Arbol de Expansion Minima

ARBOL DE EXPANSION MINIMA El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mínima (entiéndase por longitud del arco una cantidad variable segn el contexto operacional de minimización! y que puede bien representar una distancia o unidad de medida"# El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red! tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos# $o se deben incluir ciclos en al solución del problema# %ara crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características& 'e tienen los nodos de una red pero no las ligaduras# En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red# (as medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia! costo y tiempo#" 'e desea dise)ar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que *aya un camino entre cada par de nodos# El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red# +na red con n nodos requiere sólo (n,-" ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos# as (n,-" ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de expansión# %or tanto el problema es *allar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras#  .lgoritmo para para construir construir el árbol árbol de expansión expansión mínima& mínima& 'e selecciona! de manera arbitraria! cualquier nodo y se conecta (es decir! se agrega una ligadura" al nodo distinto más cercano# 'e identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir! se agrega una ligadura entre ellos"# Este paso se repite *asta que todos los nodos están conectados# Empates& los empates para el nodo más cercano distinto (paso -" o para el nodo no conectado más cercano (paso "! se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima# $o obstante! estos empates son se)al de que pueden existir (pero no necesariamente"soluciones optimas mltiples# 0odas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates *asta el final# E1E2%3 N4 5-! ! 6! 7! 89 A4 5(-!"!(-!6"!(!6"!(!8"!(6!7"!(6!8"!(7!"!(7!8"9

+n árbol es una red conectada que puede consistir solo en un subconjunto de todos los nodos en ella! donde no se permiten ciclos#

 +n árbol de expansión  es un árbol que enlaza todos los nodos de la red! también sin permitir ciclos#

:ada una gráfica! su árbol mínimo generador (o árbol de peso mínimo o árbol mínimo de expansión" es un árbol que pasa por todos los vértices y que la suma de sus aristas es la de menor peso# a forma inmediata en que se nos puede ocurrir para encontrarlo es mediante una bsqueda ex*austiva! sin embargo! podemos encontrarlo más rápido# :e forma similar al problema de la distancia más corta! el árbol mínimo generador puede ser  calculado mediante un enfoque ávido# a idea básica es empezar con el árbol vacío e irle agregando una arista a la vez# a arista que escogemos es la de menor costo que no forme un ciclo en nuestro árbol# :espués de agregar V ,- aristas! el árbol que tenemos es el árbol mínimo generador# ;on esta idea surgen dos algoritmos& %rim y
ALGORITMO DE PRIM

 a idea básica de este algoritmo consiste en a)adir! en cada paso! un nuevo vértice a un árbol previamente construido# Este nuevo vértice se une al árbol anterior con la arista de menor  peso# os requisitos son& ser un grafo conexo! un grafo sin ciclos y tener todos los arcos etiquetados# -#

'e marca un nodo cualquiera! será el nodo de partida#

#

'eleccionamos la arista de menor valor incidente en el nodo marcado anteriormente! y marcamos el otro nodo en el que incide#

6#

>epetir el paso  siempre que la arista elegida enlace un nodo marcado y otro que no lo esté#

7#

El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo marcados#

ejemplo& costo mínimo ?

ALGORITMO DE KRSKAL

Este algoritmo es de tipo @vorazA o @greedyA# ;omo se quiere construir un árbol generador de peso mínimo la estrategia será ir a)adiendo aristas de mínimo peso *asta conseguir un árbol generador# En cada paso! incorporación de una nueva arista! se debe comprobar que no se forme ningn ciclo con las aristas previamente introducidas# -#,'e selecciona la arista con menor valor  #, :espués de las aristas que restan se elige la que tiene menor valor  6#, se va repitiendo el paso $B ! recordando que no podemos generar ningn ciclo# 7#, finalizamos cuando ya se *ayan recorrido todos los vértices! sin importar el que no se *ayan recorrido todas las aristas#

Ejemplo& Crafo 3riginal! los nmeros de las aristas indican su peso#

 .: y ;E son las aristas con menor peso 8! por eso son resaltadas#

a siguiente arista con peso D! *a sido resaltada utilizando el mismo método#

as siguientes aristas mas peque)as son . y E! ambas con peso F#

Ginalmente! el proceso termina con la arista EC de peso 6H! y se *a encontrado el árbol de expandido mínimo#

 .pplet %rim

 .pplet =rus=al