 4 Evaluar ∫ cos4 x dx SOLUCIÓN: ∫ cos4 x dx = ∫ (cos2 x)2 dx 2 1 +cos 2 x    dx = ∫    2

= 1/4 ∫ (1+ 2 cos2x+cos2 2x)dx

2

f(x)

−5


x

2


30





= 1/4 ∫  1 + 2 cos 2 x +

1 + cos 4 x   dx 2 

= 1/4 ∫ (3/2 + 2 cos 2x + 1/2 cos 4x) dx = 3/8 x + 1/4 sen 2x + 1/32 sen 4x + c

Ejemplo 5: Evaluar ∫ sen2 x cos2 x dx SOLUCIÓN:

∫ sen x cos 2

x dx =

2

1 − cos 2 x 1 + cos 2 x

∫

2

2

(1 + cos 4 ∫

=

1

=

1



=

1

 1

=

1

1 − 4 ∫ 

2

dx

)

2 x dx

1 + cos 4 x   dx 2 



1

 − cos 4 x  dx 4 ∫  2 2 

8

x −

1 32

sen4 x + c

Solución alternativa

∫ sen x cos 2

2

x dx

= ∫ ( sen x

cos x ) dx 2

2

sen2 x  = ∫    dx  2 

=

1

1 − cos 4 x

4 ∫

2

dx

El resto de la solución es igual que en la anterior Para evaluar una integral del tipo: se consideran tres casos

CASO I

∫ tg

m

n

x sec x dx

n es un entero positivo par.

2

f(x)

−5


x

2


31



Si n es un entero positivo par, el procedimiento de evaluación es semejante al del CAS0 I. Para integrales del tipo Empleando: sec n x = sec n-2 x sec 2 x y la identidad 1 + tg 2 x = sec 2 x , se puede escribir la integral dada como una suma de integrales de la forma:

∫ tg k x sec 2 x dx = ∫ uk du Ejemplo 6: Evaluar

4

tanx sec x dx

SOLUCIÓN:

∫

tan x sec 4 x dx

= ∫ ( tg x )

1

2

sec 2 x dx

= ∫ ( tg x) 2 (1 + tan 2 x ) sec2 x dx 1

5

1

= ∫ ( tg x ) 2 sec2 x dx + ∫ ( tg x) 2 sec2 x dx

=

2 / 3(tg x)

3

+ 2 / 7(tg x)

2

7

2

+c

m es un entero positivo impar.

CASO II

Cuando m es entero positivo impar, m - 1, es par. Empleando: tg m x sec n x = tg m-1 x sec n-1 x sec x tg x y tg 2 x = sec 2 x - 1. La integral dada se puede escribir como una suma de integrales, cada una de la forma:

∫ sec k x sec x tg x dx = ∫ uk dx Ejemplo 7: Evaluar ∫ tan3 x sec 7 x dx SOLUCIÓN:

∫tg x sec 3

x dx

= ∫ tg 2 x

f(x)


x

2

sec6 x sec x tg x dx

= ∫ (sec2 x −1) sec6 x

= ∫sec

2

−5

7

8

sec x tg x dx

∫

x(sec x tg x) dx − sec 6 x(sec x tg x)dx


= 32



= 1 / 9 sec 9 x − 1 / 7 sec 7 x + c

CASO III

m es par y n es impar

Finalmente, si m es un entero positivo par y n es un entero positivo impar, escribimos el integrando en términos de sec x y se aplica integración por partes.

Ejemplo 8: Evaluar

∫ tan2 x sec x dx

SOLUCIÓN: Escribiendo

∫tg x sec x dx = ∫ (sec x −1) sec x dx = ∫sec x dx − ∫ sec x dx 2

2

3

Si tienen dos integrales ya determinadas, previamente. La integración por partes da:

∫ sec 3 x dx = 1/2 sec x tg x + 1/2 ln | sec x + tg x | + c 1 También,

∫ sec x dx = ln |sec x + tg x | + c 2

Restando las expresiones anteriores resulta finalmente

∫ tg 2 x sec x dx = 1/2 sec x tg x - 1/2 ln |sec x + tg x | + c Aunque rigurosamente hablando el ejemplo siguiente no cae dentro de ninguno de los tres casos considerados para el procedimiento es semejante al CASO I.

EJEMPLO 9: Evaluar ∫ tan4 x dx SOLUCIÓN:

∫tg x dx =∫ tg x tg x dx 4

2

2

= ∫ tg x(sec x −1)dx = ∫(tg x) sec x dx − ∫ tan x dx = ∫(tan x) sec x dx − ∫ (sec x −1) dx 2

2

2

2

2

2

2

= ∫(tg x) 2 sec2 x

2

∫

∫

dx − sec x dx + dx 2

2

f(x)

−5


x

2


33



=1 / 3tg 3 x − tg x + x + c

Observación: Las integrales del tipo ∫ ctg m x csc n x dx se tratan de manera análoga.

EJERCICIOS: 1.

cos 3

− ∫ π φ φ φ − ∫ π − − ∫ − ∫ − ∫ π ∫ − ∫ − ∫ − ∫ − − ∫ − ∫ − ∫ − x dx

sen 3 x cos 3

3.

/ 2

5.

sen

/ 3

/ 2

7.

0

3

cos

5

sen

x dx

x

cos

d

5

x

8

dx

sen 4 t dt

9.

1

11.

sen 2 x cos 4

x dx

1

13.

sen 4 x cos 4

x dx

1

15.

/ 3

0

tan

17.

tan 3

19.

dx cos 2

2

x

1

dx

2t sec 4

2t dt

2

21.

x cot 10 x csc 4

23.

tan 5

25.

tan

27.

tan 2

x sec 3

29.

cos 2

x cot x dx

31.

sec 4 (1 tan 8 (1

3

1

2

x dx

2

x dx

x (sec x )

t )

1 / 2

dx

x dx

dt

t )

En los problemas 33 y 34, encuentre el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo girar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, en torno al eje x. 33. − cos 2 x, y y =

0,0 ≤ x =

/ 6 π ≤

34. − tan y =

2

x, y

0, 0 ≤ x =

Problemas Diversos En los problemas 35-40 aplique las identidades trigonométricas. 2

f(x)

−5


x

2


34

≤



sen mx cos nx = sen mx sen nx =

1 2 1 2

[ sen (m + n) x + sen (m - n) x ] [ cos (m - n) x - cos (m + n) x ]

1

cos mx cos nx = 2 [ cos (m - n) x + cos (m + n) x ] para evaluar las integrales dadas. 35.

senx cos 2 x dx − ∫

38.

5 − 3 sen 2 x − ∫

36.

cos 3 x − ∫ / 6

cos − ∫ 0

π

dx

39.

sec 6 x

UNIDAD V SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS Cuando un integrado contiene potencias de x y potencias enteras de alguna de las expresiones: a

2

− x 2

a2

+ x 2

o bien

x

2

− a2

a>

0

2

f(x)

−5


x

2


35



es posible que se pueda evaluar las integrales por medio de una sustitución trigonométrica. Los tres casos considerados a continuación dependen, respectivamente de las identidades fundamentales. 1 - sen 2 θ = cos 2 1 + tg 2 θ = sec 2 sec 2 θ - 1 = tg 2

Caso I Integrandos que contienen Si se hace x = a sen θ , - π / 2 < θ <

θ θ θ

, a / 2 , entonces a

π

2

− x 2

> 0

− x 2 = a 2 − a 2 sen 2 = a 2 (1 − sen 2θ ) = a 2 cos 2 θ = a cos θ a2

Cuando adicional

− π / 2 <

a2

− x 2 aparece en el denominador de un integrando; la restricción

< π / 2

Ejemplo 1 Evaluar ∫

x

2

9 − x2

dx.

Solución. La identificación a = 3 conduce a las sustituciones X = 3 senӨ

en donde − π / 2 <

dx= 3 cosӨ dӨ,

< π / 2 . La integral se convierte en

∫

x

2

9 − x2

dx =

∫

9 sen

2

θ

(3 cos θ d θ ) 9 − 9 sen 2θ

= 9∫ sen 2θ d θ Recuérdese que para evaluar esta ultima integral trigonométrica se hace uso de 2 sen θ = (1 − cos 2θ ) / 2 :

∫

x

2

9 − x

2

dx

=

9 2

∫ (1 − cos 2θ )d θ

2

f(x)

−5


x

2


36



= 9 θ − 9 sen 2θ + C 2

4

Para expresar este resultado otra vez en términos de la variable x , observamos que senθ = x / 3, cos θ = 1 − sen θ = 9 − x , y θ = sen −1 ( x / 3). Puesto que sen 2θ = 2 senθ cos θ , resulta que 2

x 2

∫ 9 − x

2

2/3

dx

=

x 9 sen −1 2 3

1 x 9 − x 2 2

−

+ C

Ejemplo 2 Evaluar

∫

1 − x 2 dx x

Solución Sea

entonces

x

= sen θ

∫

1 − x

dx

2

x

dx

cos 2 θ

= ∫

senθ

= ∫

= cos θ d θ

1 − sen

2

θ

(cos θ d θ )

senθ

d θ

1 − sen 2θ d θ senθ

= ∫

= ∫ (cscθ − senθ )d θ =ln csc θ −cot θ +cos θ +C

Como

y se puede escribir como

cos θ = 1 − sen 2θ = 1 − x 2 , csc θ = 1 / senθ = 1 / x

cot θ = cos θ / senθ = 1 − x / x, 2

∫

1 − x x

2

dx

= ln 1 −

1 − x x

2

+

1 − x

2

+C

En los ejemplos precedentes, el retorno a la variable x se puede realizar de otra manera. Si se construye un triángulo rectángulo, como se muestra en las figuras 5.1 de manera que senθ = x / a, entonces las otras funciones trigonométricas se pueden expresar fácilmente en términos de x. En el caso del ejemplo sen θ = x / 1 y entonces de la figura 5.2 puede verse que cosθ = 1 − x 2 y 2 cot θ = cosθ / senθ = 1 − x / x 2

f(x)

−5


x

2


37



CASO II

Integrandos que contienen

a

2

+ x 2 , x > 0

Supóngase que x = tg θ , en donde − π / 2 < θ < π / 2 . Entonces, a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tg 2θ = a 2 (1 + tg 2θ ) = a 2 sec 2 θ = a sec θ Como en la exposición anterior, una integral en la que interviene un término algebraico a 2 + x 2 se transforma en una integral trigonométrica. Después de la integración puede eliminarse la variable empleando un triángulo rectángulo en tg x / a θ = donde ver figura 5.3

a

x

1

Ө

a

x

Ө

a2

− x 2

+ x

2

x

Ө

1 − x2

Figura 5.1

2

a

Figura 5.2

Figura 5.3

Ejemplo 3 Evaluar:

dx

∫ (4 + x

2

)3 / 2

Solución Obsérvese que el integrando es una potencia entera de ( 4 + x 2 ) 3 / 2 = ( 4 + x 2 ) 3 . Ahora bien, cuando x 4 + x 2

x

dx

, ya que

= 2 sec 2 θ d θ ,

= 2 sec θ , y ( 4 + x 2 ) 3 / 2 = 8 sec 3 θ . Así que,

∫ 4+

= 2 tan θ

4 + x2

dx ( 4 + x 2 ) 3 / 2

2 sec 2 θ d θ 8 sec 3 θ

= ∫ =

2

1 4

∫ cos

d θ θ

x

= 1 sen θ + C

Ө

4

2 Figura 9.5 Métodos de Integración 2

f(x)

−5

−2

x

2


38



Del triángulo de la figura 9.5, se tiene que Por lo tanto, dx

∫ (4 + x CASO III

2

)3 / 2

Integrandos que contienen

x 2

Si en este ultimo caso se utiliza la sustitución bien π ≤ θ ≤ 3π / 2 entonces x

2

−a2 =

a sec θ − a 2

2

2

=

a (sec θ −1) 2

2

=

=

2

1

x

4

4 + x

−a2 x 2

a

2

sen θ = x / 4 + x 2

+ C

>0

= a sec θ , en donde

a tg θ

0 ≤ θ ≤ π / 2, o

= atg θ


x

2

−16

x

4

Solución Haciendo x

se obtiene

∫

= 4 sec θ x 2

dx

−16

dx

x 4

1 = 16

tan 2 θ

∫ sec

3

θ

= ∫

= 4 sec θ tan θ d θ

16 sec 2 θ −16 256 sec 4 θ

( 4 sec θ tan θ d θ )

d θ

1 sen 2θ cos 3 θ d θ = 2 16 cos θ

∫

1

=

sen 16 ∫

=

1 sen 3θ + C 48

2

θ (cos θ d θ )

x

−16

x Ө 4

Figura 9.6

Con referencia al triángulo de la figura 9.6, se ve que si sec θ = x / 4, entonces x 2 − 16 , cos θ = 4 / x y sen θ = se deduce entonces que x

2

f(x)

−5


x

2


39



∫

− 16

x 2

x 4

dx

1  ( x 2 − 16) 3 / 2 =  + C    48  x 3

Ejemplo 5 Encontrar la longitud de la gráfica de

y

1

= x 2 + 3 en el intervalo (0,1) 2

Solución Recuérdese que la formula para la longitud de arco es s= ∫ 1 +[ f ´( x)] dx . Como dy / dx = x, se tiene b

2

a

s

1

= ∫ 0

1 + x

2

dx

Si ahora se sustituye x

= tan θ

dx

= sec 2 θ dθ

los limites de integración en la integral definida resultante son −1 θ = tan 1 = π / 4. Por lo tanto, s

π /

= ∫ 0 π /

= ∫ 0

4

4

θ

= tan −1 0 = 0 y

1 + tan 2 θ sec 2 θ d θ

3

sec θ d θ

La antiderivada de sec 3 θ se obtuvo en el ejemplo 3 de la sección 9.2 empleando integración por partes: π / 4

1 1  s = ( secθ tanθ + ln secθ + tan θ ) 2 2 0

=

=

1 2

sec

π

4

tan

π

4

+

1 2

ln sec

π

4

+ tan

π

4

2 1 + ln( 2 +1) ≈ 1.1478 2 2

Integrandos que contienen una expresión cuadrática Completando el cuadrado, es posible expresar un integrando que contenga una expresión cuadrática en una de las formas siguientes: 2

f(x)

−5


x

2


40



a2

−u 2 ,

a2

, u2 −a2

+ u2

las sustituciones apropiadas se resumen en la tabla adjunta. Forma a2 −u2

Sustitución u

= asenθ

a2

+ u2

u

= a tan θ

u2

−a2

u

= a sec θ

Ejemplo 6 dx

Evaluar ∫ ( x 2 + 8 x + 25) 3 / 2

∫ ( x

Solución Como

dx 2

[ 9 + ( x + 4) ]

+ 8 x + 25) 3 / 2

se hace la identificación de

a2

∫ ( x

se tiene =

1 9

2

+ 8 x + 25)

3/2

= ∫

2 3/ 2

+ u 2 con a = 3 y u = x + 4. Usando

x + 4 = 3 tan θ dx

dx

= ∫

dx

3 sec 2 θ d θ

[9 + 9 tan θ ] 2

3/ 2

= 3 sec 2 θ d θ 2

= 1 ∫ sec 3 θ d θ = 9

sec

θ

1 9

∫ cos

θ dθ

senθ + C

una inspección al triángulo de la figura 9.7 indica cómo expresar senθ en terminos de x . Se deduce entonces que 2 ( x + 4)

+9 X+4 Ө

∫ ( x

dx 2

+ 8 x + 25) 3 / 2

x + 4

=1

( x + 4)

9

= 3

2

+9

+ C

x + 4 9 x 2

+ 8 x + 25

+ C

Figura 9.7 Observación En los tres casos considerados anteriormente, son posibles otras sustituciones, aunque no necesariamente deseables. Por ejemplo, se puede utilizar 2

f(x)

−5


x

2


41



= a cos θ ,−n / 2 ≤ θ ≤ n / 2 para eliminar el radical

x

a2

− x 2 =

a 2 (1 − cos 2 θ )

a2

− x 2 , a > 0 :

= a sen θ

Del mismo modo, podemos emplear la sustitución hiperbólica x = asenh ( t ) para a

2

+ x 2 , a > 0 :

a

2

+ x 2 =

a (1 + senh 2

2

( t ) ) =

2

a cosh

2

( t ) = a cosh ( t )

Léase también los problemas 47 y 48 de los ejercicios 5 En los problemas 1-40, evalué la integral dada, mediante una sustitución trigonométrica, cuando sea apropiado. 1 − x 2

1.

∫

4.

∫ 3 − x

x 2

∫ (1 − x 7.

2

∫

2

dx

10.

∫ (9 − x

13.

∫

2

) −3 / 2 dx

dx

25 − x dx

∫ x

2

2.

∫ x

5.

∫ 4 + x

8.

∫

2

−4 2

3.

dx

dx

6.

∫ x

dx 2

− 36

) 3 / 2 dx

1 − x 2 dx

x 3

16.

dx

x

2

∫ ( x

x 3

x 2

−1dx

9.

11.

∫ x

x

2

+7dx

12.

14.

∫ x

17.

∫ x

dx x

2

dx

− 4) 3 / 2

2

x

∫ 25 + x

2

dx

15.

− 25

16 − x 2

∫ x

dx 2

16 − x

2

dx

1+ x

2

18.

∫ x

dx 2

1 + x2

2

f(x)

−5


x

2


42



19.

22.

1 − x 2

∫

x

4

x 2

∫ (4 + x

2

∫ (4 + x

28.

∫

2

x

4 x − x dx

29.

∫ (5 − 4 x − x

2

)

3/ 2

dx

dx

∫ 4 + ( x − 3)

37. ∫ −

1

2

∫

2

21.

dx

dx

∫ (1 + x

2

24.

)2

x 3

∫ ( x

2

27.

dx

2

x

∫ (9 − x

∫ ( x

)3/ 2

x 2

−1) 2

2

∫ x

dx + 6 x + 13) 2

2

dx

dx

dx

+ 2 x + 10

2

30.

)2

x − 3

1

40.

2

x

4

(1 − x 2 ) 5 / 2

dx

2

∫

26. ∫

)5 / 2

∫ (11 −10 x − x

34.

23.

dx

)3 / 2

dx

25.

31.

20.

dx

−1

x 2

2

4 − x dx 2

32.

35. 38.

∫ ( x

∫ x ∫

dx 2

+ 2 x)

x

2

2

3

−1

+ 16 x

33.

3/ 2

36.

dx

2

4 − x 2

39.

dx

∫ x ∫

2 x + 4 2

+ 4 x + 13

4 − 9 x 2 x

0

dx

dx

5

∫ ( x

dx

2

+ 25) 3 / 2

dx x 3 x 2

−1

41. Determine el área bajo la gráfica de

y

= 1 /( x


y

= x 5

3 + x )

1−x2

2

en el intervalo

en el intervalo

3) .

(1,

(0,1)

.

43. La región descrita en el problema 41 se hace girar en torno al eje x . Halle el volumen del sólido de revolución. 2

f(x)

−5


x

2


43



44. La región del primer cuadrante limitada por las gráficas de y = x / 4 − x y y = 0 se hace girar en torno al eje y . Encuentre el volumen del sólido de revolución. 45. Calcule la longitud de la gráfica de

y

= ln x en el intervalo

46. Calcule la longitud de la gráfica de

y

=−

1 2 x 2

(1,

2

,x

=1

3) .

+ 2 x en el intervalo

(1,2).

47. Evalué la integral

∫ x

dx 9 + x2

2

empleando la sustitución hiperbólica

x

= 3 senh (t ).

48. Evalué la integral (1 + x ) 2

∫ 1 − x

2

dx

empleando la sustitución x = cos θ

49. Demuestre la fórmula

∫ u ±

a

2

2

2

1

± a 2 du = u u 2 ± a 2 2

ln u + u 2

± a 2 + C , a > 0

50. Demuestre que el área limitada por la elipse

2

a x

2

+ b 2 y 2 = a 2 b 2 es

π a

b.

51. La región limitada por la gráfica de ( x − a) 2 + y 2 = r 2 , r < a , se hace girar en torno al eje y . Encuentre el volumen del sólido de revolución, llamado toro. Véase la figura 9.8.

2

f(x)

−5


x

2


44



y

(a, 0)

( x − a ) 2

x

+ y 2 = r 2

Figura 9.8

UNIDAD VI FRACCIONES PARCIALES Denominadores que contienen factores lineales Cuando los términos de la suma 2

x + 5

+

1

x +1

(6.01)

se combinan por medio de un común denominador, se obtiene la expresión racional individual 3 x + 7 ( x + 5)( x + 1)

(6.02)

2

f(x)

−5


x

2


45



Supóngase ahora que se nos presenta el problema de evaluar la integral 3 x +7

∫ ( x +5)( x +1) dx . La solución es obvia, por supuesto: se utiliza la igualdad de (6.01) y (6.02) para escribir

+  = ∫+ ∫  + +  = ++ 3 x

( x

7

5)( x 2

2

dx

1)

ln

x

5

ln

x

5

x

1

El ejemplo anterior ilustra un procedimiento para integrar ciertas funciones racionales P(x) / Q(x), en donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Este método conocido como fracciones parciales, consiste en descomponer dicha función racional en fracciones componentes más simples, y luego evaluar la integral término a término. En esta unidad se estudiarán cuatro casos de descomposición en fracciones parciales.

CASO I FACTORES LINEALES NO REPETIDOS Se establece, sin demostración, el siguiente resultado algebraico. Si P ( x ) Q( x )

=

P ( x ) ( a1 x + b1 )( a 2 x + b2 )...(a n x + bn )

en donde todos los factores a i x + b i , i = 1,2,....,n son distintos y el grado de P(x) es menor que n, entonces existen constantes reales únicas C1, C2,...., Cn tales que P ( x) Q( x)

=

C 1 a1 x + b1

+

C 2 a 2 x + b2

+ ... +

C n a n x + bn

Ejemplo 1 2

f(x)

−5


x

2


46

c



∫ ( x −21 x)(+x1+ 3) dx

Evaluar

Solución suponemos que el integrando se puede expresar como 2 x + 1 ( x − 1)( x + 3)

=

A x − 1

+

B x + 3

Combinando los términos del segundo miembro de la ecuación en un denominador común resulta 2 x + 1 ( x − 1)( x + 3)

=

A( x + 3) + B ( x − 1) ( x − 1)( x + 3)

Puesto que los denominadores son idénticos , 2x + 1 = A(x + 3) + B(x - 1) = A(A + B)x + (3A- B),

(6.03)

los coeficientes de las potencias de x son iguales 2=A+B 1 = 3A - B

Se pueden resolver luego estas ecuaciones simultáneas para A y B. Los resultados son A = 3/4 y B = 5/4. Por lo tanto,

∫ ( x

2 x + 1 dx 1)( x + 3) − 3 4

ln =

x

3 / 4 5 /  = + ∫  1 x − x  5 4

1 + ln −

x

3 +

Nota: En el ejemplo precedente, los valores de A y B se pueden determinar de otra manera. Puesto que (6.03) es una identidad, esto es, la igualdad es cierta para todo valor de x , se cumple para x = 1 y x = -3 (los ceros del denominador). Haciendo x = 1 en (6.03) se obtiene 3 = 4A, de donde resulta que A = 3/4. De manera semejante, haciendo x = -3 en (6.03), se obtiene -5 = (-4)B o sea B = 5/4.

Ejemplo 2 2

f(x)

−5


x

2


47

C



− 2 x dx + 3 x + 2

x

∫ x

Evaluar

2

3

Solución observamos primero que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Por lo tanto, efectuando la división se obtiene: − 2 x  x − + 5 x + 6  dx = dx ∫ x 2 + 3 x + 2 ∫  3 x 2 + 3 x + 2  x 3

Puesto que x2+3x+2 = (x+1)(x+2), 5 x + 6 ( x + 1)( x + 2)

=

A

+

B

x + 1 x + 2

y 5x+6 = A(x+2)+B(x+1)

Si se hace x = -2 y x = -1 en (6.04) puede verse de inmediato que B = 4 y A = 1, respectivamente. Así que,

∫ x

− 2 x 1 4  + dx = x − 3 + ∫  x + 1 x + 3 x + 2 

x 2

3

x

2

=

− 3 x + ln

2

x

+ 1 + 4 ln

x

+ 2

Ejemplo 3 Obtener el área A bajo la gráfica de y = 1/x(x + 1) en el intervalo [1/2,2].

Solución El área en cuestión se muestra en la figura 6.1. Se tiene que A

1

2

= ∫ 1 / 2

x ( x +1)

dx

Empleando fracciones parciales 1

x ( x + 1)

=

A x

+

B x + 1

=

A( x + 1) + Bx x ( x + 1)

Resulta que 1 = A(x + 1) + Bx = (A + B)x + A

La solución del sistema 0=A+B

2

f(x)

−5


x

2


48

c



1=A es inmediata: A = 1, B = -1. Por lo tanto, 1  1 − dx 1/ 2  x + 1  x  2 =(ln x −ln x + 1) 1/ 2 2

∫

A =

]

=ln

2

 =ln 2 ≈0.6831 unidades cuadradas  x + 1 1/ 2 x

CASO II FACTORES LINEALES REPETIDOS P( x )

Si

Q( x )

=

P ( x ) ( ax + b) n

en donde n > 1 y el grado de P(x), es menor que n, entonces se pueden encontrar constantes reales únicas C1, C2,....,Cn tales que P( x) (ax + b)

n

C 1

=

ax + b

+

C 2 (ax + b)

2 + ...+

C n (ax + b)

n

Ejemplo 4 Evaluar

x 2 + 2 x + 4 dx ( x + 1) 3

∫

Solución La descomposición del integrando es 2 x + 2 x + 4

( x + 1)

3

=

A x + 1

+

B ( x + 1)

2

+

C ( x + 1)

3

Igualando los denominadores, x2 + 2x + 4 = A(x + 1)2 + B(x + 1) + C = Ax 2 + (2A + B)x + (A + B + C),

se obtiene el sistema de ecuaciones 1=A 2 = 2A + B 4 = A + B + C

Resolviendo las ecuaciones resulta A=1,

B=0

y

C=3. Por lo tanto,

2

f(x)

−5


x

2


49



∫

x

 1  + 2 x + 4 3  1 + 3( x +1) −3 dx= ln x +1 − 3 ( x +1) −2 + C + dx = ∫  dx = ∫  3 3   2 ( x +1)  x +1 1 + x ( x +1) 

2

COMBINACION DE LOS CASOS Cuando el denominador Q(x) contiene tanto factores lineales distintos como repetidos, combinamos ambos casos.

Ejemplo 5 Evaluar

∫ x 6( x2 x−−11) dx 3

Solución Se escribe 6 x − 1 x (2 x − 1) 3

=

A x

+

B x

2

+

C x

3 +

D 2 x − 1

de donde resulta que 6x - 1 = Ax2 (2x - 1) + Bx(2x - 1) + C(2x - 1) + Dx3 = (2A + D)x3 + (-A + 2B)x2 + (-B + 2C)x + C

(6.05) (6.06)

Si en (6.05) se hace x = 0 y x = 1/2, encontramos que C = 1 y D = 16 , respectivamente. Igualando ahora los coeficientes de x3 y x2 en (6.06), se obtiene 0 = 2A + D 0 = -A + 2B

Puesto que se conoce el valor D, de la primera ecuación resulta A = -D/2 = -8. De la segunda se obtiene luego B = A/2 = -4. Por lo tanto,

∫ x 6( x2x−−11) dx = ∫ − x8 − x4 3

2

+

1 x

3

+

16  dx 2 x − 1

1

= −8 ln x + 4 x −1 − x −2 + 8 ln 2 x − 1 + E 2

= 8 ln

2 x − 1 x

1

+ 4 x −1 − x −2 + E 2

2

f(x)

−5


x

2


50



CASO III FACTORES CUADRATICOS NO REPETIDOS Supóngase que el denominador de la función racional P(x)/Q(x) se puede expresar como un producto de factores cuadráticos irreductibles distintos ai x 2 + b i x + c i , i = 1,2,..., n. Si el grado de P(x) es menor que 2n,es posible encontrar constantes reales únicas A1 , A2 ,...,An , B1 , B2 ,..., Bn tales que: P ( x )

(a1 x 2 + b1 x + c1 )(a 2 x 2 + b2 x + c2 )..(a n x 2 + bn x + c n ) A1 x + B1 2

a1 x + b1 x + c1

+

A2 x + B2 2

a 2 x + b2 x + c2

+ ...+

An x + Bn 2

a n x + bn x + cn

Ejemplo 6 Evaluar

4 x ( x

2

+ 1)( x 2 + 2 x + 3)

dx

Solución: Escribimos x ( x + 1)( x + 2 x + 3) 2

2

=

x + B

−

Cx + D

x + 1 x + 2 x + 3 2

2

de lo cual se obtiene 4x = (Ax + B)(x2 + 2x + 3) + (Cx + D)(x 2 + 1) = (A + C)x3 + (2A+ B + D)x2 + 3A + 2B + C)x + (3B + D)

Como el denominador del integrando no tiene raíces reales, se comparan los coeficientes de las potencias de x : 0 = A + C 0 = 2A + B + D 4 = 3A + 2B + C 0 = 3B + D

Resolviendo las ecuaciones resulta A = 1, B = 1, C = -1 y D = -3. Por lo tanto,

∫ ( x

x 2

+ 1)( x 2 + 2 x + 3)

dx

x + 1 x + 3  = ∫  2 − 2 dx  x + 1 x + 2 x + 3 

Ahora bien, la integral de cada término presenta todavía un ligero problema. Escribimos primero 2

f(x)

−5


x

2


51



x + 1 x

2

=

1 2 x

+

1

(6.07)

+ 1 2 x + 1 x + 1 2

2

y luego, después de completar el cuadrado, x + 3 x + 2 x + 3 2

=

x + 1 + 2 x + 1 + 2

=

1

2( x + 1)

2 2( x + 1) + 2 2

+

2

(6.08)

( x + 1) 2 + 2

En los segundos miembros de (6.07) y(6.08) se reconoce integrales de los términos primeros y segundos son de las formas ∫ du /(u 2 + a 2 ) , respectivamente. Se obtiene finalmente.

∫ ( x

x 2

que las ∫ du / u y

dx

+ 1)( x 2 + 2 x + 3)  1  1 1 2( x + 1) 2 = 2 + + −  x 2  2 x x + 1 2 2( x + 1) + 2 (( x + 1) 2 + 2 ) 2  1 x + 1 2 = ln( x 2 + 1) + ln −1 x + ln[ ( x + 1) + 2] − 2 tan−1 − E 2

= ln

1 x + 1 2 x 2 x + 1

+ tan−1 x − 2 tan −1

2

x + 1 2

− E

Nota: La palabra "irreductible" significa que la expresión cuadrática ax2 + bx + c no se factoriza en el conjunto de los números reales. Esto ocurre cuando b2 - 4ac < 0.

CASO IV FACTORES CUADRATICOS REPETIDOS Se considera ahora el caso en el que el integrando es P(x)/(ax2 + bx + c)n, en donde ax2 + bx + c es irreductible y n > 1. Si el grado de P(x) es menor que 2n, se pueden encontrar constantes reales únicas. A1, A2,....An, B1, B2,...,Bn tales que

2

f(x)

−5


x

2


52



A X + B1

P ( x ) ( ax

1 =2

bx + c) n +

2

ax

bx + c ( +

Ejemplo 7 x

∫ ( x

Evaluar

La x

( x conduce x

descomposicion Ax + B

2

4) +

2

dx

4) 2 +

2

Solución

2

2

= 2

del Cx

+ 4 ( x 2 +

x

a : 2

( Ax + B )( x =

Ax 3 =

Bx 2 +

4) +

2

C

( 4 A + C ) x +

y 0 = A 1 = B 0 = 4 A + C 0 = 4 B + D Resulta

que A = 0, B

así

∫ ( x

x

2

4) +

2

2

dx

1, C =

0

1 =  ∫ x 2 + 4 

La integral del primer término es una tangente inversa. Sin embargo, para evaluar la integral del segundo término, se utiliza la sustitución trigonométrica x = 2 tg :

∫( x

dx 2

+4)

2

2sec 2 φ d φ

=∫

( 4tan

2

+4) φ

1 (φ + senφ cos φ ) = 16 16

=

1

2

sec 2 φ 1 d φ = 4 8 sec φ

1

8 ∫

=

 − 1 tan 

x 2

+

x

+4

x 2

.

∫ cos 2

x 2

2

1 d φ φ = 16

∫ (1

 1  − 1 =16 tan  +4 

Por lo tanto, la integral originales

∫ ( x

x 2 2

+4)

2

dx

1

=

2

1 tan −

x 2

1 −4   16

1 tan −

x 2

8 x

+ E =1 4 +4  

x

1

+

2

El ejemplo siguiente combina los cuatro casos precedentes.

Ejemplo 8 Determinar la forma de composición en fracciones del integrando de 2

f(x)

−5


x

2


53

1 tan −

x 2



dx

∫ (3 x + 5)( x − 2)

2

(x

+ 6)( x 2 + x + 1) 2

2

Solución: Puesto que 3x + 5 y x - 2 son factores lineales, mientras que tanto x2 + 6 como x2 + x +1 son factores cuadráticos irreductibles, se puede escribir 1 (3 x + 5)( x − 2) ( x 2

2

+ 6)( x + x + 1) 2

2

=

A 3 x + 5

−

B x − 2

+

C ( x − 2)

2

+

Dx + E x

2

+6

+

Fx + G x

2

+

Hx + K

+ x + 1 ( x 2 + x + 1) 2

Ejemplo 9 Evaluar

∫ x x++93x 4

2

Como x4 + 9x 2 = x 2(x2 + 9), se ve que el problema combina el factor cuadrático x2 + 9 con el factor lineal repetido x . Por consiguiente, la descomposición en fracciones parciales es x + 3 x ( x + 9) 2

2

=

A x

+

B x

2

+

Cx + D x + 9 2

Procediendo como se costumbre se tiene que x + 3 = (A + C)x 3 + (B + D)x2 + 9Ax + 9B 0 = A + C 0=B+D 1 = 9A 3 = 9B

Por lo tanto, A = 1/9, B = 1/3, C = -1/9 y D = -1/3. Esto da

∫ x ( xx+ 1+ 9) x = ∫  1 x/ 9 + 1x/ 3 − x x/ 9 ++19/ 3  dx 2

2

2

2

 1 / 9 1 1 2 x 1 x  = ∫  + − − dx  x x 18 x 2 + 9 3 x 2 + 9  = =

1

−1

1

1

−

x

x − x − ln( x + 9) − tan 3 9 18 9 1  x  − 1 1 −1  − x − tan + E ln 18  x 2 + 9  9 2

+ E

2

f(x)

−5


x

2


54



Observación. Integrales como ∫ dx/(x + 2)4 y ∫ (2x + 1)/(x2 + 1)2 dx parecen ser buenos candidatos para las fracciones parciales. Sin embargo, no es así. Ya que el lector debe poder evaluar estas integrales por otros medios.

PROBLEMAS 6 En los problemas 1-36, utilice fracciones parciales cuando sea apropiado para evaluar la integral indicada. 1.−

∫ x( xdx− 2)

2.−

∫ x(2dxx + 3)

3.−

∫ 2 x x + −2x dx

4.−

∫ x3 x ++ 102x dx

5.−

∫ x dx− 9

6.−

∫ 4 x dx− 25

7.−

∫ x x −+ 161 dx

8.−

∫ ( x + x4)(+ x5 − 1) dx

2

2

2

2

2

2

2

f(x)

−5


x

2


55



9.

− ∫ 2 x

11.

dx

4 x + 3 +

− ∫

x

x

2

13.

− ∫

15.

− ∫

19.

− 3 ∫

dx

+ 5 x + 2 + 2 x − 6 dx 3 − x x

2 x

2

dx

1)( x + 2)( x + 3) + 4t 2 + 3t − 1 17. − dx 2 ∫ t 3 − t ( x

x

dx

+ 2 x + x dx

21.

− ∫

25.

− ∫ 2

27.

− ∫ 2

33.

− ∫ 2 2

35.

− ∫ 0

3) 4 − 2 x − 1 23. − dx ∫ ( x + 1) 3 ( x

x

1) 2 −

( x

dx

dx

6 x + 5) 2 + 4 2 x 2 − 9 + x x + 29. − dx 4 ∫ x 5 + 2 x 4 + 3 x 2 + 4 x 31. − dx ∫ ( x + 1) 2 ( x

dx

4

− 6 x + 5

x

2

1 − dx 3) +

2 x

( x

37.- Determine el área bajo la gráfica de y = 1/(x2 + 2x - 3) en el intervalo [2,4]. 38.- Halle el área limitada por la gráfica de y = x/(x + 2)(x + 3) y el eje x en el intervalo [-1.1]. 39.- La región del primer cuadrante limitada por las gráficas de y y = 0 en torno al eje x . Obtenga el y = 2/x(x + 1) ,x=1 , x=3 volumen del sólido de revolución. 40.- La región del primer cuadrante limitada por las gráficas de y = 1 / ( x + 1)( x + 4) , x = 0, x = 2 y y =0 se hace girar alrededor del eje y . Encuentre el volumen del sólido de revolución. 41.- La región del primer cuadrante limitada por las gráficas de 2 y = 4/(x + 1) , x = 0, x = 1, y y = 0 gira alrededor del eje y . Encuentre el volumen del sólido de revolución. 2

f(x)

−5


x

2


56



42.- Determine la longitud de la gráfica de y = e2x en el intervalo (0, ln 2). (Sugerencia: Sea u2 = 1 + e2x ).

PROBLEMAS DIVERSOS 43.- Evaluar

∫

1− x2 2 dx . (Sugerencia: Sea u2 = 1 - x ) 3 x

44.- Evaluar la integral

x

∫ (ax + b)(cx + d )

dx

(a) Cuando bc - ad @ 0 (b) Cuando bc - ad = 0

En los problemas 45 y 46 utilice fracciones parciales para evaluar la integral indicada. cos x

45.-

∫ sen x + 3 senx + 2

46.-

∫ cos

2

2

dx

senx dx x − cos 3 x

En los problemas 47-76 utilice fracciones parciales cuando sea apropiado para evaluar la integral indicada.

∫ x

47.-

dx 4

48.-

+ 5 x 2 + 4

∫ x

dx 4

+ 13 x 2 + 36

x − 15 dx ( x 2 + 2 x + 5)( x 2 + 6 x + 10 )

∫

49.-

x 2 ( x 2 + 8 x + 20 )( x 2

∫

50.-

x −1

∫ x( x

51.-

∫ x

53.-

2

+1)

+ 4 x + 6)

52.-

dx

2 x − 3 3

dx

− 3 x 2 + 9 x − 27

dx

54.-

∫ x

dx

∫ ( x −1)( x

x + 4 4

+ 9 x 2

2

+ 3)

dx

2

f(x)

−5


x

2


57



∫ ( x +1)

55.-

x 2

( x 2

dt

57.-

∫ t

59.-

∫ ( x

61.-

− x +1 ∫ ( x +1)( x 2 + 2 x + 2) dx

−1

4

2 x +1

+ 4)

2

3 x

2

dx

∫ x

65.-

∫ ( x

67.-

− 2 x 2 + x − 3 ∫ x 4 + 8 x 2 + 16 dx

dx

+ x)

∫ (4 x

2

2 x 2

x 2 x ( x 2

∫

71.-

+ 5) 2 dx

− 2 x + 3 + 2 x + 2) 2

73.-

∫ x

75.-

+ 5 x ∫ −1 x 4 + 5 x 2 + 6 1

dx

dx

1

0

∫ t

60.-

∫ ( x

3

−16

4

∫ x

4

66.-

∫ x

3

+ x 2 + 2 x + 2 2 x 3

dx

4 x − 5

∫ ( x − 2)( x

2

+ 4 x + 8) dx

+ 27 dx

( x 2

+1) 2

+ 2 x − 4 + 6 x 2 + 9

4

x 2

∫ ( x

72.-

∫ ( x −1)( x

76.-

dx

−16) 2

70.-

74.-

+ 4)

dt

3 x 2

∫ x

( x 2

dx

64.-

68.-

3

2

dx 4

62.-

−1

x 3

69.-

58.-

dx

3

t 3

2

63.-

3

∫ ( x −1)

56.-

+1) dx

x

2

0

dx

+1) 3

x 2

+ 4 x + 5) 2 dx

x 2

1

∫ x

dx

4

1

2

∫ x 1

+ 8 x 2 + 16

5

+ 4 x 4 + 5 x 3

dx

dx

77.- Determine el área bajo la gráfica de x 3 y = ( x 2 + 1)( x 2

+ 2)

en el intervalo (0,4)

78.- Calcule el área limitada por la gráfica de y = el eje x en el intervalo [-1,1/2].

3 x 2 /( x 3

−1) y

2

f(x)

−5


x

2


58



79.- La región del primer cuadrante limitada por las graficas de y = 2 x /( x 2 +1) , x = 1 y y = 0 en torno al eje x . Encuentre el volumen del sólido de revolución. 80.- La región del primer cuadrante limitada por las gráficas de y =

8

+ 1)( x 2 + 4)

2

( x

,

x = 0, x =1 y y = 0 se hace girar en torno al eje y .

Obtenga el volumen del sólido

de revolución. 81.- Evaluar ∫ 3

+1

x

dx . (Sugerencia: Sea u3 = x + 1)

x

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO Las integrales de expresiones racionales en las que intervengan sen x y cos x se pueden reducir a integrales de cocientes de polinomios por medio de la sustitución. u

= tan

x 2

(9.18)

Si x/2 representa el ángulo mostrado en la figura 1.1, entonces

sen

x

=

2

u

y

1+ u2

cos

x 2

=

1 1+ u2

(9.19)

De las identidades trigonométricas para ángulos dobles, resulta que

senx

x 2

x 2

= 2 sen cos =

2u 1+ u2

(9.20)

Además, de (9.18) du

x  dx  x  dx dx = sec 2    = 1 + tan 2  = (1 + u 2 ) 2  2 2  2  2 

2

f(x)

−5


x

2


59



y de esta manera

dx =

2 1+ u

2

du

(9.21)

1+ u2 u

x 2

1

Figura 1.1

Ejemplo 1 dx

Evaluar ∫

2 + 2 senx + cos x

Solución Utilizando (9.19), (9.20), (9.21) y simplificando, la integral dada se dx

∫ 2 + 2 sen x + cos x

convierte en

Como

u2

= ∫

u

2 du 2

+ 4u + 3

+ 4u + 3 = (u + 1)(u + 3), empleamos fracciones parciales:

∫ 2 + 2 senx + cos x = ∫ u +1 − u + 3 du = dx

+1 + C u +3 u

= ln

1

1

ln u

= ln

+1 −ln u +3 +C

1 + tan x / 2 3 + tan x / 2

+ C

Ejercicios 9.6 En los problemas 1-12 evalúe la integral dada, mediante sustitución

2

f(x)

−5


x

2


60



dx

1.

∫ 1 + senx + cos x

4.

∫ 4 −5senx

2.

dx

∫ 2 + senx + cos x

dx

5.

3.

dx

∫ 2 + cos x

dx

∫ 1 + sec x

6.

sec x

∫ sec x + tan x −1 dx dx

∫ tan x + senx

7.

csc x dx 1 + senx

∫

10.

13.

8.

dx

∫ cot x + senx

11.

π /

∫

dx

2

0

9.

12.

3 + 2 cos x + 3 senx

sec x

∫ 1 + cos x dx π /

∫ 0

2

1 + senx 1 + cos x

dx

(a) Aplique el procedimiento de sustitución para evaluar dx

∫ 1 + senx (b) Evalúe la integral de la parte (a) por otro método. (Sugerencia: multiplique numerador y denominador por 1-sen x.)


y

= 1 /(1 + cos x) en el intervalo

(0, π / 2)

REPASO DE APLICACIONES El propósito de esta breve sección es doble: repasar algunas aplicaciones de la integral que se han visto en capítulos anteriores, y al mismo tiempo, utilizar las técnicas del presente capítulo. Del lector dependerá decidir cuál método de integración es apropiado en un problema dado. Se recomienda también hacer uso de paquetes computacionales como el MATHCAD para resolver estos problemas. Ejercicios 9.7 Áreas de superficies 2

f(x)

−5


x

2


61



1. Halle el área de la superficie que se forma haciendo girar intervalo (0,1), en torno al eje x.

y

= x 2 / 2 en el

2. Determine el área de la superficie que se forma haciendo girar y = e x en el intervalo (0, ln 2 ) en torno al eje x . (Sugerencia: Hágase u = e x primero). Valores medios En los Problemas 3-6 encuentre el valor medio de la función dada, en el intervalo indicado. 3. f ( x)

= tan −1

5. f ( x )

=

x

2

; (0,2)

1

x

2

− 3 x − 4

; (1,2)

4. f ( x) = xsenx; (0, π )

2 −3 / 2 ; ( −1,1) 6. f ( x) = (4 − x )

Movimiento rectilíneo 7. Un cuerpo se mueve en línea recta, con velocidad v(t ) = e − sent , medida en cm /s. Encuentre la función de posición s(t) si se sabe que s=0 cuando t=0. 1

8. Un cuerpo se mueve en línea recta, con aceleración a (t ) = te −1 , medida en cm/s2 Encuentre la función de velocidad v(t) y la función de la posición s(t) si v(0)=1 y s(0)= -1. Problemas de bombas 9. La forma de un depósito para agua es la que corresponde al giro de la región limitada por las gráficas de y = senπ x, y = 0, 0 ≤ x ≤1, en torno al eje x , el cual se torna en dirección hacia abajo. El deposito esta lleno hasta una profundidad de

1 2

pie. Determine el trabajo efectuado al bombear toda el agua hasta la parte superior del depósito. 10. Un depósito para agua se forma haciendo girar la región limitada por las gráficas de y = ln x, y = 0, y = 2 y x = 0 en torno al eje y, el cual se toma en dirección hacia arriba. Las dimensiones están expresadas en metros. Dado que el depósito este lleno, encuentre el trabajo efectuado al bombear toda el agua hasta su parte superior. Presión hidrostática 2

f(x)

−5


x

2


62



En los Problemas 11 y 12, encuentre la fuerza causada por la presión hidrostática sobre la placa vertical dada. Suponga que la placa está sumergida en agua y que las dimensiones están expresadas en pies.

Superficie (1, 0)

2 − x

=

y

x

(2, 0)

Fig.1.2

Superficie (0, 1)

(0, -1)

y 2 = − cos

π x

y1

4

= cos

π x 4

x

Figura 1.3 Centros de masa de varillas o barras En los Problemas 13 y 14, una varilla de densidad lineal p(x) kg/m coincide con el eje x en el intervalo indicado. Encuentre su centro de masa. 13.

p ( x )

= (9 − x 2 ) −3 / 2 ; (0,

14.

p( x)

=

5)

16 + x 2 ; (0,3)

Centroides para regiones planas 2

f(x)

−5


x

2


63



En los Problemas 15-18, localice el centroide de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. 15. y = senx, y = 0, x = π / 2 16. y = e x , y = 0, x = 0, x = ln 2 17. y =

1 1 + x 2

, y

= 0, x = 0, x = 3

18. y = ln x, y = 0, x = e

Separación de variables 19. Resuelva la siguiente ecuación logística separación de variables sujeta a P (0) = P 0

dP / dt = P ( a − bP ), a

> 0, b > 0, por

20. La rapidez con que se forma un compuesto químico durante una reacción química de segundo orden está determinada por dX / dt = k (a − X )(b − X ), en donde k , a y b son constantes. Aplique separación de variables para resolver la ecuación diferencial en el caso a ≠ b . 21. Una persona W se mueve, a partir del origen, en la dirección positiva del eje x , arrastrando un objeto siguiendo la curva C, llamada tractriz, indicada en la figura 9.13. El objeto se encuentra inicialmente en el eje y en (0, s ) y es tirado mediante una cuerda de longitud constante s que se mantiene tensa durante el movimiento. Resuelva la ecuación diferencial de la tractriz dy dx

y

=− s

2

− y 2

por separación de variables. Suponga que el punto inicial sobre el eje y es (0,10) y que la longitud de la cuerda es s= 10 pie.

y (0, s) ( x, y)

2

f(x)

−5


x

2

y

s

θ


C W

x

64



Figura 1.4

Comentarios acerca del uso de tablas de integrales Hay ocasiones que dan lugar al uso de tablas de integrales. Algunas funciones se resisten a los métodos de integración convencionales considerados en este capitulo, y requieren métodos avanzados tales como el uso de variables complejas. Por otra parte, ciertas funciones simplemente presentan dificultades y se les puede encontrar una antiderivada elemental disponiendo de tiempo, energía y una pequeña dosis de ingenio. Se recomienda el uso del formulario de Educación a Distancia para resolver algunas integrales o utilizar paquetes como el MATHCAD. Una tabla de integrales no es una solución para todos los problemas. Con frecuencia puede dedicarse una cantidad desmesurada de tiempo buscando las respuestas para integrales como: ( 4 − e − x ) 5 / 3

∫

e

x

+ 4 x dx ∫ ( x −1)( x + 5) , x 3

dx ,

∫ e

sen θ

sen 2θ d θ

cuando en realidad bastarían pocos minutos de análisis para “vencer” a los tres problemas juntos. En pocas palabras, una tabla de integrales debe ser más bien un último y no un primer recurso, en problemas ya de aplicación después de tener dominio en el manejo técnico de integración se recomiéndale uso de paquetes computacionales.

Ejemplo 1 Evaluar

∫

x 3

3 + 2 x

dx

empleando las tablas.

Solución Con u = x, a = 3, b = 2 y n = 3, de la fórmula de la tabla de integrales se tiene que

∫

x 3 3 + 2 x

dx

= 2 x

3 + 2 x ( 2) (7 )

3

− ( 2) ( 3) (3) ∫ ( 2) (7 )

x 2 3 + 2 x

dx

Continuando, se aplica la fórmula a la segunda integral: 2

f(x)

−5


x

2


65



∫

x 3

dx

3 + 2 x

 1 9 2 = x 3 3 + 2 x −  (( 8)( 9 ) + ( 3) 4 x 2 − ( 4 ) 6 x ) 3 + 2 x  + C 7 7  (15)( 8) 

1

54

7

35

= x 3 3 + 2 x −

3 + 2 x

−

9 35

x 2 3 + 2 x

+

18 35

x 3 + 2 x

+ C

Solución alternativa I Sea u = 3+2x y procedase como en la sección 9.1 Solución alternativa II Sean dv = partes.

(3 + 2 x) −1 / 2 dx, u

= x 3 y aplíquese integración por


4 x

− x 2 dx empleando las tablas.

Solución De la fórmula, con u = x y

∫ 4 x − x

2

dx

=

x − 2 2

4 x − x 2

a

= 2, se obtiene

2 − x  + 2 cos −1    + C  2 

Solución Alternativa. Escribir 4 x − x 2 = 4 − ( 2 − x ) 2 y aplicar una sustitución trigonométrica. Ejemplo 3 Evaluar

dx

∫ 1 + e

x

empleando las tablas

Solución De la formula, con dx

∫ 1 + e

x

u

= x, a =1 y b = 1

= x − ln 1 + e x + C

Solución alternativa

2

f(x)

−5


x

2


66



1

Escribir

1 + e x

=

1 + e x − e x

= 1−

1 + e x

e x 1 + e x

E integrar término a término Ejercicios 9.8 En los Problemas 1-20, evalúe la integral indicada, empleando la tabla de integrales dada en las cubiertas interiores. 1.

∫ x

dx 9+x

2

4. ∫ (4 − x

7.

∫

t

2

2

−3 / 2

dx

13.

∫ ln( x

5 − x 2

+16)dx

x

∫ 1 − sen4 x π / 2

∫ 0

5.

8.

dx

∫ x

19.

2

1 + 2t dt

10.

16.

)

2.

dx

10

sen xdx

∫

x

25 − x dx

2

2

dx

∫ x(4 + 5 x) 1 +u

∫

u

11.

∫ tan

14.

∫ e

17.

∫

20.

e

x

∫

x 2

2x

2 x − x

2

x

12.

x 2

∫ (3 − x)

15.

18.

2

dx

∫ cos 6 y cos 2 ydy

−1 dx

dx

dx

∫ 1 + x dx 9.

d θ θ

−5

x 4

du

ln e

9

6.

2

x

∫ x 1

5

3.

∫

dx

∫ 1 + sen2 x

6 x − x 2 x

2

dx

ln xdx

Problemas diversos En los Problemas 21 y 22, deduzca la fórmula general que se encuentra en la tabla de integrales, para la integral indicada.

21. 2

u

∫ a + bu du

f(x)

−5


x

2

22.

u

∫ (a + bu)

2

du Ing. Ofelio Gónzalez Serrano Ing. Gerardo Montelongo Macias

67



En los Problemas 1-10 conteste verdadero o falso. 1. Con el cambio de variable 13

∫ (u 5

1/ 2

u

= 2 x + 3, la integral

5

∫ 1

4 x 2 x + 3

dx

se convierte en

−3u −1 / 2 )du. _____

2. La sustitución trigonométrica u = a sec θ es apropiada para integrales que contienen a + u _______ 2

2

3. El método de integración por partes se deduce de la regla del producto para derivación_____ 4.

∫ 2 x ln x dx = e e

2

2

1

+1 _____

5. El método de fracciones parciales no es aplicable a

dx

∫ ( x −1)

3

_____

6. Se puede encontrar una descomposición en fracciones parciales de x 2 /( x +1) 2 que tenga la forma A /( x +1) + B /( x +1) 2 , en donde A y B son constantes.____ dx

7. Para evaluar ∫ ( x 2 −1) 2 , se supone que es posible encontrar constantes A, B, 1 Ax + B Cx + D = 2 + 2 _____ C y D tales que 2 2 ( x − 1) x − 1 ( x − 1) 2 8. Para evaluar ∫ x veces____ 9. Para evaluar ∫

n

e x dx, n

x

9 − x 2

dx

entero positivo, se aplica integración por partes n-1

es necesario utilizar x = 3 senθ _____

10. Al ser evaluada la integral ∫ sen suma de potencias de cos x ____

3

x cos x 2 dx,

es posible expresarla como una

En los Problemas 11-72 aplique los métodos de este capítulo, o los anteriores, para evaluar la integral indicada. 11. 2

dx

∫ x +9

f(x)

−5


x

2

12. ∫ e

1 x+

dx

13.

∫ x

x

dx

+4 Ing. Ofelio Gónzalez Serrano Ing. Gerardo Montelongo Macias 2

68



14.

17.

dx

∫ x

15.

+4

2

x 2 + 4 dx x 2

∫

3

x + 27

20.

∫

23.

∫ tsen

x

18.

dx

−1

tdt

∫ ( x

∫ ( x +1)

29.

∫ x

3

∫ x( x

+ 10 x + 25 x

32.

∫ ( x

2

− x)( x 2 + 3)

35.

∫ tan

x sec xdx

38.

∫

41.

∫ e

44.

∫

dx

∫

24.

∫ ( x −1)

ln x

w

33.

∫ x

2

2

∫

∫ x

19.

∫ x

22.

∫ (ln 3 x)

25.

∫ ( x +1)

t

31.

34.

dt

x tan x

∫ cos x 2

∫ x

∫ 0

4

cos 2 x tan xdx

∫ 8te

θ )

∫ tan

∫ 0

dt

3/ 2

dx

d θ

∫ y cos ydy

sec 3 θ

π /

2 t 2

+ 3 x − 9 x − 27

θ

43.

46.

−2)dx

( x

2

∫ (cos

x

π /

3

dx

sen 3θ

42. ∫ ( x −1)e − dx

45.

2

x 3

37.

40.

dx

+4

x − 5 dx 2 +4

dx

3

2

28.

2

2

x 2

16.

+4)dx

(1 + sen t ) cos tdt

5

(3 −sec x ) dx

dx

+ 8 x + 25

∫ cos

(1 +e ) dw w

2

dx 2

36.

39.

dx

∫ ln( x

sen t

4

x 2 senx 3 dx

− 4)

21.

30.

2

x +1

10

2

(ln x) 9 dx x

( x − 2)

3

+ 4) 3

27.

dx 4

2

3 x −1

dx

26.

dx

d θ

∫ cot

3

4 xdx

3

sen 4 x tan xdx

2

f(x)

−5


x

2


69



47.

senx

∫ 1 + senx ln 2

cos x

dx

48.

∫ 1 + senx

dx

dx

1

49.

∫ ( x +1)( x + 2)( x + 3)

52.

∫ x( x −5)

0

50.

∫

+1dx

51.

∫ e

53.

∫ cos(ln t )dt

54.

∫ sec x ln(tan x)dx

55.

∫ cos

56.

∫

dx

57.

∫ cos xsen2 xdx

58.

∫ (cos

59.

∫ x

+ 2 x + 5dx

60.

∫ (8 − 2 x − x

62.

∫

e x

ln 3

cos x x

2

cos 4

5 x 3

x

2

∫

68.

∫ (t +1)

71.

π /

∫ 0

6

2

cos 3 xdx

2

dx

2

)

3/ 2

63.

e 3t dt

cos x 1 + senx

dx

t

∫ 1 + t

2

dt

+9

x 2

66.

∫

69.

∫ senx cos xe

x

2

72.

dx

π /

∫ 0

2

senx

dx

9

dx

x dx

2

x

− sen 2 x)dx

61.

∫ tan x sec

64.

∫ 1 − x

5

dx

+ x 2 + 6 x + 1dx ( x 2 + 1) 2

65.

x

67.

∫ xsen

70.

∫ e

x

5

3

xdx

dx

2

2

xdx

2

x

tan e dx

dx senx + cos x

2

f(x)

−5


x

2


70



BIBLIOGRAFÍA • CALCULO CON GEOMETRÍA ANALITICA EARL SWOKOWSKI GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICANA

• CALCULO Y GEOMETRÍA ANALITICA LARSON-HOSTETLER

• A SHORT TABLE OF INTEGRABLES PEIRCE FOSTER BLAISDELF

• CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL GRAMVILLE SMITH LONGLEY

2

f(x)

−5


x

2


71

Apuntes Para Metodos de Integraci%d3n

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