TEORÍA DE ERRORES INTRODUCCIÓN Antes de iniciar un curso práctico de laboratorio, es necesario aprender a interpretar de forma satisfactoria los resultados que se obtengan. Cuando se trata de determinar el valor de una magnitud, el número que se obtiene como resultado de las medidas no es el valor exacto de dicha magnitud, sino que estará afectado por un cierto error debido a múltiples factores. Hablando en términos generales, se llama error de una medida a la diferencia entre el valor obtenido y el valor real de la magnitud medida. Si, repitiendo la experiencia, medimos varias veces la misma magnitud, obtendremos cada vez un valor distinto y se nos plantea el problema de decidir cuál de todos los valores hallados es el que ofrece mayores garantías de exactitud. A la resolución de este problema se encamina el contenido de este Capítulo. El que inicia su contacto con la experimentación, debe dejar de lado la idea de que puede obtener el valor exacto de una magnitud física. La premisa fundamental de la que debe partir es que la exactitud total es inalcanzable. Con este punto de arranque y con la ayuda de la teoría de errores, las conclusiones deberían ir surgiendo solas a lo largo de la realización de las prácticas, siendo algunas de ellas: • • •
El resultado de una medida es de poco valor si no se conoce su precisión. La precisión de una medida puede ser en sí misma objeto de estudio. El diseño de un experimento incluye el estudio previo de los errores que se cometerán.
CLASIFICACIÓN DE ERRORES Los errores pueden clasificarse en dos grandes grupos: A) Sistemáticos y B) Accidentales. A) Errores sistemáticos Son aquéllos que se reproducen constantemente y en el mismo sentido. Por ejemplo, si el CERO de un voltímetro no está ajustado correctamente, el desplazamiento del CERO se propagará, en el mismo sentido, a todas las medidas que se realicen con él. Atendiendo a su origen los errores sistemáticos se clasifican en: A.1) Errores teóricos Son los introducidos por la existencia de condiciones distintas a las idealmente supuestas para la realización del experimento. Un ejemplo de error teórico es el que resulta de la existencia de la fricción del aire en la medida de g con un péndulo simple. A.2) Errores instrumentales. Son los inherentes al propio sistema de medida, debido a aparatos mal calibrados, mal reglados o, simplemente, a las propias limitaciones del instrumento o algún defecto en su construcción. Estos errores pueden ser atenuados por comparación con otros aparatos "garantizados", cuyo error instrumental sea más "pequeño" y controlable. A.3) Errores personales Son los debidos a las peculiaridades del observador que puede, sistemáticamente, responder a una señal demasiado pronto o demasiado tarde, estimar una cantidad siempre por defecto, etc. B) Errores accidentales Son debidos a causas irregulares y aleatorias en cuanto a presencia y efectos: corrientes de aire, variaciones de la temperatura durante la experiencia, etc. Así como los errores sistemáticos pueden ser atenuados, los errores accidentales para un determinado experimento, en unas condiciones dadas, no pueden ser controlados. Es más, los errores accidentales se producen al azar y no pueden ser determinados de forma unívoca. Para tratar adecuadamente
1
este tipo de errores es preciso hacer uso de la estadística y hablar en términos probabilísticos. Como veremos, no podemos decir que el error de una medida sea de "5 unidades, por ejemplo, sino que habrá que decir que existe una probabilidad P (del 75%, por ejemplo) de que el error sea inferior a 5 unidades. PRECISIÓN, EXACTITUD Y SENSIBILIDAD Decimos que una medida es tanto más exacta cuanto más pequeños sean los errores sistemáticos. La medida será más precisa cuanto más pequeños sean los errores accidentales. Definimos error instrumental o sensibilidad de un instrumento como el intervalo más pequeño de la magnitud medible con él Cuando se utilizan diferentes métodos experimentales para medir la misma magnitud, la comparación de los resultados proporciona una idea de la exactitud. Por ello, magnitudes importantes, como el valor de la velocidad de la luz, número de Avogadro, Constante de Planck, etc., se miden por métodos diferentes. CUANTIFICACIÓN DE ERRORES Desde el punto de vista de su cuantificación, los errores se clasifican en: A) Error absoluto y B) Error relativo. A) Error absoluto Se define como la diferencia que existe entre el valor real de la magnitud a medir y el obtenido en una medida. Puesto que es una diferencia de valores de una misma magnitud, el error absoluto se expresa en las mismas unidades que la magnitud. Así pues, si x es el valor medido, x* el valor real y ∆x el error instrumental o sensibilidad del aparato de medida, se satisface la relación x − x * ≤ ∆x [1] que se representa en la forma x* = x " ∆x
[2]
El error absoluto, que se identifica en primera aproximación con el error instrumental, es el parámetro básico utilizado en la descripción de una medida y es, en general, conocido o determinable a priori. Sin embargo, no es el que define con mayor efectividad la bonanza de la aproximación de la medida. En efecto, supongamos que tenemos una regla con un error del cero de 0,5 cm y que con ella medimos dos longitudes, obteniendo 2,5 cm para una de ellas y 20,5 cm para la otra. Si suponemos que las longitudes reales son 2 cm y 20 cm respectivamente, es evidente que ambas medidas han sido medidas con un error absoluto de 0,5 cm, pero la primera medida se aproxima mucho menos a la longitud real que la segunda, y la razón es obvia: una diferencia de 0,5 cm es una parte considerable de una longitud de 2 cm, mientras que es una parte pequeña de 20 cm. Surge, así, el concepto de error relativo. B) Error relativo Se define como el cociente entre el error absoluto ∆x y el valor real x* de la magnitud ∆x ∆x [3] εr = * ≈ x x donde x es el valor medido. Utilizaremos la segunda expresión cuando, como es habitual, no conozcamos el valor real de la magnitud. Es costumbre expresar el error relativo porcentualmente, ∆x 100 % [4] εr = x EXPRESIÓN DE LAS MEDIDAS Dado el significado de cota de garantía que tiene, suele darse el valor del error absoluto con una sola cifra significativa, aumentando dicha cifra en una unidad si la primera que se desprecia es mayor o igual que 5. Cuando la primera cifra significativa es 1, resulta más correcto mantener la segunda cifra del error absoluto cuando ésta es menor que 5.
2
El valor de la magnitud debe tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden decimal que la última cifra significativa que se tome para el error absoluto. El truncado (o redondeo) del valor de la magnitud debe realizarse solamente en la expresión final de las medidas, no en las operaciones intermedias que podamos realizar con él, ya que perderíamos información experimental y el resultado final puede verse afectado ligeramente. En la tabla I vemos diversos ejemplos de expresión de magnitudes en forma incorrecta (columna izquierda) y de forma correcta (columna derecha).
TABLA I Expresión INCORRECTA
Expresión CORRECTA
(3,418±0,127) m (6,3±0,085) kg (4620±155) s (27,7683±0,16) V (107,28±0,3) mA
(3,4±0,1) m ó (3,42±0,13) m (6,30±0,09) kg (4600±200) s (27,8±0,2) V (107,3±0,3) mA
MEDIDA DIRECTA DE UNA MAGNITUD Dos son los tipos de errores más corrientes que se presentan en la medida directa de una magnitud: A) Errores sistemáticos y B) Error de sensibilidad del aparato.
A) Errores sistemáticos Consideraremos sólo dos de ellos. • Error del cero, introducido por un desajuste del instrumento de medida. Consiste en que, por defecto de ajuste, una medida que debiera resultar nula (aparato en vacío), da distinta de cero. Algunos instrumentos poseen un dispositivo de "ajuste de cero", que permite corregir fácilmente este error. Si no lo tuviera, para determinar este error se efectúa la lectura del aparato en vacío y se corrigen las medidas que se realicen restándoles (error por exceso) o sumándoles (error por defecto) el error del cero. • Error de paralaje, originado cuando se observa la aguja indicadora de un instrumento (por ejemplo, de un polímetro analógico) con un cierto ángulo de inclinación y no perpendicularmente a la misma. Para evitar este error, muchos instrumentos de aguja poseen un espejo debajo de la misma, debiéndose tomar la medida cuando la aguja y su imagen coincidan, ya que en este momento estaremos mirando perpendicularmente al aparato. Existen otros errores sistemáticos en cuyo análisis no nos detendremos.
B) Error de sensibilidad del aparato Como mencionamos anteriormente, definimos sensibilidad de un instrumento (o error instrumental) como el intervalo más pequeño de la magnitud medible con él. El error absoluto se identifica, en primera aproximación, con la sensibilidad del aparato. Así, si la división más pequeña de una regla es de 1 mm el error de sensibilidad de la misma será 1mm. Para saber cuántas medidas directas de una misma magnitud hay que realizar, debemos detectar las causas de error, ya que el tratamiento de los datos y la expresión del resultado es diferente según la naturaleza de las causas. Si realizamos una sola medida, nos cabe la duda de si el resultado es reproducible (¿se repetirá el resultado en la siguiente medida?). Si realizamos dos, cualquier diferencia entre ambas no nos permite seleccionar entre ellas. Concluimos, pues, que el número mínimo de medidas a realizar es 3, y éste es el número inicial de medidas con el que nos contentaremos en las prácticas de laboratorio, aunque sería más seguro realizar algunas más. Realizadas 3 medidas, calculamos la dispersión o diferencia, D, entre los valores extremos. Se nos pueden presentar dos casos: 1) que D sea cero o igual que el error instrumental. En este caso, tomaremos como mejor valor de la magnitud la media aritmética de las 3 medidas, y como error absoluto el error instrumental.
3
x1 + x 2 + x 3 , ∆x = Error instrumental [5] 3 2) que D sea mayor que el error instrumental. En este caso, el número de medidas necesario puede ser mayor, siendo más fiable la medida cuanto mayor sea el número de medidas realizadas. De nuevo, tomaremos como mejor valor la media aritmética de todas las medidas, 1 n [6] x= xi n i =1 y el error absoluto lo identificaremos con x=
∑
n
∑ (x ∆x = t
i
− x)
2
i =1
[7] n(n − 1) donde n es el número de medidas y t es un parámetro (t de Student) cuyo valor depende de la probabilidad de que el verdadero valor de la magnitud esté comprendido entre ( x − ∆x ) y ( x + ∆x ) . Nótese que la ecuación [7] tiende a cero cuando n tiende a infinito. Basta, pues, con realizar un número suficiente de medidas para igualar el error estadístico a cualquier valor fijado de antemano. Para 6, 15 y 50 medidas los valores de t pueden verse en las tablas II, III y IV, respectivamente.
P t
TABLA II (n=6) 99% 95% 80% 60% 4,03 2,57 1,48 0,92
TABLA III (n=15) P 99% 95% 80% 60% t 2,98 2,14 1,34 0,87 TABLA IV (n=50) P 99,7% 95% 67% t 3 2 1 En las experiencias de laboratorio, nos conformaremos con una probabilidad del 60% ó 67 %, salvo que se especifique lo contrario. No obstante, si para la probabilidad elegida ∆x resultase ser menor que el error instrumental, tomaremos éste como error absoluto. El número máximo de medidas que no tiene sentido sobrepasar es aquél para el cual el ∆x suministrado por la ecuación [7] sea del mismo orden de magnitud que el error instrumental. Si las medidas a realizar para lograr esto resultasen ser demasiadas, el alumno podrá optar por seguir el siguiente criterio, aceptando un error estadístico del orden del 2%: Calculamos el tanto por ciento de dispersión: 100D ε D= [8] x y, para saber el número total de medidas a realizar, aplicaremos el criterio dado por la tabla V.
TABLA V εD < 2% 2% # εD < 8% 8% # εD < 15% εD $ 15%
Número total de medidas a realizar Bastan las 3 medidas realizadas y se procede como en el apartado 1) 6 medidas 15 medidas Un mínimo de 50 medidas
4
En cualquier caso, se adopta como mejor valor de la magnitud la media aritmética de todas las medidas realizadas, y como error absoluto el arrojado por la ecuación [7].
MEDIDA INDIRECTA DE UNA MAGNITUD Sea una función y=f(x) en la que se admite que x* se halla en el intervalo [x-∆x, x+∆x], donde x es un valor obtenido experimentalmente y ∆x su error absoluto; consecuentemente y* se hallará en el intervalo [y-∆y, y+∆y]. ¿Cómo estimaremos el error absoluto ∆y que afecta al cálculo de y? Observando la Figura 1, vemos que dy ⇒ ∆y ≈ tg α ∆x tg α = [9] dx
Figura 1 donde se han tomado valores absolutos porque el error absoluto de una magnitud es un número intrínsecamente positivo. Así pues, el tratamiento matemático de errores es, formalmente, el mismo que el de las diferenciales. Sin embargo, hay una diferencia importante entre el error y la diferencial: el error es una medida de la incertidumbre (debe ser positivo) y la diferencial no (puede ser positiva o negativa). Por tanto, dy ∆y = ∆x [10] dx Si la variable que medimos indirectamente depende de varias variables, esto es, si R=R(x,y,z, ...), entonces ∂R ∂R ∆R = ∆x + ∆y + ... [11] ∂x ∂y Tomamos valor absoluto en todas las derivadas parciales porque el caso más desfavorable es que todos los errores se presenten en el mismo sentido y, por tanto, ésta es la consideración más prudente. Vamos a particularizar la ecuación [11] para el caso de que R sea un producto de potencias, es decir, para cuando R venga dada por la ecuación siguiente:
R = m xa yb zc ... siendo m, a, b, c, ... constantes reales. El error relativo de R será: ∂R ∂R ∂R ∆x + ∆y + ∆z + ... ∂x ∂y ∂z ∆R = = R R max a -1 y b z c ... ∆x + mx a by b-1 z c ... ∆y + mx a y b cz c-1 ... ∆z + ... = mx a y b z c de donde se llega a ∆y ∆R ∆x ∆z = a + b + c + ... R x z y
[12]
[13]
[14]
5
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS EXPERIMENTALES La representación gráfica de datos experimentales es una forma conveniente e intuitiva de obtener información acerca de la relación existente entre las magnitudes estudiadas. Generalmente, al estudiar una dependencia cualquiera, los resultados de un ensayo se obtienen en forma de tablas, en las que a cada valor de un parámetro x le corresponde un valor de otro parámetro y. Supongamos, por ejemplo, que al estudiar la movilidad electroforética de partículas de cuarzo en mezclas líquidas binarias metanol-etanol se obtienen los siguientes resultados: Fracción molar Metanol (xm) 0,00"0,02 0,21"0,02 0,43"0,02 0,62"0,02 0,81"0,02
Movilidad electroforética del cuarzo (-µeA108 m2/Vs) 0,64"0,04 0,84"0,05 1,08"0,07 1,21"0,08 1,44"0,08
Si se toma un sistema de coordenadas rectangulares, de forma que el eje de ordenadas corresponda a la movilidad electroforética y el de abscisas a la fracción molar de metanol, se obtienen una serie de puntos en el plano. Asimismo, también se representa directamente en la gráfica el error de las coordenadas del punto trazando un segmento vertical y otro horizontal de forma que las distancias del punto a los extremos de dichos segmentos sean los errores absolutos de las coordenadas (figura 2). La escala en los ejes se elige de forma que la gráfica ocupe, aproximadamente, un espacio cuadrado. Se puede prescindir de esta norma cuando lo que se pretende es distinguir una parte concreta de la curva o cuando el error relativo con que se ha medido una magnitud es mucho más pequeño que el error relativo con que se ha medido la otra, es decir, la dimensión de la gráfica depende del error relativo de los datos obtenidos. Así, no conviene construir una gráfica grande si los datos tienen un error relativo muy grande. Por el contrario, si los datos tienen un error relativo pequeño se recomienda elegir la dimensión de la gráfica de modo que el error en la determinación de las coordenadas de un punto corresponda, aproximadamente, a las dimensiones de la celdilla de papel milimetrado.
1,5 1,0
e
-µ ·108 (m2/Vs)
2,0
0,5 0,0 0,0
0,2
0,4
x
0,6
0,8
1,0
m
Figura 2 Siempre deben indicarse las magnitudes y las unidades usadas en cada eje. Nótese que en la figura 2 el eje de abscisas no lleva unidades por tratarse de una magnitud adimensional. La escala hay que tomarla de manera que se pueda trabajar cómodamente. El caso ideal se presenta cuando cada celdilla del papel milimetrado corresponde a la unidad de la magnitud, a la mitad, la décima o la centésima parte de ella. Sin embargo, no existe, generalmente, tal posibilidad de elección de escala (por ello, en el ejemplo propuesto hemos multiplicado por 108 la movilidad electroforética). En cualquier caso, se recomienda que, al menos, las décimas de las unidades fundamentales de la medida contengan un número entero de celdillas.
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Conviene hacer notar, asimismo, que no es indispensable que el origen de coordenadas en la gráfica sea el (0,0). En muchos casos conviene trasladar el origen a un punto arbitrario con objeto de utilizar totalmente el área de la gráfica. Una vez dibujados los puntos, se unen por una curva suave de forma que pase lo más próxima posible a todos los puntos. A veces, algunos puntos pueden quedar fuera. En estos casos, se considera que ello se debe al error del experimento, es decir, se supone que la curva debe ser plana y no contener puntos singulares. Sin embargo, esto sólo puede hacerse en casos muy estudiados, cuando no hay porqué esperar la aparición de dichos puntos singulares. Dicho con más rigor: en cada caso particular hay que investigar si es correcto despreciar el punto. La operación del trazado de la curva por este método se denomina aplanamiento gráfico de los datos experimentales. Esta operación incluye, inevitablemente, un elemento subjetivo y, por tanto, da lugar al cambio de la función verdadera (desconocida) por una cierta función aproximada. Aunque en muchos casos la diferencia entre la función verdadera y la aproximada es mínima, en otros puede haber notables diferencias, especialmente si la precisión de los datos es pequeña: en tales situaciones es preferible no dibujar la curva. En muchas ocasiones se utiliza para el trazado de gráficas el papel semilogarítmico, en el que uno de los ejes de coordenadas está graduado logarítmicamente, o el papel logarítmico, en el que ambos ejes lo están. Así, si se sabe que la relación entre dos magnitudes es de la forma: y = m ax siendo m y a constantes reales, si tomamos logaritmos, obtenemos: Log y = Log m + x Log a Si se usa un papel tal que el eje de abscisas esté graduado en escala lineal y el de ordenadas en escala logarítmica (papel semilogarítmico), la gráfica de Log y frente a x será, en dicho papel, una recta (de pendiente Log a) de trazado relativamente cómodo. Si la relación entre las magnitudes es de la forma y = m xa siendo m y a constantes reales, tomando logaritmos queda: Log y = Log m + a Log x Si se usa papel logarítmico para representar Log y frente a Log x, la gráfica también será una recta. Es también ventajoso utilizar papel semilogarítmico cuando un dato varía entre límites mucho mayores que el otro y papel logarítmico cuando, en una larga serie de medidas, los datos van dispersándose cada vez más.
MEDIDA DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA APLANADA Supongamos que una vez representados gráficamente los datos experimentales, la curva aplanada resulte ser una recta, lo que indicaría una dependencia lineal entre ambas magnitudes (o entre el logaritmo de una de ellas y la otra, o entre ambos logaritmos).
e
-µ ·108 (m2/Vs)
2
y
2
1 y
1
0 0,0 x1
0,5
x
x
2
1,0
m
Figura 3 7
La dependencia lineal entre dos magnitudes implica la existencia de un coeficiente de proporcionalidad entre ambas, coeficiente que coincide con la pendiente de la recta. Para medir dicha pendiente (figura 3, donde la recta ha sido trazada por apreciación subjetiva del experimentador), tomamos 2 puntos de la recta que estén bien definidos y que, en general, sean distintos de los puntos experimentales representados. Con la ayuda de una regla, trazaremos la ordenada y la abscisa de cada uno de dichos puntos: el cociente entre la diferencia de ordenadas (y2-y1) y la diferencia de abscisas (x2-x1), traducidas ambas según la escala usada en el eje correspondiente, nos daría la pendiente m de la recta. y − y1 [15] m= 2 x2 − x1
AJUSTE DE UNA RECTA POR MÍNIMOS CUADRADOS Como ya hemos señalado, el aplanamiento gráfico de los puntos experimentales incluye un elemento subjetivo en el cambio de la función verdadera por la función aplanada. En este epígrafe estudiaremos la forma de encontrar una aproximación analítica, por tanto más exacta, de la función verdadera. Cuando el aplanamiento gráfico de los puntos experimentales da como resultado una recta, ello quiere decir que existe una dependencia lineal entre las dos magnitudes y, por tanto, que existe entre ellas una relación matemática del tipo: y=a+bx
[16]
donde x e y representan a las magnitudes. Encontrar analíticamente la ecuación de esta recta consiste en determinar los valores de a y b. Uno de los métodos de búsqueda es el de los mínimos cuadrados, mediante el que se determinan a y b imponiendo la condición de que la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada valor medido respecto del valor estimado sea mínima. Sean (xi, yi) las coordenadas del i-ésimo punto experimental. El subíndice i varía desde 1 (primer valor) hasta n (último valor). Si yi es el valor medido, (a+bxi) será el valor estimado, por lo que la desviación del primero respecto del segundo es yi-(a+bxi). La condición que imponemos es que s≡
n
∑ [y - (a + b x )]
2
[17]
i
i
i =1
sea mínima, para lo cual ha de cumplirse: ∂s ∂s =0 [18] =0 ∂a ∂b n n n ∂s 1) = − 2( y i − a − b x i ) = 0 ⇒ yi = a n + b xi ∂a i =1 i =1 i =1
∑
∑
[19]
∑
[20]
n n n n ∂s 2 [21] = − 2( y i − a − b xi )( xi ) = 0 ⇒ = a + b y xi i xi xi ∂b i =1 i =1 i =1 i =1 Las ecuaciones [20] y [21] constituyen un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (a y b) que, una vez resuelto (por cualquier técnica tradicional), proporciona los siguientes valores de a y b:
∑
2)
∑
n
n
∑x ∑ i
a=
i =1
xi y i −
i =1
n
∑ ∑y
2
n
i
i =1
[22]
n
i
i =1
i
i =1 2
n n 2 xi − n xi i =1 i =1
∑
i
∑
∑x ∑ y −n∑x b =
i =1
n n 2 xi − n xi i =1 i =1
n
∑
n
2 xi
i =1
∑
∑
yi [23]
∑
8
También es preciso estimar en qué medida la aproximación realizada es correcta. Es decir, hemos de saber si realmente las magnitudes x e y están relacionadas en forma lineal o no. Para ello, utilizaremos el denominado Coeficiente de correlación lineal (r), parámetro que da una idea de hasta qué punto las magnitudes x e y están relacionadas linealmente. Para determinar r, procedemos de la forma siguiente: si y depende linealmente de x, x también dependerá linealmente de y; en consecuencia, existirá una relación del tipo x = a' + b' y
[24]
resultando: n
a′ =
n
∑ ∑ yi
i =1
xi y i −
i =1
n
∑ ∑x i =1
i
i =1
[25]
2
n n 2 − n y yi i i =1 i =1
∑
n
n
∑ ∑ xi
b′ =
n
2
yi
i =1
∑
yi − n
i =1
n
∑x y i
i
i =1
[26]
2
n n 2 − n y yi i i =1 i =1
∑
∑
De la ecuación [24] deducimos, despejando y, que a′ 1 y=− + x b′ b′ Comparando la ecuación [27] con la [16] llegamos a la conclusión de que a′ 1 a=− b= [29] [28] b′ b′ De la ecuación [29] deducimos que la correlación será completa si bb' = 1
[27]
[30]
Si no existe ninguna correlación, debe ocurrir que b=b'=0. Definimos el Coeficiente de correlación lineal de la forma siguiente
r ≡ bb ′
[31]
es decir: n
n r=
∑
xi y i −
i =1
n
n
∑x ∑y i
i =1
i
i =1
2 2 n n n 2 n 2 n yi − yi xi − x i n i =1 i =1 i =1 i = 1
∑
∑
∑
[32]
∑
Así definido, r está comprendido entre -1 y 1. • • •
Si r=0, no existe correlación lineal. Si |r|=1, existe total correlación lineal entre x e y. Cuanto más próximo esté |r| a 1, mejor es la aproximación lineal encontrada. Evidentemente, cuanto más próximo esté a 0, peor será.
Se puede demostrar que los errores de la pendiente y de la ordenada en el origen vienen dados por
9
n
n ∆b = t
∑ ( y − y ')
2
i
i
i =1 2 n n 2 (n − 2)n xi − xi i =1 i = 1
∑
n
[33]
∑ n
∑ ( yi − y i ')2 ∑ xi2 ∆a = t
i =1
i =1
2 n (n − 2)n xi2 − xi i =1 i = 1 n
∑
[34]
∑
donde xi e yi son los valores experimentales e y'i son los valores que se obtienen mediante la ecuación de la recta para los valores experimentales xi, es decir, y'i = a + b xi. Si t=1, la probabilidad de que el verdadero valor de b (o de a) esté comprendido entre b-∆b y b+∆b (o a-∆a y a+∆a) es del 68,30%; si t=2, la probabilidad es del 95,45% y si t=3, la probabilidad aumenta hasta el 99,73%. En los trabajos del laboratorio (prácticas), nos conformaremos con t=1.
INTERPRETACIÓN Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS El planteamiento y desarrollo de los métodos existentes para el correcto análisis de experimentos, desde el punto de vista de su interpretación y diseño, podría ocuparnos un curso completo. Sin embargo, la somera teoría de errores hasta aquí expuesta, constituye una base suficiente para poder realizar, en muchos casos prácticos, el análisis de un experimento. Interpretar un experimento consiste en sacar conclusiones de los resultados del mismo. Estas conclusiones pueden ser positivas (podemos afirmar que algo se verifica o que no se verifica) o negativas (no podemos afirmar que algo se verifica ni que deja de verificarse). La teoría de errores nos ayuda a sacar conclusion.
PROBLEMAS 1.- Exprese correctamente los siguientes datos experimentales: Expresión INCORRECTA
Expresión CORRECTA
(15,5943±0,12) V (5,1±0,049) Kg (561,584±0,3) mA (47,2361±0,018) m/s2 (2326±139) s (8,432±0,654) m 2.- Se ha medido la duración de un determinado intervalo de tiempo mediante un cronómetro cuya sensibilidad (error instrumental) es de 0.1 s. La medida se repitió tres veces, y los valores fueron 24.7 s, 25.1 s y 24.8 s. a) Exprese correctamente cada una de las tres medidas con su correspondiente error absoluto. b) Decida razonadamente si son suficientes las tres medidas realizadas, siguiendo el criterio dado por la tabla V. c) Exprese correctamente el valor final de la duración del intervalo de tiempo y calcule su error relativo. d) Calcule y exprese correctamente la velocidad de un móvil que recorre 12.23±0.06 dm en el intervalo de tiempo mencionado anteriormente.
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3.- Se desea encontrar la intensidad de corriente que atraviesa un determinado conductor situado en un circuito. El amperímetro utilizado tiene una sensibilidad de 0.5 mA en la escala correspondiente. La medida se repitió varias veces, y los valores obtenidos fueron 45.5 mA, 46.0 mA, 48.5 mA, 47.0 mA, 47.0 mA y 46.5 mA, ordenados cronológicamente. Decida razonadamente si son suficientes las medidas realizadas, si debería haberse realizado un número mayor o si podríamos habernos conformado con las tres primeras. b) Exprese correctamente el valor final de intensidad de corriente, conformándonos con una probabilidad del 60% de que el valor real de la intensidad se encuentre en el intervalo I − ∆I , I + ∆I . Calcule el error relativo porcentual. c) Lo mismo que en el apartado b) pero con una probabilidad del 95%. d) Calcule y exprese correctamente la potencia disipada en el conductor si la resistencia del mismo es de R=20.34±0.13 Ω. a)
[
]
4.- El periodo T de un péndulo simple, cuando el ángulo de desviación con la vertical es pequeño, viene dado por la ecuación l T = 2π g donde l es la longitud del péndulo y g es la aceleración de la gravedad. Se ha medido la longitud y se obtiene el resultado de l =24.56±0.05 cm. Calcule y exprese correctamente el periodo del péndulo y halle el error relativo porcentual. Tome como valor de la aceleración de la gravedad g=9.8±0.1 m/s2. 5.- La determinación de la constante de un muelle se puede realizar registrando su longitud en función de la fuerza que actúa sobre el mismo: F = K ( L − L0 ) donde F es la fuerza aplicada, K es la constante del muelle, L es su longitud y L0 es la longitud natural del muelle. La fuerza se aplica mediante la colocación de varias masas en un platillo adherido al extremo inferior del muelle. De esta forma, se obtienen las siguientes mediciones: Masa (g) Longitud (cm)
50 14.9
100 18.8
150 22.8
200 26.7
250 30.6
300 34.5
350 38.4
400 42.4
450 46.3
500 50.2
El error absoluto de las medidas de masa es de 5 g, y el de las medidas de longitud es de 0.1 cm. La masa del platillo es de 25±5 g. Para obtener el peso que actúa sobre el muelle, utilice el valor g=9.8±0.1 m/s2. a) Represente los datos experimentales de longitud frente a peso con sus correspondientes errores absolutos en una gráfica. Puede hacerlo en papel milimetrado o en un programa de ordenador adecuado. b) Ajuste gráficamente una recta aplanada a los datos experimentales y mida su pendiente. c) Mediante el ajuste de una recta a los datos experimentales por mínimos cuadrados, encuentre la pendiente y la ordenada en el origen con sus correspondientes errores. Estos cálculos se pueden hacer con la calculadora o con un programa estadístico. d) Calcule el coeficiente de correlación lineal correspondiente al ajuste anterior y discuta la bondad de la correlación lineal en este caso. e) Con los datos de la la pendiente y la ordenada en el origen obtenidos por mínimos cuadrados, calcule y exprese correctamente la constante del muelle y la longitud natural del mismo.
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